Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10

GIA SƯ THỦ KHOA TOÁN HÀ NỘI CHẤT LƯỢNG CAO http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn – Tel: 0936.128.126

------------------***-------------------

Đăng ký học Toán lớp 9 chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 | Tel: 0936.128.126 1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA

I-KIẾN THỨC:

1/

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x g x

f x g x

2/ 2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

g xf x g x

f x g x

3/

( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )

f x

f x g x h x g x

f x g x f x g x h x

4/ *2 2

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0 ( )

( ) ( )

n n

f x

f x g x g x n N

f x g x

5/ *2

2

( ) 0( ) ( ) ( )

( ) ( )n

n

g xf x g x n N

f x g x

6/ *2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x n N

7/ 2 1 *2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x n N

II-BÀI TẬP

Bài 1: : x 1 x 1 (1)

HD: (1) 2 2

x 1 0 x 1 x 1

x 3x 1 (x 1) x 3x 0

3x

Bài 2: : 2 3 0x x

HD:Ta có: 2 3 0x x 2 3x x 3

3

1

0

032

0

32

0

22

x

x

x

x

xx

x

xx

x

Bài 3: : 4 1 1 2x x x


------------------***-------------------


HD: Ta có: 4 1 1 2x x x 4 1 2 1x x x

1 2 0

1 0

4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )

x

x

x x x x x

2

1

2

2 1 2 3 1

x

x x x

2 2

1

2

2 1 0

(2 1) 2 3 1

x

x

x x x

2

1 11 1

2 202 2

07 0

7

xx

xx

x xx

Bài 4: : 22 3 4 0x x

HD:ĐK:2

2 02

4 0

xx

x

(1)

PT

2 3 ( 2)( 2) 0

2. 1 3 2 0

22 0(2)17

1 3 2 09

x x x

x x

xx

xx

Kế ợ (1) và (2) a đ ợc:x = 2

Bài 5. : 3 3x x x

HD:Đk: 0 3x k đó đ c o đ : 3 23 3 0x x x 3 31 10 10 1

3 3 3 3x x

Bài 6. sau : 22 3 9 4x x x

HD:Đk: 3x đ :

2

2

13 1 3

1 3 9 5 973 1 3

18

xx x

x xxx x

Bài 7. sau : 22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x

HD: pt 3

3 32 3 0 1x x x

Bài 8. và u : 2x 4 x m


------------------***-------------------


HD: Ta có: 2x 4 x m 2 2 2 2

x m x m

x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0

– Nếu = : v

– Nếu : 2m 4

x2m

Đ u k đ có : x

2m 4

2m

Nếu : 2 4 2

2 m

2 ≤ 4 0 m 2

Nếu : 2 4 ≤ 2

2 m

2 4 ≤ –2

Tó :– Nếu ≤ –2 o c ≤ 2: có 2m 4

x2m

– Nếu –2 ≤ o c 2: v

Bài 9. và u vớ à a số: mxx 32

Bài 10. và u o a số : x x m m

HD: Đ u k : x

– Nếu : v

– Nếu = : à x( x 1) 0 có a : x1 = 0, x2 = 1

– Nếu : đ c o đ vớ

( x m)( x m 1) 0 x m 0

x 1 m

Nếu ≤ 1: có a : x1 = m; x2 = 2(1 m)

Nếu 1: có : x =

III-Bài tập áp dụng:

Bài 1:Gi các sau:

1/ 1 13x x 2/ 3 34 3 3 1x x 3/ 2 5 3 5 2x x

4/ 21 4 1x x x 5/ x 3 5 x 2 6/ x 1 x 7 12 x

7/ x x 1 x 4 x 9 0 8/ 2 5 0x 9/ 3 = 26x x

10/ 1

5 1 2 02

x 11/ 19

3 2 36

x 12/ 2

8 5 2 03

x

13/ 16 17 8 23x x 14/ 3 1 2 3x x 15/ 20 3 2 2 3x x

Bài 2: :

a) 2 1 1x x b) 2 3 0x x c) 2 1 1x x

d) 3 6 3x x e) 3 2 1 3x x f) 3 2 1x x

g) 9 5 2 4x x h) 3 4 2 1 3x x x i) 4 3 2x x


------------------***-------------------


Bài 3: T đ sau có : 2 23 2 2x x m x x

Bài 4: C o : 2 1x x m

a) k = 1

b) T đ có

Bài 5: Cho : 22 3x mx x m

a) k =3

b) Vớ á ị ào của có

Bài 6: các sau:

a/ 7 3 9 0x x

d/

1 91 1 3 1 17

2 2x x x g/

2 6

4 7

x x

x x

b/ 2 1 1x e/ 5 3

3 9 27 4 12 13 2

x x x h/ 5 5 1 0x x

c/ 3 7 4 0x x f) 2 2( 3) 10 12x x x x i/ 5 7 12 0x x

II. PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI

I-KIẾN THỨC:

Sử dụ ằ đẳ ức sau: 2( ) ( ) ( ( ) 0)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) 0)

f x g x f xf x g x f x g x

f x g x f x

II-BÀI TẬP:

Bài 1: : 2x 4x 4 x 8 (1)

HD: (1) 2(x 2) 8 x |x – 2| = 8 – x

– Nếu x 2: (1) 2 – x = – x (v )

– Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 ( o ) V y: x = 5

Bài 2: : x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2)

HD: (2) x 1 0

x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1

x 1

x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|

(*)

Đ y = x 1 (y ) (*) đ c o à : y 1 | y 3| 2 | y 1|

– Nếu ≤ y 1: y 1 3 – y = 2 – 2y y = –1 ( o )

– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y 1 3 – y = 2y – 2 y = 3

– Nếu y 3: y 1 y – 3 = 2y – 2 (v )

Vớ y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (tho ) V y: x =


------------------***-------------------


Bài 3: : 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x

HD:ĐK:5

2x

PT 2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14x x x x

2 5 1 2 5 3 14x x 2 5 5x 15x (T o ) V y:x = 15

Bài 4: : 2 1 2 1 2x x x x

HD:ĐK: 1x

Pt 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x 1 1 1 1 2x x

Nếu 2x pt 1 1 1 1 2x x 2x (Lo )

Nếu 2x pt 1 1 1 1 2x x 0 0x (Lu đú vớ x )

V y của à: |1 2S x R x

III-Bài tập áp dụng:

các sau:

1/ 2 2 1 5x x 2/ 4 4 3x x

3/ 2 6 9 2 1x x x 4/ 4 4 5 2x x x

5/ 2 22 1 4 4 4x x x x 6/ 2 1 4 4 10x x x x

7/ 2 2 26 9 2 8 8 2 1x x x x x x 8/ 2 24 4 6 9 1x x x x

9/ 2 1 2 1 2x x x x 10/ 3 2 4 4 4 1x x x x

11/ 6 2 2 11 6 2 1x x x x 12/ 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x

13/ 2 22 2 1 5 0x x x x 14/ 45224252642 xxxx

15/ 2 4 4 2 10x x x 16/ 2 2 1 2 8x x x

17/

1 12

2 4x x x

18/ 05261

4

1 2 xx

19/ 3

2 1 2 12

xx x x x

20/ 2 4 4 2x x x

21/ ( 1) 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x 22/ 8 6 1 4x x

III. PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường


------------------***-------------------


Đố vớ u v v ỉ , đ c ú a có đ t f x và c ú ý đ u

k của t ếu a đầu à c ứa ế t qua ọ

a có đ ợc đó o t v c đ ụ x “ oà oà ”

Bài 1. : 2 21 1 2x x x x

HD:Điều kiện: 1x

N xé 2 21. 1 1x x x x

Đ 2 1t x x có d : 1

2 1t tt

. Thay vào đ ợc 1x

Bài 2. : 22 6 1 4 5x x x

HD:Đ u k : 4

5x

Đ 4 5( 0)t x t thì 2 5

4

tx

T ay vào a có sau:

4 22 4 210 25 6

2. ( 5) 1 22 8 27 016 4

t tt t t t t

2 2( 2 7)( 2 11) 0t t t t

Ta đ ợc ố à: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t

Do 0t ê c ỉ các á ị 1 31 2 2, 1 2 3t t

Từ đó đ ợc các của ình l: 1 2 2 3 vaø x x

Cách khác: Ta có a vế của vớ đ u k 22 6 1 0x x

Ta đ ợc: 2 2 2( 3) ( 1) 0x x x , ừ đó a đ ợc ứ

Đ ấ à a đ : 2 3 4 5y x và đ a v đố xứ (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. sau: 5 1 6x x

HD:Đ u k : 1 6x

Đ 1( 0)y x y à : 2 4 25 5 10 20 0y y y y y (

vớ 5)y 2 2( 4)( 5) 0y y y y 1 21 1 17

,2 2

(loaïi)y y

Từ đó a đ ợc các á ị của 11 17

2x

Bài 4. sau : 2

2004 1 1x x x


------------------***-------------------


HD: ĐK: 0 1x

Đ 1y x ành: 2 22 1 1002 0 1 0y y y y x

Bài 5. sau : 2 12 3 1x x x x

x

HD:Đ u k : 1 0x

C a c a vế c o x a đ ợc:1 1

2 3x xx x

. Đ 1

t xx

, a đ ợc

Bài 6. : 2 4 23 2 1x x x x

HD: 0x k à , C a c a vế c o x a đ ợc: 31 1

2x xx x

Đ = 31

xx

, Ta có : 3 2 0t t 1 5

12

t x

Bài 7. : 2 23 21 18 2 7 7 2x x x x

HD:Đ y = 2 7 7x x ; 0y

P có d : 3y2 + 2y - 5 = 0

5

3

1

y

y

1y

Vớ y = 1 2 7 7 1x x 1

6

x

x

Là của đ c o

Nhận xét : Đố vớ các đ ẩ ụ ê c ú a c ỉ quyế đ ợc ớ à đ

, đ k đố vớ t quá k ó

2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

C ú a đ ế các : 2 2 0u uv v (1) ằ các

Xét 0v à :

2

0u u

v v

0v ử ực ế

Các ờ ợ sau cũ đ a v đ ợc (1)

. .a A x bB x c A x B x

2 2u v mu nv

C ú a y ay các u ức A(x) , B(x) các u ức v ỉ sẽ đ ợc

v ỉ o d ày

a) . Phương trình dạng : . . .a A x b B x c A x B x


------------------***-------------------


N v y nh Q x P x có ằ á ê ếu:

.P x A x B x

Q x aA x bB x

Xuấ á ừ đẳ ức :

3 21 1 1x x x x

4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x

4 2 21 2 1 2 1x x x x x

4 2 24 1 2 2 1 2 2 1x x x x x

H y o a ữ v ỉ d ê ví dụ : 2 44 2 2 4 1x x x

Đ có đẹ , c ú a c ọ số a, ,c sao c o c a 2 0at bt c “ đẹ ”

