Aliran Pythagoras

diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Sejarah Matematika

Dosen Pengampu : Karso, Dr., H., M. M.Pd

Aan Hasanah, Dr., Hj., M.Pd.

Randi Permadi NIM 1305190

Susi Sumiati NIM 1307112

Wiji Lestari NIM 1305304

Yulia Yolanda NIM 1305426

Zahratul Ulya NIM 1301042

DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2015

1

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Swt yang telah

memberikan limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga kami diberi kemudahan

untuk menyelesaikan makalah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada

junjungan kita Nabi Muhammad Saw.

Makalah ini kami tulis dalam rangka memenuhi salah satu tugas mata kuliah

Sejarah Matematika. Selain itu, pembuatan makalah ini juga untuk menambah

pengetahuan dan wawasan baik bagi kami maupun bagi pembaca sehingga kita

dapat lebih mengenal matematika dari sisi perjalanan sejarahnya.

Makalah ini membahas tentang sejarah salah satu tokoh besar dalam

matematika yaitu Pythagoras. Pembahasannya mencakup sejarah hidup

Pythagoras baik sebagai filsuf maupun matematikawan, pembuktian teorema

Pythagoras, geometri Pythagoras, aliran dan ajaran Pythagoras. Ucapan

terimakasih kami sampaikan kepada dosen sejarah matematika Bapak Drs. H.

Karso, M.M.Pd. dan Bapak Dr. Hj. Aan Hasanah, M.Pd.

Tak lupa juga kami ucapkan terimakasih kepada pihak - pihak yang telah

membantu hingga makalah ini dapat kami selesaikan.

Kami menyadari dalam penulisan makalah ini, masih banyak terdapat

kekurangan. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati kami mohon kritik

dan saran dari pembaca demi kesempurnaan penulisan makalah berikutnya.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk kita semua.

Bandung, Maret 2015

Kelompok 3

2

DAFTAR ISI

Halaman

KATAPENGANTAR......................................................................................... i

DAFTAR ISI....................................................................................................... ii

DAFTAR GAMBAR.......................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang............................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah.......................................................................... 3

1.3 Tujuan Penulisan............................................................................ 3

1.4 Manfaat Penulisan.......................................................................... 3

BAB II PEMBAHASAN

A. Sejarah Hidup Pythagoras.............................................................. 5

B. Pythagoras Dalam Filsafat............................................................. 11

C. Pythagoras Dalam Matematika...................................................... 18

D. Aliran dan Ajaran Pythagoras........................................................ 28

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan.................................................................................... 36

B. Saran.............................................................................................. 37

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................... 38

LAMPIRAN (POWER POINT)......................................................................... 39

3

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Konstruksi Bukti Teorema Pythagoras............................................. 23

Gambar 2. Ilustrasi Bukti Teorema Pythagoras oleh Yanney & Calderhead..... 24

Gambar 3. Empat Segitiga Kongruen................................................................. 24

Gambar 4. Persegi dengan Sisi c......................................................................... 25

Gambar 5. Golden Section.................................................................................. 26

Gambar 6. Konstruksi Golden Section untuk Pentagram.................................... 26

Gambar 7. Konstruksi Pentagram Pythagoras.................................................... 27

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

4

Matematika sering disebut sebagai ratu dari ilmu pengetahuan. Hal ini

karena matematika memegang peranan penting terhadap ilmu–ilmu lainnya.

Perjalanan matematika dari sebelum masehi hingga sekarang sangatlah

panjang. Perjalanan panjang matematika ini menjadi sejarah yang perlu untuk

kita diketahui, baik diketahui oleh siswa–siswi yang masih duduk di bangku

sekolah, mahasiswa di perguruan tinggi, guru, maupun masyarakat.

Bagi siapa saja yang pernah duduk di bangku sekolah, walaupun

hanya sampai sekolah dasar pasti akan mempelajari matematika. Selama kita

mengikuti pelajaran matematika, pasti ada bab yang membahas tentang

geometri seperti segitiga, persegi, persegi panjang dan sebagainya. Disaat kita

mempelajari geometri terutama segitiga pasti kita akan bertemu dengan

sebuah teorema terkenal yaitu teorema Pythagoras. Bunyinya, jumlah kuadrat

dari dua sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat dari sisi ketiga atau sisi

miring yang disebut hypotenusa. Rumus sederhananya yaitu, a2+b2=c2. Kita

dapat hapal diluar kepala mengenai teorema ini dan menggunakannya untuk

menyelesaikan persoalan-persoalan geometri yang menggunakan teorema ini

dalam pembahasannya.

Teorema Pythagoras ini biasanya juga sering disebut dalil Pythagoras.

Dalil Pythagoras inilah yang paling banyak diketahui orang jika disebutkan

nama besar Pythagoras. Padahal teorema Pythagoras hanyalah salah satu dari

ribuan dalil-dalil yang dihasilkan dari pemikiran Pythagoras beserta para

pengikutnya. Pythagoras terkenal sebagai Bapak Matematika. Pythagoras

selama hidupnya tidak berkutat pada matematika secara khusus. Ia hanya

5

suka mengolah dan mengobservasi tentang angka. Sebenarnya, Pythagoras

adalah seorang filsuf bukanlah matematikawan. Setiap mahasiswa filsafat

atau siapa saja yang mempelajari sejarah filsafat Yunani Kuno pasti akan

bertemu dengan tokoh satu ini.

Walaupun Pythagoras adalah seorang filsuf dan terkenal di dunia

filsafat dengan filsafat-filsafat yang ia kemukakannya tetapi namanya begitu

terkenal di seantero dunia akan teorema Pythagoras yang sangat bermanfaat

dalam dunia matematika. Apa sebenarnya yang membuat Pythagoras begitu

terkenal dalam dunia matematika padahal ia tidak mengabdikan hidupnya di

dalam dunia matematika dan ia adalah seorang filsuf? Siapakah

sesungguhnya Pythagoras? Apa andil yang telah ia berikan pada ilmuan

matematika sehingga namanya begitu dikenang?

Perjalanan hidup Pythagoras sebagai tokoh yang sangat terkenal

dalam matematika dan filsafat ini cukuplah panjang. Tokoh besar ini banyak

memberikan konstribusi–konstribusi dalam ilmu pengetahuan, khususnya

matematika sehingga kisah–kisah perjalanan hidupnya menarik untuk

diketahui dan dipelajari. Oleh karena itu penulis tertarik untuk menulis

makalah ini yang diberi judul “Matematika Aliran Pythagoras”.

B. Rumusan Masalah

Agar pembahasan pada makalah ini dapat fokus dan tertuju dengan

jelas, maka rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut:

a. Bagaimana sejarah hidup Pythagoras?

6

b. Apa saja kontribusi Pythagoras dalam Matematika?

c. Bagaimana peran aliran dan ajaran Pythagoras?

C. Tujuan Penulisan

Setiap kegiatan yang dilakukan pasti memiliki tujuan. Begitu juga

dalam penulisan makalah ini memiliki tujuan yang diharapkan dapat tercapai.

