Sumer çağında matematik

İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR İBRAHİM OKUR

www.ibrahimokur.com www.ibrahimokur.com www.ibrahimokur.com www.ibrahimokur.com

1

SUMER ÇAĞINDA MATEMATİK Y. Müh. İbrahim OKUR www.ibrahimokur.com [email protected]

Evren her zaman gözlerimizin önünde. Fakat onun dilini öğrenmeden ve bu dilin yazıldığı harfleri yorumlama bilgisi olmadan, bu evreni anlamamız olanaksızdır. Evrenin dili, matematiğin diliyle yazılmıştır ve bu dilin harfleri, üçgenlerden, çemberlerden ve öteki geometrik şekillerden oluşur. Bunlar olmadan, insanlar evrenin tek bir sözcüğünü anlamaz ve bunların yokluğunda, kendimizi karanlık bir labirentten çıkmaya çalışırken buluruz.

Galileo, 16231

GİRİŞ: MATEMATİĞİN BİLİM ÜZERİNDEKİ KONUMU HAKKINDA BİRKAÇ SÖZ

Matematik bilim değildir ama bilimin anahtarıdır. Matematiğin bilim karşısındaki konumunu en

güzel ifade edenlerden biri modern bilimin yolunu açanlardan biri olan ünlü bilgin Galile’dir. Bu

yüzden onun veciz açıklamasını başköşeye yerleştirerek söze başlamayı uygun bulduk.

Matematiği doğru yerine konumlandırabilmek için mantık karşısında duruşuna da değinmek

isteriz. Eski çağlarda matematik ve mantık iki ayrı disiplindi. Ama günümüze doğru yol alırken mantık

matematikselleşti, matematik de “daha çok mantıksal” hale geldi ve sonuçta, ikisi arasındaki boşluk

ortadan kalktı, ikisi bir oldu. Bertrand Russell, konuyu açıklamaya çalışırken, “mantık matematiğin

gençliği ve matematik mantığın yetişkin halidir”, demiştir2. Eğer matematik ve mantık birlikte

harmanlanmasaydı, daha kapsamlı bir deyişle, her iki disiplinin sınırları birbirlerini içine alacak şekilde

genişlemeseydi ve genişleyen alan müşterek bir sinir sistemiyle donanmasaydı bilgisayar çağı

mümkün olmazdı. Ne Ay’a gidilebilirdi, ne de internete bağlanabilirdik. Bütün bunları mümkün kılan,

matematikle mantığın evliliği ve bu evliliğin ürünlerinin bilimin yolunu açmasıdır. Matematik

geliştikçe, anlamak, kavramak, özümsemek, sezmek, tahmin etmek, yorumlamak ve işe koşulacak

bilgi üretmek kolaylaşmış, araştırma eylemi derinlik kazanmıştır.

Eski çağlarda matematik, daha ziyade felsefeyle ve ilahiyatla iç içeydi. Bilginler evrenin sırlarını

matematiği bir şifre sistemi olarak kabul ederek açıklamaya çalışırlardı. Hatta matematiği doğrudan

doğruya din olarak kabul eden matematikçiler bile vardı. Bunlar evrenin sırlarını tam sayılarla

açıklanabileceğine inanırlar ve matematik bilgilerini bu yönde kullanırlardı. Mesela bunların

düşüncesinde asal sayıların (3, 5, 7, … 17, 19 vs), mükemmel sayıların (6 ve 28 gibi) özel bir önemi

vardı. Bu gibi konuları Matematik ve İlahiyat/Vahiy İçinde Matematik ve Matematik İçinde Vahiy

Arayanlar adlı kitabımızda enine boyuna inceledik.

Eski matematikçiler, bugünkü matematikçilere taş çıkartacak kadar sıkı matematikçiydi. Fakat

karşılaştıkları sonuçları yorumlarken günümüz matematikçilerinden farklı düşünüyorlardı. Ne var ki

zamanla söz konusu yorumların bir faydasının olmadığı anlaşıldı. Matematikçilerin dünyasında bu tür

söylem ve inanışlar terk edildi. Ama terk edilen bu alan daha sonra aslında matematikçi olmayan bazı

kimseler tarafından dolduruldu. Günümüzde, eski ustaların yüzyıllar önce terk ettikleri görüş ve

düşünceleri sürdürenler bunlardır. Şifreciler, Hurufiler ve astrolog esnafı terk edilen söz konusu zemin