Bài 1. : 2 32 2 5 1x x

HD: Đ 2 31 ( 0) ; 1 ( )

2u x u v x x v

à : 2 2

2

2 5 1

2

u v

u v uvu v

T đ ợc: 5 37

2x

Bài 2. : 2 4 233 1 1

3x x x x (*)

HD:Dễ ấy: 4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x

Ta v ế 2 2 2 21 1 3 1 1x x x x x x x x

Đồ ấ vế á vớ (*) a đ ợc :

2 2 2 23 1 6 1 3 1 1x x x x x x x x

Đ : 2 23 31 ; 1

4 4u x x u v x x v

à :-3u+6v=- 3. uv 3u v Từ đây a sẽ đ ợc x

Bài 3: sau : 2 32 5 1 7 1x x x (*)

HD:Đk: 1x


------------------***-------------------


N xé : Ta v ế 2 21 1 7 1 1x x x x x x

Đồ ấ vế á vớ (*) a đ ợc : 23 1 2 1 7 1 1x x x x x x

Đ 21 0, 1 0u x v x x , a đ ợc:

9

3 2 7 1

4

v u

u v uvv u

Ta đ ợc : 4 6x

Bài 4. : 33 23 2 2 6 0x x x x

HD:N xé : Đ 2y x a ế ê v pt uầ ấ c 3 đố vớ x và y :

3 2 3 3 2 33 2 6 0 3 2 02

x yx x y x x xy y

x y

.P có : 2, 2 2 3x x

Bài 5: : 3 210 1 3 2x x

HD:ĐK: 1x

Pt 2 210 1. 1 3( 2)x x x x . Đ 2

1( , 0)

1

u xu v

v x x

P à :1 uv = 3(u2+v

2) 3 3 0u v u v

3

3

u v

v u

Nếu u = 3v 2 21 3 1 9 10 8 0x x x x x (v )

Nếu v = 3u 2 25 33

1 3 1 10 8 05 33

xx x x x x

x

à

b).Phương trình dạng : 2 2u v mu nv

P c o d ày ờ k ó “ á “ d ê , ếu a

a vế đ a v đ ợc d ê

Bài 1. : 2 2 4 23 1 1x x x x

HD:Ta đ : 2

2, 0;

1

u xu v u v

v x

k đó à : 2 23u v u v

hay: 2(u + v) - (u - v)= u v u v

Bài 2. sau : 2 22 2 1 3 4 1x x x x x


------------------***-------------------


HD:Đk 1

2x B 2 vế a có :

2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x

Ta có đ : 2 2

2 1

u x x

v x

k đó a có :

1 5

2

1 5

2

u v

uv u v

u v

Do , 0u v . 21 5 1 52 2 1

2 2u v x x x

Bài 3. : 2 25 14 9 20 5 1x x x x x

HD:Đk 5x C uy vế a đ ợc: 2 22 5 2 5 20 1x x x x x

Nhận xét : K ồ số , đ : 2 22 5 2 20 1x x x x x

v y a k đ :2 20

1

u x x

v x

.

N ay ắ a có : 2 220 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x

Ta v ế : 2 22 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x Đế đây à oá

đ ợc quyế

3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Từ ữ íc 1 1 1 2 0x x x ,

2 3 2 3 2 0x x x x

K a và ú ọ a sẽ đ ợc ữ v ỉ k ầ ờ c ú ào, đ

k ó của d ày ụ u c vào íc à a xuấ á

Từ đó c ú a ớ đ các d ày P á đ ợc

qua các ví dụ sau

Bài 1. : 2 2 23 2 1 2 2x x x x

HD:Đ 2 2t x ; 2t , ta có : 23

2 3 3 01

tt x t x

t x

Bài 2 : 2 21 2 3 1x x x x

HD:Đ : 2 2 3, 2t x x t


------------------***-------------------


K đó : 21 1x t x 2 1 1 0x x t

Bây ờ a ê ớ , đ đ ợc c 2 o có c ẵ :

2 22

2 3 1 2 1 0 1 2 1 01

tx x x t x t x t x

t x

Bài 3: : 2 23 1 3 1x x x x

HD:Đ 2 1; 1t x t

P à : 2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0

3

t x

t

Nếu = x 2 1x x (Vô lý) -Nếu = 3 2 1 3 2 2x x

V y: 2 2x

4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuấ á ừ số “đ số “ đẹ c ú a có o a đ ợc ữ v ỉ à k ó c ú a đ u ẩ ụ và ố qua ữa các ẩ ụ đ đ a

v

Xuấ á ừ đẳ ức 3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a , Ta có

33 3 3 0a b c a b c a b a c b c

Từ xé ày a có o a ữ v ỉ có c ứa că c a 2 23 33 7 1 8 8 1 2x x x x x

3 3 3 33 1 5 2 9 4 3 0x x x x

Bài 1. ng trình : 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x

HD:ĐK: 2x

Đ

2 ; 0

3 ; 1

5 ; 3

u x u

v x v

w x w

, ta có :

2

2

2

22

3 3

5 5

u v u wu uv vw wu

v uv vw wu u v v w

w uv vw wu v w u w

, a

đ ợc: 30 239

60 120u x

Bài 2. sau : 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x


------------------***-------------------


HD:Ta đ :

2

2

2

2

2 1

3 2

2 2 3

2

a x

b x x

c x x

d x x

, k đó a có : 2 2 2 2

2a b c d

xa b c d

Bài 3. các sau : 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x

HD:Đ 2

2

4 5 1; 0

1

a x xa b

b x x

Ta đ ợc :2 24 9 3

2 9 3

a b x

a b x

Từ đó a có: a2 - 4b

2 = a - 2b (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0

2

1 2

a b

a b

Nếu a = 2 2 2 14 5 1 2 1

3x x x x x ( o )

