Raciocínio Lógico Para Concursos

Vagner Lopes de Almeida

2013

Conteúdo

1 Conjuntos 21.1 Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Questões de Concursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Respostas do Capítulo de Conjuntos 10

3 Introdução à lógica 113.1 Proposições e Sentenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Conectivos e Modificadores 13

5 Negação de proposições 18

6 Argumentos 22

7 Tautologias, Contradições e Contigências 24

8 Questões de Lógica em Concursos 31

9 Respostas das Questões de R. Lógico 56

10 Contagem 59

11 Probabilidade 6311.0.1 Probabilidade de A ou B ocorrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.0.2 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.0.3 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6511.0.4 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

12 Questões de Combinatória 67

13 Questões de Probabilidade 73

14 Simulado 83

15 Respostas das Questões de Combinatória 89

16 Solução das questões de probabilidade 91

17 Respostas do Simulado 96

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Capítulo 1

Conjuntos

“ Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosaciência aplicada, que economiza trabalho e torna a vidamais fácil ? ” A resposta é simples... “ Porque aindanão aprendemos a nos servir dela com bom senso ”.

Albert Einstein

Conjunto é um conceito primitivo e assim sendo não vamos definir, vamos relembrar alguns con-juntos numéricos fundamentais.

1) Conjunto dos Naturais.N= {0,1,2,3, · · ·}2) Conjunto dos Inteiros.Z= {· · · ,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, · · ·}3) Conjunto dos Racionais.Q= {x;x =

pq,com p ∈ Z,q ∈ Z e q 6= 0}.

Isto é, um número racional é aquele que pode ser escrito como uma fração na formapq

, onde p e q

são inteiros, com o denominador diferente de zero.Lembre-se do mandamento matemático: Nunca dividirás por zero.Nota: Toda dízima periódica é um número racional, isto é, sempre é possivel escrever uma dízima

na forma de fração.Subconjunto ( definição ): Se todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B, entãodiremos que A é subconjunto de B, isto é, A está contido em B, ou B contém A e denotaremos porA⊂ B. O diagrama que segue representa tal estrutura, já vimos ela nos tópicos de lógica, lembras ?

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Observações:

• Todo conjunto é subconjunto de si próprio, isto é, ( A⊂ A ).

• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, isto é, ( �⊂ A )

• Se um conjunto A possui n elementos, então ele possui 2n subconjuntos.

• Um subconjunto de A é também denominado parte de A.

• N⊂ Z⊂Q

4) Conjuntos dos Irracionais, que denotaremos por I, são os números que não são racionais, istoé, os que não podem ser escritos como fração. Vamos a alguns exemplos:

•√

2.

• π ( Razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro )

5) Conjunto dos Reais.R= {x; x é racional ou x é irracional}Assim, temos que:

• N⊂ Z⊂Q⊂ R.

• I⊂ R, isto é, o conjunto dos irracionais está contido nos conjuntos dos números reais.

1.1 Operações com ConjuntosUnião de Conjuntos, simbolo: (∪): Dados dois conjuntos A e B, definiremos A união B, por:A∪B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}. Isto é, A∪B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a Aou a B, veja que pelo estudo da lógica, quando dizemos A ou B, significa que são os elementos quepertencem apenas a A, os que pertecentem só a B e os que pertencem a ambos os conjuntos.

Por xemplo, se x.y = 0, então temos que x = 0 ou y = 0, isto é, ou x = 0 e y 6= 0, ou y = 0 e x 6= 0,ou ainda x = 0 e y = 0.

Interseção de Conjuntos , simbolo: (∩): Dados dois conjuntos A e B, definiremos A intersecção B,por: A∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B}. Isto é, os elementos comuns aos conjuntos A e B.

Diferença de Conjuntos: A−B = {x; x ∈ A e x 6∈ B}. Isto é, dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que nãopertencem a B.

Complementar de um conjunto: Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos.Dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B ⊂ A , a diferença A−B chama-se, neste caso,complementar de B em relação a A. Vamos usar a seguinte notação A para o complementar de A

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementosde B seja n(B).Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.Representando o número de elementos da interseção A∩B por n(A∩B) e o número de elementos daunião A∪B por n(A∪B) , podemos escrever a seguinte fórmula:n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B) . Tal fórmula é simples de ser demonstrada, assim não precisamos

nos preocupar com ela, com a prática, ela ficará fixada em nossas mentes.

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1.2 Questões de ConcursosQuestão 1.1 Classifique em V (verdadeira) ou F (falsa):

a) a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. ( )b) O produto de dois números irracionais pode ser racional. ( )c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. ( )d) 1,888888..... ∈ Q. ( )e) Se A = Q∩R e B = I−Q , tem-se que A∪B = R. ( )

Questão 1.2 (CEFET - AL) Em relação aos principais conjuntos numéricos,é CORRETO afirmar que:

A) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.

B) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.

C) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.

D) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.

E) Todo número irracional é real.

Questão 1.3 ( FATEC ) Sejam a e b números irracionais.

Dada as afirmações:

I) a.b é um número irracional.

II) a + b é um número irracional.

III) a−b pode ser um número racional.

Podemos concluir que:

A) As três são falsas.

B) As três são verdadeiras.

C) Somente I e III são verdadeiras.

D) Somente I é verdadeira.

E) Somente I e II são falsas.

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Questão 1.4 Considere os números irracionais a, b, c, d tais que a < c < b < d. Os intervalos reais[a,b] e [c,d] possuem, respectivamente, 10 e 16 números inteiros. Se o intervalo [a,d] possui 19números inteiros, então a quantidade de números inteiros existentes no intervalo [c,b] é:

A) 3

B) 4

C) 6

D) 7

E) 9

Questão 1.5 Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150 liamo jornal B, 20 liam dos dois jornais e 110 não liam nenhum jornal. Quantas pessoas foram consultadas?

A) 340

B) 380

C) 170

D) 210

E) 250

Questão 1.6 Numa prova de vestibular, no qual concorreram 20000 candidatos, uma questão apre-sentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classificá-las em verdadeira (V) ou falsa (F).Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativaA; 6100 na afirmativa B; 7720 na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaramV nas afirmativas A e B; 1200 nas afirmativas B e C; 500 nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatosconsideraram falsas as três afirmativas ?

A) 1080

B) 1230

C) 1300

D) 1315

E) 1400

Questão 1.7 Numa sala de aula existem 35 alunos, 22 jogam volei, 17 nadam e 8 jogam volei e nadam.Quantos alunos não praticam nenhum esporte ?

A) 2

B) 3

C) 4

5

D) 5

E) 6

Questão 1.8 Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão direita, 5 nãosabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto com a mão direita quanto com a esquerda, eos demais alunos sabem escrever apenas com a mão esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunosque sabe escrever com apenas uma das duas mãos é de ?

A) 75%

B) 87%

C) 90%

D) 95%

E) 98%

Questão 1.9 Foi feita uma pesquisa com 50 pessoas sobre esportes. 23 gostam de futebol, 18 debasquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e basquete, 9 de futebol e vôlei, 8 de basquete e vôlei e 5gostam das 3 modalidades.

a) quantas não gostam de nenhum esporte?

b) quantas gostam somente de futebol?

c) quantas gostam somente de basquete?

d) quantas gostam somente de vôlei?

e) quantas não gostam nem de basquete e nem de vôlei?

Questão 1.10 Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Se-nhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram AMoreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram astrês obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Questão 1.11 ( UFRJ - Adaptado ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidadesde esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênise futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmohorário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação;

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o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos sópara as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.

a) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?

b) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação?

Questão 1.12 Em um concurso público, 80 candidatos fizeram prova de conhecimentos gerais,72 fi-zeram prova de conhecimentos específicos. Se 140 candidatos fizeram pelo menos uma dessas provasnesse dia, o número de candidatos que fizeram as duas provas nesse dia é:

A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Questão 1.13 Uma prova era constituída de duas questões sendo que 300 alunos acertaram somenteuma das questões, 260 acertaram a segunda, 100 alunos acertaram as duas e 210 erraram a primeira.Quantos alunos fizeram a prova ?

A) 450

B) 400

C) 420

D) 440

E) 460

Questão 1.14 Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que A∩B tem 20 elementos, B∩Ctem 15 elementos e A∩B∩C tem 8 elementos, calcule o número de elementos de (A∪C)∩B.

A) 25

B) 26

C) 27

D) 28

E) 29

Questão 1.15 Dados os intervalos A = [1,5[, B =]−3,4[, C = [−2,3] e D =]−5,0], determine:

a) A∩B.

b) (A∪C)−D.

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Questão 1.16 Considere o conjunto A = {−1,0,1,{2,3}}. Assinale V para as alternativas verdadei-ras e F para as falsas:

( ) 2 ∈ A.( ) � ∈ A.( ) {2,3} ⊂ A.( ) {0} ⊂ A.( ) {−1,0,1,2,3} ⊂ A.

Questão 1.17 (UFPI) – Considerando os conjuntos A, B e C na figura abaixo, a região hachuradarepresenta:

A) B− (A−C).

B) B∩ (A−C).

C) B∪ (A∩C).

D) B∩ (A∪C).

E) B− (A∪C).

Questão 1.18 USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:i) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;ii) quando chove de manhã não chove à tarde;iii) houve 5 tardes sem chuva;iv) houve 6 manhãs sem chuva.Podemos afirmar então que n é igual a:

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Questão 1.19 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-seque o número de pessoas que gostavam de B era:

I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:

8

A) 48

B) 35

C) 36

D) 47

E) 37

Questão 1.20 UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S.Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaramtambém São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

A) 29

B) 24

C) 11

D) 8

E) 5

Questão 1.21 Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas pre-sentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas nãocomeram nenhuma ?

A) 1.

B) 2.

C) 3.

D) 4.

D) 5.

Questão 1.22 (FCC - 2010) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de uma empresa,75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% disseram que fazem todos os examesde rotina recomendados pelos médicos e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos.Em relação ao total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios físicosregularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos representam:

(A) 43% (B) 60% (C) 68% (D) 83% (E) 100%

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Capítulo 2

Respostas do Capítulo de Conjuntos

1.1)a) A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. (

verdade ).Vamos supor por absurdo que essa soma seja um número racional. Assim, temos: x ∈ I e y ∈ Q e

z∈Q. Fazendo z=ab

, y=cd

. Assim, temos que z= y+x⇒ x=ad−bc

bd∈Q, o que é uma contradição.

Assim, temos que a soma de um racional com um irracional, sempre será um número irracional.

b) O produto de dois números irracionais pode ser racional.( verdade )

Exemplo: (2+√

3).(2−√

3) = 4−3 = 1 ∈Q.

c) Soma de irracionais: (2+√

3)+(2−√

3) ∈Q. ( falso )

d) ( verdade ), pois 1,888..= 1+0,888..= 1+89=

179∈Q.

e) ( verdade ), Q∪ I= R.

1.2 E) 1.3) I)(F), II)(F), III)(V), chegamos a letra E). 1.4)D) 1.5) A)

1.6) 2000−18920= 1080, letra A) 1.7) C) 1.8) B) 1.9) a) 17; b) 9; c) 5; d) 2; e) 9+17= 26.

1.10) a) 460; b) 130; c) 410 1.11) a) 23; b) 12.

1.12) 12 candidatos, letra A) 1.13) 100+160+140+50 = 450, letra A) 1.14) C)

1.15) A∩B = [1;4[; A∪C = [−2;5[; (A∪C)−D = {x ∈ R/0 < x < 5}. 1.16) F, F, F, V, V.

1.17) E) 1.18) 9 dias 1.19) 48 pessoas. 1.20) Ao montar o sistema vamos concluirque Manaus e Salvador = 2; Manaus, São Paulo e Salvador = 3; Apenas São Paulo = 13; Manaus e SãoPaulo = 0; São Paulo e Salvador = 0; Logo, chegaremos a letra A). 1.21) A) 1.22) B).

Qualquer dúvida entre em contato ou pelo e-mail .

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Capítulo 3

Introdução à lógica

“Eu sempre acreditei em números, em equações e na ló-gica que leva à razão.Mas depois de uma vida em tal busca, eu pergunto: o queé mesmo a lógica ? quem decide o que é racional ?”

Filme - Uma Mente Brilhante

3.1 Proposições e SentençasProposição: Toda oração declarativa que admite um e somente um dos dois valores lógicos -V = Verdadeira ou F = Falsa.

Assim, temos que toda proposição é uma frase, mas nem toda frase é uma proposição, pois se éproposição é uma oração e se é oração tem verbo, já uma frase necessariamente não precisa ter verbo.

Princípios Fundamentais:

• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposiçãofalsa é falsa.

• PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo,falsa e verdadeira.

• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. Nãohá outra possibilidade.

Exemplos de proposições:

1. Brasília é a capital do Brasil - É uma oração declarativa expressa de forma afirmativa. Podemosatribuir um valor lógico, como a oração é verdadeira seu valor lógico é “V”.

2. 7+5 = 16 - É uma oração declarativa expressa na forma afirmativa. Podemos atribuir uma valorlógico, como a sentença é falsa, seu valor lógico é “F”.

Exemplos de não proposições:

1. x−2 = 5 - Não é proposição, pois não dar pra classificar tal sentença como verdadeira ou falsa,já que não sabemos o valor da variável x.

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2. Fulano é o melhor jogador de futebol - Não é proposição, pois não sabemos quem é o tal fulano,e assim, não dar pra classificar em V ou F.

3. Como você se chama ? - Não é proposição, pois se trata de uma frase interrogativa, e já sabemosque proposições são orações declarativas.

4. Muito bom! - Não é proposição, pois se trata de uma frase exclamativa.

5. Essa frase é falsa. - Não é uma proposição, pois para ser verdadeira teria que ser falsa e se elafor falsa, teria que ser verdadeira, logo, ela fere o princípio da não-contradição, dizemos que talfrase é um paradoxo.

Uma proposição é denominada composta quando é formada pela combinação de duas ou maisproposições simples.

Exemplos:a: Paulo é inteligente.b: João gosta de jogar bola.p: Pedro é estudioso e João é preguiçoso.s: Se Tiago não ama, então é infeliz.Temos que as proposições a e b são proposições simples. Já as proposições p e s, são proposições

compostas. Note que nas proposições p e s existem conectivos lógicos, a saber a conjunção ( e ) e oconectivo se ... então...

OBS: Costumamos representar as proposições por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Sentença aberta: É aquela sentença simples cujo resultado (falso ou verdadeiro) é desconhecido,por conter um elemento indefinido ou por conter variáveis.

Exemplo: x > 7 é uma sentença aberta, pois não podemos julgar em verdadeiro ou falso, já quenão conhecemos o valor da variável x.

Podemos usar quantificadores para transformar sentenças abertas em proposições, vamos aos exem-plos:

p: (∃x/x+ 1 = 7), ou seja, a proposição p, diz que existe algum x, tal que x+ 1 = 7. Onde osimbolo ∃ representa o quantificador existencial.

q: (∀x,x > 7), a proposição q, diz que para qualquer x, temos x maior que 7. Onde o simbolo ∀representa o quantificador universal.

Considere a sentença aberta: x é um número natural múltiplo de 4. Considere ainda o conjuntouniverso {1,2,3,4,5,6,7,8,9} neste conjunto universo, temos que o conjunto verdade é {4,8}, ouseja, denominamos conjunto universo de uma sentença aberta ao conjunto formado por todos osvalores que a variável pode assumir. Já o subconjunto formado pelos valores que tornam a sentençaverdadeira, denominamos de conjunto verdade ou conjunto solução.

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Capítulo 4

Conectivos e Modificadores

Vamos agora conhecer palavras, termos ou simbolos que usamos para transformar proposições simplesem compostas.

É de costume representarmos as proposições através da tabela das possibilidades de seus valoreslógicos, que a saber é verdadeiro(V) ou falso(F).

Tal tabela demonimamos, tabela-verdade e vamos conhecer ela melhor mais adiante.Agora vamos analisar os valores lógicos de sentenças compostas, veremos que pra analisar tais

valores, devemos estudar as proposições componentes e os conectivos que as une.

1) Negação, símbolo (v) ou (¬).Se uma proposição p for verdadeira a sua negação (v p) será falsa e se a proposição p for falsa a

sua negação (v p) será verdadeira.Exemplos:p: Tiago é estudioso.q: Pedro não é Alagoano.Assim, temos que:(v p): Tiago não é estudioso.(v q): Pedro é Alagoano.

Tal ideia vai ser representada pela tabela-verdade abaixo:

p v pV FF V

2) Conjunção (“e”), símbolo (∧).Vamos analisar os valores lógicos da proposição abaixo:s: Tiago é estudioso e Pedro é matemático.Temos que a proposição s é composta de duas proposições simples, que vamos chamar uma de p e

a outra de q.

p: Tiago é estudioso.q: Pedro é matemático.

Vamos analisar as possibilidades dos valores lógicos de tais proposições, basta ver a tabela-verdade abaixo:

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p q p∧qV V VV F FF V FF F F

Pela tabela-verdade, temos que ( p∧ q ) só é verdadeira quando p e q são verdadeiras, se pelomenos uma das proposições for falsa, então p∧q será falsa.

3) Disjunção (“ou”), símbolo (∨).Vamos analisar os valores lógicos da proposição abaixo:s: Tiago é estudioso ou Pedro é matemático.Temos que a proposição s é composta de duas proposições simples, que vamos chamar uma de p e

a outra de q.

p: Tiago é estudioso.q: Pedro é matemático.

Vamos analisar as possibilidades dos valores lógicos de tais proposições, basta ver a tabela-verdade abaixo:

p q p∨qV V VV F VF V VF F F

Assim, pela tabela-verdade, temos que se pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira,então p∨q é verdadeira.

