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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

PROBABILIDAD 2

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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

• Se utiliza para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria adopte cualquier valor dentro de su rango.– Histograma de Probabilidad– Diagrama de Barras

∑ =≥

1)(

0)(

xf

xf

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Variables aleatorias continuas y FDP

• Una variable aleatoria continua puede tener cualquier valor dentro de cierto intervalo de la recta real, en vez de restringirse a un numero contable de puntos distintos.

• Una VA continua tiene un numero incontable de valores posibles.

• Una fdp es una función no negativa cuya área total es igual a la unidad y cuya área en el intervalo a<x<b es igual a la probabilidad de observar a X en ese intervalo.

)()(

)()()()(

1)(

0)(

)()()(

)()(

xXdxxPdxxP

dxxPaFbFbXaP

dxxP

xP

dPxFxXP

dx

xdFxP

x

b

a

xxx

x

x

x

xx

xx

<<−=

=−=≤<

=

≥

==≤

≅

∫

∫

∫

∞

∞−

∞−

λλ

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Ejercicio

• Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad, determine la densidad de probabilidad

>≤

=− 02

00)(

2 xparae

xparaxf

x

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FDP Conjunta y FDP Condicional

• La función de densidad de probabilidad conjunta de X y Y. Se denota como Pxy(x,y), si existe una función NO negativa f definida sobre todo el plano xy tal que

• Si sucede que X y Y son estadísticamente independientes, entonces su FDP conjunta se reduce al producto

∫ ∫=≤<≤<

≤<−≤<−=d

c

b

a

xy

xy

dxdyyxPdYcbXaP

yYdyyxXdxxPdxdyyxP

),(),(

),(),(

)()(),( yPxPyxP yxxy =

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FDP Condicional

• Si X y Y no son independientes, se expresa la FDP condicional

x

xyy P

yxPxyP

),()|( =

)(

)()(

BP

BAPBAP

=⊥

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FDP Marginal

• Cuando solo estamos interesados en x

∫∞

∞−

= dyyxPxP xyx ),()(

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• Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18 ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad tenga también alta selectividad?

Ejercicio

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Ejercicio

• Se sabe que la FDP conjunta de dos voltajes de ruido es

• Halle la FDP marginal.

∞<<∞<<+−= yxxyxy eyxP 00)2/(

2

1),(

π

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Medias, momentos y esperanza

• La media de una variable X es una constante mx que es igual a la suma de los valores de X ponderados por sus probabilidades.

• Si las probabilidades de obtener los montos a1, a2,… ak son p1, p2, …pk entonces la esperanza matemática es

kk papapaE +++= ...2211

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Ejercicio

• Una empresa de ingeniería debe preparar una propuesta para un contrato de investigación. El costo de preparación de la propuesta es de 5000 dólares y las probabilidades de utilidades brutas potenciales de 50.000, 30.000, 10.000 y 0 dólares son 0.20; 0.50; 0.20 y 0.10, siempre y cuando la propuesta sea aceptada. Si la probabilidad de que la propuesta de la empresa sea aceptada es de 0.30 ¿a cuanto ascienden las utilidades netas esperadas?

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Desviación estándar y desigualdad de Chebyshev

• La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza.

• La desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

• La varianza representa la media aritmética de las desviaciones con respecto a la media que son elevadas al cuadrado.

• La desigualdad de chebysheb, muestra que hasta cierto punto, la varianza controla cuan lejos se extienden las probabilidades

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL• Hay solo dos resultados posibles en cada

ensayo (éxito o fracaso).

• La probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo.

• Hay n ensayos, donde n es una constante.

• Los n ensayos son independientes.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

P : Es la probabilidad de obtener un éxito1-P: Probabilidad de obtener un fracasoX: variable aleatoriaN: número de ensayos : Numero de formas en las que se puede seleccionar los x ensayos en los que haya un éxito

Histograma Asimétrico o de cola larga negativa.Histograma Simétrico o de cola larga positiva.

xn

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EJERCICIO

• Se argumenta que en el 60% de las instalaciones de servicio de gas, la cuenta se reduce en al menos 1/8. En consonancia de ello ¿Cuáles son las probabilidades que en la cuenta del servicio se reduzca en al menos 1/8 en– 4 de 5 instalaciones– Al menos 4 de 5 instalaciones.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ACUMULATIVA

∑

∑

=

=

−=

−−=

=

x

k

x

k

pnxBpnkb

pnxBpnxBpnxb

pnkbpnxB

0

0

);;(1);;(

);;1();;();;(

);;();;(

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EJERCICIO

• Un fabricante de antenas sostiene que sólo el 10% de sus antenas requieren de mantenimiento dentro del periodo de garantía de 12 meses. Si 5 des sus 20 antenas requirieron de reparación en el primer año ¿Esto apoya o refuta dicha afirmación?

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EJERCICIO

• Si la probabilidad de que a cualquier persona le desagrade el nuevo sabor del Mr tea es de 0.2 ¿Cuál es la probabilidad de que le desagrade a 5 de 18 personas aletoriamente seleccionadas?

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MEDIA Y VARIANZA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• MEDIA

• VARIANZA

• MEDIA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

• VARIANZA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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Ejercicio

• Determine la media, varianza y distribución estándar de la distribución de probabilidad del número de caras obtenidas en 3 lanzamientos de una moneda balanceada.