1Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Abstract — this paper presents the solution equation using a numerical method forcertain region of space, knowing of the region.

1. Introducción

En este documento de tipo educativo se presenta la solución de la ecuación de Laplace mediante un método numérico conocido como diferencias finitas, para potenciales eléctricos en cierta región del espacio, conociendo su comportamiento o valor en la frontera de dicha región.De igual manera se procederá a graficar de las líneas de flujo magnético que se producen en dicha región.

2. Objetivos

o Determinar el número de ecuaciones adecuadas

de potencial eléctrico.o Definir o plantear las ecuaciones

correspondientes a cada punto de la región.o Obtener las soluciones de los potenciales en

cada punto.o Graficar las líneas de flujo.

3. Marco Teórico

3.1 Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace, se utiliza para modelar diversos problemas que tienen que ver con el potencial de una variable desconocida. Expresión de la ecuación de Laplace para potencial eléctrico.

3.2 Solución numérica

La solución numérica, se basa en el método de

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE, POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

Guamán E. Telmo/ Quizhpi C. Mateo/ Velecela C. Juan

2Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Abstract — this paper presents the solution equation using a numerical method forcertain region of space, knowing of the region.

1. Introducción

En este documento de tipo educativo se presenta la solución de la ecuación de Laplace mediante un método numérico conocido como diferencias finitas, para potenciales eléctricos en cierta región del espacio, conociendo su comportamiento o valor en la frontera de dicha región.De igual manera se procederá a graficar de las líneas de flujo magnético que se producen en dicha región.

2. Objetivos

o Determinar el número de ecuaciones adecuadas

de potencial eléctrico.o Definir o plantear las ecuaciones

correspondientes a cada punto de la región.o Obtener las soluciones de los potenciales en

cada punto.o Graficar las líneas de flujo.

3. Marco Teórico

3.1 Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace, se utiliza para modelar diversos problemas que tienen que ver con el potencial de una variable desconocida. Expresión de la ecuación de Laplace para potencial eléctrico.

3.2 Solución numérica

La solución numérica, se basa en el método de

Esta relación, que satisface para todos los puntos interiores de la placa, se conoce como ecuación Laplaciana en diferencias.

3.2 Condiciones frontera

Debemos además especificar las condiciones de frontera en los extremos de la placa para obtener una solución única.El caso más simple es aquel donde el potencial eléctrico en la frontera es un valor fijo, a este tipo de condición se la conoce como “condición de frontera de Dirichlet”.Otro tipo de condición es la “condición de frontera de Neumann” la cual tiene como dato la derivada en la frontera. [1]

4. Metodología

4.1 Identificación

→ Primero debemos definir el punto inicial y tratar a la figura como una malla de puntos discretos; para nuestra figura hemos considerado adecuado tomar al punto ubicado en el extremo superior izquierdo como el punto de coordenadas (1,1) al cual denominaremos como V1,

de igual manera se va dando denominaciones a cada punto coordenado de forma esquemática o secuencial; como se observa en la siguiente figura:

→ Ahora procedemos a obtener las ecuaciones correspondientes a cada nodo, mediante la ecuación definida con anterioridad:

Nodo 1:

Nodo 2:

Nodo 3:

Nodo 4:

Nodo 5:

Nodo 6:

Nodo 7:

Nodo 8:

Nodo 9:

3Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Nodo 10:

Nodo 11:

Nodo 12:

Nodo 13:

Nodo 14:

Nodo 15:

Nodo 16:

Nodo 17:

Nodo 18:

Nodo 19:

Nodo 20:

Nodo 21:

Nodo 22:

Nodo 23:

Nodo 24:

Nodo 25:

Nodo 26:

Nodo 27:

Nodo 28:

Nodo 29:

Nodo 30:

Nodo 31:

Nodo 32:

Nodo 33:

Nodo 34:

Nodo 35:

Nodo 36:

Nodo 37:

Nodo 38:

Nodo 39:

Nodo 40:

Nodo 41:

Nodo 42:

Nodo 43:

Nodo 44:

Nodo 45:

4Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Nodo 46:

Nodo 47:

Nodo 48:

Nodo 49:

Nodo 50:

Nodo 51:

Nodo 52:

Nodo 53:

Nodo 54:

Nodo 55:

Nodo 56:

Nodo 57:

Nodo 58:

Nodo 59:

Nodo 60:

Nodo 61:

Nodo 62:

Nodo 63:

Nodo 64:

Nodo 65:

Nodo 66:

Nodo 67:

Nodo 68:

Nodo 69:

Nodo 70:

Nodo 71:

Nodo 72:

Nodo 73:

Nodo 74:

Nodo 75:

Nodo 76:

Nodo 77:

Nodo 78:

Nodo 79:

Nodo 80:

Nodo 81:

5Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Nodo 82:

Nodo 83:

Nodo 84:

→ Entonces armamos el sistema de matrices Ax=BComo el sistema de matriz es de 84x84; realizamos un programa en matlab que nos permita obtener las soluciones de forma inmediata empleado el método de Eliminación de Gauss.