4) Disjunção Exclusiva (“ou . . . ou . . . ”), símbolo (Y).Vamos analisar as proposições abaixo:w: Te darei uma bola ou te darei um celular.r: ou te darei uma bola ou te darei um celular.A diferença entre w e r é sutil, mas é importante. Na proposição r, temos a presença de dois

conectivos “ou”, diremos que tal construção é uma disjunção exclusiva.Vamos a tabela-verdade da proposição r:

p q pYqV V FV F VF V VF F F

⇐⇒

p q ou p ou qV V FV F VF V VF F F

Pela tabela-verdade, temos que se apenas uma das proposições p ou q for verdadeira, pY q seráverdadeira, ou seja, ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo verdadeiras; ambas nunca poderão ser,ao mesmo tempo falsas.

5) Condicional (“ Se x então y ”), símbolo: x→ y.Vamos analisar a proposição composta abaixo:s: Se eu nascir em Maceió, então sou Alagoano.Agora pense e me responda, qual é a única maneira da proposição s ser falsa, qual é a única maneira

dessa condicional ser incorreta ?Veja que a estrutura da proposição s é do tipo se .... então ....,assim temos duas partes, a que

vem depois do se e antes do então e a parte que vem depois do então. Tais partes vamos denominarrespectivamente de hipótese e tese, assim na proposição s, temos que nascir em Maceió é a hipótese

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e ser Alagoano é a tese, ou seja, hipótese vai ser tudo que consideramos verdadeiro e a tese vai sero que queremos provar. Vamos separar as proposições componentes de s, vamos analisar a seguinteestrutura: se p então q.

p: Nascir em Maceió.q: Sou Alagoano.É por tal estrutura que os matemáticos estão interessados em estudar, não teria sentido prático

estudar a proposição s no caso em que o valor lógico de p é falso.Dito isso, temos que a única maneira de s ser falsa é se q for falsa, ou seja, a proposição abaixo

seria falsa:Se nascir em Maceió, então sou Carioca.Ou seja, se é verdade que eu nascir em Maceió, então necessariamente é verdade que sou Alago-

ano.Perceba que o fato de eu ter nascido em Maceió é condição suficiente ( basta isso ) para que

se torne um resultado necessário que eu seja Alagoano, ou seja, uma condição suficiente gera umresultado necessário.

Causa −→ Consequência

Vamos a mais um exemplo, se alguém disser que Paulo ser rico é condição suficiente para Tiagoser jogador, então podemos reescrever essa proposição usando a estrutura da condicional, ou seja:

Se Paulo for rico, então Tiago é jogador.Vamos a mais um exemplo:Se o pássaro canta então está vivo. Agora outras maneiras equivalentes de dizer o mesmo:1) O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo.2) O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar, ou seja é necessario que o pássaro

esteja vivo para que ele possa cantar.Na proposição se p então q, denominaremos p de antecedente e q de consequente, vimos também

que no ambiente matemático p é a hipótese e q é a tese.

Vamos a tabela-verdade da condicional p→ q.

p q p→ qV V VV F FF V VF F V

Vamos analisar mais um pouco os valores lógicos da tabela-verdade da condicional, os valoreslógicos da primeira linha da tabela já analisamos, assim como já analisamos os valores lógicos dasegunda linha, vamos analisar os valores da terceira linha e da quarta linha, para isso vamos pegar asproposições abaixo:

1) Se você é o dono da coca-cola, então eu sou o super man.2) Se 1 = 2, então a lua é de queijo.Tais exemplos mostram que se o antecedente for falso, a condicional se ... então... é verdadeira,

ou seja, partindo de algo falso, consequentemente teremos algo verdadeiro.As expressões abaixo podem ser empregadas como equivalentes da condicional se p então q.

• Se A, B.

• B, se A.

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• Quando A, B.

• A implica B

• A é condição suficiente para B.

• B é condição necessária para A

• A somente se B.

• Todo A é B.

P→ Q⇔ (∼ Q→∼ P) ou P→ Q⇔ (∼ P∨Q)

6) Proposição Bicondicional: ( p se e somente se q ), símbolo (p↔ q).A bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, para entender basta analisar a proposi-

ção abaixo:4 é par, se e somente se, o açucar for doce. Estamos diante de uma proposição composta e temos

que ela é equivalente a seguinte proposição:Se 4 é par, então o açucar é doce e se o açucar é doce, então 4 é par, ou seja a condição de “ ida ” e

a condição de “ volta ” são válidas.Assim, a bicondicional (p↔ q) é equivalente a (p→ q)∧ (q→ p). De fato, basta analisar a

tabela-verdade abaixo:

p q p→ q q→ p (p→ q)∧ (q→ p) p↔ qV V V V V VV F F V F FF V V F F FF F V V V V

Pela tabela-verdade, temos que , então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicosdas duas proposições que a compõem forem diferentes, isto é, haverá duas situações em que a bicon-dicional será verdadeira: quando o antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quandoforem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.

São também equivalentes à bicondicional “ p se e somente se q ” as seguintes expressões:

• A se e só se B.

• Se A então B e se B então A.

• A somente se B e B somente se A.

• A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.

• B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.

• Todo A é B e todo B é A.

• Todo A é B e reciprocamente.

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De sorte que em questões de prova, a bicondicional apareci no formato tradicional: “ p se e somentese q ”.

Usando a tabela verdade vamos mostrar que: p→ q⇔∼ q→∼ p , ou seja, mostrar que a con-dicional (p→ q) é equivalente a contra-recíproca ( ou contra positiva ) ∼ q→ ∼ p. De fato, bastaanalisar a tabela-verdade:

p q ∼ p ∼ q p→ q ∼ q→∼ pV V F F V VV F F V F FF V V F V VF F V V V V

O símbolo P⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica.A proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P→ Q for uma tautologia.

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Capítulo 5

Negação de proposições

No capítulo anterior, vimos que o primeiro tópico dos conectivos abordados foi a “ negação ”. Vamosagora apronfundar um pouco e entender melhor como negar proposições compostas e as proposiçõescategoricas.

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS: São proposições em que existe uma relação entre atributosque denotam conjuntos com as próprias proposições, isto é, são proposições formadas com os termostodo, algum e nenhum. Temos as seguintes formas ( mais comuns ):

1. Todo A é B.

2. Nenhum A é B.

3. Algum A é B.

4. Algum A não é B.

Qual seria a negação das proposições abaixo:i) Todo A é B.ii) Algum A é B.Com ajuda dos diagramas abaixo, ficará fácil analisar tais proposições, então vamos aos diagramas:

No caso da primeira proposição, temos que os diagramas 3) e 4) são válidos. Assim, temos duaspossibilidades para o item i), mas de modo geral na resolusão de questões, o que vamos ver adiante,quando se falar da estrutura equivalente ao item i), vamos usar o diagrama 3.

Já no caso da segunda proposição, temos que as 4 possibilidades são válidas, mas na resolução dequestões, vamos usar apenas a primeira possibilidade.

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Agora acho que ficou fácil fazer a negação das proposições i) e ii).Então, temos que o valor lógico de i) é verdadeiro, assim como o valor lógico de ii), o que devemos

fazer para que o valor lógico de i) e de ii) sejam falsos ?p: Todo A é B, então (∼ p): Algum A não é B.s: Algum A é B, então (∼ s): Nenhum A é B.Temos também que algum A não é B é o mesmo que pelo menos um A não é B.

Afirmativos NegativosUniversais Todo, qualquer que seja, ... Nenhum, Ninguém, @,...Particulares Algum, Existe um, Pelo menos um, ... Nem todo, ...

Ou seja, em resumo temos: Universal←→ Particular

(∼ (∀x(P(x))))←→ (∃x(∼ P(x)))(∼ (∃x(P(x))))←→ (∀x(∼ P(x)))

Afirmação Negação∀x ∈ R/x = 5 ∃x ∈ R/x 6= 5(∃x)(x > 0) (∀x)(x≤ 0)

1) Negação de uma Proposição Conjuntiva: ∼(p e q).

A negação de tal estrutura é feita usando o fato de que ∼ (p∧q)⇔ (∼ p ∨ ∼ q) , fato que iremosdemonstrar, para isso vamos usar a tabela-verdade:

p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ (p∧q) ∼ p ∨ ∼ qV V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

Observe que os valores lógicos da coluna de ∼ (p∧q) são os mesmos que os da coluna de∼ p ∨∼ q,como queriamos provar.

Questões clássicas de concursos, são do tipo, dito que: “ Não é verdade que Tiago é médicoe Pedro é estudante ”e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que sejalogicamente equivalente a tal proposição. Assim temos um proposição conjuntiva , vamos analisarsuas componentes:

p: Tiago é médico.q: Pedro é estudante.

Então queremos a negação de ( p e q ), pela tabela-verdade acima, basta negar p, depois negar q etrocar o conectivo e, pelo conectivo ou, ou seja, a proposição equivalente, seria:

Tiago não é médico ou Pedro não é estudante.

2) Negação de uma Proposição Disjuntiva: ∼ (p ou q).

Como exercício, use a tabela-verdade e mostre que: ∼ (p∨q)⇔∼ p ∧ ∼ q

3) Negação de uma Proposição Condicional: ∼ (p→ q).

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Como exercício, use a tabela-verdade e mostre que: ∼ (p→ q)⇔ p ∧ ∼ q

(TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.Admitindo-se verdadeira a frase “ Todos os corruptos são desonestos ”, é correto concluir que:

A) Quem não é corrupto é honesto.

B) Existem corruptos honestos.

C) Alguns honestos podem ser corruptos.

D) Existem mais corruptos do que desonestos.

E) Existem desonestos que são corruptos.

Solução: Para resolver tal questão, vamos analisar o diagrama abaixo, lembre-se, sempre quepossível, fazer um desenho ou esquema que simplifique a questão.

Vamos analisar cada opção, começando pela letra A), temos:A) Esta alternativa é falsa, pois podem existir pessoas que não são corruptas e que são desonestas.B) Esta alternativa é falsa, pois todo corrupto é desonesto.C) Esta alternativa é falsa, pois se é honesto, não tem como ser corrupto.D) Esta alternativa é falsa, nem precisa comentário.Assim, por eliminação, concluimos que a opção correta corresponde a letra E).

4) Negação da Bicondicional, mostre que: ∼ (p↔ q)⇔ [(p ∧ ∼ q)∨ (q ∧ ∼ p)]

(SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhumaluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática,e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática éaluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

A) Pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.

B) Pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.

C) Nenhum aluno de português é aluno de matemática.

D) Todos os alunos de informática são alunos de matemática.

E) Todos os alunos de informática são alunos de português.

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Solução: Pelo enunciado temos as seguintes proposições categóricas:

1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês.2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história.3. Todos os alunos de português são também alunos de informática.4. Alguns alunos de informática são também alunos de história.5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês.6. Nenhum aluno de português é aluno de história.

Pela questão conseguimos desenhar os diagramas abaixo, o qual revela facilmente a opção correta.

Testando e analisando as opções, chegaremos a alternativa C.

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Capítulo 6

Argumentos

Vamos agora estudar sobre argumentos, silogismos e falacias no mundo lógico e matemático.Argumento (definição): Um argumento é uma sequência de proposições. Todas as proposições,

exceto a última, são chamadas de premissas ou suposições ou hipóteses. A última afirmação é chamadade conclusão. Daí, um argumento é dito válido quando consideramos as premissas verdadeiras econcluimos obrigatoriamente que a conclusão é verdadeira.

Silogismo é um caso particular de argumento, onde temos 3 proposições, duas premissas e umaconclusão.

Vamos analisar os seguintes argumentos:p1: Todo homem é um animal.p2: Pedro é um animal.Conclusão: Pedro é um homem.

Então considerando p1 e p2 verdadeiras, será que obrigatoriamente temos que Pedro é um homem ?Vamos desenhar um diagrama e assim facilitar nosso trabalho:

Pelo diagrama, temos um elemento x que é um animal, mas necessariamente não é homem, assim,tal argumento não é válido, em particular, como temos apenas 3 proposição, então diremos que talestrutura não é um silogismo. Ou seja, podemos dizer que tal estrutura se trata de uma falácia, isto é,um argumento logicamente inconsistente, sem fundamento, inválido.

Usando o mesmo diagrama, vamos concluir que a estrutura que segue é um silogismo.p1: Todo homem é um animal.p2: Pedro é um homem.Conclusão: Pedro é um animal.Vamos julgar se o argumento que segue é válido ou não, vamos a ele:p1: Se trabalho não posso estudar.p2: Trabalho ou serei aprovado em matemática.

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p3: Trabalhei.Conclusão: Fui aprovado em matemática.Solução: Fazendo T = Trabalho, E = Estudar, A = Aprovado em matemática, podemos resumir o

argumento pelo seguinte esquema:

p1: T→∼ E (V)p2: T ∨ A (V)p3: T (V)

Conclusão: A

Por p3, temos que T é verdade, e como por p1 a condicional T →∼ E é verdadeira, então ∼ Eé obrigatoriamente verdadeira, por outro lado temos que como T é verdadeira e a disjunção T ∨ A éverdadeira, então temos que A pode ser verdadeira ou falso, assim, tal argumento é inválido.

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Capítulo 7

Tautologias, Contradições e Contigências

Vamos agora conhecer outras definições do mundo lógico.Tautologia ( definição ): É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.

Vamos ao exemplo clássico, veja a tabela-verdade que segue:

p ∼ p p ∨ ∼ pV F VF V V

Assim, pela tabela-verdade temos que a proposição composta p ∨ ∼ p é uma tautologia.

Contradição ( definição ): é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

Veja a tabela-verdade que segue:

p ∼ p p ∧ ∼ pV F FF V F

Assim, a proposição p ∧ ∼ p é uma contradição, quando uma proposição não é tautológica e nãocontraditória, dizemos que ela é uma contingência ou proposição indeterminada.

Vamos resolver mais uma questão de concurso, vamos a ela.( Agente de Fiscalização de Trânsito de Maceió - 2012 ) Dada as seguinte proposições,

i) ∼ (P↔ (P→ Q))∨ (R→ Q);ii) (∼ P→∼ Q)↔ ((P∨R)∧Q);iii) (P∧Q→ R)→ (∼ P→ Q);

e admitindo que os valores lógicos das proposições P, Q e R são, respectivamente, F, F, V (V, severdadeiro; F, se falso), quais os valores lógicos das proposições i), ii) e iii), respectivamente?

A) V V V.

B) V F F.

C) F V F.

D) V F V.

E) F F F.

Solução:Vamos construir a tabela-verdade de tal estrutura e fazer a análise devida.

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P Q R P→ Q ∼ (P↔ (P→ Q)) R→ Q ∼ (P↔ (P→ Q))∨ (R→ Q)F F V V V F V

Veja que para fazer a análise da proposição i), foi preciso conhecer a tabela-verdade da condicional,bicondicional, negação e da disjunção ( ou ), já nas proposições ii) e iii) vamos precisar tambémconhecer a tabela-verdade da conjunção ( e ).

Vamos a tabela-verdade da proposição ii), segundo o enunciado temos:

P Q R ∼ P ∼ Q ∼ P→∼ Q P∨R (P∨R)∧Q (∼ P→∼ Q)↔ ((P∨R)∧Q)F F V V V V V F F

Vamos a tabela-verdade da proposição iii).

P Q R P∧Q P∧Q→ R ∼ P ∼ P→ Q (P∧Q→ R)→ (∼ P→ Q)F F V F V V F F

Assim, chegamos a letra B).

( Agente de Fiscalização de Trânsito de Maceió - 2012 ) Considere as seguintes premissas.I. Os cavalos são velozes.II. Animais velozes são desprezados.III. Quem sabe comer um peixe não é desprezado.

Assinale a única opção que não é uma consequência lógica das premissas apresentadas.

A) Cavalos não sabem comer peixes.

B) Animais desprezados são velozes.

C) Animais desprezados não sabem comer peixes.

D) Animais velozes não sabem comer peixes.

E) Cavalos são desprezados.

Dica para solução, veja o capítulo sobre argumentos e use os diagramas de Veen para representaras proposições e assim chegar facilmente na letra B).

Como citação, vou apresentar alguns problemas lógicos, tirados do livro “ explorando o ensinoda matemática ”, são histórias bem interessantes para motivar o estudo da lógica, tais histórias sãoreferentes às aventuras de Alice. Antes de ver a solução, tende resolver os problemas, agora vamos aeles.

Exercício 1: Uma Aventura de Alice:Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. O Leão e o Unicórnio

eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. O Leão mentia às segundas,terças e quartas-feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Unicórnio mentiaàs quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outros dias da semana.

Problema 1:Um dia Alice encontrou o Leão e o Unicórnio descansando à sombra de uma árvore.

Eles disseram:Leão: Ontem foi um dos meus dias de mentir.Unicórnio: Ontem foi um dos meus dias de mentir.

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A partir dessas afirmações, Alice descobriu qual era o dia da semana. Qual era?

Problema 2:Em outra ocasião Alice encontrou o Leão sozinho. Ele fez as seguintes afirmações:1) Eu menti ontem.2) Eu mentirei daqui a 3 dias.Qual era o dia da semana ?

Problema 3:Em qual dia da semana é possível o Leão fazer as seguintes afirmações?1) Eu menti ontem.2) Eu mentirei amanhã.

Problema 4:Em que dias da semana é possível o Leão fazer cada uma das seguintes afirmações:

(a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã.(b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã.(c) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.(d) Menti ontem se, e somente se mentir amanhã.

Vamos a solução:

Problema 1:- Pela resposta do Leão, pode ser 2a ou 5a.- Pela resposta do Unicórnio, pode ser 5a ou domingo. Portanto, como os dois se

referiam a um mesmo dia da semana, este era quinta-feira.

Problema 2:- Por (1), o dia poderia ser 2a ou 5a.- Por (2), como o Leão mentirá 3 dias depois de hoje, hoje pode ser 2a, 3a, 4a, 6a,

sábado, domingo.Logo, o dia da semana era segunda-feira.

Problema 3- A afirmação (1) pode ser feita 2a ou 5a.- A afirmação (2) pode ser feita 4a e domingo.Portanto, não existe um dia na semana em que seja possível o Leão fazer as duas

afirmações.