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui:

1. Sejarah hidup Pythagoras.

2. Kontribusi Pythagoras dalam matematika.

3. Peran aliran dan ajaran Pythagoras.

D. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang diharapkan dapat diperoleh dengan disusunnya

makalah ini, yaitu:

1. Untuk penyusun adalah sebagai berikut:

a. Penyusun memiliki pengetahuan mengenai sejarah singkat

Pythagoras.

b. Penyusun dapat berkontribusi aktif dalam memberikan informasi

mengenai sejarah singkat Pythagoras.

2. Untuk pembaca adalah sebagai berikut:

a. Memperluas wawasan dan pengetahuan mengenai sejarah singkat

Pythagoras.

b. Sebagai referensi untuk penulisan makalah selanjutnya.

7

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sejarah Hidup Pythagoras

8

Pythagoras lahir pada tahun 580 SM (Sebelum Masehi) di Pulau Samos,

Yunani. Dia berayah seorang pedagang kaya bernama Mnesarchus dari kota

Tirus, Phoenicia, sekarang bernama kota Sur, masuk wilayah Libanon.

Mnesarchus dikenal sangat dermawan pada warga Samos sehingga mendapat

anugrah sebagai warga kehormatan kota Samos.

Ibu Pythagoras berdarah asli Samos, bernama Pythais yang dinikahi

Mnesarchus untuk menyempurnakan statusnya sebagai warga kota Samos.

Kelahiran Pythagoras yang kelak akan menjadi tokoh tersohor sepanjang

zaman telah dinujumkan jauh hari oleh seorang pendeta Yunani di kuil

Apollo, kota Delphi. Ketika itu Mnesarchus yang baru menikahi Pythais

sedang melakukan perjalanan bisnis dan singgah di kuil Apollo dengan

membawa persembahan. Begitu tiba di kuil, Mnesarchus langsung disambut

sang pendeta. “Ke sinilah, hai orang Phoenicia,” kata pendeta. Mnesarchus

terheran-heran.“Bagaimana anda mengetahui saya?” tanyanya penuh

ketakjuban. “Sudah tugasku menerima wahyu dari Yang di Atas. Kau akan

dianugerahi seorang anak yang istimewa. Rawatlah baik-baik anakmu. Bagi

bangsa Yunani, dia akan penuh hikmat. Bagi umat manusia keseluruhan, dia

akan membawa pada pengetahuan. Rawatlah dia baik-baik dan jagalah

anakmu sepenuh hati,” ujar pendeta itu panjang lebar.

Mnesarchus mendengarkan dengan penuh takzim dan mengucapkan

terima kasih atas ramalan baiknya yang menyenangkan hati.Apa yang

dinujumkan itu benar-benar menjadi kenyataan. Mnesarchus menemukan

9

tanda khusus pada paha bayi Pythagoras yang dia yakini sebagai petunjuk

adanya keistimewaan.

Masa kecil Pythagoras penuh kebahagiaan dan semua kebutuhannya

tercukupi dengan baik, mengingat ayahnya seorang saudagar kaya.

Pythagoras kecil juga banyak melakukan perjalanan ke berbagai kota

mengikuti sang ayahanda.

Pengalaman mengunjungi banyak kota perdagangan itu menyenangkan

hati dan memacu keingintahuannya untuk lebih mendalami berbagai macam

pengetahuan. Oleh ayahnya, Pythagoras kecil lantas diserahkan pada

Creophilus untuk diberikan pendidikan secara khusus. Guru Creophilus

mengakui bahwa Pythagoras mempunyai pesona dari surga dan memiliki

kecerdasan luar biasa. Sebagaimana putra-putra Yunani terdidik, Pythagoras

pun mempelajari karya-karya sastra, puisi dan bermain musik.

Setelah dinyatakan lulus dari Guru Creophilus, Pythagoras selanjutnya

berguru pada Pherekydes. Guru kedua itu juga memberikan banyak bekal

pada Pythagoras mengenai filsafat, mistik dan mitologi. Pherekydes

merupakan guru yang hebat dan selalu dikelilingi pemuda-pemuda yang ingin

mempelajari berbagai hal.

Pythagoras sendiri memperoleh pelajaran dari Pherekydes secara privat

alias khusus. Dari Pherekydes itulah Pythagoras memperoleh ajaran mengenai

hubungan jiwa dan tubuh. Pherekydes mengatakan, “Ada lubang-lubang di

tubuh yang menyebabkan jiwa bisa berpindah. Karenanya wahai Pythagoras,

belajarlah memurnikan jiwa dengan hidup seimbang”.

10

Dari ajaran itulah Pythagoras memperoleh inspirasi awal mengenai

keharusan berprilaku bersih agar jiwa terjaga kesuciannya. Namun menjelang

usia remaja, Pythagoras terpukul jiwanya. Ayahnya, Mnesarchus meninggal

dunia karena sakit.

Sepeninggal ayahnya, Pythagoras bangkit kembali untuk tetap terus

tekun belajar dan melupakan segala duka laranya. Dari guru Pherekydes,

Pythagoras melanjutkan berguru ke berbagai tempat yang dipandang akan

menambah pengetahuannya lebih banyak lagi. Pythagoras dirujuk untuk

menemui Guru Thales. Pythagoras cukup beruntung dapat diterima secara

pribadi oleh Guru Thales. Kendati sehari-hari tidak lagi bertugas mengajar,

namun Thales bersedia memberikan pelajaran pada Pythagoras secara khusus,

selain juga tetap mengikuti pelajaran yang diberikan Anaximander. “Jadi kau

ini dari Samos untuk belajar matematika. Dengan senang hati aku akan

mengajarimu. Matematika memang menyangkut kebenaran hakiki. Tak ada

yang lepas dari matematika.Setiap tarikan nafasmu, bahkan setiap detak

jantungmu adalah irama matematika,” papar Guru Thales.

Dari Anaximander didapatlah pelajaran mengenai geometri dan

kosmologi. “Geometri selalu menghasilkan gedung-gedung megah karena

geometri sendiri pun begitu megah,” ujar Anaximander kepada Pythagoras.

Dari Anaximander pulalah Pythagoras belajar mengenai pengukuran-

pengukuran geometris.

Selanjutnya oleh kedua filsuf itu, Pythagoras dianjurkan memperdalam

ilmunya dengan belajar ke Mesir. “Sudah tak ada yang bisa kuajarkan

11

padamu. Untuk mendalaminya lebih jauh, pergilah ke Mesir, tempat segala

sesuatu berasal. Baik itu teologi, matematika, geometri dan kimia, semuanya

dapat dilacak di Mesir. Janganlah sekali-kali minum anggur, hindari makan

daging serta jauhi sifat rakus dan tamak agar jiwamu selalu bersih,” nasihat

Thales pada kesempatan terakhir pelajarannya. Usia Pythagoras pada waktu

itu sudah 18 tahun.

Pythagoras banyak mendapatkan ilmu di Mesir. Di negeri lahirnya para

nabi itu, Pythagoras juga belajar ritus agama dan ketuhanan. Banyak cara

hidup pendeta Mesir kelak diadopsi Pythagoras dan diajarkan kepada para

pengikutnya, seperti hidup vegetarian dan menolak menggunakan pakaian

yang berasal dari kulit binatang.

