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UNIDAD II FRACCIONES Y NÚMEROS REALES INTRODUCCIÓN Ya lo hemos dicho antes, el terreno de las fracciones se puede considerar terreno conocido. Partimos de la idea de fracción como un trozo de la unidad, incluso la ilustramos con lo que nos enseñaron desde la primaria, con circulitos divididos en rebanadas iguales y recursos parecidos; con eso nos bastará para explicarnos por qué las operaciones con fracciones se hacen como se hacen. Sólo hay dos momentos teóricos un tanto incómodos pero ‘nomás tantito’, la vida es dura carnales (o carnalas y carnales). Uno de ellos es la división, hasta ahora no hemos logrado que se pueda efectuar siempre con números enteros, aquí hallaremos la forma de hacer eso y mucho más, pero el precio será darle algunos rodeos al asunto de la división; de hecho copiando algunas truquitos hechos en torno a la resta en la unidad anterior. El otro rollo teórico consiste en explicar con brevedad por qué en la mayoría de textos, a las fracciones se les llama números racionales, veremos que hay una diferencia un tanto sutil pero que para propósitos prácticos pueden considerarse la misma cosa. Un aspecto importantísimo de este tema es precisamente que las fracciones son los números prácticos por excelencia, ahora sí que tienen que ver tanto con la vida cotidiana como con la actividad del comerciante, del herrero, del ingeniero, del administrador, del albañil o del científico. Requieren especial atención las llamadas fracciones decimales, ya sabes, las del puntito, que justamente tienen un alto valor práctico. Hay un tercer momento teórico en esta unidad, pero es aparte de las fracciones, se trata justamente de los números que no son fracciones en el sentido que hemos dicho antes, por ser un tema relativamente complicado sólo lo tocaremos brevemente al final de la unidad, básicamente se trata de los llamados números irracionales. Con ayuda de las fracciones decimales describiremos de una vez por todas a las diversas clases de números antes estudiadas, con lo que obtendremos un sólo gran conjunto conocido como el conjunto de los números reales. En esta unidad tienes que poner especial atención a: la operación de división, allí deberás comprender el concepto de inverso multiplicativo y algo que bautizaremos como “el teorema de la división”; las fracciones decimales y qué tienen que ver estas con la división; la proporción, cosa también conocida por ustedes, sobre todo conocen a dos parientes cercanos suyos, la regla de tres y el tanto por ciento; finalmente, apoyándote en las fracciones decimales, tendrás que describir los diferentes tipos de números vistos en toda la unidad. TEMARIO DE LA UNIDAD II II.1. Fracciones y números racionales II.1.1 Conjunto F de las fracciones II.1.2. Adición y resta de fracciones II.1.3. Multiplicación de fracciones II.1.4. División de fracciones

Numeros f11

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UNIDAD II

FRACCIONES Y NÚMEROS REALES INTRODUCCIÓN

Ya lo hemos dicho antes, el terreno de las fracciones se puede considerar terreno conocido. Partimos de la idea de fracción como un trozo de la unidad, incluso la ilustramos con lo que nos enseñaron desde la primaria, con circulitos divididos en rebanadas iguales y recursos parecidos; con eso nos bastará para explicarnos por qué las operaciones con fracciones se hacen como se hacen.

Sólo hay dos momentos teóricos un tanto incómodos pero ‘nomás tantito’, la vida es dura carnales (o carnalas y carnales). Uno de ellos es la división, hasta ahora no hemos logrado que se pueda efectuar siempre con números enteros, aquí hallaremos la forma de hacer eso y mucho más, pero el precio será darle algunos rodeos al asunto de la división; de hecho copiando algunas truquitos hechos en torno a la resta en la unidad anterior. El otro rollo teórico consiste en explicar con brevedad por qué en la mayoría de textos, a las fracciones se les llama números racionales, veremos que hay una diferencia un tanto sutil pero que para propósitos prácticos pueden considerarse la misma cosa.

Un aspecto importantísimo de este tema es precisamente que las fracciones son los números prácticos por excelencia, ahora sí que tienen que ver tanto con la vida cotidiana como con la actividad del comerciante, del herrero, del ingeniero, del administrador, del albañil o del científico. Requieren especial atención las llamadas fracciones decimales, ya sabes, las del puntito, que justamente tienen un alto valor práctico.

Hay un tercer momento teórico en esta unidad, pero es aparte de las fracciones, se trata justamente de los números que no son fracciones en el sentido que hemos dicho antes, por ser un tema relativamente complicado sólo lo tocaremos brevemente al final de la unidad, básicamente se trata de los llamados números irracionales. Con ayuda de las fracciones decimales describiremos de una vez por todas a las diversas clases de números antes estudiadas, con lo que obtendremos un sólo gran conjunto conocido como el conjunto de los números reales.

En esta unidad tienes que poner especial atención a: la operación de división, allí deberás comprender el concepto de inverso multiplicativo y algo que bautizaremos como “el teorema de la división”; las fracciones decimales y qué tienen que ver estas con la división; la proporción, cosa también conocida por ustedes, sobre todo conocen a dos parientes cercanos suyos, la regla de tres y el tanto por ciento; finalmente, apoyándote en las fracciones decimales, tendrás que describir los diferentes tipos de números vistos en toda la unidad. TEMARIO DE LA UNIDAD II II.1. Fracciones y números racionales

II.1.1 Conjunto F de las fracciones

II.1.2. Adición y resta de fracciones

II.1.3. Multiplicación de fracciones

II.1.4. División de fracciones

Page 2: Numeros f11

II.1.5. Combinación de operaciones con fracciones

II.1.6. Orden de las fracciones

II.1.7. Fracciones y fracciones decimales

II.1.8. Los números racionales

Ejercicios y problemas de fracciones

II.2 Aritmética de las proporciones

Introducción

II.2.1. Razones y proporciones.

II.2.2. Proporcionalidad directa e inversa.

II.2.3. Regla de tres.

II.2.4. Porcentaje.

Ejercicios y problemas de razones y proporciones

II.3 Números reales

II.3.1. Los números irracionales.

II.3.2. El conjunto de los números reales.

Ejercicios y problemas de números reales

II.1 FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES

II. 1.1 EL CONJUNTO DE LAS FRACCIONES

El conocimiento de los números fraccionarios es anterior, en muchos siglos, al de los números negativos y nació por la necesidad de resolver cuestiones de la vida cotidiana para las cuales se necesita medir, comprar, vender, pesar y un gran etcétera.

En el papiro Rhind (año 1700 a. C.) se narra que los egipcios ya operaban con fracciones, casi exclusivamente con fracciones de numerador 1. En Babilonia se usaban fracciones sexagesimales, es decir, de denominador igual a 60 y potencias de éste, sus huellas han quedado en las unidades angulares y del tiempo (60 segundos hacen un minuto, 60 de éstos hacen una hora). Pero no se requiere ir tan atrás para toparnos con las fracciones, la interacción con ellas es de todos los días, véase lo siguiente solo por mencionar algo:

� En las noticias nos informan que hasta el pasado 9 de Septiembre de 2002, los Yankees

de N.Y. encabezaban la Liga Americana con un porcentaje de 0.627 y, a su vez, Atlanta hace lo mismo en la Liga Nacional con un porcentaje de 0.638

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� También es común algo como: el peso recuperó ayer 3.55 centavos en su paridad con el dólar... la divisa estadounidense se cotizó en $9.79

� En un libro de cocina encontramos la siguiente receta: 1 ½ tazas de nata de leche ¼ de taza de leche fría 2 ½ tazas de harina ½ cucharadita de sal ¾ de Kg. de jamón cocido

32 de taza de puré de tomate

3 huevos yerbas de olor y pimienta al gusto. � Y en otros libros aparecen fórmulas cómo:

A = bh2

1 V = 3

4

3rπ )32(

9

5 −= FC

Con la primera se obtiene el área de un triángulo; con la segunda se calcula el volumen de

una esfera y con la tercera se determina a cuántos grados centígrados equivale cierto número de grados Fahrenheit.

El punto es que las fracciones son parte de nuestra vida cotidiana.

Con todo lo visto sobre los enteros podemos efectuar sumas, productos y restas sin restricción alguna, y son muchos los problemas que podemos resolver, pero la división sigue siendo posible sólo a veces; si le seguimos la huella a este hecho veremos que acarrea muchas limitaciones: Fácilmente podemos darnos cuenta que los enteros aún resultan insuficientes para abordar una enorme cantidad de cuestiones que se presentan en la vida profesional, científica y tecnológica; para no ir lejos, los enteros no bastan para los detalles menudos que requerimos en la vida cotidiana, ya sea calcular el cambio que nos deben dar en el micro si pagamos con una moneda de $10.00 (como información para los que usan limusina, cobran $3.50), o para tomar las medidas y hacer las cuentas para ponerle piso con loza rectangular a una habitación, incluyendo los gastos, claro, si hay suerte podían requerirse sólo enteros pero será las menos de las veces. LA IDEA DE FRACCIÓN

Sin rodeos, la idea básica es que la fracción es un trozo de la unidad, y las formas en que nos dieron las primeras explicaciones al respecto desde la primaria aún conservan a estas alturas su utilidad.

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¿Recuerdan el círculo que representa la unidad y cómo ciertas divisiones la separan en partes? Bien, ¿cómo se “construye” un “número” que represente la parte sombreada? Ya lo saben, sólo queremos insistir en dos o tres detalles: la representación deseada se elabora con dos números enteros, los enteros serán la materia prima para construir las fracciones. Uno de los números es 3 y el otro es 4, éste último indica en cuántas partes iguales se dividió la unidad y 3 nos dice cuántas de ellas estamos tomando en cuenta; la forma usual en que se escribe la

representación numérica de la parte sombreada es 4

3, ya sabemos cómo se lee y todo eso, pero

hay que subrayar que la pareja de números es ordenada, porque si los intercambiamos en la

forma3

4 resulta algo que leemos e interpretamos de otro modo. Concluimos con una primera

idea: Esta idea aún es bastante burda, por ejemplo, vale la pena aclarar que exigimos que p y q

sean naturales porque nuestra interpretación de fracción no se aplica fácilmente a todos los

enteros, ¿qué significa 4

3

−−

?, ¿dividir la unidad en menos cuatro partes iguales y tomar menos

tres de ellas? (¡!). Aunque en menor medida, pero en el mismo sentido, podemos poner algunas

objeciones a expresiones como 0

2,

0

0,

1

2,

2

3,

4

4.

