Problemariodigital3 bcd

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codificacion binaria

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  • 1. Gua y Problemario DeCircuitos Lgicos Funciones booleanas. Forma cannica. Mapas de Karnaugh. Decodificadores. Sumador, restador y multiplicador. M en C. Rodolfo Romero Herrera.

2. PrlogoEste problemario est diseado para los alumnos que presentaran examen de admisin paraentrar a la maestra en ciencia de la ESCOM. o materias a fines. El material que se expone aqu,est basado exclusivamente en problemas resueltos, omitiendo parte de la teora fundamentaldel algebra booleana y circuitera lgica.Por lo anterior se requiere que el alumno tenga los conocimientos bsicos necesarios en lamateria. Este problemario est dividido en dos partes.La primera parte abarca problemas resueltos referentes a los temas siguientes: Algebra de Boole. Funciones cannicas. Mapas de Karnaugh.La segunda parte contiene problemas resueltos sobre los siguientes temas: Sumadores, restadores y multiplicadores. Multiplexores. Decodificadores.Este problemario se muestra en forma piloto, para posteriormente poder realizar una primeraedicin, por lo cual requerimos de sugerencias, comentarios u observaciones de este trabajo.Atte. M en C. Rodolfo Romero Herrera.1 3. Compuertas lgicasNombre Smbolo Grafico Funcin AlgebraicaTabla de VerdadY (AND) O (OR) Inversor (NOT)Separador (Buffer) NO-Y (NAND) NO-O (NOR) O-Exclusiva (OR-Exclusive) NO-O Exclusiva (NOR-Exclusive) 2 4. Teoremas Fundamentales del Algebra Booleana1.a) A + 0 = Ab) A 1 = A2.a) A + = 1b) A = 03.a) A + A = Ab) A A = A4.a) A + 1 = 1b) A 0 = 05.6.a) A + B = B + Ab) AB = BA (Conmutativo)7.a) A + (B + C) = (A + B) + Cb) A (BC) = (AB) C (Asociativo)8.a) A (B + C) = AB + ACb) A + BC = (A + B) (A + C)(Distributivo)9.a) (De Morgan)b) 10. c)a) A + AB = Ab) A (A + B) = A (Absorcin)11.(A + B) (A + C) = A + BC12.(A + B) (A + ) = A3 5. 13.A + B = A+ B14.AB + A C = AB + AC15.(A + B) (A + + C) = (A+ B) (A + C)16.AB + C + BC = AB + C17.(A + B) ( + C) (B + C) = (A + B) ( + C)18.AB + C = (A + C) ( + B)19.(A + B) ( + C) = AC + B4 6. Formas cannicas de una funcin booleanaExisten dos formas de expresar una funcin booleana: Completa o cannicaForma IncompletaFormas cannicas Completa o cannicaForma IncompletaForma Cannica :Conocida como una suma de productos cannicos o suma de Minitrminos.Ejemplo: F Suma de productosForma Cannica :Conocida como productos de sumas cannicas o producto de MaxitrminosEjemplo: F Producto de sumasEl trmino completo o cannico se refiere a que todas las variables de una funcin booleanadeben de estar contenidas en este.Ejemplo:Considere una funcin cannica de tres variables F (A, B, C), algunos de sus trminoscannicos son: 5 7. Y algunos trminos incompletos pueden ser: En la siguiente tabla se muestran los minitrminos y maxitrminos para una funcin booleanade tres variables. Decimal A BC Minitrmino Maxitrmino00 00 10 01 20 10 30 11 41 00 51 01 61 10 71 11 Ntese que para una funcin con n variables se puede obtener 2n Minitrminos oMaxitrminos diferentes. Para encontrar los Minitrminos de la funcin, los ceros lgicos enlas variables A, B o C son considerados como una variable negada en el Minitrminocorrespondiente. En cambio para encontrar los Maxitrminos de la funcin, los unos lgicos enlas variables A, B o C son considerados como una variable negada en el Maxitrminocorrespondiente.Mapas de KarnaughEl cuadro de la figura 1 representa un mapa para seis variables distintas, donde los trminospueden ser localizados dentro de los cuadros internos. Lo anterior cumple con las siguientesreglas:1. La variable testada representa un cero por lo tanto le corresponde la localizacin con segmento de lnea:0 = |-----------|2. La variable sin testar representa un uno por lo tanto le corresponde la localizacin sin segmento de lnea:1= Ejemplo:Localizar la posicin que ocupa en el mapa el siguiente trmino: 6 8. Primero localizamos en el mapa el rea de cuadros que estn abajo del segmento delnea A (puesto que en el trmino, A testada representa un cero y los ceros estarnsiempre en cuadros donde haya segmento de lnea en su variable correspondiente), elrea de cuadros que estn debajo de donde no haya segmento de lnea A, losdesechamos (imaginariamente claro). Como una gua el nmero de cuadros de esta reaes 32 y corresponde a la mitad del mapa. Despus localizamos el rea de cuadros que estn abajo del segmento de lnea A peroque tambin estn debajo de donde no haya segmento de lnea B (puesto que en lafuncin, A esta testada pero B no, ya que B representa un uno en el trmino y losunos estarn siempre en cuadros donde no haya segmento de lnea en su variablecorrespondiente). El nmero de cuadros de esta nueva rea debe ser ocho. Notemos queel rea se ir reduciendo hasta que nos quede un solo cuadro en donde colocaremos locorrespondiente al trmino propuesto. Posteriormente localizamos el rea de cuadros donde:Haya segmento de lnea A.No haya segmento de lnea de B.No haya segmento de lnea de C (ocho cuadros de rea)Haya segmento de lnea D (cuatro cuadros de rea)No haya segmento de lnea de E (dos cuadros de rea)No haya segmento de lnea de F (un cuadro de rea)Por lo tanto a la funcin: Le corresponde la posicin indicada en la figura con la letra . A BD E FC Figura 1. Mapa de Karnaugh para seis variables. 