Problema 4(a) Esta afirmação (que é uma conjunção) é uma mentira quando alguma das suas

componentes for falsa, logo, como mentira, o Leão pode afirmá-la 2a ou 4a.Por outro lado, ela será verdadeira somente quando suas duas componentes o forem,

logo o Leão não poderá afirmá-la em nenhum dia em que fala a verdade.Resposta2a ou 4a (compare este exercício com o Problema 3 e explique por que eles são dife-

rentes).

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(b) Esta afirmação (que é uma disjunção) é mentirosa quando as suas duas componen-tes forem falsas, logo o Leão não poderá afirmá-la nos dias em que mente. Por outro lado,ela será verdadeira quando pelo menos uma das suas componentes o for, assim o Leãopoderá afirmá-la na 5a ou no domingo.

Resposta5a ou domingo.(c) Esta afirmação (que é uma implicação), composta de duas outras, só é falsa quando,

sendo a primeira (premissa) verdadeira, a segunda (conclusão) for falsa. Logo, o Leão po-derá fazer uma afirmação mentirosa somente na 4a (na 2a e na 3a a afirmação é verdadeira? convença-se). Pelo mesmo motivo acima o Leão não poderá fazê-la na 5a, dia em quefala a verdade. Nos demais dias de verdade ele poderá fazê-la (6a, sábado e domingo), jáque, a premissa sendo falsa, a implicação é verdadeira (pense nisso!). Resposta: 4a, 6a,sábado ou domingo.

d) Esta afirmação (que é uma equivalência) é verdadeira quando suas duas componen-tes forem verdadeiras ou quando forem as duas falsas. Assim, ela é uma mentira, dentreos dias em que o Leão mente, somente na 2a ou na 4a. Dentre os dias em que ele fala averdade, ele poderá dizê-la somente na 6a ou no sábado.

Resposta2a, 4a, 6a ou sábado.Existem vários livros ou revistas que contêm problemas do tipo “charada lógica”. Na

bibliografia citamos alguns. Estes problemas podem ser usados aqui ou ali para chamara atenção de alguns tipos mais comuns de “falha de lógica” num raciocínio, como porexemplo:

Exercício 2Leia as seguintes afirmações:(1) Se um político tem muito dinheiro, então ele pode ganhar as eleições.(2) Se um político não tem muito dinheiro, então ele não pode ganhar as eleições.(3) Se um político pode ganhar as eleições, então ele tem muito dinheiro.(4) Se um político não pode ganhar as eleições, então ele não tem muito dinheiro.(5) Um político não pode ganhar as eleições se ele não tem muito dinheiro.Responda então:(a) Assumindo que (1) é verdadeiro, quais das outras afirmações são verdadeiras?(b) Qual é a negação de (1)? E a sua recíproca? E a sua contrapositiva ( contra-

recíproca )?(c) Mesmas perguntas para (5).

Resolução:

(a) Sendo (1) verdadeiro, não se pode saber nada sobre a veracidade de (2), (3) ou (5)(observe que (2) e (5) afirmam a mesma coisa). A única que é verdadeira como decorrênciade (1) é a afirmação (4).

(b) A proposição (1) é do tipo P→ Q, isto é, ela segue a estrutura Se... Então..., equeremos ∼ (P→ Q).

Como já sabemos que ∼ (P→ Q) = P∧ ∼ Q , agora ficou fácil, ou não ?- A negação de (1) é:“ Um político tem muito dinheiro e não pode ganhar as eleições ”.A recíproca de (1) é (3).- A contrapositiva de (1) é (4).

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(c) Sendo (5) verdadeira, (2), que é a mesma afirmação com outra maneira de escrever,também será obrigatoriamente verdadeira. Também (3), que é a contrapositiva de (2), seráobrigatoriamente verdadeira. Nada se pode afirmar sobre a veracidade de (1) ou (4).

- A negação de (5) é:“ Um político pode ganhar as eleições e não ter muito dinheiro ”.- A recíproca de (5) é (4).- A contrapositiva de (5) é (3).

Exercício 3:

Decida quais das afirmações são válidas.(a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum

pássaro é um girassol.(b) Alguns livros são verdes e algumas coisas verdes são comestíveis. Concluímos que

alguns livros são comestíveis.(c) Como todos os peixes são mamíferos, todos os mamíferos são aves e existem mi-

nerais que são peixes, concluímos que existem minerais que são aves.(d) Todos os homens são mortais. O presidente é um homem. Conclusão: O presidente

é mortal.(e) Alguns homens sabem nadar. Não existem peixes que não sabem nadar. Conclusão:

Os peixes sabem nadar.(f) Alguns santistas são surfistas. Alguns surfistas são loiros. Não existem professores

surfistas.Conclusões:(1) Alguns santistas são loiros.(2) Alguns professores são santistas.(3) Alguns loiros são professores.(4) Existem professores loiros.Neste exercício os diagramas de Venn podem ser utilizados, como a seguir:(a) Algumas configurações possíveis para as premissas do enunciado.

Análise as confuguração e veja que existe no mínimo uma configuração que torna apremissa verdadeira e a conclusão falsa. Assim, podemos concluir que a afirmação não éválida.

(b) Algumas configurações possíveis para as premissas do enunciado:

A configuração (2) nos permite concluir que a afirmação não é válida.

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Todos aqueles minerais que forem peixes, pelo diagrama são necessariamente aves,logo a conclusão é decorrente das premissas e a afirmação é válida, apesar de poder haveroutros diagramas cabíveis com a descrição das premissas ? por exemplo, algum que nãodeixe nenhum mineral ser mamífero sem ser peixe. (Esboce um assim.) Esta afirmação échamada silogismo. O mais famoso deles, deixado por Aristóteles, falava de Sócrates, aoinvés do presidente. E claramente válido.

(e )Esta afirmação é válida pois a conclusão é equivalente a uma das premissas.(f) Alguns diagramas possíveis para as premissas do enunciado.

Bastam estes dois diagramas para vermos que nenhuma das quatro conclusões é válidacom base nas premissas. Isso não impede que existam configurações em que todas asquatro sejam verdadeiras (faça exemplos de tais configurações onde todas as premissassejam verdadeiras e as conclusões também). Mas para que uma implicação genérica destetipo seja válida, não é possível que possamos exibir contra-exemplos como os acima. Umaafirmação destas só é válida quando for verdadeira em todos os modelos possíveis nosquais as premissas são verdadeiras.

Logo abaixo segue um dos problemas tirado do livro Malba Tahan - O Homem que Calculava,farei uma citação do problema, o qual também encontra-se no livro “ explorando o ensino da matemá-tica vol 1 ”.

O Problema se refere a 5 escravas de um poderoso califa. Três delas têm olhos azuis enunca falam a verdade.

As outras duas tem olhos negros e só dizem a verdade. As escravas se apresentaramcom os rostos cobertos por véus e Beremiz foi desafiado a determinar a cor dos olhos decada uma, tendo o direito a fazer três perguntas, não mais do que uma pergunta a cadaescrava. Para facilitar as referências, chamaremos as 5 escravas A, B, C, D e E.

Beremiz ( O homem que calculava ) começou perguntando à escrava A: “ Qual acor dos seus olhos ? ” Para seu desespero, ela respondeu em chinês, língua que ele

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não entendia, por isso protestou. Seu protesto não foi aceito, mas ficou decidido que asrespostas seguintes seriam em árabe. Em seguida, ele perguntou à B:

“ Qual foi a resposta que A me deu? ” B respondeu:“ Que seus olhos eram azuis ”.Finalmente, Beremiz perguntou à C:“ Quais as cores dos olhos de A e B ? ”A resposta de C foi: “ A tem olhos pretos e B tem olhos azuis ”. Neste ponto, o homem

que calculava concluiu.“ A tem olhos pretos, B azuis, C pretos, D azuis e E azuis. Acertou e todos ficaram

maravilhados ”.Explicação para a dedução de Beremiz: Em primeiro lugar, se perguntarmos a qualquer

das cinco escravas qual a cor dos seus olhos, sua resposta só poderá ser “ negros ”, tenha elaolhos azuis ou negros, pois na primeira hipótese ela mentirá e na segunda dirá a verdade.Logo, B mentiu e portanto seus olhos são azuis. Como C disse que os olhos de B eramazuis, C falou a verdade, logo seus olhos são negros. Também porque C fala a verdade, osolhos de A são negros. Como somente duas escravas tem olhos negros, segue-se que osolhos de D e E são azuis.

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Capítulo 8

Questões de Lógica em Concursos

Questão 8.1 ( FEI/SP ) - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira,referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:

A) Século XIX.

B) Século XX .

C) Antes de 1860.

D) Depois de 1830.

E) N.D.A

Questão 8.2 ( Prêmios da Feira )Quatro garotas no fundo da sala de aula estavam comparando o número de prêmios que ganharam

na feira. “Eu tenho um a mais do que você”, disse Bernice. “Eu tenho dois a mais do que você”, disseuma garota à outra. “Eu tenho três a mais do que você”, disse uma à outra. “Eu tenho quatro a maisdo que você”, “Eu tenho cinco a mais do que você”, “Eu tenho seis a mais do que você”, gritaramcom empolgação, mas não sabemos quem estava falando com quem.

Se elas ganharam um total de 27 prêmios, quantos Bernice ganhou ?

Questão 8.3 ( Desafio dos Chapéus )Três prisioneiros, todos inteligentes e astuciosos foram chamados para a sala do Diretor do presí-

dio. Um deles possuia visão normal, o outro era caolho e o terceiro era cego. O Diretor mostro-lhestrês chapéus, três pretos e dois vermelhos, e disse-lhes:

Pelo seu bom comportamento, vou-lhes dar uma chance de conquistar a liberdade. Dos cincochapéus que tenho em mãos, escolherei três para colocar em suas cabeças, mas não permitirei anenhum de vocês ver a cor do próprio chapéu embora possam ver a cor dos chapéus dos companheiros.

Assim procedendo, o Diretor disse ao prisioneiro com visão normal: Concedo-lhe a liberdade seacertar a cor do próprio chapéu que tem em sua cabeça. Mas se der a resposta errada, ficará presopelo resto da vida.

Após olhar atentamente para a cabeça dos outros dois, ele disse: Não tenho como saber a cor domeu chapéu. E não arriscarei correndo o risco de ficar preso pelo resto de minha vida.

Em seguida, foi dada a mesma oportunidade ao caolho que disse: Senhor Diretor, prefiro nãoarriscar, para não correr o risco de ficar preso pelo resto de minha vida.

Foi dada a mesma oportunidade ao cego que disse: Senhor Diretor, tenho a absoluta certeza sobrea cor do meu chapéu. Assim sendo, qual era a cor do chapéu do cego e como ele sabe de certeza ?

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Questão 8.4 ( Bolas e Caixas )Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas

brancas em quantidade suficiente para efetuar repetidamente o seguinte procedimento, até que sobremduas bolas na caixa:

Retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa;Se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de cor mais escura é devolvida para a caixa;Caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e coloca-se na caixa uma bola branca.

Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se garantir que

A) as duas serão brancas.

B) as duas serão cinzentas.

C) as duas serão pretas.

D) exatamente uma será preta.

E) exatamente uma será cinzenta.

Questão 8.5 ( Laranjas e maçãs )Você tem três caixas de frutas. Uma contém apenas maçãs, outra contém apenas laranjas, e

a última possui as duas frutas misturadas. Todas as caixas estão etiquetadas: uma diz “maçãs”;outra diz “laranjas”; a última diz “maçãs e laranjas”. Contudo, sabe-se que nenhuma das caixasestá etiquetada corretamente. De que maneira você poderia etiqueta-las corretamente, se só lhe épermitido pegar uma fruta de apenas uma das caixas ?

Questão 8.6 Três irmãs — Ana, Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferen-tes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntouquem era cada uma delas.

A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”;

A de branco disse: “Eu sou Maria”;

A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”.

Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamentequem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente:

A) preto, branco, azul.

B) preto, azul, branco.

C) azul, preto, branco.

D) azul, branco, preto.

E) branco, azul, preto.

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Questão 8.7 ( Desafio - OBM )Um lógico quis saber da enigmática senhora que estava ao seu lado quais eram as idades dos seus

filhos. A tal senhora tem 3 filhos e houve o seguinte diálogo:

- Senhora: O produto de suas idades é 36.

- Lógico: Ainda não sei.

- Senhora: A soma de suas idades é o número da casa aí em frente.

- Lógico: Agora fiquei em dúvida.

- Senhora: O mais velho toca piano.

- Lógico: Ah! Agora eu já sei quais são as idades.

E você, sabe quais são as idades ?

Questão 8.8 ( TCU/2004 - CESPE ) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q repre-sente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com basenessas informações e no texto, julgue ( Certo ou Errado ) os itens a seguir:

01. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode sercorretamente representada por (∼ P→ (∼ R∧ ∼ Q)).

02. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P∧∼Q.

03. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia forvalorada como V, então a sentença representada por (∼ P→ Q) é falsa.

04. O número de valorações possíveis para (Q∧ ∼ R)→ P é inferior a 9.

Questão 8.9 ( AFC/2002 ) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamenteequivalente a dizer que é verdade que:

A) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

B) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.

C) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

D) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.

E) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Questão 8.10 (CVM/2000) Dizer que a afirmação “ todos os economistas são médicos” é falsa, doponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

A) pelo menos um economista não é médico.

B) nenhum economista é médico.

C) nenhum médico é economista.

D) pelo menos um médico não é economista.

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E) todos os não médicos são não economistas.

Questão 8.11 (Fiscal Trabalho/98) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do pontode vista lógico, o mesmo que dizer que:

A) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.

B) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.

C) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.

D) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.

E) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

Questão 8.12 (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eulevo o guarda-chuva” é:

A) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.

B) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.

C) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

D) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.

E) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Questão 8.13 (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, entãoLuísa é solteira” é:

A) Pedro é economista ou Luísa é solteira.

B) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.

C) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.

D) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.

E) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

Questão 8.14 (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é:

A) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.

B) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.

C) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.

D) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.

E) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

34

Questão 8.15 (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:

A) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

B) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

C) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.

D) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.

E) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Questão 8.16 ( ELETRONORTE/2005 – NCE ) Se “ cada macaco fica no seu galho ”, então:

A) tem mais macaco do que galho

B) pode haver galho sem macaco

C) dois macacos dividem um galho

D) cada macaco fica em dois galhos

E) dois galhos dividem um macaco

Questão 8.17 Julgue Em Certo ou Errado O Item A Seguir.

( CESPE - DETRAN/ES ) A negação da proposição “Não dirija após ingerir bebidas alcoólicasou você pode causar um acidente de trânsito” é, do ponto de vista lógico, equivalente à afirmação“Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito”.

Questão 8.18 Julgue Em Certo ou Errado O Item A Seguir.

A negação da sentença “Estudo se e somente se não chover” é, do ponto de vista lógico, equiva-lente à afirmação “Estudo e chove ou não estudo e não chove”.

Questão 8.19 A negação de “Vadinho sempre bebe vinho no almoço” é:

A) Vadinho nunca bebe vinho no almoço.

B) Vadinho, às vezes, bebe água no almoço.

C) Pelo menos uma vez, Vadinho bebeu água no almoço.

D) Às vezes, Vadinho não bebe vinho no almoço.

E) Alguma vez, Vadinho não bebeu vinho no almoço.

Questão 8.20 ( FJG ) Considere que S seja a sentença: “Todo político é filiado a algum partido”. Asentença equivalente à negação da sentença S acima é:

A) Nenhum político é filiado a algum partido

B) Nenhum político não é filiado a qualquer partido

C) Pelo menos um político é filiado a algum partido

35

D) Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido

Questão 8.21 A negação de “O gato mia e o rato chia” é:

A) O gato não mia e o rato não chia.

B) O gato mia ou o rato chia.

C) O gato não mia ou o rato não chia.

D) O gato e o rato não miam nem chiam.

E) O gato chia e o rato mia.

Questão 8.22 Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair que jogar. Logo,

A) Jair não está machucado nem quer jogar.

B) Jair não quer jogar nem está machucado.

C) Jair não está machucado e quer jogar.

D) Jair está machucado e não quer jogar.

E) Jair está machucado e quer jogar.

Questão 8.23 ( ESAF ) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo.Assim:

A) Estudo e fumo.

B) Não fumo e surfo.

C) Não fumo e não surfo.

D) Estudo e não fumo.

E) Fumo e surfo.

Questão 8.24 ( ANCINE/2009-UFF ) Namoro ou estudo. Passeio e não estudo. Acampo ou nãoestudo. Ocorre que não acampo. Logo:

A) Estudo e passeio.

B) Não passeio e namoro.

C) Não acampo e não passeio.

D) Passeio e namoro.

E) Estudo e não passeio.

Questão 8.25 ( ESAF ) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vistalógico, o mesmo que dizer que:

36

A) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.

B) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.

C) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.

D) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.

E) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

Questão 8.26 Se a frase “dá ou desce” é falsa então a frase verdadeira é:

A) não dá ou não desce.

B) dá mas não desce.

C) não dá e desce.

D) não dá e não desce.

E) dá e desce.

Questão 8.27 Sabe-se que “A terra é redonda e a lua é redonda”. Com base nisso, julgue com certoou errado.

I – “Se a terra é quadrada então a lua é triangular”.

II – “Se a terra é redonda então a lua é quadrada”.

III – “Se a terra é quadrada então a lua é redonda”.

Questão 8.28 Sabe-se que “Alda é alta e Bino não é baixo”. Julgue com certo ou errado.

I – “Se Alda não é alta então Bino não é baixo”.

II – “Se Alda é alta então Bino é baixo”.

III – “Se Alda não é alta então Bino é baixo”.

IV – “Alda é alta ou Bino é baixo”.

V – “Alda não é alta ou Bino não é baixo”.