La primera de ellas no presenta dificultades con la interpretación: dividir la unidad en

cuatro partes y tomar en cuenta las cuatro, simplemente nos quedamos con un entero, ¿no es cierto?; pero podemos objetar que ya no es una fracción, entendida ésta como un trozo de la unidad; bueno, pero se escribe en la forma que se dijo que se escriben las fracciones, alguien le dio a este problema una solución salomónica diciendo que tales expresiones también son fracciones sólo que impropias, haciendo lo mismo para los dos casos que siguen, nosotros usualmente les llamaremos fracciones a secas. Ya sabemos cómo se arregla la dificultad de interpretación de la segunda expresión: se toma más de una unidad, cada una se divide en las partes indicadas y se toman las que se requieran. La tercera está peor, pero el acuerdo es dejar la unidad de una pieza y tomar dos de ellas (dos enteros). Para las dos últimas expresiones la neta es que no tienen significado en matemáticas, por lo pronto así lo aceptaremos y en lo que sigue tendremos oportunidad de ver a qué se debe. De cualquier manera, ya en plena manipulación de fracciones pocas veces tendremos necesidad de recurrir a la interpretación comentada.

Es más importante hacer algunos ajustes que nos permitan formar fracciones con (casi)

cualesquiera parejas de enteros, lo que nos remite al siguiente tema.

Una interpretación: una fracción o número fraccionario es una pareja ordenada de números

naturales p y q escrita en la forma , donde q indica en cuántas partes iguales se ha dividido

la unidad y p señala cuántas de ellas se están considerando.

Page 5: Numeros f11

EQUIVALENCIA DE FRACCIONES

Un punto de partida conveniente es notar que nuestra interpretación de las expresiones de

la formaq

p hace posible que una misma cantidad se pueda representar con varias fracciones, la

figura muestra dos representaciones de la parte sombreada, dependiendo de qué divisiones de la unidad se tomen en cuenta:

8

6

4

3 =

La siguiente figura ofrece más posibilidades, por ejemplo: para la primera fracción toma en cuenta bloques de dos columnas. Explica cuáles divisiones justifican las fracciones restantes. A tales fracciones se les llama equivalentes.

...2416

128

64

32 ====

Hemos usado un diagrama circular y otro rectangular, otra clase especialmente útil es la de

los diagramas lineales, en ellos está la idea de recta numérica; en la siguiente figura consideraremos la parte resaltada:

16

12

8

6

4

3 ==

Si nos fijamos sólo en las divisiones indicadas con trazos medianos y cortos (olvidando

los más grandes) obtenemos 8

6, ¿cómo obtenemos las otras dos fracciones?.

unidad

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Pero resultará bastante ingrato que para saber si dos fracciones son equivalentes, haya que

hacer nuestros dibujitos, contar las partes y todo esto; una observación nos puede alivianar el trabajo.

Como ejemplo regresemos a las fracciones de la ilustración anterior.

...2416

128

64

32 ====

Tomamos dos de ellas, digamos 24

16y

3

2, multiplicamos el numerador de una por el

denominador de la otra, (2)(24) = 48; hacemos lo mismo con el numerador y el denominador restantes, (3)(16) = 48, los productos resultaron iguales. Esto no es un mero churro, probemos

con 12

8y

3

2, por un lado (2)(12) = 24 y también (3)(8)= 24. Todavía hay cuatro posibilidades

más, comprueba que la igualdad de los “productos cruzados” se cumple en todos los casos. Lo que podemos llamar la regla de los productos cruzados sirve bien para hacer una definición de fracciones equivalentes sin las vaguedades y dificultades de la interpretación anterior, si bien ésta seguirá teniendo cierta utilidad.

Ahora, podemos plantear una proposición que nos resultará fundamental

Ejemplos:

a) 21

24

7

8 = , porque (8)(21) = (7)(24), es decir, en ambos casos es168.

b) Recíprocamente: como (4)(3) = (6)(2), entonces 3

2

6

4 = , por cierto que ésta no es la

única opción, ¿qué otras equivalencias podemos escribir con la misma información? He aquí ejemplos de dos casos muy importantes:

Definición:

Sean dos fracciones , al decir que son equivalentes queremos decir que: ps = qr

Brevemente: , significa que p⋅s = q⋅r

Cuando el símbolo “=” se aplica entre fracciones se debe leer “equivalente a”, con frecuencia se lee “igual a”, lo importante es no perder de vista lo que significa.

Una interpretación: dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma Cantidad.

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c) 4

3

4

3 =−−

porque (−3)(4) = (−4)(3), en términos de nuestra interpretación de fracciones

equivalentes resulta que 4

3

−−

¡representa la misma cantidad que 4

3!

d) De la misma forma: 4

3

4

3

−=−

porque (−3)(−4) = (4)(3), digamos que da lo mismo que

el “−” esté arriba o abajo, entonces a cualquiera de estas dos fracciones las podemos representar

de una misma forma, la usual es 4

3− ; la diferencia entre esta expresión y las otras dos es que el

signo está a la altura de la raya de “quebrado”, como indicando que toda la fracción es negativa; insistimos: la tercera expresión puede representar por igual a cualquiera de la dos primeras.

ACTIVIDAD

Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes o no.

i) ii) iii) iv) v)

Ahora podemos definir el conjunto de “nuevos números” con que vamos a trabajar, se le llama el conjunto de las fracciones y se representa por F.

3 9

4 12= 5 20

2 8− = − 7 49

6 42

− =−

0 0

2 10= 0 0

8 3=

F es el conjunto de expresiones de la forma , siendo p y q números enteros y q ≠ 0

p es el numerador de la fracción y q es su denominador

Con frecuencia la primera línea se escribe en los libros como sigue, coméntalo con el profe:

F =

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Regresemos a las fracciones equivalentes. En un ejemplo anterior vimos que 4

4 venía

representando una unidad (dividimos la unidad en cuatro partes y las tomamos todas), es claro que pasa lo mismo con todas las fracciones con numerador y denominador iguales; también se

mencionó que la fracción 1

2 se identificaría con 2 unidades; así que los números enteros se

pueden “disfrazar” de fracciones: De esta forma los enteros quedan como unas fracciones más, por esto se dice que el

conjunto Z está contenido en, o que es parte de F. Por lo demás cada una de estas fracciones es equivalente a muchas fracciones:

Ejemplos:

⋅⋅⋅−

=−

=−

=⋅⋅⋅=−=−=−=−3

6

2

4

1

2

4

8

3

6

2

4

1

2

⋅⋅⋅=−

=−

=−

=⋅⋅⋅=−=−=−3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

03

02

01

030

20

10 →⋅⋅⋅=

−=

−=

−=⋅⋅⋅===

133

22

11

33

22

11 →⋅⋅⋅=

−−=

−−=

−−=⋅⋅⋅===

⋅⋅⋅=−−=

−−=

−−=⋅⋅⋅===

3

6

2

4

1

2

3

6

2

4

1

2

Hemos resaltado dos casos por razones que se verán más adelante.

Lo que suele expresarse en la forma Z F

Definición: Cada entero se va a identificar con una fracción como se indica enseguida

… -3 -2 -1 0 1 2 3 …

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Recordemos también que hay dos formas de generar fracciones equivalentes a una

fracción dada: o bien multiplicando sus dos componentes por un mismo número o bien dividiendo ambos entre un mismo número:

En cada caso aplica la regla de los productos cruzados y verás la equivalencia. Por supuesto, solamente escribimos la misma expresión intercambiando las partes, con

ello queremos subrayar dos cosas:

- En el primer caso, tenemos una fracción q

p, multiplicamos por n arriba y abajo y lo

que nos queda es una fracción equivalente a la original.

- En el segundo caso tenemos una fracción nq

np, si cancelamos n arriba y abajo

obtenemos una fracción que es equivalente a la original. Ejemplos.

i) ya que 3(10) = 5(6)

ii) ya que (− 3)(15) = (5)(− 9)

Para el segundo caso:

i) cancelamos y obtenemos ya que 6(5) = 10(3)

ii) cancelamos y obtenemos ya que –10(2) = 4(−5)

El segundo caso es la base de lo que se llama simplificación de una fracción. La idea de

simplificar una fracción “lo más posible” consiste en encontrar una fracción equivalente a ella con numerador y denominador lo más pequeños posible, dicho con precisión:

3 2 3 6

5 2 5 10

⋅= =⋅

3 3( 3) 9

5 3(5) 15

− − −= =

6 3(2)

10 5(2)= 6 3

10 5=

10 2(5)

4 2(2)− = − 10 5

4 2− = −

Teorema: En lo que sigue p, q y n son enteros, ni n ni q son 0, entonces:

y también

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Ejemplos:

4

3

−no está en su forma irreducible por tener como denominador un número negativo. No

es difícil cumplir con el requisito del denominador positivo, basta multiplicar el numerador y denominador por −1, así se obtiene una fracción equivalente con la característica deseada.

4

3

)1)(4(

)1)(3(

4

3 −=−−

−=−

15

10− no es una fracción irreducible porque los componentes de la fracción tienen al cinco

como factor común.

Para simplificar una fracción a su mínima expresión, procedemos de la siguiente manera: 1. Se factorizan el numerador y el denominador de la fracción en factores primos 2. Se eliminan los factores comunes a ambos componentes 3. Si el denominador es negativo, se multiplican numerador y denominador por -1

Ejemplos:

Definición:

Simplificar una fracción a sus mínimos términos o escribirla en forma irreducible,

significa hallar una fracción equivalente a ella con denominador positivo y tal que mcd() =1

4

15

222

532

8

30 −=××××−=−

13

7

1)13)((

1)7(

13

7

(13)(2)

27

26

14 −=−−

−=−

=−

×=−

21

25

7322

5522

84

100 =××××××=

Page 11: Numeros f11

Más ejemplos con otra notación:

4

3

)1)(4(

)1)(3(

4

3 −=−−

−=−

3

1

)2)(3)(3(

)3)(2(

18

6 ==

ACTIVIDAD

1. Escribe 3 fracciones equivalentes a cada una de las siguientes expresiones:

i) ii) iii) iv) v)

2. Comprobar que las dos fracciones de cada par son equivalentes:

i) ii) iii) iv v)

2. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes entre sí?