Nếu a = 1 - 2b 2 24 5 1 1 2 1x x x x (*)

Ta có : VT(*) 0 (1)

VP(*) = 2

2 1 31 2 1 1 2 1 3 0

2 4x x x

(2)

Từ (1) và (2) suy a (*) v

V y đ c o có duy ấ 1

3x

Bài tập áp dụng: pt: 3 3 244 44 1 1 1 1x x x x x x x x

5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đ ,u x v x và ố qua ữa x và x ừ đó đ ợc o

u,v

Bài 1. : 3 33 335 35 30x x x x

HD:Đ 3 3 3 335 35y x x y

K đó c uy v g trình sau: 3 3

( ) 30

35

xy x y

x y

, ày a

đ ợc ( ; ) (2;3) (3;2)x y Tức à của à {2;3}x


------------------***-------------------


Bài 2. : 4

4

12 1

2x x

HD:Đ u k : 0 2 1x

Đ 4

4

2 10 2 1,0 2 1

x uu v

x v

Ta đ a v sau: 4

42

2 4 4

4

11

22

12 1 2 1

2

u vu v

u v v v

pt ứ 2:

22 2

4

1( 1) 0

2v v

, ừ đó a v ồ ay vào của pt.

Bài 3. sau: 5 1 6x x

HD:Đ u k : 1x

Đ 1, 5 1( 0, 5)a x b x a b a đ a v sau:

2

2

5( )( 1) 0 1 0 1

5

a ba b a b a b a b

b a

V y 11 17

1 1 5 1 1 52

x x x x x

Bài 4. : 6 2 6 2 8

35 5

x x

x x

HD:Đ u k : 5 5x

Đ 5 , 5 0 , 10u x v y u v .

K đó a đ ợc :

22 2 ( ) 10 210

2 44 4 8( ) 12( )

33

u v uvu v

u vu vuvu v

Bài 5. : 877629 44 xx

HD:ĐK: 77 629x

Đ 4

4

629( ; 0)

77

u xu v

v x


------------------***-------------------


706,8 44 vuvu

Đ t = uv

113

15

016951282

t

t

tt

Vớ = 15 x = 4

Vớ = 113 x = 548

Bài 6. : 3 2 3 21 2 3x x x x (1)

HD:Vớ đ u k : 3 2 3 21 0 2 0x x x x

Đ 3 2

3 2

1

2

u x x

v x x

Vớ v u

P (1) à u v = 3

Ta có h ph ng trình

2 2

3 2

3 2

3 2

3 2

3

3

3 3 1

( )( ) 3 1 2

1 1

2 2

1 1

2 4

u v

v u

u v u v u

v u v u v u v

x x

x x

x x

x x

3 2

2

2

2 0

( 1)( 2 2) 0

1 ( 2 2 0 )

x x

x x x

x do x x x

V y ph ng trình đ cho có t p nghi m là S = {1}

Bài 7. : 2

2

3

21

xx

HD: Đi u ki n:2 1 11 0

0 100

xxx

xx

(*)

Vớ đi u ki n (*),đ xu ; xv 3

2, vớ u ,

3

2v


------------------***-------------------


Ta có:

2

2

42

3

2

11

vx

ux

Do dó a có

4 44 2

22 22 2 2 2 2 2

2

2 22 2

2 2

3 3

11

22

33

2 . 1 2 . 2 1

2 2

3 3

16 6542 . . 02 . 2 . 1

9 819

2

3

8 194.

18

u v u v

u vu v

u vu v

u v u v u v u v u v

u v u v

u v u vu v u v

u v

u v

u v

2

5

8 194.

18u v

u và v là nghi m của ph ng trình

)(018

1948

3

2

)(018

1948

3

2

2

2

byy

ayy

(b) vô nghi

(a) có 2 nghi

3

32

971

;2

32

971

21

yy


------------------***-------------------


Do đó:

12

22

21

11

yv

yu

yv

yu

V u ên ta chọ 3

32

971

2

yu

3

32

971

x

2

3

32

971

x

V y ph ng trình đ cho có nghi m duy nhấ

2

32

971

9

1

x

Bài 8. : 4564518 44 xx

HD:Vớ đi u ki n

5

64

5

18

5

645

18

0564

0518x

x

x

x

x (*)

Đ 44 564,518 xvxu , vớ u , v

Suy ra

xv

xu

564

5184

4

Ph ng trình đ cho t ng đ ng vớ h :

0,0

82)(2

4

0,0

82

4222244

vv

uvvu

vu

vv

vu

vu

Đ A = u + v và P = u.v, ta có:

0

293

4

0

08732

4

0,0

8222

4

2

222

P

PP

S

P

Pp

S

SP

PPS

S

(1) Vớ S = 4, P = 3

u và v là nghi m của ph ng trình:


------------------***-------------------


21

4 3 03

yy y

y

Do đó a có:

1

3

3

1

v

u

v

u

Suy ra4 4

4 4

18 5 1 18 5 3

64 5 3 64 5 1

x x

x x

18 5 1 18 5 81

64 5 81 64 5 1

x x

x x

5

63

5

17 xx o mãn (*)

(2) Vớ S = 4, P = 29 không tồ t u và v

V y ph ng trình đ cho có 2 nghi m là: 1

2

17

5

63

5

x

x

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta y đ uồ ốc của ữ à oá ằ các đ a v đố xứ o II

Ta xé đố xứ o II sau :

2

2

1 2 (1)

1 2 (2)

x y

y x

v c ày

đ

Bây ờ a sẽ ế à ằ các đ y f x sao c o (2) u đú ,

2 1y x , k đó a có : 2 21 ( 2 1) 1 2 2x x x x x

V y đ : 2 2 2x x x a đ ê và đ a v

Bằ các ự xé ổ quá d c 2 :

2

2

x ay b

y ax b

, a sẽ xây dự đ ợc

d sau : đ y ax b , k đó a có :

2 a

x ax b b

T ự c o c cao : n na

x ax b b


------------------***-------------------


Tó ờ c o d ớ d k a a v ế v d :

' 'n nx p a x b đ ny ax b đ đ a v , c ú ý v dấu của ???