VI – “Alda não é alta ou Bino é baixo”.

Questão 8.29 Julgue com V ou F:

AFIRMAÇÃO: “Se é um quadrado, então possui quatro ângulos retos” ( )

RECÍPROCA: “Se possui quatro ângulos retos então é um quadrado” ( )

INVERSA: “Se não é um quadrado então não possui quatro ângulos retos” ( )

CONTRAPOSITIVA: “Se não possui quatro ângulos retos então não é um quadrado” ( )

37

Questão 8.30 AFIRMAÇÃO: “Se é Gaúcho então é Brasileiro”

RECÍPROCA: .....................................................................

INVERSA: .........................................................................

CONTRAPOSITIVA:............................................................

Questão 8.31 A proposição “Se o Roque bebe vinho então André bebe cerveja” é equivalente a:

A) Roque bebe vinho se, e somente se, André bebe cerveja.

B) Se Roque não bebe vinho, então André não bebe cerveja.

C) Se André não bebe cerveja, então Roque não bebe vinho.

D) Se André bebe cerveja, então Roque bebe vinho.

E) Se Roque bebe cerveja, então André bebe vinho.

Questão 8.32 Se Pedro gosta de pimenta, então ele é falante. Portanto:

A) Se Pedro não é falante, então ele não gosta de pimenta;

B) Se Pedro é falante então ele gosta de pimenta;

C) Se Pedro é falante então ele não gosta de pimenta;

D) Se Pedro não gosta de pimenta então ele não é falante;

E) Se Pedro gosta de pimenta, então ele não é falante;

Questão 8.33 ( CESGRANRIO ) Considere verdadeira a proposição: “Se alguém é brasileiro, entãonão desiste nunca”. Assim, é correto concluir que:

A) Se alguém desiste, então não é brasileiro.

B) Se alguém não desiste nunca, então não é brasileiro.

C) Se alguém não desiste nunca, então não é brasileiro.

D) Se alguém não é brasileiro, então desiste.

E) Se alguém não é brasileiro, então não desiste nunca.

Questão 8.34 A negação da afirmação “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:

A) Se não estiver chovendo eu levo o guarda-chuva;

B) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva;

C) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva;

D) Se estiver chovendo eu não levo o guarda-chuva;

E) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva;

38

Questão 8.35 (NCE/UFRJ) Sabendo que o símbolo ¬ denota negação e que o símbolo ∨ denota oconector lógico “ou”, a fórmula A→ B, que é lida como “Se A então B”, pode ser escrita como:

A) A∨B

B) ¬A∨B

C) A∨¬B

D) ¬A∨¬B

E) ¬(A∨B)

Questão 8.36 (GEFAZ/MG/2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, entãoPaulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:

A) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo está em Paris”.

B) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris”.

C) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris”.

D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.

E) É verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris”.

Questão 8.37 Julgue com certo ou errado.

É correto o raciocínio dado pela sequência de proposições seguintes:

Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.

Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.

Questão 8.38 (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então opassarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

A) O jardim é florido e o gato mia.

B) O jardim é florido e o gato não mia.

C) O jardim não é florido e o gato mia.

D) O jardim não é florido e o gato não mia.

E) Se o passarinho canta, então o gato não mia.

Questão 8.39 Se o Santos ganha do Milan, o Benfica ganha do Flamengo. Se o Benfica ganha doFlamengo, o Palmeiras não perde para o Barcelona. Se o Palmeiras não perde para o Barcelona, oCruzeiro empata com o Atlético. Se o Cruzeiro empata com o Atlético, o Grêmio joga com o Inter.Ora, o Grêmio não joga com o Inter, então podemos afirmar:

A) O Palmeiras empata com o Barcelona

B) O Cruzeiro ganha do Atlético e o Palmeiras ganha do Barcelona

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C) O Atlético ganha do Cruzeiro

D) O Palmeiras perde para o Barcelona e o Atlético ganha do Cruzeiro

E) O Cruzeiro pode ter ganho do Atlético

Questão 8.40 ( ESAF/AFC-96 ) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm amesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João émais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho doque Maria. Então,

A) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro

B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade

C) Carlos e João são mais moços do que Pedro

D) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro

E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não tem a mesma idade

Questão 8.41 ( CESGRANRIO ) Considere verdadeira a declaração abaixo. “Todo ser humano évaidoso” Com base nessa declaração, é correto concluir que:

A) se é vaidoso , então não é humano

B) se é vaidoso, então é humano

C) se não é vaidoso, então não é humano

D) se não é vaidoso, então é humano

E) se não é humano, então não é vaidoso

Questão 8.42 Considere a declaração “SOMENTE OS BANDIDOS SÃO CORRUPTOS” Logo:

A) se é bandido então é corrupto

B) há corruptos que não são bandidos

C) se é corrupto então é bandido

D) se não é corrupto então não é bandido

E) todo bandido é corrupto

Questão 8.43 Somente os filósofos são bons maridos. Então:

A) todo filósofo é bom marido

B) ser filósofo é condição suficiente para ser bom marido

C) se é filósofo então é bom marido

D) se não é bom marido então não é filósofo

40

E) ser bom marido é condição suficiente para saber que é filósofo

Questão 8.44 SOMENTE QUEM SOFREU SABE PERDOAR. Logo:

A) Perdoar é condição necessária para ter sofrido

B) Ter sofrido é condição suficiente para perdoar

C) Ter sofrido é condição necessária para perdoar

D) Todos os que sofreram sabem perdoar

E) Nem todos os que perdoam já sofreram

Questão 8.45 (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência deC e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se também, que a ocorrência de D é condiçãonecessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,

A) D ocorre e B não ocorre

B) D não ocorre ou A ocorre

C) B e A ocorrem

D) Nem B nem D ocorrem

E) B não ocorre ou A não ocorre

Questão 8.46 Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:

A) seu esforço é condição suficiente para vencer

B) seu esforço é condição necessária para vencer

C) se você não se esforçar, então não vencerá

D) você vencerá só se se esforçar

E) mesmo que se esforce, você não vencerá

Questão 8.47 (CESGRANRIO/2007) Considere verdadeira a proposição “Marcela joga vôlei ou Ro-drigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:

A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei

B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete

C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete

D) é necessário , mas não suficiente , que Rodrigo deixe de jogar basquete

E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei

Questão 8.48 Se é gaúcho então anda a cavalo. Se anda a cavalo então é gaúcho. Portanto é FALSOque:

41

A) Ser gaúcho é necessário o suficiente para andar a cavalo.

B) Anda a cavalo se, e somente se, é gaúcho.

C) Não ser gaúcho é necessário e suficiente para não andar a cavalo.

D) Não é gaúcho se, e somente se, não anda a cavalo.

E) Anda a cavalo e não é gaúcho.

Questão 8.49 Julgue com CERTO ou ERRADO:

“Helena vive com Pedro se, e somente se o passarinho canta”. Ora, o passarinho não canta. Nessecaso é correto afirmar que é possível que Helena viva com Pedro.

Questão 8.50 “É alagoano se, e somente se, bebe água de coco”. Pedro não bebe água de coco.Portanto:

A) Pedro pode ser alagoano.

B) Pedro deve ser alagoano.

C) Pedro, com certeza, não é alagoano.

D) Não beber água de coco não é suficiente para não ser alagoano.

E) Não é necessário beber água de coco par ser alagoano.

Questão 8.51 Em uma corrida participam 5 atletas. A esse respeito são feitas três afirmações:

I - Paco chega antes de Pico e depois de Tuco.

II - Paco chega antes de Pepe e Pepe chega antes de Pico se, e somente se, Pico chega depois deTuco.

III - Bob não chega junto com Pepe se, e somente se, Paco chega junto com Pico.

Assim, podemos concluir:

A) Tuco venceu a corrida e Pepe foi o segundo.

B) Paco chega junto com Pico.

C) Pepe chega junto com Bob e Paco vence a corrida.

D) Bob vence a corrida.

E) Tuco vence a corrida e Bob chega junto com Pepe.

Questão 8.52 “Joga xadrez se, e somente se, sabe matemática”. É falso que:

A) Se joga xadrez então sabe matemática.

B) Se sabe matemática então joga xadrez.

C) Se não joga xadrez então não sabe matemática.

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D) Se não sabe matemática então não joga xadrez.

E) Não é necessário jogar xadrez para saber matemática.

Questão 8.53 “É ouro se, e somente se, reluz”. Então podemos afirmar:

A) Nem tudo que reluz é ouro.

B) Tudo o que é dourado é ouro.

C) Pode haver algo que reluz e não é ouro.

D) Tudo o que reluz é ouro.

E) Não é necessário ser ouro para reluzir.

Questão 8.54 A negação de “Ter dinheiro é condição necessária e suficiente para ter amor” é:

A) Há dinheiro e não há amor.

B) Há amor e não há dinheiro.

C) Ou há dinheiro, ou há amor mas não ambas coisas.

D) Há dinheiro ou há amor.

E) Há dinheiro ou não há amor.

Questão 8.55 A frase “É diamante se, e somente se, é azul” é falsa. Portanto:

A) Existe pelo menos um diamante que não é azul ou existe algo azul que não é diamante.

B) Ser azul é condição necessária e suficiente para ser diamante.

C) Todo diamante é azul.

D) Se não é azul então não é diamante.

E) Tudo o que é azul é diamante.

Questão 8.56 (FCC- AGENTE FISCAL DE RENDAS) Se p e q são proposições, então a proposição“ (p→ q)∨ ∼ q ” é uma tautologia. Certo ou Errado ?

Questão 8.57 (ESAF) Três rivais , Ana, Bia e Cláudia , trocam acusações:

A Bia mente , diz Ana.

A Cláudia mente, Bia diz.

Ana e Bia mentem, diz Cláudia.

Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que:

A) Apenas Ana mente

B) Apenas Cláudia mente

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C) Apenas Bia mente

D) Ana e Cláudia mentem

E) Ana e Bia mentem

Questão 8.58 Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visitaAna, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto, que Pedro:

A) bebe, visita Ana, não lê poesias

B) Não bebe, visita Ana, não lê poesias

C) bebe, não visita Ana, lê poesias

D) não bebe, não visita Ana, não lê poesias

E) não bebe, não visita Ana lê poesias

Questão 8.59 Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tâniasempre fala a verdade, Janete às vezes fala a verdade, e Angélica nunca fala a verdade. A que estásentada à esquerda diz “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz:“Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada nomeio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são,respectivamente,

A) Janete, Tânia e Angélica.

B) Janete, Angélica e Tânia.

C) Angélica, Janete e Tânia.

D) Angélica, Tânia e Janete.

E) Tânia, Angélica e Janete.

Questão 8.60 (ESAF/MF-2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrousem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar,eles informaram:

“Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.

“Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.

“Foi a Mara”, disse Manuel.

“O Mário está mentindo”, disse Mara.

“Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.

Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quementrou sem pagar foi:

A) Mário

44

B) Marcos

C) Mara

D) Manuel

E) Maria

Questão 8.61 (TTN/98) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é neces-sariamente verdadeiro que:

A) Algum A não é G

B) Algum A é G

C) Nenhum A é G

D) Algum G é A

E) Nenhum G é A

Questão 8.62 Considere-se as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):

Premissa 1: “X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P”

Premissa 2: “X não está contido em P”

Pode-se, então, concluir que, necessariamente

A) Y está contido em Z

B) X está contido em Z

C) Y está contido em Z ou em P

D) X não está contido nem em P nem em Y

E) X não está contido nem em Y e nem em Z

Questão 8.63 ( CESGRANRIO ) Considere verdadeiras as afirmativas a seguir.

I – Alguns homens gostam de futebol.

II – Quem gosta de futebol vai aos estádios.

Com base nas afirmativas acima, é correto concluir que:

A) Todos os homens não vão aos estádios.

B) Apenas homens vão aos estádios.

C) Há homens que vão aos estádios.

D) Se um homem não vai a estádio algum, então ele não gosta de futebol.

45

E) Nenhuma mulher vai aos estádios.

Questão 8.64 A negação da proposição “Para todo y existe um x tal que y = senx” é:

A) Para todo y, existe um x tal que y = sen x.

B) Para todo y e para todo x, y = sen x.

C) Existe um y e existe um x, tal que y = sen x.

D) Existe um y tal que, para x, y = sen x.

E) Existe um y tal que, para x, y 6= senx.

Questão 8.65 A negação de “ x ∈ (A∪B)” equivalente a:

A) x 6∈ (A∪B).

B) x ∈ A e x ∈ B.

C) x 6∈ A e x ∈ B.

D) x 6∈ A e x 6∈ B.

E) x 6∈ A ou x 6∈ B.

Questão 8.66 A negação de “Para todo real x, existe um real y tal que y < x” é equivalente a:

A) Existe um real x tal que x≤ y para todo real y.

B) Não existe um real x tal que x≤ y para todo real y.

C) Existe um x real tal que y≤ x para todo real y.

D) Não existe um x real tal que y≤ x para todo real y.

E) Para todos reais x, y, com x < y, existe um real z com x < z < y.

Questão 8.67 A negação de (∃x)(x≥ 7) é:

A) (∀x)(x < 7)

B) (∃x)(x≤ 7)

C) (∃x)(x < 7)

D) (∀x)(x≤ 7)

E) (∃x)(x 6= 7)

Questão 8.68 A negação de (∀x)(x+3≤ 8)∧ (∃x)(x2−4 = 7) é:

A) (∀x)(x+3 > 8)∨ (∃x)(x2−4 6= 7)

B) (∃x)(x+3 > 8)∨ (∀x)(x2−4 6= 7)

46

C) (∀x)(x+3≥ 8)∨ (∃x)(x2−4 6= 7)

D) (∃x)(x+3 > 8)∧ (∀x)(x2−4 6= 7)

E) (∃x)(x+3 6= 8)∧ (∀x)(x2−4 6= 7)

Questão 8.69 Texto para as duas questões que segue:

Os sobrenomes de Anita, Beatriz e Cristina são Alves, Belmonte e Costa, mas não necessariamentenessa ordem. A de sobrenome Belmonte, que não é Anita, é mais velha que Cristina e a de sobrenomeCosta é a mais velha das três.

1. Os sobrenomes de Anita, Beatriz e Cristina são, respectivamente:

A) Alves, Belmonte e Costa

B) Alves, Costa e Belmonte

C) Costa, Alves e Belmonte

D) Costa, Belmonte e Alves

E) Braga, Alves e Costa

2. Em ordem crescente de idade, o nome de cada uma é:

A) Anita, Beatriz e Cristina

B) Cristina , Anita e Beatriz

C) Beatriz, Cristina e Anita

D) Anita, Cristina e Beatriz

E) Cristina, Beatriz e Anita

Questão 8.70 Os carros de Adir, Beto e Carlos são , não necessariamente nessa ordem, um fusca,uma Kombi e um jipe. As cores dos carros são azul, vermelho e amarelo. O carro de Adir é azul; ocarro de Carlos é o jipe; o carro de Beto não é fusca e não é vermelho. As cores do fusca, Kombi ejipe são , respectivamente,

A) azul, amarelo, vermelho

B) amarelo, azul , vermelho

C) vermelho, azul, amarelo

D) azul, vermelho, amarelo

E) amarelo, vermelho, azul

Questão 8.71 Mauro, José e Lauro são três irmãos. Cada um deles nasceu em um estado diferente:um é mineiro, outro é carioca, e outro é paulista ( não necessariamente nessa ordem ). Os trêstêm, também, profissões diferentes: um é engenheiro, outro é veterinário , e outro é psicólogo ( nãonecessariamente nessa ordem ). Sabendo que José é mineiro, que o engenheiro é paulista e que Lauroé veterinário, conclui-se corretamente que:

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A) Lauro é paulista e José é psicólogo

B) Mauro é carioca e José é psicólogo

C) Lauro é carioca e Mauro é psicólogo

D) Mauro é paulista e José é psicólogo

E) Mauro é carioca e Lauro é engenheiro

Questão 8.72 ( FCC ) Um departamento de uma empresa de consultoria é composto por dois geren-tes e três consultores. Todo cliente desse departamento necessariamente é atendido por uma equipeformada por um gerente e dois consultores. As equipes escaladas para atender três diferentes clientessão mostradas abaixo.

CLIENTE 1: André, Bruno e Cecília.

CLIENTE 2: Cecília, Débora e Evandro.

CLIENTE 3: André, Bruno Evandro.

A partir dessas informações, pode-se concluir que:

A) André é consultor.

B) Bruno é gerente.

C) Cecília é gerente.

D) Débora é consultora.

E) Evandro é consultor.

Questão 8.73 Julgue em Certo ou Errado, os itens a seguir.

∼ (A∨B)→ (∼ A)∨B é uma tautologia.

A∧ (∼ B)→ [∼ (A∧B)] é uma tautologia.

(A→ B)↔ [(∼ B)→ (∼ A)] é uma tautologia.

Questão 8.74 ( CESGRANRIO-REFAP ) Léa, Mara e Lúcia têm, cada uma, um único bicho deestimação. Uma delas tem um pônei, outra tem um peixe e a terceira, uma tartaruga. Sabe-se que:

- Léa não é a dona do peixe.

- Lúcia não é a dona do pônei.

- A tartaruga não pertence a Mara.

- O peixe não pertence a Lúcia.

Com base nas informações acima, é correto afirmar que:

A) Léa é dona do peixe.

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B) Léa é dona da tartaruga.

C) Mara é dona do pônei.

D) Lúcia é dona da tartaruga.

E) Lúcia é dona do peixe.

Questão 8.75 Considerando as afirmativas abaixo, marque a única opção logicamente possível:

I - Assinale a letra A, se E estiver certa.

II - Assinale a letra C, se B for incorreta.

III - A letra E será o gabarito, se D for a opção verdadeira.

IV - Se D estiver correta, B também estará.

