¿Qué son las técnicas de conteo?Las técnicas de conteo son aquellas que son usadaspara enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Las más usadas son:- El diagrama de árbol- Análisis combinatorio.

Por: Eduardo Gómez A.

DIAGRAMA DE ÁRBOL:Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadaspara enumerar todas las posibilidades lógicas de unasecuencia de eventos, donde cada evento puedeocurrir en un número finito. Proporcionan unmétodo sistemático de enumeración objetiva de losresultados.

Raíz Ramas

A continuación se presenta un Diagrama de Árbol,referente a las respuestas que se pueden dar a trespreguntas de Verdadero o Falso.

Tenemos dos opciones para cada pregunta: V o F. Elárbol presenta dos ramas en cada pregunta.

1. La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor. a) V b) F

2. G. Cantor es de origen francés. a) V b) F 3. La teoría de conjuntos sirve para simplificar la

Estadística. a) V b) F

1)V

2)V

F

3)V

FV

F

V

F

V

FV

F

F

Las diferentesformas en que sepuede contestarson ocho y formanel espaciomuestral.

E = {VVV, VVF, VFV,VFF, FVV, FVF,FFV, FFF}

Se tiene en un estante 3 libros. Uno deÁlgebra, otro de Contabilidad y otro deBiología. ¿De cuántas formas distintasse pueden ordenar los libros?

A

C

A

A

B

C

B

C

B

B

C

B

A

A

C

E =

ANÁLISIS COMBINATORIOLos diagramas de árbol muestran objetivamente elnúmero de resultados posibles en que se puededisponer de la ordenación de un conjunto deelementos, pero esta enumeración es limitada, puesa medida que aumenta el número de objetos dichaordenación se complica, por lo que hay que utilizarotro procedimiento más sencillo para determinar elnúmero total de resultados. Con este fin, nosapoyaremos en los conceptos permutaciones ycombinaciones, los cuales tienen como base elprincipio fundamental del conteo.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

REGLA DEL PRODUCTO:Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y unavez que este ha ocurrido, otro evento B puedeocurrir de n2 maneras diferentes, entonces elnúmero total de formas diferentes en que amboseventos pueden ocurrir en el orden indicado, esigual a n1 x n2.

¿De cuantas maneras puedenrepartirse 3 premios a un conjunto de10 personas, suponiendo que cadapersona no puede obtener más de unpremio?

Aplicando el principio fundamental del conteo,tenemos 10 personas que pueden recibir el primerpremio. Una vez que éste ha sido entregado, restan9 personas para recibir el segundo, y posteriormentequedarán 8 personas para el tercer premio. De ahíque el número de maneras distintas de repartir lostres premios, sería:

n1 x n2 x n3

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil sepueden hacer utilizando dos letrasseguidas de tres cifras? No se admitenrepeticiones.

Solución:27 x 26 x 10 x 9 x 8 = 505.440

El símbolo ! se lee factorial y es el productoresultante de todos los enteros positivos de 1 a n; esdecir, sea n un número entero positivo, el producton(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

n! = n(n-1)(n-2)… 3 x 2 x 1 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Ejemplos:1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de

escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinarlas prendas?

Solución:Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar lospares de zapatos (Z = 2), los pantalones de 3maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces:

Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.

2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7personas en una fila?

Solución:La primera posición en la fila (P1), puede serocupada por cualquiera de las 7 personas (P1 = 7); lasegunda posición por 6 (P2 = 6) y así, sucesivamente.

P1 x P2 x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =Es decir: 7! = 5.040

Existen 5.040 maneras de colocar a 7 personas enuna fila.

3. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8mujeres que aspiran a los papeles principales.¿De cuántas formas el director puede elegir lapareja principal?

Solución:El director puede elegir a la pareja principal de:

6 x 8 = 48 formas.

4. ¿Cuántos juegos de placas de circulaciónpara automóviles pueden fabricarse, si seutilizan 3 dígitos y 3 letras? (en ese orden),si no se puede repetir ningún dígito niletra en cada placa, ni se puede utilizar elcero, las letras O, Ñ y W.

Solución:

9 x 8 x 7 x 24 x 23 x 22 = 6.120.576 placas.

Pueden fabricarse 6.120.576 juegos de placas conestas características.

REGLA DE LA SUMA:Si una primera tarea puede realizarse de m formas yuna segunda tarea puede realizarse de n formas, yno es posible realizar ambas tareas de manerasimultánea, entonces para realizar cualquiera deellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.

Ejemplo:Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 defilosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca dealguno de estos dos temas, por la regla de la sumapuede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.

Nota: el estudiante no quiere estudiar historia yfilosofía, sino historia o filosofía.

PERMUTACIONESUna permutación de un conjunto de elementos, esun ordenamiento específico de todos o algunoselementos del conjunto, facilita el recuento de lasordenaciones diferentes que pueden hacerse con loselementos del conjunto.

Nota: En una permutación el orden en que sedisponen los elementos del conjunto es importante.

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS:Por el principio fundamental del conteo podemosenunciar que el número de permutaciones de nobjetos distintos tomados de n en n, es:

nPn = n!

Ejemplos:Se quiere conocer el conjunto de todas lasdisposiciones posibles de tres personas colocadas enhilera para tomar una fotografía.

3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Cinco personas desean nombrar un Comité Directivocompuesto de un presidente, un vicepresidente, unsecretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas manerashay de constituir el comité?