V c c ọ ; ờ c ú a c ỉ cầ v ế d ớ d : ' 'n nx p a x b

à c ọ đ ợc

Bài 1: : 2 2 2 2 1x x x

HD:Đ u k : 1

2x

Ta có đ ợc v ế à: 2( 1) 1 2 2 1x x

Đ 1 2 1y x a đ a v sau: 2

2

2 2( 1)

2 2( 1)

x x y

y y x

T ừ a vế của a đ ợc ( )( ) 0x y x y

a a đ ợc của à: 2 2x

Cách 2: Đ 2 1x t a 2 22 1 2x t at a

C ọ a = -1 a đ ợc: 2 - 2t = 2x - 2

kế ợ vớ đầu à a có :2

2

2 2 2

2 2 2

x x t

t t x

ày a sẽ đ ợc x

Bài 2. : 22 6 1 4 5x x x

HD:Đ u k 5

4x

Ta ế đổ sau: 2 24 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x

Đ 2 3 4 5y x a đ ợc sau:2

2

(2 3) 4 5( )( 1) 0

(2 3) 4 5

x yx y x y

y x

Vớ 2 3 4 5 2 3x y x x x

Vớ 1 0 1 2 1 4 5x y y x x x (v )

Kế u : N của à 2 3x

Bài 3: : 2 5 5x x

HD:ĐK: 5x

Pt 2 5 5 ; 5x x x (*)

Đ 2 25 5 2x t a x t at a

C ọ a = a đ ợc: 2 - 5 = x và kế ợ vớ (*) a đ ợc :


------------------***-------------------


2

2

5

5

x t

t x

ừ đây a sẽ đ ợc

Bài 4: : 7x2 + 7x =

4 9( 0)

28

xx

.

HD:Đ 4 9

28

xt a

2 24 9

228

xt at a

C ọ 1

2a a đ ợc: 2 24 9 1 1

7 728 4 2

xt t t t x

Kế ợ vớ đầu à a đ ợc :

2

2

17 7

2

17 7

2

x x t

t t x

ê a đ ợc

Bài tập áp dụng:

: 22 2 1 4 1x x x

IV. PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

I-KIẾN THỨC:

1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:

C o a số : ( a , ), (x , y) a có: (ax + by)2 2 2 2 2( )( )a b x y

Dấu ‘‘=’’ x y a a b

x y

2.Bất đẳng thức côsi:

a) Vớ a số a, 0 thì ta có:2

a bab

Dấu ‘‘=’’ x y a a b

b) Vớ a số a, b, c 0 thì ta có: 3

3

a b cabc

Dấu ‘‘=’’ x y a a b = c

c) Vớ ố số a, b, c, d 0 thì ta có: 4

4

a b c dabcd

Dấu ‘‘=’’ x y a a b = c = d

) Vớ số a1, a2,…, an 0 thì ta có: 1 21 2

.... ....n n

n

a a aa a a

n

Dấu ‘‘=’’ x y a 1 2 ... na a a

3.GTLN,GTNN của biểu thức:

a/ A = m + f2(x) m b/ A = M - g

2(x) M


------------------***-------------------


A m

MinA m

Dấu ''='' x y a f(x) = 0

ax

A M

M A M

Dấu ''='' x y a g(x) = 0

4. Dùng hằng đẳng thức :

Từ ữ đá á : 2 2 0A B , a xây dự d 2 2 0A B

Từ 2 2

5 1 2 9 5 2 1 0x x x x

a k a a có : 24 12 1 4 5 1 9 5x x x x x

5. Dùng bất đẳng thức

M số đ ợc o a ừ dấu ằ của ấ đẳ ức: (1)

(2)

A m

B m

ếu dấu ằ (1) và (2) cù đ đ ợc 0x thì 0x à của A B

Ta có : 1 1 2x x Dấu ằ k và c ỉ k 0x và 1

1 21

xx

, dấu ằ

k và c ỉ k x = V y a có : 1

1 2008 1 2008 11

x x xx

Đ k số đ ợc o a ừ ý :

( )

A f x

B f x

k đó :

A f xA B

B f x

Nếu a đoá ớc đ ợc v c dù ấ đẳ ức dễ dà , có

u à à v ỉ v c đoá k đ ợc, a vẫ dù ấ đẳ ức đ đá

g á đ ợc

II-BÀI TẬP:

Bài 1. :2 2

91

x xx

HD:Đk: 0x

Ta có : 2 2

22 2 12 2 1 9

11 1

xx x x

xx x


------------------***-------------------


Dấu ằ 2 2 1 1

71 1x

x x

Bài 2. : 2 4 2 413 9 16x x x x

HD:Đk: 1 1x

B ế đổ a có : 2

2 2 213 1 9 1 256x x x

Á dụ ấ đẳ ức Bu aco xk :