A) A B) B C) C D) D E) E

Questão 8.76 (MPU/2004) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove,não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove eestou deprimida, não passeio. Hoje passeio, portanto hoje:

A) Vejo Carlos e não estou deprimida, e chove, e faz calor.

B) Não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove e faz calor.

C) Vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.

D) Não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.

E) Vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

Questão 8.77 Três amigos - Luís, Marcos e Nestor - são casados com Teresa, Regina e Sandra ( nãonecessariamente nesta ordem ). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeramas seguintes declarações:

Nestor: Marcos é casado com Teresa.

Luís: Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina.

Marcos: Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra.

Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-seque as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:

A) Sandra, Teresa, Regina

B) Sandra, Regina, Teresa

C) Regina, Sandra, Teresa

D) Teresa, Regina, Sandra

E) Teresa, Sandra, Regina

49

Questão 8.78 Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia éinocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

A) Lauro é culpado e Sônia é culpada.

B) Sônia é culpada e Roberto é inocente.

C) Pedro é culpado ou Roberto é culpado.

D) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado.

E) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente.

Questão 8.79 (ESAF) Se Luís estuda História, então Pedro estuda matemática. Se Helena estudaFilosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logosegue-se necessariamente que:

A) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina.

B) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina.

C) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina.

D) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática.

E) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia.

Questão 8.80 (ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então,ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espa-nhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora,Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo:

A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.

B) Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês.

C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.

D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.

E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Questão 8.81 (ESAF) Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempremente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que às vezes fala a verdade e àsvezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo queterminara, um deles declarou: “Foi empate”, o segundo disse “Não foi empate” e o terceiro falou“Nós perdemos”. O torcedor reconheceu somente o meio-campista mas pode deduzir o resultado dojogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente,

A) Foi empate / o XFC venceu.

B) Não foi empate / empate.

C) Nós perdemos / o XFC perdeu.

50

D) Não foi empate / o XFC perdeu.

E) Foi empate / empate.

Questão 8.82 (AFCE-TCU-99-ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todoartista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que nãoseja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,

A) Todo responsável é artista.

B) Todo responsável é filósofo ou poeta.

C) Todo artista é responsável.

D) Algum filósofo é poeta.

E) Algum trabalhador é filósofo.

Questão 8.83 (ESAF) Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “Nenhum músico époeta”, então, também é necessariamente verdade que

A) Nenhum músico é escritor.

B) Algum escritor é músico.

C) Algum músico é escritor.

D) Algum escritor não é músico.

E) Nenhum escritor é músico.

Questão 8.84 (ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grauestiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casa-mento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:

A) Todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento deHélio.

B) Pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.

C) Alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio.

D) Alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

E) Todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.

Questão 8.85 (ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano.Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dançaé professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e algunsprofessores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano éprofessor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum,então:

A) Nenhum professor de violão é professor de canto.

51

B) Pelo menos um professor de violão é professor de teatro.

C) Pelo menos um professor de canto é professor de teatro.

D) Todos os professores de piano são professores de canto.

E) Todos os professores de piano são professores de violão.

Questão 8.86 (ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e ma-gras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabeloscrespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina decabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenhacabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:

A) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.

B) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.

C) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.

D) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.

E) nenhuma menina alegre é loira.

Questão 8.87 (ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem,uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul.O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é aBrasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:

A) cinza, verde e azul.

B) azul, cinza e verde.

C) azul, verde e cinza.

D) cinza, azul e verde.

E) verde, azul e cinza.

Questão 8.88 (ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morenae a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chamaSara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas iráà Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificaro nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.

A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.

A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

A) A loura é Sara e vai à Espanha.

52

B) A ruiva é Sara e vai à França.

C) A ruiva é Bete e vai à Espanha.

D) A morena é Bete e vai à Espanha.

E) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Questão 8.89 (Fiscal do Trabalho-2003-ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Comohá apenas um tabuleiro, eles combinam que:

a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;

b) marido e esposa não jogam entre si.

Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia.Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos.E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são,respectivamente:

A) Celina e Alberto.

B) Ana e Carlos.

C) Júlia e Gustavo.

D) Ana e Alberto.

E) Celina e Gustavo.

Questão 8.90 (MPU-2004-ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatrosindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca eum baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez,Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

A) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.

B) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.

C) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.

D) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

E) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

Questão 8.91 (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cincosuspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada umdeles respondeu:

Armando: Sou inocente.

Celso: Edu é o culpado.

Edu: Tarso é o culpado.

Juarez: Armando disse a verdade.

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Tarso: Celso mentiu.

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-seconcluir que o culpado é:

A) Armando B) Celso C) Edu D) Juarez E) Tarso

Questão 8.92 (SERPRO-2001-ESAF) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas deramquatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber: estatura, cor deolhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.

Testemunha 1: Ele é alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.

Testemunha 2: Ele é baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.

Testemunha 3: Ele é de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.

Testemunha 4: Ele é alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.

Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do assaltante, ecada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas. Assim, o assaltante é:

A) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.

B) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.

C) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode.

D) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode.

E) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.

Questão 8.93 (Fiscal Recife 2003 ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente,então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:

A) Caio e Beto são inocentes.

B) André e Caio são inocentes.

C) André e Beto são inocentes.

D) Caio e Dênis são culpados.

E) André e Dênis são culpados.

Questão 8.94 (AFC-SFC-2001-ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, onavio não afundou. Logo,

A) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.

B) Camile e Carla não foram ao casamento.

C) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou.

D) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.

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E) Vera e Vanderléia não viajaram.

Questão 8.95 (TCU-2002-ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo,e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesaé condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir aojardim. O barão não sorriu. Logo:

A) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.

B) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.

C) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.

D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.

E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

Questão 8.96 (MRE-2004-ESAF) Se X ≥Y , então Z > P ou Q≤ R. Se Z > P, então S≤ T . Se S≤ T ,então Q≤ R. Ora, Q > R, logo:

A) S > T e Z ≤ P.

B) S≥ T e Z > P.

C) X ≥ Y e Z ≤ P.

D) X > Y e Z ≤ P.

E) X < Y e S < T .

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Capítulo 9

Respostas das Questões de R. Lógico

8.1) As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas. A alternativa (E)não pode ser verdadeira, pois implicaria que o escritor nem teria nascido. A alternativa (D) não podeser verdadeira, pois implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou XX e, pelo enunciado, só existe umaalternativa verdadeira. POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só pode ser a C).

8.2) Segue o número de prêmios de cada uma: x; x+1; x+4 e x+6. Como essa soma vale 27, temosque x = 4, assim, Bernice ganhou 5 prêmios.

8.3) O prisioneiro cego raciocinou da seguinte forma: vamos supor que meu chapéu fosse vermel-lho. Como o prisioneiro com visão normal não conseguiu descobrir a cor do próprio chapéu, isto querdizer que os outros dois não tinham, ambos, chapéus vermelhos. Nesta hipótese o chapéu do caolhoera preto e ele teria respondido com certeza a pergunta do diretor. Como ele não quis arriscar, o meuchapéu só poder ser preto.

8.4) Quando se retiram duas bolas pretas da caixa, elas não retornam; mas quando as bolas retiradassão uma preta e outra de cor distinta, a preta retorna. Isso mostra que o número de bolas pretas na caixadiminui de dois em dois. Como o número inicial de bolas pretas é ímpar, sempre haverá um númeroímpar de bolas pretas na caixa; desse modo, exatamente uma das duas bolas que sobrar na caixa épreta. Ficamos assim, com a letra D).

8.5) Pegue uma fruta da caixa onde se lê “maçãs e laranjas”. Caso a fruta selecionada seja umamaçã, esta só poderá ser a caixa que contém apenas maçãs. Com isso, a caixa onde se lê “laranjas”,não poderá ser a caixa contendo apenas maçãs, e nem a caixa contendo apenas laranjas. Logo, seráa caixa que contém maçãs e laranjas misturadas. Enfim, a caixa restante, onde se lê “maçãs”, será acaixa contendo apenas laranjas.

Agora, caso a fruta selecionada tenha sido uma laranja, a solução deriva-se do mesmo raciocínio: acaixa onde se lê “maçãs e laranjas” é a caixa que contém apenas laranjas; a caixa onde se lê “maçãs”,é a caixa contendo maçãs e laranjas misturadas e a caixa onde se lê “laranjas”, é a que contém apenasmaçãs.

8.6) B) 8.7) as idades são: 2, 2 e 9

8.8) 01) Certo, 02) Certo, 03) Errado e 04) Certo, já que 23 = 8 < 9.

8.9) ∼ (P∧Q) =∼ P ∨ ∼ Q, chegando assim, a letra A).

8.10) A negação de todos é pelo menos um ( algum ), assim ficamos com a letra A).

8.11) P→ Q⇔ (∼ P∨Q), isto é, letra A).

56

8.12) ∼ (P→ Q) = ∼ (∼ P∨Q) = (P∧ ∼ Q), isto é, letra E).

8.13) Basta lembrar que a contra-recíproca de (P→ Q) é (∼ Q→∼ P), isto é, letra E).

8.14) Basta usar a tabela-verdade e testar as opções, assim, chegaremos a letra A).

8.15) Lembrando que a primeira parte da condicional é uma condição suficiente e que a segundaparte é uma condição necessária e usando a contra-recíproca de P→ Q, chegaremos a letra E).

8.16) a) Quando dizemos que cada macaco fica em seu galho, estamos afirmando que todo macacofica em algum galho.

b) Não podemos dizer necessariamente que todo galho terá algum macaco pendurado. Logo, podehaver algum galho que fique sem macaco. Assim, ficamos com a letra B).

8.17) ∼ (∼ P∨Q) = (P∧ ∼ Q), então, tá correta.

8.18) ∼ (P↔ Q) =∼ ((P→ Q)∧ (Q→ P)) = (P∧ ∼ Q)∨ (Q∧ ∼ P), então, tá correta.

8.19) Ver Proposições Categóricas.Por exemplo, a negação de Todo político é rico é: Algum político não é rico. Podemos escrever a

proposição como: Se está bebendo vinho, então está almoçando. Assim, ficamos com a letra E).

8.20) D) 8.21) ∼ (P∧Q) = ∼ P ∨ ∼ Q, isto é, letra C). 8.22) E).

8.23) E) 8.24) D) 8.25) P→ Q = ∼ P∨Q, isto é, letra A).

8.26) ∼ (P∨Q) = ∼ P∧ ∼ Q, isto é, letra D).

8.27) I) Certo, II) Errado, III) Certo. Ver a tabela-verdade da condicional.

8.28) I) Certo, II) Errado, III) Certo, IV) Certo, V) Certo e VI) Errado. Idem a questão anterior.

8.29) Afirmação é verdadeira, Recíproca é falsa, um exemplo é o retângulo, Inversa é falsa e aContra Positiva é verdadeira.

8.30) Recíproca: Se é Brasileiro, então é Gaúcho.

Inversa: Se não é Gaúcho, então não é Brasileiro.

Contra Positiva: Se não é Brasileiro, então não é Gaúcho.

8.31) Basta usar a contra positiva e chegaremos a letra C).

8.32) Idem ao item anterior e chegaremos a letra A). 8.33) A).

8.34) ∼ (P→ Q) = P∧ ∼ Q, isto é, letra E).

8.35) B) 8.36) P→ Q = ∼ P∨Q, isto é, letra D).

8.37) Errado. 8.38) C) 8.39) E) 8.40) E) 8.41) C)

8.42) A→ B, significa, entre outras coisa que somente B é A, assim, chegamos a letra C).

8.43) E) 8.44) C) 8.45) C→ B e B→ D e D↔ A, assim, chegaremos a letra C).

8.46) A) 8.47) ∼ (P∨Q) = ∼ P∧ ∼ Q, isto é, letra D).

8.47) ∼ (P∨Q) = ∼ P∧ ∼ Q, isto é, letra D) 8.48) Por exclusão, chegaremos a letra E).

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8.49) Errado 8.50) C) 8.51) E) 8.52) Por exclusão, E). 8.53) Por exclusão, D).

8.54) ∼ (P↔ Q) = PYQ, isto é, C). 8.55) Por exclusão, A).

8.56) Certo. 8.57) D) 8.58) B) 8.59) B) 8.60) C).

8.61) Usando Diagramas, A). 8.62) B). 8.63) D). 8.64) E).

8.65) D). 8.66) A). 8.67) A). 8.68) B). 8.69) 1-D) e 2-E).

8.70) A). 8.71) D). 8.72) E). 8.73) Todos os casos, são tautologias.

8.74) D). 8.75) C). 8.76) C). 8.77) D). 8.78) C).

8.79) A). 8.80) A). 8.81) A). 8.82) Por Diagramas, C).

8.83) Por diagramas, D). 8.84) Por diagramas, B). 8.85) Por diagramas, A).

8.86) E). 8.87) D). 8.88) E). 8.89) A). 8.90) A).

8.91) E). 8.92) C). 8.93) B). 8.94) E). 8.95) C). 8.95) C). 8.96) A).

Dúvidas, entre em contato .

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Capítulo 10

Contagem

Princípio Fundamental de Contagem:Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2

pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisõesD1 e D2 é igual a pq.

Antes de iniciar com as questões vamos usar a seguinte estratégia:

1 Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada peloproblema e ver que decisões devemos tomar.

2 Divisão: Devemos sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões maissimples, correspondentes às diversas etapas do processo de decisão.

3 Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensasdificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as demais, essa é adecisão que deve ser tomada em primeiro lugar.

Problema 10.1 Quantas são as formas de pintar a bandeira a seguir utilizando 3 cores diferentesdentre 4 dadas ?

Solução:

Temos 3 decisões consecutivas a tomar: a cor externa, e a do retângulo e a do círculo.Cor externa: 4, Retângulo 3, Círculo: 2.

Logo, pelo P.F.C, temos que o número total de possibilidades é 4.3.2 = 24.

Tendo diversas etapas de decisão, podemos usar o P.F.C desde que o número de possibilidades emcada etapa não dependa das decisões anteriores.

Problema 10.2 Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores disponíveis. De quantos modos ela podeser pintada de modo que faixas adjacentes tenham cores distintas ?

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Solução:

Qual a primeira decisão a ser tomada ? → lembre-se da postura.

É escolher em que ordem vamos pintar a bandeira. ( de cima pra baixo ?! )

Cor da primeira faixa: 4 possibilidades.

Cor da segunda faixa: 3 possibilidades.

Cor da terceira faixa: 3 possibilidades ( qualquer cor, exceto a usada para segunda faixa ).

Assim, pelo P.F.C temos 4.3.3 = 36.

Problema 10.3 Quantos são os números pares de três dígitos distintos ?

Solução:

−→ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Por onde devemos começar→ qual a decisão mais restrita ?Último digito: 0, 2, 4, 6 ou 8.De quantos modos podemos escolher o primeiro dígito ?Resp:“Depende": se não estivermos usado o zero, haverá 8 modos, pois não poderemos usar nem

o zero nem o dígito já usado na última casa. Se já tivermos usado o 0, haverá 9 modos, pois apenas o0 não poderá ser usado na primeira casa.

Como resolver esse impasse ?Dividir as decisões em decisões mais simples→ contar separadamente.

−→ 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Contaremos separadamente os números que terminam em 0 e os que não terminam em 0.

Que terminam em 0: Há 1 modo de escolher o último dígito, 9 modos de escolher o primeiro e 8modos de escolher o digito central. Temos assim: 1.9.8 = 72 números de dígitos distintos terminadosem 0.

Que não terminam em 0: Há 4 modos de escolher o último dígito, 8 modos de escolher o primeiroe 8 modos de escolher o do meio. Assim, temos: 4.8.8 = 256 números pares de dígitos distintos quenão terminam em 0.

Temos, portanto 72+256 = 328 números pares de 3 dígitos distintos.

Problema 10.4 De quantos modos pode-se escolher 3 dos jogadores de um time de futebol, pararepresentá-lo em uma cerimônia de premiação?

Solução:

À primeira vista, parece ser simples resolvê-lo pelo P.F.C: bastar escolher um representante decada vez, assim teriamos: 11.10.9 = 990→ ERRADO !

→ 11 jogadores

Jogadores escolhidos: {A,B,C}{A,B,C}= {B,C,A}= {C,B,A}· · · → Comissões iguais.

Quantas vezes vão surgir A, B e C ?

P.F.C→ 3.2.1 = 3! = 6 vezes.

Logo, o número correto de comissões é 990 dividido por 6, que resulta em 165 comissões.

60

De modo geral, o número de modos de escolher p dentre n objetos é representado por Cn,p, que

corresponde an(n−1) · · ·(n− p+1)

p(p−1)(p−2) · · ·1., isto é,

Cn,p =n!

p!(n− p)!

Problema 10.5 Quantos são os anagramas da palavra “BANANA"?

Solução:

A resposta 6! = 720→ Errado !

Para formar um anagrama de “BANANA"devemos colocar as seis letras (que não são todas dife-rentes) em 6 lugares.

Para isso devemos escolher 3 dos 6 lugares para colocar as letras A:

C6,3 =6!

3!(6−3)!=

6.5.4.3!3!.3!

= 20 modos.

Em seguida devemos escolher 1 dos 3 lugares restantes para colocar a letra B: 3 modos.Finalmente, há apenas um modo de colocar as duas letras A nos dois lugares restantes→ Temos,

assim: 20.3.1 = 60.Solução 2:

−→ BANANA

Se as letras fossem diferentes a resposta seria→ 6!.

Como as três letras A são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e nãoum anagrama distinto, o que aconteceria se fossem diferentes.

Então contamos o mesmo número de anagramas varias vezes, mas quantas exatamente?Modos de trocar a letra A→ 3! e modos de trocar a letra N→ 2!

Logo, o número de anagramas é:6!

3!.2!=

6.5.4.3!3!.2

= 60.

De modo geral, o número de permutacões de n objetos, dos quais α são iguais a A, β são iguais aB, λ são iguais a C, etc., é:

Pα,β,λ,···n =

n!α!β!λ! · · ·

Problema 10.6 De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada ?