, , ,

3. Simplifica cada fracción a su mínima expresión:

i) ii) iii) iv) v)

RECTA NUMÉRICA Esta idea fue introducida para representar los enteros como puntos de una recta, y

ciertamente aún tenemos puntos disponibles para poner otros números; vamos a ocuparlos para las fracciones, en muchas partes de lo que sigue son un buen apoyo las imágenes geométricas. La presentación es la que ya usamos para los diagramas lineales, por ejemplo, vamos a imaginar que le ponemos una lupa a la región cercana a 0 y 1 para verla con más detalle, esto se ilustra en la

10 (2)(5) 2

5 (5)(1) 1− = − = −

2

3

2

5

− 10

10

9

1

0

5

2 2 y

3 -3

− 4 8 y

1 2

−−

0 0 y

7 6

5 10 y

3 -6−6 -18

y 5 15

33

9

33 2

29 2

−−

2 33

2 9

⋅⋅

2 33

2 29

++

57

76

144

504− 3964

87258

3964

87258

180

150

Page 12: Numeros f11

siguiente figura. Ahí representamos algunas de las fracciones que se encuentran entre 0 y 1, incluidos éstos como ejemplos, escribimos las que corresponden a los trazos medianos y pequeños y los resaltamos; pero ahora estamos ocupando cada punto para representar a una infinidad de fracciones, en efecto, estamos “metiendo” en cada punto todas las fracciones equivalentes entre sí, como ejemplo agregamos la última fila de fracciones.

¿Qué fracciones corresponden a los trazos más grandes?, échale lápiz. Más aún, échale imaginación y piensa en un trocito del trozo de recta que tomamos, por ejemplo al de la región en las cercanías del 3/8 y 4/8, ¿ya lo localizaste?, auméntalo como hicimos antes; ahora imagínalo dividido en unas diez partes iguales, ¿ya?; ahora toma una de esas partecitas y auméntala; ... ¿cuántas veces se podrá repetir éste procedimiento? Más adelante volveremos a esto.

II.1.2. ADICIÓN Y RESTA DE FRACCIONES

Una vez familiarizados con el conjunto de las fracciones, pasamos al siguiente nivel, es decir, decidir cómo conviene operar con las fracciones, pero antes una: Observación:

Hay buenas razones para decir que una moneda de $20 y un billete de $20 no son iguales: no tienen la misma forma, ni el mismo color, etc.; ni siquiera sirven exactamente para lo mismo, el billete no sirve en las máquinas tragamonedas ni para echar “volados”, etc. Sólo para ciertos intercambios mercantiles da lo mismo uno que el otro, dicho de otro modo, en esas circunstancias son “equivalentes”; algo así pasa con las fracciones equivalentes, tienen sus diferencias pero para ciertas cosas da lo mismo una u otra, en cuanto que representan “la misma cantidad”, con esta idea en mente establecemos el siguiente postulado que será de la mayor utilidad:

Ahora vamos sobre la adición de fracciones, pero distinguiremos dos casos, cuando las

fracciones tienen el mismo denominador y cuando tienen denominadores diferentes.

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

Postulado S (inicial de sustitución) En cualquier expresión que contenga fracciones, cualquiera de ellas se puede cambiar

por una equivalente a una a sí misma.

Page 13: Numeros f11

Fracciones con el mismo denominador:

A estas alturas todos ustedes saben sumar fracciones, unos más otros menos, partamos de

eso: calcula en cinco segundos las dos siguientes sumas:

72

7

72

5)

91

7

72

5) ++ ba

casi seguramente sólo calcularon con tal rapidez una suma, la segunda; y no hay que pensar mucho para ver que el procedimiento que efectuaron mentalmente fue el siguiente:

72

12

72

75 =+

La relativa naturalidad con que se hizo esta operación nos anima a hacer la siguiente

Ejemplos:

12

25

12

1510

12

15

12

10 =+=+

10

17

10

8)(9

10

8

10

9 −=−+−=

−+−

Es muy fácil comprobar que esta adición es asociativa, así podemos hacer sumas como:

16

6

6

9

6

15

6

9

6

8

6

7

6

9

6

8

6

7

6

9

6

8

6

7 −=−=+−=+−+−=+

−+−=+

−+−

Ejemplos (no se requiere que apliques explícitamente la asociatividad):

i) ii) iii)

ACTIVIDAD.

Realiza las siguientes sumas:

i) ii) iii) iv)

3 (-1) 2+ =

7 7 7

8 5 3 1+ = - =-

9 9 9 3− 5 (-3) (-2) -10 5

+ + =4 4 4 4 2

− −=

8 3+

11 11

8 3 ( 2)+

7 7 7

− −+ 18 (-13) ( 12)+

5 5 5

−+ 18 (-3) ( 12)+

15 15 15

− −+

Definición:

Si

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Fracciones con denominadores distintos:

Empecemos con un ejemplo sencillo: 2

5

3

7 +

Como tenemos que ajustarnos a la definición de suma de fracciones adoptada, la idea es buscar una fracción que “valga lo mismo” que la primera y otra que “valga lo mismo” que la segunda, de modo que la suma de ellas “valga lo mismo” que la suma de las originales pero de tal forma que las nuevas tengan un mismo denominador.

Esto por supuesto nos debe recordar la equivalencia de fracciones, por ejemplo, por

tanteo encontramos, respectivamente: 12

30y

12

28, primero comprueba que son respectivamente

equivalentes a las originales, ahora ocupamos el Postulado S, según éste podemos cambiar las originales por equivalentes y podemos escribir.

6

29

12

58

12

3028

12

30

12

28

2

5

3

7 ==+=+=+

48476

43421

876 definición

esequivalent

originales

Of course, muchos de ustedes habrán usado un camino más fácil: la primera fracción

equivalente se puede obtener multiplicando sus componentes por 2 (el denominador de la segunda fracción); la segunda fracción equivalente resulta de multiplicar los elementos de la segunda fracción por 3 (denominador de la primera fracción), vamos a escribir esto paso a paso:

6

29

6

1514

23

5327

23

7

2

5

3

7 =+=⋅

⋅+⋅=⋅⋅+

⋅⋅=+

48476

43421

876 definición

esequivalent

originales

5

33

22

así obtenemos el mismo resultado que antes.

Para no repetir el mismo rollo cada vez que se quiera sumar, observemos las secciones de la expresión anterior que tienen llave en la parte superior:

48476876 definiciónoriginales

23

5327

2

5

3

7

⋅⋅+⋅=+ ,

Basta escribir simbólicamente esto, para obtener el siguiente teorema; la demostración es

completamente semejante a lo hecho en el ejemplo anterior.

Teorema:

Si

Page 15: Numeros f11

Ejemplos

15

13

150

130

150

4090

5.30

5.83.30

30

8

5

3 ==+=+=+

28

5

28

7)(12

7.4

1)7(3.4

4

1

7

3

4

1

7

3 =−+=−+=−+=

−+

4

9

96

216

96

72)(144

6.16

12)(6(16)9)(

16

12

6

9 −=−=−+−=−+−=

−+−

Otros ejemplos:

i) ii) iii)

(¿Qué se podrá decir del neutro y del inverso aditivo?).

Pero tiene el inconveniente que sólo permite sumar dos fracciones. ¿Qué hacer entonces

cuando tenemos algo como: 9

4

6

1

4

3 ++ o cadenas aún más largas de sumas?, la respuesta es fácil,

empleamos la propiedad asociativa y sumamos de dos en dos, efectuando las operaciones en cualquier orden, pero no resulta cómodo; hay una forma más usual basada, claro, en la equivalencia y en el Postulado S, lo comentaremos con la expresión anterior.

- Buscamos cualquier número divisible entre 4, 6 y 9, es decir cualquier múltiplo

común de éstos, uno fácil de hallar es: (4)(6)(9) = 216, pretendemos construir tres fracciones respectivamente equivalentes a las tres dadas y que tengan todas como denominador a 216.

- ¿Cómo saber por qué número hay que multiplicar los componentes de ¾ para que en el

denominador resulte 216? Claro, dividiendo 216 entre 4: 216 ÷ 4 = 54, en efecto,

216

162

544

543 =⋅⋅

. Para no variar, ¿cómo sabemos por qué número hay que multiplicar los

componentes de 1/6 para que el denominador resulte 216? Pues sí, dividiendo 216

entre 6: 216 ÷ 6 = 36, ciertamente: 621

36

366

361 =⋅⋅

. ¿Se va entendiendo la idea?, de esta

forma podemos escribir:

4 1 4 2 5 1+

5 2 5 2

⋅ + ⋅=⋅

5 3 5(4) 3(7)+

7 4 7 4

− − +=⋅

8 (-7) 3( 8) 9( 7)+

9 3 9 3

− − + −=⋅

Esta forma de sumar es bastante buena, entre otras cosas se puede comprobar con facilidad que tiene todas las propiedades vistas en la parte de números enteros.

Page 16: Numeros f11

{soperacione hacemos

suma de definición

S Postuladoy iaequivalenc

216

294

216

244361543

216

244

216

361

216

543

249

244

36

36

6

1

544

543

9

4

6

1

4

3=

⋅+⋅+⋅=

⋅+

⋅+

⋅=

⋅+

⋅+

⋅=++

4444444 84444444 76

44444 344444 21

- Insistimos, lo único especial de 216 es que es divisible entre cada denominador, ¿por

qué? Porque así se puede hacer cada división para encontrar el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción, así que en lugar de 216 pudimos tomar cualquier otro con tal característica.

- Si tomamos la primera y cuarta secciones de la expresión anterior obtenemos otra

regla simplificadora, veamos:

Esta forma de operar se basa en encontrar un mismo denominador para todas las fracciones dadas, al que se le llama común denominador, por eso al procedimiento se le puede llamar “método del común denominador”, por supuesto, usualmente resulta menos engorroso usar el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir: mcm(4, 6, 9) = 36, en efecto:

36

49

36

446193

9

4

6

1

4

3 =⋅+⋅+⋅=++

Este resultado no es igual al obtenido antes pero es equivalente a él (sacando sexta).

En resumen, las sumas de fracciones se pueden hacer hasta de tres formas: con la definición, con el teorema de la suma de fracciones y con el método del común denominador, aunque estrictamente hablando la definición sólo es aplicable en los pocos casos en que las fracciones originales tienen el mismo denominador, por ejemplo:

Aplicando la definición:

Cualquier múltiplo común de los denominadores 4, 6 y 9

numerador de resultado de dividir 216 cada fracción entre cada denominador

12

17

24

34

24

430

24

4

24

30

6

1

4

5 ==+=+=+

Page 17: Numeros f11

Aplicando el teorema:

Aplicando el método del común denominador:

Usaremos el mínimo común denominador, pero recuerda que se puede usar cualquier común denominador.