Selama bermukim di Mesir, Pythagoras menyaksikan terjadinya

peristiwa peperangan antara Mesir dan Persia. Akibat kekalahan perang

melawan Persia itu, orang-orang Mesir dibuang ke Babilonia sebagai tawanan

perang. Akibat kekalahan perang melawan Persia itu, orang-orang Mesir

dibuang ke Babilonia sebagai tawanan perang. Selama masa pembuangan itu

Pythagoras juga mendapat tambahan ilmu aritmatika dan musik.Oleh pendeta

Majusi, Pythagoras disarankan pergi ke India.

Di Hindustan yang kala itu dikuasai bangsa Arya, Pythagoras

terkagum-kagum menyaksikan kemajuan peradaban negeri itu.Pada masa itu

Yunani masih di belakang peradaban bangsa-bangsa timur. Eropa secara

keseluruhan masih hutan belantara. Kepada para pendeta Hindustan itu

Pythagoras mempelajari konsep mengenai penyatuan jiwa. Dari ajaran para

12

pendeta Hindustan itulah tampaknya Pythagoras mengembangkan konsep

filsafat, bahwa jiwa kita semua akan menyatu kembali dalam satu kesatuan

kepada Yang Maha Suci. Pada waktu Pythagoras mengunjungi Hindustan,

selain adanya agama Hindu yang sudah mengakar, berkembang pula ajaran

baru yang disebarluaskan oleh Sidharta Gautama yang terkenal dengan nama

Budha. Bagi Pythagoras, ajaran Hindu mengenai kasta dalam struktur

masyarakat kurang memuaskan batinnya.

Pada tahun 520 SM Pythagoras kembali ke negeri leluhurnya di Pulau

Samos. Di Samos Pythagoras mencoba mendirikan sekolah yang disebutnya

Semicircle. Dia mengajarkan kebajikan-kebajikan untuk kembali menata kota

Samos. “Harus ada hukum yang dijunjung. Jangan berbuat jahat

lagi.Kebaikan dan keadilan harus ditegakkan,” seru Pythagoras.

Namun tampaknya ajakan Pythagoras tidak memperoleh sambutan

hangat dari warga Samos. Sebagian besar penduduk memilih hidup berfoya-

foya dan bersenang-senang dalam kehancuran. Karena itu Pythagoras kembali

meninggalkan kampung halamannya pada tahun 518 SM. Dia hanya bertahan

sekitar dua tahun saja. Ada kelompok masyarakat yang sangat membencinya.

Bahkan ada yang menyerang Pythagoras sebagai antek Persia atau antek

Mesir. Memang pengaruh Mesir maupun alam pikiran timur sudah merasuk

dalam diri Pythagoras.

Sesudah banyak melakukan pengembaraan dan terjaminnya keamanan

diri beserta para pengikut, Pythagoras kemudian memutuskan tinggal di

Kroton, Italia Selatan. Di situlah dia bersama para pengikutnya mendirikan

13

perguruan atau semacam pesantren. Mereka bersumpah setia untuk sehidup

semati tinggal bersama sebagai satu komunitas.

Pythagoras menikah pada usia yang sudah tua, sekitar enampuluh

empat tahun. Wanita yang dinikahinya masih berusia muda belia dan menjadi

pengikut ajarannya. Dari pernikahannya, Pythagoras memiliki tujuh orang

anak.

Akhir kehidupan Pythagoras dicatat sejarah berlangsung amat dramatis.

Musuh-musuh Pythagoras sering menyatroni perguruannya. Bahkan

kemudian muncul penggalangan mengusir Pythagoras bersama seluruh

pengikut. Dengan berat hati mereka meninggalkan Kroton menuju

Metapontion, masih di kawasan Italia. Di Metapontion itulah Pythagoras

mempertahankan padepokannya sampai akhir.

Mengenai kematian Pythagoras, banyak sumber yang menceritakannya

dengan versi yang berbeda–beda. Kematian Pythagoras ini amat misterius

karena tidak dapat diungkap secara pasti apa dan bagaimana duduk perkara

sesungguhnya hingga dia dibunuh demikian kejinya. Ada versi yang

menyebutkan bahwa Pythagoras dibunuh oleh orang-orang yang diduga

suruhan penguasa Yunani. Begitulah legenda menyebutkan Pythagoras

memang telah diincar nyawanya sejak masih usia muda di kampung halaman.

Usianya ketika meninggal berkisar sekitar delapan puluh tahun. Pemakaman

jasadnya diiringi ratapan para pengikut setia.

Versi lain menceritakan bahwa para pengikut Pythagoras menyatakan

bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka

14

menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia

mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya

dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh

kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah

terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang

membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean)

satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha

melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu

ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil

keputusan bersama dan diputuskan bahwa Pythagoras dihukum pancung dan

dipenggal kepalanya di muka umum.

B. Pythagoras Dalam Filsafat

1. Filsafat Yunani

Filsafat Yunani bukanlah hasil ciptaan filosof-filosof Yunani

semata-mata, tetapi lebih tepat dikatakan sebagai saingan (pilihan) dari

kebudayaan Yunani sebelum masa berfilsafat, karena filsafat di Yunani

mula-mula dimaksudkan untuk melepaskan diri dari kekuasaan

golongan-golongan agama bersahaja dengan jalan menguji ajaran-

ajarannya. Apa yang dapat dibenarkan oleh akal pikiran dinamakan

filsafat, dan apa yang tidak dapat diterima oleh akal pikiran dimasukkan

dalam “cerita-cerita agama”. Ciri dari pemikiran filsafat Yunani

diantaranya yaitu:

15

a. Menurut filsafat Yunani bukan hanya sebab yang pertama (first

cause) yang mempengaruhi alam, tetapi juga ada kekuatan-kekuatan

lain yang ikut serta mempengaruhinya yaitu akal-akal yang

menggerakkan benda-benda langit. Demikian pula “Api Heractilus”

yang dianggap sebagai asal kejadian alam, boleh jadi karena

pengaruh pemujaan api yang dikenal oleh agama-agama Iran pada

umumnya.

b. Ciri kedua dari pemikiran filsafat Yunani ialah ketidak-selarasan,

karena filsafat ini mula-mula terdiri dari bermacam-macam soal

yang tidak selaras, hingga orang-orang yang mempunyai pemikiran

filsafat yang sistematis, seperti Plato dan Aristoteles, juga tidak

terhindar dari ketidak-selarasan ini dalam pemikirannya. Mereka

masih terpengaruh oleh pikiran-pikiran orang sebelumnya, dengan

segala macam perbedaannya dan yang mengandung ketidak-

selarasan pula. Misalnya, Teori Ide dari Plato merupakan usaha

pemaduan antara dua pemikiran yang berlawanan. Heraclitus dan

pengikut-pengikutnya mengatakan bahwa segala sesuatu selalu

berubah (perpetual flux, panta rhei) dan pendapat ini telah dirubah

oleh Pythagoras, menjadi ajaran yang mengatakan bahwa

“Perorangan menjadi ukuran segala sesuatu” (man is the measure of

all things).

