Teorema Cauchy

Seyma Cicek 1111000017095Dina Ari Kusumawati 1113017000031Hanna Ramadhana Widuri 1113017000040Andina Aulia Rachma 1113017000054

Pembuktian

Teorema Cauchy

Aplikasi Teorema Cauchy dalam

Matematika

Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy

Misalkan kontinu pada dan differensiabel pada

asumsikan di Maka terdapat c pada sehingga

BUKTI

Ambil titik Dengan menggunakan persamaan garis lurus:

.......... (1)

.......... (2)

* Dari (1) dan (2) diperoleh :

𝑓 (𝑥)− 𝑓 (𝑎)𝑓 (𝑏)− 𝑓 (𝑎)

=𝑥−𝑎𝑏−𝑎

𝑔(𝑥 )−𝑔(𝑎)𝑔 (𝑏)−𝑔 (𝑎)

= 𝑥−𝑎𝑏−𝑎

𝒇 (𝒙)− 𝒇 (𝒂)𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)

=𝒈 (𝒙)−𝒈 (𝒂)𝒈 (𝒃)−𝒈 (𝒂)

𝒇 (𝒙)− 𝒇 (𝒂)𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)

=𝒈 (𝒙)−𝒈 (𝒂)𝒈 (𝒃)−𝒈 (𝒂)

[ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ] ∙ [𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) ]=[𝒈 (𝒙 )−𝒈 (𝒂 ) ] ∙ [ 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)]

[ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ]= 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)𝒈 (𝒃)−𝒈 (𝒂)

∙𝒈 (𝒙 )−𝒈 (𝒂)

dianggap fungsi baru

misal [ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ]−( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂 )

𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) ) ∙𝒈 (𝒙 )−𝒈 (𝒂 )=𝜑 (𝑥 )

Lanjutan ...

Lanjutan ...

Karena maka menurut teorema Rolles

Sedemikian hingga

𝝋 (𝒙 )=[ 𝒇 (𝒙 )− 𝒇 (𝒂 ) ]−( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) ) ∙𝒈 (𝒙 )−( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)

𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) )∙𝒈 (𝒂 )

𝝋′ (𝒙)= 𝒇 ′ (𝒙 )−𝟎−(𝟎 ∙𝒈 (𝒙 )+( 𝒇 (𝒃 )− 𝒇 (𝒂)𝒈 (𝒃 )−𝒈 (𝒂) )∙𝒈 ′(𝒙))−𝟎

Terbukti

Aplikasi Teorema Cauchy

dalam Matematika*Misalkan - dan misalkan f,g differensibel pada (a,b) sehingga g’(x) 0 x (a,b) dan

misalkan = 0 = .

Tunjukkan = L R, maka = L

Misal -f dan g diff pada (a,b), maka• f differensial pada (a,b)• g differensial pada (a,b)

Berdasarkan syarat kekontinuan yang ke-3, maka

= f(a) dan = g(a)

Berdasarkan TNR. Cauchy didapat: = , karena f(a) = g(a) = 0, maka = = , karena x (a,b), maka =

Oleh karena itu, = karena = L maka = L (Terbukti)

Aplikasi Teorema Nilai Rata-Rata dalam Matematika• Maksimum dan minimum

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = -2x³ + 3x² +1 pada [-1,2]

Penyelesaian:Turunan f adalah f’(x) = -6x² + 6x = 6x(1 – x)Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1 dan 2.Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mancapai nilai maksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).

Aplikasi Teorema Cauchy dalam Bidang Lain

•FisikaPosisi partikel ditunjukkan oleh

persamaan r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ - 4t)j. Tentukan kecepatan (v) dan percepatan (a)

Penyelesaian:Kecepatan r(t) = (3t² - 2t)i + (4t³ - 4t)j

v(t) = (6t – 2)i + (12t² - 4)jPercepatan v(t) = (6t – 2)i + (12t² - 4)j

a(t) = 6i + (24t)j

• EkonomiSebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x

– 0,0003x² dengan julah persatuan x = 1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal!

Penyelesaian:Biaya rata-rata = C(x)/x= 3200 + 3,25x – 0,0003x² / x= 3200 + 3,25(1000) – 0,0003(1000)² / 1000= 6,15Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp. 6150Biaya Marjinal = dc/dx=3,25 – 0,0006x=3,25 – 0,0006(1000)=2,65Maka, biaya marjinalnya 2,65 x 1000 = Rp. 2650 pada x = 1000

Thank You For Your

Attention