Movimiento circular y momento de inercia

Física 1

Semana 2 Sesión 1

Dinámica del cuerpo rígido

Posición, velocidad y aceleración angular. Aceleración tangencial y centrípeta. Energía

rotacional. Momento de inercia.

13/04/23 2Y. Milachay / S. Tinoco

Cuerpo rígido

• Es un sistema de partículas que interactúan entre sí, pero cuyas posiciones relativas permanecen constantes en el tiempo.

• Todo cuerpo rígido posee un centro de masas, el cual describe un movimiento de traslación debido a la acción de las fuerzas externas que actúan sobre él.

• Dicho movimiento se rige por las leyes de Newton.

2F

CMi

dPF

dt

1F

3F


Rotación de cuerpos rígidos

• Un cuerpo rígido se define como aquel que no es deformable . O sea, en el que las distancias entre todos sus pares de partículas permanecen constantes.

• Al rotar, el cuerpo rígido realiza un movimiento circular que puede ser descrito usando el concepto de velocidad angular, .

Posicióninicial

Posiciónfinal

( )med

t

t

( )t

( )d t

dt

rad

s


Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular

• El volante del un motor de automóvil sometido a prueba recorre una posición angular que está dada por:

• El diámetro del volante es de 0,36 m. a) Calcule el ángulo , en radianes y grados, en t1=2,0 s y t2 = 5,0 s. b) Calcule la distancia que una partícula en el borde se mueve durante ese intervalo. c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rpm, entre t1=2,0 s y t2 = 5,0 s. d) Calcule la velocidad angular instantánea a los t = t2 = 5,0 s.

3( ) 2,0t t

1

1

16 920

250 14000

rad

rad

0,18 250 16 42s r m m

78 / 740 / minrad s revt

26,0

150 rad/ s

dt

dt

3( ) 2,0t t


Dirección de la velocidad angular


Aceleración angular constante

• La aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular.

• En el caso de que la aceleración angular es constante, antiderivando, se puede hallar la expresión de la velocidad angular.

• Antiderivando la expresión de la velocidad angular se tiene la expresión de la posición angular.

d

dt

0( )t t

20 0

1( )

2t t t


Ejemplo 9.3 Rotación con aceleración angular constante• El disco de una película de

DVD se está deteniendo. La velocidad angular del disco en t = 0 es de 27,5 rad/s y su aceleración angular constante es de -10,0 rad/s2. Una línea PQ en la superficie del disco está a lo largo del eje +x en t = 0. a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t = 0,300 s? b) ¿Qué ángulo forma la línea PQ con el eje +x en ese instante?

rad/s 5243000010527 ,,,,

27,5 10,0 0,300 24,5 rad/ s

210 27,5 0,300 10,0 0,300

27,80 rad 447 1,24 rev


Aceleraciones tangencial y centrípeta

• Por otro lado, la aceleración centrípeta o radial también se puede expresar a través de la velocidad angular.

• El módulo de la aceleración de la partícula se calcula por:

v r

ta r

2

c

va

r 2

ca r

2 2t ca a a

• Como la velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular.

• La aceleración tangencial también se relaciona con la aceleración angular.


Ejemplo 9.4

• Un lanzador de disco gira el disco un círculo de radio 80,0 cm. En cierto instante, el lanzador gira con una rapidez angular de 10,0 rad/s y la rapidez angular está aumentando a razón de 50 rad/s2. Calcule las componentes de la aceleración tangencial y centrípeta del disco y la magnitud de la aceleración.

2t

2 2c

a r 40,0 m/ s

a r 80,0 m/ s

2 2 2t ca a a 89,4 m/ s


Energía del movimiento rotacional

• Si suponemos que un cuerpo rígido es un conjunto de partículas, cada una girando con velocidad angular alrededor del eje fijo en z, entonces la energía cinética de una de las partículas será:

• La energía cinética total será la suma de las energías cinéticas de las partículas; y como todas giran con la misma rapidez angular, la expresión final será:

21

2i i iK K m v

21

2i i iK m v

2 21

2 i iK m r


Momento de inercia

• La cantidad entre paréntesis se conoce como momento de inercia para un conjunto discreto de partículas, I:

• Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia.

• El momento de inercia es una medida de la resistencia que presentan todos los cuerpos a cambiar su estado de rotación. Así pues, un cuerpo que tenga un mayor momento de inercia presentará una mayor resistencia a cambiar su estado de rotación.

• Si un cuerpo tiene un gran momento de inercia, es difícil ponerlo a girar si está en reposo o es difícil frenarlo si está en movimiento. Por esta razón, I también se denomina inercia rotacional.

• ¿En qué caso es mas fácil girar el aparato?

• En función de I, la energía K total de un cuerpo rígido será.

2i iI m r

21

2K I


Ejemplo 9.7

• Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntales ligeros moldeados. a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diagrama, con rapidez angular = 4,0 rad/s, ¿qué energía cinética tiene?

2 2 2 2

2

I 0,30 0,40 0,10 0 0,20 0 kg m

I 0,048 kg m

2 2 2 2

2

I 0,30 0 0,10 0,50 0,20 0,40 kg m

I 0,057 kg m

21K 0,057 4,0 J 0,46 J

2


Ejercicio

• Considere una molécula agua que gira en el plano xy alrededor del eje z. El eje pasa por ese centro de la molécula de oxígeno. Si d = 9,57 x 10-11 m y cada átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,0 u y el de oxígeno 16,0 u, determine la energía cinética de la molécula si se sabe que el conjunto rota con una velocidad angular de 4,60 x 1012 rad/s. Considere que los átomos son puntos materiales.

• 1 u = 1,66 10-27 kg 2 2

O HI m 0 2 m d

2 2 12H H

1K 2m d m d 3,36 10 J

2


Fin de la presentación

Education

Movimiento circular y momento de inercia