Topologia general

Topología General

Topología General Capítulo 0 - 2 -

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Breve reseña histórica Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra topología había sido utilizada en 1847 por J.B Listings en un libro titulado Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834. Usaba el término topología para lo que prefería llamar “geometría de posición”, sin embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva. Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la publicación de Análisis Situs de Poincaré en 1895. La geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulos y áreas) que son invariantes por movimientos rígidos, (transformaciones isométricas o que conservan la medida), mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (puntos, línea, incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de las transformaciones proyectivas (proyectar, seccionar). Pero los movimientos rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones topológicas que son correspondencias biunívocas y bicontinuas entre dos conjuntos. La topología estudia entonces los conceptos invariantes frente a dichas transformaciones. Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos. Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable. También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto, se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud, que el mismos Fréchet había usado en 1906. Usó la noción de conectividad, planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), Para considerar conjuntos conexos como ideas topológicas. Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de las matemáticas.


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En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda propiedad dentro de las matemáticas, el igual que la geometría, el álgebra o el análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más complejo y diversificado.

Capítulo 0

Conjuntos Con el interés de identificar un elemento de una colección de conjuntos, algunas veces es conveniente adjudicar un “nombre” a cada elemento. Definición 0.1 Sea A una colección no vacía de conjuntos. Una función indexada para A es una función sobreyectiva f de un conjunto J denominado conjunto de índices, en A. La familia A, junto con la función f , se denomina familia indexada de conjuntos.

( )Dado , representaremos el conjunto por J f Aαα α∈ Y denotamos la familia

indexada, propiamente dicha, mediante { }

JAα α∈

que se lee como “la familia de todos los Aα cuando α recorre J”. En ocasiones

escribiremos { }Aα , si no ofrece dudas cuál es el conjunto de índices.

Obsérvese que, aunque es necesario que una función indexada sea sobreyectiva, no se necesita que sea inyectiva. y A Aα β pueden ser el mismo conjunto de A, incluso

si α β≠ . Una forma de usar funciones indexadas es dar una nueva notación para uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos. Supongamos que :f J → A es una función indexada para A ; representemos ( ) por f Aαα . Entonces definimos: { }: al menos para un ,

J

A x J x Aα αα

α∈

= ∈ ∈∪

y { }: para todo ,

J

A x J x Aα αα

α∈

= ∈ ∈∩


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Leyes de Morgan

( )C CA Aα α=∪ ∩ y

( )C CA Aα α=∩ ∪ Definición 0.2 Dado un conjunto A , una relación R en A es un subconjunto del producto cartesiano A A× . Definición 0.3 Sea ~ una relación en A (anotamos ( ), o a b a b∈∼ ∼ ) decimos que es una relación de equivalencia si se verifican tres propiedades: a) Reflexiva a a a A∀ ∈∼ b) Recíproca si entonces ,a b b a a b A∀ ∈∼ ∼ c) Transitiva si y entonces , ,a b b c a c a b c A∀ ∈∼ ∼ ∼ Definición 0.4 Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto A y un elemento x de A definimos un cierto subconjunto de A que anotamos [ ]x ∼ llamado clase de

equivalencia determinada por x, mediante la ecuación: [ ] { }:x a A a x= ∈∼ ∼

Observación 1 [ ] ya que x x x x∈ ∼ ∼ es decir las clases de equivalencia son no

vacías Propiedad Las clases de equivalencia tienen las siguientes propiedades: i) Dos clases de equivalencia o son disjuntas o son iguales. Demostración: Sean E y E’ dos clases de equivalencia definidas por x y x’ respectivamente entonces si no son disjuntas eso quiere decir que existe un elemento en común

/y E y x

y A y E E x xy E y x

∈ ⇒ ′ ′∃ ∈ ∈ ⇒ ⇒ ′ ′∈ ⇒

∼∩ ∼∼

Entonces (y como por transitiva)z E z x x x z x z E′ ′ ′∀ ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ∈∼ ∼ ∼ o sea E E′⊆


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análogamente E E′ ⊆ lo que concluye que

E E′= ii) La unión de todas las clases de equivalencia de A es todo A ya que todo elemento de A tiene asociada una clase de equivalencia.

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

0 0

0

por definición

ya que si /

por definición de

x A

x A x A

A x

A x z x x A z x

z A x

∈

∈ ∈

⊆

⊇ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈

⇒ ∈

∼

∼ ∼ ∼

∼

∪∪ ∪

La familia de las clases de equivalencia de A es un ejemplo de lo que se llama partición del conjunto A. Definición 0.5 Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos disjuntos no vacíos de A cuya unión es todo A Definición 0.6 Dada una relación de equivalencia en un conjunto A llamamos espacio cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Y

anotamos A∼

[ ]{ }:A x x A= ∈∼∼ Definición 0.7 Una relación ≤ en un conjunto A se denomina relación de orden (parcial) si verifica las siguientes propiedades: i) Reflexiva x x x A≤ ∀ ∈ ii) Antisimétrica

,x y

x y x y Ay x

≤ ⇒ = ∀ ∈≤

iii) Transitiva

, ,x y

x z x y z Ay z

≤ ⇒ ≤ ∀ ∈≤

Ejemplo 0.1 Si A es un conjunto sea P(A) el conjunto de potencia de A es decir:


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P(A) { }:X X A= ⊂ Definimos la relación ≤ de la siguiente manera:

si ,X Y X Y X Y≤ ⊆ ∀ ∈ P(A) verifica las tres propiedades, por lo que es una relación de orden. Definición 0.8 Dado un conjunto A y una relación ≤ de orden en A se dice que la pareja ( ),A ≤ es un conjunto ordenado. Definición 0.9 Si ( ),A ≤ es un conjunto ordenado y consideramos un subconjunto S A⊂ , definimos: i) a A∈ es cota superior (inferior) de S si ( )x a x S a x x S≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ ii) m A∈ es máximo si es cota superior y pertenece a S Definición 0.10 Si ( ),A ≤ es un conjunto ordenado y S un subconjunto de A decimos que m es un elemento maximal si se cumple: si y x S m x m x∈ ≤ ⇒ = Definición 0.11 Dado un conjunto A y una relación de orden ≤ decimos que es una relación de orden total si:

dados , o

a b

a b A

b a

≤∈ ⇒ ≤

y a la pareja ( ),A ≤ llamamos conjunto totalmente ordenado. Observación 2 si A es un conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y mínimo. Demostración : Consideremos por inducción sobre el cardinal de A i) Para # 1A = es obvio. ii) Si vale para { }1# 1 y # , ,..., nA n A n A a a= − = =

Por hipótesis el conjunto { }2 ,..., na a tiene máximo y mínimo por tener n-1 elemento sean estos M y m respectivamente. Sea { }0 1min ,m a m= ⇒ es el mínimo de A ya que:

0 0 1 0 y 2,...,km A m a m m a k n∈ ≤ ≤ ≤ ∀ = De la misma forma


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{ }0 1max ,M a M= es el máximo de A Definición 0.12 Si ( ),A ≤ es un conjunto ordenado llamamos cadena a un subconjunto C de A tal que (C ,≤ ) es totalmente ordenado. Lema 0.1 ( Lema de Zorn ) Sea ( ),A ≤ un conjunto ordenado en el que toda cadena tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximal. Ejemplo 0.2. Consideremos el siguiente conjunto que llamamos partes finitas de los naturales ( ) { }: # es finitoF A A= ⊂¥ ¥P Con la relación de orden dada por la inclusión. B A B A≤ ⇔ ⊆ Entonces ( )( ),F ≤¥P no tiene elemento maximal, ya que si A es maximal

( ) ( ) y F FA B A B⇒ ∈ ≤ ∀ ∈¥ ¥P P Pero para cualquier A ∈ P F(N) , con x x A∃ ∈ ∉¥ , porque A es finitos

{ } es de finitos elementosA x⇒ ∪

{ } ( )FA x⇒ ∈∪ ¥P y obviamente { }A x A A⇒∪ � no es maximal.

Entonces como ( )( ),F ≤¥P no tiene elemento maximal Zorn

una cadena ⇒ ∃ C de

( )F ¥P , que no está acotada superiormente, por ejemplo:

{ } { } { } { }{ }1 , 1,2 , 1,2,3 ,..., 1,... ,...n=C es una cadena y no está acotada ya que una cota tiene que tener a todos los naturales y eso no esta en el conjunto. ( ) cota y FA A⇒ = ∉¥ ¥ ¥P Veamos una aplicación del pasado lema: Proposición 0.1 Todo espacio vectorial V tiene una base. Demostración: Vamos a pensar una base de un espacio vectorial como un subconjunto L.i. maximal, sea entonces { }: es L.i.A V A= ⊂L con la relación de orden ≤ definida:

B A B A≤ ⇔ ⊂


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Entonces ( ),≤L es un conjunto ordenado y sea { }Aα ⊂ L una cadena,

(subconjuntos de L totalmente ordenados), vamos a probar que está acotada, sea Aα= ∪A veremos que es L.i. consideremos una n-upla en A,

{ }1,..., con 1,..., /in i i ix x x i n x Aαα∈ ⇒ ∀ ∃ ∈ ∈A , además como { }

1,...,

nA Aα α es

finito y totalmente ordenado, entonces tiene máximo 0

Aα

0 0 1,..., 1,...,

ii ix A A i n x A i nα α α∈ ⊂ ∀ = ⇒ ∈ ∀ = ⇒

{ }0 01,..., y es L.i.nx x A Aα α⊂ ⇒

{ }1,..., es L.i. es L.i.nx x ⇒ A y es una cota superior de L entonces por el lema de Zorn L tiene elemento maximal ⇒ que V tiene una base. Definición 0.13 Sean 1 2, ,..., nA A A conjuntos ,definimos un nuevo conjunto llamado producto cartesiano y anotamos por 1 2 ... nA A A× × × a:

( ){ }1 2 1... ,..., :n n i iA A A a a a A× × × = ∈ a ( )1,..., na a puede pensarse como una función

{ } ( ): 1,..., tal que 1,...,i if n A f i a i n→ = ∀ =∪ Entonces en forma más general . Sea { } I

Aα α∈ una familia de conjuntos llamamos producto cartesiano de esos

conjuntos y anotamos I

Aαα∈∏ a:

( ){ }: : I

A f I A f A Iα α αα

α α∈

= → ∈ ∀ ∈∏ ∪

Axioma de elección Sea { } I

Aα α∈ una familia de conjuntos no vacíos entonces el

producto cartesiano de ellos es no vacío. I

I

A Aα αα

φ α φ∈

≠ ∀ ∈ ⇒ ≠∏

Esto es equivalente a decir que dada una familia de conjuntos no vacíos podemos elegir un elemento de cado conjunto ( en forma simultánea). Una cuestión básica sobre un conjunto es conocer la cantidad de elementos, sin grandes conocimientos matemáticos para saber la cantidad de elementos de un conjunto lo que hacemos es contarlos, ¿pero que significa esto, a cada elemento le estamos asociando un número con el cuidado de no repetir elementos y para asegurarnos de no repetir números le asociamos el 1, 2, ....,n en ese orden entonces lo que establecemos es una función inyectiva (no repetimos elementos) y sobreyectiva (no dejamos ningún elemento sin su correspondiente). Es decir:


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Existe una función { }: 1,...,f A n→ biyectiva ⇒ cardinal de A es n Definición 0.14 Dados dos conjuntos A y B decimos que tienen el mismo cardinal o que son coordinables o equipotente si existe una función :f A B→ biyectiva. Proposición 0.2 La relación de ( ) ( )Card A Card B= verifica las propiedades de una relación de equivalencia. Demostración i) A es equipotente con A ya que la identidad es una función biyectiva de A en si mismo ( ) ( )card A card A⇒ = . ii) Si A es equipotente con B entonces B es equipotente con A

( ) ( )( ) ( )

1existe : biyectiva que : es biyectivacard A card B f A B f B A

card B card A

−= ⇒ → ⇒ →

⇒ =

iii) Si A es equipotente con B y B es equipotente con C entonces A es equipotente con C.

Por hipótesis existen :

biyectivas : también es biyectiva:

f A Bg f A C

g B C

→ ⇒ →→ o

Y eso implica que A es equipotente con C. Definición 0.15 Dados dos conjuntos A y B decimos que el cardinal de A es menor o igual que el cardinal de B si existe una función : inyectivaf A B→ . ( ) ( ) : inyectivaCard A Card B f A B≤ ⇒ ∃ → Ejemplo 0.3 Sabemos que el ( ) ( )Card Card≤¢ ¡ ya que la inclusión es una función inyectiva.

:

inc

a a

→→

¢ ¡

Ejemplo 0.4 Si X es un conjunto ( ) ( )( )Card X Card X≤ P basta tomar la función

( ): X Xϕ →P definida ( ) { }x xϕ = es decir que a cada elemento x del conjunto X le asociamos el conjunto cuyo único elemento es el propio x. Esta función claramente es inyectiva Observar que si X es finito con ( )Card X n= entonces ( )( ) 2nCard X =P .

Proposición 0.3 Dados dos conjuntos A y B entonces existe una función :f A B→ inyectiva si y solo si existe una función :g B A→ sobreyectiva.


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Demostración: Sea : inyectiva con f A B A φ⇒ → ≠ y sea 0a A∈ A f B b Im f a a0 g Entonces : ( )si Im tal que b f a A b f a∈ ⇒ ∃ ∈ = y como f es inyectiva el “a” es único y podemos definir: ( )g b a=

( ) 0si Im definimos b f g b a∉ = Definimos de esta forma una función :g B A→

( ) ( )1

0

si Im

si Im

f b b fg b

a b f

− ∈=

∉

Que es sobre. ⇐ Dada :g B A→ sobreyectiva

Entonces ( ){ }1 :g a a A− ∈ establece una partición en B ya que:

( )1 por ser sobreyectivaa A

g a B g−

∈

=∪

y ( ) ( )1 1

1 2 1 2g a g a a a− −≠ ⇔ ≠

ya que si ( ) ( )( )( )

11 11 2 1 2

2

/ absurdo si g b a

g a g a b B a ag b a

− − == ⇒ ∃ ∈ ⇒ ≠ =

por se g una

función. Por el teorema de elección podemos elegir un representante por cada clase que anotamos ( )1g a− entonces definimos:

( ) ( )1: por f A B f a g a−→ = Por ser g sobre esta bien definida para todo a A∈ y además es inyectiva ya que: ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 2 1 2 1 2f a f a g a g a a a− −= ⇒ = ⇒ =


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⇒ f es inyectiva. Proposición 0.4 ( Teorema de Cantor ) Dado X un conjunto no vacío entonces: ( ) ( )( )Card X Card X< P Demostración Ya sabemos que ( ) ( )( )Card X Card X≤ P Probaremos que

( ) ( )( )Card X Card X≠ P para ello supongamos por absurdo que son iguales y por

lo tanto existe una función:

( )

( ) ( ): biyectiva

f X X

x f x X

→

→ ∈

PP

Consideremos: ( ){ }:B x X x f x= ∈ ∉ pero como ( ) ( )/B X B X u X B f u⊆ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ =P por ser f sobreyectiva entonces ( )

( )si

B f uu B u f u u B

=∈ ⇔ ∉ ⇔ ∉

Corolario Si N es el conjunto de los números naturales aplicando lo anterior ( ) ( )( )Card Card<¥ ¥P Proposición 0.5 (Teorema de Cantor-Bernstein) Dados dos conjuntos X e Y tales que:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )Card X Card Y

Card X Card YCard Y Card X

≤ ⇒ =

≤

Demostración Como ( ) ( ) una función :Card X Card Y h X Y≤ ⇒ ∃ → inyectiva entonces si llamamos Im la función :B h h X B= → es biyectiva. Por otro lado ( ) ( ) una función :Card Y Card X g Y X≤ ⇒ ∃ → inyectiva y si llamamos Im la función :A g g Y A= → seria biyectiva. Sea :f X X→ la composición

A Bf i g i h= o o o donde iA e iB son las correspondientes inclusiones. Claramente f es inyectiva por ser composición de funciones inyectivas.

h

X B iA iB

A Y


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Queremos encontrar una función : X Aϕ → biyectiva para ello tomamos el

conjunto ( ) ( )( )C A f X C f X A= − ⇒ =∪ y el conjunto ( )( )1

i

iS C f X

≥= ∪ ∪

con nf la composición de f consigo misma n veces.

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

i i i

i i if S f C f C f C f C f C

≥ ≥ ≥= = =∪ ∪ ∪ ∪

Luego ( )S C f S= ∪ definimos entonces a φ de la siguiente manera:

( )( ) si

si

x x Sx

f x x X Sϕ

∈= ∈ −

Por definición ( )S Sϕ = y ( ) ( )X S f X Sϕ − = − además es sobreyectiva ya que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X S X S S X S C f S f X S C f X Aϕ ϕ ϕ ϕ= − = − = − = =∪ ∪ ∪ ∪ ∪ Finalmente probaremos que es inyectiva, como | y |S X Sϕ ϕ − son inyectivas por

definición, entonces bastará con ver que ( ) ( ) y S X Sϕ ϕ − son disjuntos,

supongamos que no lo son, es decir que existe ( )x S C f S∈ = ∪ tal que

( ) ( ) con x f x x X S x f S′ ′= ∈ − ⇒ ∉ por ser f inyectiva ya que si

( ) ( ) ( )/x f S x S f x x f x x x′′ ′′ ′ ′ ′′∈ ⇒ ∃ ∈ = = ⇒ = lo cual es absurdo por pertenecer

a conjunto disjuntos. Pero si ( )x f S x C∉ ⇒ ∈ y por definición de C ( )x f X∉ lo que es una contradicción pues x era la imagen de un x’ por medio de f. La función ϕ así definida es una biyección y entonces

( ) ( ) ( )( ) ( )

Card X Card A Card Y

Card X Card Y

= =

∴ =

Definición 0.16 Dado un conjunto A decimos que es finito si es vacío o es coordinable con el conjunto { }1,...,n para algún n +∈¢ . En caso contrario se dirá que el conjunto es infinito. Definición 0.17 Dado un conjunto A decimos que es numerable si es finito o de ser infinito es coordinable con el conjunto de los números naturales.

( ) ( )

finito numerable

AA

card A Card

⇔ = ¥

Observación 3 ( )¥P es no numerable por ser ( ) ( )( )Card Card≠¥ ¥P

Definición 0.18 Se dice que un subconjunto A de los números reales es inductivo si contiene el número 1, y si para todo x de x+1 también está en A. Sea A la familia de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces, el conjunto Z+ (números naturales) de enteros positivos se define de la forma.


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A

A+

∈

=¢ ∩A

Obsérvese que le conjunto R+ de los reales positivos es inductivo, pues contiene al 1,

y la afirmación 0x > implica 1 0x + > . Por lo tanto + +⊂¢ ¡ y de esta forma los elementos de +¢ son efectivamente positivos, tal y como la elección de la terminología sugiere. De echo se comprueba que 1 es el elemento más pequeño de

+¢ , ya que el conjunto de todos los números reales x para los cuales 1x ≥ es inductivo. Las propiedades básicas de +¢ , las cuales se deducen inmediatamente de la definición, son las siguientes: (1) +¢ es inductivo. (2) (Principio de inducción ). Si A es un conjunto inductivo de enteros positivos entonces A += ¢ . Proposición 0.6 (Principio del buen orden) Todo subconjunto no vacío de +¢ tiene un mínimo. Demostración En primer lugar vamos a demostrar que, para cada n +∈¢ , se verifica la siguiente afirmación: Todo subconjunto no vacío de { }1,...,n tiene un mínimo. Sea A el conjunto de todos los enteros positivos n para los cuales se cumple dicha afirmación. Entonces A contiene al 1, ya que si 1n = , el único subconjunto no vacío de { }1,...,n es el propio { }1 . Por tanto, suponiendo que A contiene a n, vamos a demostrar que también contiene a 1n + . Sea C un subconjunto no vacío de { }1,..., 1n + . Si C está formado únicamente por 1n + , entonces dicho elemento es el

menor elemento de C . En caso contrario, consideremos el conjunto { }1,...,C n∩ , que es no vacío. Como n A∈ , este conjunto tiene un mínimo que automáticamente será también el mínimo de C. Así A es inductivo, y podemos concluir que A += ¢ ; y por lo tanto, la afirmación es cierta para todo n +∈¢ . Ahora vamos a demostrar el teorema. Supongamos que D es un subconjunto no vacío de +¢ . Elijamos un elemento n D∈ . Entonces, el conjunto { }1,..,A D n= ∩ es no vacío, y A tiene un mínimo k. El elemento k será también el mínimo de D. Proposición 0. 7 Todo los subconjunto de números naturales son numerables.


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Demostración Dado { }1

es numerable si

min por proposición 0.6

AA

A a a A

φφ

= ⇒⊆ ≠ ⇒ ∃ = ∈

¥

{ }{ } { }{ }

1

1 2 1

es finito numerablesi

min \ por proposición 0.6

A a

A a a A a

= ⇒ ≠ ⇒ ∃ =

Nuevamente

{ }{ } { }{ }

1 2

1 2 3 1 2

, finito numerableSi

, min \ ,

A a a

A a a a A a a

= ⇒ ≠ ⇒ ∃ =

Y así sucesivamente

{ }{ } { }{ }

1

1 1 1

,..., es finito numerableSi

,..., min \ ,...,n

n n n

A a a

A a a a A a a+

= ⇒ ≠ ⇒ ∃ =

Sea ( ): tal que kA k aϕ ϕ→ =¥ es una biyección ya que:

( ) ( )1 por elección inyectivak kϕ ϕ+ > ⇒ Ahora si { } { }{ } ( )1 1 sea max : min \ ,..., 1k n na A n k a a a A a a a nϕ+∈ = < ⇒ = = = +

Lo que quiere decir que ϕ es sobreyectiva. Proposición 0.8 Dado un conjunto A no vacío, es numerable si y solo sí: 1) Existe una función : Aϕ → ¥ inyectiva o 2) Existe una función : Aψ →¥ sobreyectiva. Demostración: ⇒ Sea A numerable entonces puede suceder que A sea i) infinito ( ) ( ) :Card A Card Aϕ⇒ = ⇒ ∃ →¥ ¥ biyectiva y por lo tanto inyectiva.

ii) finito ⇒ hay una biyección { }0 entre y 1,..., entonces definimos:A nϕ : Aϕ → ¥ tal que:

( ) ( )0 es inyectivaa aϕ ϕ= ⇐ Supongamos ahora que existe una función inyectiva : Aϕ → ¥ lo que significa que ( ): A Aϕ ϕ→ es una biyección , y entonces ( ) ( )( )Card A Card Aϕ= pero

como ( ) ( )A Aϕ ϕ⊂ ⇒¥ es numerable por proposición anterior.

Entonces si ( )Aϕ es infinito ( )( ) ( )Card A Cardϕ⇒ = ¥ por definición y por

transitiva ( ) ( )Card A Card= ⇒¥ por definición A es numerable.

Si ( )Aϕ es finito ( )( ) tal que n Card A nϕ⇒ ∃ ∈ =¥ por definición y por transitiva

( )Card A n= ⇒ por definición A es numerable. Corolario 0.9 Sea B un conjunto numerable y : A Bϕ → inyectiva entonces A es numerable.


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Demostración Si B es numerable ⇒ por proposición anterior : Bψ∃ → ¥ inyectiva entonces : Aψ ϕ →o ¥ es inyectiva ⇒ A es numerable. Corolario 0.10 Si A es un conjunto numerable y : A Bψ∃ → sobreyectiva entonces B es numerable. Demostración Si A es numerable : Aϕ⇒ ∃ →¥ sobreyectiva entonces

: Bψ ϕ →o ¥ es sobreyectiva ⇒ B es numerable. Corolario 0.11 Si B es un conjunto numerable y A B⊂ ⇒ A es numerable. Demostración Sea inclución : A Bϕ ϕ≡ ⇒ → que es inyectiva entonces por corolario 0.9 ⇒ A es numerable. Proposición 0.12 ×¥ ¥ es numerable. Demostración Basta ver que la función :ψ × →¥ ¥ ¥ dada por:

( ), 2 .3m nm nψ = es inyectiva, por tanto ×¥ ¥ es numerable. Proposición 0.13 ...

j

×¥ ¥ ¥14243 es numerable.

Demostración Sean 1,..., jp p primos distintos, entonces : ...ψ × →¥ ¥ ¥ ¥ donde

( ) 11 1,..., ... jnn

j jn n p pψ = es inyectiva. Corolario 0.14 Sean 1,..., nA A conjuntos numerable 1 2 ... nA A A⇒ × × × es numerable Demostración Para cada 1,...,i n= el que sea numerable :i i iA Aϕ⇒ ∃ → ¥ inyectiva. Entonces si definimos: 1: ... ...nA Aϕ × × → × ×¥ ¥ por ( ) ( ) ( )( )1 1 1,..., ,...,n n na a a aϕ ϕ ϕ= queda naturalmente inyectiva. Y por lo tanto existe la función 1: ... nA Aψ ϕ × × →o ¥ inyectiva lo que implica que

1 ... nA A× × es numerable.


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Proposición 0.15 Sea I un conjunto numerable, y iA un conjunto numerable i I∀ ∈

entonces ii I

A∈∪ es numerable.

Demostración Como I es numerable : Iϕ⇒ ∃ →¥ sobreyectiva y por ser numerable : i i iA A i Iψ⇒ ∃ → ∀ ∈¥ definimos:

: ii I

J A∈

× →¥ ¥ ∪

por ( ) ( ) ( ), mJ m n nϕψ= entonces

0 0 para algún y como i ii I

a A a A i I ϕ∈

∀ ∈ ⇒ ∈ ∈∪ es sobre ( )0/m i mϕ⇒ ∃ ∈ =¥ y

como a su vez 0i

ψ es sobre ( )0

/ in a nψ⇒ ∃ ∈ =¥ luego:

( ) ( ) ( ) ( )0

,i ma n n J m nϕψ ψ= = = lo que significa que J es sobreyectiva ⇒ por ser ×¥ ¥ numerable i

i I

A∈

⇒ ∪ es

numerable. Ejemplo 0.5 ¤ es numerable Sea ( ) { }{ }, : con , 0I m n m n= ∈ ∈ − ⊂ ×¥ ¥ ¥ ¥ que es numerable por ser un

subconjunto de uno numerable, entonces como:

( ),m n I

mn∈

=¤ ∪

es numerable Ejemplo 0.6 Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. Demostración Sea A un conjunto infinito. Sea 0 0, entonces x A A x∈ − es infinito,

entonces existe 1 1 0 tal que x A x x∈ ≠ y entonces como { }1 0,A x x− es infinito, existe

2 2 tal que con 0,1ix A x x i∈ ≠ = .

En general, definimos { }0 1, ,..., kx x x y tenemos que { }0 1, ,..., kA x x x− es infinito así que existe 1 1 tal que con 0,1,...,k k ix A x x i k+ +∈ ≠ = . Entonces la función :f A→¥

dada por ( ) { }if i x= es una biyección entre { }0 1 y , ,..., ,...nx x x A⊂¥ por tanto dicho subconjunto de A es numerable que es al conjunto infinito numerable que buscábamos.


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Ejemplo 0.7 Si A es infinito y B es numerable entonces A es coodinable con A B∪ Demostración Por la proposición de Cantor-Bernstein, basta encontrar una función inyectiva de en A A B∪ y otra inyectiva de en A B A∪ . Para la primera la inclusión es una función inyectiva :inc A A B→ ∪ ( ) ( )Card A Card A B⇒ ≤ ∪ . Para encontrar una función inyectiva :g A B A→∪ . Como A es infinito (ver ejercicio 6) tiene un subconjunto infinito numerable que llamaremos C. Entonces como B y C son numerables C B∪ es numerable lo que implica

( ) ( ) ( ) y Card C B Card Card C C B C= = ⇒∪ ¥ ∪ son coordinables luego existe una función 0 :g C B C→∪ biyectiva Consideremos la siguiente función:

:g A B A→∪ dada por :

( )( )

( )0

si \

si

a a A C Bg a

g a a C B

∈= ∈

∪∪

( )0

0

que

por ser inyectiva

a b

g a b b C

a b g

⇒ =⇒ = ⇒ ∈

⇒ =

entonces g es inyectiva, y por tanto ( ) ( )Card A B Card A≤∪ luego son iguales y los conjuntos son coordinables. Ejemplo 0.8 Sea n un entero positivo. Sean A un conjunto y a0 un elemento de A. Entonces ( ) { }01 ( )Card A n Card A a n= + ⇔ − = Demostración Tenemos que probar que existe una correspondencia biyectiva f entre A y el conjunto { }1,..., 1n + si, y solamente sí, existe una correspondencia biyectiva

del conjunto { } { }0 con 1,...,A a n− . Supongamos en primer lugar, que existe una correspondencia biyectiva g { } { }0: 1,...,g A a n− → Definimos entonces una función: { }: 1,..., 1f A n→ + de la forma:

( ) ( ) { }( )

0

0

si

1

f x g x x A a

f a n

= ∈ −

= +

es claro que f es biyectiva. Recíprocamente: Supongamos que existe una correspondencia biyectiva :

( )( )

( )

( )( )

( )

0

0

si \

si

si \

si

a a A C Bg a

g a a C B

b b A C Bg b

g b b C B

∈= ∈

∈= ∈

∪∪

∪∪


- 20 -

{ }: 1,..., 1f A n→ + i) Si f asocia a0 al número n+1, todo es especialmente sencillo; en este caso, la restricción { }0

|A af − nos da la correspondencia biyectiva buscada entre { }0A a− y

{ }1,...,n .

ii) En caso contrario sea ( )0f a m= y sea a1 el punto de A tal que ( )11n f a+ = . Entonces 1 0a a≠ Definimos una nueva función:

{ }: 1,..., 1h A n→ + Mediante:

( )( )( ) ( ) { }

0

1

1 0

1

para ,

h a m

h a n

h x f x x A a a

=

= +

= ∈ −

De esta forma h es biyectiva y está comprendida en el caso i) luego la restricción

{ }0|A ah − es la biyección buscada entre { } { }0 y 1,...,A a n−

Ejemplo 0.9 Sea A un conjunto de cardinal n para algún n +∈¢ . Sea B un subconjunto propio de A. Entonces el cardinal de B es distinto de n Si B φ≠ Entonces existe algún m n< tal que el cardinal de B es m. Demostración Tenemos que probar que no existe biyección alguna { }: 1,...,g B n→ .

Pero si B φ≠ sí existe una biyección { }: 1,...,h B m→ para algún m n< . El caso de que B es vacío es trivial, ya que no puede existir una biyección entre el conjunto vacío B y un conjunto no vacío { }1,...,n . Demostraremos la afirmación por inducción. Sea C el subconjunto de +¢ formado por aquellos entero n para los cuales la afirmación es cierta. Vamos a probar que C es inductivo C +⇒ = ¢ y por lo tanto la afirmación es cierta para todo entero positivo. En primer lugar demostramos la afirmación para 1n = .En este caso A está formado por un único elemento { }a y su único subconjunto propio B es el conjunto vacío. Supongamos ahora que el teorema es cierto para n; vamos a ver que también lo es para 1n + Sea { }: 1,..., 1f A n→ + una biyección y sea B un subconjunto propio no vacío de A. Elegimos un elemento a0 de B y un elemento de 1 de a A B− y aplicando lo del ejemplo anterior, podemos deducir que existe una biyección: { } { }0: 1,...,g A a n− → Por otro lado, { }0B a− es un subconjunto propio de { }0A a− , ya que a1 pertenece a

{ }0A a− y no a { }0B a− . Como la afirmación se supone cierta para el entero n, podemos concluir lo siguiente:


- 21 -

1) No existe ninguna biyección { } { }0: 1,...,h B a n− →

2) Bien { }0B a φ− = , bien existe una biyección

{ } { }0: 1,..., para algún k B a p p n− → < El ejercicio anterio junto 1), implica que no existe ninguna biyección entre B y { }1,..., 1n + Esto completa la primera mitad del resultado al que queremos llegar.

Para demostrar la segunda parte, obsérvese que si { }0B a φ− = , existe una biyección

entre B y el conjunto { }1 , mientras que si { }0B a φ− ≠ , podemos aplicar lo del ejercicio anterior, junto con 2) , para concluir que existe una biyección entre B y { }1,..., 1p + . En cualquiera de los casos, va a existir una biyección de B con { }1,...,m para algún 1m n< + , tal como se buscaba. El principio de inducción demuestra que la afirmación es cierta para todo n +∈¢ . Ejemplo 0.10 Si A es un conjunto finito, no existe ninguna biyección de A con un subconjunto propio de sí mismo. Demostración Supongamos que B es un subconjunto propio de A y que :f A B→ es una biyección. Por hipótesis existe una biyección { }: 1,...,g A n→ para algún n.

La composición 1g f −o es, por tanto, una biyección entre B y { }1,...,n . Esto contradice la afirmación del ejemplo anterior Ejemplo 0.11 Un conjunto es infinito si y solo sí es coordinable con un conjunto propio. Demostración Sea A un conjunto infinito, primero observemos que por el ejemplo 6 tiene un subconjunto infinito numerable que llamamos B. Sea C A B= − entonces hay tres posibilidades: 1) Que C φ= Quiere decir que A B= y como B es numerable por construcción ⇒ A numerable ( ) ( )Card N Card A⇒ = pero ya vimos que todo subconjunto (propio)

de una numerable es numerable ( ) ( ) si A A Card A Card′ ′⇒ ⇒ = ⇒¥Ü que A y

A’ son coordinables 2) Que C sea finito φ≠ . Si C es finito entonces A C B= ∪ por ser unión de dos numerables es numerable ( ) ( ) ( )Card A Card Card B⇒ = =¥ es decir que A es

coordinable con el conjunto B AÜ

3) Que C sea infinito, como B es numerable ⇒ (ver ejemplo 7) que C es coordinable con C B A=∪ . Recíprocamente Sea A un conjunto coordinable con un subconjunto propio.


- 22 -

Si A fuera finito tenemos una contradicción con lo probado en el ejemplo 10 luego A tiene que ser infinito. Proposición 0.16 El conjunto de las partes finitas de los naturales que anotamos

( )F ¥P es numerable.

( ) { }: es finitoF A A= ⊂¥ ¥P Demostración Definimos: ( ) ( ){ }:n A Card A n= ⊂ =¥ ¥P entonces ( ) ( )F n

n∈

=¥

¥ ¥∪P P

alcanza con probar que ( ) nn∀ ∈¥ ¥P es numerable y para ello definimos la siguiente función: ( ): n

n nϕ →¥ ¥P como sigue: Si ( )nA∈ ¥P entonces { }

1 2, ,...,

ni i iA a a a= y definimos nϕ como la función que a

cada n-upla le corresponde la n-upla ordenada en forma creciente, es decir: ( ) ( )1 1 2,..., con ...n n nA a a a a aϕ = ≤ ≤ ≤

Claramente nϕ es inyectiva ya que si A y B son conjuntos con n elementos

{ }( ) ( )1 1 1,..., ,..., con ...n i in n na a a a a aϕ = ≤ ≤

{ }( ) ( )1 1 1,..., ,..., con ...

nn i i n nb b b b b bϕ = ≤ ≤ entonces ( ) ( ) { } { }

1 11 1,..., ,..., ,..., ,...,n nn n i i i ia a b b a a b b= ⇒ =

o sea A = B y como n¥ es numerable ( )n⇒ ¥P es numerable ⇒ la unión numerable de numerables es numerable por la proposición anterior. ( ) es numerableF⇒ ¥P Corolario 0.17 Las partes finitas de un conjunto A numerable es numerable. ( ) { }: es finitoF A X A X= ⊂P Demostración igual que el teorema definimos: ( ) ( ){ }:n A X A Card X n= ⊂ =P y ( ): inyectivan

n n A Aϕ →P


- 23 -

como nA es numerable ( )n A⇒ P es numerable y como la unión de una cantidad numerable I de conjuntos numerables es numerable. ( ) ( ) (e numerable)F n

n I

A A I I∈

= ⊂ ⇒¥∪P P

es numerable. Corolario 0.18 Las partes infinitas de los naturales es no numerable ( ) { }: es infinitoA A∞ = ⊂¥ ¥P Demostración Si fuera numerable como: ( ) ( ) ( ) sería numerableF ∞=¥ ¥ ∪ ¥P P P Y ya vimos que es no numerable. De la anterior proposición se desprende que el cardinal de las partes infinitas de los naturales (conjunto potencia de los naturales ) no es igual al de los naturales y lo que demostraremos a continuación es que dicho cardinal es igual al cardinal de los números reales. Pero con dicho propósito antes demostraremos algunos teoremas previos. El primero de ellos hace referencia a la posibilidad de escribir cualquier número real entre 0 y 1 como una serie. Dependiendo de una sucesión de ceros y unos (notación binaria del real en cuestión) Lema 1 Sea ( ]0,1t ∈ entonces existe una sucesión { }: 1ka k ≥ donde { }0,1ka ∈ para todo k y tal que:

1 2

kk

k

at

∞

=

= ∑

salvo que para algunos reales esa descomposición no es única Por ejemplo.

2 4

2 5 6

1 12 2

1 1 1 12 2 2 2

0 050 0 0 ... ...16 n

+ + += + + + + + + + +

Hay dos formas de elegir la sucesión

{ }0,1,0,1,0,0,0,0,....

0,1,0,0,1,1,1,1,1,...ka=

pero una de ellas es finita. Es decir:

Si { }1 1

con , 0,12 2

k kk kk k

k k

a bt a b

∞ ∞

= =

= = ∈∑ ∑ y { } { }k ka b≠ ⇒ no son la misma sucesión

⇒ que existe 0n tal que:


- 24 -

0 0

0 0

0 y 1

o

0 y 1

k k

k k

a k n b k n

b k n a k n

= ∀ > = ∀ > = ∀ > = ∀ >

⇒

{ }{ }

{ }{ }

0

0

...........1,0,0,0,0.....

...........0,1,1,1,1,1,.....

o

...........0,1,1,1,1,1,....

............1,0,0,0,0,....

n

k

k

n

k

k

a

b

a

b

=

=

=

=

64748

64748

Demostración Si 1

20 t< < se define 1 0a =

Si 12 1t≤ ≤ se define 1 1a =

En ambos caso se verifica:

1 10

2 2a

t≤ − ≤

ahora definimos 2a

1

21

10 si 0

2 41 1

1 si 4 2 2

at

aa

t

≤ − <= ≤ − ≤

entonces en ambos casos:

1 22 2

10

2 2 2a a

t≤ − − ≤

Y así sucesivamente tenemos { }1 2, ,..., 0,1na a a ∈ tales que:

1

10

2 2

nkk n

k

at

=

≤ − ≤∑

se define 1na + como:

1

11

n+11

10 si 0

2 2

1 11 si

2 2 2

nkk n

kn n

kk n

k

at

aa

t

+=

+

=

≤ − <= ≤ − ≤

∑

∑

en ambos casos:

{

1

11

0

10

2 2

nkk n

k

at

+

+=

→

≤ − ≤∑

por lo tanto

1

1 1

02 2

nk kk k

k k

a at t

+ ∞

= =

− → ⇒ =∑ ∑


- 25 -

Lema 2 Si { } { }1 1

y 2 2

k kn n k k

k k

a ba b t

∞ ∞

= =

≠ = =∑ ∑ entonces tenemos que probar que existe

0n tal que:

0 0

0 0

1 y 0

o

0 y 1

k k

k k

b k n a k n

b k n a k n

= ∀ > = ∀ > = ∀ > = ∀ >

Demostración Sea { }0 min : k kn k a b= ≠ se puede suponer sin perder generalidad que

0 01 y 0n na b= =

Sea

}

{

0

0

1

1 2

1 2

0

....... .....

....... .....

n

n

aa a

b b b

=

=

P P ,

Tenemos que:

}

}

{

00

0

0

0 0

0 0

0 0

0

002

0

1

1 1 1

11 1

1 1 1 1(1)

1

1 1 1(2)

1

2 2 2 2

1

2 2 2 2

12 2 2 2

2

k

ann

nnk k knk k k

k k k n

bn n

k k kk k k k

k k n k k n

n nk k k

nk k kk k k

kk

k

bb b b

a b a

a a a

b

↓

↓

=

−∞ ∞

= = = +

≤− −∞ ∞

= = + = = +

− ∞

= = =

=

∞

=

= + + =

= + ≤ +

= + = ≤ =

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

Lo que implica que todas las desigualdades son igualdades y entonces: ( )( )

0

0

1 1

2 0 k

k

b k n

a k n

⇒ = ∀ >

⇒ = ∀ >

Si hubiésemos supuesto que era 0 0

0 y 1n na b= = hubiéramos llegado a:

0

0

0

1 k

k

b k n

a k n

= ∀ >= ∀ >


- 26 -

Lema 3 ( ]( ) ( )( )0,1Card Card ∞= ¥P

Demostración Para la demostración lo que haremos es definir una función biyectiva entre dichos conjuntos. Para ello usamos los lemas 1 y 2 que quieren decir que todo número entre 0 y 1 se escribe en notación binaria como una sucesión infinita de ceros y unos. A este número binario le asociamos el conjunto de los índices correspondientes a los lugares en que lleva un uno su desarrollo binario. Que claramente es un subconjunto de las partes infinitas de los números naturales. Consideremos la siguiente función:

( ] ( ): 0,1ϕ ∞→ ¥P definida de la siguiente forma:

Si ( ]0,1t ∈ entonces existe una única sucesión { }ka tal que { }: 1kk a = es infinito siendo

1 2

kk

k

at

∞

=

= ∑

Siempre hay una ya que si hay una finita tal que:

1

, 12

nk

nkk

at a

=

= =∑

definimos

1

donde

0 , 1 2k kk

kk n k

b a k nbt

b b k n

∞

=

= ∀ <=

= = ∀ >∑

definimos: ( ) { } ( ): 1kt k aϕ ∞= = ∈ ¥P Por ejemplo:

2 4

2 5 6 45

5 1 10 0

16 2 25 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 ...16 2 2 2 4 2 4 2k

k

∞

=

= + + +

= + + + + + + = + = +∑ ( ) { }2,5,6,7,8,.....tϕ⇒ =

( ) ( ) es inyectiva ya que si t sϕ ϕ ϕ= sea { } tal que:ka

( )( ) 1

1 si

0 si 2k k

kkk

a k t at s

a k t

ϕϕ

∞

=

= ∈⇒ = =

= ∈ ∑

además es sobreyectiva ya que si ( ) { } sea tal que:kA a∞∈ ¥P

1

1 si y sea

0 si 2k k

kkk

a k A at

a k A

∞

=

= ∈=

= ∉ ∑

Como los ka son infinitos 1

2

11 1 2

11 1

2 2k

k k kk k

aa k

∞ ∞

= =

⇒ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ = =∑ ∑¥ es decir que

la serie converge en (0,1] ( ] ( )0,1t A tϕ⇒ ∈ ⇒ = .