üzerinde ısrar edenlerdir. Medya, izlenme oranlarını artırabilmek ve onlarca rakibi geçebilmek

kaygısıyla, bu gibi iddialar öne süren kimseleri ısrarla gündemde tutuyor.

http://www.ibrahimokur.com/



2

SAYMANLIK EN AZ 20 BİN YIL ÖNCE DE VARDI

Matematik tarihindeki bu aşamaları anlayabilmek için, insanlık tarihinin bilinen ilk

matematikçileri olan Sumerli matematikçilerden ve onların sanatlarından yola çıkmak gerekir.

Matematik tarihini bilmek veya tarihin akışı içerisinde bu alandaki gelişmeleri izlemek, bilim

tarihini anlamanın da anahtarıdır. Matematik tarihi hakkında söze başlamak için ise Sumer Çağı’na,

yani günümüzden 5-6 bin yıl öncesine gitmek gerekir.

“Tarih Sumer’de başlar”, sözü yaygın olarak bilinen bir deyiştir. Ama bunun yanında, tarihin ilk

rakamlarının da, ilk hesap yöntemlerinin de Sumer tabletlerinde görüldüğü bilinmelidir. Hatta

matematik içeren tabletler, edebiyat içeren tabletlerden çok daha önceye tarihlenir. Bu nokta

konumuz açısından altı çizilmesi gereken çok önemli bir husustur.

Eldeki arkeolojik bulgular, matematiğin insanlık tarihi kadar eski köklere sahip olduğuna işaret

etmektedir. Hatta bazı canlıların da matematikçi olduğu, sayarak veya hesap yaparak iş gördükleri

gözlemlenmiştir. Mesela arı ve örümcek tipik örneklerdir. Arı peteğini yaparken, örümcek ise ağını

örerken geometri bilgisini bütün ihtişamıyla sergiler. Okuyucumuz, makalemizin ekinde adresinin

verdiğimiz, örümceğin ağını nasıl ördüğünü açıklayan bilgisayar animasyonu linkini inceleyebilirler3.

Arının matematik bilgisi ise yukarıda sözünü ettiğimiz kitabımızda yer almaktadır.

Dünyanın çeşitli bölgelerinde mağaralarda yapılan kazılarda, MÖ 20 binlere ait kemikler

üzerinde saymanlık amaçlı çentiklere rastlanmıştır. Kemik üzerine çentik atmak şeklinde kayıt tutma

döneminden sonraki aşama tarihin ilk rakamlarıdır. İşte bu noktada karşımıza hemen hemen her

alanda olduğu gibi yine Sumerliler çıkmıştır.

On binlerce yıl önce sayma ve kayıt tutma amacıyla kullanılan kemikler ve üzerlerindeki çentikler, matematiğin insanlık tarihindeki başlangıcı sorunsalını iyice belirsizliğe sürükler.

Söz konusu çentikler, Romalılar döneminde bile kullanılmaktaydı. Yani Sumerlilerden 3 bin yıl

sonra Romalılar 20 bin yıl önceki mağara devrinin rakamlarını kullanıyordu. Günümüzde Roma rakamı

olarak anılan I, V, X şeklindeki rakamlar o çağların çentiklerinden başka bir şey değildir. Okullarımızda

Roma rakamlarının öğretilmesine rağmen, tarihin en eski rakamlarının mucidi olan Sumerlilerden söz

edilmemesi, dışarıdan dayatılmış bir eğitim sisteminin açık kanıtlarındandır. Biz bu makalemizde söz

konusu dayatmanın daha ileri örneklerini de sergileyeceğiz.

Yukarıdaki resimde sol üstteki kemiğin çentiklerine dikkat edilirse, biri hariç olmak üzere (9)

hepsinin asal sayılar olduğu görülür. Bu buluntu, konuyu çok ilginç bir hale sokmaktadır. Ayrıca,

dünyanın çeşitli yerlerinde mağaralarda yapılan kazılarda 40 bin yıl öncesine ait kemikler üzerinde de

hesap izlerine rastlanmıştır. Arıların ve örümceklerin matematik bilgisi hakkında eldeki kanıtları da

dikkate aldığımızda, matematik tarihine bir başlangıç koymaya pek imkân olmadığı sonucuna

varıyoruz. Buna rağmen, tarihin en eski rakamlarının bulunduğu yer olan Sumer ülkesini, matematiğin

ortaya çıktığı yer olarak niteleyeceğiz. Çünkü her konuda yapıldığı gibi, uygarlık tarihinin dönüm

noktalarına bir başlangıç koymak gerekirse bu payeye ancak ve ancak Sumerliler uygun düşmektedir.

