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Matrices Elementales
MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Martha C. Moreno
Departamento de Matematicas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
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Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion F1 ↔ F2, se obtiene
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Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
(
0 11 0
)
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
(
0 11 0
)
es una matriz elemental.
Martha C. Moreno MATRICES ELEMENTALES-INVERSA
Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
(
0 11 0
)
es una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion 2F1 + F2, se obtiene
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Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
(
0 11 0
)
es una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion 2F1 + F2, se obtiene
E3 =
(
1 02 1
)
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Matrices Elementales
Definicion
Una matriz En×n se denomina elemental si se puede obtener apartir de la matriz identidad In al efectuar una sola operacionelemental en las filas.
Ejemplo
Consideremos I2 =
(
1 00 1
)
Al aplicar a I2 la operacion 3F2, se obtiene E1 =
(
1 00 3
)
es
una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion F1 ↔ F2, se obtiene
E2 =
(
0 11 0
)
es una matriz elemental.
Al aplicar a I2 la operacion 2F1 + F2, se obtiene
E3 =
(
1 02 1
)
es una matriz elemental.
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
(
0 11 0
) (
2 34 5
)
=
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
(
0 11 0
) (
2 34 5
)
=
(
4 52 3
)
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
(
0 11 0
) (
2 34 5
)
=
(
4 52 3
)
E3A =
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
(
0 11 0
) (
2 34 5
)
=
(
4 52 3
)
E3A =
(
1 02 1
) (
2 34 5
)
=
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
(
0 11 0
) (
2 34 5
)
=
(
4 52 3
)
E3A =
(
1 02 1
) (
2 34 5
)
=
(
2 38 11
)
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Ejemplo
Consideremos la matriz:
A =
(
2 34 5
)
Efectuemos las operaciones:
E1A =
(
1 00 3
) (
2 34 5
)
=
(
2 312 15
)
E2A =
(
0 11 0
) (
2 34 5
)
=
(
4 52 3
)
E3A =
(
1 02 1
) (
2 34 5
)
=
(
2 38 11
)
¿Que observa de especial?
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Teorema
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Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elementalE , el efecto es el mismo que hacer la operacion elemental que seaplico a la matriz I para obtener la matriz E .
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Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elementalE , el efecto es el mismo que hacer la operacion elemental que seaplico a la matriz I para obtener la matriz E .
Consideremos de nuevo E1 =
(
1 00 3
)
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cual matriz debemosmultiplicar E1?
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Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elementalE , el efecto es el mismo que hacer la operacion elemental que seaplico a la matriz I para obtener la matriz E .
Consideremos de nuevo E1 =
(
1 00 3
)
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cual matriz debemosmultiplicar E1?(
1 0
0 13
) (
1 00 3
)
=
(
1 00 1
)
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Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elementalE , el efecto es el mismo que hacer la operacion elemental que seaplico a la matriz I para obtener la matriz E .
Consideremos de nuevo E1 =
(
1 00 3
)
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cual matriz debemosmultiplicar E1?(
1 0
0 13
) (
1 00 3
)
=
(
1 00 1
)
Y tambien:
(
1 00 3
) (
1 00 1
3
)
=
(
1 00 1
)
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Teorema
Si una matriz A se multiplica a izquierda por una matriz elementalE , el efecto es el mismo que hacer la operacion elemental que seaplico a la matriz I para obtener la matriz E .
Consideremos de nuevo E1 =
(
1 00 3
)
Si queremos obtener de nuevo I2 ¿Por cual matriz debemosmultiplicar E1?(
1 0
0 13
) (
1 00 3
)
=
(
1 00 1
)
Y tambien:
(
1 00 3
) (
1 00 1
3
)
=
(
1 00 1
)
luego E−11 =
(
1 0
0 13
)
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Matrices Elementales
¿E2 =
(
0 11 0
)
es no singular?
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¿E2 =
(
0 11 0
)
es no singular?
¿E3 =
(
1 02 1
)
es no singular?
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¿E2 =
(
0 11 0
)
es no singular?
¿E3 =
(
1 02 1
)
es no singular?
Teorema
Toda matriz elemental es no singular y su inversa es tambien unamatriz elemental.
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Teorema
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Teorema
Si An×n son equivalentes las siguientes proposiciones:
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Teorema
Si An×n son equivalentes las siguientes proposiciones:
A es no singular.
AX = 0 solo tiene solucion trivial.
La forma escalonada reducida de A es In
A se puede expresar como producto de matrices elementales.
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = O
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O,
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O, luego B es no singular,
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe unamatriz M talque MB = BM = I ,
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe unamatriz M talque MB = BM = I ,por la unicidad de la inversa y lahipotesis M = A por lo que BA = I .
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe unamatriz M talque MB = BM = I ,por la unicidad de la inversa y lahipotesis M = A por lo que BA = I .
Nota
Si A y B no son cuadradas el corolario es falso:
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe unamatriz M talque MB = BM = I ,por la unicidad de la inversa y lahipotesis M = A por lo que BA = I .
Nota
Si A y B no son cuadradas el corolario es falso:
AB =
(
1 2 11 1 1
)
−1 11 −10 1
= I2
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Corolario
Si A y B ∈ Mn×n y AB = I , entonces BA = I .En particular, ambas A y B son no singulares y A = B−1 yB = A−1 .
Demostracion
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales BX = OABX = AO → X = O, luego B es no singular,entonces existe unamatriz M talque MB = BM = I ,por la unicidad de la inversa y lahipotesis M = A por lo que BA = I .
Nota
Si A y B no son cuadradas el corolario es falso:
AB =
(
1 2 11 1 1
)
−1 11 −10 1
= I2
Pero BA 6= I3
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Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
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Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I ] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
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Matrices Elementales
Algoritmo para determinar la inversa
[A | I ] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
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Algoritmo para determinar la inversa
[A | I ] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
Encontrar la inversa de la matriz (si existe).
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Algoritmo para determinar la inversa
[A | I ] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
Encontrar la inversa de la matriz (si existe).
1
2 6 62 7 62 7 7
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Algoritmo para determinar la inversa
[A | I ] ∼ . . . ∼ [I | A−1]
Ejercicio
Encontrar la inversa de la matriz (si existe).
1
2 6 62 7 62 7 7
2
−1 3 −42 4 1−4 2 −9
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Ejercicio
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Ejercicio
Encontrar una matriz X de tamano apropiado tal que:
2 1 02 −1 30 1 1
X
t
+
−3 1 −1−3 −1 23 1 −2
=
1 0 21 −1 3−2 1 0
t
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