Solução:

Resp: 8! → Errado !, C8,4→ Errado !

ABCD / EFGH = EFGH / ABCD. Além disso, divisões como ABCD / EFGH e ABDC / EFHG,que diferem pela ordem dos elementos de cada grupo, apesar de identicas foram contadas como sefossem distintas. Cada divisão foi contada 2.4!.4! vezes. Se contamos 8! divisões e cada divisão foi

contada 2.4!.4! vezes, o número de divisões é8!

2.4!.4!= 35.

61

De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada ?

Solução 2:

O primeiro grupo pode ser escolhido de C8,4 modos. Sobram assim, 4 pessoas e só há um modo deformar o segundo grupo. Pelo, P.F.C, a resposta parece ser C8,4.1. Entretanto, contamos cada divisão

duas vezes. Assim, a resposta correta éC8,4

2= 35.

62

Capítulo 11

Probabilidade

Vamos aproveitar e estudar um pouco sobre probabilidade e vamos tentar ligar os conceitos de lógicae conjuntos a esse mundo probabilístico.

ESPAÇO AMOSTRAL : É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento alea-tório ( ao acaso ). Vamos usar a letra S para representar o espaço amostral.

Exemplo, no lançamento de uma moeda temos apenas 2 possibilidades, isto é, podemos ter cara oucoroa, assim, S = {cara ou coroa}.

Chamaremos de evento, qualquer subconjunto do espaço amostral.Assim, por exemplo no lançamento de um dado, o evento ocorrência de um número ímpar é

{1,3,5}.Eventos Mutuamente Exclusivos:Dois eventos são mutuamente exclusivos, quando não possuem elemento em comum.

Probabilidade:Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares tem

probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade deocorrência de um evento A é sempre:

P(A) =n(A)n(S)

, isto é, número de casos favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis.

Consequencias da definição:1) Se A e A são eventos complementares , então: P(A)+P(A) = 1.

A∩A =� e A∪A = S.

2) A probabilidade de um evento é sempre um número entre zero (probabilidade do evento impos-sível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Isto é, se A é um evento qualquer de S, então: 0≤ P(A)≤ 1 ou 0≤ P(A)≤ 100%.

veja o conceito de complementar que usamos nos conjuntos

63

11.0.1 Probabilidade de A ou B ocorrerProbabilidade de A ou B ocorrer:

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S a probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Se A e B são mutuamente exclusivos, então, temos que P(A∪B) = P(A)+P(B).Exemplo1: Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna a probabilidade

de se obter uma bola vermelha é 0,64. Qual a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha?

Solução: Seja A o evento bolas vermelhas e seja A o evento bolas não vermelhas. Assim, temosque P(A)+P(A) = 1, pelo enunciado, temos que P(A) = 1−0,64 = 0,36, ou 36%.

Exemplo 2: Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três bolas azuis e quatro bolas brancas.Retira-se ao acaso uma bola da urna. Qual é a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma bolaazul?

Solução: Temos que nosso espaço amostral é 12, vamos denotar o espaço amostral por n(S) = 12.Isto é, S = {x|x é bola da urna}→ n(S) = 12.

Consideremos dois eventos:

A = {y ∈ S|y é bola vermelha}→ n(A) = 5.B = {w ∈ S|w é bola azul}→ n(B) = 3.

Como A∩B é vazio, então temos que A e B são mutuamente exclusivos. Assim, temos que P(A∪B) = P(A)+P(B) =

512

+3

12=

812

=23≈ 0,66 ou 66%.

11.0.2 Eventos IndependentesExemplo 3 ( Eventos Independentes ): Uma urna contém exatamente sete bolas: quatro azuis (A) etrês vermelhas (V). Retira-se ao acaso uma bola da urna, registra-se sua cor, e repõe-se a bola na urna.A seguir, retira-se novamente ao acaso uma bola da urna e registra-se sua cor. Calcular a probabilidadede:

a) Sair uma bola azul e depois uma vermelha;b) Sairem duas bolas de cores diferentes.

Solução:

a) temos que P(A) =47

e P(V ) =37

, queremos a probabilidade de obter a sequência A e B, isto é,

P(A∩B) = P(A).P(B) =47.37=

1249≈ 0,24 ou 24%.

b) Temos duas possibilidades, a saber: A e V ou V e A, ou seja, queremos calcular o valor de

P(A∩V )+P(V ∩A), como P(A∩V ) = P(A).P(V ) =47.37=

1249

, de modo análogo temos que

P(V ∩A) =1249

, assim, temos que P(A∩V )+P(V ∩A) =1249

+1249

=2449≈ 0,48 ou 48%.

64

11.0.3 Probabilidade CondicionalA probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um evento B ocorreu, é chamada probabilidadecondicional do evento A dado B. Ela é denotada por P(A/B) e calculada por:

P(A/B) =P(A∩B

P(B)

Exemplo 4: Em uma urna há duas moedas aparentemente iguais. Uma delas é uma moeda comum,com uma cara e uma coroa. A outra, no entanto, é uma moeda falsa, com duas caras. Suponhamos queuma dessas moedas seja sorteada e lançada.

a) Qual é a probabilidade de que a moeda lançada seja a comum ?

b) Qual é a probabilidade de que saia uma cara ?

c) Se o resultado do lançamento é cara, qual é a probabilidade de que a moeda sorteada tenha sidoa comum ?

Solução:

a) A resposta é 1/2, já que ambas as moedas tem a mesma chance de serem sorteadas.

b) 3/4, pois temos 3 possibilidades de dar cara dos 4 resultados possíveis.

c) Chamemos de A o evento: “sortear a moeda comum”, e de B o evento: “obter resultado cara”, etemos o evento A∩B: “sortear a moeda comum e tirar cara". Logo, temos que

P(A∩B) = 1/4, P(B) = 3/4, assim, P(A/B) =1/43/4

=13

.

Como temos uma informação adicional, a de que, após o lançamento da moeda, o resultado foicara. Com esta informação, podemos rever o cálculo da probabilidade da moeda honesta ter sidosorteada. Dos quatro resultados possíveis para o experimento, listados acima, o segundo deve serexcluído. Restam, assim, três possibilidades igualmente prováveis. Delas, apenas na primeira a moedasorteada é a comum. Logo, com a informação de que o lançamento resultou em cara, a probabilidadede que a moeda sorteada tenha sido a comum passou a ser 1/3.

11.0.4 Distribuição BinomialQual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?

A cada lançamento a probabilidade de cair o número 4 é de 1 possibilidade em 6, ou seja, 1/6 é aprobabilidade de obtermos o número 4 em cada lançamento.

Quando lançamos o dado e obtemos um 4, temos um sucesso no lançamento, pois este é o resultadoque pretendemos obter, no entanto quando obtemos um outro resultado qualquer, estamos diante deum fracasso. Note que só há duas possibilidades: Sucesso quando dá o número 4, ou fracasso quandodá qualquer outro. Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outrolançamento, eles são independentes. Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é semprea mesma em cada lançamento.

Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n−k fracassos em n tentativas, é obtidapelo termo geral do Binômio de Newton:

65

P =(n

k

).pk.qn−k

Onde,(n

k

)=

n!k!(n− k)!

.

P representa a probabilidade procurada, n o total de tentativas, k o número de tentativas que resul-tam em sucesso, p a probabilidade de obtermos um sucesso e q representa a probabilidade de obtermosum fracasso.

Vamos voltar a questão, temos que p = 1/6, assim, q = 5/6, já que p+q = 1, n = 7, k = 4

e(7

4

)=

7!4!.3!

= 35. Assim, temos que:

P =(7

4

).(1/6)4.(5/6)3 = 35.

11296

.125216

=4375

279936≈ 0,0156 = 1,56 %.

66

Capítulo 12

Questões de Combinatória

Questão 12.1 Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidadesB e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C ?

Questão 12.2 Para a seleção brasileira foram convocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campoe 4 atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios decampo e 2 atacantes ?

Questão 12.3 Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. Dequantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejampintadas da mesma cor ?

A) 128 B) 192 C) 35 D) 2187 E) 210

Questão 12.4 O desenho que segue, mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cincoestados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estadosvizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado ?

A) 12

B) 6

C) 10

D) 24

E) 120

Questão 12.5 Quantos são os números de 3 dígitos distintos ?

A) 512 B) 648 C) 720 D) 840 E) 900

Questão 12.6 Quantos são os números pares de 3 dígitos distintos ?

A) 200 B) 256 C) 328 D) 420 E) 530

67

Questão 12.7 De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas em fila ?

A) 400 B) 510 C) 616 D) 720 E) 830

Questão 12.8 Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 rapazes e 8 moças. O professorquer formar uma equipe de 4 alunos para intercâmbio em outro país. Quantas equipes de dois rapazese duas moças podem ser formados ?

Questão 12.9 De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 cal-ças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos ?

A) 60 B) 45 C) 85 D) 840 E) 598

Questão 12.10 Numa cidade, os números de telefone são formados por 7 algarismos sendo que os 3primeiros correspondem ao prefixo de uma estação telefônica: Pergunta-se: Quantos telefones existemcom o prefixo 258 ?

A) 9999 B) 100 C) 10 000 D) 9 000 E) 5849

Questão 12.11 (CESPE-DF) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de umaxícara de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três tiposde sanduíche e quatro tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça um lanche completousando apenas uma de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de ele compora seu lanche é:

A) Menor que 13.

B) Maior que 13 e menor que 17.

C) Maior que 17 e menor que 20.

D) Maior que 20 e menor que 23.

E) Maior que 23.

Questão 12.12 Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazese 3 moças ?

Questão 12.13 Sobre duas retas paralelas marcam-se respectivamente, 7 pontos e 9 pontos. Quantostriângulos podemos determinar com estes 16 pontos ?

68

Questão 12.14 Quantas diagonais tem um octógono ?

Questão 12.15 De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular ?

Questão 12.16 Quantos são os anagramas das palavras:

i) POLICIA

ii) BOMBEIRO

iii) CESPE

Questão 12.17 Sabendo-se que a placa dos automóveis no Brasil é composta por três letras e qua-tro algarismos, calcule quantas placas diferentes existem levando-se em conta que não podem haverplacas com todos os algarismos nulos.

Questão 12.18 Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal, como mostraa figura. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetóriasexistem da origem ao ponto P(7,5) ?

A) 320

B) 430

C) 564

D) 792

E) 837

Questão 12.19 De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30,de modo que sua soma seja par ?

Questão 12.20 Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modospodemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática ?

69

Questão 12.21 Uma urna tem 5 bolas numeradas.

i) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição ?

ii) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição ?

iii) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente ?

Questão 12.22 Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha,com 5 alternativas por questão ? Em quantos desses gabaritos a letra A apareci exatamente uma vez? Em quantos a letra A não apareci ?

Questão 12.23 Liste todos os subconjuntos de {1,3,8}. Quantos são eles ? De modo geral, quantossão os subconjuntos de um conjunto que tem n elementos ?

Questão 12.24 De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila ?

Questão 12.25 De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares,se em cada banco deve haver um homem e uma mulher ?

Questão 12.26 Escrevem-se os inteiros de 1 até 2222. Quantas vezes o algarismo zero é escrito ?

Questão 12.27 Uma peça de dominó apresenta um par de números de 0 a 6, não necessariamentedistintos. Quantas são estas peças ? E se os números forem de 0 a 8 ?

Questão 12.28 Uma moça tem 3 saias e 4 blusas. Durante quantos dias poderá sair usando saia eblusa sem repetir o mesmo conjunto ?

70

Questão 12.29 (Marinha/2005) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um bancomas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos,começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. Qual é o númeromáximo de tentativas para acertar a senha que essa pessoa deverá fazer ?

(A) 136 (B) 224 (C) 720 (D) 1.344 (E) 1.680

Questão 12.30 Uma prova consta de dez testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos umaluno que se submete à prova poderá responder todos os testes ?

Questão 12.31 (NCE–PMQ/2001) Um técnico em radiologia utiliza, para a identificação de chapas,3 vogais distintas seguidas de 3 algarismos distintos. O número total de chapas diferentes que podemser identificadas através desse sistema corresponde a:

(A) 38.600 (B) 43.200 (C) 60.000 (D) 90.000 (E) 125.000

Questão 12.32 Quantos anagramas da palavra EDITORA

i) começam com a letra A ?

ii) começam com A e terminam com E ?

Questão 12.33 Um empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem serformadas contendo no mínimo 1 diretor ?

Questão 12.34 Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de triângu-los que se pode obter com vértices nos pontos dados.

Questão 12.35 Em uma reunião de confraternização em que cada pessoa presente cumprimentoutodos os seus colegas, registraram-se 210 apertos de mãos. Determine o número de pessoas presentesà essa reunião.

71

Questão 12.36 Quantas combinações podem ser feitas para que 5 rapazes e 5 moças possam se sentarem 5 bancos de dois lugares cada, de maneira que, em cada banco, fiquem um rapaz e uma moça ?

Questão 12.37 Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de Matemática, 7 livros diferentes de Físicae 10 livros diferentes de Química e pediu-me para escolher 2 livros com a condição de que eles nãofossem da mesma matéria. De quantas maneiras podemos fazer essa escolha ?

A) 145 B) 155 C) 165 D) 170 E) 200

Questão 12.38 De quantas maneiras podemos distribuir 6 canetas (iguais) entre 2 pessoas, de modoque nenhuma fique sem receber pelo menos uma caneta ?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 12 E) 15

Questão 12.39 Com os algarismos 2, 3, 4, 6, 7 e 8, quantos números ímpares de quatro algarismos,distintos, podemos formar ?

A) 96 B) 102 C) 120 D) 201 E) 210

Questão 12.40 ( UESC 2008 ) O número de modos para se formar uma fila com 8 casais de namo-rados, de forma que cada namorada fique junto do seu namorado e que pessoas do mesmo sexo nãofique juntas, é:

A) 28 B) 28.8! C) 8! D) 16! E) 2.8!

Questão 12.41 Uma sala de 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. Onúmero de comissões que participa o aluno X e não participa a aluna Y é ?

A) 200 B) 320 C) 504 D) 600 E) 720

Questão 12.42 De quantos modos podemos estacionar 10 automóveis em 2 garagens , sabendo quena primeira cabem 6 automóveis ; na segunda cabem 4 ?

A) 60 B) 120 C) 180 D) 210 E) 320

Questão 12.43 (PM-2006-AL) De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em uma sorveteriaque os oferece em 6 sabores distintos ?

A) 19

B) 215

C) 120

D) 45

E) 56

72

Capítulo 13

Questões de Probabilidade

Questão 13.1 Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar aleatoriamente umadessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um número par ?

A) 30 %.

B) 40 %.

C) 50 %.

D) 60 %.

E) 70 %.

Questão 13.2 Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas ( A, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, J, Q, K ) de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas).

a) Qual é a probabilidade de que a carta sorteada seja um A ?

b) Sabendo que a carta sorteada é de copas, qual é a probabilidade de que ela seja um A ?

Questão 13.3 Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente eque tem probabilidades iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos umdos dois componentes não falhe ?

A) 94 %.

B) 90 %.

C) 86 %.

D) 84 %.

E) 75 %.

73

Questão 13.4 Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50 %sabem resolver a questão, enquanto os demais “chutam” a resposta. Um aluno da turma é escolhidoao acaso.

a) Qual é a probabilidade de que ele tenha acertado a questão ?

b) Dado que o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele tenha “chutado” ?

Questão 13.5 A probabilidade de Hélio ganhar uma partida de xadrez contra Álvaro é 1/3. Qual é aprobabilidade de Hélio ganhar ao menos uma partida em três disputas ?

A) 19/27.

B) 20/27.

C) 22/27.

D) 2/3.

E) 1/7.

Questão 13.6 Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5 ?

A) 1/7.

B) 1/8.

C) 1/9.

D) 1/10.

E) 1/11.

Questão 13.7 Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedascaírem com a mesma face para cima ?

Questão 13.8 Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos umaúnica ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela ?

Questão 13.9 Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos semreposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nascores verde, azul, vermelha e branca ?

Questão 13.10 De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é aprobabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 ?

74

Questão 13.11 Um dado é lançado duas vezes e todos os seis resultados possíveis para cada lan-çamento são equiprováveis. A probabilidade condicional para que ambos sejam pares quando pelomenos um dos resultados destes dois lançamentos for um número par será igual a:

A) 1.

B) 2/3.

C) 1/2.

D) 1/3.

E) 1/4.

Questão 13.12 Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se uma delas ao acaso evê-se que o número nela marcado é maior que 8. Qual é a probabilidade de esse número ser múltiplode 5 ?

Questão 13.13 Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas sãoassinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal.Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais ?

Questão 13.14 Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabili-dades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depoisuma bola branca (B).

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depoisuma bola branca.

Questão 13.15 Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e asegunda ser azul ?

Questão 13.16 (ENEM-2001) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartãode apostas do seguinte tipo:

75

Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entreos 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca sejaigual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com essecartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é:

A) 1/27.

B) 1/36.

C) 1/54.

D) 1/72.

E) 1/108.

Questão 13.17 (Enem 2009) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones ce-lulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito defabricação é de 0,2 %. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qualé a probabilidade desse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos ?

A) 2× (0,2%)4.

B) 4× (0,2%)2.

C) 6× (0,2%)2× (99,8%)2.

D) 4× (0,2%).

E) 6× (0,2%)× (99,8%).

76

Questão 13.18 (ENEM-2001) Um município de 628 km2 é atendido por duas emissoras de rádiocujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um moradortem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma dasemissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente,

A) 20 %.

B) 25 %.

C) 30 %.

D) 35 %.

E) 40 %.

Questão 13.19 (ENEM-2001) Num determinado bairro há duas empresas de ônibus, ANDABEM eBOMPASSElO, que fazem o trajeto levando e trazendo passageiros do subúrbio ao centro da cidade.Um ônibus de cada uma dessas empresas parte do terminal a cada 30 minutos, nos horários indicadosna tabela.