Nitekim aynı coğrafya, matematiğin ileri konularını sergileyen tabletlerin de karşımıza çıktığı yerdir.



3

TARİHİN BİLİNEN EN ESKİ RAKAMLARI SUMERLİLERE AİTTİR

Tarihin ilk rakamları 6 tanedir. Bunlar 1, 10, 60, 600, 3600 ve 36000’dir. Sumerliler 60 ve 60’ın

katlarıyla iş görürlerdi. Bu bilgi, ister istemez, neden 100 değil de 60 sorusunu akla getirmektedir.

Cevap basittir aslında. Sumerliler 60 sayısını seçmiştir; çünkü bu sayının 12 tam böleni vardır: 1, 2, 3,

4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60. Buna karşılık 100 sayısının sadece 9 tam böleni vardır: 1, 2, 4, 5, 10,

20, 25, 50 ve 100. Dikkat edilirse, ilk altı sayı 60 sayısının tam bölenidir. Görüldüğü gibi, ilk rakamlar

ve Sumer sayı dizgesi, üleşme problemlerine cevap bulmak amacıyla kolaylaştırıcı niteliği dolayısıyla

seçilmiştir. Bir başka deyişle, 60 sayısı tercih edilmiştir; çünkü hayatın dayattığı sorular dolayısıyla

daha kullanışlıdır.

Sumerlilerin yaptığı matematiksel işlemleri gösteren bir tablet

Bu seçimin ilginç başka yönleri de vardır. 60 tabanlı sayı dizgesiyle saymak, iki elimizin

parmaklarıyla saymak için de çok uygundur. Bunun nasıl yapıldığını Sumer Matematiği ve Sayıların

Gizemi adlı kitabımızda resimli olarak anlatmıştık.

60 sayısıyla ilgili bir başka ilginç konu, sadece pergel kullanarak bir çemberin çevresini 6 eşit

parçaya bölme problemidir. Lise düzeyinde geometri bilgisiyle kolayca hatırlanabileceği gibi,

pergelimizin ayağını çemberin yarıçapı kadar açtıktan sonra, çember üzerinde birbiri ardına yay

parçaları işaretlersek, sonunda çemberi tam olarak 6’ya bölmüş oluruz. Bu işlem sonunda ortaya

çıkan yay parçalarının çemberin merkeziyle belirledikleri açıya Sumerler 60 demişlerdir. Çemberin

çevresinin 360 derece olmasının nedeni budur. Sumerliler, söz konusu 60 derecelik yay parçasını

kutsamışlardır ve onu “Yukarının Tanrısına”, yani GÖK(AN)’e atfetmişlerdir.

Bir çemberin sadece pergel kullanarak 6 eş parçaya bölünmesi yöntemi

Sumer okullarında öğrenciler ilk olarak 60 tabanlı dizgede çarpım cetvelini ezberlemekteydi.

Böyle bazı tabletler bulunmuştur. Bunun, 10’lu dizgedeki ezberden daha zor olduğuna dikkat edilmelidir.

Şunun da altını kalın çizgilerle çizmeliyiz ki, Sumerli matematikçiler, günümüzde orta öğrenim düzeyinde

matematik bilgisine sahiptiler. Bilgileri asla daha geri değildi. Üçüncü dereceden denklemlerin çözüm

yollarını bile biliyorlardı. Bunu kanıtlayan MÖ 17. yüzyıla ait tablet bulunmuştur. Ayrıca geliştirdikleri

sayı sistemiyle çok büyük sayılarla işlemler yapabilmekteydiler. Bunu kanıtlayan ve 60 tabanlı dizgede

20’nin 20. kuvvetini gösteren bir tablet bulunmuştur. Bu gibi yüksek sayılar, astronomiyle ilgili

hesaplamalar için olsa gerekir. Yani matematik bir yandan gökbiliminin yolunu açarken, diğer yandan

gökbilimcilerin ihtiyaçlarına cevap verebilmek için gelişme ihtiyacını daima duymuştur.



