Suma resta polinomios

MODULO:SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

BOTONES DE ACCION

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OBJETIVOS

• 1. Simplificar términos semejantes

• 2. Sumar dos o mas polinomios

• 3.Restar un polinomio de otro polinomio

• 4. Efectuar combinaciones de suma y resta de polinomios

• 5. Simplificar el múltiplo de un polinomio

• 6. Efectuar combinaciones de múltiplos de polinomios

PRE-PRUEBA

• 1. Simplifique

• 2. Simplifique

• 3. Simplifique

• 4. Simplifique

• 5. Simplifique

xxxx 5426 +−−

2222 9764 xxxx −−+

yxyxyxyx 2222 685 −+−

yxyxyx 39785 ++−−+

2222 20106 xyyxxyyx +−−

RESPUESTAS

PRE-PRUEBA:RESPUESTAS

• 1. Simplifique • RESPUESTA: • 2. Simplifique• RESPUESTA: • 3. Simplifique

• RESPUESTA: • 4. Simplifique• RESPUESTA: • 5. Simplifique• RESPUESTA:

xxxx 5426 +−−

2222 9764 xxxx −−+

yxyxyxyx 2222 685 −+−

yxyxyx 39785 ++−−+

2222 20106 xyyxxyyx +−−

X5

26X−

YX 28−

YX 2+−

22 914 XYYX −−

PRE-PRUEBA

• 6. Sume

• 7. Sume

• 8. Sume

• 9. Reste

• 10. Reste

)8117()4106( −+++− yxyx

)3124()1079( 22 +−+−+ xxxx

)39()86()395( 22222 yxyyxyxyx ++−+−−

)1410()376( −+−−− yxyx

)6421()3514( 22 +−−+− xxxx

RESPUESTAS

PRE-PRUEBA: RESPUESTAS

• 6. Sume• RESPUESTA: • 7. Sume• RESPUESTA: • 8. Sume

• RESPUESTA: • 9. Reste • RESPUESTA: • 10. Reste• RESPUESTA:

)8117()4106( −+++− yxyx

)3124()1079( 22 +−+−+ xxxx

)39()86()395( 22222 yxyyxyxyx ++−+−−

)1410()376( −+−−− yxyx

)6421()3514( 22 +−−+− xxxx

413 −+YX

7513 2 −− XX

22 811 YX −

2114 −−− YX

37 2 −−− XX

PRE-PRUEBA

• 11. Reste De

• 12. Reste De

• 13. Simplifique

• 14. Simplifique

)976( +− yx)3912( −− yx

)45( 2 xx −)1259( 2 −+ xx

)985()136()743( −−−−+++− yxyxyx

)5610()835()724( 222 −+−+−−+− xxxxxx

RESPUESTAS


• 11. Reste • De• RESPUESTA: • 12. Reste• De

• RESPUESTA: • 13. Simplifique• RESPUESTA: • 14. Simplifique • RESPUESTA:

)976( +− yx)3912( −− yx

)45( 2 xx −)1259( 2 −+ xx

)985()136()743( −−−−+++− yxyxyx

)5610()835()724( 222 −+−+−−+− xxxxxx

1226 −− YX

1294 2 −+ XX

1574 ++ YX

4511 2 +−− XX

PRE-PRUEBA

• 15. Simplifique

• 16. Simplifique

• 17. Simplifique

• 18. Simplifique

)16(3)74(6 ++− xx

)16(3)52(4 −−− yy

)586(7)432(5 −+++− yxyx

)263(5)45(3 22 −+−+− xxxx

RESPUESTAS


• 15. Simplifique • RESPUESTA: • 16. Simplifique

• RESPUESTA: • 17. Simplifique• RESPUESTA:

• 18. Simplifique • RESPUESTA:

)586(7)432(5 −+++− yxyx

3942 −X

1710 −− Y

154152 −+ YX

224512 2 +−− XX

)16(3)74(6 ++− xx

)16(3)52(4 −−− yy

)263(5)45(3 22 −+−+− xxxx

PRE-PRUEBA

• 19. Simplifique

• 20. Simplifique

)12105(4)953(2)17(6 222 +−++−−−+ xxxxxx

)125(6)543(8)472(3 −−−−+−+− yxyxyx

RESPUESTAS


• 19. Simplifique

• RESPUESTA

• 20. Simplifique

• RESPUESTA

)12105(4)953(2)17(6 222 +−++−−−+ xxxxxx

241220 2 ++ XX

)125(6)543(8)472(3 −−−−+−+− yxyxyx

584148 +−− YX

CONTENIDO

• -TERMINOS SEMEJANTES • -SUMA DE POLINOMIOS• -RESTA DE POLINOMIOS• -ACTIVIDAD I• -SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS• -MULTIPLO DE UN POLINOMIO• -SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS• -ACTIVIDAD II

TERMINOS SEMEJANTES

• Un término es un número real, una variable o el producto de un número real y una o más variables que pueden estar elevadas a cualquier exponente.

• Ejemplos de términos son:

13232 6,5,,, zyxyxax −

TERMINOS SEMEJANTES

• El coeficiente de un término corresponde a la parte numérica del mismo.

• Ej: El coeficiente de es 5

• Ej: El coeficiente de es 7

• Ej: El coeficiente de es 1 ya que

• Ej: El coeficiente de es -1 ya que

x5

327 yx

x

y−

xx 1=

yy 1−=−

TERMINOS SEMEJANTES

• Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas variables y los correspondientes exponentes son iguales.

• Ejemplo: Son términos semejantes:

x

x

x

8

4

− xy

xy

xy

2

4

−

−

TERMINOS SEMEJANTES

• Ejemplo:Son términos semejantes:

• No son términos semejantes

yx

yx

yx

2

2

2

5

2

1

− 32

32

32

3

1

ba

ba

ba−

2

2

6

5

xy

yx2

2

9

3

y

x

TERMINOS SEMEJANTES

• Para simplificar dos o mas términos semejantes aplicamos la propiedad distributiva, efectuamos las operaciones entre sus coeficientes numéricos y a este resultado le añadimos las respectivas variables con sus correspondientes exponentes.

• Ejemplo: Simplifique xyxy 54 +

xyxyxyxy 9)54(54 =+=+

TERMINOS SEMEJANTES

• Ejemplo: Simplifique


xxx 283 +−xxxxx 3)283(283 −=+−=+−

xxx ++xxxxxxxx 3)111(111 =++=++=++

TERMINOS SEMEJANTES



222 34 xxx −−

00)314(34 22222 ==−−=−− xxxxx

yxyxyxyx 2222 395 +−−

=+−− yxyxyxyx 2222 395

=+−− yx2)3195( yx22−

TERMINOS SEMEJANTES

• Agrupamos los términos semejantes y luego simplificamos.

• Agrupamos los términos semejantes y luego simplificamos.

• Observe que los dos últimos términos no son semejantes

yx

yyxx

yxyx

eSimplifiqu

35

9683

9863

+−=+−−=+−−

22

22

22

7

125

125

zyxy

zyxyxy

zxyyxy

eSimplifiqu

−+−=−+−=−−+

SUMA DE POLINOMIOS

• Para sumar dos polinomios procedemos de la siguiente manera:– 1. Eliminamos los paréntesis de los dos

polinomios sin cambiar los signos de los términos contenidos en los mismos.

– 2. Agrupamos los términos semejantes.

– 3. Simplificamos los términos semejantes.

SUMA DE POLINOMIOS

• *eliminamos los paréntesis

• **agrupamos los términos semejantes

• ***simplificamos los términos semejantes

***539

**834736

*843376

)843()376(

2

22

22

22

−−

=−++−+=−+++−

=−+++−

xx

xxxx

xxxx

xxxx

Sume

SUMA DE POLINOMIOS




***2511

**243865

*236485

)236()485(

22

2222

2222

2222

yxyx

yyxyxyxx

yxyxyxyx

yxyxyxyx

Sume

−+=+−−++=+−+−+

=+−+−+

SUMA DE POLINOMIOS




***5632

**276375

*267735

)267()735(

3223

332233

323323

323323

yxyyxx

yyxyyxxx

yxyxyyxx

yxyxyyxx

Sume

++−−=−++−−

=−+−+−

=−+−++−

RESTA DE POLINOMIOS

• El inverso aditivo de un polinomio P(x) es el polinomio - P(x) el cual se obtiene cambiando los signos de todos sus términos.