- 27 -

Proposición 0.19 El cardinal del conjunto potencia de los naturales es el del continuo. Es decir ( ) ( )( )Card Card=¡ ¥P

Demostración Primero se demuestra que ( ) ( ]( )0,1Card Card=¡ por medio de una

función apropiada; por ejemplo por medio de la función tany x= que es biyectiva para ( )2 2,x π π∈ − se tiene que:

( ) ( )2 2,Card Card π π= −¡ Luego por medio del segmento de recta ( )( ) ( ]( )2 2, 0,1Card Cardπ π− =

Por el ejemplo 0.7 se tiene que un conjunto es infinito si, y solamente sí, es coordinable con un subconjunto propio

( ) ( )( ) ( )( ) es infinito Card Card ∞⇒ ⇒ =¥ ¥ ¥P P P Ya que ( ) ( ) ∞ ¥ ¥ÜP P y como por la proposición anterior: ( ]( ) ( )( )0,1Card Card ∞= ¥P

( ]( ) ( )( )

( ]( ) ( )( ) ( )( )

0,1

y

0,1

Card Card

Card Card

Card Card

= ⇒ ==

¥¡ ¥

¡

PP

Ejemplo practico Sea la familia de intervalos de extremos racionales F [ ]{ }, : ,F a b a b= ∈¤ Definimos la función : Fϕ → ×¤ ¤ de la siguiente manera: [ ]( ) ( ), ,a b a bϕ = ∈ ×¤ ¤ Es decir que a cada intervalo de extremos a,b le asociamos la pareja ordenada (a,b) Dicha función es inyectiva ya que


- 28 -

[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ), , o , , , ,

a a

a b a b a b a b a b a b

b b

ϕ ϕ

′≠′ ′ ′ ′ ′ ′≠ ⇒ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ′≠

y como ¤ es numerable ⇒ que el producto cartesiano ×¤ ¤ es numerable Tenemos una función inyectiva del conjunto F a un conjunto numerable, como la función es biyectiva sobre su imagen, que es un subconjunto de uno numerable, luego numerable; entonces como podemos definir una biyección de F a un conjunto numerable, este F es numerable.

Capítulo 1

Espacios Métricos Definición 1.1 Sea E un conjunto no vacío una distancia o métrica es una función

:d E E× → ¡ tal que verifica: 1) ( ), 0 ,d x y x y E≥ ∀ ∈ 2) ( ), 0d x y x y= ⇔ =

3) ( ) ( ), , ,d x y d y x x y E= ∀ ∈

4) ( ) ( ) ( ), , , , ,d x z d x y d y z x y z E≤ + ∀ ∈ desigualdad triangular

Al par ( ),E d le llamamos espacio métrico Definición 1.2 Sea E en las mismas condiciones que antes pero sin la propiedad 2, es decir se puede dar el caso en que la distancia es cero y no se trate de la identidad, llamamos en dicho caso seudo distancia o seudo métrica. Ejemplo 1.1 Si ( ) y ,E d x y x y= = −¡ es una métrica. Ejemplo 1.2 Sea ( ) ( )1 1 ,..., , , ...,n

n nE x x x y y y= = =¡ entonces podemos definir la siguiente distancias 1) Distancia taxi

( )11

,n

i ii

d x y x y=

= −∑

2) Distancia euclidiana

( ) ( )1

22

21

,n

i ii

d x y x y=

= − ∑

3) Distancia del máximo


- 30 -

( ) { }1,...,, max i n i id x y x y∞ == −

Ejemplo 1.3 Distancia discreta Dado E φ≠ definimos

( )0 si

,1 si

x yd x y

x y

== ≠

fácilmente se comprueba que es una métrica. Ejemplo 1.4 Distancia indiscreta Dado E φ≠ definimos ( ), 0 ,d x y x y E= ∀ ∈ Ejemplo 1.5 Sea [ ] [ ]{ }, : , / es continuaE C a b f a b f= = →¡ ¡ entonces definimos la distancia que llamamos distancia infinito o del supremo de la siguiente manera: ( ) [ ] ( ) ( ){ },, supx a bd f g f x g x∞ ∈= −

Cumple con las propiedades 1,2, 3 [ ],x a b∀ ∈ y [ ], , ,f g h C a b∈ ¡ la propiedad 4 se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x h x g x f x h x h x g x− = − + − ≤ − + −

y los supremos también cumplen dicha desigualdad luego se cumple la desigualdad triangular La distancia del supremo se puede definir para el espacio de las funciones continuas en el intervalo [ ],a b siendo [ ]: ,f a b → £ (complejos) representamos dicho

conjunto como [ ],C a b .

Sea ( ) { }( ) { },

: cont. y acotadas

: cont. y acotadasb

b

E C f

C f

= = →

= = →¡

¡ ¡ £¡ ¡ ¡

Definimos la distancia igual que antes: ( ) ( ) ( ){ }, sup xd f g f x g x∈= −¡

Dicha definición es consistente ya que: Si ( ) ( )

( ) ( )1

2

es tal que

y tal que

f x f x M x

g x g x M x

≤ ∀ ∈

≤ ∀ ∈

¡¡

Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x g x f x g x M M x− ≤ + ≤ + ∀ ∈¡ y esto implica que

( ) ( ) está acotado tiene supremof x g x− ⇒

Topología General Espacios Métricos - 31 -

- 31 -

Observación 1.1 Para un mismo conjunto podemos tener distintos espacios métricos asociados, según la métrica que estemos considerando, así si la métrica es la indiscreta al espacio llamamos indiscreto, si la métrica es la discreta al espacio llamamos discreto, si la métrica que estamos considerando es la euclidea al espacio llamamos euclideo. Definición 1.3 Sea V un espacio vectorial sobre ( ) o K ¡ £ una norma sobre el

espacio vectorial es una función :V → ¡ que cumple con las siguientes propiedades: 1) 0 y 0 0x x V x x≥ ∀ ∈ = ⇔ ≡

2) , y x x K x Vλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈

3) ,x y x y x y V+ ≤ + ∀ ∈ Definición 1.4 Tenemos un espacio vectorial normado cuando sobre el espacio vectorial tenemos definida una norma. Ejemplo 1.6 El producto interno , en V nos define una norma mediante la siguiente relación:

( )1

2,x x x= Observación 1.2 Todo espacio V vectorial normado se transforma en un espacio métrico por medio de la distancia definida de la siguiente forma: ( ), ,d x y x y x y V= − ∀ ∈ Demostración

( ), 0 por definición de normad x y y x= − ≥

( ), 0 0 0d x y y x y x x y= ⇒ − = ⇔ − = ⇔ =

( ) ( ) ( ), 1 ,d x y y x x y x y x y d y x= − = − − = − − = − =

( ) ( ) ( ), , ,d x z z x z y y x z y y x d y z d x y= − = − + − ≤ − + − = + Definición 1.5 Sea ( )1 ,...,n

nx x x x∈ =¡ definimos las siguientes tres normas: 1)

1

1

n

ii

x x=

= ∑

2)

1

22

21

n

ii

x x=

= ∑


- 32 -

3) { }max : 1,...,ix x i n∞ = =

Todos son normas que inducen las respectivas distancias 1 2, ,d d d∞ con la igualdad.

( ),d x y y x= − Ejemplo 1.7

[ ],a b£ es un £ espacio vectorial con las operaciones punto a punto o sea si

[ ] ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ), , definimos :

f g a b f g x f x g x

f x f xλ λ

∈ + = +

=

£

entonces: [ ] ( ){ },supx a bf f x∈=

es una norma en [ ],a b£ que induce la distancia habitual.

La misma vale en [ ] ( ) ( ),, , ,b ba b¡ ¡£ £ ¡ £ ¡

Sea 1l el conjunto de las sucesiones complejas { }nx

1¡l el conjunto de las sucesiones reales .

Tales que nx < ∞∑ (convergen) 1l es un espacio vectorial con las operaciones

{ }{ }

( )( )

1

1 n

n nnn

nn

x xx y x y

y yx xλ λ

λ

= ∈+ = +

= ∈=

∈

ll

£

como n n n nx y x y+ ≤ + < ∞∑ ∑ ∑

y n nx xλ λ= < ∞∑ ∑

está bien definida Y se define nx x= ∑

que es una norma en 1l Ejemplo 1.8 Sea ∞l el conjunto de las sucesiones complejas acotadas ∞

¡l el conjunto de las sucesiones reales acotadas ∞l es un espacio vectorial sobre los complejos ( ∞

¡l sobre los reales) con las operaciones definidas de la misma forma que en el ejemplo anterior


- 33 -

{ }{ }

( )( )

n

n nnn

nn

x xx y x y

y yx xλ λ

λ

∞

∞

= ∈+ = +

= ∈=

∈

ll

£

Definimos { }sup si n n nx x x x∈∞ = =¥

entonces si { } { } e n nx x y y= =

n n n nx y x y x y∞ ∞+ ≤ + ≤ +

como dicha igualdad se cumple para todo n, en particular se debe cumplir para el supremo: sup n nx y x y x y∞ ∞⇒ + = + ≤ +

Lo que implica que es una norma. Definición 1.6 Sea ( ),E d un espacio métrico, , 0x E ε∈ > llamamos bola abierta de centro x y radio ε al siguiente conjunto: ( ) ( ){ }: ,B x y E d x yε ε= ∈ <

Que también anotamos ( ),B x ε Ejemplo 1.9 En n¡ ( )1lB xε ( )2lB xε ( )lB xε

∞


- 34 -

Si tomamos las funciones continuas en [ ],a b , [ ] [ ], , ,C a b f C a b∈¡ ¡

( )( ) [ ] [ ] ( ) ( ){ },, : max x a bB f x g C a b f x g xε ε∈= ∈ − <¡

f ε+ f f ε− a b Si ( )( ) [ ] ( ) ( ), g B f x x a b f x g xε ε∈ ⇒ ∀ ∈ − < y el gráfico de g cae en la zona

rayada limitad por y f fε ε+ − . Ejemplo 10 Espacio discreto Sea ( ),E d con la distancia discreta es el espacio que llamaremos discreto, es decir:

( )1 si

,0 si

x yd x y

x y

≠= =

Sea ( ) ( ){ },2 : , 2B x y E d x y E= ∈ < =

( ), si 1B x Eε ε∴ = >

Sea ( ) ( ){ } { },1 : , 1B x y E d x y x= ∈ < =

( ) { }, si 1B x xε ε∴ = ≤ Es decir que las bolas son todo el espacio o los puntos. Proposición 1.1 Dado una espacio métrico ( ),E d , , 0x E ε∈ > ,sea la bola ( ),B x ε .

Si ( ),y B x ε∈ entonces :

( ) ( )0 tal que , ,B y B xδ δ ε∃ > ⊂ Demostración Sea ( ),d x yδ ε≤ − entonces

Si ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,z B y d x z d x y d y zδ

δ<

∈ ⇒ ≤ + 123

( ) ( ), ,d x z z B xε ε⇒ < ⇒ ∈

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x z d x y d x y d x yδ ε ε⇒ < + ≤ + − =

( ) ( ), ,B y B xδ ε∴ ⊂

y x δ ε


- 35 -

Definición 1.7 Dado un espacio métrico ( ),E d y un subconjunto , F E F φ⊂ ≠ Entonces la restricción de a d F F× o sea: | :F Fd F F× × → ¡ esto es una métrica que llamaremos métrica relativa Observación 1.3 Si ( ), 0, sea ,Fx F B xε ε∈ > la bola con la métrica relativa y sea: ( ),EB x ε la bola con la métrica en E entonces: ( ) ( ), ,F EB x B x Fε ε= ∩ Ya que:

( ) ( ){ } ( ){ } { }, : , : ,FB x y F d x y y E d x y y Fε ε ε= ∈ < = ∈ < ∈∩

Ejemplo 1.11 Así por ejemplo si en R con la métrica habitual [ )0,1F =

Si [ ) ( ) [ ) ( ) ( )1 1 1 1 12 2 2 2 20,1 0, 0, y 0, ,Fx B B∈ = = −¡

Entonces: [ ) [ ) ( )1 1 1

2 2 20, 0,1 ,= −∩ Definición 1.8 Sea ( ),E d un espacio métrico y A E⊂ no vacío, decimos que A es un conjunto abierto si: ( ) 0 tal que ,x xx A B x Aε ε∀ ∈ ∃ > ⊂ En el caso que A es vacío lo definimos como abierto. Corolario 1.2 Las bolas abiertas en un espacio métrico cualquiera son conjuntos abiertos Demostración Es consecuencia inmediata de la proposición anterior. Ejemplo 1.12 En los espacios discretos todo conjunto A E⊂ es abierto ya que si x A∈ entonces: ( ) { },1B x x A= ⊂ Ejemplo 1.13

En [ ] [ ] ( ){ }0,1 0,1 : 0 0A f f= ∈ >¡ ¡£ £ si f A∈ tomando ( )0

02

fε = >

tenemos ( ) ( ), ya que si ,B f A g B fε ε⊂ ∈ ⇒ por definición que:

[ ] ( ) ( ){ } ( ) ( )0,1max (en particular) 0 0x f x g x f gε ε∈ − < ⇒ − <


- 36 -

o sea ( ) ( )0 0f gε ε− < − <

( ) ( )0 0f gε− < y si tomamos

( ) ( ) ( )0 00 0

2 2

f fg g Aε = ⇒ < < ⇒ ∈ por definición de A luego

( ),B f Aε ⊂ Proposición 1.3 Sea ( ),E d un espacio métrico entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1) y E φ son abiertos 2) Si { } I

Aα α∈ es una familia de subconjuntos abiertos de E entonces:

es abiertoI

Aαα∈

⇒ ∪

3) Si 1 2, ,..., nA A A son una cantidad finita de subconjuntos abiertos de E entonces:

1

es abierton

kk

A=∩

Demostración 1) ( ), , 0 es abierto B x E x E Eε ε⊂ ∀ ∈ > ⇒

es abierto por definiciónφ .

2) 00Si tal que

I

x A I x Aα αα

α∈

∈ ⇒ ∃ ∈ ∈∪ que es abierto, luego

( ) ( )0 0

0 tal que , como ,I I

B x A A A B x Aα α α αα α

ε ε ε∈ ∈

∃ > ⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⊂∪ ∪ o sea que

es abiertoI

Aαα∈∪

3) ( )1

Si con abierto 1,..., tal que ,n

k k k k k kk

x A x A A k n B x Aε ε=

∈ ⇒ ∈ ∀ = ⇒ ∃ ⊂∩ sea

{ } ( ) ( )min : 1,..., , , 1,...,k k kk n B x B x A k nε ε ε ε= = ⇒ ⊂ ⊂ ∀ = ( )1

,n

kk

B x Aε=

⇒ ⊂ ∩

1

es abierton

kk

A=

∴∩

Proposición 1.4 Sea ( ),E d un espacio métrico y A E⊂ no vacío entonces A es abierto si y solo sí, es unión de bolas abiertas.


- 37 -

Demostración ⇐ ya vimos que la unión de bolas abiertas es un conjunto abierto. ⇒ Si A es abierto ( ) si , xx A B x Aε⇒ ∈ ∃ ⊂ y nos tomamos:

( ), xx A

B x Aε∈

⊂∪

además como si ( ) ( ), ,x xx A

x A x B x x B xε ε∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈∪

( ), xx A

A B x ε∈

⇒ ⊂ ∪

( ), xx A

A B x ε∈

∴ = ∪

es decir que ( ) es abierto , x

x A

A A B x ε∈

⇔ = ∪

Proposición 1.5 Sea ( ),E d un espacio métrico y un F E⊂ subconjunto, A F⊂ es abierto con la métrica relativa ( abierto en F) si y solo sí A U F= ∩ donde U es abierto en E. Demostración Se sabe que ( ) ( ), , , 0F EB x B x F x Fε ε ε= ∀ ∈ >∩

Si A es abierto en F ( ),F

I

A B xα αα

ε∈

⇒ = ∪ por teorema anterior

( )( ) ( )

abierto en

, ,E E

I I

U E

A B x F B x Fα α α αα α

ε ε∈ ∈

=

= =∩ ∩1442443

∪ ∪

luego con abierto en A U F U E= ∩

( ) Si es abierto ,E

I

U E U B xα αα

ε∈

⇐ ⊂ ⇒ = ⇒∪

( ) ( )( ) ( ), , ,E E F

I I I

A U F B x F B x F B xα α α α α αα α α

ε ε ε∈ ∈ ∈

= = = =∩ ∩ ∩∪ ∪ ∪ que es abierto

en F. Ejemplo 1.14 Sea E = ¡ con la métrica habitual y [ ) ( )0,1 2,3F = ∪ 0 1 2 3

[ )0,1A = es abierto en F ya que


- 38 -

( ){abierto en

1,1E

A F= − ∩

( )2,3 es abierto ya que

( ) ( ){abierto en

2,3 2,3E

F= ∩

Definición 1.9 Sea ( ),E d un espacio métrico y el subconjunto A E⊂ se dice que A

es cerrado si CA es abierto ( C \A E A= ). Ejemplo 1.15 Como en el ejemplo anterior [ )0,1 es abierto en F y su complemento que es ( )2,3 es por definición es cerrado. Al igual que el complemento de ( )2,3 que es [ )0,1 ambos son abiertos y cerrados es decir abierto no es oposición de cerrado. Proposición 1.6 Sean d1 y d2 dos métricas en E las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1) Todo abierto en ( )1,E d es abierto en ( )2,E d 2) Dados 0, existe 0 tal que x Eε δ> ∈ >

( ) ( )2 1, ,d dB x B xδ ε⊂ Demostración 1) ⇒ 2) ( )1 ,dB x ε es abierto con 1d ⇒ que es abierto con d2 ⇒ por definición de abierto ( ) ( ) ( )1 2 1Si , 0 tal que , ,d d dx B x B x B xε δ δ ε∈ ⇒ ∃ > ⊂ como se quería. 2) ⇒ 1) Sea ( )1 abierto en ,A E E d⊂ lo que quiere decir por definición que: para cada elemento x de A 0 tal que xε∃ >

( )1 ,daB x Aε ⊂

y además ya vimos que ( )1 ,d

xx A

A B x ε∈

= ∪

entonces aplicando la hipótesis 2) para cada 0 tal que xx A δ∈ ∃ >

( ) ( )2 1, ,d dx xB x B xδ ε⊂

entonces ( ) ( )2 1, ,d d

x xx A x A

B B x B x Aδ ε∈ ∈

⇒ ⊂ =∪ ∪

por otro lado


- 39 -

( ) ( )2 2, ,d dx x

x A

x A x B x A B xδ δ∈

∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ ∪

luego ( )2 ,d

xx A

A B x δ∈

= ∪

lo que quiere decir que A es abierto en ( )2,E d . Este teorema nos lleva a realizar las siguientes definiciones. Definición 1.10 Dos métricas d1 y d2 en un mismo conjunto E decimos que son métricas equivalentes si : 1 2 es abierto en es abierto en A E d d⊂ ⇔ Ejemplo 1.16 Las métricas 1 2, y d d d∞ son equivalentes en 2¡ ( )2 ,dB x ε Demostración

2Dado 0 tal que xε δ ε> ∃ = ∀ ∈¡ ( )1 ,dB x ε x

( ) ( )1 2, ,d dB x B xδ ε⊂

Ya que si

( ) ( )11

1 1 2 2

, ,

dy B x d x y

y x

y x y x

δ δ

δ

δ

∈ ⇒ <

− <

− + − <

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2y x y x y x y x y x y x ε− + − ≤ − + − = − + − < y

entonces

( ) ( ) ( )1

22 22

2 11 1

, ,i i i ii i

d x y y x y x d x y ε= =

= − ≤ − = < ∑ ∑

Luego ( ) ( ) ( )2 1 2, , ,d d dy B x B x B xε ε ε∈ ⇒ ⊂

Entonces por proposición anterior tenemos que: Todo abierto en ( )2,E d es abierto en ( )1,E d ( )1 ,dB x ε Y recíprocamente x

Dado 0, 0 tal que 2

nxε

ε δ> ∈ = >¡ ( )2 ,dB x δ

( ) ( )2 1, ,d dB x B xδ ε⊂

ya que si ( ) ( )22, ,dy B x d x yδ δ∈ ⇒ <


- 40 -

( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 2,

2d x y y x y x

εδ= − + − < = entonces se prueba analíticamente que

( ) ( )11 1 2 2 1 , ,dy x y x d x y y B xε ε ε− + − < ⇒ < ⇒ ∈ como queríamos demostrar.

Observando lo que probamos es que dado un cuadrado podemos encontrar una bola dentro del mismo como en la figura Luego los abiertos en ( )1,E d son abiertos en ( )2,E d 2

1 2 en d d∴ ∼ ¡ en n¡ es totalmente análogo. Análogamente se demuestra que 2 1 o d d d d∞ ∞∼ ∼ ya que se puede inscribe un cuadrado en una circunferencia o en un cuadrado. 2dB dB ∞

dB ∞ 1dB Ejemplo 1.17 Si E = ¢ y sea 1d la distancia relativa a la euclidea y 2d la métrica discreta.

{ } 2 es abierto en con n d¢ ya que:

( ) { }2 , si 1dB x xε ε= < pero también es abierto con 1d ya que:

{ } ( )1 12 2

abierto en

,n n n= − +¡

∩ ¢1442443

Si { } y a A

A A A aφ∈

⊂ ≠ =¢ ∪ es abierto por ser unión de abiertos.

Entonces los abiertos con 1d son todos los subconjuntos de ¢ , y con 2d también. Por la tanto 1 2, y d d son métricas equivalentes. Ejemplo 1.18 Sean ( ) ( ), y ,E FE d F d dos espacios métricos y 1 2, y d d d∞ las métricas en E F× dadas por:


- 41 -

( ) ( )[ ] ( ) ( )1 , , , , ,E Fd e f e f d e e d f f′ ′ ′ ′= +

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )1

2 2 22 , , , , ,E Fd e f e f d e e d f f ′ ′ ′ ′= +

( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }, , , max , , ,E Fd e f e f d e e d f f∞ ′ ′ ′ ′=

es fácil ver de que se trata de distancias métricas, vamos a probar de que son equivalentes.

( ) ( )1 , ,d dB e f B e fε ε∞⊂

ya que si E Fd d ε+ < cada una es menor que ε y

( ) ( )2 , ,d dB e f B e fε ε∞⊂

ya que si:

( )( ) ( )( )1

2 2 2, ,E Fd e e d f f ε ′ ′+ <

( )( ) ( )( )2 2 2, ,E Fd e e d f f ε′ ′⇒ + <

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 22

2 2

, , cada uno es menor que

, ,

E E

F F

d e e d e e

d f f d f f

ε εε

ε ε

′ ′< ⇒ <⇒ ⇒ ′ ′< ⇒ <

O sea que si 2d dx B x Bε ε∞∈ ⇒ ∈

Por otro lado

( ) ( )1

2, ,d dB e f B e fε ε

∞ ⊂ ya que si y 2E Fd d ε<

E Fd d ε⇒ + < y

( ) ( )2

2, ,d dB e f B e fε ε

∞ ⊂ ya que:

( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

2 2

12

12 2 2 2

2 2

,2 , ,

,2

E

E F

F

d e ed e e d f f

d f fε ε

εε ε

ε< <

′ < ′ ′⇒ + < = ′ <

14243 1442443

Entonces 1, y d d∞ son equivalentes y 2 , y d d∞ son equivalentes y por definición es transitiva 1 2, y d d son equivalentes.

1dB

dB ∞

1dB

dB ∞


- 42 -

Ejemplo 1.19

Sean ( ),i iE d espacios métricos 1 21,..., y , y i n d d d∞∀ = las métricas en 1

n

ii

E=

∏

Dadas por :

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( )( )

( ) ( )[ ] ( ){ }

1 1 11

12

2

2 1 11

1 1

,..., , ,..., ,

,..., , ,..., ,

,..., , ,..., max , : 1,...,

n

n n i i ii

n

n n i i ii

n n i i i

d e e e e d e e

d e e e e d e e

d e e e e d e e i n

=

=

∞

′ ′ ′=

′ ′ ′= ′ ′ ′= =

∑

∑

el razonamiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior solo modificamos

por y por 2 2n nε ε ε ε entonces:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

2

1

2

1 1

1 1

1 1

1 1

,..., ,...,

,..., ,...,

,..., ,...,

,..., ,...,n

n

d dn n

d dn n

d dn n

d dn n

B e e B e e

B e e B e e

B e e B e e

B e e B e e

ε

ε

ε ε

ε ε

ε

ε

∞

∞

∞

∞

⊂⊂⊂

⊂

1

2

y son equivalentes

y son equivalentes

d d

d d∞

∞

Capítulo 2

Espacios Topológicos En este capítulo introduciremos el concepto de espacio topológico, rescatando de los espacios métricos las propiedades básicas que estos cumplen. Es decir que se trata de una abstracción de los mismos. Definición 2.1 Sea X un conjunto no vacío. Una topología τ en X es una familia incluida en las partes de X ( )es decir tal que:Xτ ⊂ P 1) , X φ τ∈

2) { }Si I

I

A Aα ααα

τ τ∈∈

∈ ⇒ ∈∪

3) 11

Si ,..., n

n ii

A A Aτ τ=

∈ ⇒ ∈∩

A los miembros de τ llamamos abiertos Al par formado por τ y X llamamos espacio topológico. Ejemplo 2.1 Sea ( ),E d un espacio métrico, entonces { }: abierto en d A A Eτ = dτ es una topología por los propiedades que ya vimos se cumplen 1,2,3. Además 1 2,d d son equivalentes si y solo sí:

1 2d dτ τ=

Decimos que las métricas equivalentes inducen las misma topologías. Todo espacio métrico puede ser visto como un espacio topológico con la topología inducida por la métrica. No es casualidad que una métrica defina una topología ya que la idea es abstraer las propiedades de los espacios métricos en espacios donde no hay definida una métrica, tratamos de definir un abierto sin tener una distancia, por eso, si decimos que un conjunto es abierto en realidad estamos queriendo decir que está en la topología.


- 44 -

Definición 2.2 Sea ( ),X τ un espacio topológico se dice que τ es metrizable si existe una métrica d en X tal que: dτ τ= es una especie de recíproco del ejemplo 1 . Ejemplo 2.2 Topología discreta Dado ( ) X Xτ = P es una topología y es un caso particular del ejemplo anterior con la métrica d discreta. Es decir se si 0d es la métrica discreta en X entonces:

( )0d Xτ = P

Ejemplo 2.3 Topología indiscreta Sea ( ),X d un espacio seudométrico con d indiscreta entonces:

{ } , d Xτ φ= es una topología llamada indiscreta. Claramente no es metrizable porque no existe una métrica asociada (seudemétrica si). Ejemplo 2.4 Cofinito Sea X φ≠ la topología τ definida como:

{ } { }C: es finitoA X Aτ φ= ⊂ ∪

veremos que es una topología llamada de complementos finitos 1) , Xφ τ∈ 2) Si { }

IA Iα α τ α∈ ∈ ∀ ∈ entonces:

C

C C es finito por cada es finitoI I

A A Aα α αα α∈ ∈

= ∪ ∩

entonces:

I

Aαα

τ∈

∈∪

3) Sean 1,..., nA A τ∈ entonces:

C

C

1 =1

n n

i ii i

A A=

= ∩ ∪

que es finito por ser unión de una cantidad finito “n” de conjuntos finitos CiA

Luego:

1

n

ii

A τ=

∈∩

Además se en vez de finito ponemos numerable sigue siendo una topología

Topología General Espacios Topológicos - 45 -

- 45 -

Ejemplo 2.5 En ¢ definimos: { }: 2 2 1 A n A n A nτ = ⊂ ∈ ⇔ − ∈ ∀ ∈¢ ¢ τ es una topología ya que: Si { } y A nα τ∈ ∈¢

0

0

0Si 2 2 para algún

2 1 2 1I

I

n A n A

n A n A

α αα

α αα

α∈

∈

∈ ⇔ ∈

⇔ − ∈ ⇔ − ∈

∪∪

idem con la intersección La forma de los abiertos de { } { } { } { } { } son 1,2 , 1,2,3,4 ,..., 3,4 , 3,4,5,6 ,..., 5,6 ,..τ etc. Cada vez que un par pertenece al conjunto el anterior también y cada vez que un impar pertenece al conjunto su siguiente también, así { }5,6,11,12 es un abierto. Ejemplo 2.6 En ¡ definimos: { } { }: 0A Aτ φ= ⊂ ∈∪ ¡ también es una topología. Definición 2.3 Sea ( ),X τ un espacio topológico e Y X⊂ llamamos topología relativa en Y a: { }:Y U Y Uτ τ= ∈∩

Sea { } YIU U Y Iα αα τ τ α∈ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈∩ entonces:

( )

por ser una popología

YI I

U Y U Yα αα α

τ τ

τ∈ ∈

∈

= ∈

∩ ∩14243

∪ ∪

ídem con la intersección es un topología.Yτ⇒ Definición 2.4 Sea ( ),X τ un espacio topológica y x X N X∈ ⊂ es un entorno de x si existe un abierto U τ∈ tal que: x U N∈ ⊂ Sea xN la familia de entornos de x es decir:

{ }: es entorno de xN N X N x= ⊂ Ejemplo 2.7 Si ( ),E d es un espacio métrico, x E∈ entonces N E∈ es un entorno de x si y solo sí :


- 46 -

( )0 tal que ,B x Nε ε∃ > ⊂ Demostración ( ) Se toma ,A B x ε⇐ =

Si por definición existe un abierto tal que xN N U x U N⇒ ∈ ∈ ⊂ Como U es abierto en un espacio métrico por definición 0 tal que:ε⇒ ∃ > ( ) ( ), ,B x U B x Nε ε⊂ ⇒ ⊂ Ejemplo 2.8 Sea ( ),X τ el espacio topológico discreto xN N x N∈ ⇔ ∈ Ejemplo 2.9 Sea ( ),X τ espacio topológico indiscreto, los abiertos ya vimos que son y todo Xφ entonces: { }xN x= Ejemplo 2.10 Sea ( ),τ¢ con { }: 2 2 1A n A n Aτ = ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢

{ }{ }

{ }{ }22

2

1,2: 1,2

1,2,3

NN A A

N

∈ ⇒ = ⊂ ⊂

∈ ¢

Ejemplo 2.11 Sea ( ),X τ con τ topología de complementos finitos. Sean x X∈ entonces: si existe tal que xN N U x U Nτ∈ ⇒ ∈ ∈ ⊂

entonces {C C C

finito

es finito N U N N τ⊂ ⇒ ⇒ ∈ es decir:

{ }:xN U x Uτ= ∈ ∈ Proposición 2.1 Sea ( ),X τ es un espacio topológico, x X∈ entonces: 1) y x xN N N M M N∈ ⊂ ⇒ ∈ 2) Si , x xN M N N M N∈ ⇒ ∈∩ 3) xN φ≠ 4) es abierto xU X U N x U⊂ ⇔ ∈ ∀ ∈ es decir si U es entorno de todos sus puntos.


- 47 -

Demostración 1) Si tal que xN N U x U Nτ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂

y como xN M x U M M N⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ 2) Sean , tal que:N MU U

NN M

M

x U Nx U U N M

x U M

∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂∈ ⊂

∩ ∩

y como N M xU U N M Nτ∈ ⇒ ∈∩ ∩ 3) x xX N x X N∈ ∀ ∈ ⇒ ≠ ? 4) ⇒ Si U es abierto y para todo x U x U U∈ ⇒ ∈ ⊂ xU N⇒ ∈ ⇐ Si para todo que para cada existe tal que:x xU N x U x U U τ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈

x xx U

x U U U U∈

∈ ⊂ ⇒ ⊂∪

pero como x x xx U x U

x U x U x U U U∈ ∈

∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂∪ ∪

xx U

U U∈

∴ = ∪

y como x xx U

U Uτ τ∈

∈ ⇒ ∈∪ por propiedad 2 de la definición de topología y luego

(es abierto)U τ∈ Observación 2.1 De la definición de entorno y de la propiedad anterior podemos tenemos:

A es abierto tal que x A U x U Aτ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

Es decir que un conjunto es abierto si para todo punto de él se puede encontrar un elemento de la topología incluido en él. Si sustituimos elemento de la topología por bolas es la misma propiedad que teníamos para espacios métricos. Lo que era de esperar ya que los elementos de la topología en el caso de espacios métricos son las bolas. Definición 2.5 Sea ( ),X τ un espacio topológico, A X⊂ . Se dice que x A∈ es un punto interior a A, si A es entorno del punto, es decir xA N∈ . Y llamaremos interior de A al conjunto de los puntos interiores de A { }: es interior de A x X x A= ∈o Observación 2.2 De la misma definición se desprende que.


- 48 -

A A⊂o Proposición 2.2 Dado ( ),X τ espacio topológico y ,A B X⊂ dos conjuntos con A B⊂ entonces: A B⊂o o Demostración Que x A∈ o implica que A es entorno de x y por definición de entorno: tal que U x U Aτ∃ ∈ ∈ ⊂ y como A B⊂ se tiene: tal que U x U Bτ∃ ∈ ∈ ⊂

luego B es entorno de x y eso implica que x es interior a B A B⇒ ⊂o o Proposición 2.3 Sea ( ),X τ en espacio topológico A X⊂ Entonces si A es abierto

se tiene que A A= o . Demostración Por definición sabemos que se cumple A A⊂o . Para probar la otra inclusión Si x A∈ como A es abierto, es entorno de todos sus puntos es decir xA N∈ lo que

implica por definición que x A∈ o luego A A⊂ o y se da la igualdad. Proposición 2.4 Sea ( ),X τ en espacio topológico A X⊂ Entonces Ao es el mayor abierto contenido en A. Demostración Primero probaremos que Ao es abierto, para ello probaremos que es entorno de todos sus puntos. Sea por definición tal que:xx A A N U τ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈o x U A∈ ⊂ Pero esto no alcanza trataremos de ver que U A⊂ o y para ello: Si por definición yy U y U A A N y A∈ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ o luego:

U A⊂ o es decir que tal que:U τ∃ ∈


- 49 -

xx U A A N∈ ⊂ ⇒ ∈o o

Esto mismo se tiene para todo punto de Ao entonces por proposición 2.1 – 4) Ao es abierto. Para probar de que es el mayor probamos que cualquier otro abierto incluido en A está contenido en Ao Sea entonces por proposición 2.2 B A B A⊂ ⇒ ⊂o o y como B es abierto se tiene

por proposición 2.3 B B= o luego: B A⊂ o Observación 2.2 Uniendo las proposiciones 2.2 y 2.3 se tiene que: es abierto A A A⇔ = o Ejemplo 2.12 Sea ( ) { } { }, : 0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ ∪

si 0Dado

si 0 A

A AA A

φ∈⊂ = ∉

o¡

Definición 2.6 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que es T0 si se verifica que si dados x yx y N N≠ ⇒ ≠

Ejemplo 2.13 Sea ( ) { } { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ ∪

{ }{ }{ }{ }

2

1

: 1,2

: 1,2

N A A

N A A

= ⊂ ⊂

= ⊂ ⊂

¢¢

Luego 1 2N N= pero 1 2≠ ⇒ que no es 0T Proposición 2.5 Un espacio topológico ( ),X τ es 0T si y solo sí dados x y≠ existe

xN N∈ tal que y N∉ o existe:

yM N∈ tal que x M∉

N x y Demostración

0

tal que si por definición es

tal que x y

x yy x

N N y N N NN N T

M N x M M N

∃ ∈ ∉ ⇒ ∉ ⇒ ⇒ ≠∃ ∈ ∉ ⇒ ∉


- 50 -

0 Si es x yX T x y N N⇒ ≠ ⇒ ≠ entonces puede suceder al menos una de las

siguientes posibilidades: 1) tal que x yN N N N∃ ∈ ∉ ⇒ por ser N entorno

tal que si U x U N y U y U Nτ∃ ∈ ∈ ⊂ ∈ ⇒ ∈ ⊂ Y entonces yN N∈ lo cual es absurdo o sea que y U∉ y como U es abierto es

entorno de todos sus puntos o sea encontramos un tal que xU N y U∈ ∉ . 2) tal que al igual que lo anterior tal que y x yM N M N V N x V∃ ∈ ∉ ⇒ ∃ ∈ ∉ .

Ejemplo 2.14 Dado el espacio topológico ( ) { } { }, con : 0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ ∪ Sean dos puntos x y≠ cualesquiera distintos en principio de cero.

{ } entonces 0, x y x τ≠ ∈ ⇒ que es entorno de todos sus puntos en particular de x o

sea que { }0, xx N∈ donde { }0,y x∉ .

Ahora si uno de ellos es el cero. Sea 0x = entonces claramente { }0 τ∈ o sea :

{ } { }00 0N y∈ ∉ Luego este espacio topológico es 0T . A pesar de que todos los entornos de y contienen al cero es decir al cero lo podemos separar del y por entornos pero no al y del cero. Nuestro próximo axioma de separación contemplará que tanto unos como otros son separables por entornos. Definición 2.7 Dado un espacio topológico decimos que es T1 si se verifica que: { }

xN N

N x∈

=∩

Proposición 2.6 Dado el espacio topológico ( ),X τ este es 1T si y solo sí, dados x y≠ cualesquiera existen N y M con:

tales que

tales que x

y

N N y N

M N x M

∈ ∉∈ ∉

x y

Demostración

( ) Si ,X τ⇒ es un espacio topológico 1,T x y≠ entonces por definición

{ } y como x xN N N N

N x x y y N∈ ∈

= ≠ ⇒ ∉∩ ∩

lo que significa que: tal que xN N y N∃ ∈ ∉


- 51 -

⇐ Si tal que xN N y N∃ ∈ ∉ esto implica:

{ } x x

y x

N N N N

y N x N∀ ≠

∈ ∈

∉ ⇒ =∩ ∩

Corolario 2.7 Dado un espacio topológico ( ) 1 0, si es es X T Tτ ⇒ Demostración La proposición 2.6 implica la proposición 2.5 que es más débil y por lo tanto se cumple que es 0T Ejemplo 2.15 Sea ( ) { } { }, con : 0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ ∪ como

{ } 10, si 0 no es xN N

N x x T∈

= ≠∩

Ejemplo 2.16 Sea X con la topología de complemento finito. Dados dos puntos { } { }C C y e xx y N y y≠ ∈ ∉ luego 1 es X T . Definición 2.8 Dado el espacio topológico ( ),X τ decimos que es T2 (o de Hausdorff ) si dados existen:x y≠ , tales que x yN N M N N M φ∈ ∈ =∩

N M x y Observación 2.3 Todo espacio topológico que es 2 1T T⇒ Claramente por definición. Ejemplo 2.18 Sea X infinito con la topología de complemento finito. Si , tal que A B A Bτ φ∈ =∩ con A y B no vacíos entonces:

{ {C C

finito finito

sería finitoX A B X= ⇒∪

con esta topología no tenemos abiertos disjuntos, y como: { }:xN A x Aτ= ∈ ∈ Si , tales que x yA N B N A B φ∈ ∈ =∩ serían dos abiertos no vacíos disjuntos que

ya vimos que en esta topología no los hay 2 1 no es aunque sí X T T⇒ como ya vimos. Ejemplo 2.19 Todo espacio métrico es de Hausdorff.


- 52 -

Demostración

Si ( )1 Sea ,

2x y d x yε≠ <

Entonces : ( ) ( ), ,B x B yε ε φ=∩

Ya que si existiera z tal que: ( ) ( ), ,z B x B yε ε∈ ∩

se tendría: ( ) ( ) ( ) ( ), , , 2 ,d x y d x z d z y d x yε≤ + < <

Definición 2.9 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que x es adherente a un subconjunto A de X si todo entorno de x contiene puntos de A. Es decir que x es adherente a A xN N N A φ⇒ ∀ ∈ ≠∩ Definición 2.10 Dado un espacio topológico ( ), , X A Xτ ⊂ , la clausura de A es el conjunto de todos los puntos adherentes a A. { }: es xA x X N N N A φ= ∈ ∀ ∈ ≠∩

además decimos que A es cerrado si y solo sí A A= Proposición 2.8 A A⊂ Demostración Si xx A N N x N A x A∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈∩ luego:

A A⊂ uniendo esto con A A⊂o tenemos: A A A⊂ ⊂o Proposición 2.9 Si A B A B⊂ ⇒ ⊂ Demostración Si xx A N N N A φ∈ ⇒ ∀ ∈ ≠∩ y como A B⊂ se tiene:

xN B N N x Bφ≠ ∀ ∈ ⇒ ∈∩ o sea A B⊂

x d y


- 53 -

Ejemplo 2.20 Sea ( ) { } { }, donde : 0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ ∪ A

{ } { }Si 1 1A A= ⇒ = ya que:

si { }1 0,x x A φ≠ =∩ 0

Sea { }0 A A= = ¡ En general en esta topología para un subconjunto A cualquiera tenemos:

si 0

si 0

AA

A A

∈= ∉

¡

Ejemplo 2.21 Sea ( ),E d un espacio métrico definimos bola cerrada, y anotamos ( ),B x ε− de centro x y radio ε como: ( ) ( ){ }, : ,B x y E d x yε ε− = ∈ ≤

probaremos que es cerrada es decir:

( ) ( ), ,B x B xε ε− −= Demostración

Tenemos que la inclusión ( ) ( ), ,B x B xε ε− −⊂ se cumple siempre. Para probar la otra inclusión

( ) ( ) ( )( ) ( )( )CC, , probaremos , ,B x B x B x B xε ε ε ε− − − −⊂ ⊂

Sea ( ) ( ), ,y B x d x yε ε−∉ ⇒ >

( )0 tal que ,d x yδ δ ε∃ > < − ver figura

Si ( ) ( ), ,z B x B yε δ−∈ ∩ entonces:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x y d x z d z y d x yε δ

ε δ≤ <

≤ + < + <123 123

luego ( ) ( ), ,d x y d x y<

O sea que:

( ) ( ) ( ), tal que , ,yB y N B y B xδ δ ε−∈ =∩ ? lo que significa que ( ),y B x ε−∉

( ) ( )CC

, ,B x B xε ε− − ∴ ⊂

como queríamos probar.

x δ ε y


- 54 -

Proposición 2.10 Sea ( ),X τ espacio topológico A X⊂ .Entonces A es cerrado si y solo sí el complemento es abierto: C es cerrado es abiertoA A⇔ Demostración ⇒ Si A es cerrado A A⇒ = Sea C tal que yy A y A A N N∈ ⇒ ∉ = ⇒ ∃ ∈

C N A N Aφ= ⇒ ⊂∩ y por definición de entorno: C tal que U y U N Aτ∃ ∈ ∈ ⊂ ⊂ Es decir que C C tal que y A U y U Aτ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

por observación 2.1 CA es abierto. Recíprocamente:

CA⇐ es abierto aplicando otra vez la observación 2.1 C C tal que y A U y U Aτ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂ y como U es abierto es entorno de todos sus

puntos y yU N A U φ⇒ ∈ =∩ luego

( )C y A y A A A∉ ⇒ ∈ ⇒ ⊂

Como la otra inclusión se cumple siempre. A A∴ = Corolario 2.11 Sea ( ),X τ un espacio topológico entonces se cumplen: 1) , X φ son cerrados

2) Sea { } IAα α∈ una familia de cerrados

I

Aαα∈

⇒ ∩ es cerrado.