3

14

3

131523

1

1

3

5

1

21

3

52 =⋅+⋅+⋅=++=++

En este caso hemos hecho uso de la definición que asocia a cada entero una fracción:

1

nn = , recurso que emplearemos con frecuencia.

Pero la ventaja del método del común denominador es que se aplica con cierta facilidad a cualquier cadena de sumas.

Ejemplos

5

11

40

88

40

10212086

4

2

2

1

5

6 ==⋅+⋅+⋅==++

36

67

36

122827

3

1

9

7

4

3 =++=++

24

38

24

4640

24

)4(1)3(2)8(5

6

1

8

2

3

5 −=−++−=−++−=−

++−

Fracciones mixtas

Como se sabe, son aquellas fracciones que resultan de sumar un entero y una fracción

(propia), por ejemplo, para sumar5

23+ se tiene que poner su ropaje de fracción al entero, que es

1

3, así escribimos:

5

17

5

2

1

3

5

23 =+=+=+

5215

, alguna ahorrativa persona decidió no

escribir el signo + de la operación inicial y obtener la parte resaltada con el esquema que se indica a continuación, si además esas operaciones se hacen mentalmente se obtiene el resultado de inmediato:

12

17

24

34

24

430

64

1465

6

1

4

5 ==+=⋅

⋅+⋅=+

12

17

12

215

12

135

6

1

4

5 =+=⋅+⋅=+ 2

Page 18: Numeros f11

→+5

23 la expresión

5

23 se llama fracción mixta.

Ejemplos:

ACTIVIDAD

1) Dadas las siguientes fracciones mixtas, escríbelas en forma de fracción impropia.

i) ii) iii) iv)

2) Dadas las siguientes fracciones impropias escríbelas en forma de fracción mixta.

i) ii) iii) iv) v)

3) Realiza las siguientes operaciones.

i) ii) iii)

LA RESTA

En lo que a la resta de fracciones se refiere, hay varios caminos que se pueden seguir, pero para ahorrar tiempo tomaremos uno que repite paso a paso lo que hicimos en la suma, los resultados son:

5 1 5 5 + 2

3 2 3 2= + 7 3 7 31

+ 45 7 5 7

− −= +

35

7

57

6

112

2

216

3

7

2

17

3− 11

5− 112

9

102

12−

3 36 2

4 6+ + 5 2 3 1

2 110 5 4 2

−+ + + 1 ( 3) 2 ( 1)5 2

9 18 3 2

− −+ + +

Definición:

Si

+

×

Page 19: Numeros f11

Calma, calma, vamos demasiado rápido, igual que con las otras clases de números, la

resta de fracciones no es asociativa, así que en casos como el ejemplificado hay que hacer algunas afinaciones:

- La última cadena de operaciones recuerda a la suma algebraica de enteros, la

definición aquélla se extiende palabra por palabra a estos casos. - Como antes, aquí se conviene en operar de izquierda a derecha. - Igualmente, cuando haya signos adjuntos los reducimos a uno, mira el siguiente

ejemplo:

Paso (a): por definición 4

5

4

5 −=− , también pudimos poner el signo - al 4,

pero es muy conveniente dejar siempre positivos los denominadores. Paso (b): teorema sobre la resta anotado arriba Pasos (b) y (c): la suma algebraica de fracciones de hecho se transforma en una suma algebraica de enteros en los numeradores.

Ejemplos:

6 1 6 2 1 7 12 7 5

7 2 7 2 14 14

⋅ − ⋅ −− = = =⋅

9 10 5 9 10 5 6 3

4 4 4 4 4 2

− − − −− − = = =

Teorema:

Si

Ejemplo del método del común denominador:

(a) (b) (c)

Page 20: Numeros f11

5

44

5

24

5

7320

5

)1(7)1(3)5(4

5

7

5

34

5

7

5

34 ==+−=+−=+−=

−−

ACTIVIDAD

1) Realiza las siguientes sumas.

i) ii) iii) iv)

v) vi) vii)

2) Resuelve los siguientes problemas.

i) Si se juntan tres placas de acero de espesor respectivamente, ¿qué espesor

se obtiene?

ii) Una calle tiene metros de longitud y otra metros de longitud. ¿Cuántos

metros tienen las dos calles juntas y cuanto le falta a cada una de ellas para tener 80 metros?

iii) Tres obreros tienen que tejer 200 metros de tela. Uno de ellos teje metros y otro

teje metros. ¿Cuántos metros tiene que tejer el tercero?

9 1 3 9 5( 1) 27 ( 5) 27 5 32 22

5 3 5 3 15 15 15 15

⋅ − − − − + − − = = = = = ⋅

3 7

10 10+ 2 7

6 8+ 1 3 2 4

2 4 5 3− + − 3 7

45 5 + −

3 5 14 5 3

4 6 2− + − 3 3

2 47 14 − + −

3 1 5 1

4 8 6 2 + − −

1 3 7, ,

4 8 16

250

3

545

8

253

72

257

14

57

28

114

28

16)(98

142

8)(2)(147

14

8

2

7

14

8

2

7 ==−−=⋅

−−⋅=

−−=

−−

20

7

60

21

60

244542

60

2445)(42

60

6(4)3)(15)(7)(6)(

15

6

4

3

10

7

−=−=−+−

=−−−−=−−−−=−

−−−

Page 21: Numeros f11

II.1.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Nuevamente tenemos que definir una operación binaria, así que otra vez la pregunta: ¿cómo multiplicar fracciones?, una forma simple de obtener una respuesta es ensayar con fracciones “impropias” cuyo resultado se conozca de antemano y buscar ahí una regla, por ejemplo:

==⋅⋅

=⋅→⋅

444 3444 21

444 8444 76

enteroen sconvertimoy operamos

enterosson fracciones éstas

201

20

11

4520obtener para originales scomponente loscombinar cómo buscamos Ahora

20451

4

1

5

===⋅⋅

=⋅→⋅

81

8

3

24

13

468 dé que originales scomponente los den combinació alguna Buscamos

8421

4

3

6

mossimplificay operamos

enterosson fracciones éstas

444 3444 21

44 844 76

===⋅

=⋅→⋅

81

8

12

96

34

128originales elementos los den combinació consabida la Buscamos

8423

12

4

8

mossimplificay operamos

enterosson fracciones éstas

44 344 21

4484476

En cada llave comparamos las primeras columnas, por ejemplo, en la segunda:

13

46

1

4

3

6 que así 8, obtiene se ambasen

13

46y

1

4

3

6

⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅

Veamos si hemos observado lo mismo, los ejemplos hechos sugieren la siguiente:

Definición:

Si

Page 22: Numeros f11

Ejemplos. i) ii) o estos otros iii) iv)

Una aplicación especial de la multiplicación es la de calcular una fracción de una

cantidad, con frecuencia se cree que esto se hace por medio de la división (que es la operación que sigue), pero propiamente hablando es algo que se hace multiplicando. Ejemplos:

¿Cuánto es 2

1de 8? Pues 4, claro, pero lo que nos interesa es determinar la operación

con fracciones que arroja este resultado, pues es la siguiente:

41

4

2

8

1

8

2

18

2

1 ===⋅=⋅ , así que multiplicamos.

Este rodeo puede parecer inútil, pero ahora mismo veremos que conforme se van

complicando las cantidades se va notando su conveniencia.

¿Cuánto es 2

1de

4

1? Es:

8

1

4

1

2

1 =⋅

¿Cuánto es 23

17 de

35

9? Es:

805

153

35

9

23

17 =⋅

Una aplicación:

Luis decide cobrar $ 3000 por realizar la compostura de un automóvil y solicita le den

como adelanto los 4

3 de esa cantidad, ¿cuánto le tienen que dar?

Para resolver este problema necesitamos preguntarnos ¿cuánto es 4

3de 3000?.

Como ya vimos la operación que arroja este resultado es la siguiente:

Una buena señal de que la definición es satisfactoria es que tiene todas las propiedades que tiene la multiplicación de los números vistos antes

Page 23: Numeros f11

Por supuesto, le tendrían que dar $2500 de adelanto. ACTIVIDAD

Efectúa las siguientes operaciones

Resuelve los siguientes problemas.

i) En una escuela hay 324 alumnos donde el número de alumnas es 18

1 del total.

¿Cuántos varones hay en la escuela?

ii) Una persona decide repartir su capital de la siguiente manera: 3

1 para su esposa,

10

3 para su hija y el resto a partes iguales para sus otros cuatro hijos, ¿cuánto le

corresponde a cada uno de los herederos?

II.1.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para esta operación podíamos proceder como en la multiplicación, pero vamos a tener que ponerle un poco de teoría al asunto porque es un tema central en esta unidad; es donde hallaremos una forma de resolver un problema que venimos arrastrando desde el principio, aquél de no poder efectuar cualquier división de enteros, ni modo, la vida es dura. Para esto copiaremos las ideas que en la parte de enteros nos permitieron resolver cualquier resta de naturales y de ganancia cualquiera de enteros (y fue mayor la ganancia).

La clave en el caso de los enteros fue el teorema de la resta:

m – n = m + (−n)

Para llegar a esto requerimos: 1. Definir la resta, sólo tomamos la que conocemos desde la primaria (la forma en que se

comprueba la resta). 2. Ya habíamos postulado y definido lo relativo a los inversos aditivos: la suma de una

pareja de inversos es el neutro aditivo.

Page 24: Numeros f11

3. Notamos que la resta se podía expresar mediante su operación opuesta, la suma.

Calcaremos esto para la división: a. Empezamos definiendo la división para fracciones (como se comprueba la división de

naturales desde la primaria):

q

p

u

t

u

t

s

r

q

p =⋅=÷s

r que significa

Ejemplo: 3

5

84

140

12

35

7

4 porque

12

35

7

4

3

5 ==⋅=÷ .