2

2 2 2 2 213. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10x x x x x

Á dụ ấ đẳ ức C s : 2

2 2 1610 16 10 64

2x x

Dấu ằ

22

2 2

21

513

210 16 10

5

xxx

xx x

Bài 3. : 3` 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x

HD:Ta c ứ : 48 4 4 13x x và 23 23 8 40 0 3 3 13x x x x x x

Bài 4: : 27 5 12 38x x x x

HD:Ta có :VT2=( 7 5x x )

2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = 4

Nên : 0 < VT 2

M k ác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)

2 2

T o ế dấu ''='' x y a k và c ỉ k :x = 6

V y x = 6 à duy ấ của đ c o

Bài 5: : 2 3 2 1 2x x x

HD:ĐK: 1;2 (1)x

PT 2 3 2 2 1 (2)x x x

Từ (2) a có:

2 1 0

1 2

1 2

1 (3)

x

x

x

x

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 ế vào (2) o V y :x = 1


------------------***-------------------


Bài 6: :x 4x 1

2x4x 1

HD: Đ u k 1

x4

Á dụ ấ đẳ ức c s a có:

x 4x 1 x 4x 1

2 2x x4x 1 4x 1

.

T o ế dấu ằ x y a k và c ỉ k : x 4x 1

x4x 1

2

2

x 4x 1 0

(x 2) 3

x 2 3

Dấu “=” x y a 2x 4x 1 x 4x 1 0

2 2x 4x 4 3 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2 3 (T o )

V y : 2 3x

Bài 7: : x 1 5x 1 3x 2

HD: Các 1 đ u k x 1

Vớ x 1 : Vế á : x 1 5x 1 vế á u â

Vế : 3x 2 1 vế u d

V y: đ c o v

Các 2 Vớ x 1, a có:

x 1 5x 1 3x 2

x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)

2 7x 2 (5x 1)(3x 2)

Vế á u à số â vớ x 1, vế d vớ x 1 v

Bài 8: : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x (1)

HD: Ta có (1) 2 2 24 93 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5

3 5

2 2 23(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)

Ta có: Vế á 4 9 2 3 5 Dấu “=” x y a x = –1

Vế ≤ 5 Dấu “=” x y a x = –1

V y: đ c o có x = –1


------------------***-------------------


Bài 9: : 2x 78 2x 2x 1

x 1

HD: đ u k x 1

2

Dễ ấy x = 2 à của

– Nếu 1

x 22 : VT =

61 8 8 3

x 1

. Mà: VP > 8 3

– Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.2

2 + 3 = 8 3 . VT < 8 3

x 2 x 1 2 1

6 61 1 3

x 1 2 1

V y: đ c o có duy ấ à x = 2

Bài 10: :6 8

63 x 2 x

HD: ĐK: x 2 Bằ các ử, a ấy x = 3

2 à của Ta cầ c ứ

đó à duy ấ T v y:Vớ x 3

2:

62

3 x

và

84

2 x

6 86

3 x 2 x

.

T ng tự vớ 3

2 < x < 2:

6 86

3 x 2 x

Bài 11:T uyê d của :

1 1 1 1 4 4

1.2 2.3 3.4 . 1 4 5

x

x x x

HD:ĐK: 4x (1)

Ta có:1 1

1 11 4 5x x

4 4x x (*)

Ta có: VP(*) = 4 0 4x x (2)

Từ (1) và (2) a có:x = 4 à duy ấ

III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: các sau :


------------------***-------------------


1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

x xx x

x x

2

2

1 12 2 4x x

x x

4 4 42 8 4 4 4 4x x x 4 3316 5 6 4x x x 3` 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x 3 3 4 28 64 8 28x x x x

4 4 41 1 2 8x x x x 23 5 8 18x x x x

Bài 2: các sau :

1/ 2x - 2 + 6 - x = x - 8x + 24 2/ 24 6 10 27x x x x

3/ 26 2 6 13x x x x 4/ 1 4 3x x

5/ 22 3 5 2 3 12 14x x x x 6/ 22 10 12 40x x x x

V. PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Sử dụ các í c ấ của à số đ à d oá k á qu u c

Ta có 3 ớ á dụ sau đây:

Hướng 1: T ực o các ớc:

Bước 1: C uy v d : ( )f x k

Bước 2: Xé à số ( )y f x

Bước 3: N xé :

Vớ 0 0( ) ( )x x f x f x k do đó 0x à

Vớ 0 0( ) ( )x x f x f x k do đó v

Vớ 0 0( ) ( )x x f x f x k do đó v

V y 0x à duy ấ của

Hướng 2: T ực o các ớc

Bước 1: C uy v d : ( ) ( )f x g x

Bước 2: Dùng u k ẳ đị ằ ( )f x và (x) có ữ í c ấ á ợc au và

xác đị 0x sao cho 0 0( ) ( )f x g x

Bước 3: V y 0x à duy ấ của

Hướng 3: T ực o các ớc:

Bước 1: C uy v d ( ) ( )f u f v

Bước 2: Xé à số ( )y f x , dù u k ẳ đị à số đ đ u

Bước 3: K đó ( ) ( )f u f v u v

Ví dụ: : 2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x


------------------***-------------------


HD:pt 2 2

2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3x x x x f x f x

Xé à số 22 3f t t t , à à đồ ế ê R, a có 1

5x

Ví Dụ 2: : 3 3 36 2 3 0x x x

HD: ấy x = -2 à của ng trình

Đ 3 3 36 2 3f x x x x

Vớ 1 2 1 2x x f x f x v y à số f(x) đồ ế ê R

V y x = -2 à duy ấ của

Bài tập áp dụng:

:

a) 24 1 4 1 1x x c) 21 3x x x e) 1 2 3x x

b) 31 4 5x x x d) 2 31 2 2x x x x f) 22 1 3 4x x x

VI. PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC M số v ỉ a có ẩ đ ợc 0x v y u đ a

v đ ợc d íc 0 0x x A x a có 0A x o c c ứ

0A x v , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía

0A x vô nghiệm

Bà 1: : 22 1 2x x x x x (1)

HD: C1: ĐK 2; 1x x

2 2 21 2

1 2

32 2

1 2

x x x xx

x x x x

xx

x x x x

Nếu x 1 ta có

31 2 3

2 2 1 2 32

1 2 2

x x x xx x x

x x x x x

G (3) a đ ợc x


------------------***-------------------


Nếu x -2 ta có

31 2 3

2 2 1 2 42

1 2 2

x x x xx x x

x x x x x

(4) a đ ợc x

C2: ĐK: 2; 1x x

Nếu x 1 a c a c a vế c o x a đ ợc: 2 1 2x x x

B a vế sau đó a đ ợc x

Nếu x -2 Đ = -x 2t T ay vào a đ ợc

2

2

2 1 2

2 1 2

t t t t t

t t t t t

C a c a vế c o t ta đ ợc 2 1 2t t t

B a vế đ ợc

Sau đó a x

T o C1 a đ sử dụ k ế ức ê ợ Cò o C2 a v dụ k ế ức xác

đị v ẩ của c u v c v dụ o C2 đ

Bài 2 . sau : 2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x

HD:

Ta ấy : 2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x v 2 22 3 4 3 2x x x x

Ta có ục că ức 2 vế :

2 22 2

2 4 3 6

2 3 43 5 1 3 1

x x

x x xx x x x

D dà ấy x = 2 à duy ấ của trình .

Bài 3. sau: 2 212 5 3 5x x x

HD: Đ có : 2 2 512 5 3 5 0

3x x x x

Ta ấy : x = 2 à của , v y có â íc v d

2 0x A x , đ ực đ ợc đ u đó a ó , ác sau :

2 22 2

2 2

2 2

4 412 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3

2 12 3 0 2

12 4 5 3

x xx x x x

x x

x xx x

x x


------------------***-------------------


Dễ dà c ứ đ ợc : 2 2

2 2 53 0,

312 4 5 3

x xx

x x

Bài 4. : 2 33 1 1x x x

HD :Đk 1x

N ấy x = 3 à của , ê a ế đổ

2

2 33

2 32 233

3 3 931 2 3 2 5 3 1

2 51 2 1 4

x x xxx x x x

xx x

Ta c ứ :

22

2 2 23 33

3 31 1 2

1 2 1 4 1 1 3

x x

x x x

2

3

3 9

2 5

x x

x

V y có duy ấ x = 3

Bài 5:Giải phương trình sau:2 2

2 2

3 3

3 3

x xx

x x x x

HD:ĐK: 2 3x

N â vớ ợ ê ợ của ừ ẫu số của đ c o a đ ợc:

2 2 2 23 3 3 3 3.x x x x x x x

3 3

2 23 3 3 3.x x x

3 3 3

2 2 4 2

0

3 3 2 3 27

x

x x x x

2 4

24 3 2 4 4 3 4 4

0 ; 9 2 00

2 ( 3) 9 2 4( 3) 9 2

x x xx

x x x x x x

ê a đ ợc 2x

Bài 6:Giải phương trình:

2

2

29

3 9 2

xx

x

HD:ĐK:

9

2

0

x

x


------------------***-------------------


Pt

22

2 2

2 3 9 29

3 9 2 3 9 2

x xx

x x

2

2

2 18 2 6 9 29

4

x x xx

x

6 9 2 0x

9

2x là nghiệm

Bài tập vận dụng:

1) 23 4 2x x x x x

2) 2

3 2 3 1 2 3x x x x x

Tổ quá : 2

. .f x g x f x h x f x

3) 3

3 1 13 10

xx

x

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: T ấ c các số ực x1; x2; …; x2005 o :

2 2 2

1 2 2005 1 2 2005

11 2 2 ... 2005 2005 ...

2x x x x x x

Bài 2: T các số ực x, y, z ỏa đ u k :

1

1 22

x y z x y z

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1 2 3 2x x 2 23( 1) ( 1)x x x x 1222 33 xx

3123 xx

2 5 5x x

6

2

4).2(5)4)(2(

x

xxxx

2 248 4 3 35x x x 3 4 9x x x 1235 3 46 xx

2 32( 2) 5 1x x 2 217 . 17 9x x x x 2 2 11 1

2x x x x

4 3 10 3 2x x xxx 3.3 2 2 21 1 2x x x x x x

08645.27 56105 xx 2 23 2 2 1x x x x x 83124 22 xxx


------------------***-------------------


Bài 4: Giải các phương trình sau:

3x10x25 22 2 2 24 5 4 8 4 9 3 5x x x x x x

7 . 7 5 . 52

7 5

x x x x

x x

13 1 4 3 3 0

3

xx x x

x

2 23 10 12x x x x 2 9 20 2 3 10x x x

2 3x x 2 4 5 2 2 3x x x

1xx2x3x3 22 5 1 4 20 1x x 3 7 1 2x x 2 23 5 3 5 12 48 5x x x x

1 14 6 0x x

x x

2 25 1

5 3 3 1

x x

5 14 20 3 9 45 4

9 3

xx x

2 2

5 54

5 5x x x x

2 22

2 2 2 2

x x

x x

7 . 7 5 . 52

7 5

x x x x

x x

14 4 2 9 9 4

2x x x =

x

x

3

3.

x4 + 2 2005 2005x . 1 1 1a b x a b x (a , b > 0)

2 25 4 5 5 28 0x x x x 64x6 - 112x

4 + 56x

2 - 7 = 2 21 x .