Seudocódigo del programa en matlab.

disp('Solucion Numerica de la Ecuacion de Laplace');ls;A = xlsread('Laplace.xlsx'); %Importamos la matriz de Coeficientes desde ExcelB = xlsread('Laplace.xlsx',2); %Importamos la matriz de Terminos Independientes desde Excel, Hoja 2[n,m] = size(A);C = [A,B]; disp('La Matriz resultante es: '); %Matriz Aumentadadisp(C); for k=1:(n-1) %Eliminacion hacia Abajo for i=(k+1):n m(i,k)= C(i,k)/C(k,k); for j=k:(n+1) C(i,j)=(C(i,j)-(m(i,k)*C(k,j))); end endend

for i=n:-1:1 %Sustitucion hacia Arriba s = 0; for b = (i+1):n s = s + (C(i,b)*X(b)); end X(i) = (C(i,n+1)-s)/(C(i,i));enddisp('Matriz de Soluciones');disp(X); %Soluciones disp('Las soluciones son: '); %Imprimimos las Soluciones Vfor i=1:n Xi = X(1,n); fprintf('\nV%g', i); disp(X(i));end

→ Con lo cual obtuvimos los siguientes resultados:

V1 = 103.1692V29 = 66.5954

V57 = 113.9050

V2 = 95.3165V30 = 50.7229

V58 = 108.6436

V3 = 90.8177V31 = 56.8711

V59 = 92.0812

V4 = 89.2299V32 = 80.6902

V60 = 74.5548

V5 = 89.3010V33 = 98.6118

V61 = 60.5338

V6 = 88.7244V34 = 84.5878

V62 = 59.8298

V7 = 86.6095V35 = 74.9719

V63 = 70.8871

V8 = 83.1525V36 = 76.1645

V64 = 85.1911

V9 = 79.9485V37 = 67.6837

V65 = 107.3954

V10 = 80.8699V38 = 50.2442

V66 = 83.0343

V11 = 86.4455V39 = 55.0933

V67 = 74.5144

V12 = 93.2115V40 = 79.4892

V68 = 87.7041

V13 = 97.3603V41 = 110.8664

V69 = 114.4660

V14 = 87.2791V42 = 102.0243

V70 = 90.1870

V15 = 78.7244V43 = 92.1919

V71 = 79.4665

V16 = 76.8010V44 = 89.7921

V72 = 91.1109

V17 = 79.2495V45 = 91.8143

V73 = 120.2817

V18 = 78.9872V46 = 88.5883

V74 = 103.2477

V19 = 74.5610V47 = 77.7308

V75 = 89.1517

V20 = 66.0520

V48 = 62.5701

V76 = 86.5384

V21 = 55.7715V49 = 47.7506

V77 = 92.2408

V22 = 57.0855V50 = 47.8984

V78 = 97.2728

V23 = 71.7007V51 = 64.0130

V79 = 123.4130

V24 = 86.4006V52 = 82.1734

V80 = 113.3704

V25 = 78.9930V53 = 122.8294

V81 = 106.8208

V26 = 77.7150V54 = 120.4513

V82 = 104.7611

6Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Curvas de nivel

Líneas de Flujo

7Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Superficies Equipotenciales

8Universidad Politécnica Salesiana. Teoría Electromagnética

Tabla de potenciales en porcentaje según la posición cartesiana.

 y/x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 130 0 0 0 0 0 0 120 120 120 120 120 120 120 1201 0 0 0 0 0 0 140 123,41 113,37 106,82 104,76 105,69 105,74 1002 0 0 0 0 0 0 140 120,28 103,25 89,15 86,54 92,24 97,27 1003 0 0 0 0 0 0 140 114,47 90,19 60,00 60,00 79,47 91,11 1004 160 140 140 140 140 140 140 107,40 83,03 60,00 60,00 74,51 87,70 1005 120 122,8 120,5 117,0 115,2 113,9 108,6 92,1 74,6 60,5 59,8 70,9 85,2 1006 120 110,9 102,0 92,2 89,8 91,8 88,6 77,7 62,6 47,8 47,9 64,0 82,2 1007 120 98,6 84,6 60,0 60,0 75,0 76,2 67,7 50,2 20,0 20,0 55,1 79,5 1008 120 79,0 77,7 60,0 60,0 71,9 73,4 66,6 50,7 20,0 20,0 56,9 80,7 1009 120 97,4 87,3 78,7 76,8 79,2 79,0 74,6 66,1 55,8 57,1 71,7 86,4 10010 120 103,2 95,3 90,8 89,2 89,3 88,7 86,6 83,2 79,9 80,9 86,4 93,2 100

11 220 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0

50

100

150

200

250

0246810

Potenciales representación porcentual

01234567891011

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5. Conclusiones

Luego de la realización de este proyecto podemos concluir que:

El proyecto en sí fue algo tedioso, específicamente al momento de plantear las ecuaciones para los puntos, lo cual fue un proceso sencillo, pro que tomó tiempo, también al momento de armar la matriz en Excel.

Es bastante conveniente pasar las ecuaciones a una hoja de cálculo en Excel para de allí poder importar al programa en matlab directamente y mandar a ejecutar para una rápida obtención de las soluciones.

Podemos constatar que los potenciales obtenidos nos ayudan a identificar la manera en que está distribuido el mismo sobre la región.

Si se hubiese tomado mayor número de divisiones, el cálculo hubiera resultado mucho mejor, pero también más tedioso, sin embargo los resultados obtenidos fueron suficientes para establecer las líneas de flujo y las superficies equipotenciales, lo cual era el objetivo d este proyecto.

6. Referencias

[1] APPLIED NUMERICAL METHODS USING MATLAB, Won Young Yang.

[2] CLASSICAL ELECTRODYNAMICS, John Davis Jackson, John Wiley & Sons, Inc., Publication