Aliran-aliran dalam filsafat Yunani mencakup:

16

a. Aliran Tabii (natural philosophy) dengan Democritus sebagai

tokohnya dan filosofi-filosoflonia, yang menghargai alam dan wujud

benda setinggi-tingginya. Karena itu menurut aliran ini alam itu

abadi.

b. Aliran Ketuhanan yang mengakui zat-zat yang metafisik, diwakili

oleh aliran Elea dan Socrates, yang mengatakan bahwa sumber alam

indrawi adalah sesuatu yang berada diluarnya.

c. Aliran Mistik dan Pythagoras sebagai tokohnya, yang bermaksud

memperkecil atau mengingkari nilai alam indrawi, dan oleh karena

itu aliran ini menganjurkan kepada manusia untuk meninggalkannya,

serta menuju kepada alam yang penuh kesempurnaan, kebahagiaan

dan kebebasan mutlak, sesudah terikat oleh benda alam ini.

d. Aliran Kemanusiaan yang menghargai manusia setinggi-tingginya

dan mengakui kesanggupannya untuk mencapai pengetahuan, serta

menganggap manusia sebagai ukuran kebenaran. Aliran ini diwakili

oleh Socrates dan golongan sofis meskipun ada perbedaan antara dia

dengan mereka.

2. Filsafat Pythagoras

Pythagoras mengajarkan pandangan hidupnya kepada siapa saja

yang mau mendengarkan. “Saudara-saudaraku, kebenaran hanya bisa

didapat dengan jiwa yang suci dan tulus. Alam menuntut matematika

yang harmonis. Jiwa juga harus harmonis dengan alam,” Pythagoras

berfilsafat di setiap kesempatan yang ada. Pentingnya menyampaikan

17

kebenaran dalam segala situasi itu merupakan inspirasi yang didapat

Pythagoras dari orang-orang Majusi ketika hidup dalam pembuangan di

Babilonia. Pelan namun pasti, jumlah orang yang bersimpati dengan

ajarannya pun terus bertambah. Pythagoras mulai dikenal sebagai orang

bijaksana. Dia mengajarkan pada setiap orang untuk selalu menjaga

kesucian jiwa. “Hendaklah jangan saling membunuh. Hapuskan

perbudakan, jauhkan peperangan, hindari bermewah-mewah dan

hiduplah sederhana,” tuturnya lemah lembut.

Thales menyatakan bahwa “semua adalah air”. Sementara itu,

Pythagoras mengajarkan bahwa “semua adalah bilangan”. Pythagoras

terkenal dengan ajaran penuhanan terhadap bilangan atau angka.

Pythagoras dengan tanpa ragu-ragu mengatakan bahwa Tuhan itu

adalah angka. Hal ini menurut anggapan Pythagoras karena setiap

kebajikan pasti dapat dinyatakan dengan suatu keakuratan. Sehingga

suatu kebajikan pasti dapat dihitung letaknya di antara dua posisi

ekstrem dalam matematika. Prinsip tersebut diilhami oleh ajaran filsafat

Yunani Purba yang mengatakan bahwa kebajikan berada di posisi

antara ekstrem kanan dan ekstrem kiri. Menurut Pythagoras sesuatu

yang tidak dihitung atau tidak dapat dihitung berarti suatu kejahatan.

Oleh karena itu Pythagoras pun berkata bahwa segala sesuatu adalah

bilangan.

18

Pythagoras memberi tempat yang istimewa pada bilangan 10. Dia

menyebut bilangan ini “bilangan yang diagungkan”. Dia tertarik dengan

bilangan tersebut dengan alasan-alasan berikut:

a. Angka tersebut digunakan oleh orang Yunani kuno sebagai basis

perhitungan.

b. Sebagai jumlahan empat bilangan bulat positif pertama, hal ini

merepresentasikan dimensi tiga, dengan 1 untuk titik, 2 untuk garis,

3 untuk bidang, dan 4 untuk ruang.

c. Ada sepuluh titik dalam bintang Pythagoras titik-lima.

Selama masa hidupnya, ajaran filsafat angka Pythagoras

memperoleh tanggapan bermacam-macam antara yang setuju maupun

yang tidak setuju, bahkan memusuhinya. Meskipun menimbulkan pro-

kontra, Pythagoras terus mendalami kajian filsafat angka dengan tekun

dan tidak pernah gentar karena berlandaskan pada kebersihan jiwa dan

kejernihan akal budi.

Sebagai filsuf, cara Pythagoras bekerja merumuskan dalil-dalil

filsafatnya selalu berpijak pada ketinggian moral budi manusia. Sistem

filsafat Pythagoras yang menyelaraskan ilmu-ilmu pasti seperti

matematika, ilmu alam maupun astronomi dengan kepercayaan mistis-

religius. Bertrand Russell (1872-1969) menulis, “Saya tak tahu siapa

yang paling berpengaruh sama seperti Pythagoras dalam dunia

pemikiran. Saya katakan hal ini, sebab apa yang tampak sebagai

Platonisme, ternyata, bila dianalisa dalam hakikatnya adalah ajaran

19

Pythagoras. Konsepsi dunia dari dunia abadi, yang nyata bagi intelek,

tapi tidak dirasakan, adalah dari dia (yakni Pythagoras)”.

Sistem filsafat model Pythagoras dengan penuh keharmonisan

antara akal budi dan tafsir metafisis itulah yang sangat membedakan

dengan metafisika Timur atau Asia-Afrika yang jauh lebih mistis dan

sulit diselaraskan dengan rasio logis. Pada Pythagoras dan para

pengikutnya beserta para filsuf yang terinspirasi oleh sistem filsafatnya,

metafisika angka-angka Pythagoras menjadi lengkap ilmiah.

Walau tidak mutlak seluruhnya adalah benar, namun niscaya ada

kebenaran-kebenaran yang telah teruji dalam tempaan zaman. Filsafat

angka Pythagoras menyimpan keajaiban. Selain sebagai seorang filsuf,

Pythagoras adalah juga seorang agamawan yang mengajarkan adanya

reinkarnasi, vegeterianisme dan penyiksaan terhadap diri sendiri.

3. Pengaruh Filsafat Pythagoras dalam Matematika

Pengaruh ajaran filsafat Pythagoras sampai pula kepada sebagian

kaum muslimin yang kurang pengetahuan akan Islam. Misalnya dalam

kehidupan mayoritas masyarakat muslim masih banyak yang

menganggap beberapa angka-angka tertentu keramat, contohnya ada

yang menganggap keramat bilangan 7, 13, 40, dll. Mereka meyakini

bahwa bilangan – bilangan tersebut dapat memberikan pengaruh dalam

kehidupan, baik pengaruh positif atau pengaruh negatif.

Di Indonesia khususnya, sebagian masyarakatnya masih

mempercayai perhitungan hari baik dan buruk ketika hendak

20

melaksanakan suatu hajat. Semua hari (menurut mereka) memiliki kode

bilangan-bilangan tertentu. Misalnya ada orang yang hendak

menyelenggarakan sebuah hajatan pernikahan. Mereka akan menghitung

bilangan dari hari kelahiran calon mempelai laki-laki dan calon mempelai

perempuan.

