Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares

Problema de las tres barras mutuamente perpendiculares

Caso de Estudio

El presente trabajo es el sumario de diversos conceptos estudiados de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016


Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

CASO DE ESTUDIO 3

PROBLEMA INICIAL 3 SITUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 3

RESOLUCIÓN 4

SOLICITACIONES EN LOS TRAMOS DE BARRA Y DEFORMACIONES RELEVANTES 4 DIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN CIRCULAR MACIZA DE IGUAL ÁREA QUE LA RECTANGULAR DE RELACIÓN DE LADOS

H=2B 4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS RELEVANTES DE LAS SECCIONES RECTANGULAR MACIZA Y CIRCULAR MACIZA 5 DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE LA BARRA CD 5 DEFORMACIÓN POR TORSIÓN DE LA BARRA CD 6 DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE LA BARRA CB 7 DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE LA BARRA AB 7 COMERCIALIZACIÓN DEL PROTOTIPO 8

BIBLIOGRAFÍA DE BASE (RECOMENDADA) 14


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Caso de estudio

Problema inicial

El Departamento de Ingeniería y Desarrollo de una PyME ha recibido el pedido de la Oficina de Ventas para la reingeniería de un elemento estructural que comercializa.

El proyecto consiste en, manteniendo las dimensiones y peso del elemento estructural en cuestión (barra plegada de sección rectangular de relación de lados h =2 b), generar un prototipo que, solicitado bajo las mismas condiciones de carga, sufra una deformación de la menos un 10% menor que la de la estructura en cuestión.

Las alternativas que resultan factibles de implementar son:

1. Reemplazar la barra de sección rectangular plegada por una barra de sección circular maciza plegada.

2. Reemplazar sólo tramo CD por una barra de sección circular maciza soldada a una L de sección rectangular (de relación de lados h =2 b)

3. Reemplazar sólo tramo AB por una barra de sección circular maciza soldada a una L de sección rectangular (de relación de lados h =2 b)

4. Reemplazar sólo tramo BC por una barra de sección circular maciza soldada a una L de sección rectangular (de relación de lados h =2 b)

Situaciones de segundo orden

Posteriormente, y en función de la investigación realizada, se requiere que se evalúe y aconseje a la gerencia de la empresa sobre las siguientes formas de comercialización:

1. Vender una partida de dicho producto a una compañía multinacional por 110 millones de pesos.

2. Poner en marcha una prueba de mercado antes de tomar una decisión, o bien,

3. Adelantar la campaña de marketing del nuevo producto con la finalidad de adelantarse a la competencia, confiando en que el desarrollo del mismo culminará con éxito.

La utilización de secciones de distinta geometría implica un gasto adicional en soldadura y mecanizado de 500 mil pesos para cada partida.



Las pruebas de mercado del producto ascienden a 8 millones de pesos, existiendo un 60% de probabilidades de que los resultados de las mismas sean favorables, en cuyo caso se estima que valor del nuevo producto asciende a 40 millones de pesos para cada partida. En caso de un resultado desfavorable pueden encontrase aplicaciones alternativas para el producto en uno de cada cinco casos, si bien el valor del mismo se reduce a 20 millones de pesos para cada partida.

En caso de que el resultado de las pruebas de mercado sea favorable, la probabilidad de que el producto tenga una buena acogida por parte de los clientes es tan solo del 60%. Si se opta por comercializar el producto, los gastos de comercialización ascienden a 5 millones de pesos para cada partida.

La posibilidad de que se adopte la alternativa de adelantar la campaña de marketing del nuevo producto, se estiman en una entre cuatro. Sin embargo, los resultados esperados si se hiciera esto con éxito son de ciento 160 millones de pesos para cada partida.

En caso de resultado desfavorable de las pruebas de mercado como siempre, existe la posibilidad de encontrar aplicaciones alternativas para el producto en uno de cada cinco casos, en cuyo caso el valor del mismo será de 80 millones de pesos para cada partida.

Esta tercera alternativa requiere llevar a cabo las pruebas de mercado así como la comercialización del producto, tanto sí el producto tiene éxito como si no.