Carlos mora próximo ao terminal de ônibus e trabalha na cidade. Como não tem hora certa parachegar ao trabalho e nem preferência por qualquer das empresas, toma sempre o primeiro ônibus quesai do terminal. Nessa situação, pode-se afirmar que a probabilidade de Carlos viajar num ônibus daempresa ANDABEM é:

A) um quarto da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

B) um terço da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

C) metade da probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

77

D) duas vezes maior do que a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

E) três vezes maior do que a probabilidade de ele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO.

Questão 13.20 Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devemser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azulseja igual a 2/3 ?

Questão 13.21 Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se aoacaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos ?

Questão 13.22 Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se aoacaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que:

a) Os 3 parafusos sejam defeituosos.

b) Sairem pelo menos dois parafusos defeituosos.

Questão 13.23 Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguaisa 3 ?

78

Questão 13.24 Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances deaparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lança-mento aparecer um número primo.

Questão 13.25 Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com reposição, duas bolas.A probabilidade de que o número da segunda bola seja maior do que o da primeira é:

A) 8/9

B) 5/9

C) 7/9

D) 4/9

E) 1/3

Questão 13.26 Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulherengravidar é de 20 %. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês detentativas ?

Questão 13.27 (TCE-RN/2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5.A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, aprobabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:

A) 8/25

B) 1/5

C) 2/5

D) 3/5

E) 4/5

Questão 13.28 (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um tor-neio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A proba-bilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha deum deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido paraparticipar do torneio é igual a:

79

A) 4/5

B) 10/25

C) 12/25

D) 3/5

E) 4/5

Questão 13.29 Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todovermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira,ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, aprobabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarelaé igual a:

A) 1/6

B) 1/3

C) 1/4

D) 3/5

E) 4/5

Questão 13.30 Entre 9 h e 17 h, Rita faz uma consulta pela internet das mensagens de seu correioeletrônico. Se todos os instantes deste intervalo são igualmente prováveis para a consulta, a probabi-lidade de ela ter iniciado o acesso ao seu correio eletrônico em algum instante entre 14 h 35 min e 15h 29 min é igual a:

A) 10,42 %.

B) 11,25 %.

C) 13,35 %.

D) 19,58 %.

E) 23,75 %.

Questão 13.31 Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e trêshomens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.

a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas ?

b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados ?

80

c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio ?

Questão 13.32 (FEI) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duasbolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é:

A) 13/72

B) 1/18

C) 5/18

D) 1/9

E) 1/4

Questão 13.33 (FGV) Em uma sala existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas são selecionadasao acaso. Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa ?

Questão 13.34 (MACK) No lançamento de 4 moedas “honestas”, a probabilidade de ocorrerem duascaras e duas coroas é:

A) 1/16

B) 3/16

C) 1/4

D) 3/8

E) 1/2

Questão 13.35 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de 1 a 15.

a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidadede que o número observado seja divisível por3 ?

b) Se duas bolinhas forem sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não élevada em consideração), qual a probabilidade de que os números observados sejam consecutivos?

81

Questão 13.36 (Cesgranrio-RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apre-senta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4) e quatro letras (x, y, z, w). Osegredo do cofre é uma seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidadede uma pessoa, numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre ?

A) 1/ 7200.

B) 1/ 2000.

C) 1/ 1500.

D) 1/ 720.

E) 1/ 200.

Questão 13.37 Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma tipo B. Noutra gaveta há umcadeado que é aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertos pelas chaves do tipo B. Umapessoa escolhe, ao acaso, uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual aprobabilidade de o cadeado ser aberto pela chave escolhida ?

A) 1/12.

B) 5/12.

C) 1/4.

D) 1/3.

E) 1/5.

Questão 13.38 (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma nos dois dados é 8,calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles:

A) 1/3.

B) 1/4.

C) 2/5.

D) 3/5.

E) 4/5.

82

Capítulo 14

Simulado

Questão 14.1 Qual o próximo símbolo da sequência abaixo.

Questão 14.2 Uma pessoa entrou numa loja de calçados e comprou um par de sapatos por R$ 40,00.Pagou com uma nota de R$ 50,00. A vendedora não tinha troco. Foi à padaria ao lado e trocou a notade R$ 50,00 por 5 notas de R$ 10,00. Devolveu R$ 10,00 ao comprador, que foi embora satisfeito.Instantes depois, o padeiro veio devolver a nota de R$ 50,00, dizendo que era falsa. A vendedora,muito honestamente, trocou a nota falsa por uma outra verdadeira. Pois bem, ajude-me a descobrirde quanto foi o prejuízo da vendedora de calçados.

Questão 14.3 Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Comoo cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se medesses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga será igual aminha. Quantos sacos cada um deles levava ?

Questão 14.4 Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quandotu tiveres a idade que eu tenho, teremos ambos (somados) 63 anos. Qual é a minha idade atual ?

83

Questão 14.5 Temos um tabuleiro de xadrez onde os lados opostos foram retirados de modo querestam apenas 62 quadrados. Agora pegamos 31 dominós feitos de modo que cada dominó cobreexatamente dois quadrados. A pergunta é: Será possível dispor os 31 dominós de modo que elescubram todos os 62 quadrados do tabuleiro?

Questão 14.6 Sejam ABCDE e EDCBA números de 5 algarismos distintos. Letras iguais, algarismosiguais, letras diferentes algarismos diferentes. Se ABCDE × 4 = EDCBA, então descubra os valoresdos algarismos A, B, C, D e E.

Questão 14.7 ( ENEM ) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos emum cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nestaordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente. Se a primeira moedafoi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de RS 95,05 apósdepositar a moeda de:

A) 1 centavo no 679o dia, que caiu numa segunda-feira.

B) 5 centavos no 186o dia, que caiu numa quinta-feira.

C) 10 centavos no 188o dia, que caiu numa quinta-feira.

D) 25 centavos no 524o dia, que caiu num sábado.

E) 50 centavos no 535o dia, que caiu numa quinta-feira.

Questão 14.8 (Padrões Numéricos) “Números triangulares” são números que podem ser representa-dos por pontos arranjados na forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1 como o primeironúmero triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim pordiante. Dado que Tn satisfaz a relação Tn = Tn−1 +n, para n = 2,3,4, . . ., pode-se deduzir que T100 éigual a:

A) 5.050

84

B) 4.950

C) 2.187

D) 1.458

E) 729

Questão 14.9 (Sequência de Fibonacci) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioriados mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultose denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e,para n ≥ 2, an+1 = an + an−1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quintomês será:

A) 13

B) 8

C) 6

D) 5

E) 4

Questão 14.10 (ENEM 2011 - Padrões - Funções) Uma professora realizou uma atividade com seusalunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado porum canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q)que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cadafigura ?

A) C = 4Q

B) C = 3Q+1

C) C = 4Q−1

D) C = Q+3

E) C = 4Q−2

85

Questão 14.11 ( ENEM 2010 - Análise Gráfica ) O gráfico mostra o número de favelas no múnici-pio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anosconsiderados é linear.

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que onúmero de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:

A) menor que 1 150.

B) 218 unidades maior que em 2004.

C) maior que 1 150 e menor que 1 200.

D) 177 unidades maior que em 2010.

E) maior que 1 200.

Questão 14.12 (FCC - TRT 24a Região - 2006) Qual o próximo número da sequência 1, 3, 7, 15, 31,63, 127,. . . ?

Questão 14.13 (FCC - TRT 9a Região - 2004) Qual é a 1997a letra da sequênciaABCDEDCBABCDEDCBABCDEDCB...?

A) E

B) D

C) C

D) B

E) A

Questão 14.14 (FCC - Tribunal de Contas - 2006) Usando palitos de fósforos inteiros é possívelconstruir a seguinte sucessão de figuras compostas por triângulos:

Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura composta de 25 triângulos,o total de palitos de fósforos que deverão ser usados é:

86

A) 61

B) 57

C) 51

D) 49

E) 45

Questão 14.15 A soma de todos os números naturais que estão entre 100 e 1000 e que dão resto 2quando dividido por 3 é ?

A) 58 540.

B) 166 485.

C) 330 970.

D) 164 850.

E) 262 235.

Questão 14.16 Qual o menor número inteiro positivo N que possui 15 divisores, se N = 2n.3m ?

A) 9.

B) 144.

C) 72.

D) 36.

E) 18.

Questão 14.17 De quantas maneiras distintas podemos efetuar um pagamento no valor de R$ 200,00,utilizando-se apenas notas de R$ 2,00 e R$ 5,00 ?

A) 19.

B) 100.

C) 50.

D) 38.

E) 27.

Questão 14.18 João e Pedro constituem uma sociedade no valor de R$ 65.000,00. João trabalhatrês dias por semana e Pedro trabalha quatro dias por semana. Quando a sociedade foi desfeita,dois anos depois. João recebeu o triplo do que Pedro recebeu. Se o valor recebido por cada um foiproporcional ao número de dias trabalhados por semana e ao valor investido no início da sociedade,qual a participação inicial de Pedro na sociedade ?

A) 33000.

87

B) 30000.

C) 23000.

D) 20000.

E) 13000.

Questão 14.19 Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra torneira o enche em 6 horas.Abrindo-se as duas torneiras simultâneamente, em quanto tempo o tanque ficará cheio ?

A) 1 hora.

B) 2 horas.

C) 3 horas.

D) 4 horas.

E) 5 horas.

Questão 14.20 Suponha que temos duas urnas, A e B. Na urna A, existem 5 bolas pretas e 4 bolasbrancas, e na urna B existem 4 bolas pretas e 5 bolas brancas. Ao escolhermos aleatoriamente umadas urnas e retirarmos dela uma bola, novamente ao acaso, qual a probabilidade da bola escolhidaser branca ?

A) 1.

B) 1 / 2.

C) 1 / 5.

D) 9 / 20.

E) 9 / 40.

Questão 14.21 (Cetro/Hemocentro) Larissa, Michele, Nádia e Olívia têm profissões diferentes. Umadelas é Bióloga, a outra é Média, a outra é Assistente Social e a outra é Farmacêutica, não necessari-amente nessa ordem. Sabe-se que:

I – Larissa e Nádia conhecem a Assistente Social.II – Michele e a Farmacêutica já foram ao consultório da Médica.III – a Farmacêutica é irmã de Olívia e faz um curso com Larissa.IV – Larissa não é Bióloga e não conhece Olívia.

Desta forma, pode-se concluir que:

A) Michele é Bióloga.

B) Olívia é Bióloga.

C) Nádia é Bióloga.

D) Larissa é Farmacêutica.

E) Nadia é Assistente Social.

88

Capítulo 15

Respostas das Questões de Combinatória

12.1) 4.3=12; 12.2) 2.C6,4.C7,4.C4,2 = 6300; 12.3) 3.26 = 192, isto é, letra B).

12.4) 3.2.1 = 6; 12.5) 9.9.8 = 648, isto é, B.

12.6) Números que não terminam em zero: 8.8.4 = 256.

Números que terminam em zero: 9.8.1 = 72, logo temos 256+72 = 328.

Outra solução:

Total de números ímpares de 3 dígitos distintos são: 8.8.5 = 320, logo temos que 648−320 = 328.

12.7) 6.5.4.3.2.1 = 720, isto é, D). 12.8) C12,2.C8,2 = 1848.

12.9) 5.3.2.2 = 60, isto é, A). 12.10) 104 = 10000, isto é, C).

12.11) 2.3.4 = 24, isto é, E). 12.12) C5,2.C6,3 = 200.

12.13) 9.C7,2 +C9,2.7 = 441 triângulos. 12.14) C8,2−8 = 20 diagonais.

12.15) (4−1)! = 3! = 6. 12.16) i)7!2!

= 2520; ii)8!2.2

= 1680; iii)5!2= 60.

12.17) 263.104−263 = 263.9999 = 175 742 424 placas.

12.18) Se resume em responder quantos são os anagramas da palavras NL NL NL NL NL LL;

assim temos12!

7!.5!= 792 anagramas, itso é, D).

12.19) C15,2.15+C15,3 = 2030.

12.20) Como 14 lecionam outras materias, então temos C20,5−C14,5 = 13 502.

12.21) i) 5.4.3 = 60, ii) 5.5.5 = 125, iii) C5,2 =5!

2.3!= 10.

12.22) a) Há 510 gabaritos; b) Para ter a letra A) aparecendo exatamente uma vez, devemos escolhera questão em que ela aparece ( 10 possibilidades ) e em seguida, escolher a alternativa ( 49 ), assimtemos 10.49; c) Se a letra A) não aparece, temos 410 possibilidades.

12.23) a) {1,3,8}, {}, {1}, {3}, {8}, {1,3}, {1,8}, {3,8};

b) Temos 8 subconjuntos; c) 2n.

89

12.24) 5.4.3 = 60; 12.25) (10.8.6.4.2).(5.4.3.2.1) = 460 800.

12.26)Nas unidades o zero aparece 222 vezes (10,20, ...,2200).

Nas dezenas 220 vezes (10x,20x,30x, ...,220x) e nas centenas 200 vezes (10xy e 20xy), então aotodo temos 222+220+200 = 642.

12.27) Há dois tipos de peças:

as formadas por números iguais (0−0...até...6−6) e as formadas por um par de números distintos,6/2 = 3, então temos 7.3 = 21, total = 7+21 = 28 peças.

Assim, se fossem até 8, o total de peças seria: 9+9.82= 45.

12.28) 3.4 = 12 dias. 12.29) 8.7.6.4 = 1344, isto é, D). 12.30) 210.

12.31) 5.4.3.10.9.8 = 43200, isto é, B). 12.32) i) 6!; ii) 5!.

12.33) Calcular as comissões com 1 diretor, com 2 ou com 3 diretores, assim temos:3.C5,4 +C3,2.C5,3 +C5,2 = 3.5+3.10+10 = 15+30+10 = 55.

12.34) C7,3 = 35. 12.35) Cn,2 = 210, logo, n = 21.

12.36) Sentando as mulheres: 10.8.6.4.2 = 3840 e sentando os homens: 5.4.3.2.1 = 120.

Assim, temos 3840.120 = 460 800 combinações.

12.37) 5 M , 7 F , 10 Q, assim temos as seguintes possibilidades: 5 M e 10 Q, ou, 5 M e 7 F, ou, 7F e 10 Q, isto é, 50+35+70 = 155, letra B).

12.38)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1), 5 maneiras, isto é, A).

12.39) 3.4.5.2 = 120, isto é, C). 12.40) 2.8!, isto é, E).

12.41) C9,3.C4,2 = 504, isto é, C). 12.42)10!

6!.4!= 210, isto é, D).

12.43) A questão se resume em perguntar: Qual é o número de soluções inteiras positivas ou nulasda equação x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3 ? tal número é dado por:

C6+3−1,6−1 =C8,5 = 56.

Solução 2: Comprando todos distintos, temos C6,3 = 20.

3 iguais, temos 6 modos e 2 iguais, temos 5.6 = 30 modos, assim ao todo temos 20+6+30 = 56.

90

Capítulo 16

Solução das questões de probabilidade

13.1)5

10= 50%, isto é, C). 13.2) a)

452

=1

13, b) temos 13 cartas de copas, então chegaremos a

113

.

13.3) falhar 1 = 0,2, então de não falar 1 = 0,8; falhar 2 = 0,3, então de não falhar 2 = 0,7, assimtemos 0,2.0,3 = 0,06, então a probabilidade desejada é 1−0,006 = 0,94, isto é, A).

13.4) a) Ele tenha acertado: Se ele sabe resolver, então ele tem probabilidade 1 de acertá-la, en-

quanto, se ele não sabe:15= 0,2.

Assim, temos P(acerta/sabe) = 1; P(acerta/não sabe) = 0,2.

P(sabe e acerta) = P(sabe).P(acerta/sabe) = 0,5.1 = 0,5.

P(não sabe e acerta) = P(não sabe).P(acerta/não sabe) = 0,5.0,2 = 0,1.

P(acerta) = P(sabe e acerta)+P(não sabe e acerta) = 0,5+0,1 = 0,6.

b) P(não sabe/acerta) =P(não sabe e acerta)

P(acerta)=

0,10,6

=16

.

13.5) Hélio ganhar =13

, então, dele perder é23

.

Perder todas:23.23.23=

827

, logo temos 1− 827

=1927

, isto é, A).

13.6) (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), assim temos436

=19

, isto é, C).

13.7) ou tudo cara ou tudo coroa:28=

14

.

13.8) Verde:7

14, e Amarela:

214

, assim temos714

+2

14=

914

.

13.9) P(verde) =4

16=

14

, P(azul) =4

15, P(vermelha) =

414

, P(branca) =4

13.

Assim temos que a probabilidade desejada é dada por:

P =14.

415

.4

14.

413

=8

1365.

91

13.10) P(D(3)) =5

15; P(D(4)) =

315

; D(3)∩D(4) = {12}, então temos que:

P(dese jada) =515

+3

15− 1

15=

715

.

13.11) Temos as seguintes possibilidades:

(PAR,PAR); (PAR, IMPAR); (IMPAR, PAR); (IMPAR, IMPAR).

Logo, a probabilidade desejada é13

.

13.12) Temos que o espaço amostral é 12 ( números maiores que 8 ), e temos que os múltiplos de5 maiores que 8 no espaço amostral dado, são {10,15,20}. Assim, temos que:

P(dese jada) =3

12=

14

.

13.13) Pelo enunciado, temos o diagrama que segue:

3800+1200+2800+800 = 8600, então, P =12008600

≈ 0,1395 = 13,95%.

13.14) a)57.26=

521

. b)57.27=

1049

.

13.15)1030

.2029

=2087

.

13.16)13.14.13.23.22=

154

, isto é, C).

13.17) Com defeito: 0,2%, sem defeito: 99,8%, então vamos ter:

2 defeituosos e 2 sem defeito, logo, teremos:, 6.(0,2)2.(99,8)2, chegando assim a letra C).