Lo que acabamos de hacer sería de lo más engorroso, el cociente tendría que encontrarse

por tanteo (como lo hacíamos con los enteros 10÷5 =¿?), después multiplicar y luego simplificar el resultado (sacamos 28 ava), no se pierda de vista que la importancia de esta página es teórica, no práctica.

b. Vamos por partes: ¿Cuál es el neutro multiplicativo?: una fracción que multiplicada por otra nos de la misma

o de perdida una equivalente, claro, la primera que se nos ocurre es 1

1 pero recordemos que

⋅⋅⋅==3

3

2

2

1

1 y otras más, de hecho cualquiera de éstas junto, con el Postulado S sirve para lo que

pedimos (por eso subrayamos que tomaremos un neutro, ¡hay muchos!), por ejemplo:

321mitad sacamos

3

7

6

14

2

2

3

7 ==⋅ ,

m + (−m) = 0

Inversos aditivos Neutro aditivo

Resta transformada en suma

m – n = m + (−n)

Definimos los inversos multiplicativos: dos fracciones son inversos multiplicativos si su producto es un neutro multiplicativo.

Page 25: Numeros f11

como sea ya tenemos un buen número de neutros multiplicativos.

Ahora sí, hay que buscar parejas de fracciones cuyo producto sea un neutro

multiplicativo, cosa que afortunadamente resulta fácil.

ACTIVIDAD

Halla un número que multiplicado con el número dado dé como resultado el neutro multiplicativo. i) ii) iii) iv) v)

c. Finalmente copiamos el teorema de la resta para escribir lo que bautizaremos como el

teorema de la división (si quieres demostrarlo no resulta difícil).

La misma fracción neutro multiplicativo

Teorema: Para cada fracción

A las fracciones se les llama inversos multiplicativos, uno del otro.

Se cambia resta por suma

Se cambia n por su inverso aditivo

m – n = m + (-n)

Page 26: Numeros f11

Esta forma de dividir será reconocida por la mitad de los estudiantes, la otra mitad

recordará una abreviación de ella: la de las multiplicaciones en diagonal

La forma de dividir que hemos elaborado puede efectuarse en todos los casos, es decir, el

conjunto F de las fracciones es cerrado bajo la división y, como los enteros son fracciones “impropias”, entonces con ayuda de las fracciones puede efectuarse cualquier división de enteros, que era uno de los propósitos que queríamos conseguir.

Ejemplos:

12

35

2

7

6

5

7

2

6

5 −=⋅−=÷−, ya en la rutina es preferible multiplicar las diagonales.

24

8

4

1

1

8

1

4

1

848 ==⋅=÷=÷ , este rodeo no puede ayudar para ver como funciona la

operación que hemos armado.

7

3

7

1

1

3

1

7

1

373

−=⋅−=÷−=÷−

Observación:

En el tercer ejemplo, 7

3− no debe leerse “-3 entre 7” sino “-3 sobre 7” y por lo pronto no

es una división, es el cociente de una división, como ya se ha dicho muchas veces, es el número que multiplicado por 7 da −3:

división. una deón comprobaci la es esimplement ,37

37 porque

7

3

37 −=

Ejemplo:

Se tienen 450 litros de jugo de naranja y se desea envasarlos en botellas de 4

3de litro de

capacidad, ¿cuántas botellas serán necesarias para envasar esta cantidad?

Esto lo podemos expresar como sigue: 6003

1800

3

4450

4

3450 ==×=÷

Page 27: Numeros f11

Es decir necesitamos 600 botellas. Un problema más:

Un ciclista recorre 4

335 km en

2

12 horas, ¿cuál es su velocidad promedio?

Aquí podemos recurrir a la expresión t

dv = que es equivalente a tdv ÷= , como

queremos la velocidad, solamente tenemos que sustituir valores, así que: Que simplificando nos da:

ACTIVIDAD

1) Efectúa las siguientes divisiones.

i) ii) iii) iv)

2) Resuelve los siguientes problemas.

i) Un tanque tiene una capacidad de 700 litros pero se encuentra vacío y cerrado su desagüe. Si se abren tres llaves al mismo tiempo y una de ellas vierte 36 litros en 3 minutos, otra 48 litros en 6 minutos y la tercera 15 litros en 3 minutos, ¿en qué tiempo se llenará?

ii) ¿Cuántos trozos de madera de metro de longitud se pueden obtener de una tabla de 24 metros de longitud?

iii) Un obrero tiene que realizar un trabajo en 8 días, ¿qué parte del trabajo puede hacer

en 1 día , en días, en ?

Page 28: Numeros f11

II.1.5. COMBINACIÓN DE OPERACIONES CON FRACCIONES

Hemos visto que si en una cadena de operaciones hay adiciones, restas y multiplicaciones,

se efectúan primero éstas últimas, se dice que son de mayor nivel que aquéllas y con esto se entiende que se deben efectuar primero, a menos que haya símbolos de agrupación que indiquen otra cosa. En cambio las adiciones y las restas son del mismo nivel y el acuerdo es que se efectúen en el orden en que aparezcan de izquierda a derecha (la suma algebraica está basada en esta regla, pero su uso es un tanto diferente); la multiplicación y la división también son del mismo nivel y se ajustan a la misma regla. Resumiremos en la siguiente regla de jerarquía:

Ejemplos:

Realiza las operaciones indicadas:

i). 8

1

24

3

24

69

12

3

8

3

12

12

8

3

12

1

6

1

8

3 ==−=−=

+−=

+−

ii)

120

1267

30

181

4

7

30

1180

4

18

30

1

1

6

4

1

1

2

30

16

4

12

=

=

+

−=

+

−=

+

iii) 288

295

5

12

24

59

5

12

24

757856

5

62

8

25

4

13

3

7 =÷=

÷

−+=

×÷

−+

Problemas:

iv) Tres obreros tienen que tejer 200 metros de tela. Uno teje 537

2 metros y otro 34

15

metros. ¿Cuánto tiene que tejer el tercero?

Nivel 1: + -

Nivel 2: · ÷ J1. Las operaciones de mayor nivel se efectúan antes que las de nivel inferior

J2. Las operaciones del mismo nivel se efectúan en el orden en que están escritas, de izquierda a derecha

Una jerarquía de operaciones

Page 29: Numeros f11

Solución: Considerando las condiciones iniciales del problema, se tiene:

238

65146

238

34813

238

1278747600

238

10512682200

34

15

7

373200

34

15

7

253200

=

=−=

+−=

+−=

+−

Luego, el tercer obrero tejerá: 146238

65

v) ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que en 537

2 horas recorre 202

37

6

kilómetros?

Solución: Considerando las condiciones iniciales del problema, se tiene:

Como hora

kmsv

t

dv 40

187

7480

18737

748037

37

187

37

7480

37

25

37

6202, ==

××=÷=÷==

Luego, la velocidad del automóvil es: 40hora

kms

ACTIVIDAD:

Realiza las operaciones indicadas:

i)

−++

+−20

1

5

7

3

5

4

1

60

1

30

7

ii)

+

+12

7

4

21

3

26

8

1

2

7

iii)

×÷

−+4

5

5

8

8

1

4

3

2

1

Problemas:

iv) ¿Cuántas varillas de 4

1 de metro de longitud se pueden obtener de una varilla de

12

5 metros de largo?

Page 30: Numeros f11

v) Si una llave vierte 34

3 litros y otra 25

1 litros de agua por minuto, ¿en cuánto tiempo

llenarán un depósito de 592

1 litros de capacidad?

vi) Si una cuerda de 40 metros de longitud se corta en tres partes iguales de 53

2 metros de

longitud, ¿cuánto falta a lo que queda para tener 318

3 metros?

II.1.6 ORDEN DE LAS FRACCIONES

Como antes, el propósito es establecer una regla para determinar cuándo una fracción es menor que otra, con la que podamos poner a las fracciones en fila de menor a mayor.

Para hablar con mayor fluidez haremos un par de definiciones:

Se sabe que, por ejemplo: 4

3

4

3

4

3

4

3

−=−==

−−

4

3- quey , de aquí que:

En cuanto al orden, mantendremos la idea básica adoptada desde los naturales: una

fracción es menor que otra si se le puede adicionar una fracción positiva de modo que la suma sea la otra.

Si intentas aplicar esta idea para determinar cual de las fracciones 14

15

18

19y es menor

verás que no es fácil, así que su uso consiste sólo en proporcionar una base para demostrar teoremas que permitan responder más fácilmente preguntas como aquélla, no los demostraremos, pero uno de ellos dice: una fracción es menor que otra si la diferencia de ésta última menos aquélla es positiva. Esta opción ya la hallamos en los enteros y resulta más fácil de manejar que la anterior.

Sin embargo es aún más conveniente el siguiente teorema que hace buena pareja con la equivalencia:

Definiciones: Si el numerador y el denominador de una fracción son del mismo signo, se dice que es positiva; si son de signos diferentes será negativa. Si el numerador es cero, la fracción no es positiva ni negativa

Teorema:

También se puede escribir q·r > p·s

Page 31: Numeros f11

¡Cuidado con la forma de escribir esto!, digamos que el producto menor debe ser el que

contiene al numerador de la fracción menor. Además, para comparar dos fracciones que no tengan sus denominadores positivos antes, hay que cambiarlas por otras equivalentes que tengan esa característica (recurriendo al Postulado S). Ejemplos:

En los siguientes ejemplos vamos a investigar qué fracción es mayor o menor, de acuerdo al teorema:

i) 6

7y

5

4

Solución:

Como (4)(6) < (5)(7) entonces 6

7

5

4 <

ii) ¿Es cierto que5

6

2

3 < ?.

Solución:

Vemos que (3)(5) no es menor que (2)(6), entonces tampoco es cierto que 5

6

2

3 < ,

en otras palabras, lo que realmente ocurre es que 5

6

2

3 > .

iii) 4

3

2

1 <−

. Si intentamos aplicar el teorema se obtiene que (1)(4) no es menor que

(-2)(3) y concluiríamos que es falso que 4

3

2

1 <−

. ¡Pero lo razonable es que la

fracción negativa sea menor que la positiva! Lee el teorema, resulta que no se aplica a éste caso, primero hay que quitar el “−” del denominador, así que cambiamos la pregunta

original por esta otra: 4

3

2

1 <−, donde en efecto: (−1)(4)<(2)(3).

iii) El profesor Moy tenía $60.00 y gastó $ 18.00. ¿Qué parte de su dinero gastó y qué parte ahorró?, ¿cuál de las partes es mayor? Solución:

Gastó: 10

3

00.60$

00.18$ = Ahorró: 10

7

00.60$

00.42$ = Por lo tanto10

7

10

3 <

iv) Cuando vendo algo por $24.00 y éste me había costado $16.00 ¿Qué parte del costo es la ganancia, y qué parte de la venta es esa ganancia? ¿Cuál parte es mayor?