4

SUMERLİLER MATEMATİĞİ KUTSAL BİR İŞ OLARAK GÖRÜRLERDİ

Sumerlilerin inanışında, matematikle kutsallık arasında birebir ilişki vardır. Günümüzde, teoloji

alanında görülen Hurufi eğilimlerin kökeni nerdeyse 5 bin yıl öncesine ve Sumerlilere kadar uzanır.

Makalemizin çerçevesi bu konuyu enine boyuna incelemeye imkan vermiyor. Ama konuyu 12

sayısıyla ilgili birçok gerçeği sıralayarak burada biraz olsun açabiliriz. İşin daha kapsamlı incelemesini

matematik tarihi ve matematik felsefesi bağlamında yayınladığımız Matematik ve İlahiyat adlı

kitabımızda yer almaktadır.

Sumerlilerde 12 sayısı 60 sayısı yanında ikinci derecede önemlidir. Ama zamanla 60 sayısının

önüne geçtiği görülmüştür. Sumerli gökbilimcilerin gözlemleri 12 sayısının Sumer inanışında özel bir

yer edinmesini sağlamıştır.

Milattan önceki 4. binyılın sonlarına doğru, Sumerli rahipler, gözlem kulelerine tırmanarak

yıldızların hareketini gözlerdi. Ünlü Zigguratlar, bu amaçla geliştirilmiş gözlem kuleleriydi. Sumerli

gökbilimciler gözlem yaparlar, bunları tabletlere kaydederler ve daha sonra da bunları arşivlerlerdi.

Söz konusu arşivlerden bazıları, içindeki belgelerle birlikte bulunmuştur.

Sumerlilerin astronomi alanında kuramları da vardı. Bunlar mitolojikti ama “kendi içinde

tutarlı” idiler. Tarihin ilk gözlemcilerinin en çok serseri yıldızlarla ilgilendikleri anlaşılıyor. Şimdi biz

bunlara GEZEGEN diyoruz. Sumer çağında 5 serseri yıldız bilinirdi. Bunlar Merkür, Venüs, Mars,

Jüpiter ve Satürn’dür. Sumerliler bunlara aynı sırayla Nabu, İştar, Nergal, Marduk ve Ninurta derlerdi.

Ur kenti ören yerinde bulunan ziggurat

Eğer dünyayı merkez kabul edecek olursak, yani yerinde durduğunu ve diğer gök cisimlerinin

onun çevresinde döndüğünü kabul edecek olursak, yukarıda adını saydığımız serseri yıldızlar, sağa

sola giden gelen, yerlerinde duramayan cisimler olarak algılanırlar. Oysa diğer yıldızlar, yani serseri

sayılmayanlar, kutup yıldızı etrafında düzenli olarak çember biçimli bir yörünge üzerinde döner

dururlar. Sumerliler, yerinde duramayan ışık topları olarak gördükleri serseri yıldızların, Gök Tanrı’nın

düşüncelerini insanlara aktaran aracılar, başka bir deyişle, tercüman olarak değerlendirmekteydiler.

Bilginlerin görevi, dünyaya ulaşan şifreleri çözmek ve özellikle, gelecekle ilgili haberlere ulaşabilmekti.

Serseri yıldızların birbirlerine olan yakınlıklarına yahut uzaklıklarına, parlak olmalarına ya da

soluk olmalarına ve gökte görülemedikleri dönemlere özel önem verilir ve aktardığı bilgilerin

şifrelerinin çözülmesi için rahipler durmadan çalışırlardı. Her gezegenin bir anlamı olduğu gibi, her

hareketlerinin de özel bir anlamı olduğuna inanılırdı. Günümüzde astrologlar işte bu malzemeyi

kullanarak gelecekten haber verdiklerini öne sürüyorlar. Ama Sumerli gözlemcilerin çalışmaları

bilimseldi; çünkü öncelikle gözleme dayanıyordu. Onları taklit eden günümüz astrologlarının iddiaları

ise bilim dışıdır; çünkü bilim dünyasının ortaya çıkardığı kanıtlanmış en son bilimsel bilgileri

görmezden gelerek mesleklerini icra ediyorlar.