5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTESGRUPOS DE r ELEMENTOS:

Podemos calcular el número de permutaciones nPr,de n elementos, tomados de grupo o subconjuntosde r elementos.

𝒏𝑷𝒓 =𝒏!

𝒏 − 𝒓 !

Si de un estante tomamos 2 de 3 litros ¿Cuántaspermutaciones pueden realizarse?

𝟑𝑷𝟐 =𝟑!

𝟑−𝟐 != 3! = 6

Pueden realizarse 6 permutaciones.

Cinco personas entran a una sala en la que hay 8sillas. ¿De cuántas maneras diferentes puedenocupar las sillas?

𝟖𝑷𝟓 =𝟖!

𝟖 − 𝟓 !=

𝟖!

𝟑!=

𝟖 𝒙 𝟕 𝒙 𝟔 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑!

𝟑!= 𝟔. 𝟕𝟐𝟎

Pueden ocupar las sillas de 6.720 manerasdiferentes.

PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOSELEMENTOS SON DIFERENTES:Si los elementos de un conjunto no son todosdiferentes entre sí, es decir, algunos de loselementos son idénticos, la fórmula de laspermutaciones presenta un nuevo aspecto.

El número de permutaciones que se pueden formaren el caso de n elementos, cuando hay n1 elementosidénticos, n2 elementos de otro tipo idénticos, etc,es:

𝒏𝑷𝒏𝟏,𝒏

𝟐,…𝒏𝒌 =

𝒏!

𝒏𝟏! 𝒏𝟐! …𝒏𝒌!

Ejemplos:¿Cuántas palabras diferentes de cuatro letraspueden formarse con las letras LULU?

𝟒𝑷𝟐,𝟐 =𝟒!

𝟐! 𝟐!=

𝟐𝟒

𝟒= 𝟔

Pueden formarse 6 palabras.

¿Cuántas palabras de once letras pueden formarsecon la palabra Mississippi?

𝟏𝟏𝑷𝟒,𝟒,𝟐,𝟏 =𝟏𝟏!

𝟒! 𝟒! 𝟐! 𝟏!=

𝟑𝟗. 𝟗𝟏𝟔. 𝟖𝟎𝟎

𝟏. 𝟏𝟓𝟐= 𝟑𝟒. 𝟔𝟓𝟎

Pueden formarse 34.650 palabras.

PERMUTACIONES CIRCULARES:

Cuando los elementos se encuentran dispuestos enforma circular, tenemos:

𝒏𝑷𝒄 =(n-1)!

¿De cuántas maneras podemos ordenar 5 llaves enun llavero?

𝟓𝑷𝒄 =(5-1)! = 4! = 24

Se pueden ordenar de 24 maneras.

¿De cuántas maneras se pueden ubicar 4 personasalrededor de una mesa?

𝟒𝑷𝒄 =(4-1)! = 3! = 6

Se pueden ubicar de 6 maneras.

COMBINACIONES

Una combinación es un subconjunto o unadisposición de todos los elementos de un conjunto,sin tener en cuenta el orden de ellos.

El número de combinaciones o subconjuntos noordenados, cada uno formado por r elementos, quepueden obtenerse de un conjunto de n elementoses:

𝒏𝑪𝒓 =𝒏!

𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!ó

𝒏𝒓

=𝒏!

𝒏 − 𝒓 ! 𝒓!

Ejemplos:El número de subconjuntos de 2 elementos delconjunto A que tiene 5 elementos es:

A = {a, e, i, o, u}

𝟓𝑪𝟐 =𝟓!

𝟓 − 𝟐 ! 𝟐!=

𝟓!

𝟑! 𝟐!=

𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐= 𝟏𝟎

Resultan 10 subconjuntos:E = {ae, ai, ao, au, ei, eo, eu. io, iu, ou}

Si de un estante tomamos 2 de 3 libros, ¿Cuántascombinaciones pueden realizarse?

𝟑𝑪𝟐 =𝟑!

𝟑 − 𝟐 ! 𝟐!=

𝟑!

𝟏! 𝟐!=

𝟔

𝟐= 𝟑

Por lo tanto el resultado se reduce a 3 posiblesformas porque en una combinación el orden de loselementos no es importante.

Se tienen cinco obreros para un trabajoespecial que requiere de tres de ellos.¿De cuántas maneras diferentes sepuede seleccionar un equipo de tres?

Solución:

𝟓𝑪𝟑 =𝟓!

𝟓−𝟑 !𝟑!=

𝟑!

𝟐!𝟑!=

𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟐=10

De 10 maneras diferentes.

De un club de 20 socios, se van aseleccionar 3 para formar la mesadirectiva. ¿De cuántas formas puedeconstituirse?

Solución:

𝟐𝟎𝑪𝟑 =𝟐𝟎!

𝟐𝟎 − 𝟑 ! 𝟑!=

𝟐𝟎!

𝟏𝟕! 𝟑!=𝟐𝟎𝒙𝟏𝟗𝒙𝟏𝟖𝒙𝟏𝟕!

𝟏𝟕! 𝟑!

𝟐𝟎𝑪𝟑 =𝟐𝟎𝒙𝟏𝟗𝒙𝟏𝟖

𝟑𝒙𝟐=𝟔. 𝟖𝟒𝟎

𝟔= 𝟏. 𝟏𝟒𝟎

Puede constituirse de 1.140 formas.