Resolución

Solicitaciones en los Tramos de barra y deformaciones relevantes

Tramo Solicitación Deformación

Barra AB Por flexión Relevante

Por corte No relevante

Barra BC

Por flexión Relevante


Por compresión No relevante

Barra CD

Por flexión Relevante


Por torsión Relevante

Dimensionamiento de la sección circular maciza de igual área que la rectangular de relación de lados h=2b

Datos de la sección rectangular: b = 2,5 [cm]

Siendo ambas barras de igual área resulta:

cm

cmb

bbFF cCirc

45,288

24

22

2

Re



Características Geométricas Relevantes de las Secciones Rectangular Maciza y Circular Maciza

Momento de Inercia de la Sección rectangular maciza

En el caso resulta:

2412

2

12

4

3

3 hh

h

hbJ x

(Secciones A y B) y

612

2

12

433 bbbbhJ x

(Secciones C y D)

Momento de Inercia de la Sección circular maciza

En este caso resulta:

64

4dJ x

Momento Polar equivalente de la Sección rectangular maciza

En el caso resulta:

2* bh

JT

Siendo un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que se obtiene de tablas y reemplazando valores:

4

3

* 88,1737,4

5,25cm

cmcmJT

Momento Polar de la Sección rectangular maciza

En el caso resulta:

4

44

0 13,2532

4

32cm

cmDJ

Deformación por Flexión de la barra CD

Por el Teorema II del área del diagrama de momentos reducidos que dice: “Dado dos puntos A y B (ver esquema) pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de A respecto a la tangente en B es igual al momento estático con respecto al punto A del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.” (El momento estático recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia entre su centro de gravedad y el punto A), y dado



que la tangente a la elástica en B coincide con el eje no flexado de la viga, la flecha resulta ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces, tenemos:

Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B resulta:

xx JE

LP

JE

LPLA

2

2

1

2

1

Distancia a su centro de gravedad: LdG 3

2

xx

GJE

LPL

JE

LPdA

32

3

1

3

2

2

1

Relación entre ambos desplazamientos será:

93,15,2

4

64

6

6

5,2

64

4

6

64

3

1

3

1

4

4

4

4

4

4

3

3

1

cm

cm

cm

cm

bJ

J

JE

LP

JE

LP

K

RM

CM

CM

RM

x

x

x

x

C

R

Lo que nos indica que el descenso del extremo libre resulta ser, para la sección rectangular maciza un 93% mayor que el descenso correspondiente a la sección circular maciza.

Deformación por Torsión de la barra CD

Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre ambos

Barra de sección circular maciza

El ángulo de torsión específico será:

cm

radQ

cmcm

KN

cmKNQ

DG

M

JG

M TTC

4

4

2

34

0

105

4108

320032

Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)

cm

radQ

cmcm

KN

cmKNQ

JG

M

T

TR

4

4

2

3*

107

88,17108

100

Relación entre ambos ángulos de torsión específicos

41,188,17

1013,25

4

4

*

0

0

*

2cm

cm

rad

J

J

JG

M

JG

M

KTT

T

T

C

R

Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aproximadamente



un 41% superior a la correspondiente a la sección circular, y como el descenso de la sección A debida a la torsión de la barra CD resulta ser:

2KL

LL

C

R

A

A

A

C

R

Por lo que el descenso vertical de la sección A debida a la torsión de la barra CD de sección rectangular maciza resultará ser un 41% superior al de la sección circular maciza.

Sección recomendable para el tramo CD: Circular maciza.

Deformación por Flexión de la barra CB

Por el Teorema I del área del diagrama de momentos

reducidos que dice: “El ángulo comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B (ver esquema) de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos.”, por lo tanto:

xJE

LP

2

2

1

Relación entre ambas rotaciones será:

483,0

5

4

64

24

24

5

64

4

24

64

3

1

3

1

4

4

4

4

4

4

3

3

3

cm

cm

cm

cm

hJ

J

JE

LP

JE

LP

K

RM

CM

CM

RM

x

x

x

x

C

R

Lo que nos indica que la rotación del extremo superior resulta ser, para la sección rectangular maciza un 48% del correspondiente a la sección circular maciza, y como el descenso de la sección A debida a la flexión de la barra CB resulta ser:

3KL

LL

C

R

A

A

A

C

R

Por lo que el descenso vertical de la sección A debida a la flexión de la barra CB de sección rectangular maciza resultará ser un 48% del de la sección circular maciza.

Sección recomendable para el tramo CD: Rectangular

maciza.

Deformación por Flexión de la barra AB

Por el Teorema II del área del diagrama de momentos reducidos que dice: “Dado dos puntos A y B (ver esquema) pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de A respecto a la tangente en B es igual al momento estático con respecto al punto A del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.” (El momento estático



recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia entre su centro de gravedad y el punto

A), y dado que la tangente a la elástica en B coincide con el eje no flexado de la viga, la flecha resulta ser el desplazamiento de A respecto a la tangente en B. Aplicando entonces, tenemos:

Área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B resulta:

xx JE

LP

JE

LPLA

2

2

1

2

1

Distancia a su centro de gravedad: LdG 3

2

xx

GJE

LPL

JE

LPdA

32

3

1

3

2

2

1

Relación entre ambos desplazamientos será:

483,0

5

4

64

24

24

5

64

4

24

64

3

1

3

1

4

4

4

4

4

4

3

3

1

cm

cm

cm

cm

hJ

J

JE

LP

JE

LP

K

RM

CM

CM

RM

x

x

x

x

CM

RM

Lo que nos indica que el descenso del extremo libre resulta ser, para la sección rectangular maciza un 48% del correspondiente a la sección circular maciza para las secciones A y B, mientras que para las secciones C y D será:

Sección recomendable para el tramo CB: Rectangular maciza.