Bài 5: Ký u [x] à ầ uyê của x

sau: 3 33 31 2 ... 1 855x

Bài 6:C o : 2 2 2 2.6 6 .6 6x x x xx x

ọ ổ các của à S, í S15

.

Bài 7: uyê sau:

a/ 1960x y . b/ 1980x y . c/ 2 3 48x y d/ 2000x y

Bài 8: uyê sau: 1 1 1225

74 2 1 771.2 1 771

x y zx y z

Bài 9:Giải các phương trình sau : 2 25 14 9 20 5 1x x x x x

33 6 1 8 4 1x x x


------------------***-------------------


1 1 12 1 3

xx x

x x x

215

30 4 2004 30060 1 12

x x x

3 34 1 1 2 2 1x x x x 2 24 4 10 8 6 10x x x x

2 23 2 1 1 1 3 8 2 1x x x x 2 12 1 36x x x

2 2233 32 1 3 1 1 0x x x

22008 4 3 2007 4 3x x x

2(2004 )(1 1 )x x x ( 3 2)( 9 18) 168x x x x x

3 2 41 1 1 1x x x x x 2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x

3 244 1 1x x x x 24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x

2 22 16 18 1 2 4x x x x 12 2 1 3 9x x x

2 33 1 3 2 3 2x x x 2 32 11 21 3 4 4 0x x x

2 2 5 2 10x x x x x 23 4 1 2 3x x x

4 5 3 1 2 7 3x x x x 2 23 1 3 1x x x x

33 31 1 2x x x 3 3 1 2 1x x x

3

3 2 21 2 2x x x x 2

2 3 3 22

3 1

x xx x

x

Bài 10: :

a) 2 2 2 8 12 2x x x x b) 2 22 5 2 3 9 3 3x x x x

c) 2 24 6 2 8 12x x x x d) 2 23 15 2 5 1 2x x x x

e) 2( 4)( 1) 3 5 2 6x x x x f) 2 22 5 2 2 2 5 6 1x x x x

g) 2 23 2 2 2 6 2 2x x x x h) 2 2 11 31x x

Bài 11: :

3

3 2 21 2 1x x x x 3 32 21 1 1 1 2 1x x x x

2

35

121

xx

x

13 1 4 3 3

3

xx x x

x

2 21 2 1 2 1 0x x x x 6 4 2 264 112 56 7 2 1x x x x

Bài 12: C o : 1 8 1 8x x x x m


------------------***-------------------


a) vớ = 3

b) T đ có

c) T đ có duy ấ

Bài 13: C o : 2

1 1

1m

x x

a) vớ 2

23

m

b) T đ có

Bài 14: C o : 2 22 2 2 3 0x x x x m

a) vớ = 9

b) T đ có

Bài 15: các uyê sau:

y = 2 1 2 1x x x x

x x x x y

2 21 9 4y x x 2 2 1y x x x

2 2 1 2 1y x x x x 1 2 2 2 4 2y x x x x


...x x x x y ếu:

a/ Vế á có 1 dấu că

/ Vế á có dấu că


4 4 ... 4 4 5x x x x x x

(Vế á có 1 dấu că )

Bài 18:T các số ữu ỉ a và o :3 2

7 20 33 3a b a b

Bài 19:C o a số x , y o : 2 24 4 4x x y y . Tính x + y

Bài 20: : 3 32 1 1x x

Bài 21:C o các số ực d x,y,z o đ u k :

2 2 2 31 1 1

2x y y z z x C ứ ằ : 2 2 2 3

2x y z

Bài 22:C o các số ực d a, ,c o đ u k : a b c a b c

C ứ ằ : 2010 2010 2010 2010a b c a b c


------------------***-------------------


Bài 23: uyê : 2 24 2 199 2y x x

Bài 24:T các số ữu ỉ a và ế : 7 7 11 7 28a b

Bài 25: :2

2

11

1 2

x x

x

Bài 26:T các số uyê k o :

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2009 11 1 ... 1

20091 2 2 3 1k k

Bài 27: :

1/ 8 3 5 3 5x x

2/ 2 2 1x x x x x

3/ 22 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007x x x

4/ 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x

5/ 1 4 4 9 9 ..... 100 100 165x x x x

6/ 1 1 1

13 2 2 1 1x x x x x x

7/ 2 2

2 21 5 1 25 1259 45 16 80 3 9

12 16 4 9

x xx x

8/ 712671620 52408 26022004 712619213 56406 26022004 1x x x x

9/ 2 22009 2010 1 20 2009 2010 1x x x x

10/ 2( 5)(2 ) 3 3x x x x

Bài 28:Giải các phương trình sau:

2 215 2 5 2 15 11x x x x 2( 5)(2 ) 3 3x x x x 2(1 )(2 ) 1 2 2x x x x 2 217 17 9x x x x

23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x 2 2 11 31x x

2 2 22 (1 ) 3 1 (1 ) 0nn nx x x 2(2004 )(1 1 )x x x

( 3 2)( 9 18) 168x x x x x 32 21 2 1 3x x

Education

Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10