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ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETROLEOS

Solution task first examen fula 2010

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A partir de la fórmula característica del método de Newton y la diferencia finita regresiva representativa de la primera derivada de orden O(h) determinar la formula característica del método de la secante.

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Se planea construir una estantería de libros cuya altura se encuentra entre 8½" y 11" con una longitud de 29". La estantería está construida en madera cuyo Modulo de Young es de 3.667Msi con un grosor de 3/8" y un ancho de 12". Encontrar la máxima deflexión vertical de la estantería dada por:

Donde x es la posición a lo largo de la viga. Por lo tanto para encontrar la máxima deflexión se necesita saber cuándo y hacer la prueba de la segunda derivada.

xxxxxv 018507.010 66722.010 13533.010 42493.0)( 465834 −×−×−×= −−−

0)( ==dx

dvxf

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La ecuación que da la posición x donde la deflexión es máxima está dada por:

Use el método de Newton-Raphson para encontrar la posición x donde la deflexión es máxima. Utilice tres iteraciones para llegar a la raíz de la ecuación anterior. Calcule el error relativo absoluto al final de cada iteración y el número correcto de cifras significativas al final de cada iteración.

0018507.010 12748.010 26689.010 67665.0 233548 =−×+×−×− −−− x xx

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0018507.010 12748.010 26689.010 67665.0)(' 233548 =−×+×−×−= −−− x xx xf 14,5724522

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METODO DE NEWTON RAPHSON

iteraciones xi xi+1 f(xi) f'(xi) %E

1 14 14 0 0,001925858

2 14 14,57341904 -0,00110432 0,001925858 3,9346912

3 14,57341904 14,57245222 1,8673E-06 0,001931366 -0,00663454

4 14,57245222 14,57245222 2,0334E-12 0,001931362 -7,2247E-09

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Se quiere aproximar una raíz de la ecuación x3 - 30x2 + 2400 = 0, que sabemos se encuentra en el intervalo (10,15), mediante el método del punto fijo. ¿Cuál de las siguientes funciones utilizarías para poder esperar convergencia en el proceso de iteración? Justifique su respuesta.

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n g(x) Xn-1 Xn %error

1 410 10 410 97,56097561

2 63880810 410 63880810 99,99935818

3 2,60682E+23 63880810 2,60682E+23 100

4 1,77147E+70 2,60682E+23 1,77147E+70 100

5 5,559E+210 1,77147E+70 5,559E+210 100

n h(x) Xn-1 Xn %error1 10,95445115 10 10,9544512 8,712907082 11,22558221 10,9544512 11,2255822 2,415296153 11,30634886 11,2255822 11,3063489 0,714347854 11,3307473 11,3063489 11,3307473 0,215329475 11,33814884 11,3307473 11,3381488 0,065279936 11,34039705 11,3381488 11,340397 0,019824767 11,3410802 11,340397 11,3410802 0,006023728 11,34128781 11,3410802 11,3412878 0,001830599 11,34135091 11,3412878 11,3413509 0,00055634

10 11,34137008 11,3413509 11,3413701 0,0001690811 11,34137591 11,3413701 11,3413759 5,1386E-05

La funcion g(x) diverge , por lo tanto la ecuacion recomendada para hallar la solucion de la ecuacion es h(x) porque converge con un margen de error minimo, aproximandose a la raiz verdadera.

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Calcule la raíz de:

Por los métodos de:

a) Bisecciónb) Falsa Posiciónc) Secanted) Newton-Raphsone) Punto Fijo

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n xi xs f(xi) f(xs) f(xr) xr %error

1 1 0,5 -0,632120559 0,10653066 -0,277633447 0,75

2 0,75 0,5 -0,277633447 0,10653066 -0,089738571 0,625 20

3 0,625 0,5 -0,089738571 0,10653066 0,007282825 0,5625 11,11111111

4 0,625 0,5625 -0,089738571 0,007282825 -0,04149755 0,59375 5,263157895

5 0,59375 0,5625 -0,04149755 0,007282825 -0,017175839 0,578125 2,702702703

6 0,578125 0,5625 -0,017175839 0,007282825 -0,00496376 0,5703125 1,369863014

7 0,5703125 0,5625 -0,00496376 0,007282825 0,001155202 0,56640625 0,689655172

8 0,5703125 0,56640625 -0,00496376 0,001155202 -0,00190536 0,568359375 0,343642612

9 0,568359375 0,56640625 -0,00190536 0,001155202 -0,000375349 0,567382813 0,17211704

10 0,567382813 0,56640625 -0,000375349 0,001155202 0,000389859 0,566894531 0,086132644