13.18) Temos que a junção da área dos dois setores é:π.102

2= 50π, logo, temos que:

P =50π

628=

157628

= 0,25, isto é, B).

13.19) Se Carlos chegar ao terminal depois das 6 h e antes das 6 h 10 min ou depois das 6 h 30 mine antes das 6 h 40 min, ele tomará o ônibus da empresa BOMPASSEIO. Se Carlos chegar ao terminaldepois das 6h10min e antes das 6 h 30 min ou depois das 6 h 40 min e antes das 7 h, ele tomará o ônibusda empresa ANDABEM. Logo, a probabilidade de Carlos viajar num ônibus da empresa ANDABEMé duas vezes a probabilidade dele viajar num ônibus da empresa BOMPASSEIO. Admitindo-se queduas vezes maior é duas vezes. Chegamos assim a letra D.

92

13.20)Tendo x bolas azuis, segue quex

x+8=

23⇒ x = 16 bolas.

13.21) 5 defeituosos e 55 perfeitos, assim temos o espaço amostral C60,2 = 30.59.

Nosso evento favorável é C55,2 = 55.27. Assim, temos P =55.2730.59

= 83,89%.

13.22)C50,3 = 19600; a) C5,3 = 10, logo, temos que P =10

19600= 0,0005 = 0,05%.

b) Pelo menos 2 = 2 ou 3, assim temos 2 defeituosos e 1 não defeituoso ou 3 defeituosos.Para 2 defeituosos e 1 não defeituoso, temos C5,3.C45,1 = 450, então a probabilidade de saírem 2

defeituosos e 1 não defeituoso é450

C50,3= 0,02296, e como a probabilidade de saírem 3 defeituosos é

0,00051, temos que a probabilidade desejada é 0,02296+0,00051 = 0,02347 = 2,347%.

13.23)Probabilidade de sair o 3:16

e probabilidade de não sair 3 é:56

, logo temos que

P(8,5) =(8

5

).

(16

)5

.

(56

)3

= 0,15 = 15%.

13.24) P(2) = P(4) = P(6) = 2.P(1) = 2.P(3) = 2.P(5), fazendo P(2) = k, temos que

k+ k+ k+k2+

k2+

k2= 1⇒ k =

29

, assim temos que a probabilidade de sair primo é dada por

P(2)+P(3)+P(5) =29+

19+

19=

49

.

13.25) Duas retiradas com reposição: 1◦ bola = número a e 2◦ bola = número b, com b > a, entãoteremos os pares (1,2);(1,3);(1,4);(1,5)..., isto é, vamos ter 9.9 = 81 pares dos quais 36 satisfazem

a condição b > a, assim temos que P(dese jada) =3681

=49

, isto é, D).

13.26) Probabilidade de engravidar em um mês: 0,2, então de não engravidar é 0,8. Temoseventos consecutivos e independentes ( pelo menos enquanto ela não engravida ), assim temos queP(dese jada) = (0,8).(0,8).(0,8).(0,2) = 0,1024 = 10,24%.

13.27)

P(Cão Vivo e Gato Morto) =45.25=

825

, isto é, A).

13.28) P(Paulo Participar e Roberto Não Participar) =35.45=

1225

.

13.29)

93

Logo, temos que a P(desejada) =13.12=

16

.

13.30) Das 9 hs às 17 hs, temos 17−9 = 8 hs = 8.60 min e das 15 h 29 min às 14 h e 35 min,

temos uma diferença de 54 min, logo, temos que P(desejada) =54

8.60=

54480

= 0,1125 = 11,25%.

13.31) a) C10,2 = 45; b) P =C3,2

C10,2=

345

=1

15.

c) P(dese jada) = 1− 115

=1415

, pois os 2 premiados não são ambos homens.

13.32) Calculando a probabilidade de se obter 2 verdes, ou 2 amarelas ou 2 pretas:

P(V −V ) =39.28=

672

;

P(A−A) =49.38=

1272

;

P(P−P) =29.18=

272

;

Logo, temos que P(dese jada) =6

72+

1272

+2

72=

2072

=5

18, isto é, C).

13.33) C12,2 = 66, dessas 66 duplas, somente 6 são casadas, assim, temos que

P(dese jada) =666

=1

11.

13.34) A questão exige a ocorrência de duas caras e duas coroas, mas não fala da ordem em que

tal fato irá ocorrer, assim temos que o número de anagramas de KKCC é4!

2!.2!= 6, logo temos que

P(dese jada) = 6.12.12.12.12=

616

=38

, isto é, D).

13.35) a) {3,6,9,12,15}, assim temos que P(dese jada) =5

15=

13

.

b) C15,2 = 15.7 e B = {(1,2);(2,3); · · ·(14,15)}→ n(B) = 14.

Logo, temos que P(dese jada) =14

15.7=

215

.

13.36) 5.5.5.4.4 = 2000, então, temos que P(dese jada) =1

2000, isto é, B).

13.37)

94

P(A) =23.14=

212

e P(B) =13.34=

312

, assim temos que P(A ou B) =2

12+

312

=512

, isto é, B).

13.38) A = {(5,1);(5,2); · · · ;(1,5);(2,5);(3,5); · · ·}= n(A) = 11.

B = Soma igual a 8: {(2,6);(3,5);(6,2);(4,4);(5,3)}= n(B) = 5.

A∩B = {(3,5);(5,3)}⇒ n(A∩B) = 2.

Logo, temos que P(A/B) =n(A∩B)

n(B)=

25

, isto é, C).

95

Capítulo 17

Respostas do Simulado

14.1) 88 14.2) prejuízo de 50 reais.

14.3){b+1 = 2.(c−1)b−1 = c+1

Resolvendo o sistema, temos que c = 5 e b = 7, isto é, o cavalo levava 5 sacos e o burro levava 7sacos.

14.4)

O Problema se refere às idades de duas pessoas ( eu e tu ), em 3 épocas diferentes: presente ( eutenho...), passado ( ... que tu tinhas ...) e futuro ( quando tiveres...), vamos usar uma tabela e organizaresses dados:

passado presente futuroeu x 2y wtu y x 2y

“Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas...” nos permite escrever que a idade eu-presente é o dobroda idade tu-passado, ou seja, essas idades são 2y e y.

“... eu tinha a idade que tu tens...” nos permite escrever que a idade eu-passado é igual à idadetu-presente, ou seja, essas idades são x e x.

“... tiveres a idade que eu tenho...” nos permite escrever que a idade tu-futuro é igual à idadeeu-presente, ou seja, a idade tu-futuro é igual a 2y.

“ ... juntos teremos 63 anos...” nos permite escrever que a soma das idades futuras vale 63, ou seja,w+2y = 63⇒ w = 63−2y.

As equações que resolverão o problema são obtidas lembrando que o tempo passa igualmente paratodos, assim temos:{

2y− x = x− y(63−2y)−2y = 2y− x

⇒

{3y−2x = 06y− x = 63

Resolvendo o sistema temos y = 14 e x = 21, logo eu tenho 2.14 = 28, então minha idade atual é28 anos.

14.5)

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1) Os cantos extremos, retirados do tabuleiro de xadrez, eram quadrados brancos. Portanto agoraexistem 32 quadrados pretos e somente 30 quadrados brancos.

2) Cada dominó cobre dois quadrados vizinhos, e os quadrados vizinhos são sempre de cores di-ferentes, ou seja, um branco e um preto. Portanto não importa como coloquemos os dominóssobre o tabuleiro, os primeiros 30 dominós deverão cobrir os 30 quadrados pretos e 30 quadradosbrancos.

3) Em consequência disso, ficaremos sempre com um dominó e dois quadrados pretos restantes.

4) Mas, todos os dominós cobrem dois quadrados vizinhos. Se os quadrados remanescentes sãoda mesma cor, eles não podem ser cobertos pelo dominó que restou. Portanto, é impossívelcobrir todo tabuleiro com dominós. Essa demonstração prova que todos os arranjos possíveis dedominós não conseguirão cobrir o tabuleiro multilado.

14.6) 21978×4 = 87912

14.7) Pelo anunciado temos a seguinte soma 1+5+10+25+50+1+5+10+25+50+1+5+ . . .como temos uma soma que não sabemos o números de parcelas ainda, mas sabemos que tal somaresulta exatamente em 9505 centavos.

Vamos representar tal soma por S = (1+5+10+25+50)+ (1+5+10+25+50)+ . . ., vamoschamar S1 = 1+5+10+25+50 = 91, veja que S = S1 +S1 +S1 + . . ., então quantas parcelas iguaisa S1 temos em S ?

Dividindo 9505 por 91 temos que 9505 = 104×91+41, onde 41 = 1+5+10+25, temos assimque 41 tem 4 parcelas, o que corresponde a 4 dias, como pra cada parcela se conta um dia e como S1tem 5 parcelas, o que corresponde a 5 dias, então temos que 104 × 5 parcelas + 4 parcelas = 520+4 =524, ou seja, no 524◦ ela conseguiu a quantia de 9505 centavos. O que corresponde a letra D).

Esse é o tipo de questão onde existem varias maneiras de se resolver, tente resolver de outra ma-neira, tipo pensando na última moeda a ser depositada.

14.8) Pelo enunciado temos que T1 = 1, T2 = T1 +2 = 1+2, T3 = T2 +3 = 1+2+3, T4 = 1+2+3+4, e assim por diante, logo temos que T100 = 1+2+3+4+5+ . . .+98+99+100, ou seja, T100é a soma dos 100 primeiros termos de uma P.A de razão 1, onde o primeiro termo é 1, essa soma podeser calculada facilmente ( fica como exercício ) e a saber tal soma vale 5050 −→ letra A).

14.9) Pela definição temos que a1 = 1, a2 = 1, a3 = a2+a1 = 1+1 = 2, assim, teremos a seguintesequência 1,1,2,3,5,8,13, . . . e a questão deseja saber o valor de a5 que nesse caso vale 5 −→ D).

14.10) Vamos resolver essa questão, testando as opções dadas, assim temos:A) C = 4Q⇒ C = 4.1 = 4, isto é, para 1 quadrado temos 4 canudos, agora para Q = 2 temos

C = 4.2 = 8 6= 7, assim, descartamos a letra A).B) C = 3Q+1⇒C = 3.1+1 = 4, para Q = 2 temos C = 3.2+1 = 7, até o momento pareci ser a

opção correta, vamos testar as outras.C) C = 4Q−1⇒C = 4.1−1 = 3 6= 4, descartamos a letra C).D) C = Q+3⇒C = 1+3 = 4, para Q = 2, temos C = 2+3 = 5 6= 7, descartamos a letra D).E) C = 4Q−2⇒C = 4.1−2 = 2 6= 4, descartamos a letra E).Assim, temos que a opção correta é a letra B).

Veja que podemos resolver a questão usando a ideia de P.A ou usando a ideia de função do 1◦ grau.

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14.11)

A questão se resume em encontrar a reta que passa pelos pontos A(2004;750) e B(2010;968), demodo geral vamos representar um ponto pelas coordenadas (x;y).

Assim a equação que passa por A e B é y =109x

3−72 062.

De fato, existem varias maneiras de achar a equação da reta dado dois pontos, uma maneira simplesé usando conhecimentos geométricos, então vamos usar a figura que segue para resolver tal questão.

Basta agora usar o fato de que os triângulos ABC e AMN são semelhantes, assim temos que

x−750218

=126

= 2⇒ x−750 = 2.218⇒ x = 750+436 = 1 186−→ C).

Veja que podemos tanto usar P.A ou a equação da reta ( função do 1◦ grau ). Lembre-se quando sefala em P.A podemos fazer análogia à função do primeiro grau, isto é, se você sabe achar a funçãodo termo geral de uma P.A, saberá achar a equação da reta.

Uma outra maneira de resolver questões desse tipo, seria usar o esquema que segue:

Veja que a diferença entre 2010 e 2004 é 6 e a diferença entre 968 e 750 é 218, assim temos asequência dos anos, que seria: 2004, 2010, 2016, 2022...e assim por diante. Assim, temos os pares(2004, 750); (2010, 968), (2016, 1 186),... e assim por diante.

Percebeu como é simples resolver questões desse tipo ?

14.12) Temos que tal sequência segue o mesmo padrão da sequência da questão anterior, assimtemos que o próximo número vai ser 127+128 = 255.

14.13) Podemos considerar que a sequência é formada por vários blocos ABCDEDCB, que possui8 letras. Como 1997 = 8×249+5, temos que a 1997a letra coincide com a 5a letra, assim temos quea 1997a letra vai cair na letra E −→ o que corresponde a letra A) do gabarito.

14.14)

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N◦ de palitos N◦ de ∆

3 15 27 39 4...

...

Na coluna do lado esquerdo temos a seguinte sequência 3, 5, 7, 9, ..., veja que tal sequência é umaP.A ( Progressão Aritmética ).

Lembrando que o termo geral de uma P.A é dado por an = a1 +(n−1).r, analisando a sequênciae fazendo uma associação, temos que a1 corresponde a 1 triângulo, a2 corresponde a 2 triângulos eassim por diante, então fazendo as devidas substituições na fórmula da P.A teremos:

an = 3+(n−1).2⇒ an = 3+2n−2⇒ an = 1+2.n.

Pelo enunciado queremos o valor de a25 = 1+2.(25) = 1+50 = 51−→ letra C).

Solução 2:

Veja que o termo geral da P.A é uma função do primeiro grau em n, lembrando que uma função doprimeiro grau é do tipo y = ax+ b e que sabemos que seu gráfico é uma reta e que por ser uma reta,basta no mínimo dois pontos para determinarmos a equação da reta.

Olhando a tabela na qual temos a associação do número de palitos e o número de triângulos,podemos pegar os seguintes pontos A(3,1) e B(5,2), a questão agora se resume em saber a equação dareta que passa por A e B; poderiamos pegar o ponto A com as seguintes coordenadas (1,3) e o ponto Bcom as coordenadas (2,5).

Pegando os pontos (1,3) e (2,5) e substituindo na equação y = ax+b, temos:3 = a.1+b

5 = a.2+b⇒

i) a+b = 3

ii) 2a+b = 5

Fazendo [ii)− i)] teremos a = 2 , substituindo o valor de a = 2 em i) teremos b = 3−2 = 1, assimtemos que y = 2x+1, onde y é o número de palitos e x o número de triângulos. Entenda que olhar parafunção y é o mesmo que olhar para an. Assim, y = 2.(25)+1 = 50+1 = 51.

14.15) Temos que 100 = 3.33+1 = 99+1, então dividindo 100 por 3, temos 1 como resto, entãotemos que o primeiro número a ser contado é o 101, de fato, pois 101= 99+2, isto é, dividindo 101 por3, temos 2 como resto. Por outro lado temos que 1000 = 3.333+1 = 999+1, isto é, dividindo 1000por 3, temos 1 como resto, então o último número a ser contado é 998, pois 998 = 3.333+2 = 996+2.

Assim temos que a sequência que satisfaz as condições do problema é 101,104,107, · · · ,998. Porsorte, estamos diante de uma P.A e a questão quer a soma dos termos, isto é, 101+104+107+ · · ·+998.

Temos que a soma dos n termos de uma P.A é dada por Sn =(a1 +an).n

2, então vamos primeiros

achar o valor de n. Temos que o termo geral de uma P.A é dado por an = a1+(n−1).r, assim fazendoas devidas substituições, temos que 998= 101+(n−1).3⇒ 897= 3.(n−1)⇒ 299= n−1⇒ n= 300.

Logo, temos que S300 =(101+998).300

2= 1099.150 = 164 850, isto é, D).

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14.16)Essa é uma questão simples de ser resolvida, podemos usar a ideia da tentativa e erro, isto é, testar

cada uma das opções, as vezes é mais rápido fazer testando as opções, vai depender do conhecimentoque temos sobre o assunto.

Vamos começar o teste pela letra A), 9 = 32, assim temos que o expoente do 3 pode ser 0, 1 ou 2,temos 3 possibilidades pro expoente, logo 9 tem 3 divisores.

Vamos a letra B), 144 = 12.12 = 3.4.3.4 = 32.24, temos 3 possibilidades pro expoente da base 3 e 5possibilidades ( 0, 1, 2, 3 ou 4 ) pro expoente da base 2, assim pelo princípio fundamental da contagemtemos que 144 tem 3.5= 15 divisores. Assim, concluímos que a letra B) é a opção correta.

14.17) Pelo enunciado, podemos montar a seguinte equação 2x+5y = 200⇒ x = 100− 5y2

. Como

x e y são inteiros positivos, então y é par, por outro lado temos que5y2

< 100⇒ y < 40. Assim, temos

que y = {2,4,6, · · · ,38}. Como para cada y, temos um x e como o número de elementos do conjuntoy é 19, então chegamos a letra A).

14.18) Pelo enunciado temos que j = 3.k.A e p= 4.k.B, onde A é a participação inicial de João e B éa participação inicial de Pedro. Logo, temos que A+B= 65 e por outro lado, 3.A.k = 12.k.B⇔A= 4B,

fazendo a substituição, temos que 4B+B = 65⇒ B =655

= 13, isto é, E).

14.19) Em x horas temos quex3+

x6= 1, resolvendo a equação, chegamos a x = 2, isto é, B).

14.20) Temos a possibilidade de escolher a urna A e pegar a bola branca ou escolher a urna B epegar a bola branca. Como a probabilidade de escolher a urna A é igual a de escolher B, isto é, 1/2,então temos que a probabilidade desejada é dada por:

12.49+

12.59=

12.

(49+

59

)=

12.99=

12

, isto é, B).

14.21) Pelo enunciado, podemos montar a tabela que segue:

Bióloga Médica Ass. Social FarmacêuticaLarissa X Larissa/Méd X XMichele X X Michele/Ass XNádia X X X Nádia/FarmOlívia Olívia/Bio X X X

Pelas opções, ficamos com a letra B).

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