Solución:

Del costo: 2

1

00.16$

00.8$ =

Page 32: Numeros f11

De la venta: 3

1

00.24$

00.8$ =

Comparando ambos resultados:

3

1

2

1 >

ACTIVIDAD: Dadas las siguientes fracciones, investigar cuál es mayor:

i) 7

4y

8

3

ii) 10

1y

20

3

iii) Si te deben las 5

3 de $500.00 y te pagan las

3

2 de $300.00 ¿Qué parte de lo que

te debían, te pagaron y qué parte te adeudan? ¿Qué parte es mayor, lo que te pagaron o lo que te adeudan?

II.1.7. FRACCIONES Y FRACCIONES DECIMALES

Vamos otra vez a las fracciones equivalentes, partimos de la siguiente figura:

Hay varias formas de representar la parte sombreada, dependiendo de las divisiones que se tomen en cuenta:

Considerando sólo las divisiones verticales continuas: 5

2

Considerando además las verticales punteadas: 10

4

Agregando la horizontal punteada: 20

8

Digamos que la división más gruesa es la primera y de ahí avanzamos a otras más finas, bien, la idea de las fracciones decimales es que siempre se admita como división más gruesa la de diez partes, que en el ejemplo es la segunda; y que si se quiere otra más fina no se valga pasar a una como la que está en tercer lugar, sino que se salte hasta la de 100 divisiones; que la inmediata siguiente más fina sea la de 1000 divisiones, y así sucesivamente, cada nueva división multiplica por 10 la anterior. De las tres fracciones anteriores sólo la segunda es una fracción decimal; si

Page 33: Numeros f11

tuviéramos paciencia para ello podíamos representar la parte sombreada con otra fracción

decimal que sería 100

40; la que le sigue a ésta y también serviría, solo que ni con paciencia la

representaríamos, es 1000

400. Por comodidad para escribir los denominadores se usan exponentes

para no escribir tantos ceros, recuerde que el exponente coincide con el número de ceros, por ejemplo:

100 = 102 1000=103 1000000=106 100000000=108

Por lo tanto, lo que distingue a una fracción decimal de otras que no lo son es su

denominador, tiene que ser una potencia de 10. A alguien se le ocurrió otra forma de representar fracciones decimales que resulta muy

cómoda, para ello se usa la siguiente

Ejemplos:

510

852= 0.00852 (el cero a la izquierda del punto puede omitirse).

Tanto 510

852 como 0.00852 se llaman fracciones decimales, para distinguir ambas formas

no hay inconveniente en utilizar alguna expresión usual, a la primera podríamos llamarle “forma de ‘quebrado’” y a la segunda “decimal con punto”.

A la inversa: 41.23 = 210

4123

Definición:

Una fracción de la forma , donde p es un entero y n es un natural, se llama fracción

decimal. También se admite como tal a una de la forma , para mantener el modelo

aceptaremos que 100 = 1.

Regla P (inicial de punto) Una fracción decimal puede representarse escribiendo su numerador y separando sus cifras con un punto, llamado punto decimal, de tal forma que a su derecha quede un número de cifras igual al exponente que tiene el 10 en el denominador. Si las cifras no fueran suficiente, se completan con ceros escritos entre el punto y las cifras disponibles.

Page 34: Numeros f11

Ejemplos: Escribir en notación decimal:

i) 9.010

9 = ii) 43.0100

43 = iii) 005.01000

5 = iv) 0017.010000

17 =

Escribir en forma de fracción:

i) 220.431 = 310

220431 ii) 14.06 =

210

1406 iii) 0.87645 =

510

87645

ACTIVIDADES:

Escribir con notación decimal:

i) 1000

24 ii)

10

187 iii)

10000

1

Escribir en forma de “quebrado”:

iv) 1.15678 v) 0.0015 vi) 2.00016

SUMA DE DECIMALES CON PUNTO

Las fracciones decimales son, claro, fracciones, lo que quiere decir que se operan como ya hemos visto; pero una vez escritas en la forma con punto habrá que encontrar las respectivas formas de hacer operaciones. Una opción es dar por hecho que ustedes ya saben cómo hacerlo, de cualquier manera incluiremos algunas ideas al respecto, por lo pronto para la suma, va un ejemplo usando sólo lo que ya hemos justificado.

4484476484764444 84444 76 forma otra la a quebrado'' de

3

rdenominadocomún con suma

3

quebrado'' a puntocon notación de

23913.2

10

2913

10

2510403

10

251

10

40351.2403.0 ==+=+=+

Ahora bien, ese resultado se obtiene si sumamos como se suman enteros, cuidando que al

acomodar los sumandos en columnas queden alineados los puntos decimales y que en la misma línea quede el punto en la suma:

913.251.2403.0

Page 35: Numeros f11

Ya conociendo la suma podemos relacionar las dos escrituras decimales:

44444444 844444444 76

4444444444444 84444444444444 76

44444444444 844444444444 76

44444444 844444444 76444 8444 76

q

p

qn

pn=

+++×+×+×

×+

×

×+

×+

××+

××

=+×

+×+×+×+×+×==

=

=

310

7

210

0

110

1010411002102

310

7

10210

100

21010

2101

310

3104

310

310100310

3102102

310

7310

100310

2101310

3104310

4100310

5102

310

71002101310441005102310

204107107.204

regla

paso siguiente el ecómodament másefectuar para útil escritura una

fracciones de suma

numerador del decimal desarrolloP regla

En conclusión, tenemos una extensión de la notación desarrollada del sistema decimal:

204.107 = 321

012

10

7

10

0

10

1104100102 +++×+×+×

Ejemplo:

10000

8

1000

7

100

3

10

6107102 27.6378 01 ++++×+×=

Ejemplo:

Comprueba utilizando notación desarrollada con base 10 que:

27.6378 = 2 × 101 + 7 × 100 + 10000

8

1000

7

100

3

10

6 +++

ACTIVIDAD:

Utilizando notación de base 10 desarrollada, comprueba que:

i) 235.172 = 2 × 102 + 3 × 10 + 5 × 100 + 1000

2

100

7

10

1++

ii) 0.0001 = 10000

1

1000

0

100

0

10

0 +++

Page 36: Numeros f11

CONVERSIÓN DE FRACCIONES A FRACCIONES DECIMALES

Tomemos por ejemplo las fracciones 20

9,

25

7,

5

3,

4

3,

2

1, es claro que no son decimales,

¿por qué?, sin embargo es posible hallar fracciones decimales equivalentes a ellas, en efecto, si sólo debemos obtener abajo el famoso 10 con algún exponente, entonces:

a) 5.052

51 ==⋅⋅=

105

21

, resaltamos la fracción original y la decimal equivalente

b) 75.52

53

2

322

2

2==

⋅⋅==

10075

43

sólo multiplicamos arriba y abajo por 25, así que puedes saltar el rodeo de los dos pasos intermedios, los escribimos para observar algo más adelante, resaltamos la fracción original y la decimal equivalente.

c) 6.025

23 ==⋅⋅=

106

53

d) 225.02540

259

552

59

52

923

2

3==

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅=

1000225

409

e) ¿?32

7

6

7 =⋅

=

f) ¿?2117

19

154

19 =⋅⋅

=

ACTIVIDAD:

Convertir las siguientes fracciones comunes a fracciones decimales aplicando el criterio dado anteriormente:

i) 5

3

ii) 20

7

iii) 4

1

Observaciones:

� Advierte que estamos obteniendo fracciones decimales como 0.5, 0.75, 0.6, etc. sin

nada parecido a la división, sólo con lo que hemos visto. � En los ejemplos (e) y (f) no hay forma de obtener una fracción decimal equivalente a

la fracción dada.

Page 37: Numeros f11

� Ahora es cuando necesitamos los pasos intermedios que antes podías saltar, descompusimos los denominadores en sus factores primos: por un lado, puedes notar que eso nos ayuda a saber por qué número hay que multiplicar arriba y abajo; pero más importante aún, los ejemplos ilustran el siguiente

Así que si nos ponemos a escribir sin mayor cuidado fracciones, la gran mayoría de ellas

no tendrán representación decimal.

Observación: Hasta aquí siempre que hemos hablado de división, nos hemos referido a algo que

podemos llamar con más propiedad división exacta:

x ÷ y = z significa que y ⋅ z = x

así la diferenciaríamos de la llamada división con residuo por ejemplo:

xzy delugar en general,en 35211311

205353 =⋅=+⋅=+⋅→ xrzy

No nos detendremos a justificar esta operación ni cómo se adaptó a la división de

decimales con punto, pero retomaremos el hecho de que sabemos que Aunque no demos la justificación, recordemos las reglas para dividir decimales con

punto:

Teorema: Sólo se pueden expresar como fracciones decimales aquellas fracciones cuyo denominador tiene como factores primos exclusivamente: 2, 5 o ambos. Subrayamos, si además de estos números aparecen otros primos en el denominador, no será posible la expresión en forma decimal

La división con residuo es otra forma de transformar fracciones en fracciones decimales, cuando esto es posible

Procedimiento de la división con residuo: 1. Se multiplica el divisor y el dividendo por la potencia que convierta al dividendo en

entero. 2. El punto decimal del cociente se coloca alineado con el punto decimal del divisor. 3. Se efectúa la división con residuo tal como ésta se realiza con números naturales cuando

esta división es posible (cuando es exacta, se acostumbra decir).

Page 38: Numeros f11

Ejemplos, a la vez de división y de conversión de una fracción en fracción decimal.

75.04

375.0

02000.34

4

3 =→→

Ejemplos:

Insistiendo en la conversión de una fracción a fracción decimal, se tiene:

5

2 → 4.0

0205 → 4.0

5

2 =

20

7 → 2035.0

010070 → 35.0

20

7 =

ACTIVIDAD:

Hallar la fracción decimal equivalente utilizando a la vez la división.

i) 8

3 ii)

40

11 iii)

20

9

APROXIMACIONES DECIMALES Y FRACCIONES PERIÓDICAS Ahora bien, ciertamente sólo unas pocas fracciones se pueden expresar como fracciones

decimales, pero para las otras se pueden encontrar decimales cuyo valor es cercano al de ellas, ¿qué tan cercano? Todo lo que se quiera. ¿Cómo se logra esto?, con la división con residuo, por supuesto.