3) Sean 1,..., nA A cerrados 1

n

ii

A=

⇒ ∪ es cerrado.

Demostración Todas se demuestran en forma análoga usando las leyes de Morgan y la proposición anterior, veamos a modo de ejemplo la 2) Como cada C C es cerrado es abierto es abierto

I

A A Aα α αα∈

⇒ ⇒ ∪ luego:

C

C

I

es abiertoI

A Aα αα α∈ ∈

= ∩ ∪


- 55 -

entonces. es cerrado

I

Aαα∈∩

Proposición 2.12 Dado un espacio topológico ( ),X τ , es 1T si y solo sí :

{ } x es cerrado x X∀ ∈ Demostración ⇒ Sea ( ),X τ espacio topológico 1T entonces por definición dado y X∈ :

{ } yN N

N y∈

=∩

lo que significa si yN N

x y x N∈

∀ ≠ ∉ ⇒∩

tal que yN N x N∃ ∈ ∉

entonces: { } { } N x y xφ= ⇒ ∉∩ Como esto es válido para cada y de X se tiene: { } { }x x=

e { }x es cerrado x y∀ ≠ pero como el y es arbitrario en realidad se tiene x X∀ ∈ Recíprocamente:

{ } { } Dado , con si , son cerradosx y X x y x y⇐ ∈ ≠ { } { }C C,x y⇒ son abiertos

entonces { }Ccomo y x y x≠ ⇒ ∈ que por ser abierto es entorno de todos sus puntos { } { }C C y yx N x x⇒ ∈ ∉

análogamente

{ }Ccomo x y x y≠ ∈ que por ser abierto { }Cxy N∈ e { }Cy y∉

Luego por proposición 2.6 ( ) 1, es X Tτ . Lema 2.13 a)Dado ( ),X τ espacio topológico y A X⊂ entonces:

( ) ( )C CA A=o

Demostración

Sea ( )}por definición

C tal que xx A x A N N N A φ∈ ⇒ ∉ ⇒ ∃ ∈ =∩ lo que significa que:


- 56 -

CN A⊂ y por definición de entorno: C tal que U x U N Aτ∃ ∈ ∈ ⊂ ⊂ luego: C

xA N∈ entonces por definición de punto interior:

( )Cx A∈o

Recíprocamente:

Si ( ) {C C

por definiciónxx A A N∈ ⇒ ∈

o y por definición de entorno:

C tal que V x V Aτ∃ ∈ ∈ ⊂ entonces por un lado A V φ=∩ y por otro lado como V es abierto es entorno de todos sus puntos en particular de x. O sea: tal que xV N A V φ∃ ∈ =∩ Luego

( )C x A x A∉ ⇒ ∈

Como queríamos probar. Análogamente se prueba que Lema 2.13 b)

( ) ( )C CA A=o

Proposición 2.14 Sea ( ),X τ un espacio topológico, A X⊂ . Entonces A es el menor cerrado que contiene a A. Demostración Primero que nada A es cerrado ya que por la proposición anterior:

( ) ( )C CA A=o

y como ya vimos que el interior de un conjunto es abierto (proposición 2.4) entonces

( )C es abierto es cerradoA A⇒ .

Sea ahora B X⊂ un conjunto cerrado cualquiera que contenga a A. Entonces como { {

cerradoprop. 2.6

A B A B B⊂ ⇒ ⊂ = luego:

A B⊂ es decir que la clausura de A es el menor cerrado que contiene a A.


- 57 -

Corolario2.15 Sea ( ),X τ un espacio topológico, y A X⊂ entonces:

1) ( )A A=oo o

2) ( )A A=

Demostración. 1) Ya demostramos que el interior de un conjunto es abierto y si es abierto que es igual a su interior.

( ) abierto A A A⇒ =oo o o

2) También ya demostramos que la clausura de un conjunto es cerrado entonces:

{ ( )def.

cerrado A A A⇒ =

Ejemplo 2.22 Sea ( ),X τ espacio topológico como X τ∈ ⇒ es abierto ( )X X⇒ =o

Y como ( ) es abierto φ τ φ φ∈ ⇒ =o

Por otro lado como es cerrado CX = ⇒ ⇒ =? ? ?

Y C es cerrado X X Xφ = ⇒ ⇒ = La clausura y el interior son invariantes para e X φ Definición 2.11 Sea ( ),X τ un espacio topológico, y A X⊂ decimos que x X∈ es un punto de acumulación de A si y solo sí: { }( ) \xN N A N x φ∀ ∈ ≠∩

llamamos conjunto derivado al conjunto de puntos de acumulación. { }: es de acumulación de A x X x A′ = ∈ claramente por definición A A′ ⊂ Definición 2.12 Si ( ),X τ es un espacio topológico, A X⊂ decimos que x X∈ es un punto aislado si no es punto de acumulación. Definición 2.13 Si ( ),X τ es un espacio topológico, A X⊂ llamamos frontera de A al conjunto Aδ como:

CA A Aδ = ∩ de la definición sacamos que un punto x Aδ∈ si se cumplen:


- 58 -

C C

x

x

x A N N N A

x A N N N A

φ

φ

∈ ⇒ ∀ ∈ ≠⇒ ∈ ⇒ ∀ ∈ ≠

∩∩

Es decir que un punto pertenece a la frontera si para todo entorno del punto este corta tanto al conjunto como al complemento. Ejemplo 2.23 Sea ( ) { } { }, con : 0X A Aτ τ φ= ⊂ ∈∪ ¡

si 0

si 0

AA

A A

∈= ∉

¡

Sea 0 A∈ { } { } { } { }00 0 pero 0 \ 0Nτ∈ ⇒ ∈ =? 0 no es punto de acumulación. Si y 0 tal que xx x N N U x U Nτ∈ ≠ ∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂¡ pero si U es abierto

implica si no es vacío que contiene al cero { }0 0 \ xN N x N N⇒ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈

{ }{ }como 0 \A A N x φ∈ ⇒ ≠∩

x es de acumulación. Si 0 A∈ veamos cual es la frontera:

{ C C CA A A A Aδ=

= = =¡∩ ¡ ∩

y si 0 A∉

CA A A A Aδ = = =∩ ∩ ¡ Definición 2.14 Dado ( ),X τ un espacio topológico se dice que Y X⊂ es denso en X si:

Y X= Definición 2.15 Dado ( ),X τ un espacio topológico se dice que X es separable si tiene un subconjunto Y denso numerable tal que con es numerable.Y X Y X Y⊂ = Proposición 2.16 Dado ( ),X τ espacio topológico, Y X⊂ es denso si y solo sí: Para cada , U U se cumple U Yτ φ φ∈ ≠ ≠∩ Demostración

Si e denso, sea , Y X Y U Uτ φ⇒ ⊂ ∈ ≠ Como U es abierto es entorno de todos sus puntos o sea:


- 59 -

y como xx U U N Y X x Y∀ ∈ ⇒ ∈ = ⇒ ∈ lo que significa por definición: xN N N Y φ∀ ∈ ≠∩ y en particular xU N U Y φ∈ ≠∩ Recíprocamente:

Si y por definición tal que xx X N N U x U Nτ⇐ ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂ y por hipótesis como U τ∈ se tiene U Y N Yφ φ≠ ⇒ ≠∩ ∩ por definición Si es xN N N Y x Yφ∈ ≠ ⇒ ∈∩ luego es denso en x Y Y X Y X∈ = ⇒ Ejemplo 2.24 El conjunto de los racionales ¤ es denso en ⇒¡ ¡ es separable Ejemplo 2.25 Sea ( ),X τ con X no numerable yτ la topología discreta entonces X es no separable ya que si consideramos que existe un subconjunto denso A X⊂ entonces: U U Aτ φ∀ ∈ ≠∩ y en particular { } { }como x X x x A x Aτ φ∀ ∈ ∈ ⇒ ≠ ⇒ ∈∩ X A X A⊂ ⇒ = es decir que el único conjunto denso es el propio X que por definición es no numerable luego X es no separable. Ejemplo 2.26 En la topología { } { }: 0A Aτ φ= ⊂ ∈¡ ∪ se tiene que

{ } ( )0 es denso , es separableτ⇒ ¡ Ejemplo 2.27 Sea ( ) { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ = ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ Sean imparares paresI P= = como:

y que es densoI P= = ⇒¢ ¢ tanto I como P son densos por lo que ¢ es separable.


- 60 -

Ejemplo 2.28 Sea ( ),X τ con X infinito y τ la topología de complemento finito. Cualquier subconjunto infinito de X cumple: infinito densoY X Y X X⊂ = ⇒ ya que si consideramos que: C C tal que es infinito, pero U U Y Y U U Uτ φ τ∈ = ⇒ ⊂ ⇒ ⇒ ∉∩ luego U U Yτ φ∀ ∈ ≠∩ por la proposición 2.16 Y es denso en X. Ejemplo 2.29 Definición 2.16 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que τ⊂B es una base de τ si todo abierto no vacío es unión de miembros de B. Dicha definición e equivalente a decir que B es base de la topología si se cumplen: 1) B B τ∀ ∈ ⇒ ∈B 2) Dado tal que x xx U B x B Uτ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂B La primer condición es obvia y la segunda si se cumple tenemos: Si x

x U

U U Bτ∈

∈ ⇒ = ∪

es decir es unión de elementos de B. Y recíprocamente todo abierto es unión de elementos de B es decir:

Si tal que además este 2)B

B

U B

x U x B B x B B U∈

∈

= ⇒

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂ ⇒

∪∪

B

B

B

Ejemplo 2.32 En un espacio métrico la bolas abiertas es una base porque ya vimos que todo abierto es igual a la unión de bolas abiertas. Ejemplo 2.33 Sea ( ),X τ con la topología discreta.

{ }{ }:x x X= ∈B

es una base Ejemplo 2.34 ( ) { } { }, con : 0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ ∪


- 61 -

{ }{ }0, :x x= ∈¡B

es una base ya que si A es abierto { }0,

x A

A x∈

= ∪

Proposición 2.17 Sea X un conjunto no vacío ( )X⊂B P existe una topología τ en X para la cual B es una base si y solo sí se cumplen: 1)

A

A X∈

=∪B

2) Si , , tal que xA B x A B C∈ ∈ ⇒ ∃ ∈∩B B xx C A B∈ ⊂ ∩ Demostración ⇒ Si B es una base de τ , entonces como X es abierto implica de que es unión de elementos de B

A

X A∈

= ∪B

Para probar la segunda propiedad sean , con A B x A B∈ ∈ ∩B como A y B son abiertos también lo es A B∩ entonces: 0 si tal que

B

A B B x A Bα

α α∈

= ∈ ⇒ ∃∩ ∩∪B

0 0 0 luego o sea xx B x B A B C Bα α α∈ ∈ ⊂ = ∈∩ B

⇐ recíprocamente: Si B verifica 1) y 2). Construiremos una topología de la que B es base. Sea entonces τ la familia de conjuntos que son unión de miembros de B. { } { }:B Bα ατ φ= ∈ ∪∪ B

probaremos primero que τ es una topología. 1) {

por hip.

y ,B

X B Xφ τ φ τ∈

∈ = ⇒ ∈∪B

2) Si Aα τ∈ la unión de conjuntos de τ también está en τ por ser unión de uniones de elementos de B. 3) Sean ,

A B

A B A A B Bα β

α βτ∈ ∈

∈ ⇒ = =∪ ∪B B

entonces:

( )A B A B A Bα β α β= =∩ ∩ ∩∪ ∪ ∪

Si x x

x A B x A Bα β∈ ⇒ ∈∩ ∩ para algún ,x xα β y existe xC ∈B tal que:

x xxx C A Bα β∈ ⊂ ∩

consideremos x

x A B

C τ∈

∈∩

∪


- 62 -

( )x xx

x A B

A B C A B A Bα β∈

⊂ ⊂ ⊂∩

∩ ∩ ∩∪ ∪

xx A B

A B C A B τ∈

∴ = ⇒ ∈∩

∩ ∩∪

entonces τ es una topología de la que B es base por construcción Corolario 2.18 Sea B un recubrimiento de un conjunto X cerrado por intersecciones finitas entonces existe una única topología τ sobre X respecto de la cual B es una base. Demostración Por ser un recubrimiento se cumple la condición 1) de la proposición anterior. Y por ser cerrado por intersecciones finitas se cumple la condición 2). Luego solo es una formulación diferente (más débil) de la proposición anterior. Dicha topología es única por la condición 2 de ser base. Definición 2.17 Si ( ),X τ es un espacio topológico, S τ⊂ decimos que es una subbase de τ si: { } { }1 2 ... : ,n iA A A A S n φ= ∈ ∈∩ ∩ ∩ ¥ ∪B es una base. Proposición 2.19 Si X es un conjunto no vacío, ( )S X⊂ P ,S es una subbase de una topología si y solo sí:

A S

A X∈

=∪

Se dice que τ es la topología generada por S Demostración ⇒ Por ser S subbase { }1 ... : , 1,...,n iA A A S i n⇒ = ∈ ∀ =∩ ∩B entonces si

1 ... n iB B A A B A∈ ⇒ = ⇒ ⊂∩ ∩B por lo menos para algún i

B A S A S

X B A X A∈ ∈ ∈

= ⊂ ⇒ =∪ ∪ ∪B

⇐ Hay que probar que { }1 2 ... :n iA A A A S= ∈∩ ∩ ∩B es una base de τ o sea probaremos las propiedades 1 y 2 de la proposición anterior. 1) ya que i i i iA A A A i∈ = ∀ ⇒∩B S ⊂B además:

por hipótesis A S A

X A A∈ ∈

= ⊂∪ ∪B

2) Si y A B ∈ ⇒B


- 63 -

1 2

1 2

1 1

... con 1,...,

... con 1,...,

.... ... por definición

n i

m i

n m

A A A A A S i n

B B B B B S i m

A B A A B B

= ∈ ∀ == ∈ ∀ =

= ∈

∩ ∩ ∩∩ ∩ ∩

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ B

entonces B es una base y S una subbase Definición 2.18 Si y τ σ son dos topologías en X se dice que τ es más fina que σ si σ τ⊂ Proposición 2.20 Si X es un conjunto no vacío, ( )S X⊂ P tal que:

A S

A X∈

=∪

la topología τ generada por S en X es la menos fina en X que contiene a S. Demostración Supongamos que σ es una topología en X y S σ⊂ entonces:

1 2 1 2Si , ,..., ...n nA A A S A A A σ∈ ⇒ ∈∩ ∩ ∩ La intersección finita de abiertos es también un abierto. Como además la unión de elementos de σ está en σ entonces por definición de τ τ σ⊂ Definición 2.19 Sea ( ),X τ un espacio topológico decimos que verifica el segundo axioma de numerabilidad si tiene una base numerable. Para abreviar decimos que es N2 Ejemplo 2.35 Sea X no numerable con la topología de complemento finito veremos que no es N2 Supongamos que { }n n

B ∈¥ es una base entonces:

C

Cn n

n n

B B∈ ∈

= ¥ ¥∩ ∪

pero como los nB son abiertos CnB⇒ es finito y como la unión numerable de

numerables (finitos) es numerable

C

C es numerable n nn n

B B X∈ ∈

⇒ ⇒ ≠ ¥ ¥

∪ ∩


- 64 -

ya que X es no numerable nn

B φ∈

⇒ ≠¥

∩ entonces n nn

x B x B n∈

∃ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈¥

¥∩ por

otro lado el conjunto { }Cx es abierto (por tener complemento finito que es el { }x ) pero este abierto no se puede escribir como uniones de los elementos de la base ya que si fuera así.

{ }{ }

{ }

{ }

C

C pero tenemos kk k

kk

nn k nn

n

x xx B x B n x B

⊂⊂

∉ = ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ¥ ¥

¥∪ ∪

Proposición 2.21 Si ( ),X τ es un espacio topológico N2 entonces es separable. Demostración Sea { }n n

B ∈¥ una base numerable

Construiremos un conjunto denso numerable para ello tomamos un elemento de cada abierto de la base, y ese conjunto que es numerable resultará que es denso. Sea { } con n n nx x B n∈ ∀ ∈¥ Tomemos un abierto U no vacío por ser { }n n

B ∈¥ una

base se puede escribir:

{ }k

k

nn

U B⊂

=¥

∪

y como { } se tiene que k k kk n n n n nn x B x U x ∈∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ ¥¥ ∩ entonces

{ } { } es denson nn nU x xφ∈ ∈≠ ⇒¥ ¥∩

y esto significa que X es separable. No vale el recíproco en general, como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.36 Sea X no numerable con la topología de complemento finito, ya vimos que es separable (ejemplo 2.28 ) y que no es N2 (ejemplo 2.35) Pero en espacios métricos sí vale el recíproco como veremos en la siguiente proposición. Proposición 2.22 Si ( ),E d es un espacio métrico separable, entonces es N2 Demostración Por hipótesis existe un subconjunto { }n n

x ∈¥ denso en E tomemos:

( ){ }1, : ,mnB x n m= ∈ ¥B


- 65 -

es claro que B es numerable. Probaremos de que es una base. Sea entonces A E∈ un abierto no vacío. Por ser abierto en un espacio métrico implica que si ( )0 tal que ,x A B x Aε ε∈ ⇒ ∃ > ⊂ ahora consideremos xm tal que:

( )1 1 y tal que ,

2 k kn nx x

x d x xm m

ε< <

que es posible por ser { }nx denso { } ( )1,xmnx B x φ⇒ ≠∩ entonces ( )1,

xk mnx B x∈

además si ( )1,xk mnz B x∈ tenemos:

( ) ( ) ( )1 1

2, , ,

k k

m mx x

n nx

d x z d x x d x zm

ε< <

≤ + < <14243 14243

( ) ( ) ( )1, , ,xk mnz B x B x B x Aε ε⇒ ∈ ⇒ ⊂ ⊂

entonces para cada una bola x A∈ ∃ ∈B

( )1,xk mnB x tal que :

( )1,xk mnx B x A∈ ⊂ o sea:

( )1,xk mn

x A

A B x∈

= ∪

Lo que implica de que B es base y por lo tanto ( ),E d es N2. Definición 2.20 Sea ( ),X τ un espacio topológico un cubrimiento por abiertos de X es una familia: { } tal que

IA A Xα αα

α

τ∈∈

⊂ =∪

Definición 2.21 Dado ( ),X τ espacio topológico y en él un cubrimiento { } I

Aα α∈ por

abiertos de X , un subcubrimiento es una subfamilia de la anterior { } { }A Aβ α⊂ que

también es cubrimiento por abiertos de X. Ejemplo 2.37

Si ( )0,1X = { }1,1 : n

n ∈

¥ es un cubrimiento de X

{ }1,1 :

2n

n ∈

¥ es un subcubrimiento del anterior.

Definición 2.22 Un espacio topológico ( ),X τ decimos que es de Lindelöff si todo cubrimiento por abiertos de X admite un subcubrimiento numerable.

( )1,

xk mnB x

( ),B x ε knx

z x A


- 66 -

Ejemplo 2.38 Sea X no numerable con la topología de complemento finito entonces X que sabemos que no es N2 y si es de Lindelöff. Demostración Supongamos que tememos un cubrimiento { }Aα por abiertos de X. Sea { } { }

0 0 0

C1, ,..., que es finito por ser abiertonA A A x x Aα α α α∈ =

ahora para cada 1,..., sea tal que i iii n A x Aα α= ∈ existen por ser A Xα

α

=∪ y por el

axioma de elección elegimos uno cuando hay más de uno. Entonces { }

0 1, ,...,

nA A Aα α α es un subcubrimiento finito ( luego numerable) que cubre

a todo X

0

que es de Lindelöffi

n

i

X Aα=

= ⇒∪

Ejemplo 2.39 Sea ( ),X τ un espacio topológico con X numerable entonces cualquiera se en Xτ es de Lindelöff. Sea { } I

Uα α∈ un cubrimiento por abiertos cualquiera:

I

X Uαα∈

= ∪

para cada se tiene que x X∈ :

tal que xx

I

x U I x Uα αα

α∈

∈ ⇒ ∃ ∈ ∈∪ siempre existe al meno uno, de existir más

de uno elegimos uno cualquiera. De esta forma { }x x X

Uα ∈ es una subfamilia que

además cubre a X ya que: Si y por otro lado los

x x x xx X x X

x X x U X U U X U Xα α α α∈ ∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ ⊂ ⇒ ⊂∪ ∪

luego:

xx X

X Uα∈

= ∪

y como X es numerable, entonces tiene un subcubrimiento numerable luego es de Lindelöff. Proposición 2.23 Sea ( ),X τ es un espacio topológico N2 entonces es de Lindelöff. Demostración


- 67 -

Sea { } IAα α∈ un cubrimientos por abierto de X como ( ),X τ es N2 ⇒ existe una base

numerable { }n nB ∈¥ de X Primero elegimos los abiertos de la base que están

contenidos en algún abierto del cubrimiento. Y luego consideramos los abiertos correspondientes del cubrimiento, este será el subcubrimiento que buscamos. Es decir que definimos el conjunto { }:n nI I B Aαα= ∈ ⊂ y para cada nI φ≠ elegimos un elemento que denominamos n nIα ∈

Sea { }: 1nI nα′ = ≥ claramente I’ es numerable además I I′ ⊂ por construcción entonces si:

n

n I

X Aαα ′∈

= ∪

sería { }n n I

Aα α ′∈ un subcubrimiento de { } I

Aα α∈ para ello tomemos un I

x X Aαα∈

∈ = ∪

00 tal que I x Aαα⇒ ∃ ∈ ∈ pero como { }n nB ∈¥ es una base

{ }0 k

k

nn

A Bα⊂

⇒ =¥

∪ es

decir:

{ }{ }

0 0 00 tal que k

k

n k nn

x A B n n x B Aα α⊂

∈ = ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂¥

∪

lo que significa que 0 0 0 0 00 0

con n nn n n n nI I B A x A Iα αφ α α ′≠ ⇒ ∃ ∈ ⇒ ⊂ ⇒ ∈ ∈

n

n I

X Aαα ′∈

∴ = ∪

lo que implica que X es de Lindelöff. Observación El recíproco no es cierto, ver ejemplo 2.38 pero en espacios métricos si se cumple el recíproco, como veremos en el siguiente enunciado Proposición 2.24 Dado ( ),E d espacio métrico las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) E tiene una base numerable ( es N2 ) 2) E es un espacio de Lindelöff. 3) E es separable. Demostración 1) 2)⇒ se cumple para todo espacio topológico como ya vimos en la proposición anterior 2) 3)⇒ Para cada m ∈¥ consideremos las bolas abiertas de radio 1

m y centro en todo punto x E∈ , como ( )1, m

x E

E B x∈

= ∪

L N2 S


- 68 -

y el espacio es de Lindelöff, entonces existe un subcubrimiento numerable de E es decir que existen una cantidad numerable de estas bolas ( )1, mB x , como todas son de igual radio lo que son numerables son los centros de dichas bolas que llamaremos para cada m; m

nx con n ∈¥ ,entonces:

( )1,mn m

n

E B x∈

=¥

∪

Sea el conjunto { }: ,mnA x m n= ∈¥ claramente es numerable y demostraremos

además que es denso en E y por lo tanto separable. Dado 0ε > existe 1

m tal que m ε∈ <¥ para este m

( )1,mn m

n

E B x∈

=¥

∪

entonces si ( ) ( )0

1 10 , tal que ,m m

n nm mn

x E x B x n x B x∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈¥

¥∪ o sea:

( ) ( )0 0

1, ,m mn nmd x x x B xε ε< < ⇒ ∈ y entonces

( )Para cada 0 y existe un tal que ,m mn nx E x A x B xε ε> ∈ ∈ ∈

es decir ( )0, ,x E A B xε ε φ∀ > ∈ ≠∩ y A es entonces denso en E. 3) 1)⇒ ya lo vimos en la proposición 2.22 Observación En general las implicancias que se cumplen son las del siguiente diagrama Y hemos visto ejemplos donde las flecha no se cumplen en sentido contrario al representado en el esquema. Así L no implica N2 ejemplo 2.38 y S no implica N2 ejemplo 2.36. Se trata del mismo espacio topológico que siendo S y L no es N2. Para ver que L no implica S o S no implica L veremos los dos ejemplo siguientes: Ejemplo 2.40 Sea ( ),X τ un espacio topológico donde X es no numerable y τ es la topología donde

los abiertos son el vacío y los conjuntos de ( )XP con complemento numerable. Para cualquier cubrimiento por abiertos se tiene. con

I

X U U Iα αα

τ α∈

= ∈ ∀ ∈∪

tomemos uno cualquiera de estos abiertos 0

Uα entonces como su complemento por

L N2 S


- 69 -

definición de la topología tiene una cantidad de elementos numerable podemos llamarles a estos con nx n ∈¥ , y se tiene:

{ }0

C1 2, ,..., ,..nU x x xα =

y para cada con ix i ∈¥

tal que ii i i i

I

x X x U I x Uα αα

α∈

∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈∪

y entonces 0

i

n

i

Uα=∪ es un subcubrimiento de X claramente numerable por lo que X es

de Lindelöff. Pero no es separable ya que si A es un conjunto denso y numerable en X se tiene por ser denso: U U Aτ φ∀ ∈ ≠∩

y en particular como A es numerable CA τ∈ y se tiene: CA A φ=∩ luego A no es denso. Ejemplo 2.41 Veremos un caso en que sí es separable pero no es de Lindelöff. Sea 2X = ¡ con la topología de los rectángulos semiabiertos es decir: [ ) [ ){ }2, , : , , ,a b c d a b c dτ = × ⊂ ∈¡ ¡

Sea ( ){ }2, : ,A p q p q= ∈ ∈¡ ¤ es claro de

que es un conjunto numerable y denso en X. Sean los abiertos que anotamos ( ),a aU − y

( ),b bU − definidos:

( ) [ ) [ ){ }2, , , : , ,a aU a b a d a b d− = × − ⊂ ∈¡ ¡

( ) [ ) [ ){ }2, , , : , ,b bU a b c b a b c− = × − ⊂ ∈¡ ¡ es

decir los rectángulos con vértice (opuestos) en la recta y x= − como en la figura. Claramente ( ) ( ), ,a a b b

a b

X U U− −∈ ∈

=¡ ¡

∪∪ ∪

Como el conjunto de puntos de la recta es discreto y no numerable no existe entonces un subcubrimiento del anterior que sea numerable. Luego no es de Lindelöff.


- 70 -

Definición 2.23 Sea ( ),X τ un espacio topológico y x X∈ , una familia xB de entornos de x es una base local si dado xN N∈ existe tal que xxV V N∈ ∈ ⊂B Ejemplo 2.42 { }: es abierto en x xU N U X= ∈B es una base local de x . ya que si: tal que xU N V x V Uτ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂ y xV ∈B por definición. Ejemplo 2.43 Sea ( ),E d espacio métrico x E∈

( ){ }1, :nx B x n= ∈¥B

o ( ){ }, : y 0x n nB x a n a′= ∈ →¥B

son bases de x Ejemplo 2.44 Si { } I

Bα α∈=B es una base de la topología en Xτ y si x X∈ entonces:

{ }:x B x Bα α= ∈ ∈B B es una base local. Ya que dado tal que xN N V x V Nτ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂ por definición de entorno pero como V τ∈ tenemos: y si

I

V B x Vαα∈

= ∈ ⇒∪

tal que con x xx xI x B V N Bα αα∃ ∈ ∈ ⊂ ⊂ ∈B es decir que dado un entorno N de x

existe un elemento tal que x xxB B Nα α∈ ⊂B definición de base local.

Ejemplo 2.45 Sea τ la topología discreta entonces { }x x=B

es una base local ya que { }x es abierto en esta topología y obviamente esta contenido en cualquier entorno de x Ejemplo 2.46 Sea ( ) { } { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ ∪ Entonces:


- 71 -

{ }{ }2 2 12 ,2 1n nn n −= − =B B

es una base local. Definición 2.24 Dado un ( ),X τ espacio topológico decimos que es N1 o que verifica el primer axioma de numerabilidad si todo punto de X tiene una base de entornos (base local ) numerable. Proposición 2.25 Un ( ),X τ espacio topológico que es N2 es entonces N1 Demostración Si B es una base numerable de la topología τ entonces para cada x X∈ sea: { }:x B x B= ∈ ∈B B ya vimos que es una base local y como numerable es numerablex x⊂ ⇒B B B Ejemplo 2.47 Sea X no numerable y τ la topología discreta entonces: { }{ }x x=B

en ejemplo 2.45 vimos que es una base local y por ser un solo elemento es numerable. Luego es N1 pero no es N2 ya que Sea B una base de la topología como { }x τ∈ entonces { }x se puede escribir como

unión de elementos de { }x⇒ ∈ ⇒B B B no es numerable. Este es un contraejemplo de que no vale la proposición recíproca de la 2.25 Ejemplo 2.48 Todo espacio métrico es N1 ya que: ( ){ }1, :x nB x n= ∈¥B

es una base local numerable. Ejemplo 2.49 Sea ( ) { } { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ ∪ entonces:

{ }{ }2 2 ,2 1n n n= −B

es una base local ( con un solo elemento ) numerable luego es N1 Ejemplo 2.50 Sea ( ), con numerable y de complemento finitoX Xτ τ ya vimos que:

( ) { }: finitoF X A X A= ⊂P


- 72 -

es numerable y como podemos definir ( ) { }: \F Xϕ τ φ→P de la siguiente forma ( ) CA Aϕ =

como ϕ es biyectiva y ( )F XP numerable { }\τ φ⇒ es numerable o sea τ es numerable, luego el propio τ es una base numerable y por lo tanto N2. Ejemplo 2.51 Sea X no numerable con la topología de complementos finitos ya vimos en el ejemplo 2.35 que no es N2 ,veremos ahora que tampoco es N1 Supongamos que: { }: ,x n nU x U nτ= ∈ ∈ ∈¥B entonces

C

Cn n

n n

U U∈ ∈

= ¥ ¥∩ ∪

que como C es finito n nU Uτ∈ ⇒ ⇒ Unión numerable de numerables es numerable entonces:

{ }{C

C

no numerablenumerable

nn

U x∈

≠ ¥14243∩

o sea { } tal que n n

n n

U x y x y U∈ ∈

≠ ⇒ ∃ ≠ ∈¥ ¥

∩ ∩

es entonces { } { }CC n ny U n U y⊂ ∀ ∈ ⇒ ⊂¥ lo que significa que { }CnU y⊄ pero

{ }Cy τ∈ por se abierto es entorno de todos sus puntos en particular como

{ } { }C Cxx y x y y N≠ ⇒ ∈ ⇒ ∈ y { }C n nU y n U⊄ ∀ ∈ ⇒¥ no es base local de x en

X. Ejemplo 2.52 Sea ( ){ }1 , reales o complejas tal que n nn

x x∈= < ∞∑¥l con la norma

1

nn

x x∞

=

= ∑

define una distancia ( ),d x y x y= −

entonces ( )1,dl es un espacio métrico.

Definimos el siguiente conjunto en 1l


- 73 -

( ){ }0 0: tal que 0n nnD y n y n n∈= ∃ = ∀ ≥¥

Probaremos que D es denso para ello se tiene que cumplir Que si ( )10 y tal que ,x y D d x yε ε> ∈ ⇒ ∃ ∈ <l y esto se cumple porque

Si 0

100 tal que 2i

n

x n x εε∞

∈ ⇒ ∀ > ∃ <∑l si la serie converge se puede acotar la

cola de la serie (porque esta tiende a cero) entonces:

Definimos { } 0

0

si tal que

0 si x

n nn

x n ny y y y D

n n∈

<= = ⇒ ∈ ≥¥ y además

( ) {0

0 01 1 1 100

, 2

n

i i i i i i ii i i n i n

d x y x y x y x y x ε∞ ∞ ∞

= = = + = +==

= − = − + − = <∑ ∑ ∑ ∑14243

lo que significa que cualquier entorno de x tiene un elemento de D o sea que D es denso fabriquemos ahora dentro de D un denso numerable. Sea ( ){ }: n nnE z D z n∈= ⊂ ∈ ∀ ∈¥ ¤ ¥

Llamemos ( ){ }: 0 m n nnE z E z n m∈= ⊂ = ∀ ≥¥ entonces E puede verse como

mm

E E∈

=¥

∪

que por ser unión numerable de numerables es numerable. Falta ver que es denso.

Dado un ( )1 ya vimos que tal que , 2x y D d x y ε∈ ∃ ∈ <l

Ahora sea 0 1 0

0 tal que 2n i iz E z y i nn

ε+∈ − < ∀ ≤ entonces:

( )0 0

1 1 1 0

, 22

n n

i i i ii i

d y z z y z ynε ε

∞

= =

= − = − < =∑ ∑ ∑

por otro lado

( ) ( ) ( ), , ,2 2

d x z d x y d y zε ε

ε≤ + < + =

luego ( )1dado y 0 tal que ,x z E d x zε ε∈ > ∃ ∈ <l

1E⇒ = l E numerable 1⇒ l separable. Ejemplo 2.53 Sea ( ){ }: reales o complejas, acotadas n nx∞

∈= ¥l con la norma del supremo

{ }supn nx x∈= ¥ definimos la distancia


- 74 -

( ) { }, supn n nd x y x y∈= −¥

Consideremos ( ){ }: 0 o 1 n nnA x x n∞

∈= ⊂ = ∀ ∈¥ l ¥

Sean ( ), con , 1x y A x y d x y∈ ≠ ⇒ = y solo es cero en el caso que sean iguales entonces A es discreto luego el único conjunto denso es el propio A que no es numerable por ser de igual cardinal que ( )¥P o ¡ ya que

Sea ( ): Aϕ → ¥P definida tal que a ( )Aϕ le asociamos el conjunto de índices en los que la sucesión correspondiente vale 1 dicho conjunto pertenece a las partes de N Claramente dicha función es biyectiva por lo que los conjuntos tienen el mismo cardinal. Proposición 2.26 Sea ( ),X τ un espacio topológico, x X∈ tiene una base local numerable entonces tiene una base local numerable decreciente. Demostración Sea { }n n

U ∈¥ una base local numerable de x

Tomamos

1 1

2 2 1

3 3 2

1

n n n

V U

V U V

V U V

V U V −

===

=

∩∩

M∩

Por construcción 1n nV V −⊂ Además { {

entorno entorno

es entorno de i i i iV U V V x i= ⇒ ∀∩

n xV N n⇒ ∈ ∀ ∈¥ y si 00 tal que x nN N n U N∈ ⇒ ∃ ∈ ⊂¥ y entonces como

0

tal que para algun n x n nV N N N V V N n⊂ ⇒ ∀ ∈ ∃ ⊂ ∈¥

O sea que { }n nV ∈¥ es una base local.

Capítulo 3

Convergencia y Continuidad Definición 3.1 Dado el espacio topológico ( ),X τ una sucesión es una función de los naturales a X.

( )

:

n

x X

x x n

→=¥

Notación cuando nos referimos a la sucesión anotamos { } ( ) o n nx x y para hacer referencia a un termino de la sucesión nx sin corchetes ni paréntesis. Definición 3.2 Una sucesión { }nx en un espacio topológico ( ),X τ converge a x X∈ si dado 0 0 tal que xN N n n n∈ ∃ ∈ ∀ ≥¥ nx N∈ Ejemplo 3.1 Sea ( ),X τ un espacio topológico con τ la topología indiscreta es decir

{ }, Xτ φ= ⇒ toda sucesión en este espacio converge a cualquier punto. Ejemplo 3.2 Sea ( ),X τ un espacio topológico con τ la topología discreta, entonces en este espacio convergen las sucesiones que son constantes a partir de un n0 Definición 3.3 Dado en un espacio topológico ( ),X τ una sucesión { }nx X⊂

llamamos a { }knx subsucesión de la dada si { } { }

kn nx x⊂ y la aplicación de →¥ ¥

que kk n→ tal que limk kn→+∞ = +∞ Proposición 3.1 Dado un espacio topológico ( ),X τ y una sucesión { }nx X⊂ entonces nx x→ ⇔ toda subsucesión converge a x


- 76 -

Demostración ⇒ Es inmediata aplicando la definición ⇐ Si ( ) ( )0 0 Dado por definición tal que

kn x kx x N N n k n n k→ ⇒ ∈ ∃ ∀ ≥ se

cumple que

knx N∈

Como ( )0 0 0lim dado un cierto 0 tal que k kn n k k k k→+∞ = +∞ ⇒ > ∃ ∀ ≥ se cumple

( )0kn n k>

Dado ( )0 0 0 xN N n n k∈ ∃ = tal que 0n n∀ ≥ Proposición 3.2 Sea ( ),X τ un espacio topológico y , A X x X⊂ ∈ entonces si

existe una sucesión { } tal que n nx A x⊂ converge a x x A⇒ ∈ Demostración Por definición de convergencia nx x→ Dado 0 0 tal que xN N n n n∈ ∃ ∈ ∀ ≥¥

{ }n nx N N x φ∈ ⇒ ≠∩ y como { }nx A⊂ entonces N A x Aφ≠ ⇒ ∈∩ Proposición 3.3 Sea ( ),X τ un espacio topológico y , A X x X⊂ ∈ con base local

numerable en x, entonces si x A∈ ⇒ existe una sucesión { }nx A⊂ tal que converge a x. Demostración Como x tiene una base local numerable entonces existe una base local decreciente { }nV de x .

Luego si nx A n V A φ∈ ⇒ ∀ ∈ ≠¥ ∩ por definición de clausura.

Entonces elegimos { } n n nx V A x A∈ ⊂ ⇒ ⊂ y además dado 0 xN N n∈ ∃ ∈ ¥ tal

que 0nV N⊂ por ser { }nV base local decreciente

Además

00 n n nn n x V V N∀ ≥ ∈ ⊂ ⊂

{ } converge a nx x∴ Ejemplo 3.3 Sea R con la topología de complementos numerables y sea

Topología General Convergencia y Continuidad - 77 -

- 77 -

{ }\ 0A = ¡

tenemos que A = ¡ ya que sea 0 con 0U U U Nτ∈ ∈ ⇒ ∈ por ser abierto CU es

numerable esto implica que U no puede ser solo el cero es decir { }0U ≠ luego U A φ≠∩ lo que significa que A es denso A∴ = ¡ Consideremos una sucesión { } tal que 0 n nx x n≠ ∀ ∈¥ entonces como

{ }( ) { } { }CC C

0 es numerable n n nx x x N= ⇒ ∈

Ya que { }Cnx τ∈ ⇒ que es entorno de todos sus puntos

Luego { } { } { }C C

0 y n n nx N x x φ∈ =∩ lo que significa que la sucesión no tiende a cero esto sucede por no ser este espacio topológico N1 y no poder aplicar la proposición anterior. Definición 3.4 Un conjunto dirigido es un par ( ),D ≤ donde D es un conjunto no vacío y una relación de orden ≤ que verifica: i) d d d D≤ ∀ ∈

ii) , ,d e

d l d e l De l

≤ ⇒ ≤ ∀ ∈≤

iii) 0 1Dados , entonces existe tal qued d D d D∈ ∈

y 0

1

d d

d d

≥≥

Ejemplo 3.4 Sea ( ),X τ un espacio topológico y x X∈ , ( ),xN ≤ con la relación de orden definida como sigue: Definimos U V U V≥ ⇔ ⊂ entonces: ( ),xN ≤ es un conjunto dirigido, es claro que se cumplen 1) y 2) probaremos la 3) iii) Dados , yx xU V N U V N∈ ⇒ ∈∩ , ya que ,U V U V U V U V≥ ⊂∩ ∩ Ejemplo 3.5 Sea { }, ,D a b c= con la relación de orden b

x x x D≤ ∀ ∈ y además :

a b

c b

≤≤

Se cumplen las tres propiedades a c


- 78 -

Ejemplo 3.6 Sean ( ) ( ), y ,D ED E≤ ≤ son dos conjuntos dirigidos entonces definimos: ( ),D E× ≤ con el orden lexicográfico definido por:

( ) ( ), , o

y

D

E

d d

d c d c

d d c c

′′ ′≤ ⇔ ′ ′=

×

×

comparar con el orden alfabético de las palabras, se cumple que es un conjunto dirigido i) y ii) son inmediatas. iii) Dados ( ) ( ), , ,d e d e′ ′ sea 0 0 0 0 , y , D E E Ed d d d e e e e′ ′≥ ≥ ≥ ≥ que existen por ser cada conjunto dirigido y: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , , ,d e d e d e d e′ ′≥ ≥ Otro orden es tomar componente a componente es decir:

( ) ( ), , y

d d

d c d c

c c

′≤′ ′≤ ⇔ ′≤

Definición 3.5 sean ( ),x τ un espacio topológico y ( ),D ≤ un conjunto dirigido. Una

red es una función :T D X→ que anotamos { }dT a toda la red y dT a un elemento de la red. Por ejemplo las sucesiones son redes. Definición 3.6 Sea { }dT una red en un espacio topológico ( ),X τ y sea .x X∈ Se

dice que { }dT converge a x si dado 0 existe tal que:xN N d D∈ ∈ 0 dT N d d∈ ∀ ≥ Ejemplo 3.7 Sea ( ), con X τ τ discreta dT converge a x si se cumple que existe

0d D∈ tal que:

{ } 0 dT x d d∈ ∀ ≥ es decir que 0 dT x d d= ∀ ≥ Ejemplo 3.8 En ¢ con la topología { } { }: 2 2 1A n A n Aτ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ∪ Si dT es una red que converge a 2n si y solo sí converge a 2n-1. Ya que : 2 2 1n nN N −=


- 79 -

Ejemplo 3.9 Sea { } { }: :n nD a n b n= ∈ ∈¥ ∪ ¥ donde los elementos y n na b son distintos entre sí. Y consideramos la relación ≤ dada por:

si

si 1 n m

n m n n

a a n m

b a n m b b

≤ ≤≤ + ≤ ≤

Podemos representar gráficamente:

1 2 3 4

1 2 3

a a a a

b b b

Consideremos la red 2:T D → ¡ dada por ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1,0 ,1n nn n nx a x b= = − Vemos que dT tiende a ( )0,0 pero no tiende a otro punto por ejemplo ( )0,1 Proposición 3.4 Sea ( ),X τ un espacio topológico, , A X x X⊂ ∈ entonces un

punto x está en A ⇔ existe una red { }dT A⊂ que converge a x. Demostración ⇐ Si existe una red { }dT A⊂ convergente a x ⇒ por definición que: Dado 0 0, existe tal que x dN N d D T N d d∈ ∈ ∈ ∀ ≥ luego

0

y entonces dT N A N A x Aφ∈ ≠ ⇒ ∈∩ ∩

⇒ Sea x A∈ tomemos el conjunto dirigido ( ),xN ≤ como ya vimos definido por : si U V U V≤ ⊃ Entonces si , xU N U A φ∈ ≠∩ ya que x A∈ y xU A N∈∩

Definimos una red { }UT de la siguiente forma UT U A= ∩ es decir : xT N A→

( )0,1 ( )4x b

( )3x b

( )2x b

( )1x b

( )4x a ( )3x a ( )2x a ( )1x a


- 80 -

Tenemos así una red { }UT A⊂ y además UT converge a x ya que si xN N∈ entonces 0 0 tal que si U N U U∃ = ≥ se tiene: 0UT U A A U A N N∈ ⊂ = ⊂∩ ∩ ∩ o sea 0 UT N U U∈ ∀ ≥ lo que implica que UT converge a x Corolario 3.5 Sea ( ),X τ un espacio topológico. Un conjunto A X⊂ es cerrado si y

solo sí para roda red { }dT A⊂ que converge a x se tiene que x A∈ Demostración Es una fácil consecuencia del anterior resultado y del hecho de que A es cerrado si A A= Corolario 3.6 Sean y σ τ dos topologías en X entonces σ τ⊂ si y solo sí toda red que converge con la topología τ implica que converge con la topología σ . Es decir: d dT x T xτ σ→ ⇒ →

Demostración Si σ τ⊂ observemos que dado un entorno xN Nσ∈ por definición existe tal que U x U Nσ∈ ∈ ⊂ y como Uσ τ τ⊂ ⇒ ∈ tal que x U N∈ ⊂ luego

también por definición xN N τ∈ .