5

GÖZLEMLER ve 12 SAYISI

Sumerlilerin inanışında 12 sayısını öne çıkaran gökbilimcilerin söz konusu gözlemleridir.

Bu gözlemleri kısaca özetleyelim:

1. Ay’ın Dünya çevresinde yılda 12 kez döndüğünü gözlemlediler.

2. Bir yılın, her biri 30 gün süren 12 aydan meydana geldiğini gözlemlediler. (Bir yılın 12 ay ve 360

gün olduğunu ifade eden tablet bulunmuştur. Bunlardan, her yıl ortaya çıkan 5-6 günlük farkı nasıl

açıkladıklarını burada yer vermiyoruz. Ama bu konuda kafalarının epey karışık olduğunu

söyleyebiliriz.)

3. Ay, günde 12 derecelik bir açısal mesafeyi tarıyordu.

4. Dünya (12 x 2) 24 derece eğimli olarak dönüyordu.

5. Burçlar Kuşağı denilen kuşak, kuzeyle 12 ve güneyle 12 derecelik açı yapan bir bant içinde yer alan

yıldızlardan oluşmaktaydı.

6. Kutsal 60 sayısının 12 tane tam böleni vardır.

7. Kutsal 60; 10 ve 12 sayılarının en küçük ortak katıdır.

8. Jüpiter gezegeni güneş etrafındaki turunu 12 yılda tamamlıyordu. (Bugünün imkânlarıyla yapılan

ölçümlere göre 11,9 yıl sürer.)

9. Astronomi dışından da bir bilgi ekleyelim: İnsanların kaburga kemikleri 12’si sağda 12’si solda

olmak üzere 12 çifttir.

SUMERLİLER MATEMATİĞİN GÖKTEN İNDİRİLDİĞİNE İNANIRLARDI

Sıraladığımız bu 9 özellik, Sumerli matematikçilerin 12 sayısını kutsamalarına neden olmuştur

ve özellikle bu sayıyı “Tanrının bahşettiğine” inanırlar, “Gök’ten indirilen bilgi olan matematiğin”

anahtar sayılarından biri olarak nitelerlerdi. Mesela Sumer panteonunda 12 tanrı yer alır.

Bir Sumer tabletinde, EN.ME.DUR.ANNA adlı bir ulu kişinin göğe çıktığından, Tanrılardan,

sayılarla nasıl hesap yapılacağını öğrendikten sonra geri gelerek insanlara öğretmeye başladığından

söz edilmektedir.

Sumerliler, bir yılı, bir günü ve Burçlar Kuşağı’nı 12’ye bölmüşlerdir. Bugün de bu bölümlen-

dirmeyi kullanıyoruz ama bizim 2 saatimiz onların 1 saatine karşılık gelir. 12 sayısına verdikleri önemi

gösteren bir başka bulgu, gerek uzunluk ölçüsü, gerek hacım ölçüsü ve gerekse de alan ölçüsünde 12

tabanlı bir sistem kullanmalarıdır. Diğer yandan, Sumerlilerin meslekler hiyerarşisi her biri 12

meslekten oluşan 3 kademeli bir yapıdır. Bu bölümlendirmelerin, inanışlarından kaynaklandığı kadar,

matematiksel kolaylıkları dolayısıyla inanış çerçevesine alındığını da düşünmek gerekir.

SUMERLİLER ve GEOMETRİ

Sumerliler, ileri derecede geometri bilgisine de sahiptiler. Bunu kanıtlayan birçok tablet

bulunmuştur. Öklid geometrisinin belli başlı konularını kapsayan birçok analitik geometri problemi, 3

bin yıl önce Sumer okullarında öğrencilerin önüne konuyordu. Mesela öğrenci tabletlerinden birinde,

alanı ve köşegen uzunluğu verilen bir dikdörtgenin eni ve boyu sorulmaktadır. Söz konusu problem iki

bilinmeyenli ve iki denklemlidir. Ayrıca denklemler ikinci derecedendir.

Kanıt niteliğindeki diğer bir tablet, MÖ 17. yüzyıla aittir ve bir çember üzerine çizilen kirişlerin

ayırdığı çember yaylarıyla ilgili çeşitli problemleri ve çözüm yollarını içermektedir.