7 9. En el caso de que el trmino tenga menos variables, solo se deber considerar los cuadros queabarquen dichos trminos.Ejemplo:Haga un mapa de la siguiente funcin:01El nmero de variables distintas es tres por lo tanto:2n = 23 = 8 cuadros. Donde n es el nmero de variables.Entonces el mapa resultante ser el marcado en la figura 1.En el mapa, las literales son colocadas de la ms significativa a la menos significativa como loindican las flechas en la figura. 1. El mapa resultante es el siguiente: ACB 0 1Figura 2. Mapa de Karnaugh de tres variables.Simplificacin de funciones booleanasEl proceso de simplificar una funcin booleana con ayuda de un mapa de Karnaugh consiste enagrupar celdas adyacentes denominadas implicantes primos.Grupos de celdas para la simplificacinSolo se permitir agrupar grupos de en celdas adyacentes de acuerdo con las siguientesreglas: 1. Celdas adyacentes son celdas que difieren por una sola variable. Por ejemplo ABCD YABC . Siempre deben hacer los grupos de con celdas adyacentes. 2. Las en celdas adyacentes son agrupadas en grupos de 1, 2, 4, 8, 16etc. Estoquiere decir que no se pueden hacer grupos de 3, 5, 7 o 9 elementos pues solo espermitido agrupar en potencias de 2. 3. Cada grupo de puede incluir el mayor nmero de celdas adyacentes de acuerdo conla regla de agrupar en potencias de 2.8 10. Cuanto mayor sea el grupo de ms variables se eliminarn. Por ejemplo si tenemos un mapa de Karnaugh de 5 variables (A, B, C, D, E) nuestro mapa seria de 25=32 cuadros por lo que: Si el agrupamiento de " " es de: El nmero de variables que obtendremos ser: 32 Cuadros 0 Variables 16 Cuadros 1 Variable 8 Cuadros2 Variables 4 Cuadros3 Variables 2 Cuadros4 Variables 1 Cuadros5 Variables De lo anterior deducimos que si agrupamos solamente en grupos de un cuadro obtendramos la funcin en su forma cannica. 4. Toda puede ser incluida en otros grupos, por lo tanto puede haber implicantesprimos solapados. Es decir, podemos formar un grupo aun con que ya habamosincluido en otros grupos, y de esta manera un grupo ms grande para eliminar msvariables. 5. Todas las debern estar contenidas en algn grupo.Reglas de simplificacin de la expresinLas siguientes reglas muestran como obtener la expresin simplificada del mapa de Karnaugh. 1. Deben eliminarse las variables contradictorias. Es decir que cambian su valor durantela trayectoria de la agrupacin (cambio de segmento a ausencia de l). 2. La expresin simplificada quedar en forma de Maxitrminos. Algunos grupos incorrectos se muestran a continuacin:Equivocadono sonadyacentes.9 11. Ver regla nmero 1.Incorrecto No puede habergrupos de tres trminos.Ver regla nmero 2.IncorrectoLos grupos no son tan extensos cmo es posible.Ver regla nmero 3.IncorrectoEl grupo extra es extenso, pero nosirve para ningnpropsito.Ver regla nmero 4.Correcto Todos los trminosencerrados en crculos conformangrupos lo ms extenso posible.Cumple con todas las reglas.10 12. Codificaciones sin importancia en los mapasLas condiciones cuyo valor es irrelevante en un mapa de Karnaugh se les conoce como No-Importa (algunos textos se refieren a ellas por su equivalente en ingls Don`t -Care), y serepresentan por una X. Estas condiciones pueden tomar el valor lgico cero o uno segnconvenga y de esta manera se pueden extender los grupos. En el siguiente ejemplo se muestraun mapa en donde existen condiciones No-Importa y unos, con esto se forman dos grupos,un grupo de dos elementos (donde cada elemento es un uno) y otro grupo de cuatro elementoscon dos unos y dos No-Importa.X 1 1XX 1 1X XLo anterior nos conviene ya que al formar un grupo de cuatro elementos mezclando unos ycondiciones No-Importa, (en lugar de formar otro grupo de dos elementos con puros unos),estamos eliminando variables.Nota: Siempre es recomendable que cuando se agrupe se empiece por el grupo ms pequeo(aquel que cuenta con un solo elemento) y se termine por el grupo ms grande.Ejercicios resueltosEsta seccin muestra una serie de ejemplos que te ayudaran a establecer un mtodo pararesolver en un futuro problemas similares.Problema 1:Determine el diagrama de tiempo resultante S de la compuerta Y (AND) de acuerdo a susentradas A y B que se muestran en la figura:Solucin:5V A0 5V0 B 5V S0 11 13. Problema 2:Encontrar la forma cannica de la funcin: Solucin:Recordemos que para encontrar la funcin cannica, debemos agregar a los trminos quecomponen a la funcin F las variables faltantes. Haremos uso del teorema 2 ya que con l,podemos agregar unos trminos sin que se altere nuestra funcin.T-2 = Aplicando teorema 2T-8 = Aplicando teorema 8 T-2FCANONICA = T-8 = T-2 = T-8 = Problema 3:Utilizando algebra de Boole simplifique la expresin:Solucin:T-8 = Aplicando teorema 8T-14 = Aplicando teore