• Ejemplo: El inverso aditivo de P(x) = 8 es

- P(x) = -8

• Ejemplo: El inverso aditivo de P(x) = 5x – 6 es

- P(x) = -5x + 6

RESTA DE POLINOMIOS

• Ejemplo: El inverso aditivo de

es

• Ejemplo: El inverso aditivo de

es

265)( 2 −−= xxxP

265)( 2 ++−=− xxxP

323 94520)( bbaaxP +−=

323 94520)( bbaaxP −+−=−

RESTA DE POLINOMIOS

• La resta entre dos polinomios es equivalente a la suma entre el primer polinomio y el inverso aditivo del segundo polinomio, es decir, si P(x) y Q(x) son dos polinomios cualesquiera, entonces, P(x) - Q(x) = P(x) + ( - Q(x) )

• De acuerdo con la definición anterior, podemos establecer las siguientes reglas:

RESTA DE POLINOMIOS

• Para restar dos polinomios procedemos de la siguiente manera:

• 1. Eliminamos los paréntesis de los dos polinomios escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio.

• 2. Agrupamos los términos semejantes.

• 3. Simplificamos los términos semejantes

RESTA DE POLINOMIOS

• *eliminamos los paréntesis escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio



***52

**1457

*1547

)15()47(

:Re

+=++−=+−+

=−−+

x

xx

xx

xx

ste

RESTA DE POLINOMIOS




***9145

**279583

*298753

)298()753(

Re

2

22

22

22

+−−

=++−−−=+−−+−

=−+−+−

xx

xxxx

xxxx

xxxx

ste

RESTA DE POLINOMIOS




***6779

**674345

*644735

)644()735(

Re

323

32233

23323

23323

−+−

=−+−−+

=−−++−

=++−−+−

yyxx

yyxyxxx

yxxyyxx

yxxyyxx

ste

RESTA DE POLINOMIOS




***4112

**132986

*128396

)128()396(

2

22

22

22

+−−=++−−−=+−−+−

=−+−+−

xx

xxxx

xxxx

xxxx

)396(

)128(

Re

2

2

+−

−+

xx

de

xx

ste

RESTA DE POLINOMIOS




)23(

)96(

Re

2 −+

−

xx

de

x

ste

***73

**9263

*9623

)96()23(

2

2

2

2

+−=+−−+=+−−+

=−−−+

xx

xxx

xxx

xxx

ACTIVIDAD I

• 1. Simplifique

• 2. Simplifique

• 3. Simplifique

• 4. Simplifique

• 5. Sume

xxxxx 831295 −+−+

yxyxyxyx 2222 7843 −−−

yxyxyx 21081269 −−−+−

232323 2105967 xxxxxx ++−−+

)5612()9108( −−+−+ yxyx

ACTIVIDAD I

• 6. Sume

• 7. Reste

• 8. Reste

• 9. Reste De

• 10. Reste De

)81510()396( 22 +++−− xxxx

)679()4515( 22 +−−−+ xxxx

)296()6510( 2222 yxyxyxyx −+−+−

)956( −+ yx)3710( −− yx

)8516( 2 +− xx

)4718( 2 −− xx

SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS




***24272

**15181296723

*15127192863

)15127()192()863(

:

2

222

222

222

+−−=+++−−−−+=+−−+−++−

=−+−+−++−

xx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

eSimplifiqu

SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS




***2129

**925837764

*987236574

)987()236()574(

−−−=−++−+−−−=−−−++−+−

=++−−−−+−

yx

yyyxxx

yxyxyx

yxyxyx

eSimplifiqu

MULTIPLO DE UN POLINOMIO

• Supongamos que a, b y c representan números reales cualesquiera, entonces se tiene que: a(b+c) = ab + ac

• Esta igualdad se conoce como propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

• Ejemplo: 6(5+8)= 6(5) + 6(8)


• La propiedad distributiva también puede aplicarse a la multiplicación con respecto a la sustracción y puede extenderse a tres o mas números reales dentro del paréntesis.