MÖ 19. yüzyıla ait bir başka tablet üzerinde, yamuklar ve üçgenlerle ilgili 4 problem yer

almaktadır. MÖ 17. yüzyıla ait olduğu belirtilen diğer bir önemli tablet de 2’nin karekökünün nasıl

bulunacağını gösteren bir geometri problemini içermektedir. Yine bir başka tablette, eşmerkezli iki

benzer üçgenin arasında kalan alanın hesaplanması istenmektedir. Yine aynı döneme ait bir başka

tabletten Sumerli öğrencilerin bir dik üçgen üzerinde birbirini izleyerek çıkarılan diklerin uzunluklarını

gayet güzel hesaplayabildiklerini göstermektedir.



6

Sözünü ettiğimiz bütün bu örnek problemler, orta öğrenim kurumlarında matematik

derslerinde Sumer kökenleri de dile getirilerek öğrencilere gösterilmelidir. Ayrıca özellikle Avrupa

Birliği’ne bağlı ülkelerde ders müfredatına girmesi de talep edilmelidir.

Adı geçen bütün tabletlerin kuşe kâğıt üzerindeki renkli resimleri Sumer Matematiği ve

Sayıların Gizemi adlı kitabımızda incelenebilir.

Eşmerkezli iki benzer üçgenin arasında kalan alanın hesaplanmasını gösteren Sumer tableti

TALES, PİSAGOR ve ÖKLİD KİMLERİN ÖĞRENCİLERİYDİ?

Bu satırların yazarı, Sumer matematiğinin gücünü ve Sumerlilerin uygarlık üzerindeki derin

etkilerini ilk kez 1979 yılında, Irak’ta inşaat şantiyelerinde çalıştığı dönemde fark etti. Eğer bir hafta

sonu tatilinde Babil müzesine gitmeseydi, aldığı olanca matematik eğitimine rağmen belki de

Sumerlilerin matematiğe yaptığı katkıyı hiçbir zaman öğrenemeyecekti. Öğrenemeyecekti; çünkü

eğitim sistemimiz, insanlığın bütün başarılarını Helen-Hıristiyan uygarlığına bağlayan bir söylemi

sürdürüyordu. Söz konusu müzede sergilenen tabletler üzerindeki şekilleri incelediğimizde Sumer

matematiğinin gücünü kavramak güç olmadı. Herkesin bildiği gibi, matematiğin dili evrenseldir,

matematiği anlamak için Sumerce bilmek gerekmeyebilir.

O zamandan beri, yani 30 yıldır bu konu üzerinde durmaktayız. Sumer Çağı’nda bilim ve

matematik konusunda ne zaman bir yayın yapılsa, eğer farkındaysak, onu bulur ve üzerinde çalışırız.

Bu bağlamda üzerinde çalıştığımız konulardan biri de Grekçe yazmış olan ve Grek oldukları öne

sürülen matematikçilerdir. Bunlardan üçü diğerlerine göre daha önde dururlar. Bunlar Tales, Pisagor

ve Öklid’dir. Bizim okullarımızda da bunlar öğretilir ve örtük biçimde matematik Greklere bağlanır.

Oysa matematiğe gerçekten de çok önemli katkılarda bulunmuş olan bu üç şahsiyetin hayat hikâyesi,

uygarlığı Greklere bağlama ideolojisinin gerçeklerden ne kadar uzak olduğunu göstermeye yeterlidir.

Daha doğrusu, meğerse onların dile getirilmeyen, gizli kalmış hayat hikâyeleri, zaten Sumerlileri işaret

etmekteymiş. İdeolog sözde bilim tarihçileri, bu gerçekleri ustalıkla gözden uzak tutarak işlerini

yürütmekteymiş.

İşin en çarpıcı yanı, her üç matematikçinin de Doğu’da öğrenim görmüş olmasıdır.

Önce Tales’den başlayalım:

Tales yüceltilen 7 Grek bilgesinden birincisidir ve Grek felsefesinin “bilinen ilk düşünürü”4

olarak anılır. Ona “felsefenin babası” payesi verilmiştir. Herodot’a göre, o, Greklerin ilk “gök bilginidir.