Entonces como dT xτ→ dado 0 0 tal que x x dN N N d D T N d dσ τ∈ ⊂ ⇒ ∃ ∈ ∈ ∀ ≥

luego dT xσ→

Recíprocamente Tomemos A X⊂ cerrado con la topología σ Queremos probar que A es cerrado con la topología τ para lo cual tenemos que probar que A Aτ = (clausura de según A τ ) una inclusión se cumple siempre

A Aτ⊂ Sea x Aτ∈ entonces por proposición 3.4 existe una red { }dT A⊂ tal que

{ {por hip. prop. 3.4

d dT x T x x Aστ σ→ ⇒ → ⇒ ∈

y como A es cerrado en A Aσσ ⇒ = entonces x A∈ luego A Aτ ⊂ y por lo tanto y es -cerrado A A Aτ τ=

Es decir que si C C es -cerrado es -cerradoU U U Uσ σ τ τ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ luego σ τ⊂ τ tiene más abiertos que σ , entonces si una red converge con la topología que tiene más abiertos (más fina ) converge con la otra topología (más gruesa).


- 81 -

Observación 3.1 Dos topología coinciden si toda ves que una red converge con una de las topologías también converge con la otra y viceversa. En cierta forma la convergencia de las redes caracterizan a la topología. Proposición 3.7 ( Unicidad de la Convergencia) Sea ( ),X τ un espacio topológico. Toda red en X converge a lo sumo en un punto si y solo sí X es de Hausdöff. Demostración ⇐ Si X es de Hausdöff supongamos que dT converge a dos puntos x e y distintos. Sean , tal que x yU N V N U V φ∈ ∈ =∩

Entonces existen 0 1 y tales que d d D∈

0 2 02

1 2 1

si sea tal que entonces

si d

d

T U d d d dd

T V d d d d

∈ ≥ ≥ ∈ ≥ ≥

2

absurdo por ser dT U V U V φ∈ =∩ ∩

⇒ Supongamos que X no es de Hausdöff o sea que existen: e distintos tales que , x yx y U V U N V Nφ≠ ∀ ∈ ∈∩

y sea ( ) ( ) con , , y x yD N N U V U V U U V V′ ′ ′ ′= × ≤ ⇔ ⊂ ⊂ es fácil ver que es un

conjunto dirigido Si ( ) ( ) {,

elegimos uno

, sea x y U VU V N N T U V U∈ × ∈ ⊂∩ entonces ( ),U VT converge a x ya

que dado ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 existe , , tal que si , ,x

d

W N U V W X U V W X∈ = ≥ 123 entonces:

( ) ( ), ,U V U VT U W T x∈ ⊂ ⇒ →

Análogamente se prueba que ( ),U VT y→

Definición 3.7 Sea { }dT una red en un espacio topológico ( ),X τ . Un punto x X∈

se dice de aglomeración de { }dT si dados 0 y xN N d D∈ ∈ entonces existe d D∈ con 0 tal que:d d≥ dT N∈ Definición 3.8 Dados ( ) ( ), , ,D ED E≤ ≤ dos conjuntos dirigidos, una función

:f E D→ es cofinal si dado 0 tal que d D e E∈ ∃ ∈

( ) 0 f e d≥


- 82 -

Definición 3.9 Sea { }d d DT ∈ una red en un ( ),X τ espacio topológico y sea ( ),E ≤ un

conjunto dirigido y :f E D→ una función cofinal tal que 0d D∀ ∈ existe 0 e E∈

tal que ( ) 0 0 si entonces f e d e e≥ ≥ ( ){ }f e e ET

∈ es una subred de { }dT .

Proposición 3.8 Sea { }dT una red en un ( ),X τ espacio topológico y x X∈ entonces

x es de aglomeración de { }dT si y solo sí existe una subred de { }dT que converge a x Demostración ⇐ Si existe una subred ( ){ }f eT que converge a x con :f E D→ cofinal entonces :

Dado 0 0 y tal que xN N d e E∈ ∃ ∈ ( ) 0 0 f e d e e≥ ∀ ≥ y además

( ){ }1 1 tal que f ee E T N e e∃ ∈ ∈ ∀ ≥

Sea 2 2 1 2 0 tal que , e E e e e e∈ ≥ ≥ ⇒

( ) ( ){ }22 0 y que es de aglomeración.f ef e d T N x≥ ∈ ⇒

⇒ Si x es de aglomeración sea xE N D= × con el orden componente a componente o sea:

( ) ( ), ,U U

U d U dd d

′⊂′ ′≥ ′≥

Dado ( ), xU d N D∈ × sea ( ), tal que : xf U d D f N D D∈ × → (cofinal ) definida

por: ( ) ( ),, y f U df U d d T U≥ ∈

Dado ( )0 0 0 sea , entonces si tomamosd D e X d∈ =

( ) ( ) ( )0 0, , se tiene ,U d X d f U d d d≥ ≥ ≥

( ) ( ){ } { }0 ,, es una subred de df U df U d d T T≥ ⇒

Además:

( ){ }, converge a ya que:f U dT x

( ) ( ) ( )0 0 0 0dado sean y , si , , entonces:xN N d D e N d U d N d∈ ∈ = ≥ ( ) ( ), ,f U d f U dT U N T N∈ ⊂ ⇒ ∈

luego ( ){ },f U dT x→


- 83 -

Definición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, : , f X Y x X→ ∈ se dice que f es continua en x si: Dado ( ) tal que xf xW N N N∈ ∃ ∈ ( )f N W⊂ Decimos que f es continua si es continua en todo punto. Observación para el caso particular de espacios métricos la definición se puede rescribir : , f X Y x X→ ∈ f es continua en x ⇔ dado una bola ( )( ),B f x ε implica que existe una bola ( ) ( )( ) ( )( ), tal que , ,B x f B x B f xδ δ ε⊂ dicho de otra forma : Si dado ( )0 0 tal que si ,d x yε δ δ> ∃ > < entonces ( ) ( )( ),d f x f y ε< Proposición 3.9 Sean X e Y espacios topológicos, :f X Y→ una función entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) f es continua 2) ( ) ( )1, xf xx X N N se tiene que f N N−∀ ∈ ∈ ∈

3) ( )1 A Y abierto f A es abierto−⊂ ⇒ 4) Para toda base B de la topología de Y ; ( )1f B− es abierto B∀ ∈B 5) Para toda subbase S de la topología de Y; ( )1f C− es abierto C S∀ ∈ 6) Si F Y⊂ es cerrado, ( )1f F− es cerrado. Demostración 1) 2)⇒ por definición de continuidad si ( ) ( ), tal que xf xW N N N f N W∈ ∃ ∈ ⊂

entonces como ( )( ) ( )1 1N f f N f W− −⊂ ⊂ es decir que ( )1N f W−⊂ y como

( )1x xN N f N N−∈ ⇒ ∈

2) 3)⇒ Si A es abierto implica que es entorno de todos sus puntos yA N y A∈ ∀ ∈ pero si ( ) ( )1 tal que y A Y x f A X y f x−∈ ⊂ ⇒ ∃ ∈ ⊂ = luego ( )f xA N∈ ⇒ por la

hipótesis que ( ) ( ) ( )1 1 1 , xx f A f A N f A− − −∀ ∈ ∈ ⇒ es entorno de todos sus puntos luego es abierto. 3) 4) 5)⇒ ⇒ son obvios

C5) 6) ahora si es cerrado es abiertoF Y F⇒ ⊂ ⇒ sea S una subbase de la topología de Y entonces


- 84 -

índice que indica una selección. {C

1 2abierto

... nF S S Sα

α α α

α

= ∩ ∩ ∩∪

entonces:

( ) ( ) ( )1 C 1 1 11 1

abiertos

intersección finita de abiertos es abierto

... ...n nf F f S S f S f Sα α

α α α α

α α

− − − − = =

∩ ∩ ∩ ∩1424314444244443

∪ ∪ es abierto por ser

unión de abiertos luego como

( ) ( ) ( )C1 C 1 1 abierto es cerradof F f F f F− − −= ⇒

6) 1)⇒ Primero observemos que:

Si ( )1 es cerrado f F F Y− ∀ ⊂ ⇒ para todo C abierto es cerradoA Y A⊂ ⇒ ⇒

( ) ( ) ( )C1 C 1 1 es cerrado es abiertof A f A f A− − −= ⇒

Sean ( ) {por def. de entorno

, abierto tal quef xx X W N A Y∈ ∈ ⇒ ∃ ⊂

( )f x A W∈ ⊂

como A es abierto ( )1f A−⇒ es abierto por la observación de más arriba

y ( ) ( )1f x A x f A−∈ ⇒ ∈ por ser abierto es entorno de todos sus puntos llamemos

N a ( )1xf A N− ∈ y se tiene que:

( ) ( )1

N

f f A A W f N W− ⊂ ⊂ ⇒ ⊂ 14243

Luego se cumple la definición de continuidad. Ejemplo 3.10 Sea X con la topología discreta e Y un espacio topológico cualquiera, toda función

:f X Y→ es continua ya que para cualquier ( )1 se tiene A Y f A−⊂ lo podemos escribir como la unión de sus elementos que son abiertos en X ( ) { }{

( )1

1

abierto

unión de abiertos es abiertox f A

f A x−

−

∈

= ⇒∪ .

Ejemplo 3.11 Sea Y con la topología indiscreta entonces toda función :f X Y→ es continua ya que: { }Y Yφ= ∪ que son los únicos abiertos de Y.

( ) ( )1 1 , que son abiertos en f f Y X Xφ φ− −= =


- 85 -

Ejemplo 3.12 Sea en X dos topologías y tal que τ σ τ σ⊂ (σ es más fina que τ ) y sea la función ( ) ( ): , ,Id X Xσ τ→ es continua ya que:

( )1 tal que entonces A Y A Id A Aτ τ σ−∀ ⊂ ∈ = ∈ ⊂ luego es abierto en el dominio. Ejemplo 3.13 Sea la función : continua , f X Y A X→ ⊂ entonces: ( ) ( )| : definida como |A Af A Y f x f x→ =

(también suele anotarse en vez de ( )|Af x como ( )Af x ) es continua con la topología relativa ya que: ( ) ( )1 1

abierto en

Sea abierto en A

X

U Y f U f U A− −= ⇒∩14243

por definición que ( )1Af U− es abierto en A con la topología relativa.

Ejemplo 3.14 Sea la función :f X Y→ continua y consideremos :

( ) ( ) ( ): definida f X f X f x f x→ =% %

tenemos que es continua con la topología relativa en ( )f X ya que:

Sea ( ) abierto en U f X entonces por definición

( ) con abierto en U V f X V Y= ∩

( ) ( ) ( )( )( )( )

1 1 1

1

1 que es abierto en

f U f V f f X

f V X

f V X

− − −

−

−

=

=

=

% % %∩∩

luego f% es continua. Ejemplo 3.15 Sean f,g dos funciones continuas

:

: es continua:

f X Yg f X Y

g Y Z

→⇒ →

→o

Sea U abierto en Z entonces

( ) ( ) ( )1 1 1

abierto por

abierto por g

g f U f g U f− − − = ⇒

o 14243

Ejemplo 3.16 Sea X A B= ∪ con A y B cerrados en X si :f X Y→ es tal que sus restricciones 1 2| , |A Bf f f f= = son funciones continuas y tal que en los puntos de A B∩ vale 1 2f f= entonces f es continua.


- 86 -

Demostración

( )( )( )

1

2

si

si

f x x Af x

f x x B

∈= ∈

la condición ( ) ( )1 2 f x f x x A B= ∀ ∈ ∩ es para que f está bien definida. Entonces sea F X⊂ cerrado en X ( ) ( ) ( )1 1 1

1 2f F f F f F− − −= ∪

1 :f A Y→ es continua ( )11f F−⇒ es cerrado en A y como A a su vez es cerrado en

X entonces ( )11f F− es cerrado en X ; análogamente con ( )1

2f F− es cerrado en X

luego ( )1f F− es cerrado o sea f es continua. Proposición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, x X∈ entonces f es continua en x si y solo sí para toda red { }dT que converge a x se tiene que la red ( ){ }df T

converge a ( )f x . Demostración ⇒ si f es continua y dT x→ por definición

Dado ( ) ( )1xf xW N f W N−∈ ⇒ ∈ y en consecuencia 0 tal que d D∃ ∈

( )10 dT f W d d−∈ ∀ ≥

entonces si 0d d≥

( ) ( )( )

( )

1d

d

f T f f W W

f T W

−∈ ⊂

∈

y por lo tanto ( ){ }df T converge a ( )f x .

⇐ Supongamos que f no es continua en x es decir que:

( ) tal que xf xW N N N∃ ∈ ∀ ∈ se tiene:

( )f U W⊄

Sea si sea x x UD N U N T U= ∈ ∈ tal que ( )Uf T W∉ es posible por ser

( )f U W⊄ . Dado , si x U UV N U V T U V T x∈ ≥ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ →

Pero ( ){ }Uf T no converge a ( )f x ya que

( ) U xf T W U N∉ ∀ ∈

Construimos así una red { }UT convergente a x pero que:

( )Uf T → ( )f x lo que contradice la hipótesis.


- 87 -

Proposición 3.11 Sean X e Y espacios topológicos , :f X Y→ las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) f es continua. 2) Para todo A X⊂ se cumple ( ) ( )f A f A⊂

3) para todo B Y⊂ se cumple ( ) ( )1 1f B f B− −⊂

4) para todo B Y⊂ se cumple ( ) ( )( )1 1f B f B− −⊂oo

Demostración

( ) ( )( )1) 2) Sea x A f x f A⇒ ∈ ⇒ ⊂ ⇒ por proposición 3.4 { } tal que dT A∃ ⊂

dT x→ y además ( ) ( )df T f A⊂ y f es continua ( ) ( )df T f x⇒ → entonces por la misma proposición 3.4 ( ) ( ) ( ) ( ) o sea f x f A f A f A∈ ⊂

( )12) 3) como B Y f B X−⇒ ∈ ⇒ ⊂ y aplicamos lo anterior

( )( ) ( )( )1 1

B

f f B f f B B− −

⊂

⊂ ⊂14243

Luego

( )( )( ) ( )1 1 1f f f B f B− − −⊂

( ) ( )( ) ( )1 1 1 1f B f f f B f B− − − − ⊂ ⊂

es decir

( ) ( )1 1f B f B− −⊂

3) 4)⇒ usando el lema 2.13 b)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

CCC C1 1 1

C C C1 C 1 C 1 C

C1 C 1

f B f B f B

f B f B f B

f B f B

− − −

− − −

− −

= = =

= ⊂ = =

= =

o oo

o

o o

4) 1)⇒ Sea B abierto en Y entonces como B B=o aplicando lo anterior

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1f B f B f B f B− − − −= ⊂ ⊂oo

luego ( ) ( )( ) ( )1 1 1f B f B f B− − −= ⇒o

es abierto y por lo tanto f es continua.


- 88 -

Definición 3.11 Sean E y F espacios métricos, :f E F→ es uniformemente

continua si dado ( )0 0 tal que si , , ,x y E d x yε δ δ> ∃ > ∈ < ⇒

( ) ( )( ),d f x f y ε<

El concepto de continuidad es un concepto local (para un punto) mientras que el concepto de continuidad uniforme es un concepto global.( no depende del punto). De la definición se desprende que continuidad uniforme implica continuidad. Definición 3.12 Sean E , F espacios métricos :f E F→ es una inmersión isométrica si: ( ) ( ) ( )( ), , ,d x y d f x f y x y E= ∀ ∈

Proposición 3.12 Si f es un inmersión isométrica se cumplen las siguientes propiedades: 1) f es inyectiva 2) f es uniformemente continua 3) la composición de inmersiones isométricas es también una inmersión isométrica. Demostración 1) si ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 , ,f x f y d f x f y d x y x y= ⇒ = = ⇒ = porque estamos en un

espacio métrico. 2) Dado ( )0, tomando entonces si ,d x yε δ ε δ> = < ⇒

( ) ( )( ) ( ), ,d f x f y d x y δ ε= < =

3) es inmediato por definición. Definición 3.13 Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva. Definición 3.14 Dos espacios métricos E,F son isométricos si existe : i E F isometría→ Observación La inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías. La isometría se comporta como una relación de equivalencia. Definición 3.15 Sea ( ),E d un espacio métrico, , A E A φ⊂ ≠ Si x E∈ la distancia de x a A es por definición: ( ) ( ){ }, inf , :d x A d x a a A= ∈

como consecuencia de lo anterior definición :


- 89 -

( ){ }: , 0A x d x A= =

Demostración Si ( ) { }, 0 tal que nd x A x A= ⇒ ∃ ⊂

( ) ( )11, , n nd x x B x A x A

nφ< ⇔ ≠ ⇔ ∈∩

Definición 3.16 Definimos un función llamada función distancia : Ad E → ¡ tal que ( ) ( ),Ad x d x A= Proposición 3.13 La función distancia es uniformemente continua. Demostración

Dado ( )0 si , , 2

d x y a Aε

ε > < ∈

( ) ( ) ( ), , ,d y a d x a d x y≤ +

( ) ( ) ( ), , ,d x a d y a d x y≤ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,d x a d x y d y a d x a d x y− ≤ ≤ +Si tomamos la primer desigualdad

( ) ( ) ( ), , ,d x a d x y d y a− ≤

( ) ( ) ( ), , ,d x a d y a d x y≤ + como

( ){ }inf , :Ad d x a a A= ∈

entonces ( ) ( ), Ad x d x a a A≤ ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( ), , , Ad x d x a d y a d x y a A≤ ≤ + ∀ ∈

( ) ( ) ( ), , Ad x d y a d x y a A≤ + ∀ ∈ si la desigualdad se cumple siempre también se cumple con el ínfimo

( ) ( ) ( ) ( ),2A A Ad x d y d x y d yε

≤ + ≤ +

tomando la segunda desigualdad ( ) ( ) ( ), , ,d y a d x a d x y≤ +

( ) ( ){ }inf , :Ad y d y a a A= ∈

luego ( ) ( ) ( ) ( ), , , Ad y d y a d x a d x y a A≤ ≤ + ∀ ∈

x

2ε

y a A


- 90 -

pasando al ínfimo

( ) ( ) ( ) ( ),2A A Ad y d x d x y d xε

≤ + ≤ +

es decir:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2

22

A A

A

A A

d x d yd x d y

d y d x

εε

εε

≤ + ⇒ − < <≤ +

Dado ( ) ( ) ( ) ( )0 tal que si ,2 A A Ad x y d x d y d xε

ε δ δ ε> ∃ = < ⇒ − < ⇒ es

uniformemente continua. Definición 3.17 Si X , Y son espacios topológico :f X Y→ es un homeomorfismo si f es tal que: i) f es continua. ii) f es biyectiva iii) 1f − es continua. Definición 3.18 Se dice que los espacios topológicos X,Y son homeomorfos si existen :f X Y→ homeomorfismo. Ejemplo 3.17 Sean X,Y espacios topológicos discretos entonces :f X Y→ es

continua por ser X discreto entonces 1f − es continua por ser Y discreto, entonces tienen el mismo cardinal si y solo sí son homeomorfos. Ejemplo 3.18 X e Y indiscretos son homeomorfos si y solo sí tienen el mismo cardinal. Definición 3.19 Sean X,Y espacios topológicos :f X Y→ se dice que f es abierta si

( )f A es abierto para todo A X⊂ abierto.

Y se dice que f es cerrada si ( )f F es cerrado para todo F X⊂ cerrado. Proposición 3.14 Sean X,Y espacios topológicos :f X Y→ biyectiva entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) f es un homeomorfismo 2) f es continua y abierta 3) f es continua y cerrada.


- 91 -

Demostración 11) 2) como f −⇒ es continua solo para que la notación quede más amigable

llamemos a 1f g− = si A X⊂ es abierto entonces

( )( ) ( )1 es abierto g A f A− =

2) 3)⇒ si F es cerrado implica CF es abierto y por hipótesis

( ) ( )( ) ( )CC C es abierto es cerradof F f F f F⇒ =

3) 1)⇒ Si es cerradoF X⊂ llamemos 1g f −= entonces

( ) ( )1 es cerrado f F g F−=

luego 1g f −= es continua y por lo tanto un homeomorfismo. Definición 3.20 Sean E y F espacios métricos consideremos el conjunto ( ) { }, : : acotadaB E F f E F= →

f acotada: ( )f E F⊂ es acotada como conjunto es decir:

( ) ( ) ( )( ){ }diam sup , : ,f E d f x f y x y E= ∈ < ∞

a su vez podemos definir una distancia en ( ),B E F de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( ){ }, sup , : ,d f g d f x g x x y E= ∈

en el conjunto ( ),B E F el supremo es finito. Sea e E x E∈ ∀ ∈ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )diam diam

, , , ,f E f E

d f x g x d f x f e d f e g e d g e g x≤ ≤

≤ + +1442443 1442443

entonces ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

acotado acotadoacotado

, diam , diamd f x g x f E d f e g e f E≤ + +14243 142431442443

luego el supremo de ( ) ( )( ),d f x g x es finito por estar la distancia acotada.

Definición 3.21 El conjunto de funciones acotadas ( ),B E F con la distancia del supremo define un espacio métrico llamado espacio de convergencia uniforme. Definición 3.22 Una red { }df de funciones se dice que converge uniformemente a f si para cada 0 00 tal que d D d dε > ∃ ∈ ∀ ≥ se cumple:

( ) ( )( ), dd f x f x x Eε< ∀ ∈

Anotamos o ud df f f f→⇒

El nombre de dicho espacio métrico está justificado por la siguiente proposición


- 92 -

Proposición 3.15 Una red { } ( ),df B E F⊂ que converge a f en ( )( ), ,B E F d si y

solo sí { }df converge uniformemente a f. Demostración

0 0 Si dado >0 existe tal que df f d D d dε⇒ → ⇒ ∈ ∀ ≥

( ),dd f f ε< es decir que ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } , sup , :d dx E d f x f x d f x f x x E ε∀ ∈ ≤ ∈ <

luego df f⇒

0 0 Si tal que d D d d⇐ ∈ ∀ ≥ se cumple:

( ) ( )( ), 2dd f x f x x Eε

< ∀ ∈

tomando supremo

( ) ( ) ( )( ){ }, sup , :2d dd f f d f x f x x Eε

ε= ∈ ≤ <

luego df fä converge uniformemente. Proposición 3.16 Sea el conjunto ( ) { }, : : continuas y acotadas bC E F f E F= →

entonces ( ),bC E F es cerrado en ( )( ), ,B E F d .

Demostración Sea ( ) { } ( ), , tal que b n bf C E F f C E F∈ ⇒ ∃ ⊂ nf f→

hay que probar que f es acotada y continua para probar que ( ),bf C E F∈ por definición de convergencia dado 0 0 , 0 sea tal que x E n n nε∈ > ∀ ≥

( ),3nd f fε

<

Y como 0nf es continua sabemos que existe ( )0 tal que si , entoncesd x yδ δ> <

( ) ( )( )0 0

,3n nd f x f yε

<

y entonces ,x y E∀ ∈

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0 0 0 0

0 0

3 3

, , , ,

, ,3

n n n n

n n

d f x f y d f x f x d f x f y d f y f y

d f f d f f

ε ε

εε

< <

≤ + + ≤

≤ + + <14243 14243

luego f es continua


- 93 -

análogamente como 0nf es acotada esto significa que ,x y E∀ ∈ existe M positivo tal

que

( ) ( )( )0 0

,n nd f x f y M<

entonces ,x y E∀ ∈

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0 0 0 0

0 0

3 3

, , , ,

, , 23

n n n n

n n

d f x f y d f x f x d f x f y d f y f y

d f f M d f f M

ε ε

ε

< <

≤ + + ≤

≤ + + < +14243 14243

luego f está acotada y entonces ( ),bf C E F∈ . Definición 3.23 Sea el conjunto de funciones ( ) { }, :X Y f X Y= →F

con X e Y espacios topológicos una red { }df en este conjunto se dice convergente

puntualmente a f del mismo conjunto si para todo x X∈ la red ( ){ }df x converge a

( )f x en Y. Lo anotamos pdf f→

Definición 3.24 Sean X e Y espacios topológicos para cada x X∈ y para cada abierto U Y⊂ con ( )f xU N∈ sea

( ) ( ){ }, , :x UW g X Y g x U= ∈ ∈F

entonces el conjunto { }, : , abiertox US W x X U Y= ∈ ⊂

es una subbase de una topología llamada de convergencia puntual La afirmación de que es una subbase está justificada por ser ( ) ,

abierto en

, x Ux X

U Y

X Y W∈

= ∪F

ya que por definición ( ), ,x UW X Y⊂ F y además

Si ( ) ( ), si y con abierto en f xf X Y x X U N U Y∈ ⇒ ∈ ∈F entonces ( ) ,x Uf x W∈

implica ( ) ,

abierto en

x Ux X

U Y

f x W∈

∈ ∪

entonces ( ){ }

1 1, ,.... : con , ,n n ix U x U i i Y i f xW W x X U U Nτ= ∈ ∈ ∈∩ ∩B

es una base de la topología llamada de convergencia puntual.


- 94 -

Proposición 3.17 Toda red { }df en ( ),X YF converge en la topología definida como de convergencia puntual si : ( ) ( ) d df f f x f x para cada x X→ ⇔ → ∈ Demostración ⇒ Sea ( ) abierto en f xx X U Y U N∈ ∈ queremos ver que

0 tal qued D∃ ∈ 0 d d∀ ≥ se cumple que

( )df x U∈ Sea ,x UW es un entorno de f y como df f→ ⇒ para cada entorno de f en particular

el ,x UW entorno de f existe 0 0 tal que d D d d∈ ∀ ≥

( ), d x U df W f x U∈ ⇒ ∈

luego ( ) ( )df x f x→ ⇐ Sea V un abierto de la base tal que f V∈ ⇒ ( ){ }

1 1, ,... : :n nx U x U iV W W g X Y g x Ui= = → ∈∩ ∩

luego ( ) ( ) ( ) y como i i d i if V f x U f x f x∈ ⇒ ∈ →

implica que ( ) tal que 1,...,i d i i id D f x U d d i n∃ ∈ ∈ ∀ ≥ ∀ = tomando

{ }0 max : 1,..., que existe por ser un conjunto dirigidoid d i n D= = entonces

0d d∀ ≥ ( ) 1,...,d i if x U i n∈ ∀ = es decir

1 1, ,...n nd x U x Uf W W V∈ =∩ ∩

luego df f→

Capítulo 4

Conjunto de Cantor Estudiaremos en este capítulo un ejemplo de subespacios de la recta más importantes e interesantes en Topología definido por Cantor en 1883, y que ha aparecido desde entonces en multitud de ejemplos y teoremas topológicos. Consideremos el conjunto cuya construcción es la siguiente, partimos el intervalo [0,1] en tres tercios, y extraemos el tercio central, luego repetimos el proceso para estos tercios y así sucesivamente, el límite de esta construcción es el conjunto de Cantor. Para entender más esto vamos primero a introducir un poco de notación.

Si [ ] ( )2, , ,

3 3

b ab aI a b I a a b∗ −− = ⇒ = +

U , si k kk k

I I I I∗ ∗= ⇒ =U U

Introducida la notación comencemos, sea [ ]0 0,1 ; A = [ ] [ ]1 21 0 3 30, ,1A A∗= = U

[ ] [ ] [ ] [ ]7 81 2 1 22 1 9 9 3 3 9 90, , , ,1A A∗= = U U U

en general 1n nA A∗−= entonces el conjunto de Cantor es:

0

nn

A∞

=

= IC

1A es unión de 2 intervalos

2A es la unión de 4 intervalos

M

nA es la unión de 2n intervalos disjuntos.

2

1

,n

k kn n n

k

A a b=

= U

y

13

k kn n nb a− =

o sea la medida de 1 2

es 2 .3 3

nn

n nA =

.

Ahora veremos algunas de las propiedades más importantes del conjunto de Cantor


- 96 -

Proposición 4.1El conjunto de Cantor C es cerrado. Demostración nA para todo n es unión finita de cerrados luego es cerrado y como C es intersección de cerrados es cerrado. Proposición 4.2 C no contiene ningún intervalo abierto es decir que φ=oC Demostración Supongamos por el absurdo que sí tenemos un abierto ( ),c d ⊂ C lo

que implica ( ), nc d A n⊂ ∀ y como nA es unión de intervalos disjuntos lo que significa que tiene que estar en uno de ellos ( ), , para algún k k

n nc d a b k⊂

por lo tanto

{

0

10 0

3nd c n d c

→

< − ≤ ∀ ⇒ − =

Proposición 4.3 Los extremos de las intervalos cerrados disjuntos dos a dos que definen nA se escriben como

{ } { }1

: 0,23

nk in ii

i

xa x

=

= ∈ ∑

Demostración Lo demostraremos por inducción completa. Primero que nada observemos que 1

0 0a =

En { } { }{ } { }

21 1 3

2 2 2 22 2 9 3 3 9

0,

0, , ,

k

k

A a

A a

=

= +

Etc...

H) { } { }1

: 0,23

nk in ii

i

xa x

=

= ∈ ∑

T) { } { }1

11

: 0,23

nk in ii

i

xa x

+

+=

= ∈ ∑ j

na

n+1

1

3

64748

1jna +

n+1

2

3

144424443 1kna +

0A

1A 2A

Topología General Conjunto de Cantor - 97 -

- 97 -

Demostración

{ }1

1

para algún

2 para algún

3

jn

kn j

n n

a ja

a j+

+

=

+

{ }

{ }

11 1

1 1

1

1

2 0,2

3 3 3

0 2

: 0,23

n ni i

ii i ni i

n n

ni

iii

x xx

x x

xx

+= =

+ +

+

=

+ ∈

= =

∈

∑ ∑

∑

por lo tanto

{ } { }1

11

: 0,23

nk in ii

i

xa x

+

+=

= ∈ ∑

Proposición 4.4 Si y , ,j j k k

m m n nm n a b a b φ> ≠ ∩ entonces:

, ,j j k km m n na b a b⊂

Demostración

Sean { }1 1

con , 0,23 3

m nj ki i

m n i ii ii i

y xa a x y

= =

= = ∈∑ ∑

Vamos a analizar tres casos Caso a) Sea 1,...,i ix y i n= ∀ = en este caso tenemos:

1 1 1

03 3 3

m n mj k i i i

m n i i ii i n

y x ya a

= = +

− = − = ≥∑ ∑ ∑

lo que significa j km na a≥

kna j

ma más precisamente


- 98 -

1 1

1 1

12

3 3

1 1 1 11 1

3 3 3 31 12 2

1 13 3 1 13 3

1 11 1

1 13 32 1 12 2 3 3

1 13 3

m mj k i

m n i ii n n

m n

m n

i ii i

n m

m n

n m

ya a

= + +

= =

− = ≤ =

− − = − = − = − −

− − = − = − − +

= −

∑ ∑

∑ ∑

es decir

1 13 3

1 13 3

j km n

j km n n m

j km nm n

b b

j km n

a a

a a

b b

= =

− ≤ −

+ ≤ +

≤

14243 123 k

na jma j

mb knb

por lo tanto , ,j j k k

m m n na b a b⊂

Caso b) Sea , l l i ix y y x i l n≠ = ∀ < < Entonces 2l ly x⇒ − = ± Analicemos primero i) 2l ly x− =

( )

02

1

1 1 1

1 1

1

23 3 3 3

2 1 2 12 2

3 3 3 3

12 2 1 1 13213 3 3 3 31 3

l n mj k i i i i i

m n i l i ii l n

n

l i l il l

l

l l l l n

y x y x ya a

≥=−

−

= + +

∞

+ +

+

− −− = + + + ≥

≥ − ≥ − =

= − = − = >−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

678 678

Luego


- 99 -

13

13

j km n n

j k km n nn

a a

a a b

− >

> + =

kna k

nb jma j

mb no hay intersección ii) 2l ly x− = −

}

( )

2 2

1 1 1

1

1

2 2 12

3 3 3 3 3

12 1 2 2 1 1 132 223 3 3 3 3 3 3

3

n m mj k i i i

m n l i i l il n l

l

l i l l l l ml

y x ya a

≤ ≤

+ + +

+∞

+

−− −− = + + ≤ + ≤

− − − − −≤ + = + = + = <

∑ ∑ ∑

∑

678

luego

13

13

jm

j km n m

j km nm

b

j km n

a a

a a

b a

=

−− <

+ <

<

14243 j

ma jmb k

na knb

absurdo porque en esta situación no hay intersección. Entonces solo es posible el primer caso en que ya vimos que. , ,j j k k

m m n na b a b⊂

Proposición 4.5 Si C es el conjunto de Cantor entonces:

{ }1

: 0,23

iii

i

xx

∞

=

= ∈ ∑C

Demostración Sea { }1

con 0,23

iii

i

xy x

∞

=

= ∈∑

Por construcción Si m nm n A A≥ ⇒ ⊂

Y como 1 1

3 3

m mi i

m ni ii i

x xA A m n

= =

∈ ⇒ ⊂ ∀ ≥∑ ∑ y por lo tanto su límite pertenece a la

clausura.


- 100 -

Pero n nA A= por ser cerrados Entonces

1

lim 3

mi

m n nii n

xy A n y A

= ∈

= ∈ ∀ ⇒ ∈ =∑¥

∩ C

Recíprocamente: en primer lugar: si n

n

t A∈

∈ =¥

∩C implica que para cada ( ) ( ) ( ), , , tal que ,k n t k n tn nn k n t t a b ∃ ∈ ⇒

( ), 10

3k n tn n

a t− < →

Luego ( ),k n t

na t→ En segundo lugar Como ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,k m t k m t k n t k n t

m m n nm n t a b a b ∀ ≥ ∈ ∩ implica por proposición 4.4 que:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, ,k m t k m t k n t k n tm m n na b a b ⊂

es decir que: ( ) ( ), ,k n t k m t

n ma a t≤ ≤ siendo

( ) ( ), ,

1 1

y pero ya vimos que 1,..., si 3 3

n mk n t k m ti in m i ii i

i i

x ya a x y i n m n

= =

= = = ∀ = ≥∑ ∑

entonces

( ) ( ), , y k n t k m tn ma a son reducidas de la serie

1 3ii

i

x∞

=∑ entonces como existe el límite de

las reducidas ( por ser monótonas crecientes y acotadas superiormente )

( ),

1

lim3

k n t in n i

i

xt a

∞

=

∴ = = ∑

Proposición 4.6 Todos los puntos del conjunto C de Cantor son de acumulación Demostración

Si { }1

con 0,23

iii

i

xt t x

∞

=

∈ ⇒ = ∈∑C

Si no existe 0n a partir del cual todos los términos de la serie son ceros entonces las sumas parciales de la serie ( puntos del conjunto de Cantor ) son distintas a t y siempre hay una a distancia menor que un cierto 0ε > arbitrario. Supongamos que 0 0 tal que 0 in x i n∃ = ∀ > Entonces


- 101 -

0

0

0

1

1 1 1

y sea tal que3

0 2

3 3 3

nii

i

n nii i i

i n n

xt t

xt

=

∞

= + +

′= ∈

′ = + +

∑

∑ ∑ ∑

C

Claramente t’ pertenece a C por proposición anterior. Entonces:

( ) 1

1

122 1 13 23 3 3

3

n

i n nn

t t t t t t

+∞

+

′ ′= + = + = + ⇒ − =∑

Sea 2 1 2

tal que 3 3 3n n n

t tε ε ε′< ⇒ − = < < esto significa:

( ), \ es de acumulaciónt B t t tε′∈ ⇒∩C Proposición 4.7 Existe una función [ ]: 0,1f →C sobre y uniformemente continua Definida como:

{ }2

1 1

con 0,23 2

ixi

ii ii i

xf x

∞ ∞

= =

= ∈ ∑ ∑

Demostración

Si { } { }0,2 0,12i

i ixx y∈ ⇒ = ∈ y podemos escribir

1 1

3 2

i ii i

i i

x yf

∞ ∞

= =

= ∑ ∑ con

{ } 0,1iy ∈

f es sobreyectiva ya que en primer lugar si ( )0 0iy i f= ∀ ⇒ = y si 1 iy i= ∀

implica ( )1

11

2ii

f∞

=

= =∑

en segundo lugar

{ }1

con 0,1 2

iii

i

yy

∞

=

∈∑ es un número en base dos entre cero y uno.

Ahora dado 00

10 Sea tal que

2nnε ε> < tomamos dos elementos del conjunto de

Cantor a distancia menor que 0

13n Sean 0

1 1

, i3 3

i ii ii i

i i

x yx y n

∞ ∞

= =

⇒ = ∀ ≤∑ ∑ en este

caso:


- 102 -

0

0

1 1 1

1

1,

3 3 2 2

1 12 2 2

i i i ii i i

i i n

i ii

n

x y x yd f f

x y

∞ ∞ ∞

= = +

∞

+

− = ≤ −

≤ ≤

∑ ∑ ∑

∑ 20

0 1

1 12 2ni

n

ε∞

+

= <∑

entonces si ( )0

1, y ,

3nt s d t s δ∈ < =C entonces:

( ) ( )( ),d f t f s ε<

por lo que f es uniformemente continua. Como corolario podemos afirmar que el conjunto de Cantor es no numerable.

Capítulo 5

Topología Producto Veamos primero la definición de topología producto para el cado finito. Definición 5.1 Sea ( ){ }, : 1,...,i iX i nτ = una familia finita de espacios topológicos.

Entonces la familia de subconjuntos del producto cartesiano 1 2 ... nX X X× × ×

{ }1 2 ... : 1,...,n i iU U U U i nτ= × × × ∈ ∀ =B Como 1 2 ... nX X X× × × se puede expresar como unión de elementos de B ,basta con tomar los i iU X= que son elementos de iτ , y como este conjunto es cerrado por intersecciones finitas Por tanto según corolario 2.18 existe una única topología sobre dicho conjunto respecto de la cual B es una base. La llamaremos topología producto y al espacio resultante producto topológico. Observación Para referirnos a un elemento del espacio producto podemos adoptar las siguientes anotaciones:

{ } ( )1 1

: 1,..., : 1,...,nn

i i ii i

X f n X f i X i n= =

= → ∈ ∀ =

∏ ∪

también suele usarse la siguiente notación

{ }1 1

: 1,..., : 1,...,nn

i i i ii i

X x n X x X i n= =

= → ∈ ∀ =

∏ ∪

poniendo ix en vez de ( )x i .