• Ejemplo: 5(7-9)=5(7)-5(9)

• Ejemplo: 4(7-5+8-2) = 4(7)-4(5)+4(8)-4(2)


• Definimos el múltiplo de un polinomio como el producto entre un entero positivo y un polinomio.

• Ejemplo de múltiplo de un polinomio:

• Ejemplo de múltiplo de un polinomio:

)128(6 2 +− xx

)296(5 +− yx


• Para simplificar el múltiplo de un polinomio (eliminar los paréntesis), aplicamos la propiedad distributiva teniendo en cuenta los signos de la multiplicación entre números reales.

*propiedad distributiva

**multiplique**103515

*)2(5)7(5)3(5

)273(5

2

2

2

+−=+−

=+−

xx

xx

xx

eSimplifiqu


• *propiedad distributiva• **multiplique

• *propiedad distributiva• **multiplique

**83240

*)(8)4(8)5(8

)45(8

:

zyx

zyx

zyx

eSimplifiqu

Ejemplo

+−=+−

=+−

**9126

*)3(3)4(3)2(3

)342(3

:

2

2

2

−+−=−+−

=−+−

aa

aa

aa

eSimplifiqu

Ejemplo


• En adelante, aplicaremos directamente la propiedad distributiva.

4530)96(5

:

:

−=− xx

eSimplifiqu

Ejemplo

271812)964(3

:

:

22 +−=+− xxxx

eSimplifiqu

Ejemplo

SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS DE POLINOMIOS

• *propiedad distributiva• **agrupe los términos

semejantes

• ***simplifique los términos semejantes

***1336

**2151620

*2161520

)18(2)34(5

+=−++=−++

=−++

x

xx

xx

xx

eSimplifiqu


• *propiedad distributiva

• **agrupe los términos semejantes


***176254

**14335274212

*14354232712

)256(7)194(3

:

2

22

22

22

−+

=−−+++=−++−+=−++−+

xx

xxxx

xxxx

xxxx

eSimplifiqu





***784034

**48301624406

*48164030246

)625(8)54(6

:

2

22

22

22

−+−=−−++−=−+−−+

=+−−−+

xx

xxxx

xxxx

xxxx

eSimplifiqu





***425034

**72015321828126

*72820321215186

)14(7)583(4)562(3

:

+−−=+++−−−−=+−+−−+−

=−−−+−+−

yx

yyxxx

xyxyx

xyxyx

eSimplifiqu





***1030624

*2123661218306

*3630261212186

)65(6)136(2)462(3

:

23

2233

3223

3223

+−−−

=−+−++−−

=−−−+++−

=+−−+++−

xxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

eSimplifiqu

ACTIVIDAD II

• 1.

• 2.

• 3.

• 4.

• 5.

)3105()9712()747( −−−+−+−+ yxyxyx

eSimplifiqu

)153()275()694( 222 ++−−−−+− xxxxxx

eSimplifiqu

)12107()522()3646( 2323 −+−−+++−+ aaaaaaa

eSimplifiqu

)1085(9 +− yx

eSimplifiqu

)894(3 2 +−− xx

eSimplifiqu

ACTIVIDAD II

• 6.

• 7.

• 8.

• 9.

• 10.

)2510(6)384(9 −+++− yxyx

eSimplifiqu

)61012(8 23 −+− xxx

eSimplifiqu

)373(4)125(6 22 +−−−− xxxx

eSimplifiqu

)8105(9)4123(6)3102(3 222 +−−−+++− xxxxxx

eSimplifiqu

)1310(6)1092(4)1833(6 2323 +−−−−+−+ xxxxxx

eSimplifiqu

POS-PRUEBA

Pos-Prueba

1. Simplifique

xxxx 5426 +−−

xE

xD

xC

xB

xA

6.

5.

5.

3.

3.

−

−

Cont. Pos-Prueba

2. Simplifique 2222 9764 xxxx −−+

2

2

2

2

2

13.

12.

12.

6.