Bila penjumlahan dari bilangan-bilangan hari kelahiran kedua

mempelai menghasilkan bilangan ‘sial’ atau ‘mati’ mereka pun lantas

membatalkan rencana pernikahan tersebut. Andaikata hendak diteruskan,

maka mereka mesti memberikan sesaji untuk menolak bala dari bilangan

jelek tersebut. Bila bilangan yang dihasilkan adalah bilangan ‘baik’ atau

‘mujur’, mereka masih pula melakukan penghitungan tentang hari ‘baik’

bagi pelaksanaan hajatan pernikahan tadi. Di beberapa agama lain,

seperti agama Budha, Tao, Lama, dan aliran-aliran kepercayaan

keyakinan terhadap bilangan-bilangan ini memang begitu mendominasi

kehidupan mereka. Segala sesuatu dihitung dengan bilangan dan sudut,

sehingga lahirlah teori Feng Sui atau Hong Sui. Keyakinan kepada

bilangan-bilangan ini melahirkan pula model ramalan nasib dengan

SHIO, yaitu perhitungan nasib seseorang berdasarkan tanggal, bulan dan

tahun yang juga disimbolkan dengan bilangan-bilangan.

Pythagoras percaya bahwa bilangan bukan unsur seperti udara dan

air yang banyak dipercaya sebagai unsur semua benda. Pandangan

Pythagoras mengungkapkan bahwa harmoni terjadi berkat bilangan. Bila

segala hal adalah bilangan, maka hal ini tidak saja berarti bahwa

21

segalanya bisa dihitung, dinilai dan diukur dengan bilangan dalam

hubungan yang proporsional dan teratur, melainkan berkat bilangan-

bilangan itu segala sesuatu menjadi harmonis dan seimbang. Dengan kata

lain tata tertib terjadi melalui bilangan-bilangan.

C. Pythagoras dalam Matematika

Nama Phythagoras sudah tidak asing lagi dalam dunia ilmu

pengetahuan, khususnya ilmu pasti. Dia adalah sosok yang sangat penting

dalam pengembangan matematika. Dua filsuf lain yang mempengaruhi

Pythagoras, dan untuk memperkenalkan dia untuk ide-ide matematika, adalah

Thales dan muridnya Anaximander yang keduanya tinggal di Miletus.

Dikatakan bahwa Pythagoras mengunjungi Thales di Miletus ketika ia berusia

antara 18 dan 20 tahun. Namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru

adalah Pherekydes.

Pythagoras berpendapat bahwa segala sesuatu adalah bilangan-

bilangan. Betapa pun luasnya semesta ini, unsur-unsur dan setiap perubahan

di dalamnya dapat ditentukan dengan satuan-satuan bilangan. Mazhab

Pythagorean berpandangan bahwa substansi dari segenap yang ada adalah

bilangan. Seluruh gejala alam semesta merupakan pengungkapan inderawi

dari perbandingan-perbandingan matematis. Dengan demikian bilangan

angka-angka merupakan intisari dan dasar fundamental dari segala sesuatu di

alam jagad raya semesta ini.

22

Sebagai contoh, Pythagoras yang juga dikenal sebagai musisi berbakat,

yaitu seorang pemain lira, menemukan musik terkait dengan matematika. Ini

diawali ketika Pythagoras bermain monokord (memiliki satu dawai saja).

Setiap perubahan panjang senar dengan perbandingan yang tetap (1:2; 2:3;

dan 3:4) akan menghasilkan nada yang berbeda untuk setiap perbandingan

namun kedengarannya sangat harmonis. Menurut mereka, setiap perubahan di

alam semesta ini dapat dicocokan dengan kategori-kategori matematis. Suara

dawai dengan ukuran tertentu dapat dikatakan dalam bilangan.Setiap

perubahan yang terjadi di alam semesta ini dapat dinyatakan dengan

bilangan-bilangan.

Seandainya bilangan-bilangan tidak ada, bagi manusia tidak akan ada

barang apapun yang dapat menjadi jelas, baik pada dirinya sendiri maupun

dalam hubungan dengan barang-barang lain. Bentuk, isi dan hakikat segala

apapun tidak akan pernah lepas dari angka-angka. Sifat angka-angka mustahil

mengandung ketidakbenaran.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema

Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga

siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi

siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui

sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada

Pythagoras karena dia lah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara

matematis.

23

Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup

sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan

digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras

belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama

yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu

dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri.

1. Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam

berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk

membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, dimana bentuk ini

menggabungkan geometri dan aljabar. Teoroma ini adalah sebuah

hubungan dalam Geometri Euclides diantara tiga sisi dari segi tiga siku-

siku. Hal ini menyatakan bahwa ‘jumlah dari persegi yang dibentuk dari

panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang

dibentuk dari panjang hipotenusanya’.

Secara sistematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2,

dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku

dan c mewakili panjang dari hipotenusnya (sisi miring).

a. Sejarah dari Teorema Pythagoras

“Teorema Pythagoras” dinamakan oleh ahli matematika

Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang

pertama kali memberikan bukti teoroma ini. Akan tetapi banyak

24

orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari

sebuah segitiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.

Hubungan mengenai jumlah dari kuadrat sisi segitiga siku-siku

sama dengan kuadrat sisi miring telah dikenal sejak zaman Babilonia

dan Mesir kuno, meskipun mungkin belum dinyatakan secara

eksplisit. Sekitar pertengahan tahun 4000 dalam kalender Babilonia

(sekitar tahun 1900 SM), yang sekarang dikenal sebagai Plimpton

322 , (dalam koleksi dari Columbia University, New York), terdapat

daftar kolom nomor yang menunjukkan apa yang sekarang kita sebut

Triple Pythagoras, yaitu kumpulan angka yang memenuhi persamaan

a2 + b2 = c2.

Diketahui bahwa orang Mesir menggunakan sejenis tali kusut

sebagai bantuan untuk membentuk sudut siku-siku dalam kegiatan

pembangunan gedung-gedung mereka. Tali memiliki panjang 12

knot, yang dapat dibentuk menjadi sebuah segitiga siku-siku ukuran

3-4-5, sehingga menghasilkan tepat sudut 90 derajat.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan

Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi

yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden menghipotesiskan

bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama

pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM), tablet

Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait

dengan Triple Pythagoras. Pythagoras (569-475 SM) menggunakan

25

metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir

Tomas L. Heath, tidak ada penelitian sebab dari teorema ini. Namun,

penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teoroma ke

Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas.

Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk

mencapai Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and

geometri. Sekitar 300 SM, eleman Euclid (bukti aksiomatis yang

tertua) menyajikan teoroma tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan

Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi

memiliki bukti visual dari Teoroma Pythagoras atau disebut dengan

“Gougo Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga

berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202-220 SM), Tripel

Pythagoras muncul di sembilan bab pada seni matematika seiring

dengan sebutan segitiga siku-siku. Namun, hal ini belum

dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang

menamukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena

tidak ada teks yang ditulis olehnya ditemukan. Walaupun demikian,

nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai

untuk teorema ini.

b. Bukti Teorema Pythagoras

Pembuktian berikut ini merupakan salah satu pembuktian

Teorema Pythagoras yang paling terkenal.