MÖ 624-547 yılları arasında yaşamış olan Tales, Anadolu’da, Milet’te (Söke-Milas yolu üzerinde Balat

köyü) yaşayan bir tüccardı. Babil’de ve Mısır’da bulunmuştur. Ne var ki Grekler adına olanca övgü

almasına rağmen, aslen Grek değildir. Kendi çağına ait bir eserde, babasının tek kelime Grekçe



7

bilmediği bilgisi yer almaktadır. Çünkü ailesi Fenikeliydi. Milet’e göçmen olarak gelmişlerdi. MÖ 4.

yüzyılda Matematik Tarihi adlı bir eser bırakan Rodoslu Eudemos, Tales hakkında şöyle demektedir5 :

“Nasıl Fenikelilerle ticaret ve mübadeleden ötürü sayıların tam olarak bilinişi başlamışsa, Mısırlılarda

da geometria bulunuyor. Tales, Mısır’a gelerek ilk kez bu bilimi Hellas’a götürüyor.” Nitekim başka

eserlerde de Tales’in geometriyle Mısır gezisi sırasında tanıştığı bilgisi yer almaktadır.

Üzerinde duracağımız, diğer önemli matematikçi Pisagor’dur.

MÖ 582’de dünyaya gelene Pisagor, Tales’in çağdaşıdır. Üstelik Tales’in komşu köylüsü sayılır.

Tales’in Miletli olmasına karşılık Pisagor Sisamlıdır. Babası çok zengin bir mücevherciymiş. Oğlunun iyi

bir matematik eğitimi alması için çağının bilinen en iyi hocalarını tutmuş. Pisagor, kısa zamanda

hocalarını aşmış ve gönlünü tam anlamıyla matematiğe kaptırmış ve yaşadığı toprakları terk ederek

matematiğin doğduğu yere, Babil’e gitmiş. Yıllarca kalmış. Daha sonra İran’a, oradan da Hindistan’a

gitmiş. Sonra geri dönerek Mısır’da yıllarca dirsek sürtmüş. Orada Memfis rahiplerinin öğrencisi

olmuş. Matematiğin peşi sıra giderken ülkesine ancak 18 yıl sonra dönebilmiş. Hayatının bundan

sonrasını, Doğu’da öğrendiklerini Batı’da uygulamakla geçirmiş. Pek çok öğrenci yetiştirmiş. Hatta

tanrısı geometrici olan Tek Tanrılı bir din bile kurmuş.

Üçüncü olarak Öklid’den söz edeceğiz.

MÖ 330-275 yılları arasında yaşamış olan Öklid, zaten İskenderiyelidir. Hayatı hakkında başka

da bir şey bilinmemektedir. Tek bilinen, matematik alanında bıraktığı eserlerdir. Stoikheia (Elemanlar)

adını verdiği 13 kitap ona ait kabul edilir. Bu eserleri, kendisinden önceki matematikçilerin eserlerini

derlemek için yazmıştır. Batılı bilim tarihçilerine göre, onun çalışmaları, geometriyi aksiyomatik6 bir

başlangıçtan hareketle “ispat” amaçlı sistematik bir yapıya kavuşturmayı hedeflemiştir. Yüzyıllardan

beri deneysel ve gözlemsel (ampirik) olarak doğruluğu bilinen bilgileri “mantıksal ispat” katına

çıkarmayı onun başardığı söylenir. Onun muazzam katkısını göz ardı etmeyi doğru bulmayız. Ne var ki

başarıyı sadece ona mal ederek matematik üzerinde Sumerlilerin ve Mısırlıların katkısının görmezden

gelinmesini de doğru bulmuyoruz. Nitekim Öklid’den önce de çeşitli derlemeler yapılmıştır ve ispat

fikri önce de vardı. Hatta ispat fikri Tales’te de görülür. Mesela, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit

olduğunu ispatlamıştır.

Özellikle 19. yüzyıl sonları ve 20. yüzyıl boyunca Sumer tabletleri üzerinde yapılan incelemeler,

matematiğin kökenlerinin Sumerlilere dayandırmak gerektiğini kanıtlamaktadır. Kesin kanıtlardan biri

Pisagor sayıları olarak anılan sayıları içeren tablettir. Hatırlanacağı üzere Pisagor’un adıyla anılan bir

teorem 7 , bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunun karelerinin toplamının, hipotenüsün

uzunluğunun karesine eşit olduğunu söylemektedir. Sözgelimi, dik kenar uzunlukları 3 ve 4 olan bir

üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 5’dir. Çünkü 3’ün karesiyle 4’ün karesinin toplamı 25 eder ve bunun

da karekökü 5 eder. Yani hipotenüs 5 birim uzunluktadır. İşte söz konusu üçgeni tanımlayan 3, 4 ve 5

sayı gurubuna Pisagor sayıları denir. (8, 15, 17) ve (7, 24, 25) ve (9, 40, 41) sayıları da Pisagor sayısıdır.