Definición 5.2 Dado el producto cartesiano 1

n

ii

X=

∏ definimos las funciones

1

:n

i i ii

p X X=

→∏ como

( ) ( )ip f f i= o ( )i ip x x= que llamamos proyección canónica asociada al índice i


- 104 -

Proposición 5.1 Las funciones proyecciones son continuas. Demostración Para probar el enunciado tenemos que probar que la imagen inversa de un abierto es abierto. Sea iU abierto en iX

( ) ( )1

1

: con n

i i i i i i i ii

p U x X p x x U U τ−

=

= ∈ = ∈ ∈

∏

lo que significa: ( )1

1 1 1... ...i i i i i np U X X U X X−− += × × × × × ×

y por lo tanto ( )1 es abierto en el productoi ip U− por lo que las proyecciones son continuas para todo i

Topología Producto Caso infinito Definición 5.3 Sea ( ){ }, :X Iα ατ α ∈ una familia indexada de espacios topológicos

se define el producto cartesiano de espacios topológicos a:

( ): :I I

X f I X f Xα α αα α

α∈ ∈

= → ∈

∏ ∪

El axioma de elección nos dice que este conjunto producto es no vacío si y solo sí cada factor Xα no lo es. A los elementos del espacio producto en ocasiones los

anotaremos por en lugar de x f y en este caso ( ) lo anotamos por x xαα con esta notación

: :I I

X x I X x Xα α α αα α∈ ∈

= → ∈

∏ ∪

Definición 5.4 Sea ( ){ }, :X Iα ατ α ∈ una familia de espacios topológicos indexada

definimos topología producto como la menor (la menos fina) topología que hace continua a las proyecciones :

I

p X Xα β αβ∈

→∏

para todo Iα ∈ .Así que definimos como topología producto como a la generada por la subbase ( ){ }1 : abierto , S p U U U X Iα α α α α α−= ⊆ ∀ ∈

los abiertos de la base son entonces de la forma.

Topología General Topología Producto - 105 -

- 105 -

( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 1 1...n n

p U p U p Uα α α α α α− − −∩ ∩ ∩

con n finito también podemos escribir a los mismos como

{ }

1

,...,1

...n

n

I

X U U

β α α

β α αβ

≠∈

× × ×∏

Esto es, un abierto B de la base es un producto donde todos los espacios coordenados son los Xα salvo para un número finito de índices con 1,...,i i nα = donde tenemos abiertos propios de cada uno de los espacios indexados. Finalmente un abierto de la topología producto será todo lo que podamos expresar cono unión de estos elementos B de la base que anotamos por B. Suele llamarse a esta topología, topología producto de Tychonoff pues fue A. Tychonoff quién en el año 1929 definió esta topología y probó sus más importantes propiedades. Observación 5.1 Realmente esta topología ( )τ es la menos fina de las que hacen continua todas las proyecciones. Demostración Supongamos que tenemos otra topología que llamamosσ que también hace continuas todas las proyecciones. Como

( )1 : con abierto, y finitoF

p U U U X F Iα α α α αα

−

∈

= ⊆ ⊂ ∩B

es la base de la topología producto τ . Entonces si ( ) ( )

1 1

1 1...n n

U U p U p Uα α α α− −∈ ⇒ = ∩ ∩B y como cada ( )1

i ip Uα α

− es

abierto en σ porque esta topología hace continua las proyecciones entonces la intersección finita de abiertos es abierto en σ y U σ∈ . Todo elemento de la base de τ esta en σ entonces si A es abierto con la topología τ como con A A Aα α

α

⇒ = ∈∪ B y cada Aα es abierto según σ , la unión de abiertos

es abierto A Aαα

⇒ = ∪ es abierto según σ τ σ⇒ ⊂ o sea σ tiene más abiertos que

τ la topología producto. Observación 5.2 Si tomamos como base de una topología aquellos conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es si llamamos B a un elemento de la base: con abierto en ,

I

B U U X Iα α αα

α∈

= ∈∏

obtenemos la llamada topología caja introducida por H. Tietze en 1923 históricamente anterior a la introducida por Tychonoff la cual posea más abiertos que nuestra topología producto y por tanto la contiene. Como las proyecciones son continuas con la topología producto entonces son continuas con la topología cajas. Ya que:


- 106 -

( )1 2 1 1 22

1

: continua

sea abierto en según

continua según X X Y X X

X

X

f X Yf

U f U

f

τ τ τ τ ττ

τ

−

→ ⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒

A menos que especifiquemos lo contrario, cuando hablemos del espacio producto, entenderemos que la topología involucrada es la topología producto de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topología caja tiene ciertos defectos como. § Tiene muchos abiertos si lo que queremos es hacer las proyecciones continuas,

es claro que cuanto más abiertos tengamos en el dominio de una función más fácil es de que sea continua.

§ No siempre el producto de espacios compactos es compacto § No siempre el producto de espacios conexos es conexo. § La continuidad de una función que llega a un espacio producto no puede ser

caracterizada en términos de la continuidad de las funciones coordenadas.( ver ejemplo 5.1)

§ Aún en el caso de productos enumerables no se garantiza que el producto de espacios N1 sea N1

Proposición 5.2 En el espacio producto con la topología producto las proyecciones son funciones continuas y abiertas. :

I

p X X son continuas y abiertasα β αβ∈

→∏

Demostración Que son continuas porque la topología producto se definió con dicho propósito. Para probar que es abierta alcanza con probar que ( )p Bα es abierto para todo abierto B de la base B . Tomemos un abierto B de la base 1,..., y abiertos 1,...,

i in I U X i nα αα α⇒ ∃ ∈ ∈ ∀ =

tales que

( ) ( )

{ }

1 1

1

,...,1

1 1...

...n n

n

n

I

B p U p U

U U X

β α α

α α α α

α α ββ

≠

− −

∈

=

= × × × ∏∩ ∩

entonces

( )( )

si para 1,...,

si i i

i

p B Ui n

p B X

α α

α α

α α

α α

= = =

= ≠

en ambos casos la imagen es un abierto. Es decir que la imagen de abiertos de la base es un abierto.


- 107 -

Proposición 5.3 Dada una red { }dI

T X ββ∈

⊂ ∏ converge a x si y solo sí

( ) ( ) dp T p x Iα α α→ ∀ ∈ Demostración ⇒ Si la red converge dT x→ como las proyecciones son continuas entonces ( ) ( ) dp T p x Iα α α→ ∀ ∈ ⇐ Si ( ) ( ) dp T p x Iα α α→ ∀ ∈ Como si existe abierto tal que xV N A x A V∈ ⇒ ∈ ⊂ y A es abierto implica que es unión de elementos de la base donde son abiertos de la baseA B Bβ β

β

= ∪

entonces si 00 tal que x A x B x Bβ β

β

β∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈∪ es decir que

0

x B A Vβ∈ ⊂ ⊂

entonces basta con probar que dado un abierto B de la base que contenga a x existe

0 tal que d D∈

0 dT B d d∈ ∀ ≥ así dT B B A Vβ

β

∈ ⊂ = ⊂∪

Luego sea B un abierto de la base que contiene a x

( )1

1

donde son abiertos en 1,...,i i i i

n

i

B p U U X i nα α α α−

=

= ∀ =∩

por hipótesis si ( ) ( )1 1,...,i i i i

x B x p U p x U i nα α α α−∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∀ = y por hipótesis

tal que con 1,...,ii d id D T U d d i nα∃ ∈ ∈ ∀ ≥ = sea:

{ }0 1max ,..., nd d d≥ que existe porque cada dos i jd d se puede obtener una mayor

que esos dos, repetimos este razonamiento con este último y otro d cualquiera y así tenemos uno mayor que todos . ( )0 1,...,

i ii dd d d d p T U i nα α∀ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ∈ ∀ =

o sea ( )1 1,...,

i idT p U i nα α−∈ ∀ =

y por lo tanto 0 dT B d d∈ ∀ ≥


- 108 -

Observación 5.3 Sea X un conjunto e Y un espacio topológico. Anotamos { }:X

x X

Y Y f X Y∈

= = →∏

entonces una red { }df converge a ( ){ } ( ) converge a x Xdf f x f x⇔ ∀ ∈ o sea, la

convergencia en la topología producto es la convergencia puntual. El espacio producto también nos da otra forma de ver las sucesiones, estas son elementos del espacio X ¥ . Proposición 5.4 Sean , Y X Iα α∀ ∈ espacios topológicos una función

:I

f Y Xαα∈

→ ∏

es continua si y solo sí ( ) :

I

p f Y X es continua Iα αα

α∈

→ ∀ ∈∏o

Demostración

Como es continua p p fα α⇒ o es continua si f es continua

Si son continuas p f Iα α⇐ ∀ ∈o sea x Y∈ y sea dT la red que converge a x entonces

( )( ) ( )( ) en dp f T p f x Xα α α→o o es decir:

( )[ ] ( )[ ] dp f T p f x Iα α α→ ∀ ∈

por proposición anterior ( ) ( ) en d

I

f T f x Xαα∈

→ ∏

y por proposición 3.10 f es continua. Ejemplo 5.1 Consideremos ω¡ , el producto numerable de R consigo mismo infinitas veces. Es decir con n n

n

X X nω

∈

= = ∀ ∈∏¥

¡ ¡ ¥

Sea R con la topología usual y definimos :f ω→¡ ¡ mediante la ecuación: ( ) ( ), ,...., ,...f x x x x=

la n-ésima función coordenada de f es la función ( )( )np f x x= cada una de las

funciones coordenadas :np f →o ¡ ¡ es continua; así pues, la función f es continua

si ω¡ está dotado con la topología producto por la proposición anterior. Pero f no es

f Y

I

Xαα∈∏

p fα o pα Xα


- 109 -

continua si ω¡ está dotado con la topología por cajas. Consideremos, por ejemplo, el elemento básico

( ) 1 1 1 11,1 , , ......

2 2 3 3B = − × − × − ×

para la topología por cajas. Afirmamos que ( )1f B− no es abierto en R. Ya que

primero que nada como el ( ) ( )1 10 y 0 0 0B f f B− −∈ = ⇒ ∈ entonces si ( )1f B− es abierto en R es entorno de todos sus puntos en particular del cero entonces tendría algún abierto ( ) ( )1, f Bδ δ −− ⊂ . Esto significa que ( )( ) ( )( )1,f f f B Bδ δ −− ⊂ ⊂ ,

por lo que aplicando np a ambos lado de la inclusión,

( )( )( ),

1 1, , np f n

n nδ δ

δ δ= −

− ⊂ − ∀ ∈

¥1442443

lo que implica que 0δ = ( ) { }, 0δ δ⇒ − = que no es abierto en R con la topología usual. Proposición 5.5 Dados ( ), X Iα ατ α ∈ espacios topológicos tenemos entonces que

son Hausdöff para todo Iα ∈ si y solo sí I

Xαα∈∏ es de Hausdöff.

Demostración sean de Hausdöff X Iα α⇒ ∀ ∈ tomamos , con

I

x y X x yαα∈

∈ ≠∏

entonces ( ) ( )0 0 0 tal que I x yα α α∃ ∈ ≠ y como 0

Xα es de Hausdöff implica que

existen ( ) ( )0 0 0, abiertos en tales que , con U V X x U y V U Vα α α φ∈ ∈ =∩ y como

( ) ( )0 0

1 1,p U p Vα α− − son abiertos de la subbase de

I

Xαα∈∏ y además son disjunto ya que

de no serlo el elemento en común tendría que proyectarse sobre 0

Xα en la interseción

de U y V que es vacía.

Tenemos que ( )( )

0

0

1

1 abiertos y disjuntos

x p U

y p V

α

α

−

−

∈⇒

∈ que el producto es de Hausdöff

Si

I

Xαα∈

⇐ ∏ es de Hausdöff tomemos un 0

Xα cualquiera y en él sean 0 0 0, x y Xα α α∈

( ) ( )0 0 0con y sean , tales que

I

x y x y X x yα α αα

α α α α∈

≠ ∈ = ∀ ≠∏ y :

( )( )

0

0

0

0

x x

y y

α

α

α

α

=

=


- 110 -

Entonces como x y≠ implica que existen abiertos de la base U, V disjuntos tales que e x U y V∈ ∈ lo que significa a su vez que:

1existen ,..., tales que abierto de 1,...,i in I U X i nα αα α ∈ ∀ = y 1,..., m Iβ β ∈ tal que

iVβ abierto de 1,...,

iX i mβ ∀ = tales que:

( ){ }

( ){ }

1

1

1

1

1

,...,1

1

,...,1

...

...

i i n

n

i i m

m

n

i

m

i

U p U U U X

V p V V V V

α α α α αα α α

β β β β ββ β β

−

≠=

−

≠=

= = × × ×

= = × × ×

∏

∏

∩∩

como:

( )( )

( )( )

0

0

si

si

1,...,

con 1,..., tal que

i i

ii

ii

i i

p y

p x

i

x U p x U i n

y U i n p y U

α

α

α α

α α

α α

α αα

= ≠

= ≠

∈ ⇒ ∈ ∀ =

∉ ⇒ ∃ = ∉

123

678

es decir que uno de los 0iα α= (podemos suponer que además es único ya que de haber más de uno tomamos la intersección de ellos ) Análogamente 0 tal que jj β α∃ = único.

Entonces proyectando U,V sobre 0

Xα

{ }

}

{ } {

0

0 1 0

1

0

0 1 0

1

0

,...,

,...,

...

abiertos disjuntos en

...

n

n

m

m

x

y

p U U X U

X

p V V X V

α

α

α α α α αα α α

α

α β β β αβ β β

∈

∈

≠

≠

× × × =

× × × =

∏

∏

ya que como 0 0

U V U Vα αφ φ= ⇒ =∩ ∩ luego conseguimos dos abiertos disjunto

que separan a ( ) ( )00 0 e en x y Xαα α ⇒ es de Hausdöff .

Proposición 5.6 Sean ( ) ( )1 1, ,..., ,n nE d E d espacios métricos y :

( ) ( )( ) ( ){ }1 1,..., , ,..., max , : 1,...,n n i i id x x y y d x y i n∞ = ∀ =

la topología inducida por d∞ es la topología producto. Demostración Sea { }dT una red en 1 2 ... nE E E× × × tal que:

ddT x∞→ Entonces dado 00 tal que :d Dε > ∃ ∈

U V

0Uα 0

xα 0

Vα 0yα

0Xα


- 111 -

( ) ( )( )

( )( )

( )}

0

1

1 ,...,

max ,

,...,

i dp Td d d

i d i

n

T T T n

y d T i x d d

x x x

ε

= < ∀ ≥

=

P

lo que implica ( ) ( ) ii d d id

p T T i x i= → ∀ ya que:

Si el máximo de los ( )( ), es i d id T i x ε< ⇒ que son todos menores que ε

Sea ( )( ),i d id T i x ε<

( ) ( ) ii d d id

p T T i x i∴ = → ∀

y como la convergencia coordenada a coordenada implica en la topología producto que dT x→ con la topología producto y recíprocamente todas las implicaciones son recíprocas. Proposición 5.7 Sea { }n n

E ∈¥ una familia numerable de espacios métricos entonces:

1

nE es metrizable∞

∏

Demostración Recordar que si ( ),E d es un espacio métrico decimos que es acotado si: ( )0 tal que , ,k d x y k x y E∃ > ≤ ∀ ∈ Si no esta acotado sea: ( ) ( ){ }0 , min 1, , d x y d x y=

es una distancia en E y además esta acotada probaremos que induce la misma topología que d. O sea 0 , d d inducen la misma topología porque:

Si ( ) ( )00, 0 , 0n n n nd d

x x d x x d x x x x→ ⇔ → ⇔ → ⇔ →

Entonces se puede suponer que los espacios métricos ( ),n nE d están acotados para

todo n si no es así cambiamos por ( )0,nE d y no cambia la topología entonces:

( ), 1 nd x y n≤ ∀ ∈¥ Se define

1 1

: n nd E E∞ ∞

× →∏ ∏ ¡

( ){ } ( ){ } x x i y y i= = :

( ) ( ) ( )( )1

,,

2i

i

d x i y id x y

∞

= ∑

es fácil ver que es una distancia y además


- 112 -

( )1

1, 1

2id x y

∞

≤ = < ∞∑

d induce la topología producto en nn

E∈∏

¥ como:

( ) ( )top. prod. ie e dT x T i x i→ ⇔ →

entonces tenemos que probar que: ( ) ( )

ie ed dT x T i x i→ ⇔ →

⇐ Dado 1

10 sea tal que: <

2 2ik

kε

ε∞

+

> ∈ ∑¥ que existe si 0ε >

y para sea tal que:ii k e≤

( ) ( )( ), si 2i e id T i x i e eε

< ≥

Sea tal que 1,...,ie e e i k≥ ∀ = Entonces si e e≥

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

1 1

1 1 1

1

, ,

2

, ,

2 2

1 122 2 2 2 2

12 2 2 2 2

i ee i

ki e i e

i ik

k k

i i ik

i

d T i x id T x

d T i x i d T i x i

ε ε ε

ε ε ε εε

∞

∞

+

∞

+

∞

= =

= + ≤

≤ + < + <

< + = + =

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

e dT x∴ →

y recíprocamente Si 0, dado 0, , sea tal que:e dT x n eε→ > ∈ ¥

( ) 0, 2e n

d T x e eε

< ∀ ≥

entonces como

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1

, ,,

2 2n e i e

en i

d T n x n d T i x id T x

∞

≤ =∑

o sea

( ) ( )( ) ( )1, ,

2 2n e en nd T n x n d T x

ε≤ <

( ) ( )( ) 0, si n ed T n x n e e nε⇒ < ≥ ∀

( ) ( ) la tesisne d

T n x n n⇒ → ∀ ⇒

Capítulo 6

Espacios Conexos Definición 6.1 Sea ( ),X τ un espacio topológico, vamos a decir que X disconexo si existen abiertos no vacíos y disjuntos U,V tales que: X U V= ∪ En caso contrario diremos que X es conexo. Ejemplo 6.1 Sea X con la topología discreta, entonces si X tiene más de un punto no es conexo ya que para cualquier punto { }x se tiene que es abierto y cerrado luego

{ }Cx es abierto y:

{ } { }CX x x= ∪ claramente disjuntos. Ejemplo 6.2 Sea X con la topología indiscreta. Tenemos que es conexo porque no hay abiertos disjuntos no vacíos ( los únicos abiertos son ,X φ ) Ejemplo 6.3 Sea X con la topología de complementos finitos y X de infinitos elementos Sean A y B abiertos disjuntos y B φ≠ entonces:

{C

finito

Si es finitoA B A B Aφ= ⇒ ⊂ ⇒∩

luego CA no es finito y como A es abierto implica que es vacío, o sea no hay abiertos disjuntos no vacíos luego es conexo. Definición 6.2 Sea ( ),X τ un espacio topológico , Y X⊂ decimos que Y es conexo si es conexo con la topología relativa.


- 114 -

Ejemplo 6.4 Sea ( ) ( ]0,1 2,3X = ∪ con la topología relativa. No es conexo ya que

( ) ( ) ( ) ( ]abierto relativo abierto relativo

3 31, ,4 0,1 2,32 2X X X = − =

∩ ∪ ∩ ∪1442443 14243

Ejemplo 6.5 Sean los racionales Q con la topología relativa Como

( ) ( )abierto en abierto en

, 2 2,= −∞ +∞ ⇒

¤ ¤

¤ ∩ ¤ ∪ ∩ ¤1442443 1442443

que Q es disconexo. Proposición 6.1 Sea ( ),X τ un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) X es conexo 2) No existen cerrados disjuntos no vacíos y A B tal que: X A B= ∪ 3) Si A X⊂ es abierto y cerrado, entonces: o A A Xφ= = 4) No existe función { }: 0,1f X → que sea continua y sobreyectiva. Demostración 1) 2)⇒ supongamos por el absurdo que sí existen A y B cerrados disjunto no vacíos tales que: C C C C , con , son abiertos disjuntosX A B A B B A A B= ⇒ = =∪

ya que C CA Bφ = ∩ tales que

C CX A B= ∪ 2) 3)⇒ Supongamos que , y abierto y cerradoA A X A Xφ≠ ≠ ⊂ ⇒

C C , son cerrados y A A X A A= ∪

con C , cerrados disjuntos no vacíos contradice 2)A A ⇒

Topología General Espacios Conexos - 115 -

- 115 -

3) 4)⇒

Supongamos que existe { }: 0,1f X → continua y sobre entonces ( )1 0f − es abierto

y cerrado en { }0,1 y ( )1 0f − no es vacío, ni todo el espacio por ser f sobre. O sea

( )( )

1

1

0

0

f

f X

φ−

−

≠

≠ lo que contradice 3)

4) 1)⇒ Sea X disconexo y A B⇒ ∃ abiertos disjuntos no vacíos tales que X A B= ∪ Entonces definimos { }: 0,1f X → de la siguiente forma:

( )1 si

0 si

x Af X

x B

∈= ∈

f definida así es continua ya que :( )( )( ) { }( )

1

1

1 1

0

1

, 0,1

f B

f A

f f Xφ φ

−

−

− −

= ⇒=

= =

que la preimagen

de todo abierto es un abierto ⇒ f es continua y sobreyectiva y esto contradice 4) Proposición 6.2 En los reales y con la topología usual [0,1] es conexo . Demostración Supongamos por el absurdo que no es conexo es decir que existen A y B cerrados disjuntos no vacíos tales que [ ]0,1 A B= ∪ Como 0 A B∈ ⇒∪ que pertenece a alguno de ellos, podemos suponer sin perder generalidad que 0 A∈ y definimos el siguiente conjunto: { }0 : A a A a b b B= ∈ ≤ ∀ ∈ Por definición 0A A⊂ , además como 0 y 0 A A B b b Bφ∈ = ⇒ ≤ ∀ ∈∩

00 A⇒ ∈ luego 0A φ≠ acotado superiormente por 1 implica que tiene extremo superior, le llamemos α . Tenemos que {0

cerrado

A A A Aα α∈ ⊂ = ⇒ ∈ ahora puede suceder que

1) [ ] {por ser

1 0,1A B

B Bφ

α φ φ=

= ⇒ = ⇒ =∩

∩

2) 1α < Sea { } {

cerrado

inf entonces b B B Bβ β= ∈ ∈ =

entonces por definición de 0 A α β≤ pero


- 116 -

como

AA B

B

α β αφ

β= ∈ ⇒ ≠∈

∩

luego [ ] 0,1 tal que t tα β α β< ⇒ ∃ ∈ < < Ahora si 0 por ser t A t t b b B t Aβ∈ ⇒ < ⇒ ≤ ∀ ∈ ⇒ ∈ por ser α el extremo superior de 0A t A⇒ ∉

Pero por ser t B t β∉ < (ínfimo) pero [ ]0,1 A B= ∪ por lo tanto [0,1] es conexo. Proposición 6.3 ( Teorema de Bolzano) Sean X e Y espacios topológicos, :f X Y→ continua si X es conexo entonces

( )f X también es conexo. Demostración

( )Sea :f X f X→ que es continua con la topología relativa en ( )f X si este no es conexo ⇒ existe ( ) { }: 0,1 continua y sobreg f X → entonces como { }: 0,1 es continua y sobreg f X →o luego X no es conexo Proposición 6.4 Sea X un espacio topológico { } I

Yα α∈ una familia tal que Y Xα ⊂

convexos tal que ,I Y Y Iα βα φ α β∀ ∈ ≠ ∀ ∈∩ entonces

es conexoI

Yαα∈∪

Demostración Supongamos por el absurdo que no es conexo ⇒ que existe una función

{ }: 0,1I

g Yαα∈

→∪ continua y sobre. Como { }| : 0,1Yg Yα α → es continua y como Yα es

conexo ⇒ que no es sobre. ( ) cte g y y Yα= ∀ ∈ (esa constante es cero o uno) podemos entonces afirmar que: ( ) ( ) ,g y g z y z Yα= ∀ ∈

Sea ( ) ( ) ( ) ( ), e con ,x yI

x y Y x Y y Y x y Iα α αα

α α∈

∈ ⇒ ∈ ∈ ∈∪ y como ( ) ( )x yY Yα α φ≠∩

por hipótesis entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x yz Y Y g x g z g yα α∃ ∈ ⇒ = =∩

y g es constante lo que contradice el que g sea sobre .


- 117 -

Proposición 6.5 Sea X un espacio topológico X es conexo si y solo sí ,x y X∀ ∈ existe C X⊂ conexo tal que , e x C y C∈ ∈ Demostración ⇒ Si X es conexo se toma C X= y tenemos la tesis. ⇐ Fijemos entonces sea xy X x X C X∈ ∀ ∈ ⊂ conexo tal que e x xx C y C∈ ∈ sabemos que existe por hipótesis además los xC no son disjuntos, pues y pertenece a todos ellos. Como: x

x X

X C∈

= ∪

entonces por proposición anterior X es conexo. Ejemplo 6.6 Un subconjunto A ⊂ ¡ es conexo si y solo sí es un intervalo. Demostración Si , tal que a b A c a c b∈ ∀ < < se tiene que c A∈ ya que si c A∉ podemos considerar: ( ) ( ), , ,U c A V c A= −∞ = +∞∩ ∩ donde y U V A U Vφ= =∩ ∪ con U y V abiertos disjuntos no vacíos⇒ A es disconexo . Recíprocamente probaremos que si I ⊂ ¡ es un intervalo I⇒ es conexo. Si I es un intervalo entonces dados [ ], , ,x y I x y I∈ ⊂ como existe:

[ ] [ ]: 0,1 , homeomorfismoh x y→ (función continua y sobre ) entonces aplicando teorema de Bolzano al ser [0,1] conexo [ ],x y⇒ es conexo luego por proposición anterior I es conexo.

Se concluye que cualquier intervalo ( ] [ ) ( ) [ ], , , , , o ,a b a b a b a b donde a o b pueden ser o −∞ + ∞ respectivamente. Proposición 6.6 Dado ( ),X τ espacio topológico, A X⊂ conexo y A B A⊂ ⊂ entonces B es conexo. Demostración Para la demostración vamos a considerar que existe una función { }: 0,1f B → continua y ver que no puede ser sobre. Como { }| : 0,1AA B f A⊂ ⇒ → es continua y como A es conexo ( )f A⇒ es el

conjunto unitario { } { }0 o 1 . Podemos suponer sin perder generalidad que

( ) { }0f A = .


- 118 -

Por ser f continua ( ) ( )f A f A⊂

y si

( ) ( ) ( ) { } { { }top. disc.

0 0

B A

f B f A f A

⊂ ⇒

⊂ ⊂ = =

lo que significa que f no es sobre B⇒ es conexo. Como corolario tenemos la siguiente proposición Proposición 6.7 Sea ( ),X τ un espacio topológico, C X⊂ conexo entonces C es conexo Demostración Es inmediata si ponemos C C C⊂ ⊂ y aplicamos proposición anterior Definición 6.3 Sea ( ),X un espacio normado, un conjunto A X⊂ es convexo si ,x y A∀ ∈

[ ]0,1t∀ ∈ se tiene que:

( )1tx t y A+ − ∈

( ) ( )( )( )

1 1

1

x t x t y

x t y x A

⇒ + − + −

+ − − ∈

Ejemplo 6.5

( )0,B ε es convexo ya que

( ) { }0, :B a X xε ε= ∈ <

sean ( ) [ ], 0, , 0,1 entonces:x y B tε∈ ∈

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1 1

tx t y tx t y

t x t y

t x t y t tε ε ε

+ − ≤ + − =

= + − =

= + − < + − =

o sea [ ] ( ) ( )0,1 1 0,t tx t y B ε∀ ∈ + − ∈ Si la bola no es centrada en cero como existe un homeomorfismo: ( ) ( )0: 0, ,h B B xε ε→

dada por ( ) 0h x x x= + (traslación) La bola trasladada es también convexo.

y ( )( )1 t y x− − x


- 119 -

Proposición 6.8 Sea A un conjunto convexo en un espacio normado entonces A es conexo. Demostración Sea ( ) [ ]{ } fijo y sea el segmento 1 : 0,1xa A x A C ta t x t∈ ∀ ∈ = + − ∈ consideramos

[ ]: 0,1 xh C→ por ( ) ( )1h t ta t x= + − esta función es continua y sobre para cada x lo que implica por Bolzano que su imagen xC es conexo (por ser imagen por medio de una función continua de un conexo). Entonces x

x A

A C∈

= ∪

es conexo por ser unión de conexos con intersección dos a dos no vacíos, porque a es común a todos. Ahora veremos en primer lugar que el producto finito de espacios topológicos es conexo si y solo sí es conexo cada uno, para después ver el caso infinito.

Proposición 6.9 Sean { } 1

ni i

X = espacios topológicos entonces 1

n

ii

X=

∏ es conexo si y

solo sí 1,...,iX es conexo i n∀ = Demostración

{ {1continua

conexo

Como es conexon

j i j ji

p X X X=

⇒ = ⇒

∏

⇐ probemos solo para dos y después por inducción generalizamos Sean 1 2,X X conexos probaremos que 1 2X X× es conexo.

Sea ( )1 2 1 2, fijo a a X X∈ ×

Dado un ( ){ } { }

1

1 2 1 2

1 2 1 2

, sea

x

x x x X X

C X a x X

= ∈ ×

= × ×∪

Consideremos { }1 1 2 1:h X a X× → dada por

( )1 2,h z a z= Claramente h1 es una proyección luego es continua y biyectiva.

{ }11 1 1 2:h X X a− → ×

( ) ( )11 2,h z z a− =

{ }1 2X a× 2X 2a

{ }1 2x X× 1a 1x 1X


- 120 -

Sea una red { } 1 tal que d dz X z z⊂ → entonces:

( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 2 1, ,d dh z z a z a h z− −= → =

lo que implica que 11h− es continua. Luego 1h es un homeomorfismo y si X1 es

conexo entonces { }1 2X a× es conexo.

Sea { }2 1 2 2:h x X X× → definida por

( )2 1,h x z z= al igual que 1 2 h h es una proyección y por lo tanto continua y biyectiva y de la misma manera que se hizo para 1h se demuestra que 2h es un

homeomorfismo Luego como por hipótesis 2X es conexo entonces { }1 2x X× es conexo. Y como ( ) { } { }1 2 1 2 1 2

conexo conexo

,x a X a x X∈ × × ⇒∩14243 14243 que la unión es conexo es decir 1xC es

conexo 1 1x X∀ ∈ luego como

1

1 1

1 2 xx X

X X C∈

× = ∪

Ya que si ( ) ( )11 2 1 2 1 2, entonces , xx x X X x x C∈ × ∈ por definición y recíprocamente

si ( ) { ( )1 1 2 1 2

por def.

, ,xx y C X X x y X X∈ ⊂ × ⇒ ∈ ×

Además todos los conjuntos 1xC tienen en común el punto ( )1 2,a a y son conexos

luego su unión es conexo 1 2X X⇒ × es conexo. Generalizamos tomando 1 2X X X= × e 3Y X= por lo anterior X Y× es conexo es decir 1 2 3X X X× × es conexo y así sucesivamente tenemos que 1 ... nX X× × es conexo. Veamos ahora el caso infinito. Proposición 6.10 Sea { } I

X λ λ∈ una familia de espacios topológicos entonces

I

X λλ∈∏ es conexo si y solo sí los X λ son conexos para todo Iλ ∈ .

Demostración El caso directo es inmediato por ser la proyección una función continua al igual que el caso finito. Para el recíproco consideremos un punto fijo { } I

I

a Xλ λλλ

∈∈

∈∏ tomamos una

cantidad de índices finitos 1 2, ,..., n Iλ λ λ ∈ y definimos:

{ }

1 1 2

1

,...,

,...,

...n n

n

I

X X X X aλ λ λ λ λ λλ

λ λ λ∈

≠

= × × × × ∏


- 121 -

es decir:

1 ,..., 1: ,...,

n nI

X x X x aλ λ λ λ λλ

λ λ λ∈

= ∈ = ∀ ≠

∏

definimos la función

1 1,...,: ...n n

X X Xλ λ λ λϕ → × ×

como la proyección de 1 ,..., n

Xλ λ sobre 1

...n

X Xλ λ× × luego es continua y biyectiva

para probar que la inversa es continua lo demostramos igual que el caso finito, nos tomamos una red convergente.

1 1

1,...,: ...

n nX X Xλ λ λ λϕ − × × →

Sea { }1

... tal que nd dz X X z zλ λ⊂ × × →

( )( )( )

{ }{

( )( ){ }{

( )1

1

1

si ,...,1 1

1

si ,...,

n

n

d

d

d d

z a a

z zz z z

λ λλ λ λ

λ λ λ

ϕ λ

ϕ ϕϕ λ

−

∉− −−

∈

= →= =

= →

por lo que 1ϕ − es continua y lleva conexo en conexo luego como por hipótesis cada Xλ es conexo entonces por proposición anterior

1 2...

nX X Xλ λ λ× × × es conexo y

entonces 1 ,..., n

Xλ λ es conexo.

Sea

{ }1

1

,...,,...,

n

n I

Z X λ λλ λ ⊂

= ∪

como { } { }1 ,..., 1 ,..,

n na X Iλ λ λ λ λ∈ ∀ ⊂ tienen intersección no vacía y luego su unión

es un conjunto conexo. Además si U es un abierto de la base de la topología producto. ( ) ( )

1

1 11 ... con 1,...,

k ik iU p U p U U X i kα α α− −= ⊂ ∀ =∩ ∩

Como

1 ,..., nX Uα α φ≠∩

ya que

{ }

{ }

11

1 1

1

1,...,

...

,...,,...,

... con

...

i

kk

k k

k

k i

X X

U U U X U X

X X X a

α α

λ αλ α α

α α α α λλ α α

∉⊂ × ×

∉

= × × × ⊂

= × × ×

∏

∏

14243

luego abierto de la base

I

Z U U Z Xλλ

φ∈

≠ ∀ ⇒ = ∏∩ y como Z es conexo implica que Z

es conexo luego I

X λλ∈∏ es conexo.


- 122 -

Definición 6.4 Sea X un espacio topológico , ,x y X∈ . Se dice que e x y están conectados (anotamos x y∼ ) si existe un conjunto C X⊂ conexo tal que ,x y C∈ Proposición 6.11 X es un espacio topológico conexo si y solo sí ,x y x y X∀ ∈∼ Demostración por la proposición 6.5 X es conexo si y solo sí ,x y X∀ ∈ existe un C conexo con ,x y C∈ ⇔ por definición que x y∼ . Proposición 6.12 Estar conectado es una relación de equivalencia. Demostración 1) { } ya que es conexox x x∼ 2) Si por definiciónx y y x⇒∼ ∼

3) Si

x yx z

e y z ⇒

∼ ∼∼

Ya que conexo tal que ,

conexo tal que ,

x y C X x y C

y z D X y z D

⇒ ∃ ⊂ ∈⇒ ∃ ⊂ ∈

∼∼

Entonces , y como es conexo x z C D C D∈ ∪ ∪ por ser unión de conexos no disjuntos ya

que y C D∈ ∩ luego x z∼ Toda relación de equivalencia en un conjunto establece una partición del mismo en clases de equivalencia tales que son disjuntas y su unión es el conjunto. Podemos entonces introducir la siguiente definición. Definición 6.5 Sea X un espacio topológico, x X∈ llamaremos componente conexa de x a la clase de equivalencia de x. Anotamos xC

{ }:xC y X y x= ∈ ∼ también podemos escribir { }: , conexo tal que ,xC y X C X x y C= ∈ ∃ ⊂ ∈ para un A subconjunto de X definimos la componente conexa de x en A que anotamos A

xC como:

{ }:AxC y A y x= ∈ ∼

o también { }: , conexo tal que ,A

xC y A C A x y C= ∈ ∃ ⊂ ∈

Observar que de acuerdo a la definición siempre AxC A⊂ .


- 123 -

Proposición 6.13 Dado un espacio topológico X este es conexo si y solo sí tiene una única componente conexa. Demostración Por la proposición 6.11 tenemos que X es conexo si y solo sí para todo , , x y X x y∈ ∼ entonces si fijo x implica que x xy C y X X C∈ ∀ ∈ ⇒ ⊂ como la otra inclusión es obvia entonces son iguales xC X= luego tiene solo una componente conexa. Proposición 6.14 La componente conexa de x es el mayor conexo que contiene a x Demostración Tenemos que probar dos cosas primero que cualquier otro conexo que contenga a x esta contenido en xC y luego que la componente conexa xC es conexo. Sea D X⊂ conexo con x D y D y x∈ ⇒ ∀ ∈ ∼ por definición de conectado lo que implica por definición de componente conexa que xy C∈ luego xD C⊂ . Como {

por def.

conexo tal que ,x y yy C y x D X x y D∀ ∈ ⇒ ⇒ ∃ ⊂ ∈∼ pero por lo anterior

y xD C⊂ entonces

x

x yy C

C D∈

= ∪

y como la unión no disjunta de conexos es conexo xC⇒ es conexo. Corolario 6.15 Las componentes conexas son cerrados. Demostración Se tiene que por proposición anterior las componentes conexas son conexas luego su clausura xC es también conexa x xC C⇒ ⊂ porque la componente

conexa es el mayor conexo que contiene a x. Luego como siempre xxC C⊂ ⇒

xxC C= Ejemplo 6.6 Sea ( ) [ )0,1 2,3X = ∪ las componentes conexas son ( ) [ )0,1 y 2,3 que son abiertos y cerrados a la vez Ejemplo 6.7 Sean los racionales ¤ con la topología heredada de ¡ las componentes conexas de un punto p ∈¤ es el propio p es decir { }pC p= ya que si la

componente conexa tuviera más de un punto por ejemplo , con irracional tal que pp q C p q p qα α∈ ≠ ⇒ ∃ < < y entonces podemos escribir

( ) ( )abierto abierto

, ,p p pC C Cα α= −∞ +∞∩ ∪ ∩1442443 1442443


- 124 -

se puede escribir a pC como unión de abiertos disjuntos, luego pC no es conexo lo

cual es absurdo. Con p racional claramente { }p es cerrado ya que ¤ con la topología relativa a la usual de ¡ es T1. Pero no es abierto, ya que un abierto en ¤ es un abierto de ¡ intersección ¤ que claramente tiene más de un punto (contiene infinitos puntos). Ejemplo 6.8 El conjunto de Cantor C es un conjunto donde las componentes conexas son los conjuntos unipuntuales ya que no hay intervalos en C. Definición 6.6 Sea X un espacio topológico decimos que X es localmente conexo si

x X∀ ∈ se tiene una base de entornos conexos. Ejemplo 6.9 Los reales ¡ es localmente conexo ya que ( ){ }, : 0x xε ε ε− + >

es una base de entornos conexos de x. Además ¡ es conexo. Ejemplo 6.10 Sea el espacio ( ) ( ]0,1 2,3X = ∪ no es conexo pero sí es localmente conexo. Ejemplo 6.11 Sea 2× ⊂¡ ¤ ¡ no es conexo, ni localmente conexo Ejemplo 6.12 Sea ( )[ ], :x x x× ∈¡ ¤∪ ¡ no es localmente conexo pero sí es conexo.

Dos puntos de una misma recta están conectados, dos puntos de rectas distintas están conectados pero siguiendo el camino indicado por las flechas, ya que ese camino es unión de segmentos (conexos) no disjuntos luego la unión es conexa. Es decir existe un conexos incluido en el espacio que contiene a los puntos. Proposición 6.16 Sea ( ),X τ un espacio topológico entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) X es localmente conexo 2) Si A τ∈ las componentes conexas de A son abiertas.


- 125 -

3) Existe una base de la topologíaτ cuyos miembros son conexos. Demostración 1) 2)⇒ Si X es localmente conexo se tienex X⇒ ∀ ∈ : { }: conexox xV N V= ∈B Sea A abierto y C una componente conexa de A.(C A⊂ ) Tomemos x C∈ al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos, como xx A A N∈ ⇒ ∈ por definición de base local tal que xV x V A⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂B . Como V,C conexos y x V C V C∈ ⇒∪ ∪ es conexo V C C⇒ ⊂∪ por proposición 6.14 y esto último significa que V C⊂ . En resumen entorno conexo tal que x C V x V C∀ ∈ ∃ ∈ ⊂ ⇒ que C es abierto. 2) 3)⇒ Sea { }: es conexoA Aτ= ∈B Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas de B son abiertas llamemos a estas B

xC para x B∈ entonces:

Bx

x B

B C∈

= ∪

y por ser los BxC conexos y abiertos B

xC x B⇒ ∈ ∀ ∈B luego todo abierto se puede escribir como unión de elementos de ⇒B es una base. 3) 1)⇒ Sea B una base de conexos, x X∈ , definimos. { }:x V x V= ∈ ∈B B implica que xB es una base de entornos conexos de x ya que si V V∈ ⇒B es abierto y como xx V V N∈ ⇒ ∈ y conexo. Corolario 6.17 Cualquier componente conexa C de un espacio X localmente conexo es abierta y cerrada. Demostración Primero aplicamos el teorema anterior para el abierto X por lo que las componentes de X son abiertas y por el corolario 6.15 estas son cerradas. Proposición 6.18 Sea X un espacio topológico localmente conexo, sea Y un espacio topológico, :f X Y→ continua si además f es abierta o cerrada entonces ( )f X es localmente conexo. Demostración Primero haremos la demostración para el caso de que la función f sea abierta. Que X sea localmente conexo significa por definición:


- 126 -

{ } : conexox xx X V N V∀ ∈ = ∈B es una base local esto implica a su vez que: Dado existe tal que x xN N V x V N∈ ∈ ∈ ⊂B

Como f es continua ( ) ( ) dado tal que xf xW N N N f N W⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ⊂

Y como para cada existe tal que x xN N V V N∈ ∈ ⊂B entonces

( ) ( )f V f N W⊂ ⊂

Por otro lado que ( ) ( ) ( ) abierto tal que xV N U x U V f x f U f V∈ ⇒ ∃ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⊂

y como f es abierta ( ) es abiertof U⇒ ⇒ por definición de entorno que

( ) ( )f xf V N∈

además al ser V conexo y f continua ( )f V⇒ es conexo. Entonces si consideramos ( ) ( ){ } ( ){ }: : , conexoxf x f V V f V V N V= ∈ = ∈B B

Se tiene que: Para cada ( ) ( ) ( ) tal que f x f xW N f V∈ ⇒ ∃ ∈B

( )f V W⊂ lo que significa por definición que ( )f xB es una base local donde sus elementos son

conexos luego es ( )f X localmente conexo. Ahora consideremos la hipótesis de que f es cerrada y en primer lugar observemos que ( ):f X f X→ es sobre y por lo tanto vale:

( ) ( )( )1 , A f X f f A A−∀ ⊂ =

Lo que vamos a probar es que para todo abierto en ( )f X tiene sus componentes conexas abiertas. Dado ( )A f X⊂ abierto sea D una componente conexa de A.