11 0,567382813 0,566894531 -0,000375349 0,000389859 7,23791E-06 0,567138672 0,043047783

12 0,567382813 0,567138672 -0,000375349 7,23791E-06 -0,00018406 0,567260742 0,02151926

13 0,567260742 0,567138672 -0,00018406 7,23791E-06 -8,8412E-05 0,567199707 0,010760788

14 0,567199707 0,567138672 -8,8412E-05 7,23791E-06 -4,05873E-05 0,567169189 0,005380683

15 0,567169189 0,567138672 -4,05873E-05 7,23791E-06 -1,66748E-05 0,567153931 0,002690414

16 0,567153931 0,567138672 -1,66748E-05 7,23791E-06 -4,71845E-06 0,567146301 0,001345225

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( ))()(

)(

si

sissr xfxf

xxxfxx

−−−=

n xi xs xr f(xi) f(xs) f(xr) %Error

1 1 0,5 0,572111612 -0,632120559 0,10653066 -0,007779083

2 0,572111612 0,5 0,567204224 -0,007779083 0,10653066 -9,54906E-05 0,865188852

3 0,567204224 0,5 0,567144038 -9,54906E-05 0,10653066 -1,172E-06 0,010612069

4 0,567144038 0,5 0,5671433 -1,172E-06 0,10653066 -1,43846E-08 0,000130246

5 0,5671433 0,5 0,567143291 -1,43846E-08 0,10653066 -1,76549E-10 1,59857E-06

6 0,567143291 0,5 0,56714329 -1,76549E-10 0,10653066 -2,16682E-12 1,96201E-08

7 0,56714329 0,5 0,56714329 -2,16682E-12 0,10653066 -2,65343E-14 2,40801E-10

8 0,56714329 0,5 0,56714329 -2,65343E-14 0,10653066 0 2,95593E-12

9 0,56714329 0,5 0,56714329 0 0,10653066 0 0

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n Xi F(Xi) Xi+1 error1 0,5 0,60653066 0,60653066 17,563936462 0,60653066 0,545239212 0,545239212 11,241203223 0,545239212 0,579703095 0,579703095 5,9450921154 0,579703095 0,560064628 0,560064628 3,5064644265 0,560064628 0,571172149 0,571172149 1,944688846 0,571172149 0,564862947 0,564862947 1,1169438597 0,564862947 0,568438048 0,568438048 0,6289340778 0,568438048 0,566409453 0,566409453 0,3581498889 0,566409453 0,567559634 0,567559634 0,202653862

10 0,567559634 0,566907213 0,566907213 0,11508432311 0,566907213 0,567277196 0,567277196 0,06522085512 0,567277196 0,567067352 0,567067352 0,03700514913 0,567067352 0,56718636 0,56718636 0,0209822114 0,56718636 0,567118864 0,567118864 0,01190153215 0,567118864 0,567157144 0,567157144 0,00674935516 0,567157144 0,567135434 0,567135434 0,00382801817 0,567135434 0,567147746 0,567147746 0,00217098118 0,567147746 0,567140763 0,567140763 0,001231275

19 0,567140763 0,567144724 0,567144724 0,000698304

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n Xi F(Xi) F´(Xi) Xi+1 error

1 0,5 0,10653066 -1,60653066 0,566311003 11,70929098

2 0,566311003 0,00130451 -1,567615513 0,567143165 0,146728708

3 0,567143165 1,9648E-07 -1,567143362 0,56714329 2,21064E-05

4 0,56714329 4,44089E-15 -1,56714329 0,56714329 5,08968E-13

5 0,56714329 0 -1,56714329 0,56714329 0

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n Xn-1 Xn Xn+1 F(Xn-1) F(Xn) F(Xn+1) Error

1 0,5 1 0,572111612 0,10653066 -0,632120559 -0,007779083 74,79106866

2 1 0,572111612 0,566780267-0,63212055

9 -0,007779083 0,000568946 0,940636897

3 0,572111612 0,566780267 0,567143617-0,00777908

3 0,000568946 -5,11095E-07 0,064066516

4 0,566780267 0,567143617 0,567143290,000568946 -5,11095E-07 -3,35749E-11 5,75005E-05

5 0,567143617 0,56714329 0,56714329-5,11095E-0

7 -3,35749E-11 0 3,77758E-09

6 0,56714329 0,56714329 0,56714329-3,35749E-1

1 0 0 0

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The Method that converges quicker to the root-answer is the Newton-Raphson continued by Secant Method.

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Eduardo Carrillo, Class en Presentation Ppt Methods Numeric's. Universidad Industrial de Santander 2010.

Steven C. Chapra, “Methods Numeric's for Engineering” Quinta Edition. Mac Graw Hill.

Stewart, James. "Calculus, Early Transcendent." 4 ed. Tr. Andrew Sesti. Mexico, Ed Thomson, 2002. p. 1151