Ejemplos:

Page 39: Numeros f11

...20

3010

5040

6020

30

14285714.000000000.17

para 11

3aproximamos a diezmilésimos, pudimos parar antes o continuar más allá, según se

requiera, entre más cifras, mejor será la aproximación a 11

3.

Se puede observar que si continuamos, simplemente se seguirán repitiendo las cifras 2 y 7, o mejor dicho se repetirá el bloque de cifras . El guión colocado encima de las cifras es para indicar que no es el número 27 sino un bloque de las dos cifras 2 y 7, en ese orden, se dice

que el bloque es el periodo de 3 ÷ 11, o de

Sobre el , aplicamos el proceso de división y encontramos que en cada etapa,

tenemos dos opciones para residuo: o es cero o es distinto de cero. i) Si es cero ahí concluye la división.

ii) Si es distinto de cero, el residuo tiene que ser menor que el divisor, por lo que

tendría que ser un entero de 1 a 6, de modo que a lo más en seis etapas no se repetirá el residuo, en la séptima etapa forzosamente se repetirá uno de esos seis números y todo lo hecho antes se tendrá que hacer nuevamente, así se explica la existencia del periodo.

Más adelante veremos que también el recíproco es cierto, si el decimal tiene un

periodo, se puede expresar con un ‘quebrado’.

Page 40: Numeros f11

Ejemplos: Convertir las siguientes fracciones comunes en fracciones decimales:

3

1 → 3

...333.0

110

10...000.1 → 3.0

3

1 =

33

4 → 33

...1212.0

7040

70...0000.4 → 12.0

33

4 =

ACTIVIDAD:

Convertir las fracciones comunes en fracciones decimales:

i)7

2 ii)

11

7 iii)

14

5

Una vez relacionadas las fracciones q

p con las división p ÷ q, podemos ver una de la

objeciones a que q sea cero, por ejemplo:

→→÷=n3003

0

3¿cuánto debe valer n para que multiplicando por 0 de 3?

Por supuesto eso es imposible, no hay forma de efectuar esa división.

Ahora sí podemos escribir , es decir que “p sobre q” es igual a “p entre q”,

siendo ésta última la división con residuo, y eso es cierto en los casos en que la fracción se puede representar con decimales. Cuando sólo se puede conseguir una aproximación decimal

de la fracción dada entonces ≈ [cifras obtenidas mediante p ÷ q] (≈ se lee

“aproximadamente igual a”). Ahora bien, si ya se tiene el periodo se conviene en escribir, por

ejemplo, , porque conociendo el periodo en cierto sentido se conocen todas las

cifras de la división. Más adelante diremos algo más al respecto.

Page 41: Numeros f11

Otro caso:

→→÷=n0000

0

0¿cuánto puede valer n para que al multiplicar por cero resulte 0? Prueba,

verás que la respuesta es: “lo que se quiera”, ¿pero de qué sirve una operación cuyo resultado puede ser el que le guste a cada persona?.

FRACCIONES COMPUESTAS

Este es otro tema que resulta de la relación entre fracción y división, ésta se puede expresar diciendo que el guión “–” de quebrado juega el mismo papel que el símbolo ÷, es decir, indica división:

qpq

p ÷= , entonces tenemos representaciones como las siguientes:

a) rq

sp

s

rq

p

s

rq

p

s

r

q

p

⋅⋅=→÷ : tenerdebe sedivisión la efectuandoy ,

Por razones claras p y s se llaman extremos, mientras que q y r se llaman medios, de aquí una regla obvia para simplificar el tipo de expresiones en cuestión:

b) r

q

p

rq

p →÷ , por la división de que se trata el resultado es: r

q

p

=rq

p

Esto requeriría su propia regla, que no es difícil escribir pero que cuando se tengan varias reglas puede ser complicado recordarlas, quizá sea más conveniente convertir el entero r en fracción y usar la regla anterior:

rq

prq

p

r

q

p

⋅⋅== 1

1

Del mismo modo:

El numerador del resultado es el producto de los extremos y su numerador es el producto de los medios.

Por esto se dice que la división entre 0 no está definida. De hecho no hay forma de arreglar esto.

Page 42: Numeros f11

c) q

rp

r

q

p

r

qp

r

qp

⋅⋅=⋅=→÷

1 :forma laen escribiría se ,

q

rp 1

Ejemplos:

Simplificar aplicando las reglas anteriores:

i) 8

3

3

2÷ →

8

33

2

= 9

71

9

16

3.3

8.2 ==

ii) 24

3 ÷ → 8

3

42

3

24

3

=⋅

= ó → 8

3

4.2

3.1

1

24

3

=⋅⋅=

iii) 7÷5

2 → 2

35

2

75

5

27 =⋅= ó →

2

35

21

75

5

21

7

=⋅⋅=

ACTIVIDAD: Simplificar:

i) 16

3

8

7÷ ii) 15

17

13 ÷ iii) 10 ÷4

3

abreviada)notaciónen1.501.5000...(2

3 ==

)20.10.1222...(90

11 −=−=−

El tipo de expresiones introducidas se llaman fracciones compuestas, se pueden caracterizar como cocientes indicados de fracciones y la principal tarea con ellas es reducirlas a fracciones comunes tan simples como se pueda.

Page 43: Numeros f11

Vamos a examinar el problema complementario acerca del periodo, veremos como convertir a ‘quebrado’ un decimal periódico:

Ejemplo 1 Sea a = 0.7 multiplicamos esto por 10 10a = 7.7 a esto le restamos la expresión original 10a − a = 9a = 7.7777 − 0.7777... = 7

de modo que 9

7:que lopor ,79 == aa

Ejemplo 2

Sea b = 13.182 esta vez multiplicamos por 1000 1000 b = 13182.182 … a esto le restamos la expresión original 999 b = 13169

y obtenemos b = 999

13169

Ejemplo 3

Sea c = 4.15243 100c = 415.243 100000 c = 415243.243 a esto le restamos la expresión anterior 99900 c = 415239

y obtenemos: c = 99900

415239

ACTIVIDAD:

Halla los números racionales de las siguientes expresiones decimales periódicas:

i) Sea 17.0=a

ii) Sea 1234.21=b

iii) Sea 765.3=c

Page 44: Numeros f11

Propiedad de densidad de las fracciones Partiremos de la siguiente cuestión: Dados dos enteros, ¿cuántos enteros existen entre ellos?. Pues depende de cuáles sean los

enteros. Si son 3 y 9 la respuesta es 5; si son -2 y 0 sólo hay uno; si son 2 y 3 no hay tales enteros. Ahora, dadas dos fracciones, ¿cuántas fracciones hay entre ellas?

Por ejemplo:

¿Cuántas fracciones hay entre 2

15y

2

3? Si dijiste 11 piénsalo otra vez, un diagrama

lineal te ayudaría bien.

¿Cuántas fracciones hay entre 2

5y

4

1?. No son 9, ¿verdad?.

¿Cuántas fracciones hay entre 4

2y

4

1?

No importa cuáles fracciones tomes, la respuesta es siempre la misma: entre ellas hay

muchas otras. Este asunto nos remite a uno de los diagramas usados al introducir la recta numérica,

vamos a reproducirlo aquí y a agregarle la ampliación de otra pequeña parte:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4/8 9/16 64/128 65/128 66/128 67/128 68/128 69/128 70/128 71/128 72/128

Page 45: Numeros f11

¿Notas cuál marca corresponde a 9/16?, ¿cómo obtuvimos ese 9/16? Después dividimos el intervalo elegido en 8 partes iguales, para hacerlo tuvimos que refinar las subdivisiones, por eso convertimos a 128 avos empezando por 4/8=64/128 y 9/16=72/128.

¿Se nota que podríamos continuar así indefinidamente?

¿Qué entero le sigue inmediatamente a 6? Obvio ¿no es cierto? ¿Qué fracción le sigue inmediatamente a ½ (es decir a 4/8)?, ¿será 2/2?, no, ésto es un número entero y antes está, por ejemplo, ¾; pero antes de este está, por ejemplo, 5/8; pero antes está ... ¡cielos!

Esta situación algo extraña es otra manifestación de la característica de las fracciones de

permitir intercalar otras fracciones entre dos cualesquiera de ellas.

II.1.8. LOS NÚMEROS RACIONALES

Prácticamente hemos concluido lo que teníamos que decir sobre fracciones, sólo falta un detalle de carácter teórico. Antes hemos estudiado dos sistemas numéricos, el de los naturales y el de los enteros; la presente unidad vendría siendo el estudio del sistema de las fracciones, ahora bien, quizá entonces se hayan notado ciertas diferencias entre lo que hemos hecho con las fracciones por un lado y los sistemas antes mencionados por el otro, sobre todo la abundancia, es decir, la no unicidad de:

- neutros aditivos: 1

0

2

0

1

0

−== , etc.

- neutros multiplicativos: 2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

−−=

−−=== , etc

- inversos aditivos de una fracción dada, por ejemplo de 4

3, a saber:

8

6

4

3

4

3

−−=

−=−

, etc.

Densidad de las fracciones: Esta es una propiedad relacionada con el orden entre las fracciones:

, tales que , tal que:

Propiedad de Densidad de las Fracciones: Entre dos fracciones cualesquiera siempre hay una infinidad de otras fracciones Dada una fracción no existe una fracción que le siga inmediatamente

0 ½ 3/4 2/2 4/8 5/8 6/8 7/8 8/8

Page 46: Numeros f11

- inversos multiplicativos, por ejemplo para 4

3 se tienen:

3

4

3

4

−−= , etc.

A pesar de esto se trabaja cómodamente usando el Postulado S, pero para mantener el

modelo usado con naturales y enteros sería conveniente lograr la unicidad en cuestión, y hay formas de hacerlo, una que no choca bruscamente con las costumbres de los alumnos, de hecho la tienen varios de ustedes, es la de trabajar sólo con fracciones totalmente simplificadas, por ejemplo, si se exige este requisito sólo se podría usar como neutro aditivo la primera de las

fracciones anotadas en la página anterior 1

0

2

0

1

0

−== etc; análogamente para el neutro

multiplicativo y para los inversos. En la mayoría de los libros más comunes no se usa el término fracción sino el de número

racional, bien, resulta que no son exactamente lo mismo. Puesto en forma sencilla, los números racionales son ciertas fracciones especiales, concretamente las fracciones simplificadas al máximo y que no tengan denominadores negativos.