Como f es continua ( )1f A− es abierto en X y como ya vimos en la demostración de la proposición 6.16 que un abierto en un espacio localmente conexo se puede escribir como unión de las componentes conexas de todos sus puntos, es decir: ( )

( )1

1

f A

f A Cαα −

−

∈

= ∪

donde las componentes conexas Cα ya vimos que son abiertas.

Y como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1D A f D f A f D f A f D− − − − −⊂ ⇒ ⊂ ⇒ = ∩ y sustituyendo

( )( )

( )1

1 1

f A

f D C f Dαα −

− −

∈

= ∩∪

Supongamos que ( )1C f Dα φ− ≠∩ lo que significa que.


- 127 -

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )11 1

x C f x f Cx C f D f x f C D

x f D f x f f D Dα α

α α−

− −

∈ ⇒ ∈ ∃ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ∈ =

∩ ∩

Luego ( )f C Dα φ≠∩

Por otro lado como Cα es componente conexa de ( )1f A− implica que:

( ) ( ) ( )( )1 1C f A f C f f A Aα α− −⊂ ⇒ ⊂ =

Como Cα es conexo y f es continua ( )f Cα⇒ es conexo en A pero como D es

componente conexa de A y ( ) ( )f C D f C Dα αφ≠ ⇒ ⊂∩ Demostramos que ( ) ( )1 1Si C f D C f Dα αφ− −≠ ⇒ ⊂∩ entonces podemos escribir: ( )

( )1

1

C f D

f D Cα

αφ−

−

≠

=∩∪

y por ser unión de abiertos es abierto por lo tanto

( ) C1 es cerrado f D−

y como ( ) ( )C1 1 Cf D f D− −= entonces como f es cerrada

( ) {1 C C

cerradocerrado

f f D D− = 14243

Luego D es abierto. Definición 6.7 Sea X un espacio topológico, ,x y X∈ Un camino de x a y en X es una función [ ]: 0,1f X→ continua y tal que:

( )( )0

1

f x

f y

= =

Definición 6.8 Se dice que un X espacio topológico, ,x y X∈ están conectados por caminos si existe un camino de x a y . Anotamos Cx y∼ Definición 6.9 Decimos que un espacio topológico X es conexo por caminos si : ,Cx y x y X∀ ∈∼ A X⊂ decimos que A es conexo por caminos si lo es como espacio al considerar sobre él la topología relativa. Proposición 6.19 Si x e y están conectados por caminos implican que están conectados.


- 128 -

Cx y x y⇒∼ ∼ Demostración Por hipótesis como estar conectados por caminos implica que tenemos una función continua [ ]: 0,1f X→ y como [ ]0,1 es conexo y f continua

implica que [ ]( )0,1f es conexo y contiene a x e y ⇒ por definición que x está conectado con y. Corolario 6.20 Si el espacio topológico X es conexo por camino entonces X es conexo min X conexo por ca os conexo⇒ Demostración Por definición si X es conexo por camino entonces , x y X∀ ∈

{prop.6.11

se tiene que que Cx y x y X⇒ ⇒∼ ∼ es conexo

El recíproco no vale ver ejemplo 6.13 Proposición 6.21 Estar conectados por camino ( )C∼ es una relación de equivalencia. Demostración a) [ ] ( ) [ ]: 0,1 definido 0,1 Cf X f t x t x x→ = ∀ ∈ ⇒ ∼

b) [ ] ( )( )

: 0,1 cont. con 0

1

f X f x

f y

→ = =

Sea [ ]: 0,1g X→ dado por ( ) ( ) [ ]1 0,1g t f t t= − ∀ ∈ ⇒

( ) ( )( ) ( )

es continua y 0 1

1 0

g g f y

g f x

= = = =

Cy x⇒ ∼

c) [ ], : 0,1 continuas f g X→ tal que:

( )( ) ( )( )

0

1 0

1

f x

f y g

g z

= = = =

g

Consideremos [ ]: 0,1h X→ definidas por : f z

( )( ) [ ]( ) [ ]

12

12

2 si 0,

2 1 si ,1

f t th t

g t t

∈= − ∈

x

el recorrido de x a y , y a z lo tenemos que hacer el doble de rápido.


- 129 -

H es continua ya que es la cocatenación de funciones continuas y ( ) ( )1 0f g= con

( ) ( )( ) ( )0 0

1 1

h f x

h g z

= = = =

luego Cx y∼ . Definición 6.10 La relación de equivalencia de estar conectado por camino establece una partición en clases de equivalencia que llamamos componente conexa por camino de X. Anotamos xCC para referirnos a la componente conexa por camino de x. Proposición 6.22 El espacio topológico X es conexo por caminos si y solo sí tiene una única componente conexa por camino. Demostración Por definición tenemos que X es conexo por camino si y solo sí para todo , , Cx y X x y∈ ∼ entonces si fijo x implica que x xy CC y X X CC∈ ∀ ∈ ⇒ ⊂ como la otra inclusión es obvia entonces son iguales xCC X= luego tiene solo una componente conexa. Proposición 6.23 Sea X un espacio topológico entonces las componentes conexas por camino están incluidas en las componentes conexas de X. x xCC C⊂ Demostración Esto es porque estar conectados por camino implica estar conectado es decir: {

Pr op. 6.19

Si x C xy CC y x y x y C∈ ⇒ ⇒ ⇒ ∈∼ ∼

Luego x xCC C⊂ Proposición 6.24 Dado X espacio topológico, sea x X∈ entonces la componente conexa por camino xCC es el mayor subconjunto conexo por camino que contiene a x. Demostración xCC que es el mayor conexo por camino, implica que, por un lado es el mayor en el sentido que contiene a todo conjunto conexo por camino y que él es conexo por camino. Lo demostraremos por separado:


- 130 -

a) Si A X⊂ conexo por camino y x A∈ entonces por definición en Cy A y x A∀ ∈ ⇒ ⇒∼ se puede unir y con x mediante un camino en A, pero

como A X⊂ se puede unir y con x por medio de un camino en X. xy CC⇒ ∈ . Luego xA CC⊂ b) xCC es conexo por camino. Tenemos que probar que no puede suceder lo que está representado en la figura en punteado, es decir que el camino no sale de la componente conexa xCC .

Dado un camino en Xσ con ( )0 xσ =

llamemos [ ]0,1I = todos los puntos del

camino son ( ) ( ){ }:I s X s Iσ σ= ∈ ∈

entonces todos los puntos ( ) ( )s Iσ σ∈ pueden ser unidos con x por el camino

( )tσ ′ definido como sigue:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0 0

1

xt st

s

σ σσ σ

σ σ

′ = =′ = = ′ =

Luego ( ) ( ) C xs x s I s CC s Iσ σ∀ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈∼ es decir que ( ) x xI CC CCσ ⊂ ⇒ es conexa por caminos en X. Proposición 6.25 Si X es un espacio topológico conexo por camino y f es una función continua entonces ( )f X es conexa por camino. Demostración Sean ( ) ( ) ( ),f x f y f X∈ al ser X conexo por camino implica que

para todo , se cumple Cx y X x y∈ ⇒∼ existe [ ]: 0,1h X→ continua y tal que:

( )( )

[ ] ( )0

entonces sea : 0,11

h xf h f X

h y

=→ =

o

que es continua por ser composición de continuas y tal que:

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )0 0

1 1 C

f h f h f xf x f y

f h f h f y

= =⇒ = =

o ∼o

Luego ( )f X es conexo por camino. Ejemplo 6.13 Sea { } [ ]2 con 0 0,1X A B A= ⊂ = ×∪ ¡ y ( ) ( ]{ }, : 0,1xB x sen xπ= ∈

A xCC x y X


- 131 -

Para todo los puntos de B se tiene que hay un camino que los conecta que es el propio gráfico de ( )xsen π Luego B es conexo por camino ⇒ es conexo. Además A B⊂ entonces como B X B⊂ ⊂ ⇒ que X es conexo. Probaremos que X no es conexo por camino. Para lo que consideramos un camino que llamamos ( )tα

definido [ ]: 0,1 Xα → tal que.

( ) ( )0 0,1α = es decir que partimos

del punto (0,1) de A. Llamemos ( ) ( ) ( )( )1 2,t t tα α α= empezamos a movernos en el

conjunto A y queremos saber en que momento dejamos él mismo para ello definimos : [ ] ( ){ }0 1sup 0,1 : 0 t T t t Tα= ∈ = ∀ ≤

Como 1α es continua y { }0 es cerrado { }( )11 0α −⇒ es cerrado { }( )1

0 1 0t α −⇒ ∈ ⇒

( )1 0 0tα =

Si ( )0 11 1 0t t tα= ⇒ ∀ ≤ = es decir que no salimos del conjunto A [ ]( )0,1 Aα⇒ ⊂ Supongamos que 0 1t < . Como α es continua:

Dado 00 0 tal que si entoncest tε δ δ> ∃ > − <

( ) ( )0t tα α ε− <

Sea 1 1 0 tal que t entonces t t δ− <

( ) ( )( )1 0 ,t B B tα α ε∈ ∩

pero tenemos que existe ( ) ( )0 1 1 32

1, tal que

2t t t t

nα∈ =

+ y para este t

( ) ( )( )023

1, 1 ,

2t B t

nα α ε

= − ∉ +

Luego 0 1t < nos lleva a un absurdo por lo tanto 0 1t = ⇒ que no podemos salimos de A. Lo que implica que no es conexo por camino. Además sus componentes conexas por camino son A y B (B no es cerrado) Mientras que componente conexa hay una sola, ya que X es conexo. Definición 6.11 Sea X un espacio topológico decimos que es localmente conexo por caminos si todo punto x X∈ tiene una base de entornos conexos por caminos.


- 132 -

Anotamos ccl Proposición 6.26 Sea X un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) X es ccl 2) Si A X⊂ abierto entonces las componentes conexas por camino de A son abiertas. 3) Existe una base de X cuyos miembros son conexos por camino. Demostración 1) 2)⇒ Si X es localmente conexo por camino se tienex X⇒ ∀ ∈ : { }: conexo por caminox xV N V= ∈B Sea A abierto y C una componente conexa por camino de A.(C A⊂ ) Tomemos x C∈ al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos, como xx A A N∈ ⇒ ∈ por definición de base local tal que xV x V A⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂B . Como V es conexo por camino y tiene a x en común con C entonces: { {C

x V x C

y V y x y C V C∈ ∈

∀ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ⇒ ⊂∼

en resumen tal que xx C V N V C∀ ∈ ∃ ∈ ⊂ por lo tanto C es abierto. 2) 3)⇒ Sea { }: es conexo por caminoA Aτ= ∈B Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas por camino de B son abiertas llamemos a estas B

xCC para x B∈ entonces:

Bx

x B

B CC∈

= ∪

y por ser los BxCC conexos y abiertos B

xCC x B⇒ ∈ ∀ ∈B luego todo abierto se puede escribir como unión de elementos de ⇒B es una base. 3) 1)⇒ Sea B una base de conexos por caminos, x X∈ , definimos. { }:x V x V= ∈ ∈B B implica que xB es una base de entornos conexos por camino de x ya que si V V∈ ⇒B es abierto y como xx V V N∈ ⇒ ∈ y conexo por camino. Proposición 6.27 Si X es un espacio topológico localmente conexo por camino entonces las componentes conexas por camino xCC de x, son abiertas y cerradas

x X∀ ∈ . Demostración Por la proposición anterior 2) si tomamos A X= tenemos que las componentes conexas por camino de X son abiertas.


- 133 -

Sea ( )C0 xx CC∈ 0 Cx⇒ ∼ x como el espacio es localmente conexo por camino

implica que existe 0 con conexo por caminoxN N N∈

supongamos que y N∀ ∈ Cy x∼ como 0 0C Cy x x x⇒∼ ∼

Luego Cy ∼ ( )Cxx y CC⇒ ∈ ( )C

xN CC⇒ ⊂ o sea que el complemento es abierto y

por lo tanto la componente conexa por camino es cerrada. Proposición 6.28 Sea X un espacio topológico localmente conexo por camino entonces: X es conexo si y solo sí, X es conexo por camino. Demostración ⇐ ya está demostrado en la proposición 6.20 ⇒ Sea y xx X CC∈ su componente conexa por camino que por la proposición anterior es abierta y cerrada luego como por hipótesis X es conexo, entonces usando proposición 6.1(2)

x

x

CC

CC X

φ=⇒ =

y como xCC es no vacía ya que x xx CC CC X∈ ⇒ = Es decir que X tiene solo una componente conexa por camino ⇒ es conexo por camino (por proposición 6.22). Ejemplo practico Sea X un espacio topológico y . Sea A X C X⊂ ⊂ un conjunto conexo tal que C A φ≠∩ y CC A φ≠∩ . Probar que C A φ∂ ≠∩ Demostración Supongamos por absurdo que C A φ∂ =∩ primero que nada observemos que

\C A A C A C A C Aφ=

∂ = − ∂ =∩ ∩ ∩ ∩123

y como \ es abierto en A A A X∂ = ⇒o pero esto a su vez implica que C A∩ es abierto en C y distinto del vacío por hipótesis. Por otro lado como CA A∂ = ∂ ya que por definición:

CA A A∂ = ∩ y entonces aplicando la definición al complemento se tiene


- 134 -

( )CC C C CA A A A A A∂ = = = ∂∩ ∩

luego podemos hacer el mismo razonamiento que más arriba para CC A∩ . {C C C C C\

A

C A A C A C A C A

φ

=∂

=

∂ = − ∂ =∩ ∩ ∩ ∩14243

y como ( )C C\CA A A∂ =o que es abierto en X luego CC A∩ es abierto en C y

distinto del vacío por hipótesis. Es decir que en resumen tenemos que los conjuntos C y C A C A∩ ∩ son abiertos

no vacíos en C y disjuntos por serlo C y A A tales que:

( ) ( )CC C A C A= ∩ ∪ ∩

lo cual es absurdo por ser C conexo. Luego tiene que ser C A φ∂ ≠∩

Capítulo 7

Espacios Métricos Completos Definición 7.1 Una sucesión { }nx es de Cauchy en un espacio métrico ( ),E d si: Dado 0 00 tal que ,n m n nε > ∃ ∈ ∀ ≥¥ se cumple:

( ),m nd x x ε< Proposición 7.1 Si una sucesión { }nx es convergente entonces es de Cauchy Demostración Si nx x→ ⇒ Dado 0 00 tal que n n nε > ∃ ∈ ∀ ≥¥

( ),2nd x xε

<

entonces si 0,n m n≥ aplicando la desigualdad triangular

( ) ( ) ( )

2 2

, , ,n m n md x x d x x d x xε ε

ε

< <

≤ + <14243 14243

Proposición 7.2 Una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente es convergente. Demostración Sea { }nx de Cauchy 0 0dado 0 tal que ,n n m nε⇒ > ∃ ∈ ∀ ≥¥ se cumple

( ),2n md x xε

<

Por hipótesis 00 Para el anterior tal que

kn k kx x k n nε→ ⇒ ∃ ∈ ∀ ≥¥ se tiene que:

( ),2knd x xε

<

Sea { }00 0max , kn n n≥% entonces para todo 0 0 existe kn n n n> >% % (por definición de

subsucesión) tal que:


- 136 -

( ) ( ) ( ), , ,2 2k kn n n nd x x d x x d x xε ε

ε≤ + < + <

y por lo tanto nx x→ Proposición 7.3 Sea ( ),E d un espacio métrico y una sucesión { }nx E⊂ de Cauchy

entonces { }nx está acotada. Demostración Primero observemos que { }nx acotada ⇔ para algún 0K > se tiene:

( ){ }sup , : ,n md x x m n K∈ <¥

Tomemos 1ε = y apliquemos la definición de Cauchy para ese 0 nε ⇒ ∃ ∈¥

0tal que ,m n n∀ ≥ se cumple:

( ), 1n md x x < A partir de n0 la sucesión está acotado por 1 y como los n0 primeros también están acotados por ser éste un conjunto finito. Luego existe M positivo tal que: ( ){ }

0 0sup , :i nM d x x i n= ≤

Entonces si 0 0 y i n m n≤ ≥

( ) ( ) ( )0 0

1

, , , 1i m i n n m

M

d x x d x x d x x M

< <

≤ + < +14243 14243

por lo tanto ( ), 1 ,n md x x M n m< + ∀ ∈¥ El recíproco no es cierto vasta con ver el siguiente ejemplo Ejemplo 7.1 Una sucesión puede ser acotado como ( )1 n− y no ser de Cauchy como se puede ver claramente. Proposición 7.4 Sea :f E F→ una función uniformemente continua si { }nx E⊂ es

de Cauchy entonces ( ){ }nf x es de Cauchy.

Demostración Por ser f uniformemente continua implica que dado 0 0ε δ> ∃ > tal que si ( ),d x y δ< entonces

( ) ( )( ),d f x f y ε<

como { }nx es de Cauchy implica que para ese 00 nδ > ∃ ∈¥ tal que 0,n m n∀ ≥ se tiene

( ),n md x x δ< luego

Topología General Espacios Métricos Completos - 137 -

- 137 -

( ) ( )( ),n md f x f x ε<

por lo tanto ( ){ }nf x es de Cauchy.

Ejemplo 7.2 Una función que es solo continua no lleva sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy como muestra el siguiente ejemplo.

Sea ( ) ( ) 1: 0,1 tal que f f x

x→ =¡ es continua en ( )0,1 y { } { }1

nxn

= es de Cauchy

pero ( ){ } { }nf x n= no es de Cauchy.

Esto nos muestra que la noción de que una sucesión sea de Cauchy no es una propiedad topológica ya que solo se conserva por homeomorfismos uniformes (que sean uniformemente continuos). Ejemplo 7.3 Toda sucesión de Cauchy no tiene porque ser convergente por ejemplo

{ }1n

en ( )0,1 es de Cauchy pero no converge en ese espacio. Otro ejemplo 1

1n

n +

en los racionales ¤ es de Cauchy pero claramente no converge en los racionales. Es decir que la convergencia esta sujeto a lo que sucede en el espacio ( si le faltan puntos por ejemplo ). Nos va a interesar el estudios de aquellos espacios métricos en que las sucesiones de Cauchy sean convergentes y por eso introducimos la siguiente definición Definición 7.2 Un espacio métrico ( ),E d es completo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Ejemplo7.4 Los reales son un espacio métrico completo. Los racionales ya vimos que no y el intervalo [ ]0,1 es completo mientras que ( )0,1 no es completo porque

{ }1n es de Cauchy y converge a cero que no pertenece al intervalo.

Proposición 7.5 Sea E y F espacios métricos, :f E F→ continua, biyectiva y con inversa uniformemente continua entonces si E es completo implica F es completo. Demostración Sea { }ny F⊂ de Cauchy por proposición anterior (7.4) aplicado a la

función inversa. ( ){ }1nf y−⇒ es de Cauchy y como ( ){ }1

nf y E− ⊂ que es

completo por hipótesis, luego ( )1nf y e E− → ∈ y como f es continua :

( )( ) ( )1

n

n

y

f f y f e−

=

→14243


- 138 -

como ( )f e F∈ demostramos entonces que ( )ny f e F→ ∈ converge en F⇒ que F es completo. Corolario 7.6 Sean E y F son isométricos entonces E es completo si y solo sí F es completo. Demostración Como las isometrías son funciones uniformemente continuas y como las inversas de isometrías son isometrías tenemos que su inversa también es uniformemente continua. Luego se puede aplicar la proposición anterior tanto en el directo como en el recíproco. Vamos a ver ahora dos proposiciones que relacionan el ser completo con ser cerrado Proposición 7.7 Sea ( ),E d un espacio métrico completo y F E⊂ cerrado entonces F es completo. Demostración Tomemos una sucesión de Cauchy { }nx en F y como F E⊂ dicha sucesión es de Cauchy en E nx x E⇒ → ∈ .

Tenemos entonces que existe una sucesión { } tal que n nx F x x⊂ → luego por la

proposición 3.2 { { }cerrado

converge en nx F F x F∈ = ⇒ ⇒ F es completo.

Proposición 7.8 Sea ( ),E d un espacio métrico, y F E⊂ completo entonces F es cerrado. Demostración Tomemos x F∈ implica por proposición 3.2 que existe una sucesión { }nx F⊂ tal que nx x→ como F es completo y la sucesión está en F entonces { }nx

converge en F luego x F F F⇒ ∈ ⊂ como la otra inclusión se cumple siempre

F F= y por lo tanto F es cerrado. Proposición 7.9 Sean E y F dos espacios métricos consideremos el espacio producto E F× con cualquiera de las métricas ( 1 2, , o d d d∞ ) se tiene que es completo si y solo sí lo son E y F. Demostración Recordemos primero que dichas métricas son equivalentes ya que

( ) ( ) ( )1 12 , , ,d x y d x y d x y∞≤ ≤ lo que equivale a:

( ) ( ) ( )1 1, , , 2d d dB x B x B xε ε ε∞⊂ ⊂

1dB dB ∞ 1dB


- 139 -

y

( ) ( ) ( )2 22 , , ,d x y d x y d x y∞≤ ≤ lo que equivale

( ) ( ) ( )2 2, , , 2d d dB x B x B xε ε ε∞⊂ ⊂

Todas las métricas son equivalentes Consideremos la función identidad

( ) ( ): , , iId E F d E F d∞× → × Con 1,2i = estas funciones son continuas , biyectivas y con inversa uniformemente continua. Entonces ( ), iE F d× es completo si y solo sí ( ),E F d∞× es completo.

Demostremos solo entonces que ( ),E F d∞× es completo.

⇒ Consideremos una sucesión de Cauchy { }nx E⊂ por definición dado 0 ε⇒ >

entonces existe ( )0 0 tal que , se cumple ,E n mn m n n d x x ε∈ ∀ ≥ <¥ Sea 0y F∈ fijo y consideremos la función

( ) ( ) ( )0: , definida por ,h E E F d h x x y∞→ × = h es una inmersión isométrica ya

que ( ) ( )( ) ( ) ( ){ } ( )0 0, max , , , ,E E Ed h x h x d x x d y y d x x∞ ′ ′ ′= = entonces aplicando la

proposición 7.4 por ser la inmersión isométrica uniformemente continua ( ){ } ( ){ }0,n nh x x y= es de Cauchy en E F× luego

( ) ( )00 0

, , nn

x xx y x y

y y y

→→ ⇒ → =

luego ( ), EE d es completo. Análogamente con ( ), FF d

⇐ Si ( ) ( ), y ,E FE d F d son completos y consideramos una sucesión de Cauchy

( ){ },n nx y en el producto ( ),E F d∞× como:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }, , , , max , ,E n m n n m m E n m F n md x x d x y x y d x x d y y∞≤ = +

al ser ( ){ },n nx y de Cauhy se tiene que para cada 0 00 tal que ,n m n nε > ∃ ∈ ∀ ≥¥

( ) ( ) ( )[ ], , , ,E n m n n m md x x d x y x y ε∞≤ <

por lo tanto al ser ( ) { }0, , es de Cauchy en n m nd x x m n n x Eε< ∀ ≥ ⇒

De la misma forma { }ny es de Cauchy en F entonces como E y F son completos

( ) ( ) en

, , en en

nn n

n

x x Ex y x y E F

y y F

→ ⇒ → ×→

2dB dB ∞ 2dB


- 140 -

Lema 7.10 Sea ( ),E d un espacio métrico y en el e n nx x y y→ → entonces

( ) ( ), ,n nd x y d x y→

es decir ( ) ( )lim , ,n n nd x y d x y= Es como que podemos pasar del límite de la distancia al límite de sus componentes Demostración Si nx x→ ⇒ para cada 1 10 tal que se cumplen n nε > ∃ ∈ ∀ ≥¥

( ),nd x x ε< y que 2 2 para cada 0 tal que se cumpleny y n n nε→ ⇒ > ∃ ∈ ∀ ≥¥

( ),nd y y ε<

entonces si tomamos { }0 1 2 0max , entonces se cumple:n n n n n= ∀ ≥

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

, ,

, , , ,

, ,

n n

n n n n

n n

d x y d x y

d x y d x y d x y d x y

d y y d x xε ε

ε< <

− ≤

≤ − + − ≤

≤ + <14243 14243

luego ( ) ( ), ,n nx y x y→ Proposición 7.11 Sean E y F espacios métricos y consideremos: ( ) { }, : acotadasB E F f E F= → con la métrica ( ) ( ) ( )( ){ }, sup , :d f g d f x g x x E= ∈

sea el espacio métrico ( )( ), ,B E F d entonces Si F es completo ( )( ), ,B E F d es

completo. Demostración Sea una sucesión { }nf de Cauchy en ( )( ), ,B E F d lo que significa

que Dado 0 00 tal que ,n n m nε > ∃ ∈ ∀ ≥¥

( ),2n md f fε

<

pero por definición de distancia ( ) ( ) ( )( ){ }, sup , :n m n md f f d f x f x x E= ∈

entonces por definición de supremos

( ) ( )( ) ( ) , ,2n m n mx E d f x f x d f fε

∀ ∈ ≤ <

luego ( ){ }nf x es de Cauchy en F y como F es completo


- 141 -

( ) ( )nf x f x F⇒ → ∈

Por otro lado si { }nf es de Cauchy implica que está acotado para todo n en particular para 0n

( ) ( )( )0 0

0 tal que , ,n nk d f x f y k x y E∃ > < ∀ ∈

entonces 0,n m n∀ ≥

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

2 2

, , , ,n m n n n n n m

k

d f x f y d f x f x d f x f y d f y f y k

ε ε

ε<< <

≤ + + < +1442443 144424443 144424443

Llamemos a k Lε+ = y 0,m n n∀ ≥ entonces Tenemos que hemos demostrado que ( ) ( )( ), , n mx y E d f x f y L∀ ∈ <

por el lema anterior pasamos al límite ( ) ( )( ) ( ) ( )( )lim , ,n m m

nd f x f y d f x f y L

→∞= ≤

luego tenemos que ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), lim , ,m

mx y E d f x f y d f x f y L

→∞∀ ∈ = ≤

o sea que ( ) ( )( ), ,x y E d f x f y L∀ ∈ ≤

lo que implica que ( ),f B E F∈

retomando el hecho de que { }nf es de Cauchy en ( )( ), ,B E F d y que esto implica

( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ), sup , : ,3n m n m n md f x f x d f x f x x E d f fε

≤ ∈ = <

por el lema anterior pasando al límite

( ) ( )( ) ( ) ( )( )lim , ,3 2n m mn

d f x f x d f x f xε ε

→∞= ≤ <

por lo tanto

( ) ( )( ) ,2mx E d f x f xε

∀ ∈ <

si dicha desigualdad se cumple para todo x de E entonces también se cumple para el supremo

( ) ( )( ){ }

( )

sup , :2

,

m

m

d f x f x x E

d f f

εε

ε

∈ ≤ <

<P

luego mf f→ y se tiene que ( )( ), ,B E F d es completo.

Corolario 7.12 El conjunto de la funciones continuas ( ),bC E F es completo


- 142 -

Demostración Ya vimos que el conjunto ( ) { } ( ), : : continuas y acotadas ,bC E F f E F B E F= → ⊂ y el conjunto de las funciones continuas es cerrado (proposición 3.16) en un conjunto que es completo entonces es completo. Definición 7.3 Dada una función :f A Y→ continua, A X⊂ llamamos extensión continua de f a una función

: tal que |Af X Y f f→ =% % Proposición 7.13 Sea :f X N→ una función uniformemente continua definida en

un subconjunto denso de un espacio métrico M ( )X M= y tomando valores en un

espacio métrico completo N Entonces existe una única extensión continua :f M N→% de f, donde f% es uniformemente continua y además si f es una

inmersión isométrica entonces f% también y además Im Imf f=% Demostración Dado

{ } tal que n nx M X x M x x∈ = ⇒ ∃ ⊂ → Luego definimos

( ) ( )limn

nx xf x f x

→=%

esta definición tiene sentido si ( ){ }nf x es

convergente y además este límite no cambia cuando consideramos otra sucesión que converge a x. 1) Por ser { }nx convergente es de Cauchy y como f es uniformemente continua se

tiene que ( ){ }nf x es de Cauchy en N que es completo luego converge.

2) Por ser f uniformemente continua para cada 0ε >

( ) ( ) ( )( )0 tal que si , entonces ,2

d x y d f x f yε

δ δ∃ > < <

Si { }{ }

( )

( )

1 1

2 2

tal que , 2

tal que ,2

nn n

n nn

n n n d x xx x x X

y x y Xn n n d y x

δ

δ

∃ ∈ ∀ ≥ <→ ⊂ ⇒→ ⊂ ∃ ∈ ∀ ≥ <

¥

¥

Sea { }0 1 2 0max , entonces n n n n n= ∀ ≥

Como ( ) ( ) ( ), , ,n n n nd x y d x x d y x δ≤ + < entonces

X M= f% N f X


- 143 -

( ) ( )( ),2n nd f x f yε

<

y por el lema 7.10 se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ,2n n

n n n n nx x y xd f x f y d f x f y

εε

→ →= ≤ <

es decir que

( ) ( )( )lim , lim 0n n

n nx x y xd f x f y ε ε

→ →< ∀ >

luego ( ) ( )lim lim

n nn nx x y x

f x f y→ →

=

y dicho límite no depende de la sucesión, luego: ( ) ( ) { }lim donde está bien definido

nn nx x

f x f x x X→

= ⊂%

Si ( ), tal que ,3

x y X M d x yδ

∈ = < Sean { } { },n nx y X⊂ tal que:

( )

( )

1 1

2 2

tal que , 3

tal que ,3

nn

nn

n n n d x xx x

y yn n n d y x

δ

δ

∃ ∈ ∀ ≥ <→ ⇒→ ∃ ∈ ∀ ≥ <

¥

¥

Sea { }0 1 2 0max , entonces n n n n n= ∀ ≥ se cumple

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,n n n nd x y d x x d x y d y y δ≤ + + < otra vez por la continuidad uniforme

( ) ( )( ),2n nd f x f yε

<

y por el lema 7.10

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), lim , lim lim ,2n n n nn n n

d f x f y d f x f y d f x f yε

ε→∞ →∞ →∞

= = ≤ <% %

luego ( ) ( )( )0 ,d f x f yε ε∀ > <% %

por lo tanto f% es uniformemente continua. Si f es una inmersión isométrica se tiene ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) { ( ) ( )

inm. isom.

, lim , lim , ,n n n nn n

f

d f x f y d f x f y d x y d x y→∞ →∞

= = =% %

luego f% también es una inmersión isométrica además como ( ):f M f M→% % es sobre entonces es una isometría. Por ser ( ) ( ) ( )lim Im Im Imnf x f x f x f f f= ⇒ ∈ ⇒ ⊂% % % Por otro lado


- 144 -

Como M X= tenemos que es cerrado luego por ser f% es una isometría ( )f M% es

cerrado Im Imf f⇒ =% % entonces

como Im Im Im Im Imf f f f f⊂ ⇒ ⊂ =% % % luego Im Imf f= % Definición 7.4 Sea M un espacio métrico una completación de M es un par ( )ˆ ,M i

donde M̂ es completo e ˆ:i M M→ es una inmersión isométrica tal que ( ) ˆi M M= Ejemplo 7.5 La pareja ( ), inc¡ es una completación de ¤ ya que inc: R→¤ es una

inmersión isométrica y =¤ ¡ . Ejemplo 7.6 Un espacio métrico completo X tiene como completación la pareja ( ), Id.X Proposición 7.14 Si M,N son espacios métricos, N completo :f M N→

uniformemente continua, ( )ˆ ,M i una completación de M entonces existe una única

ˆ:f M N→% uniformemente continua. Y si además f es una inmersión isométrica

entonces f% también y además:

( ) ( )ˆ

Im Im

f M f M

f f

=

=

%%

Demostración Sea

( ) 10

ˆ y sea X i M M f f i−= ⊂ = o Como f es uniformemente continua implica que 0f también

Al ser ˆX M= por teorema anterior existe una única ˆ:f M N→% tal que f% es una extensión continua de 0f Si x M∈ tenemos ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1f i x f i x f i i x f x−= = =% %o o

f% es uniformemente continua y es una inmersión isométrica si f lo es.

( ) ˆi M M⊂ f% N i 1i− f M


- 145 -

Como ( )ˆ ˆM i M M= ⇒ es cerrado y como ( )ˆ ˆ:f M f M→% % es una isometría se

tiene que ( )ˆf M% es cerrado .

Por otro lado ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1ˆf M f i M f i M f i i M f M−= ⊂ = =% % % o

Luego ( ) ( )ˆf M f M⊂%

por ser f% una extensión de f tenemos ( ) ( )ˆf M f M⊂ %

Tenemos ( ) ( ) ( )ˆf M f M f M⊂ ⊂%

y por lo tanto

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ˆ

ˆ

f M f M f M

f M f M f M

⊂ ⊂

⊂ ⊂

%%

es decir que ( ) ( )ˆf M f M=%

Proposición 7.15 Sea ( ),M d un espacio métrico. Si ( ) ( )1 1 2 2

ˆ ˆ, y ,M i M i son dos

completaciones de M entonces existe una isometría 1 2 1 2ˆ ˆ: tal que j M M j i i→ =o

Demostración Podemos aplicar el teorema anterior tomando 2f i f j= ⇒ =% Como además 2i es una inmersión isométrica implica que j es una inmersión isométrica y

( ) ( )1 2 2ˆ ˆj M i M M= =

Como j es sobre entonces es una isometría

m 1i 2i ( )1i m ( )2i m j

M 1i 2i 1M̂ 2M̂ j

M 2i 2M̂ 1i 1

1i− j

1M̂


- 146 -

Proposición 7.16 Todo espacio métrico tiene una completación Demostración Consideremos un punto fijo 0m M∈ entonces para cada x M∈ nos definimos una función ( ) ( ) ( )0: tal que , ,x xf M f y d y x d y m→ = −¡ xf es continua para cada x M∈ por ser la distancia una función continua. Probaremos que está acotada

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

0 0

0 0

0 0

0

, , , ,

, , , ,

, ,

2 , cte para cada ,

x xf y f z

d y x d y m d z x d z m

d y x d y m d z x d z m

d x m d x m

d x m x M y z

− =

− − − ≤

≤ − + − ≤

≤ + =

= ∈ ∀

Luego xf está acotada ( ),x bf M⇒ ∈ ¡C y este último es cerrado y completo ( proposición 7.12) Definimos ( ): ,bi M M→ ¡C como ( ) xi x f= Tenemos que probar que i es una inmersión isométrica.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }, , sup :x y x yd i x i y d f f f z f z z M= = − ∈

y como

( ) ( ) ( ) ( )0, ,x yf z f z d z x d z m− = − ( ) ( )0, ,d z y d z m− +

( ) ( ) ( ), , ,d z x d z y d x y

=

= − ≤

luego ( ) ( ) ( ){ } ( ), sup : ,x y x yd f f f z f z z M d x y= − ∈ ≤

y como para z x= se tiene ( ) ( ) ( ) ( )0, ,x yf x f x d x x d x m− = − ( ) ( )0, ,d x y d x m− + ( ),d x y=

por lo tanto ( ) ( ) ( ){ } ( ), sup : ,x y x yd f f f z f z z M d x y= − ∈ =

es decir ( ) ( )( ) ( ), ,d i x i y d x y=

por lo que i es una inmersión isométrica. Consideremos ( )M̂ i M= como M̂ es cerrado dentro de ( ),b M ¡C que es completo

entonces M̂ es completo y por lo tanto el par ( )ˆ ,M i es una completación de M.

y z x 0m


- 147 -

Proposición 7.17 (Teorema de Cantor) Sea ( ),M d un espacio métrico entonces M

es completo si y solo sí para toda sucesión { }nF de conjuntos cerrados no vacíos encajados, es decir 1n nF F −⊂ cuyo diámetro tiende a cero se tiene que existe a M∈

tal que { }nF a=∩ Demostración ⇒ tomemos un n nx F∈ esto es posible por ser los nF no vacíos. Que el diámetro tienda a cero implica que dado 0 00 tal que n n nε > ∃ ∈ ∀ ≥¥ se

cumple que ( ){ }diam sup , : ,n nF d x y x y F ε= ∈ <

Ahora

( )0

0

0

0, , diam

n n n

n m nm m n

x F Fm n nd x x F

x F Fε

∈ ⊂ ∀ ≥ ⇒ < <∈ ⊂

luego ( )0, ,n mm n n d x x ε∀ ≥ <

{ }nx⇒ es de Cauchy en M que es completo luego tal que na M x a∃ ∈ →

Es decir que si tomamos ( ) ( )0, tal que ,nB a n x B aε ε∃ ∈ ∈¥ entonces

( ) 0, nB a F n nε φ≠ ∀ ≥∩ y si

00 n nn n F F< ⇒ ⊂

( ) ( )0

, ,n nB a F B a Fε ε φ⊃ ≠∩ ∩

luego ( ) {

cerrados

, n n nB a F n a F Fε φ≠ ∀ ∈ ⇒ ∈ =∩ ¥

es decir { } nn

a F∈

∈¥

∩

ahora si existiera otro { } , n nn

b F a b F n∈

∈ ⇒ ∈ ∀ ∈¥

¥∩ y

( ), diam nd a b F ε≤ <

para todo ( ) ( )0 , , 0d a b d a b a bε ε> < ⇒ = ⇒ = .luego existe un único punto a M∈ que cumple la tesis. ⇐ Sea { }nx una sucesión de Cauchy en M. Definimos nF

{ }:n kF x k n= ≥ 1 n nx x + Por ser la sucesión de Cauchy se cumple que 0 00 tal que , n m n nε∀ > ∃ ∈ ∀ ≥¥ se cumple que


- 148 -

( ),3n md x xε

<

Sea 0 con nF n n≥ y tomemos dos puntos , nx y F∈ como { }:kx x k n∈ ≥ entonces por definición de clausura para cualquier entorno del punto x tenemos puntos del conjunto y en particular:

( )0 con tal que ,3l lx l n n d x xε

∃ ≥ ≥ <

análogamente para ny F∈

( )0 tal que ,3t tx t n n d x yε

∃ ≥ ≥ <

entonces aplicando desigualdad triangular ( ) ( ) ( ) ( )

0

3 3 3por ser de Cauchy y

, , , ,l l t t

n n

d x y d x x d x x d x yε ε ε

ε< < <

≥

≤ + + <14243 14243 14243

es decir que ( ), se tiene ,nx y F d x y ε∀ ∈ < entonces

( ){ }diam sup , : , 2n nF d x y x y F ε ε ε ′= ∈ ≤ < = y esto además se cumple 0n n∀ ≥

0diam diam 0n nF n n Fε ′⇒ < ∀ ≥ ⇒ → y por hipótesis tal que a M∃ ∈

{ } nn

a F∈

=¥

∩

como ( ) 0 y , diam si n n n n na F x F d a x F n nε ′∈ ∈ ⇒ ≤ < ≥ luego para cada 0ε ′ >

existe ( )0 0 tal que se tiene ,nn n n d x a ε ′∀ ≥ < por definición de límite nx a→ Luego M es completo. Definición 7.5 Sea M un espacio métrico y :f M M→ se dice que f es una contracción si existe ( ) ( ) ( )( ) ( )0,1 tal que , . ,c d f x f y c d x y∈ ≤

Definición 7.6 Sea M un espacio métrico y :f M M→ una función decimos que tiene un punto fijo si existe un ( )0 0 0 tal que x M f x x∈ = Proposición 7.18 Si f es una contracción entonces es uniformemente continua Demostración Por ser f contracción existe ( )0,1c ∈ para el cual se cumple la definición de contracción, y se tiene que:

Dado ( )0 si ,d x y cεε δ> < ≤ entonces se cumple

( ) ( )( ) ( ), . , .d f x f y c d x y c δ ε≤ < =

que es la definición de uniformemente continua.


- 149 -

Proposición 7.19 Sea M un espacio métrico completo y :f M M→ una contracción entonces existe un único punto fijo por f, “a”.tal que ( )

veces

Si lim siendo ...n n

nn

x M f x a f f f f∈ = = o o o14243

Demostración Sea 0x M∈ definimos

( )( ) ( )

( ) ( )

1 0

22 1 0

1 0... nn n

x f x

x f x f x

x f x f x−

=

= =

= = =

M

entonces

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 1 1 0 1 0

23 2 2 1 2 1 1 0

1 1 1 1 0

, , . ,

, , . , . ,

por inducción

, , . , .... ,nn n n n n n

d x x d f x f x c d x x

d x x d f x f x c d x x c d x x

d x x d f x f x c d x x c d x x+ − −

= ≤

= ≤ ≤

= ≤ ≤ ≤

M

Sea m n> entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 2 1 1

1 1

1 0 1 0

, , , ... , ,

, ,

m

n m n n n n m m i ii n

m mi i

i n i n

d x x d x x d x x d x x d x x

c d x x d x x c

−

+ + + − +=

− −

= =

≤ + + + = ≤

≤ =

∑

∑ ∑

Como ( )( )

i0

i=1 1 0

0,1 c tal que ,

i

i n

c n cd x x

ε∞ ∞

=

∈ ⇒ < ∞ ⇒ ∃ <∑ ∑

Luego si 0,m n n≥ se tiene

( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1 0 1 0 1 01 0

, , , ,,

mi i

n mi n i n

d x x d x x c d x x c d x xd x x

εε

− ∞

= =

≤ ≤ < =∑ ∑

es decir que dado 0 00 tal que si , entoncesn n m nε > ∃ ∈ ≥¥

( ),n md x x ε<

así { }nx es de Cauchy y por se M completo tal que na M x a∃ ∈ → y por ser f continua.

( ){ ( )

( )2

1

por ser entonces

n

n

f x f aM T f a a

x a+

→ ⇒ =→

P

luego a es punto fijo.


- 150 -

Además si tuviera otro punto fijo b se tendría ( )f b b= se tiene que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ ( )

si , 0

, , . , ,d a b

d a b d f a f b c d a b d a b≠

= ≤ ×

lo que es absurdo salvo que ( ), 0 d a b a b= ⇒ = Luego el punto fijo es único. Definición 7.6 Sea M un espacio topológico y X M⊂ se dice nunca denso en M si

X φ=o

Definición 7.7 Sea M un espacio topológico e X M⊂ se dice que es magro si

1

con nunca denso i ii

X A A i∞

=

⊂ ∀ ∈¥∪

Ejemplo 7.7 Sea M espacio métrico entonces { }X x= es nunca denso ya que

{ } { } { } no es abierto no es aisladox x x xφ φ= ⇔ = ⇔ ⇒o o

Ejemplo 7.8 Sea M = ¤ racionales entonces { } { } como

x

x x∈

=¤

¤ ∪ no es aislado

entonces es nunca denso lo que implica que ¤ es magro.