26

Pertama-tama, ΔABF=ΔAEC karena sisi-sudut-sisi. Perhatikan

yaitu :

AE = AB

AF = AC

∠BAF = ∠ BAC + ∠ CAF = ∠ CAB + ∠ BAE = ∠ CAE.

ΔABF memiliki alas AF dan tinggi AC. Oleh karena itu,

luasnya sama dengan lus setengah persegi dengan sisi AC. Di sisi

lain, ΔAEC memiliki alas AE dan tinggi AM, di mana M adalah titik

perpotongan dari AB dengan CL merupakan garis yang sejajar

dengan AE.

Dengan demikian daerah ΔAEC sama dengan setengah dari

persegi panjang AELM. AC² yang menyatakan kuadrat dari sisi AC

sama dengan luas persegi panjang AELM. Demikian pula SM²

merupakan kuadrat dari sisi SM yang sama dengan persegi panjang

BMLD. Akhirnya, dua persegi panjang AELM dan BMLD

membentuk persegi di AB sisi miring. Pembuktian Teorema

Pythagoras semacam ini pada dasarnya memiliki banyak variasi. B.F

27

Gambar 1. Konstruksi Bukti Teorema Pythagoras

Yanney dan J.A. Calderhead dalam Am Math Monthly, v.4, n 6/7,

(1987), 168-170 memaparkan pembuktian Teorema Pythagoras

berdasarkan ilustrasi berikut ini :

Selain itu, pembuktian semacam ini digambarkan pula oleh

Euclid dalam salah satu bukunya yang cukup terkenal. Bukti lain

dari Teorema Pythagoras yang cukup terkenal disajikan sebagai

berikut :

Dimulai dengan empat salinan dari segitiga yang

kongruen. Tiga buah segitiga masing-masing telah diputar 90°, 180°,

dan 270°. Masing-masing segitiga memiliki luas sebesar ab2 .

Tempatkan keempat segitiga tersebut tanpa rotasi tambahan sehingga

membentuk persegi dengan sisi c.

28

Gambar 2. Ilustrasi Bukti Teorema Pythagoras oleh Yanney & Calderhead

Gambar 3. Empat Segitiga Kongruen

Persegi ini memiliki lubang persegi dengan sisi (a-b). Dapat

disimpulkan luasnya (a-b)² , 2ab dari daerah dari empat segitiga 4 ab

2

, kita mendapatkan :

c ² = (a - b) ² + 2ab

= a ² - 2ab + b ² + 2ab

= a ² + b ²

2. Geometri Pythagoras

Selain Pytagoras terkenal dengan teoremanya, kontribusi-kontribusi

lain Pythagoras dalam matematika adalah sebagai berikut:

a. Berbagai teorema tentang segitiga, garis sejajar, poligon, lingkaran

bidang lengkung dan polyhedral.

b. Menyelesaikan masalah aplikasi tentang bidang.

c. Salah satu segmen garis.

Menurut Kepler, ada dua harta karun dalam geometri. Pertama

adalah Teorema Pythagoras dan yang kedua adalah pembagian sebuah

garis. Teorema Pythagoras disebut sebagai ukuran emas, dan yang

lainnya dinamakan berlian yang berharga.

29

Gambar 4. Persegi dengan Sisi c

Jika diberikan garis AC lalu dibagi menjadi empat bagian

sedemikian sehingga AP : AC = PC : AP, dimana AC adalah bagian yang

lebih panjang.

Misal AP = x dan AC = a. Maka golden section adalahxa=a−x

x .

Bila kita mengoperasikannya akan menghasilkan persamaan kuadrat

x2+ax-a2. Maka, x=−1 ±√52

a. Yang dinamakan Golden Section adalah

yang bernilai positif x=−1+√52

.

3. Pentagram Pythagoras

Pentagram Pythagoras ini menggunakan konsep dari Golden

Section yang telah dijabarkan dalam pembahasannya sebelumnya. Kita

akan mengkonstruksi Golden Section terlebih dahulu. Perhatikan ilustrasi

di bawah ini.

30

Gambar 5. Golden Section

Gambar 6. Konstruksi Golden Section untuk Pentagram

Misalkan persegi ABCD memiliki sisi a. Bagilah garis DC sama

panjang, misal di titik E, sehingga terbentuk diagonal AE. Perpanjang ED

sedemikian sehingga EF=AE. Konstruksi persegi DFGH sehingga

didapat:

|AE|2=|AD|2+|DE|2=a2+( a2 )

2

=54

a

maka,

|DH|=(√52

−12 )a=√5−1

2a

Pedoman dan aturan untuk mengkonstruksi segilima adalah

konstruksi dari segitiga sama kaki yang memiliki sudut-sudut 36o, 72o,

dan 72o. Kita mulai mengkonstruksi segilima tersebut dari garis AC.

Perhatukan ilustrasi berikut.

Bagi garis AC menjadi golden section sehingga diperoleh

PC : AC = AP : PC

AQ : AC = QC : AQ

Tarik garis tegak lurus dari titik tengah garis AC ke titik B sedemikian

sehingga AP = PB = QB = QC.

31

Gambar 7. Konstruksi Pentagram Pythagoras

Misal α = ∠PAB dan β = ∠QPB. Maka 180o – β – 2 α = 180o.

Akibatnyaα=12

β dan diperoleh (2+ 12 ) β=¿ 180o. Maka kita dapatkan

β=¿ 72o. Karena PBQ adalah segitiga sama kaki, maka QBP = 36o.

Lengkapi garis BE = AC dan garis BD = AC kemudian hubungkan

dengan sisi AE, ED, and DC. Gunakan segitiga yang sama untuk

menunjukkan bahwa semua sisi memiliki panjang yang sama.

D. Aliran dan Ajaran Pythagoras

1. Aliran Pythagoras (Kaum Pythagorean)

Kaum phytagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiran-

pemikiran Phytagoras. Semboyan mereka yang terkenal adalah “authos

epha, ipse dixit” (dia sendiri yang telah mengatakan demikian). Kaum ini

diorganisir menurut aturan-aturan hidup bersama, dan setiap orang wajib

menaatinya. Mereka menganggap filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai

jalan hidup, sarana supaya setiap orang menjadi tahir, sehingga luput dari

perpindahan jiwa terus-menerus.

Diantara pengikut-pengikut Phytagoras, ternyata berkembang dua

aliran. Yang pertama disebut akusmatikoi (akusma = apa yang telah

didengar; peraturan). Mereka mengindahkan penyucian dengan menaati

semua peraturan secara seksama. Yang kedua disebut mathematikoi

(mathesis = ilmu pengetahuan). Mereka mengutamakan ilmu

pengetahuan, khususnya ilmu pasti.

32

Ternyata doktrin kaum Pythagorean ini tidaklah sempurna. Hal ini

karena angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja

Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus

Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya

melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena

“campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan

dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” pada kaidah alam

semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak

dapat ditolerir.

Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” dari konsep

matematika, yaitu bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan

produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga

menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat

persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap

dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak

mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah “bom waktu” bagi

kerangka berpikir matematikawan Yunani. Nisbah antara dua bilangan

tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda.

Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal

dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa

cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk ab bilangan utuh, seperti:

1, 2 atau 17, dimana b≠0 karena dengan itu akan menimbulkan bencana.

Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah

33

tersebut. Banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan semudah itu ke

dalam bentuk ab .

Kehadiran bilangan irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah

konsekuensi matematikawan Yunani. Persegi panjang adalah bentuk

paling sederhana dalam geometri, tetapi dibaliknya terkandung bilangan

irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang

akan muncul bilangan irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar

bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua

bentuk geometri. Contoh lain, segitiga siku-siku dengan panjang kedua

sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain yaitu dengan rumus

Pythagoras, yaitu: √2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi

orang yang paham geometri dan nisbah.

2. Ajaran tentang Jiwa

a. Imortalitas Jiwa

Kesaksian yang tertua tentang Pythagoras berasal dari

Xenophanes. Beliau adalah seorang filsuf prasokratik dan kawan

sewaktu dengan Pythagoras. Xenophanes pernah memberikan

kesaksian seperti ini: Suatu hari, ketika Pythagoras melewati seorang

yang sedang memukul anjingnya, ia berbelaskasihan dan

mengatakan hal ini: “Hentikan, jangan pukul binatang malang ini,

karena jiwanya adalah jiwa sahabatku. Aku mengenalinya dari

suaranya.” Pythagoras berpandangan bahwa jiwa makhluk hidup

bersifat imortal (tidak akan pernah binasa atau bersifat abadi). Bila

34

seorang manusia mati, jiwanya tidak ikut mati atau binasa melainkan

akan bertransfigurasi (metemorphethe atau metamorpheo) ke dalam

makhluk hidup lainnya entah ke dalam tumbuhan maupun hewan.

Pythagoras juga mengajarkan bahwa semua makhluk hidup harus

dipandang berasal dari jenis atau spesies yang sama meskipun dalam

kenyataannya jenis makhluk hidup itu sendiri beraneka ragam.

Selain hanya sekadar perpindahan jiwa, ada pendapat lain yang

mengatakan bahwa menurut Pythagoras jiwa yang berpindah ke lain

tubuh ini disebabkan oleh adanya hukuman. Maka, seseorang

memerlukan katharsis (penyucian) ketika masih hidup agar ia

dibebaskan dari belenggu tubuh dan jiwanya mendapat kebahagiaan

saat ajal tiba. Kalau tidak menyucikan dirinya, maka jiwa seseorang

akan berpindah ke kehidupan lain. Penyucian itu dihasilkan dengan

berpantangan untuk jenis makanan tertentu, seperti daging hewan

dan kacang. Memenuhi peraturan-peraturan itu adalah unsur penting

dalam kehidupan Pythagorean.

b. Reinkarnasi Jiwa

Pythagoras juga berpandangan bahwa semua yang pernah ada

sekarang ini akan ada kembali (reinkarnasi jiwa) dan dalam keadaan

yang tidak berubah atau berbeda dari keadaan sekarang. Segala

sesuatunya akan sama persis dengan sekarang termasuk juga dengan

waktu. Bila sekarang ini saya sedang sibuk mengerjakan tugas

makalah tentang seorang tokoh filsafat Yunani Klasik, maka pada

35

satu saat nanti saya akan mengalami peristiwa ini lagi yang persis

sama. Dengan kata lain saya akan hidup kembali dengan alur

kehidupan dan waktu yang sama persis dengan yang sekarang.

3. Numeriologi Semesta

Nama Phythagoras sudah tidak asing lagi dalam dunia ilmu

pengetahuan, khususnya ilmu pasti. Pythagoras berpendapat bahwa

segala sesuatu adalah bilangan-bilangan. Betapa pun luasnya semesta ini,

unsur-unsur dan setiap perubahan di dalamnya dapat ditentukan dengan

satuan-satuan bilangan. Sebagai percobaan, Pythagoras menggunakan

dawai mono chord (memiliki satu dawai saja). Setiap perubahan panjang

senar dengan perbandingan yang tetap (1:2, 2:3, dan 3:4) akan

menghasilkan nada yang berbeda untuk setiap perbandingan namun

kedengarannya sangat harmonis. Anehnya bahwa yang memainkan

peranan dalam perbandingan-perbandingan ini adalah keempat bilangan

(1, 2, 3, dan 4) yg pertama dan mereka bersama-sama menghasilkan

bilangan 10. Oleh kaum Pythagorean bilangan 10 ini disebut Tetraktys

dan dianggap suci oleh kaum Pythagorean. Kaum Pythagorean

menganggap bilangan ini sebagai sesuatu yang kramat dan konon mereka

berani bersumpah demi Tetraktys ini. Penemuan Pythagoras ini

mempunyai konsekuensi besar, karena disini untuk pertama kalinya

dinyatakan bahwa suatu gejala fisis yakni nada-nada dikuasai oleh

hukum matematis. Itu berarti bahwa kenyataan atau realitas dapat

dicocokkan dengan kategori-kategori matematis dari rasio manusia.

36

Pythagoras berpendapat bahwa segalanya adalah bilangan.

Kesimpulan ini ditarik dari kenyataan bahwa nada-nada musik dapat

dijabarkan ke perbandingan antara bilangan-bilangan. Kalau segalanya

adalah bilangan, itu berarti bahwa unsur-unsur atau prinsip-prinsip

bilangan merupakan juga unsur-unsur yang terdapat dalam segala

sesuatu. Menurut kalangan Pythagorean, unsur-unsur atau prinsip-prinsip

bilangan ialah genap dan ganjil, terbatas dan tak terbatas. Oktaf

merupakan harmoni yang dihasilkan dengan menggabungkan hal-hal

yang berlawanan, yaitu bilangan 1 (bilangan ganjil), dan bilangan 2

(bilangan genap). Demikian juga seluruh dunia merupakan suatu harmoni

yang memperdamaikan hal-hal yang berlawanan. Itulah sebabnya kaum

Pythagorean mengambil alih ajaran Anaximandros bahwa kosmos

seluruhnya terdiri dari hal-hal yang berlawanan.

Menurut kesaksian Aristoteles, kaum Pythagorean telah

mengajarkan bahwa ada sepuluh prinsip semacam itu yang disusun dalam

dua lajur, yaitu sebagai berikut :

Terbatas : Tak Terbatas

Ganjil : Genap

Satu : Banyak

Kanan : Kiri

Laki-laki : Perempuan

Diam : Gerak

Lurus : Bengkok

37

Terang : Gelap

Baik : Jahat

Persegi : Empat persegi panjang

Menurut mereka, setiap perubahan di alam semesta ini dapat

dicocokan dengan kategori-kategori matematis. Suara dawai dengan

ukuran tertentu dapat dikatakan dalam bilangan. Setiap perubahan yang

terjadi di alam semesta ini dapat dinyatakan dengan bilangan-bilangan.