Bu sayılar sonsuza kadar çoğaltılabilir. Ne var ki bu sayıların sadece Pisagor’a dayandırılması doğru

değildir. Çünkü söz konusu 3’lü sayılar, MÖ 17. yüzyıldan kalan ve Tel Harmal’da gün yüzüne çıkartılan

bir tablet üzerinde yer almaktadır.

Babil Müzesi soyulmazdan önce (soygun işgal kuvvetlerinin planlı bir eylemine benziyor),

hemen kapı girişinde teşhir edilen ve dik üçgenlerde dik kenardan hipotenüse çıkarılan dikin

uzunluğunun nasıl hesaplandığını gösteren tablet, geometrinin Sumer kökenleri konusuna başlı

başına bir kanıttır. Çalınma olayı bu kanıtı şimdilik ortadan kaldırdı. Ama fotoğraflar ortadadır. Bu

satırların yazarı da bu tabletin göz şahididir.

Pisagor’la ilgili bir örnek daha vereceğiz. Pisagor’un ve onu izleyenlerin önemli uğraşlarından

biri 2’nin karekökünün nasıl hesaplanacağı konusudur. Oysa bu problemi içeren tablet MÖ 17. yüzyıla

aittir ve Sumer ören yerlerinde bulunmuştur.



8

Sumerlilerin 2’nin karekökünü nasıl hesapladıklarını açıklayan tablet

Araştırmalarımızdan sonra vardığımız hükümlerin kanıtlarını SUMER MATEMATİĞİ ve SAYILARIN

GİZEMİ adını verdiğimiz kitabımızda renkli olarak tek tek yayınladık. Kitap, devlet kütüphanelerinde incelenebilir. Ayrıca internet üzerinden satış yapan merkezlerden de temin etmek mümkündür.

İbrahim OKUR Kimdir?

İTÜ Makina Fakültesi’nden 1974 yılında mezun olmuştur. Bugüne kadar 14 kitabı yayınlanmıştır. Bunlar www.ibrahimokur.com adresinde incelenebilir. Bu kitaplardan ikisi matematik tarihiyle ilgilidir. Biri, MATEMATİK VE İLAHİYAT/ MATEMATİK İÇİNDE VAHİY VE VAHİY İÇİNDE

MATEMATİK ARAYANLAR adlı kitaptır. Diğeri ise makalenin içinde sözü edilen SUMER

MATEMATİĞİ VE SAYILARIN GİZEMİ adlı araştırmasıdır.

Yazarın matematik tarihi ve felsefesi üzerine yazılmış iki kitabı vardır.

Bunlar www.ibrahimokur.com adresinde incelenebilir.

1 Richard Mankıewicz, Matematiğin Tarihi, Güncel Yayıncılık, 2002, Sayfa 145

2 Bekir S. Gür, Matematik Felsefesi, Kadim Felsefe Yayınları, 2004, Sayfa 91

3 http://www.espace-sciences.org/science/images/images-maj/Perso/spiderweb/index_spider.html 4 Orhan Hançerlioğlu, Felsefe Ansiklopedisi, Düşünürler Bölümü 2. cilt, sayfa 316

5 Orhan Hançerlioğlu, Felsefe Ansiklopedisi, Düşünürler Bölümü 2. cilt, sayfa 317

6 Aksiyomatik: Sezgilerimiz yardımıyla ispatsız olarak doğruluğunu kabul ettiğimiz bazı temel kavram ve önermelerden yola çıkarak kurulan bilimsel düşünme yöntemi. Örnek: “Herhangi iki nokta arasındaki en kısa yol doğru parçasıdır.”, “Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.”

7 Teorem: Matematik ve mantıkla kanıtlanması istenen önerme



http://www.espace-sciences.org/science/images/images-maj/Perso/spiderweb/index_spider.html

Education

Sumer çağında matematik