Por otro lado ¤ como subconjunto de ¡ no es nunca denso ya que = =o o¤ ¡ ¡ pero

sí sigue siendo magro. Ejemplo 7.9 Sea M espacio métrico A M⊂ abierto

Como CA A A∂ = ∩ es cerrado y entonces A A φ∂ = ∂ =o o

ya que si

( )

( )C C

0 ,

0 ,

x A B x A

x A y

x A B x A

ε ε φ

ε ε φ

∈ ⇒ ∀ > ≠

∈∂ ⇒

∈ ⇒ ∀ > ≠

∩

∩

es decir que cualquier bola de centro x contiene puntos de A y como A A φ∂ =∩ por ser A abierto, entonces no hay bola que este totalmente contenida en A∂ . ⇒ Tiene interior vacío. Ejemplo 7.10 Sea M = ¡ y consideremos el conjunto de Cantor C ya vimos que

nunca denso en φ= = ⇒o o

¡C C C


- 151 -

esto implica que es magro en ¡ ( pero más adelante veremos que no es magro en sí mismo) Observación 7.1 A es magro si y solo sí con n n

n

A D D∈

⊂¥

∪ cerrados con interior

vacíos ya que por definición es magro si nn

A F∈

⊂¥

∪ con nF φ=o

pero siempre

n n n nn n

F F A F F∈ ∈

⊂ ⇒ ⊂ ⊂¥ ¥

∪ ∪ con nF cerrado.

con cerrado n n n nn

A D D D D∈

⇐ ⊂ ⇒ =¥

∪ y como tienen interior vacío por

hipótesis se cumple n nD D φ= =o o

por definición A es magro. Observación 7.2 Todo conjunto nunca denso es magro ya que lo podemos ver como la unión de sí mismo. Es decir es la unión numerable (un solo conjunto ) de conjuntos nunca densos (él mismo). Pero no se cumple el recíproco, por ejemplo los racionales ya dijimos que es magro pero no es nunca denso. Proposición 7.20 Sea X un espacio topológico, A X⊂ entonces

1) A es nunca denso en X si y solo sí ( )CAo es denso en X

2) Si A es cerrado, A nunca denso si y solo sí CA es denso.

Demostración Sea ( )CB A= ⇒ por lema 2.13 (a) ( )CB A=

o por otro lado como

CB A= y A nunca denso ( ) ( )CCA B B B X Bφ φ φ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒o o

es

denso en X.

2) Si A es cerrado , y A nunca denso ⇔ por 1) ( )CAo es denso ( )C

A⇔ es denso ⇔

como A es cerrado entonces CA es denso en X. Proposición 7.21 (Teorema de Baire) Sea M un espacio métrico completo y { }n nU ∈¥ una familia numerable de abiertos densos en M entonces nU∩ es denso en

M. Demostración Vamos a probar que ( ) ( ) y 0 entonces , nx M r B x r U φ∀ ∈ > ≠∩ ∩

Dado entonces , 0x M r∈ > Sea ( )1 ,B B x r= como 1U es denso 2 1 1x U B⇒ ∃ ∈ ∩ además por ser 1U y 1B abierto 1 1U B⇒ ∩ es abierto y entonces existe 1 0r > tal que


- 152 -

( )2 1 1 1 1,B x r U B B⊂ ⊂∩

Sea { } ( ) ( )12 2 2 2 1

1min , entonces , ,

2 2

rB x B x rε ε= ⊂

Llamemos ( )2 2 2,B B x ε= se tiene que:

2 1 1 1 1B U B B B⊂ ⊂ ⊂∩

es decir 2 1B B⊂ a su vez como 2U es denso 3 2 2x U B⇒ ∃ ∈ ∩ y por ser 2 2 y U B abiertos 2 2U B⇒ ∩ es abierto luego igual que antes existe 2 0r > tal que:

( )3 2 2 2 2,B x r U B B⊂ ⊂∩

Sea { } ( ) ( )23 3 3 3 2

1min , , ,

3 2r

B x B x rε ε= ⇒ ⊂

Llamemos ( )3 3 3,B B x ε= se tiene que:

( )3 3 2 2 2 2 2,B B x r U B B B⊂ ⊂ ⊂ ⊂∩

De esta forma tenemos { },n nx ε tales que ( ) 1, con n n n n nB B x ε ε= < y 1nnB B −⊂ cerrados no vacíos y como nU es denso tenemos que existe 1n n nx U B+ ∈ ∩ y por ser

y n nU B abiertos n nU B∩ es abierto 0 tal que nr⇒ ∃ > ( )1,n n n nB x r U B+ ⊂ ∩

Sea { } ( ) ( )1 1 1 1

1min , , ,

2n

n n n n n n n

rB x B x r U B

nε ε+ + + += ⇒ ⊂ ⊂ ∩

Llamemos ( )1 1 1,n n nB B x ε+ + += se tiene que:

1n n n n nB U B B B+ ⊂ ⊂ ⊂∩ obtenemos una sucesión de cerrados encajados no vacíos cuyo diámetro cumple: 2diam diam 0n nnB B< ⇒ → entonces podemos aplicar el teorema de Cantor es decir que existe a M∈ tal que n

n

a B∈

∈¥

∩

Entonces:

( )1

1

1 2 1 1 1 1

...

n n n n nn

n

n n

n a B U B U a Ua B U

a B B B U B B a B

+∈

+

∀ ∈ ∈ ⊂ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈∈ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⇒ ∈

¥¥ ∩

∩∩

∩ ∩

Por lo tanto nU∩ es denso en M.

Una forma diferente de enunciar el teorema de Baire es el siguiente corolario

Corolario 7.22 Sea M un espacio métrico completo y F es magro entonces Fo

es vacío.


- 153 -

Demostración F magro si nF D⊂ ∪ con cerrado y n nD D φ=o

ver observación 7.1

Sea nD D= ∪ afirmamos que D φ=o

ya que

( )CC Cn nD D D= =∪ ∩

como nD es cerrado CnD⇒ es abierto, por la proposición 7.20 por ser nD nunca

denso entonces ( )CnD

o es denso C

nD⇒ es denso, por el teorema de Baire, al ser M

un espacio métrico completo la intersección numerable de abiertos densos es denso. Es decir que C C

nD D= ∩ es denso

C

C

lema 3.13 bD XF D F D

D X Dφ

φ

=⇒ ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ = = ⇒ =

o oo o

Corolario 7.23 Si M es un espacio métrico completo entonces no es magro en sí mismo. Demostración Si M fuera magro en M por corolario anterior

M M φ= =o

lo que es un absurdo. Corolario 7.24 Sea M un espacio métrico tal que y n nM F F= ∪ es cerrado

entonces existe 00 tal que nn F φ∈ ≠

o¥

Demostración Si no fuera así se tendría que {cerrado

n nF F nφ= = ∀ ∈ ⇒o o

¥ nunca denso

lo que quiere decir que M es magro y por corolario 7.23 M φ⇒ =o

Observación 7.3 El teorema de Baire como alguno de sus corolarios siguen siendo verdaderos si sustituimos la hipótesis de espacio métrico por la de espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo. Definición 7.8 Un espacio topológico cualquiera se dice de Baire si todo conjunto magro tiene interior vacío


- 154 -

Con esta terminología y con el corolario 7.22 podemos enunciar el teorema de Baire como sigue. Proposición 7.25 Sea M un espacio métrico completo entonces es un espacio de Baire. Observación 7.4 La terminología usada por el propio Baire era, a los espacios de Baire se les llamaba espacios de primera categoría y se decía que otro espacio que no fuera de Baire, de segunda categoría Proposición 7.26 Sea M un espacio métrico completo, A abierto entonces A es homeomorfo a un espacio métrico completo. Demostración Sea una función :f M → ¡ definida como:

( )( ) ( ){ }C

C

, inf , : si

0 si

Cd x A d x b b A x Af x

x A

= ∈ ∈= ∈

Primero que nada f es continua por ser d continua y la función 0 estando definidas en cerrados tales que su unión es todo el espacio y en los puntos comunes valen lo mismo es decir

( )C C Csi , 0x A A A x A d x A∈∂ = ⇒ ∈ ⇒ =∩

(ver ejemplo 3.16 ) Además tenemos que si para algún x ( ) ( ){ }C0 inf , : 0f x d x b b A= ⇒ ∈ = e implica

que existe ( )C 1 tal que ,n n nb A d x b∈ < lo que significa que {C C

cerradonb x x A A→ ⇒ ∈ =

luego si ( ) C0f x x A= ⇔ ∈ entonces ( ) 0x A f x∀ ∈ ⇒ > y definimos la siguiente función:

( )

:

1 ,

A M

a af a

ϕ → ×

→

¡

es decir ( ) ( )( )1, f aa aϕ = está bien definida por ser ( ) 0f a > y es continua ya que:

( )( ) ( )

1

2

es continua

1 que tambien es continua

a a

a f a

π ϕ

π ϕ

=

=

oo

además ( ) ( ){ }Im , : 1x r M f x rϕ ⊂ ∈ × =¡ y

Sea ( ) ( ) ( ), tal que 1 0x r M f x r f x∈ × = ⇒ ≠¡ entonces existe tal que x A∈


- 155 -

( )1

rf x

= y luego ( ) ( ),x r xϕ=

implica que ( ), Imx r ϕ⊂ luego:

( ) ( ){ }Im , : 1x r M f x rϕ = ∈ × =¡

ahora probaremos que este conjunto es cerrado. Para ello sea ( ){ }, Imn n n

x r ϕ∈ ⊂¥ una sucesión tal que ( ) ( ), ,n nx r x r→

Ahora como los ( ) ( ), Im 1n n n nx r f x rϕ∈ ⇒ = y como f es continua ( ) ( )nf x f x→ y por se nr r→ se tiene que

( ) ( )n nf x r f x r→

luego ( ), Imx r ϕ∈ por lo tanto Imϕ es cerrado en M × ¡ que es completo luego Imϕ es completo. Además ( ): A Aϕ ϕ→ es inyectiva por ser la primer coordenada inyectiva (es la identidad). Entonces sobre su imagen es biyectiva y con inversa: ( )1 ,x r xϕ − = que es la proyección luego es continua. Así tenemos que ϕ es un homeomorfismo de A en Imϕ que es un espacio métrico completo. La métrico correspondiente es la inducida por M × ¡ o sea: ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,Md x r x r d x x r rϕ ϕ = + −

Ejemplo 7.11 Sea M un espacio métrico completo con una cantidad numerable de elementos entonces de acuerdo al teorema de Baire (corolario 7.22) debe tener un punto aislado porque de lo contrario M sería magro y por lo tanto el interior de M sería vacío y esto es absurdo. En realidad M debe tener infinitos puntos aislados pues si 1x M∈ es aislado (ya sabemos que hay uno) entonces { }1M x− es cerrado en M y por lo tanto completo (proposición 7.7) luego existe un punto aislado

{ }2 1x M x∈ − y así sucesivamente.

En particular todo subconjunto cerrado numerable del espacio euclidiano n¡ posee una infinidad de puntos aislados. El teorema de Baire proporciona también una demostración de que el conjunto de los números reales no es numerable, por ser un espacio métrico completo sin puntos aislados. Ejemplo 7.12 El conjunto de cantor C es cerrado en [ ]0,1 que es completo luego por proposición 7.7 es completo y como por la proposición 4.7 todos sus puntos son de acumulación, es decir no tiene puntos aislados entonces como en el ejemplo anterior no es numerable. Además C no es magro en sí mismo, por corolario 7.23, ver ejemplo 7.10.


- 156 -

Ejemplo practico Enunciado Un subconjunto P de un espacio topológico se llama perfecto si y solo sí es igual al conjunto de sus puntos de acumulación. a) Probar que un espacio métrico perfecto y completo no es numerable. b) Dar un ejemplo de un espacio métrico perfecto numerable. a) Dado un espacio métrico P sabemos que es de Hausdöff luego es T1 y los conjuntos unipuntuales son cerrados . { } { }x x= Todo conjunto se puede escribir como la unión de sus elementos es decir: { }

x P

P x∈

= ∪

Decimos que un punto es aislado si no es de acumulación; entonces un conjunto perfecto no tiene puntos aislados y como:

{ } { } si no es aisladox xφ=o

o sea que

{ } si es de acumulación x xφ=o

Entonces si P es perfecto y numerable se tiene

{ } { } { } y x P

P x x x φ∈

= = =o o∪

es decir un conjunto perfecto P numerable es magro por ser unión numerable de conjuntos nunca densos Pero ya vimos que un espacio métrico completo no es magro en sí mismo porque sino sería vacío. Luego si P es perfecto y completo entonces no es numerable. b) Los racionales ⊂¤ ¡ con la topología relativa usual § Primero que nada es un espacio métrico con la métrica relativa a la de ¡ en ¤ . § Además es perfecto porque no contiene puntos aislados ya que todo entorno de un racional siempre contiene puntos racionales. § Y los racionales son numerables.

Capítulo 8

Espacios Compactos Cuando un espacio topológico posee una propiedad local, es natural considerar la familia de los entornos (abiertos) donde se satisface dicha propiedad. Esta familia constituye un recubrimiento del espacio, y en el estudio de la propiedad dada es, sin duda, de gran ayuda saber que este recubrimiento puede ser reducido a uno finito. La compacidad de un espacio nos proporciona siempre un recubrimiento finito dentro de cualquier recubrimiento abierto del espacio, y ello permite, bajo ciertas hipótesis, poder pasar de lo “local” a lo “global” ; es decir, poder obtener una propiedad del espacio como consecuencia de resultados locales en un número finito de puntos. Por su naturaleza, los espacios compactos retienen muchas propiedades de los conjuntos finitos. Así, a modo de ejemplos, tenemos que toda función real continua de un espacio compacto siempre alcanza su máximo y su mínimo, y que dos subconjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdörff pueden ser separados por abiertos disjuntos. Definición 8.1 Un espacio topológico X decimos que es compacto si todo cubrimiento por abiertos de X tiene un subcubrimiento finito. Si A X⊂ decimos que es compacto si lo es con la topología relativa Proposición 8.1 Dado el espacio topológico X, A X⊂ es compacto si y solo sí para todo cubrimiento de A por abiertos de X admite un subcubrimiento finito que lo sigue recubriendo. Demostración ⇒ Un cubrimiento por abiertos de X con la topología relativa es una familia de la forma

{ }

( ) donde es abierto en

si I

I

U A U X I

A U A

α αα

αα

α∈

∈

∀ ∈

=

∩∩∪


- 158 -

esto es la mismo que tomar una familia { } IUα α∈ de abiertos en X tales que:

I

A Uαα∈

⊂ ∪

Entonces como A es compacto con la topología relativa significa que existen

( ) ( )1 i,..., con 1,...,

nU A U A I i nα α α ∈ ∀ =∩ ∩ tal que

( )1

i

n

i

A U Aα=

= ∩∪

lo que es lo mismo

1

i

n

i

A Uα=

⊂ ∪

Entonces todo cubrimiento de A por abiertos de X tienen un subcubrimiento finito que lo siguen recubriendo. Y recíprocamente: Sea

I

A Vαα∈

= ∪ con Vα abierto de la topología relativa o sea que

con abierto en V U A U Xα α α= ∩ entonces ( )

I I

A U A A Uα αα α∈ ∈

= ⇒ ⊂∩∪ ∪

entonces por hipótesis existen 1,..., con 1,...,

n iU U I i nα α α ∈ ∀ = tal que

( )

1 1

1

i i

i

n n

i i

n

i

A U A U A

A V

α α

α

= =

=

⊂ ⇒ =

∴ =

∩∪ ∪∪

y por definición A es compacto Ejemplo 8.1 Los reales no es compacto ya que ( ){ }, :n n n− ∈¥ es un cubrimiento de

¡ por abiertos sin recubrimiento finito ( ),

n

n n∈

= −¥

¡ ∪

si tuviera subcubrimiento finito

( ) ( )1

, ,k kk

n n m m=

= − = −l

¡ ∪

siendo { }max : 1,...,km n k= = l Ejemplo 8.2 Sea X finito con cualquier topología

I

X Uαα∈

= ∪

Topología General Espacios Compactos - 159 -

- 159 -

sea tal que ii iI x Uαα ∈ ∈ entonces:

i

ix X

X Uα∈

= ∪

que es un subcubrimiento finito por ser X finito Ejemplo 8.3 X con la topología discreta es compacto si y solo sí es finito ya que { }

x X

X x∈

= ∪

es un cubrimiento por abiertos de X solo existe subcubrimiento finito si X es finito. Ejemplo 8.4 Sea X con la topología de complementos finitos tomemos un cubrimiento { } I

Uα α∈ por abiertos de X .

I

X Uαα∈

= ∪

tomemos un abierto cualquiera no vacío 0

Uα se tiene por definición de abierto en

esta topología { }0

C1,..., nU x xα = para cada tal que

i ii ix U x Uα α∃ ∈ y entonces

{ }0 1, ,...,

nU U Uα α α es un cubrimiento finito X⇒ es compacto.

Ejemplo 8.5 Sea ( ]0,1 no es compacto ya que

( ] ( ]10,1 ,1nn∈

=¥

∪

supongamos que existe un subcubrimiento finito ( ] ( ]10,1 ,1n

n F∈

= ∪

tal que F es un conjunto finito luego podemos tomar el { }max n F m∈ =

( ] ( ] ( ]1 1 1,1 ,1 0,1 ya que 0n m mn F∈

= ≠ >∪

Proposición 8.2 ( Teorema de Heire-Borel ) Sean los reales con la topología usual entonces [ ],a b ⊂ ¡ es compacto. Demostración Sea { } I

Uα α∈ una familia de abiertos en ¡ tal que cubren al intervalo

[ ],a b es decir

[ ],I

a b Uαα∈

= ∪

definimos el siguiente conjunto

[ ] [ ], : , para algún finitoF

S x a b a x U Fαα∈

= ∈ ⊂

∪


- 160 -

con { }1,..., nF α α= es decir es el conjunto de los x para el cual existe un subcubrimiento finito El conjunto S no es vacío ya que [ ] { } ,a S a a a∈ = que claramente es cubierto por algún abierto por definición de cubrimiento. Además S está acotada superiormente por b, luego existe extremo superior o supremo que llamaremos c .Como [ ]

0 0, tal que c a b U c Uα α∈ ⇒ ∃ ∈ como

0Uα es

abierto ( )0

0 tal que ,c c Uαε ε ε⇒ ∃ > − + ⊂ por definición de supremos s S∃ ∈ tal

que

[ ]11

,..., tal que ,i

n

ni

c s c I a s Uαε α α=

− < ≤ ⇒ ∃ ∈ ⊂ ∪

entonces

[ ]0

1

,i

n

i

a c U Uα α=

⊂ ∪∪

y por lo tanto c S∈ . Sabemos que c b≤ : Supongamos que { {

0

tal que x U b

c b x c x cα

ε∈ <

< ⇒ ∀ < < + entonces

[ ]0

1

, y i

n

i

a x U U x S x cα α=

⊂ ⇒ ∈ >∪∪

Luego [ ],c b a b= ⇒ tiene subcubrimiento finito y luego es compacto Proposición 8.3 Sea X un espacio topológico Hausdörff , K X⊂ compacto x K∉ entonces existen abiertos disjuntos ,U V tales que , K U x V⊂ ∈ Demostración Sea y K∈ como x K∉ y es espacio es de Hausdörff entonces existen entornos (que podemos tomar abiertos) , tales que y yU V

, con y y y yy U x V U V φ∈ ∈ =∩

tenemos que yy K

K U∈

⊂ ∪ y como K es compacto existe un subcubrimiento finito es

decir 11

,..., tal que i

n

n yi

y y K U=

∃ ⊂ ∪ nos definimos a 1

i

n

yi

U U=

= ∪ tenemos que es

abierto por ser unión de abiertos por construcción y tomemos como 1

i

n

yi

V V=

= ∩ que

es abierto por ser la intersección finita de abiertos y como yx V y x V∈ ∀ ⇒ ∈

además

s x

0Uα

a c c cε ε− + b


- 161 -

{ }

1

1,..., tal que

1,...,

i k

i k

n

y yi

y y

z U U k n z Uz U V

z V z V i n z V=

∈ = ⇒ ∃ ∈ ∈∈ ⇒ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ∀ = ⇒ ∈

∩ ∪

k ky yz U V∈ ∩ absurdo ya que por construcción estos son disjuntos.

Luego U y V así obtenidos son los abiertos de la tesis. Proposición 8.4 Dado un espacio topológico X de Hausdörff y en él dos conjuntos disjuntos ,K X L X⊂ ⊂ compactos entonces existen abiertos ,U V abiertos disjuntos tales que y K U L V⊂ ⊂ . Demostración Como los conjuntos K y L son disjuntos si tomamos x L x K∈ ⇒ ∉ y podemos aplicar la proposición anterior, luego existen abiertos ,x xU V tales que:

y xx x

x

K UU V

x Vφ

⊂ =∈ ∩

tenemos que xx L

L V∈

⊂ ∪ luego como L es compacto 1,..., nx x∃ tales que:

1

i

n

xi

L V=

⊂ ∪

entonces nos definimos 1

i

n

xi

V V=

= ∪ que es abierto por ser unión de abiertos y

1i

n

xi

U U=

= ∩ que es abierto por ser la intersección finita de abiertos además xK U⊂

para todo x lo que implica que K U⊂ y también por construcción L V⊂ ahora si

{ }

1

1,..., tal que

1,...,

i k

i k

n

x xi

x x

z V V k n z Vz U V

z U i n z U z U=

∈ = ⇒ ∃ ∈ ∈∈ ⇒ ⇒ ∈ ⇒ ∀ = ∈ ⇒ ∈

∩ ∪

k kx xz U V∈ ∩ absurdo ya que por construcción esos conjuntos son disjuntos.

Luego U y V son disjuntos y son los que cumplen con el enunciado de la proposición. Proposición 8.5 Sea X un espacio topológico compacto,Y X⊂ cerrado entonces Y es compacto. Demostración Sea { } I

Uα α∈ una familia de abiertos de X tales que

I

Y Uαα∈

⊂ ∪


- 162 -

como Y es cerrado CY es abierto y entonces { } CI

U Yα α∈ ∪ es un cubrimiento por

abiertos de X que es compacto 1,..., tales que n Iα α⇒ ∃ ∈ { } C

1i

n

iU Yα =

∪ sigue siendo

un recubrimiento de X (a CY lo agregamos en caso que no integre el cubrimiento finito ) entonces se tiene:

C

1 1i i

n n

i i

X U Y Y Uα α= =

= ⇒ ⊂∪∪ ∪

entonces por la proposición 8.1 Y es compacto Proposición 8.6 Sea X un espacio topológico de Hausdörff e K X⊂ compacto entonces K es cerrado. Demostración Primero que nada si K X= el enunciado no aporta nada nuevo, entonces podemos considerar que existe un x K∉ y por la proposición 8.3 existen abiertos ,U V tales que , con K U x V U V V Kφ φ⊂ ∈ = ⇒ =∩ ∩ es decir que Cx V K∈ ⊂ luego C C abierto tal que x K V x V K∀ ∈ ∃ ∈ ⊂ lo que quiere decir que CK es abierto ⇒ K es cerrado. Ejemplo 8.6 Sea { } I

Kα α∈ una familia de compactos en un espacio topológico de

Hausdörff entonces I

Kαα∈∩ es compacto.

Demostración Por la proposición anterior los Kα son cerrados y por lo tanto la intersección de ellos es un cerrado tal que

0 0 para cualquier I

K K Iα αα

α∈

⊂ ∈∩

luego por la proposición 8.5 ( un cerrado en un compacto es compacto) I

Kαα∈

⇒ ∩ es

compacto. Ejemplo 8.7 Un conjunto K ⊂ ¡ con la topología usual es compacto si y solo sí es cerrado y acotado. Demostración Si K ⊂ ¡ es compacto como ¡ es de Hausdörff por proposición 8.6 K es cerrado. Además es acotado porque ( ){ }, :n n n− ∈¥ es un cubrimiento por

abierto de ¡ y en particular como:


- 163 -

( ),n

K n n∈

⊂ −¥

∪

entonces tiene un subcubrimiento finito luego:

( )1

,m

k kk

K n n=

⊂ −∪

sea { } ( ) ( )0 0 01

max : 1,..., , ,m

k k kk

m n k m K n n m m=

= = ⇒ ⊂ − ⊂ −∪

y por lo tanto ( )0 0,K m m⊂ − está acotado. Recíprocamente Si K es cerrado y acotado en [ ], tal que ,a b K a b⇒ ∃ ∈ ⊂¡ ¡ y como este último es compacto por la proposición 8.5 K es compacto. Proposición 8.7 ( Lema de Alexander ) Sea ( ),X τ un espacio topológico si existe S una subbase de τ tal que todo cubrimiento por abiertos de S tiene un subcubrimiento finito entonces X es compacto. Demostración Supongamos por el absurdo que X no es compacto. Definimos el siguiente conjunto: { }: es cubrimiento de sin subcubrimiento finitoX=F U U

φ≠F porque supusimos que X no es compacto. Ordenamos F por inclusión es decir establecemos el siguiente orden parcial: ≤ ⇔ ⊂U V U V obtenemos así un conjunto ( ), ≤F ordenado

Sea { } Iα α∈ ⊂U F linealmente ordenado (una cadena) consideremos:

I

αα∈

= ∪U U

Probaremos que ∈U F para lo cual suponemos por el absurdo que no es así

entonces existen 11

,..., tal que n

n ii

U U X U=

∈ = ∪U pero como los iI

U αα∈

∈ = ∪U U

tal que ii iI U αα⇒ ∃ ∈ ∈U 1,...,i n∀ = pero por orden lineal existe { }0 1,..., nα α α∈

tal que 0 0 0 1,..., 1,...,

i iU U i n U i nα α α α α⊂ ∀ = ⇒ ∈ ∀ = ⇒U U es un cubrimiento por

abiertos que tiene un subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque 0α ∈U F .

Luego ∈ ⇒U F F ordenado y acotado entonces por el Lema de Zorn existe elemento maximal ∈M F . Antes de seguir con la demostración demostraremos tres afirmaciones necesarias para terminar de demostrar este lema


- 164 -

Afirmación 1 Sea 1, ,..., nA A M Mφ τ≠ ∈ ∉ ⇔ ∃ ∈M M tal que 1 .... nX A M M= ∪ ∪ ∪ Demostración Como y Aφ ≠ ∉ ∈M M F maximal esto implica que A∉∪M F luego tiene un subcubrimiento finito lo que implica 1,..., nM M∃ ∈M tal que 1 ... nX A M M= ∪ ∪ ∪ además A tiene que formar parte del recubrimiento finito porque sino sería M el que tiene subcubrimiento finito ⇒ ∉M F lo cual es absurdo. Recíprocamente si existen 1,..., nM M ∈M tal que 1 .... nX A M M= ∪ ∪ ∪ entonces A∉M porque sino fuera así se tendría un subcubrimiento de X en M lo cual es absurdo porque ∈M F . Afirmación 2 , A A A B Bφ τ τ≠ ∈ ∉ ⊂ ∈ ⇒ ∉M M Demostración Si A∉ ⇒M por la afirmación 1 que 1,..., nM M∃ ∈M tal que 1 1... ...n nX A M M B M M= ⊂∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ como la otra inclusión es obvia 1 ... nX B M M= ∪ ∪ ∪ y por el recíproco de la afirmación 1 B⇒ ∉M Afirmación 3 Si

,

, \

A BA B

A B τ φ∉ ⇒ ∉∈

∩MM

Demostración Como Aφ ≠ ∉M por la afirmación 1 1,..., nM M∃ ∈M tal que 1 ... nX A M M= ∪ ∪ ∪ Análogamente Bφ ≠ ∉M por la afirmación 1 1,..., mN N∃ ∈M tal que 1 ... mX B N N= ∪ ∪ ∪ ahora si 1 1... ...n m

x A x B

x M M N N x A B∈ ∈

∉ ⇒ ∈∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∩1442443 1442443 luego :

1 1... ...n mX A B M M N N= ∩ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ y por el recíproco de la afirmación 1 A B ∉∩ M Continuemos con la demostración del Lema Sea S la subbase de la topología τ de la hipótesis, { } con

IS Aα α∈= .


- 165 -

Para cada x X∈ se tiene que existe xM ∈M tal que xx M∈ por ser M un cubrimiento por abiertos de X además por definición de subbase

1,...,

nA A Sα α∃ ∈ tal

que:

1

i

n

xi

x A Mα=

∈ ⊂∩

Por la afirmación 2 como 1

i

n

xi

M Aα=

∈ ⇒ ∈∩M M ya que si no fuera así es decir si

1

i

n

i

Aα=

∉∩ M como 1

i

n

xi

A Mα=

⊂∩ por la afirmación 2 xM⇒ ∉M lo cual es absurdo

y por la afirmación 3 (contrarecíproco de la misma )

{ }00 1

1

Si ,..., tal que i

n

ni

A Aα αα α α=

∈ ⇒ ∃ ∈ ∈∩ M M

Es decir que 0

x Aα∈ ∈M En resumen para cada x X∈ encontramos un ( )0 xA Sα ∈

tal que ( ) ( )0 0x x

x X

x A S X Aα α∈

∈ ∈ ⇒ =∩ ∪M

tenemos que ( ){ }0

:xA x X Sα ∈ = ∩M es un cubrimiento de X por elementos de S

que como S ⊂ ⇒∩M M que no tiene subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque contradice la hipótesis. Proposición 8.8 Sean X e Y espacios topológicos, con X compacto y una función

:f X Y→ continua entonces ( )f X es compacto. Demostración Consideremos un cubrimiento { } I

Uα α∈ por abiertos de Y es decir:

I

Y Uαα∈

⊂ ∪

como ( )I

f X Y Uαα∈

⊂ ⊂ ∪ se tiene

( )( ) ( )1 1 1

I I

X f f X f U f Uα αα α

− − −

∈ ∈

⊂ ⊂ = ∪ ∪

y como f es continua los ( )1f Uα− son abiertos en X , ( ){ }1

If Uα α

−∈

es entonces un

cubrimiento por abiertos de X que por hipótesis es compacto luego tiene un subcubrimiento finito 1,..., tal quenα α⇒ ∃

( ) ( ) ( )( )1 1

1 1 1i i i

i

n n n

i i iU

X f U f X f f U U

α

α α α− −

= = =⊂

⊂ ⇒ ⊂ ⊂1442443∪ ∪ ∪


- 166 -

y por lo tanto ( )f X es compacto. Proposición 8.9 Sea X e Y espacios topológicos con X compacto e Y Hausdörff y sea :f X Y→ una función continua entonces f es cerrada. Si además f es biyectiva entonces f es un homeomorfismo. Demostración Sea F X⊂ cerrado, como X es compacto por proposición 8.5 tenemos que F es compacto y por ser f continua por la proposición anterior se tiene que ( )f F es compacto pero Y es Hausdörff ( )f F⇒ es cerrado luego f lleva cerrados en cerrados y por la proposición una función biyectiva que sea cerrada y continua es un homeomorfismo. Proposición 8.10 Sea X un espacio topológico compacto y :f X → ¡ continua entonces f alcanza máximo y mínimo. Demostración Como X es compacto y f continua, luego ( )f X es compacto en ¡ ya

vimos que es cerrado y acotado ver ejemplo 8.7 luego existe ( ){ }sup :s f x x X= ∈ y

como

( ) { ( )cerrado

es máximos f X f X∈ = ⇒

análogamente con el mínimo. Proposición 8.11 ( Teorema de Tijonov ) Sean Xα espacios topológicos Iα∀ ∈ , entonces Xα∏ es compacto si y solo sí Xα

es compacto Iα∀ ∈ . Demostración ⇒ Si Xα∏ es compacto ( )X P Xα α α⇒ = ∏ y como Pα es

continua I Xαα∀ ∈ ⇒ es compacto para todo α .

( ){ }1 Sea : abierto S P A A X Iα α α−⇐ = ⊂ ∀ ∈ es una subbase del Xα∏ como

vimos en su momento. Probaremos que si tenemos un cubrimiento por abiertos de la subbase podemos obtener un subcubrimiento finito para aplicar el lema de Alexander. Tomemos un cubrimiento S⊂A por abiertos de

I

Xαα∈∏ y definimos para cada

Iα ∈ ( ){ }1 abiertos : y tal que A X P Aα α α−= ⊂ ∈A A

Probaremos que existe 00 tal que I αα ∈ A es un cubrimiento de

0Xα .

Supongamos de que no es así o sea que para todo no cubre a I Xα αα ∈ A luego existe


- 167 -

\ con

A

x X A Iβ

β β β∈

∈ ∈∪A

Entonces sea x Xα∈∏ tal que ( )x xββ =

Como x Xα∈∏ que es cubierto por

A abierto tal que U U⇒ ∃ ∈A pero los abiertos de A son elementos de la subbase S es decir ( )1 con U P Aα

−= A abierto de Xα

Iα∀ ∈ en particular para α β= es decir que existe ( )1U P Aβ−= con A abierto en

X β y tal que ( ) ( ) ( )( )1x U x x P U P P A A Xβ β β β ββ −∈ ⇒ = ∈ = = ⊂ es decir

pero por definición A

x A A x Aβ

β β β∈

∈ ∈ ⇒ ∈ ∪A

A

luego existe 0 00 tal que es un cubrimiento de I Xα αα ∈ A que por hipótesis es

compacto lo que implica que 1,..., nA A∃ abiertos de 0

Xα que siguen recubriendo a

0Xα y por lo tanto ( ) ( ){ }

0 0

1 11 ,..., nP A P Aα α

− − ⊂ A es un subcubrimeiento finito de

Xα∏ con elementos de S ya que:

( )

{ } ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

0 0

1

1

1 1

1 1

Si

1,..., tal que

es decir que

n

ii

i i

n n

i ii i

x X P x X A

i n P x A x P A

x P A X P A

α α α

α α

α α α

=

−

− −

= =

∈ ⇒ ∈ = ⇒

∃ ∈ ∈ ⇒ ∈

∈ ⇒ ⊂

∏

∏

∪

∪ ∪

Aplicando el lema de Alexander es Xα∏ compacto.

Corolario 8.12 Sea nK ⊂ ¡ es compacto si y solo sí es cerrado y acotado. Demostración ⇒ Si K es compacto en un espacio de Hausdörff (por ser producto de espacios de Hausdörff ) entonces por la proposición 8.6 es cerrado y como además ( ){ }0, : es un cubrimieto de B n n K∈¥

por se K compacto existe un cubrimiento finito

( ) ( ){ } ( )11

0, ,..., 0, 0,k

k ii

B n B n K B n=

⇒ ⊂ ∪

sea { }0 max : 1,...,in n i k= = entonces

( ) ( )01

0, 0,k

ii

K B n B n=

⊂ ⊂∪

U x A xβ α β=


- 168 -

y por lo tanto K está acotado. ⇐ Si K es cerrado y acotado en n¡ significa que está acotado en cada coordenada o sea que existen [ ] ( ) [ ], con 1,..., tal que , 1,...,i i i i ia b i n P K a b i n= ⊂ ∀ = y se tiene:

[ ]1

,n

i ii

K a b=

⊂ ∪

y como cada [ ],i ia b ⊂ ¡ es compacto entonces por la proposición anterior se tiene

[ ]1

, compacton

i ii

a b=

∏

entonces K que es cerrado dentro de un compacto es compacto. Definición 8.2 Sea X un conjunto y { } I

Sα α∈ una familia de subconjuntos no vacíos

de X. Se dice que { } ISα α∈ tiene la propiedad de intersección finita si:

1

i

n

ii

S n Iα φ α=

≠ ∀ ∈ ∈¥∩

es decir que siempre que tomemos una cantidad finita de ellos la intersección es distinta del vacío. Ejemplo 8.8 Sea X = ¡ [ ),xS x= +∞ este conjunto tiene la propiedad de intersección finita que siempre que tomamos finitos de ellos

[ ) [ )1

, ,ii

x m φ=

+∞ = +∞ ≠l∩

siendo { }max : 1,...,im x i= = l Proposición 8.13 Sea X un espacio topológico , X es compacto si y solo sí para toda familia { }Fα de cerrados con la PIF (propiedad de intersección finita) se tiene:

Fαα

φ≠∩

Demostración Si X es compacto y { }Fα una familia de cerrados con la PIF supongamos que

C

CF F F Xα α αα α α

φ = ⇒ = =

∩ ∩ ∪

y como C son cerrados son abiertos F Fα α⇒ { }CFα⇒ es un cubrimiento por abierto

de X y como X es compacto admite un subcubrimiento finito { }1

C C,...,n

F Fα α tal que


- 169 -

C

1i

n

i

F Xα=

=∪

Tomando los complementos

C

C C

1 1i i

n n

i i

F F Xα α φ= =

= = = ∪ ∩

lo cual es absurdo por ser { }Fα un conjunto con la P.I.F.

Recíprocamente Si { }Uα es un cubrimiento por abiertos de X entonces los complementos son cerrados y

C

C CU U Xα αα α

φ = = =

∩ ∪

entonces por hipótesis no tiene la P.I.F. porque sino CUα

α

φ≠∩

luego existe una cantidad finita de los CUα tal que:

C

1

para algún i

n

i

U nα φ=

=∩

y tomando otra vez complemento

C

C

1 1i i

n n

i i

U U Xα α= =

= = ∩ ∪

es decir que los 1,...,

nU Uα α son un subcubrimiento finito de X ⇒ X es compacto.

Proposición 8.14 Sea ( ),X τ un espacio topológico, X es compacto si y solo sí toda red tiene una subred convergente. Demostración ⇒ Sea X compacto y tomemos una red { }d d D

T X∈ ⊂ entonces si

d D∈ se define { }:d eF T e d= ≥

{ }dF es una familia de cerrados con la P.I.F. ya que dados

1,...,

nd dF F , sea e D∈ tal que ie d≥

para todo 1,...,i n= que existe porque D es un conjunto dirigido. Entonces:

1 1

i i

n n

e d di i

T F F φ= =

∈ ⇒ ≠∩ ∩

dF d


- 170 -

y como además X es compacto entonces por proposición anterior dd D

F φ∈

≠∩ luego si

dd D

x F∈

∈ ∩ es de aglomeración de la red { }dT ya que:

Dados 0 y xN N d D∈ ∈ como dx F d D∈ ∀ ∈ en particular

{ } { }0 0 0: :d d dx F T d d N T d d φ∈ = ≥ ⇒ ≥ ≠∩

lo que implica 0 tal que dd d T N∃ ≥ ∈ ⇒ que x es de aglomeración de { }dT

{ } Sea : cerrados F Iα α⇐ ∈ con la P.I.F. y nos definimos:

11

: ,..., i

n

ni

F Iα α α=

∈ ∩F =

ordenado por inclusión es decir , F G F G F G∈ ≤ ⇔ ⊃F el conjunto F es un conjunto dirigido.

{ } entonces F F FF F x F xφ ∈∀ ∈ ⇒ ≠ ∃ ∈ FF es una red entonces por hipótesis

existe una subred convergente x X⇒ ∃ ∈ de aglomeración entonces : Para todo 0 0 y tal que x FN N F F F x N∈ ∀ ∈ ∃ > ∈F luego como 0 tal que FF F x N⊂ ∈ pero

0

0

F Fx F x N F N F

N F φ

∈ ⇒ ∈ ⊂

∴ ≠

∩ ∩∩

entonces

xN N I N F

x F F x F

α

α α αα

α φ∀ ∈ ∀ ∈ ≠

⇒ ∈ = ⇒ ∈

∩∩

y por proposición anterior el conjunto X es compacto. Corolario 8.15 Sea X compacto y N1 entonces toda sucesión tiene una subsucesión convergente. Demostración Sea { }n n

x ∈¥ una sucesión que es un caso particular de red entonces

tiene punto x de aglomeración { }nx x⇒ ∈ por ser N1 (proposición 3.3) existe

{ } { } kn nx x⊂ tal que

knx x→

Definición 8.3 Dado un espacio topológico X decimos que es secuencialmente compacto o compacto por sucesiones si toda sucesión en él tiene una subsucesión convergente.


- 171 -

Proposición 8.16 Dado un espacio topológico X compacto y N1 entonces es secuencialmente compacto. Demostración Sea en X una sucesión { }n n

x ∈¥ por el corolario anterior tiene una

subsucesión convergente luego por definición es secuencialmente compacto. Proposición 8.17 Sea ( ),M d es un espacio métrico compacto entonces M es completo. Demostración Dada una sucesión de Cauchy { }n n

x ∈¥ como por hipótesis M es

compacto y espacio métrico (que es N1) esto implica por proposición anterior que es secuencialmente compacto luego tiene una subsucesión convergente y por proposición 7.2 la sucesión dada es convergente lo que significa por definición que M es completo. Proposición 8.18 Sea ( ),X τ un espacio topológico secuencialmente compacto y N2 entonces X es compacto. Demostración Sea { } I

Uα α∈ un cubrimiento por abierto de X como el espacio es N2

implica que es de Lindelöff o sea que existe un subcubrimiento numerable que llamamos { } n n

U ∈¥ supongamos por el absurdo que este cubrimiento no tiene

subcubrimiento finito o sea :

1U X≠ ya que de no ser así 1U sería un subcubrimiento de { }n nU ∈¥ obviamente

finito. 1 1x U⇒ ∃ ∉ y como { }nU cubre a X 11 1 tal que nn x U⇒ ∃ ∈ ∈¥

análogamente sea 1

11

n

ii

A U X=

= ≠∪ que tampoco es un subcubrimiento luego 2 1x A∉

lo que implica que 2n∃ ∈ ¥ tal que 22 nx U∈ con 2 1n n> ya que si no fuera así se

tendría que 2 1x A∈ y esto es absurdo.