Numeriologi Pythagoras ini turut memengaruhi berbagai spekulasi dalam

filasafat di kemudian hari, terutama dalam Platonisme dan Neo-

Platonisme.

4. Kosmologi

Teori mahzab Pythagorean tentang susunan kosmos tentu

mengherankan, karena untuk pertama kalinya dinyatakan bahwa bukan

bumi yang merupakan pusat jagat raya. Menurut mahzab Pythagorean

pusat jagat raya adalah api (hestia). Benda langit yang beredar di

sekeliling api sentral itu berturut-turut adalah kontra bumi (antikhton),

bumi, bulan, matahari, kelima planet (Merkurius, Venus, Mars, Yupiter,

Saturnus) dan akhirnya langit dengan bintang-bintang tetap. Demikianlah

sepuluh badan jagat raya beredar mengelilingi api sentral sebagai suatu

tetraktys raksasa. Kita tidak melihat api dan kontra bumi, karena

permukaan bumi dimana kita hidup tetap berpaling dari api dan kontra

bumi, sebagaimana juga bagian bulan yang tidak berhadapan dengan kita

tetap berpaling dari bumi. Dengan kata lain, kita dapat menarik

38

kesimpulan bahwa dalam revolusinya sekitar api sentral, bumi juga

mengadakan rotasi mengelilingi sumbunya sendiri.

Matahari dan bulan memantulkan api sentral. Gerhana-gerhana

terjadi apabila bumi dan kontra bumi menggelapkan api sentral.

Selanjutnya, api sentral di kemudian hari oleh para pemikir-pemikir

Yunani yang berasal dari mahzab Pythagorean akan disamakan dengan

matahari, sehingga dalam bidang kosmologi mereka menganut pendirian

helio-sentris.

Aristoteles mengatakan bahwa menurut kaum Pythagorean seluruh

langit merupakan suatu tangga nada musik serta suatu bilangan.

Anggapan bahwa jagat raya sama dengan suatu tangga nada juga disebut

ajaran mengenai “the harmony of the spheres”. Beberapa orang

Phytagorean menerangkan bahwa bumi dan kontra bumi mengeluarkan

nada yang sama, sedangkan langit dengan bintang-bintang tetap tidak

mengeluarkan bunyi. Telinga kita sudah terbiasa mendengarkan bunyi-

bunyi itu, sehingga kita tidak lagi mendengarnya. Legenda-legenda

dalam kalangan Pythagorean menceritakan bahwa Pythagoras sendiri

telah mendengar harmoni itu.

BAB III

PENUTUP

39

A. Kesimpulan

Berdasarkan rumusan masalah dan pembahasan yang terdapat dalam

makalah ini, maka kesimpulan yang dapat kami buat yaitu sebagai berikut:

1. Mengenai sejarah hidup Pythagoras, Pythagoras lahir pada tahun 580 SM

(Sebelum Masehi) di Pulau Samos, Yunani. Ayahnya merupakan seorang

pedagang kaya bernama Mnesarchus dan ibunya bernama Pythais yang

berasal dari Samos. Pythagoras adalah tokoh yang sangat terkenal tidak

hanya dalam bidang matematika, melainkan pula dalam bidang filsafat.

Ia memiliki seorang guru bernama Thales yang mengajarkannya tentang

filsafat dan matematika. Pythagoras menikah pada usia yang sudah tua,

sekitar 64 tahun. Dari pernikahannya, Pythagoras memiliki tujuh orang

anak. Banyak versi yang menyebutkan tentang akhir kehidupan

Pythagoras. Versi yang paling terkenal yaitu menceritakan akhir

kehidupan Pythagoras yang dihukum pancung dan dipenggal kepalanya.

Akhir kehidupan dari tokoh besar yang amat tragis.

2. Pythagoras berkeyakinan bahwa “Semua adalah Bilangan”.

Pemikirannya dalam filsafat ini berpengaruh terhadap kontribusinya

dalam matematika. Sumbangan – sumbangan Pythagoras dalam

matematika diantaranya yaitu berbagai teorema tentang segitiga, garis

sejajar, poligon, lingkaran bidang lengkung dan polyhedral;

menyelesaikan masalah aplikasi tentang bidang; dan salah satu segmen

garis yang terkenal dengan istilah Golden Section. Golden Section ini

digunakan untuk membuat pentagram Pythagoras.

40

3. Pythagoras memiliki suatu ajaran dan aliran yang dikenal dengan kaum

Pythagorean. Kaum Pythagorean ini memiliki peran yang cukup besar

dalam penemuan – penemuan Pythagoras. Salah satunya yaitu teorema

Pythagoras yang sangat terkenal dalam matematika sebenarnya bukanlah

penemuan dari Pythagoras sendiri, melainkan penemuan dari para

pengikutnya.

B. Saran

Agar pembahasan mengenai sejarah matematika umumnya dan aliran

Pythagoras khususnya ini dapat terus berlanjut, saran kami sebagai penulis

untuk penulisan makalah–makalah selanjutnya yaitu pembahasan Pythagoras

lebih dipandang dari berbagai sudut pandang agar menjadi lebih menarik dan

pengetahuan yang didapat lebih luas. Selain itu juga disarankan untuk

membahas cerita–cerita sejarah dari tokoh lain yang juga berperan besar

dalam perkembangan matematika di dunia.

41

DAFTAR PUSTAKA

Afri, Gordi. (2011). Pythagoras dan Ajaran Tentang Jiwa. [Online]. Tersedia: http://gordyafri.blogspot.com/2011/11/pythagoras-dan-ajaran-tentang-jiwa.html [2 Maret 2012]

Anonim. (2009). Biografi Pythagoras. [Online]. Tersedia: http://kolom-biografi.blogspot.com/2009/01/biografi-Pythagoras.html [2 Maret 2012]

Ball, Rouse W.W. (1960). A Short Account of the History of Mathematics. Dover Publication: New York.

Cajori, Florian. (1909). A History of Mathematics. Macmillan: London.

Ismanto, Zainul. (2009). Ilmu Filsafat. [Online]. Tersedia: http://www.docstoc.com/docs/71006894/Filsafat-Ilmu [3 Maret 2012]

Komunitas Cyber Muda Indonesia. (2011). Biografi Pythagoras. [Online]. Tersedia: http://www.nstars.net/upload/index.php?/topic/3929-biografi-Pythagoras/# [3 Maret 2012]

Nuriana. (2009). Pencetus Sekaligus Penguasa Nisbah dan Segitiga Pythagoras. [Online]. Tersedia: http://rmakoe.wordpress.com/2009/01/31/pencetus-sekaligus-penguasa-nisbah-dan-segitiga-pythagoras-580-475-sm/#more-39 [2 Maret 2012]

Syahpora, Yunan. (2010). Sekilas Mengenai Pythagoras. [Online]. Tersedia: http://yunansyahpora.blogspot.com/2010/04/sekilas-mengenai-phytagoras.html [1 Maret 2012]

Zainal, Muhammad. (2010). Filsafat Hellenisme dan Romawi. [Online]. Tersedia: http://www.masbied.com/2010/06/04/filsafat-hellenisme-dan-romawi/ [2 Maret 2012]

42

LAMPIRAN

(POWER POINT)

43