El prototipo a construir será: barra CD de sección circular

maciza, barras CB y BA de sección rectangular maciza.

Comercialización del Prototipo

Paso 1 - Enumeramos las diferentes alternativas de decisión.

Vender dicho producto a una gran compañía multinacional.

Adelantar la campaña de marketing del nuevo producto.

Poner en marcha una prueba de mercado.

Paso 2 - Enumeramos para cada una de las alternativas de decisión, los estados de la naturaleza asociados a la misma.



Conocido el resultado de las pruebas de mercado, sea éste favorable o desfavorable, debe decidir si comercializa o no el producto.

Si el resultado de las pruebas de mercado es favorable y toma la decisión de comercializar el nuevo producto, los estados posibles de la naturaleza son, que el nuevo producto tenga buena acogida por parte de los clientes (tenga Éxito), o contrariamente que el producto no tenga una buena acogida (Fracaso).

Por su parte, si el resultado de las pruebas de mercado es desfavorable y toma la decisión de comercializar el nuevo producto, los estados posibles de la naturaleza son, que encuentre aplicaciones alternativas para el producto, o contrariamente que no las encuentre (No alternativas).

Paso 3 - Explicitamos el árbol de decisión

Paso 4 - Asignamos las probabilidades a priori de cada uno de los estados de la naturaleza.



Paso 5 - Calculamos el beneficio de cada una de las ramas del árbol.



El beneficio de cada rama lo obtiene restando al valor del producto en cada rama, los gastos de 8 millones de pesos de las pruebas de mercado, los gastos de 5 pesos de euros de la comercialización y los 500 mil pesos del mecanizado.

Paso 6 - Resolvemos el árbol de decisión de derecha a izquierda. Dado que la etapa final es probabilista debemos aplicar el criterio de la esperanza matemática con el objetivo de determinar el beneficio esperado de cada alternativa de decisión.

((160 – 8 – 5 – 0,5) x 0,6) + ((- 8 – 5 – 0,5) x 0,4) = 82,5 millones de pesos

((80 – 8 – 5) x 0,2) + ((- 8 – 5) x 0,8) = 2,5 millones de pesos

((40 – 8 – 5) x 0,6) + ((- 8 – 5) x 0,4) = 10,5 millones de pesos

((20 – 8 – 5) x 0,2) + ((- 8 – 5) x 0,8) = - 9,5 millones de pesos

En caso de realizar las pruebas de mercado y no comercializar el nuevo producto, incurre en un gasto de 8 millones de pesos de las pruebas de mercado y los 500 mil pesos del mecanizado.

Paso 7 - Resolvemos la etapa anterior. Si es probabilista apliquamos el criterio del valor esperado, por el contrario, si es determinista y dado que los valores calculados son beneficios esperados, debemos elegir la alternativa cuyo beneficio sea mayor.

(82,5 x 0,25) + ((- 8,5) x 0,75) = 14,25 millones de pesos

(2,5 x 0,25) + ((- 8,5) x 0,75) = - 5,75 millones de pesos



Paso 8 - Resolvemos la etapa anterior. Dado que se trata de una etapa probabilista debemos aplicar el criterio de la esperanza matemática con el objetivo de determinar el beneficio esperado de cada alternativa de decisión.





Finalmente resolviendo la última etapa, elijemos la alternativa cuyo beneficio sea mayor dado que la etapa es determinista y los valores calculados beneficios esperados.

La decisión que debe tomar el gerente de la empresa es la de vender el nuevo producto a una gran compañía multinacional, esperando con ello obtener un beneficio de 110 millones de pesos.



Bibliografía de Base (recomendada)

Estabilidad II - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros

Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Mecánica de materiales - F. Beer y otros

Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler

Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros

Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir

Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana

Resistencia de materiales - V. Feodosiev

Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer

Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Breve aproximación a la Técnica de Árbol de Decisiones - Calancha Zuniga, Niefar Abgar

Problemas resueltos de Teoría de Decisión – Federico Garriga Garzón

Education

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