Sea 1

1 11

kn

k i k ki

A U X x A−

− −=

= ≠ ⇒ ∃ ∉∪ luego 1 con tal que kk k k k nn n n x U−∃ ∈ > ∈¥

tenemos que así construimos sucesiones { }k kx ∈¥ , { }k k

n ∈¥ ( creciente) y 1

kn

k ii

A U=

= ∪

tal que { }k kx ∈¥ no tiene punto de aglomeración porque si este fuera x X∈ como

{ }n nU ∈¥ es cubrimiento de X

00 tal que ii x U⇒ ∃ ∈ ∈¥ como 0i

U es abierto es


- 172 -

entorno de todos sus puntos 0i xU N∈ y { }k k

n ∈¥ es creciente entonces existe

0 00 1 0 0 tal que k kk n i n k k−∈ ≤ ≤ ⇒ ∀ ≥¥

0

0 01 01

pero kn

k k k k k k i k ii

x A x A x A U x U k k−=

∈ ∉ ⇒ ∉ = ⇒ ∉ ∀ ≥∪

es decir que

0 00 0 , tal que i x k ix X U N k k k x U∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ∀ ≥ ∉¥

luego { }kx no tiene puntos de aglomeración lo que significa que no tiene subsucesión convergente o sea no es secuencialmente compacto lo que es absurdo por hipótesis. Definición 8.4 Un espacio topológico X decimos que tiene la propiedad de Bolzano-Weiestrass (B-W) si todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación Ejemplo 8.9 ¡ no es B-W ya que el conjunto de los enteros ¢ es infinito y no tiene ningún punto de acumulación en ¡ . Proposición 8.19 Sea ( ),X τ un espacio topológico entonces se cumple que 1) Si X es secuencialmente compacto implica que verifica B-W 2) Si X verifica B-W, es T1 y N1 implica que es secuencialmente compacto. Demostración 1) Sea un conjunto A infinito incluido en X entonces existe { }nx A⊂ tal que

si n mx x n m≠ ≠ como { }nx es una sucesión en X que es sec. cto. Implica que tiene una subsucesión convergente a y; sea 0 yN N n∈ ∃ ∈¥ tal que

0 kn kx N n n∈ ∀ ≥ como además nx y≠ por como se eligió la sucesión entonces

{ } { }nx N y φ− ≠∩

es más tiene infinitos elementos luego y es de acumulación de { }nx A⊂ y por lo tanto es de acumulación de A lo que significa que verifica B-W. 2) Sea { }nx X⊂ si { }nx es finito implica que hay una subsucesión constante y por lo tanto convergente luego es sec. cto. Si { }nx es infinito por ser B-W tiene un punto y de acumulación en X que por ser N1

tiene una base local numerable y decreciente { }nV del punto y

Dado 1V existe { }11 1 tal que nn x V y∈ ∈ −¥

1N cto sec. ctoX X

2N

1 1 y T N sec. cto -X X B W


- 173 -

Como X es T1 existe 2 tal que yW N∈ { }11 2,..., nx x W φ=∩

Por ser { } { }11,...,n nx x x− es infinito e y es de acumulación entonces existe

2 tal quen ∈¥ { }2 2 2nx V W y∈ −∩ además 2 1n n> repetimos el procedimiento por ser

X espacio T1 existe 3 yW N∈ tal que

{ }1 1 21 1 3,..., , ,...,n n nx x x x W φ+ =∩

así sucesivamente sea: 1 con 2,...,kn k j jx V n n j k−∈ > ∀ = entonces por ser T1

implica que { }1 1 2 1 ,1 1 1 1 1 tal que ,..., , ,..., ,..., ,...,

k kk y n n n n n kW N x x x x x x W φ−+ + + +∃ ∈ =∩

por ser y de acumulación entonces existe { }1 1 1k

y

n k k

N

x V W y+ + +

∈

∈ −∩14243 además 1k kn n+ >

construimos así una subsucesión { } { } de kn nk

x x∈¥ ya que los { }k k

n ∈¥ es una

sucesión creciente en los naturales tal que kn kx V∈ luego

knx y→ es decir que

tenemos una subsucesión convergente lo que implica que X es sec. Cto. Proposición 8.20 Sea ( ),E d un espacio métrico secuencialmente. compacto entonces es separable. Demostración Supongamos que E tiene más de un elemento si no fuera así no hay que probar nada. Definimos ( ){ }1: , si , ,n nA A E d x y x y A x y= ⊂ ≥ ∈ ≠

como el espacio E tiene más de un elemento entonces tenemos al menos dos puntos ,x y E∈ y sea 0 tal que n

( )( )0

0

1 1, 0

,d x y n

n d x y≥ ⇒ ≥ >

además ( ) { }0 00

1 1, , n nn n d x y x y A A n n

n nφ∀ ≥ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∀ ≥

Para cada n ordenamos los nA por inclusión ( )A B A B≤ ⇔ ⊂ y sea { } IAα α∈ una

cadena ( conjunto linealmente ordenado) en ( ),nA ≤ Probaremos que n

I

A Aαα∈

∈∪

ya que si 1 21 2, , tal que e

I

x y A I x A y Aα α αα

α α∈

∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ∈∪ luego

{ } { } ( ) { }1 2

1, max , , si ,n nx y A A A d x y x y x y A

nα α⇒ ∈ ∈ ⇒ ≥ ≠ ⇒ ∈


- 174 -

luego n

I

A Aαα∈

⊂∪

Entonces ( ),nA ≤ es un conjunto ordenado tal que toda cadena en él esta acotada lo que implica por el lema de Zorn que existe elemento maximal y llamémosle

0 nM n n∀ ≥

Además nM es finito para todo 0n n≥ ya que si fuera infinito { } con n nx M∃ ⊂ k jx x k j≠ ∀ ≠ como estamos en un espacio secuencialmente compacto implica que

tendríamos una subsucesión { }i i

n nx

∈¥ convergente en nM pero la subsucesión { }inx

no puede ser convergente ya que por construcción:

( ) 1, si j k j kn n n nnd x x x x≥ ≠

es decir que no es de Cuachy lo que es absurdo por proposición 7.1 luego nM es finito y por lo tanto numerable. Sea n

n

M M∈

=¥

∪

como M es unión numerable de conjuntos numerables es numerable y además probaremos que M E= es decir es denso y por lo tanto E es separable. Si ( ),x M B x M x Mε φ∈ ⇒ ≠ ⇒ ∈∩ Por otro lado si 0 nx M x M n n∉ ⇒ ∉ ∀ ≥

0

10dado sea tal que nnε ε< entonces { } n nx M M∪ ' lo que significa { } n nx M A∉∪

por ser nM el elemento maximal de nA lo que implica que no cumple la definición

del conjunto nA o sea ( )0

1 10 tal que , n n ny M d x y n nε∃ ∈ < ≤ ≤ ∀ ≥ luego

( ) ( ) ( )

( ) {por def.

, , ,

,

ny B x y B x M B x M

B x M x M

ε ε ε

ε φ

∃ ∈ ⇒ ∈ ⊂

∴ ≠ ⇒ ∈

∩ ∩∩

Proposición 8.21 Sea ( ),E d un espacio métrico entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) E es compacto 2) E es secuencialmente compacto 3) E verifica B-W Demostración 1) 2)⇔ como ( ),E d es espacio métrico ⇒ que es 1N entonces compacto y 1N ⇒ secuencialmente compacto ahora por la proposición anterior en


- 175 -

espacios métricos secuencialmente compacto ⇒ separable 2N⇒ por proposición 2.21 y por ser sec. cto y N2 ⇒ es compacto.

2) 3)⇔ Sea ( ),E d espacio métrico luego es N1 y es Haurdösff 1T⇒ ; entonces si el espacio es sec. cto ⇒ que verifica B-W y ahora como es espacio métrico es T1 y N1 ⇒ sec. cto. Proposición 8.22 Sea ( ),E d un espacio métrico compacto y { } I

Uα α∈ un

cubrimiento por abiertos de E entonces 0λ∃ > tal que ( ) x E x Iα∀ ∈ ∃ ∈ se cumple

( ) ( ), xB x Uαλ ⊂

además decimos que λ es el número de Lebesgue del cubrimiento Demostración Para cada ( ) ( ) se tiene tal que xx E x I x Uαα∈ ∃ ∈ ∈ por ser éste

último abierto en un espacio métrico ( ) ( )( ) ( ) tal que , xr x B x r x Uα⇒ ∃ ⊂

consideremos el conjunto:

( )( ){ }2, :r xB x x E∈

Que es un cubrimiento por abiertos de E que por ser compacto 1,..., tal que:nx x∃

( )( )21

, i

nr x

ii

E B x=

⊂ ∪

Sea ( ){ }2min : 1,...,ir x i nλ = = probaremos que este λ cumple con la tesis de la

proposición . { }0 1,..., tal que x E i n∀ ∈ ⇒ ∃ ∈

( )

0

0,

2i

i

r xx B x

∈

ahora si ( ) ( ), ,z B x d x zλ λ∈ ⇒ < y

N1

2 1 1

cto se. cto

y

B-W

X X

N T N

X

Espacios métricos

cto se. cto

B-W

X X

X


- 176 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0 0, , ,

2i

i i i

r xd z x d z x d x x r xλ≤ + < + ≤

luego se tiene que ( )( )0 0,i iz B x r x∈ es decir que:

( ) ( )( ) ( )0 0 0

, ,i

i i xB x B x r x U

αλ ⊂ ⊂

( ) ( ) ( )00

, con i

ixB x U x I

αλ α∴ ⊂ ∈

Corolario 8.23 Dado ( ),E d espacio métrico, K E⊂ compacto, sea U abierto tal que K U⊂ entonces existe 0λ > tal que ( ),

x K

B x Uλ∈

⊂∪

Demostración Sea { } I

Uα α∈ un cubrimiento por abiertos de K la prueba es la misma

que la proposición anterior poniendo E K= . Definición 8.5 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que es localmente compacto si es Hausdörff y todo punto tiene un entorno compacto. Ejemplo 8.9 Si X es compacto y T2 ⇒ localmente compacto. En los reales ¡ dado [ ] [ ] se tiene , es compacto y tal que ,x a b x a b∈ ∈¡ luego es localmente compacto pero no es compacto.} Al igual que n¡ no es compacto pero para cualquier punto x siempre existe una bola

( ) ( ), tal que ,B x x B xδ δ∈ compacto

X con la topología indiscreta el propio punto { }x es compacto Ejemplo 8.10 Los racionales ¤ ya vimos que no es compacto pero sí es localmente compacto porque dado un q ∈¤ tenemos que:

[ ] [ ]{ [ ]compactocerrado en

, , ,q q a b q qε ε ε ε− + ⊂ ⇒ − +¤

∩ ¤1442443 es compacto

Ejemplo 8.11 Como ¤ es numerable sabemos que existe :f →¥ ¤ biyectiva y sea ¥ con la topología indiscreta ⇒ que f es continua ya que:

{ ( ) ( )1 1 1

abierto

abiertoq B q B q B

B q f B f q f q− − −

∈ ∈ ∈ ∈

= ⇒ = =

¤ 123∪ ∪ ∪

la compacidad local no se conserva por aplicaciones continuas.


- 177 -

Lema 8.24 Sea ( ),X τ un espacio topológico de Hausdörff y compacto dado en X un cerrado F y un abierto A con F A⊂ entonces existe un abierto V tal que F V⊂ y V A⊂ Demostración Como CF A F A φ⊂ ⇒ =∩

además como A es abierto CA⇒ es cerrado entonces los conjuntos C,F A como son cerrados en un compacto son compactos y podemos aplicar la proposición 8.4 es decir existen abiertos ,U V X⊂ disjuntos tales que

C y A U F V⊂ ⊂

Pero si C CA U U A⊂ ⇒ ⊂ además V U φ=∩ ya que de no ser así

} abierto

Si

U

zz U U Nz V Uz V V U φ

∈ ⇒ ∈∈ ⇒ ∈ ⇒ ≠

∩∩

luego CV U V U Aφ= ⇒ ⊂ ⊂∩ encontramos un abierto que contiene a F y su clausura esta dentro del A como queríamos. Proposición 8.25 Sea X un espacio topológico de Hausdörff entonces los entornos cerrados del punto constituyen una base local. Demostración para demostrar la tesis tenemos que demostrar que dado un entorno cualquiera del punto es posible encontrar un entorno del punto cerrado. Dado xN N∈ abierto tal que A x A N⇒ ∃ ∈ ⊂ .Como { }x es cerrado por se X de

Hausdörff podemos tomar { }F x= y aplicar el lema anterior luego existe V abierto

tal que { } y x F V V A= ⊂ ⊂ entonces como

{abierto

xx V V V N∈ ⊂ ⇒ ∈

tal que V A N⊂ ⊂ encontramos un entorno cerrado del punto contenido en el entorno dado. Proposición 8.26 Sea ( ),X τ un espacio topológico localmente compacto entonces los entornos compacto de cada punto constituyen una base local. Demostración Sea x X∈ tomemos un entorno cualquiera de x xN N∈ y encontremos un entorno compacto de x en N.

A F F V


- 178 -

Como X es localmente compacto implica que existe xU N∈ compacto entonces como xU N N∈∩ existe una abierto tal que A x A U N∈ ⊂ ∩ como el punto x es un subconjunto cerrado por ser X de Hausdörff ( 2 1T T⇒ ) en un abierto A podemos aplicar el lema tomando

{ } y N X F x= = luego existe un abierto V N⊂ tal que

x V V A U N∈ ⊂ ⊂ ∩

en particular V U⊂ ,al ser V abierto en N y como V A⊂ y A es abierto en X implica que V es abierto en X . También V es cerrado en U más como X es de Hausdörff el compacto U es cerrado en X luego V coincide con la clausura de V en X. Por otro lado como V es cerrado en U que es compacto implica que es compacto. Luego conseguimos un V compacto tal que {

abiertoxx V V V N∈ ⊂ ⇒ ∈

Proposición 8.27 El producto finito de espacios localmente compacto es localmente compacto. Demostración Primero vamos a probar que el producto de Hausdörff es de Hausdörff .

Sean entonces dos puntos del producto distintos 1

n

ii

x y X=

≠ ∈∏ por ser distintos

significa que existe { }1,..., tal que j jj n x y∈ ≠ y como jX es de Hausdörff existen

abiertos disjuntos , tal que ,j j jU V X x U y V⊂ ∈ ∈ entonces

1 1 1

1 1 1

... ...abiertos disjuntos

... ...j j n

j j n

x X X U X X

y X X V X X− +

− +

∈ × × × × × × ∈ × × × × × ×

luego 1

n

ii

X=

∏ es Hausdörff

Sea 1

con compactoi

n

i i i i x i ii

x X x X U N X U=

∈ ⇒ ∀ ∈ ∃ ∈ ⊂∏ entonces:

1

es compacto y entorno del n

ii

x U x=

∈∏

Luego es localmente compacto. Veamos algunas aplicaciones.

N U x V A


- 179 -

Proposición 8.28 ( Teorema de Dini ) Sea X un espacio topológico compacto :nf X → ¡ sucesiones de funciones continuas tales que: i) ( ) ( )1 n nf x f x x X+≤ ∀ ∈

ii) existe ( ) ( )lim nn

f x f x continua=

entonces nf f⇒ (converge uniformemente) Demostración Dado 0ε > tomemos ( ) ( ){ }:n nF x X f x f x ε= ∈ − ≥

Por ser y nf f continuas nf f⇒ − es continua luego

( ) [ )1

cerrado

, es cerrado n n nF f f F nε− = − +∞ ⇒ ∀ ∈

¥123

como ( ) ( )1n nf x f x+≤ entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1n n n nf x f x f x f x f x f x f x f x ε+ +− = − ≥ − = − ≥

luego si 1 1n n n nx F x F F F+ +∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂

Por la hipótesis de convergencia puntual (ii) ( )0 tal que x X n x∀ ∈ ∃ ∈¥

( ) ( ) ( )0 nf x f x n n xε− < ∀ ≥

luego ( )0 nx F n n x∉ ∀ ≥ por lo tanto n

n

F φ∈

=¥

∩

es decir no hay un x que pertenezca a todos los Fn luego como estamos en un espacio compacto { }nF no puede tener la P.I.F

11

,..., tales que j

k

k nj

n n F φ=

⇒ ∃ =∩

sea { }0 1max ,..., kn x x=% entonces

0 00

1

j

k

n n n n nj

F F n n F F Fφ φ φ=

= = ⇒ ∀ ≥ ⊂ = ⇒ =% %%∩

luego ( ) ( )0 nn n f x f x x Xε∀ ≥ − < ∀ ∈%

luego por definición converge uniformemente.


- 180 -

Corolario 8.29 Sea X un espacio topológico compacto supongamos que existe { }nP sucesión de polinomios [ ]nP X∈¡ en las hipótesis del teorema anterior con

( ) [ ] en 0,1f x x= entonces nP f⇒ Demostración Consideremos ( )0 0P t = y

( ) ( ) ( )( ) [ ]211 2 1 si 0,1n n nP t P t t P t n t+ = + − ∀ ≥ ∈

Por inducción se demuestra que ( )0 nP t t≤ ≤

Sea [ ]: 0,1g → ¡

( ) 212g x x t x= + −

como ( ) [ ] ( )1 0 en 0,1 y g x x g g t t′ = − ≥ ⇒ =↗

entonces si ( ) ( )0 x t g x g t t≤ < ⇒ ≤ =

como

( )( )( )

1

0

n

n

n

P t t

g P t t

P t+

≤ ≤

≤

≤

P14243

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

211 2

0

1

n n n n

n n

P t P t t P t P t

P t P t

+

≥

+

= + − ≥

≥

14243

Al ser Pn creciente y ( )nP t t≤ acotada superiormente entonces existe el límite puntual ( ) ( )lim n

nP t tϕ∃ =

tomando límite en la siguiente igualdad

( ) ( ) ( )( )

( )

211 2

n n nP t P t t P t

tϕ

+ = + −

↓ ↓ ↓

( ) tϕ= ( )( )212 t tϕ+ −

( ) ( )2 0 como 0 es t t t tϕ ϕ ϕ⇒ − = ⇒ ≥ = que es continua entonces como

tenemos que [ ]: 0,1nP → ¡ con ( ) ( )1n nP t P t+≤ y tal que ( )n nP t t→ luego por el

teorema de Dini


- 181 -

( )lim nn

P t t⇒

Proposición 8.30 Sea K ⊂ ¡ compacto y :f X → ¡ definida como

( )f x x= entonces existe ( ) [ ]nq x x∈¡ tal que en nq f K⇒ Demostración Se tiene que existe [ ] tal que ,L K L L∈ ⊂ −¡ sea [ ] [ ]: , 0,1g L L− → tal que

( )2x

g xL

=

Sabemos que existe [ ] [ ] tal que en 0,1n nP X P x∈¡ ¶ luego:

{ ( )polinomio

n

xP g g x

L=o ⇒

Sea ( )( ) [ ].n nq L P g x X= ∈¡

Ejemplo practico Enunciado Probar que un espacio métrico compacto y localmente conexo tiene un número finito de componentes conexas Probar con ejemplos que las hipótesis son necesarias. Sea X espacio topológico compacto y localmente conexo. Por ser localmente conexo sabemos que si A X⊂ es abierto entonces sus componentes conexas son abiertas , en particular si A X= las componentes conexas de X son abiertas. Llamemos xC la componente conexa que contiene a x entonces

{ }x x XC ∈ es un cubrimientos por abiertos de X, que por ser compacto tiene un

subcubrimiento finito es decir existen { }1,..., tal que nx x

1

i

n

xi

X C=

= ∪

luego X tiene una cantidad finita de componentes conexas que serían a lo sumo las

ixC con 1,...,i n= .Digo a lo sumo porque podría suceder que i jx xC C φ≠∩ y eso

implica que ,i jx xC C es la misma componente conexa.

§ Sea en los reales el siguiente subconjuto X con la topología relativa usual


- 182 -

( ), 1n

X n n∈

= +¢

∪

Tenemos que es localmente conexo ya que: ( ) ( ), 1 tal que , 1

n

x X n n m x m m∈

∈ = + ⇒ ∃ ∈ ∈ +¢

¢∪

y los intervalos ( ) { }, con min , 1x x x m m xδ δ δ− + < − + − es una base de entornos conexos de x. Además como los conexos en ¡ vimos que son los intervalos tenemos que ( ), 1n n X+ ⊂ es conexo para todo n ∈¢ que son disjuntos por ser abiertos luego son componentes conexas y por lo tanto tenemos infinitas componentes conexas. En este ejemplo no se cumple que el espacio sea compacto ya que en los reales, los compactos son cerrados y acotados y por definición X no es acotado. § Sea C el conjunto de Cantor sabemos que es compacto por ser cerrado dentro de [ ]0,1 que es compacto. Por otro lado sabemos que no tiene ningún intervalo luego los únicos conjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. En este ejemplo lo que no se cumple es la hipótesis de localmente conexo porque las componentes conexas (conjuntos unipuntuales ) no son abiertos ya que si fueran abiertos serían aislados y sabemos que son de acumulación y tenemos no numerables componentes conexas.

Capítulo 9

Espacio Cociente Modelos geométricos sencillos como el cono, el cilindro o la pirámide son habitualmente construidos pegando partes de una pieza plana de papel de acuerdo con ciertas reglas. Esta operación es un ejemplo muy simple de la noción de objeto cociente en matemática. Habitualmente éste viene definido por una relación de equivalencia sobre el conjunto subyacente al objeto dado, compatible, en cierto sentido, con su estructura. Definición 9.1 Sea :f X Y→ una función entre el espacio topológico ( ),X τ y un conjunto Y llamamos topología final de τ por medio de f es la topología fτ dada

por ( ){ }1:f U Y f Uτ τ−= ⊂ ∈

Definición 9.2 Sea :p X Y→ una función sobreyectiva entre el espacio topológico

( ),X τ y un conjunto Y , llamamos topología cociente a la topología final de τ por medio de p. Y a la función p le llamamos aplicación cociente. Definición 9.3 Sea ( ),X τ un espacio topológico, ~ una relación de equivalencia en X y : X Xπ → ∼ la proyección canónica. Llamaremos espacio cociente a

( ),X πτ∼ siendo πτ la topología cociente definida por π ( es decir la topología final de τ por medio de π ) donde: ( ) [ ]x xπ = ∼

y [ ]x ∼ denota la clase de x por medio de la relación de equivalencia ~

A la topología cociente πτ también suele anotarse como Xτ ∼ y por lo antes dicho:

( ){ }1:X A X Aτ π τ−= ⊂ ⊂∼ ∼

los abiertos de la topología cociente son los que su imagen inversa por π (proyección canónica) son abiertos en X.


- 184 -

Proposición 9.1 Sea ( )( )1 A X A Aπ π −⊂ ⇒ =∼

Demostración Para cualquier función π y cualquier conjunto A siempre: ( )( )1 A Aπ π − ⊂

para probar la otra inclusión tomemos un elemento a A X∈ ⊂ ∼ como

: X Xπ → ∼ es sobreyectiva implica que existe x X∈ tal que ( )a xπ= lo que

implica ( )1x Aπ −∈ o sea:

( ) ( )( )1a x Aπ π π −= ∈

y luego ( )( )1A Aπ π −⊂ por lo cual se cumple la igualdad.

Sin embargo no es cierto siempre que ( )( )1 B Bπ π− = lo que podemos afirmar es

que: ( )( ) { }1 : para algún B x X x b b Bπ π− = ∈ ∈∼

en general lo que se cumple es que ( )( )1B Bπ π−⊂ .

Definición 9.4 Sea ( ),X τ un espacio topológico y π la proyección canónica asociada a una relación de equivalencia ~ .Se dice que B X⊂ es saturado por π si

( )( )1 B Bπ π− = Además el saturado de un conjunto C X⊂ es ( )( )1 Cπ π− anotamos

( ) ( )( )1sat C Cπ π−=

veremos algunas propiedades relacionadas con los conjuntos saturados. Proposición 9.2 Sea B X⊂ entonces es saturado si y solo sí existe A X⊂ ∼ tal

que ( )1 A Bπ − = Demostración ⇒ por ser B saturado ( )( )1B Bπ π−= llamemos ( )A B Xπ= ⊂ ∼

luego se cumple la tesis. ⇐ si existe A X⊂ ∼ tal que ( ) ( ) ( )( )1 1B A B A Aπ π π π− −= ⇒ = = por ser π sobre

entonces sustituyendo:

( ){1

A

B Bπ π−

=

luego B es saturado. Proposición 9.3 Sea A X⊂ ∼ entonces es cerrado si y solo sí ( )1 Aπ − es cerrado

Topología General Espacio Cociente - 185 -

- 185 -

Demostración A es cerrado CA⇔ es abierto ( )1 CAπ −⇔ es abierto pero:

( ) ( )( ) ( )C1 C 1 1 abierto es cerradoA A Aπ π π− − −= ⇔

Proposición 9.4 π lleva compactos en compactos, conexos en conexos. Demostración : X Xπ → ∼ es continua y sobre entonces si

( ) compacto es compactoX X Xπ=∼

( ) conexo es conexo X X Xπ=∼ Proposición 9.5 A X⊂ ∼ es abierto si y solo sí existe B X⊂ abierto saturado tal

que ( )A Bπ= . Demostración ⇒ Si A es abierto en X ∼ , sea ( )1B Aπ −= ⇒ B es abierto en X y saturado por proposición 9.2 entonces:

( ) ( )( )

( )

1B A A

A B

π π π

π

−= =

∴ =

( ) Sea A Bπ⇐ = con B abierto y saturado ( ){ ( )1 1

A

B B Aπ π π− −

⇒ = =

abierto

luego A es abierto en X ∼ Definición 9.5 Dada una relación de equivalencia, decimos que es una relación abierta (cerrada) si la proyección canónica π es abierta (cerrada) . Ejemplo 9.1 Sea X = ¡ y la relación x y x y⇔ − ∈∼ ¢

Sea ( )( ) { }1 abierto entonces : para algún B B x x b b Bπ π−⊂ = ∈ ∈¡ ¡ ∼ lo que

podemos escribir: ( )( ) { }1 : ,

n

B b n n b B B nπ π−

∈

= + ∈ ∈ ∈ = +¥

¡ ¥ ∪

{ }:B n b n b R+ = + ∈ ∈¡ es homeomorfo a B para cada n ya que si consideramos la aplicación

:

f B B n

b b n

→ +→ +


- 186 -

es decir ( )f b b n= + es un homeomorfismo ya que es una traslación, continua biyectiva y abierta (lleva bolas abiertas en bolas abiertas) luego es un homeomorfismo y por lo tanto B n+ es abierto

n

B n∈

⇒ +¥

∪ es abierto

( )( )1 Bπ π−⇒ es abierto ( )Bπ⇒ es abierto ⇒ ∼ es abierta.

Ahora consideremos B cerrado como por ejemplo: { }1 : 2nB n n= + ≥ B es cerrado ya que su complemento: ( ) ( )C 1 1 1

2 12

,2 , 1n nn

B n n +≥

= −∞ + + + +∪∪

es unión de abiertos ⇒ es abierto. Tomemos el saturado de B ( )( ) { }1 1 : 2,nB n m n mπ π− = + + ∈ ≥ ∈¡ ¢

y tomando { }1 nos queda : 2m n n

n= − ∈ ≥¡ es decir que:

{ } ( )( )11: 2n B

nπ π−∈ ≥ ⊂¡

pero ( )( ) ( )( )1 10 \B Bπ π π π− −∈ ⇒ que no es cerrado luego π no es cerrada ⇒ ~ no

es cerrada. Proposición 9.6 La relación ~ es abierta (cerrada) si el saturado de un abierto (cerrado) es abierto (cerrado). Demostración Sea B un abierto de X entonces ( ) ( )( ) ( )-1 es abierto es abierto sat es abiertoB B Bπ π π⇔ ⇔

análogamente con cerrado. Ejemplo 9.2

Sea ,

,

x y

X x y o

x y

== ⇔ ∈

¡ ∼¢

Si B ⊂ ¡ tenemos que:

( ) ( )( )1 si sat

si

B BB B

B B

φπ π

φ− == = ≠

∩ ¢∪ ¢ ∩ ¢


- 187 -

implica que si B es cerrado ( )sat B en ambos casos es cerrado por ser C CB ∩ ¢ abierto, entonces por definición la relación es cerrada. Además no es abierta ya que si tomamos ( ) ( ) ( )1 1 1 1

2 2 2 2, como 0 sat ,B B B= − ∈ ⇒ = − ∪ ¢ que no es abierto luego la relación ~ no es abierta. Por otro lado X ∼ no es N1. Supongamos por el absurdo que si es N1 ⇒ que si tiene una base local numerable ⇒ por la proposición 2.25 que también tiene una base local de abiertos numerable decreciente { }nV de por ejemplo ( )0π .

( ) { } { }0 : 0y y yπ = ∈ = ∈ =¡ ∼ ¢ ¢ π

-1 0 1 2 3 4 -1 0 2 3 4

1π −

( )0n nV N Vπ∈ ⇒ ∈¢ entonces ( )n nV Vπ =

Al ser π continua y nV abierto ( )1nVπ − es abierto y ( )1

nVπ −⊂¢ entonces

( )1 tal que 1n n nn a V n a nπ −∀ ∃ ∈ < < + y sea { }C:nB a n= ∈¥ que es abierto y saturado ya que B⊂¢ ( ) { ( )

9.5

sat es abiertoB B B Bπ= = ⇒∪ ¢

y por lo tanto ( ) ( )0B Nππ ∈ y como ( ) ( )1n n n na V a Vπ π−∈ ⇒ ∈

{ }nV es base local decreciente de ( ) ( ) ( ) 0 000 si tal que B N n n nππ π⇒ ∈ ⇒ ∃ ∀ ≥ :

( ) ( )0nV B Nππ⊂ ∈

y como

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )1

n n n

n

a V B a B

a B B

π π π π

π π−

∈ ⊂ ⇒ ∈

⇒ ∈ =

Proposición 9.7 Sean X,Y espacios topológicos , ~ una relación de equivalencia en X ,y una función :f X Y→∼ entonces f es continua si y solo sí f πo es continua.


- 188 -

Demostración ⇒ Si f es continua como π es continua entonces f πo es continua.

Si f π⇐ o es continua sea U Y⊂ abierto entonces:

( )( ) ( ) ( )11 1f U f Uπ π −− − = o es abierto

pero si ( )( ) ( )1 1 1 es abierto es abierto en f U f U Xπ − − −⇒ ∼

es continuaf∴ Proposición 9.8 (propiedad universal del cociente) Sea :f X Y→ continua con X,Y espacios topológicos, sea ~ la relación de equivalencia ( ) ( ), x y X x y f x f y∈ ⇔ =∼ entonces existe una única función

:f X Y→% ∼ continua tal que el siguiente diagrama conmuta.

O sea f f π= % o y además Im Imf f= % Demostración Si existe f% debe cumplir:

[ ]( ) ( )( ) ( )~f x f x f xπ= =% % o

como [ ] [ ] ( ) ( )~ ~x y f x f y= ⇒ = o sea:

[ ]( ) ( )~f x f x=%

esta bien definida además f% es continua ya que

f fπ =% o es continua y Im Imf f= % porque π es sobre. Ejemplo 9.3 Sea [ ]0,1I = , ~ una relación de equivalencia en I definida como sigue:

{ } { }0

, 0,1

x y

x y

x y

=⇔ =

∼

vamos a probar que I ∼ es homeomorfo a { }1 : 1S z z= ∈ =£

Sea [ ] ( )1 2: 0,1 por itS t e πϕ ϕ→ = se tiene que:

( ) ( ) 2 2it ist s e e t sπ πϕ ϕ= ⇔ = ⇔ − ∈¢

X f πo Y π f X ∼

X f Y π f% X ∼


- 189 -

{ } { }, 0,1

t s

o t s

t s

= ⇔ ⇔ =

∼

entonces por el teorema anterior existe ϕ% continua tal que:

( )( ) ( )

[ ]( ) ( )

t t

t t

ϕ π ϕ

ϕ ϕ

=

=P

% o14243%

y como [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ] [ ]t s t s t s t sϕ ϕ ϕ ϕ= ⇔ = ⇔ ⇔ =% % ∼ luego ϕ% es inyectiva y por ser ϕ sobre {

Im Imϕ ϕ

ϕ=

⇒%% es sobre ϕ⇒ % es biyectiva.

Por ser entoncesϕ% continua , biyectiva y ser [ ]0,1 compacto entonces [ ] 1: 0,1 Sϕ →%

es un homeomorfismo por proposición 8.9 ya que 1S es Hausdörff . Ejemplo 9.4 Toro El toro n-dimensional n nT = ¡ ∼ con ~ definido:

( ) ( )1 1,..., ,..., 1,...n n i ix x y y x y i n⇔ − ∈ ∀ =∼ ¢ nT es homeomorfo a 1 1

veces

...n

S S× ×14243

Definimos ( )1:nn Sϕ →¡ como ( ) ( )1 22

1,..., ,..., nixixnx x e e ππϕ = entonces:

( ) ( )x y x yϕ ϕ= ⇔ ∼ entonces existe ( )1:nn Sϕ →% ¡ ∼ Como

[ ]0,1| nϕ es sobre

( )1 nS entonces ϕ% es sobre y al ser [ ]0,1 compacto [ ]0,1 n⇒ es compacto

[ ]( )0,1 n nπ⇒ = ¡ ∼ es compacto y por lo tanto como en el ejemplo anterior ϕ% es

un homeomorfismo. Ejemplo 9.5 Cilindro Sea [ ]1 1

2 2,J = − en 2J definimos

( ) ( )( ) ( )

12

, ,, ,

x y x yx y x y

x y y

′ ′=′ ′ ⇔ ′= ± =∼

es homomorfo al cilindro

X ϕ Y π ϕ% I ∼

1

2− 12


- 190 -

Ejemplo 9.6 Cinta de Möbius Sea 2J ∼ con la relación ~ definida como sigue:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 12 2

, ,, ,

, ,

x y x yx y x y

y y

′ ′=′ ′ ⇔ − −∼ ∼

Ejemplo 9.7 Botella de Klein Sea 2J ∼ con la relación ~ de equivalencia definida como sigue:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 12 2

1 12 2

, ,

, , , ,

, ,

x y x y

x y x y y y

y y

′ ′′ ′ ⇔ − − −

∼∼ ∼

∼

Ejemplo 9.8 Espacio proyectivo real

{ }1 \ 0nnPR

+

=¡

∼ donde la relación de equivalencia x y x yλ⇔ =∼ para algún

λ ∈¡ nPR es homeomorfo a 1

nS ∼ donde ~1 esta definida: 1x y x y⇔ = ±∼

Sea { }1

1

: \ 0n

n Sϕ + →¡ ∼ definida por ( )

1

1x x

xϕ

=

∼ con ( )( )

12 2

ix x= ∑

Entonces ( ) ( ) 1 1x y x y

x yϕ ϕ= ⇒ = ± despejando:

x

x y x yy

= ± ⇒ ∼

Si


- 191 -

( )

( )

( ) ( )

1

1 1

1 1. 1

x y x y x yy

y y yy y

x y x y

λλ ϕ

λ

λϕ

λ

ϕ ϕ

⇒ = ⇒ = =

= ± =

∴ = ⇔

∼

∼ ∼

∼

∼

: n nPR Sϕ⇒ →% es inyectiva y continua y sobre . nPR es además compacto

alcanza con proyectar la esfera nS

( ) { } { }11

1

\ 0 : \ 0

nn n nPR Sπ π

++= →

¡¡ ∼ entonces:

nPR es compacto y nS es Hausdörff ϕ⇒ % es un homeomorfismo.

- v -

Por cualquier comentario sobre este material por favor

comunicarlo a Ramón Sellanes por correo electrónico.

[email protected]

- vi -

Indice Capítulo 0

Relación de Orden...................................................................................... 7 Orden total.................................................................................................. 8 Cadena........................................................................................................ 9 Lema de Zorn............................................................................................. 9 Axioma de Elección................................................................................... 10 Cardinal...................................................................................................... 11 Teorema de Cantor..................................................................................... 13 Conjunto finito........................................................................................... 14 Conjunto Numerable.................................................................................. 14 Capítulo 1

Distancia métrica....................................................................................... 29 Norma........................................................................................................ 31 Bola Abierta............................................................................................... 33 Métrica Relativa......................................................................................... 35 Conjunto Abierto........................................................................................ 35 Conjunto Cerrado....................................................................................... 38 Métricas Equivalentes................................................................................ 39 Capítulo 2

Espacios Topológicos................................................................................. 43 Metrizable................................................................................................... 44 Entorno........................................................................................................ 45 Interior......................................................................................................... 47 T0.................................................................................................................. 49 T1................................................................................................................ 50 T2 o Hausdörff............................................................................................ 51 Clausura...................................................................................................... 52 Punto de Acumulación................................................................................ 57 Punto Aislado.............................................................................................. 57

- vii -

Frontera........................................................................................................ 57 Conjunto Denso........................................................................................... 58 Conjunto Separable...................................................................................... 58 Base.............................................................................................................. 60 Sub-base....................................................................................................... 62 N2................................................................................................................. 63 Cubrimiento................................................................................................. 65 Subcubrimiento........................................................................................... 65 Espacio de Lindelöff................................................................................... 65 Base Local................................................................................................... 69 N1................................................................................................................. 70 Capítulo 3

Sucesión Convergente................................................................................ 75 Conjunto Dirigido...................................................................................... 77 Red............................................................................................................. 78 Punto de Acumulación.............................................................................. 81 Continuidad............................................................................................... 83 Continuidad Uniforme............................................................................... 88 Homeomorfismo........................................................................................ 90 Función Abierta......................................................................................... 90 Función Acotada.......................................................................................... 91 Capítulo 4

Conjunto de Cantor..................................................................................... 95 Capítulo 5

Topología Producto..................................................................................... 103 Proyección Canónica................................................................................... 103 Capítulo 6

Espacio Conexo........................................................................................... 113 Teorema de Bolzano.................................................................................... 116

- viii -

Conexo en Espacios Normados................................................................... 118 Conectados................................................................................................... 122 Componente Conexa.................................................................................... 122 Localmente Conexo..................................................................................... 124 Camino......................................................................................................... 127 Localmente Conexo por Camino................................................................. 131 Capítulo 7

Sucesión de Cauchy..................................................................................... 135 Espacio Métrico Completo.......................................................................... 137 Completación............................................................................................... 144 Teorema de Cantor...................................................................................... 147 Contracción y punto fijo.............................................................................. 148 Magro........................................................................................................... 150 Capítulo 8

Espacio Topológico Compacto.................................................................... 157 Teorema de Heire-Borel.............................................................................. 159 Lema de Alexander...................................................................................... 163 Teorema de Tychonoff................................................................................ 166 PIF............................................................................................................... 168 Espacio Secuencialmente Compacto........................................................... 170 Espacio de Bolzano-Weiestrass................................................................... 172 Capítulo 9

Topología Final............................................................................................ 183 Topología Cociente...................................................................................... 184 Conjunto Saturado....................................................................................... 184 Relación de Equivalencia Abierta (Cerrada)............................................... 185 Propiedad Universal del Cociente............................................................... 188 Cinta de Möbius........................................................................................... 190

Índice alfabético

Adherente 52 Aplicación cociente 183 Axioma de elección 10 Base 60 Base local 69 Bola abierta 33 Botella de Klein 190 Cadena 9 Camino 127 Cardinal 11 Cardinal del conjunto potencia 27 Cilindro 189 Cinta de Möbius 190 Clase de equivalencia 6 Clausura 52 Cofinito 44 Complementos finitos 44 Completación 144 Componente conexa 122 Componente conexa por camino 129 Conectado por camino 127 Conectados 122 Conjunto abierto 35 Conjunto cerrado 38 Conjunto compacto 157 Conjunto conexo 113 Conjunto convexo 118 Conjunto de Cantor 95 Conjunto de índices 5 Conjunto de partes finitas 22 Conjunto denso 58 Conjunto dirigido 77 Conjunto finito 14 Conjunto numerable 14 Conjunto ordenado 8 Conjunto saturado 184 Conjunto totalmente ordenado 8 Contracción 148 Convergencia puntual 93 Convergencia uniforme 91 Cota superior 8 Cubrimiento por abiertos 65 Disconexo 113

Distancia 29 Distancia discreta 30 Elemento maximal 8 Entorno 45 Equipotente 11 Espacio cociente 183 Espacio de convergencia uniforme 91 Espacio discreto 34 Espacio métrico 29 Espacio métrico completo 137 Espacio proyectivo real 190 Espacio topológico compacto 157 Espacio topológico de Baire 153 Espacio vectorial normado 31 Espacios conexos 113 Espacios homeomorfos 90 Espacios isométricos 88 Espacios Topológicos 43 Extensión continua 142 Familia indexada de conjuntos 5 Frontera 57 Función abierta 90 Función cerrada 90 Función cofinal 81 Función continua 83 Función distancia 89 Función Indexada 5 Función uniformemente continua 88 Hausdörff 51 Homeomorfismo 90 Inductivo 15 Inmersión 88 Interior 47 Isometría 88 Lema de Alexander 163 Lema de Zorhn 9 Lindelöff 65 Localmente compacto 176 Localmente conexo 124 Localmente conexo por camino 131 Magro 150 Máximo 8 Métrica relativa 35

Métricas equivalentes 39 Metrizable 44 N1 70 N2 63 Norma 31 Número de Lebesgue 175 Nunca denso 150 Partición 7 Primer axioma de numerabilidad 70 Principio del buen orden 15 Producto cartesiano 10 Producto cartesiano 103 Propiedad Bolzano-Weiestrass 172 Propiedad de intersección finita 168 Propiedad universal del cociente 188 Proyección canónica 103 Punto aislado 57 Punto de acumulación 57 Punto de aglomeración 81 Punto fijo 148 Punto interior 47 Red 78 Red convergente 78 Relación 6 Relación abierta 185 Relación cerrada 185 Relación de equivalencia 6 Relación de orden parcial 7 Relación de orden total 8 Secuencialmente compacto 170 Segundo axioma de numerabilidad 63 Separable 58 Seudo distancia 29 Subcubrimiento 65 Subred 82 Subsucesión 75 Sucesión 75 Sucesión convergente 75 Sucesión de Cauchy 135 T1 50 T2 51 Teorema de Baire 151 Teorema de Bolzano 116 Teorema de cantor 13

Teorema de Cantor 147 Teorema de Cantor-Bernstein 13 Teorema de Dini 179 Teorema de Heire-Borel 159 Teorema de Tijonov 166 Teorema de unicidad de convergencia 81 To 49 Topología discreta 44 Topología final 183 Topología indiscreta 44 Topología más fina 62 Topología Producto 103 Topología relativa 45 Toro 189 Unión de numerables 18

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Topologia general