6.

xE

xD

xC

xB

xA

−

−

−

Cont. Pos-Prueba

3. Simplifique yxyxyxyx 2222 685 −+−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

2

2

2

2

2

8.

8.

4.

4.

2.

−

−−

Cont. Pos-Prueba

4. Simplifique yxyxyxyxyx 22222 87569 −++−−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

2

2

2

2

2

19.

19.

11.

11.

8.

−

−

Cont. Pos-Prueba

5. Simplifique

22

22

22

22

22

1126.

914.

914.

914.

914.

xyyxE

xyyxD

xyyxC

xyyxB

xyyxA

++−

+−−

−

2222 20106 xyyxxyyx +−−

Cont. Pos-Prueba

6. Sume )8117()4106( −+++− yxyx

42113.

413.

413.

413.

413.

++++−++−−−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

Cont. Pos-Prueba

7. Sume )3124()1079( 22 +−+−+ xxxx

71913.

7513.

7513.

7513.

7513.

2

2

2

2

2

++++−−−++−

xxE

xxD

xxC

xxB

xxA

Cont. Pos-Prueba

8. Sume )39()86()395( 22222 yxyyxyxyx ++−+−−

22

22

22

22

22

811.

811.

811.

811.

811.

yxyxE

yxyxD

yxyxC

yxB

yxA

++

−−−+

+

−

Cont. Pos-Prueba

9. Reste )1410()376( −+−−− yxyx

2114.

2114.

2114.

2114.

2114.

++−−

++−−+−−−−

yxD

yxD

yxC

yxB

yxA

Cont. Pos-Prueba

10. Reste )6421()3514( 22 +−−+− xxxx

37.

37.

37.

37.

37.

2

2

2

2

2

++−−

−−−−+−+−−

xxE

xxD

xxC

xxB

xxA

Cont. Pos-Prueba

11. Reste

de

)976( +− yx

)3912( −− yx

1226.

1226.

1226.

1226.

1226.

+−−+

++−−−

−−−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

Cont. Pos-Prueba

12. Reste

de

)45( 2 xx −)1259( 2 −+ xx

1294.

1294.

1294.

124.

124.

2

2

2

2

2

−++−−−

+−++

xxE

xxD

xxC

xxB

xxA

Cont. Pos-Prueba

13. Simplifique )985()136()743( −−−−+++− yxyxyx

1574.

374.

374.

1594.

1594.

++−++−++−−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

Cont. Pos-Prueba

14. Simplifique )5610()835()724( 222 −+−+−−+− xxxxxx

6711.

6711.

4511.

4511.

4511.

2

2

2

2

2

+++−

−+−+−−−−−

xxE

xxD

xxC

xxB

xxA

Cont. Pos-Prueba

15. Simplifique )16(3)74(6 ++− xx

4542.

3942.

3942.

4540.

3940.

−−+++

xE

xD

xC

xB

xA

Cont. Pos-Prueba

16. Simplifique )16(3)52(4 −−− yy

2310.

1710.

1710.

1710.

1710.

−+−

+−−−

yE

yD

yC

yB

yA

Cont. Pos-Prueba

17. Simplifique )586(7)432(5 −+++− yxyx

557152.

354152.

154152.

154152.

154152.

++++−++−−−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

Cont. Pos-Prueba

18. Simplifique )263(5)45(3 22 −+−+− xxxx

224512.

224512.

224512.

224512.

224512.

2

2

2

2

2

+++−

+−−−+−−−−

xxE

xxD

xxC

xxB

xxA

Cont. Pos-Prueba

19. Simplifique

)12105(4)953(2)17(6 222 +−++−−−+ xxxxxx

241221.

241221.

241220.

241220.

241220.

2

2

2

2

2

++−++++−−−

xxE

xxD

xxC

xxB

xxA

Cont. Pos-Prueba

20. Simplifique

)125(6)543(8)472(3 −−−−+−+− yxyxyx

584148.

584148.

584148.

584148.

584148.

+++−

−+−+−−−−−

yxE

yxD

yxC

yxB

yxA

Respuestas Pos-Prueba

Education

Suma resta polinomios