Enseguida damos una lista de fracciones, se han resaltado las que son números racionales:

286105

21

11

10

43-

79

,78

105,

3

3,

7

5,,,

4

0,,,

4

3,,

6

3

−−−−

−−

En particular, la frase “fracciones equivalentes” tiene un significado bien definido,

mientras que “racionales equivalentes” no tiene sentido, no los hay.

Definición: Se le llama número racional a cada fracción simplificada totalmente y con

denominador positivo, el conjunto de todas ellas se representa por Q.

Definición: El conjunto de los números racionales es

Para nuestros propósitos solamente en unas pocas ocasiones será conveniente

distinguir entre fracción y número racional, e incluso no será indispensable, puedes seguir trabajando sin esta complicación, repetimos, de carácter teórico; pero no sobra recordar que la distinción en cuestión se reduce a diferenciar entre fracción y fracción simplificada, cosa que se hace con el propósito de mantener el concepto original de sistema numérico.

Page 47: Numeros f11

Ejercicios y problemas de fracciones: 1. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes?

a) 14

12,

,8

6,

4

3 b)

7

5,

5

3 c)

32

12,

16

6,

8

3 d)

30

15,

,2

1,

15

10,

10

5

2. Halle una fracción equivalente a 36

12 tal que:

a) El numerador sea 3 b) El denominador sea 5 veces el denominador original. c) El numerador valga la tercera parte del numerador original.

3. Determina el valor de cada literal para que las equivalencias indicadas sean ciertas.

4. Sombrea 8

5 de la gráfica que se presenta:

5. ¿Cuál círculo tiene aproximadamente la misma fracción sombreada que el rectángulo?

6. Convierte a fracciones comunes a las siguientes expresiones:

10

11)

3

13)

5

211)

2

18)

4

312)

6

59) fedcba

7. Obtén tres fracciones equivalentes para cada una de las fracciones dadas.

99h)

715g)

783f)

85e)

45d)

32c)

13b)

21a) −

−−−

2

2781)j

50

7

5)i

40

9512)h

9

5

9)g

8

8)f

40

w

8

4)e

100

3

10)d

5

4

25)c

3

2

6)b

217

2)a

−==−===

−=

−−=−===

yrphk

k

j

xym

Page 48: Numeros f11

8. Simplifica las siguientes fracciones a su mínima expresión.

9. Efectúa las siguientes sumas de fracciones:

10. Efectúa las siguientes sumas de fracciones: 11. Una aleación está compuesta por 24 partes de cobre, 4 de estaño y 1 de zinc. ¿Cuántos

kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación? 12. La distancia de una ciudad a otra es de 210 km. ; si el primer día Hugo recorre los de

esa distancia, el segundo día los 21

2 y el tercero los

30

7, ¿a qué distancia estará del punto

de llegada? 13. Una pecera con sus peces costó $480.00, sabiendo que el precio de los peces fue la tercera

parte del costo total ¿Cuál es el precio de la pecera y cuál el precio de los peces?

200

64)l

3500

1050)k

270

90)j

22

0)i

8

64)h

18

15)g

9

3)f

625

1253)e

11

21)d

9

18)c

15

5)b

18

6)a

−−

=+++

=++++

++++=++

=++=+++

18

6

18

21

18

2

18

7)d

65

5

65

19

65

8

65

3

65

12)c

11

1

11

12

11

0

11

7

11

3)f

9

3

9

7

9

5)b

5

4

5

3

5

2)e

7

0

7

2

7

6

7

1)a

=

++

+−=++

=+=

++

++

=+++

5

12

9

3

3

7

6

5)

42

22

21

12

7

5)

27

14

18

7)

108

21

54

6

16

8

24

2)

20

812

8

16

4

13)

27

11

21

6)

fe

dc

ba

73

Page 49: Numeros f11

14. Un comerciante ha comprado 800 kg. de papas, 9

1120 kg. de trigo y

4

3170 kg. de arroz,

¿cuántos kilogramos de mercancía ha comprado en total? 15. Cuatro bultos pesan respectivamente

¿cuántas libras pesan entre los cuatro?

16. En la siguiente gráfica señala la suma de 4

1y

6

1

17. Halla dos fracciones con denominadores 7 y 9 respectivamente tales que su suma sea 18. Localiza en la recta numérica los siguientes números racionales:

a) 4

2,

4

0,

4

6,

4

6,

4

3,

4

1 −−−−−−−− b)

5

10,

5

2,

5

3,

5

0,

5

7,

5

1 −−−−−−−−−−−−

19. En la recta numérica ubica los siguientes números racionales.

a) 11

2 b) 1

7

8 c) 1

1

8 d) -

5

8 e) -

1

8

20. Del ejercicio anterior:

a) Identifica la fracción mayor. ¿Por qué?________________________________ b) Identifica la fracción menor ¿Por qué?________________________________

c) De las fracciones: −11

2 y

8

5− ¿ cuál es mayor. ¿Por qué? ________________

lbs165ylbs21

140,lbs32

150,lbs43

180

6373

-2 -1 0 1 2

Page 50: Numeros f11

21. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones equivalentes:

1800

600,

3

1,

18

6,

3

1,

6

2,

6

2)

10001

10001,

100

100,

20

20,

1

1,

2

2,

1

1)

100

0,

2

0,

3

0,

2

0,

1

0,

1

0)

6

3,

6

3,

4

2,

4

2,

2

1,

2

1)

40

24,

20

12,

10

6,

10

6,

5

3,

5

3)

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−−

−−

e

d

c

b

a

22. Indica el número racional correspondiente a cada punto.

23. Determina cuál es el número entero más cercano al número dado. 24. Escribe el inverso aditivo de las siguientes fracciones:

A B C D

-3 -2 -1 0 1 2 3 A B C D

-1 0 1 A B C D

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

65

4)f41

4)e51

1)d

31

)c87

1)b83

5)a

−−

−−

70

)f54

)e5

4)d

237

)c94

)b53

)a−

−−−

Page 51: Numeros f11

25. Calcula el valor de las siguientes restas de fracciones:

26. Halla el inverso multiplicativo de cada una de las siguientes fracciones, si existe:

27. Halla el inverso multiplicativo o recíproco de cada fracción: 28. Efectúa las operaciones que se indican:

20

21

158

)d57

1153

117

)c41

34

55

)b63

6)a

29. Una de ocho partes de un cuarto de litro de helado contiene 145 calorías, ¿cuántas calorías

contiene 32

1 de litro de helado?

30. Lázaro afirma que multiplicar por una fracción equivale a dividirla entre dos, ¿es cierto

esto? Explica dando ejemplos. 31. Si una libra de zanahorias corresponde a 12 zanahorias iguales, ¿cuántas zanahorias habrá en

un tercio de libra? 32. Expresa cada división de fracciones como una multiplicación sin resolverla. 33. Encuentra en cada caso el valor desconocido para que la igualdad sea cierta. 34. Divide y reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones:

=−=

−−=

−−−−=

−−−=−36

894)e

6

5

4

32)d

3

1

4

3

5

8)c

2

1

5

2

7

3)b

7

5

7

9)a

1)11

11)

10

7)

6

0)

1

6)

13

3) −−− fedcba

52

)i83

)h74

)g98

)f922

)e85

3)d107

1)c1211

)b43

)a

21

=÷=

−÷−=÷=÷−=÷4

31

3

25)e

6

5

3

13)d

10

7

20

13)c

2

3

8

5)b

5

1

5

3)a

3

4

4

3e)

3

2

8

5)d

3

8

5

6)c

5

4

9

7)b

5

2

4

3)a ÷÷

−÷÷÷

8

154

2

3)2

3

5

3)

4

9

4

9)1

5

4) =÷−=÷−=÷=÷

yd

nc

s

tb

n

ma

Page 52: Numeros f11

35. Efectúa las siguientes operaciones de fracciones.

13

6

4

3

8

7h)

2

3

6

1

6

5g)

34

3

12

17

12

5f)

26

3

9

13

9

4e)

9

14

6

3

7

10d)

15

4

16

5

4

7c)

3

4

8

9

8

3b)

6

7

3

4

3

5a)

÷+÷+×−×−

=×−=×+=×+=×+

36. Escribe el símbolo < , > ó = que corresponda en lugar de � .

a) 9

5− �

12

7− ; b) 17

30 �

3

5; c)

3

5 �

7

10; d)

6

5− � −6

8 e) −

5

8� −

7

10.

37. Escribe en orden de mayor a menor.

a) 1

5

1

3

1

4, , ; b ) − − −

7

4

7

8

5

7, , c )

4

3,

15

6,

12

5 −−− .

38. Escribe el símbolo < , > ó = en lugar de � . La variable representa un entero positivo.

a) x

5 �

x

7; b)

y

24 �

y

12; c)

3

6

d �

2

6

d; d)

5

a �

3

a

39. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

5

6

5

8

5

3

5

2

5

9

5

5

5

12

5

4, , , , , , ,

40. Expresa como fracciones decimales los siguientes números decimales:

a) 0.068 b) 1.3 c) 0.987 d) 36.1

e) 0.000 096 f) 1.007 g) 100. 1 h) 0.099

41. Expresa como números racionales los siguientes decimales periódicos.

a) 24.0 b)0.235 c) 0.0087 d) 0.01287

Page 53: Numeros f11

42. Suma las siguientes fracciones y en seguida comprueba efectuando la suma como números decimales.

a) 3

10

5

100,

b) 3

100

5

1000

5643

100000, ,

c) 35

1000

12

100

9

10

1

10000, , ,

43. Encuentra un número racional entre 0 y 1.

44. Encuentra 5 números racionales entre 0 y ½

45. Encuentra otros 5 números racionales diferentes del problema 2 situados entre 0 y ½

46. Obtén un número racional que se encuentre entre:

a) 1

2 y 1 b)

3

4 y 1 c)

7

8 y 1

d) 15

16 y 1 e)

31

32 y 1

47. Considera el conjunto de todos los números racionales mayores que 1. ¿tiene este conjunto un

elemento mínimo?, ¿por qué?

48. Considera el conjunto de todos los números racionales menores que 3. ¿Tiene este conjunto

un elemento máximo?, ¿por qué?

49. ¿Hay un entero positivo mínimo?, ¿cuál es?

50. ¿Hay un número racional positivo mínimo?, ¿cuál es?