Materia IO2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

EJERCICIOS RESUELTOS EN CLASEMÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTEEJEMPLO Nº.- 1

La panadería Grani’s con sus 3 sucursales en la dolorosa, la circunvalación, y plaza de toros, oferta 30, 40 y 10 unidades de pan que serán distribuidos en la condamine, el TÍA, el AKÍ y el SUPERMAXI cuya demanda son de 20, 10, 30 y 20 unidades de pan respectivamente, los precios se reflejan en la siguiente tabla:

ORIGENDESTINOS

OFERTACONDAMINE TÍA AKÍ SUPERMAXI

DOLOROSA20 10

30

CIRCUN.30 10

40

PLAZA DE T.10

10

DEMANDA 20 10 30 20 80

Z= 240+ 80+ 270+ 120+ 100Z= 810

EJEMPLO Nº.- 2

ORIGENDESTINOS

OFERTAA B C D E

1100 100

200

2100 100

200

3100

100

4100 100 100

300

DEMANDA 100 200 300 100 100 800

Z= 200+ 600+ 100+ 300+ 600+ 400+ 300+ 200

Z= 2700

YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A”

84812

5 7 9 12

10 2 7 10

2

3

5

9

6

1

4

5

2

3

6

4

12

2

8

3

5

10

5

2



MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

Da una solución factible y para eso se debe aplicar el algoritmo.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN

1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.

2. Seleccione la fila o la columna con la mayor penalización.3. De la fila o columna de mayor penalización escoja la celda con el menor

costo y asigne la cantidad posible de unidades.4. Si queda sin factorar una fila o columna deténgase.5. Si queda sin factorar una fila o columna con oferta o demanda positiva

aplique el método de costo mínimo y termine.6. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen oferta o

demanda 0, determine las variables básicas cero utilizando el método de costo mínimo y termine.

7. Si no se presenta ninguno de los dos casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas o demandas se hayan agotado.

EJEMPLO Nº.- 1

ORIGENDESTINOS

OFERTAP.SUCRE P.MALDONAD

OP.INFANTIL P.BELLAVISTA

ÁNGEL 300

MATEO 100

CARLOS 200

DEMANDA 50 100 300 150 600

ORIGENDESTINOS



ÁNGEL 300

300

MATEO 100

100

CARLOS50 150

200

DEMANDA 50 100 300 150 600


541

3312

6 510 11

10 9 114

51

33

6 510 11

10 9 11 4

124



Z= 1200+ 500+ 500+ 600 M+ n- 1Z= 2800 3+ 4- 1< 6

6<6

EJEMPLO Nº.- 2

ORIGENDESTINOS



SOFÍA 360

JÉSSICA 480

ANITA 520

DEMANDA 170 320 410 460 1360

ORIGENDESTINOS



SOFÍA170 190

360

JÉSSICA 320 160

480

ANITA250 270

520

DEMANDA 170 320 410 460 1360

Z= 1360+ 1140+ 3840+ 2720+ 3250+ 1890Z= 14200EJEMPLO Nº.- 3

ORIGENDESTINOS

OFERTAAHORRO CORRIENTE ESPECIAL

CONDAMINE

1010

CACHA5 15

20

LA LIBERTAD 15 15

FICTISIA20

20

DEMANDA 15 30 20 65


61

33

1217 8

19 16 137

8

18

15

61

33

12 178

19 16 13 7

8

18

15

2

3

1

0

3

5

4

1

2

1

0 0



Z= 20+ 15+ 75+ 60

Z= 170

ORIGENDESTINOS

OFERTAAHORRO CORRIENTE ESPECIAL

CONDAMINE

1010

CACHA20

20

LA LIBERTAD15

15

FICTISIA20

20

DEMANDA 15 30 20 65

Z= 30+ 100+ 15

Z= 145

MÉTODO DE ASIGNACIÓN

EJEMPLO Nº.- 1

ORIGENDESTINOS

GUANO PENIPE COLTA PALLATAN.SAN

ALFONSO

DOLOROSA

BELLAVISTA

LA MERCED

REDUCCIÓN DE FILAS

0 2 3 16 1 0 66 2 0 85 4 0 8


2

3

1

0

3

5

1

2

1

0 0

4

3

8

7

9

5

3

3

8

6

2

1

4

4

8

9

2



Z= 4+ 3+ 1+ 9

Z= 17

EJEMPLO Nº.- 2

GUANO PENIPE COLTA PALLATANGA

SAN ALFONSO

8 12 13 9

DOLOROSA 5 3 14 7

BELLAVISTA

6 4 11 8

LA MERCED 10 15 9 5

REDUCCIÓN DE FILAS

0 4 5 12 0 11 42 0 7 45 10 4 0


0 6 8 01 0 0 01 1 0 25 3 0 2

REDUCCIÓN DE COLUMNAS

0 1 3 0

6 0 0 5

6 1 0 7

5 3 0 7


0 4 1 12 0 7 42 0 3 45 10 0 0



0 0 1 25 12 0 0

Z= 9+ 3+ 6+ 9

Z= 27

EJEMPLO Nº.- 3

EJEMPLO Nº.- 4


0 6 0 00 0 4 10 0 0 16 13 0 0


0 6 2 05 3 0 73 0 1 50 3 5 6



A B C D

1 9 6 7 12

2 10 9 18 8

3 12 12 13 6

4 17 16 11 15

9 12 11 6

8 9 0 10

6 6 5 12

1 2 7 3

REDUCCIÓN DE FILAS

3 6 5 08 9 0 101 1 0 70 1 6 2

Z= 12+ 18+ 12+ 17

Z= 59

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES

Este método comienza en una solución inicial factible (como el que produce el MEN, MAV, MCM) en cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta que no se haya usado actualmente. En cada cambio de ruta se debe cumplir que:

1. La solución siga siendo factible2. Que mejore el valor de la función objetivo



3 5 5 08 8 0 101 0 0 70 0 6 2



El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la función.

Problema degenerado.- Cuando una solución factible usa menos de m+n-1 rutas.

Callejón sin salida.- No se encuentran trayectorias apropiadas.

ALGORITMOS:

1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM), para crear una trayectoria única del paso secuencial, usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la solución cada ruta no usada.

2. Si todos los costos marginales no son iguales o mayores a cero, terminar, se tendrá la solución óptima. Sino elegir la celda que tenga el costo marginal más negativo (empates, se resuelve arbitrariamente).

3. Usando la trayectoria del paso secuencial determine el número máximo de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajusta la selección adecuadamente.

4. Regrese al paso 1.

EJEMPLO Nº.- 1

A B C D OFERTA

1 400

2 600

3 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

A B C D OFERTA

1300 100

400

2 600 600

3100 200 400

700


6

12 49

4

13

10

6

12

4

1011

6

12 49

4

13

10

6

12

4

1011



DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 3600+ 1300+ 2400+ 900+ 2400+ 1600

Z= 12200 MEN

A B C D OFERTA

1200

200 400

2 600 600

3 100200 400

700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600

Z= 10.000 MCM

A B C D OFERTA

1 200200

400

2 600 600

3 300200 200

700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 800+ 1200+ 2400+ 3000+ 1800+ 800

Z= 10.000 MAV

PASOS SECUENCIALES

A B C D OFERTA

1300 100

400

2 600 600


6

12 49

4

13

10

6

12

4

1011

6

12 49

4

13

10

6

12

4

1011

6

4

13

10

6

12

4

1011



3100 200 400

700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

A B C D OFERTA

1200 0

200 400

2 600 600

3 100200 400

700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600

Z= 10.000

EJEMPLO Nº.-2

A B C D OFERTA

1300

400

2 300 400 100 600

3 600100

700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 2100+ 2700+ 4400+ 6000+ 4200

Z= 14.000 PS

MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA


6

12 49

4

13

10

6

12

4

1011

7

9 518

11

15

7

9

12

14

613



El método MODI ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basados en valores de las variables de decisión del modelo, pero añadido a esto también nos indica la celda no básica en la cual se deben realizar los ajustes para obtener una mejor solución.

EJEMPLO Nº.-1

A B C OFERTA

1250 150

400

2200 100

300

3700

700

DEMANDA 250 350 800 1400

A B C OFERTA

1100 20

400

2130 170

300

3130

700

DEMANDA 250 350 800 1400

Z= 4720

A B C OFERTA

1120

400

2100 30 170

300

3130

700

DEMANDA 250 350 800 1400

Z= 4220

EJEMPLO Nº.-2

1 2 3 4 OFERTA

A400 100

500

B 700 700


11

7

9

14

6

918

1512

11

7

9

14

6

918

1512

11

7

9

14

6

918

1512

6

4

13

10

6

12

4

1011



C100 200 500

800

DEMANDA 400 900 200 500 1700

Z= 14.200 MEN

A B C D OFERTA

1300

200 500

2 700 700

3 100200 500

800

DEMANDA 400 900 200 500 1700

COSTOS MARGINALES

U 1+V 1=12U 1+V 2=13U 2+V 2=4U 3+V 2=9U 3+V 3=12U 3+V 4=4

U 1=0 V 1=12 U 2=−9 V 2=13U 3=−4 V 3=16

V 4=8

CM= Cij- (Ui+ Vj)

eA 3=4−(U 1+V 3 ) eA 3=4−(0+16 )eA 3=−12

eA 4=6−(U 1+V 4 )eA 4=6−(0+8 )eA 4=−2

eB1=6− (U 2+V 1 )eB1=6− (−9+12 )eB1=3

eB3=10− (U 2+V 3 )eB3=10− (−9+16 )eB3=3


12 49

7

9 518

11

15

7

9

12

14

613



eB 4=11− (U 2+V 4 )eB 4=11− (−9+8 )eB 4=12

eC 1=10−(U 3+V 1 )eC 1=10−(−4+12 )eC 1=2

COSTOS MARGINALES

U 1+V 1=12U 1+V 3=4U 2+V 2=4U 3+V 2=9U 3+V 3=12U 3+V 4=4

U 1=0 V 1=12 U 2=3 V 2=1U 3=8 V 3=4

V 4=−4

CM= Cij- (Ui+ Vj)

eA 2=13−(U 1+V 2 ) eA 2=13−(0+1 )eA 2=12

eA 4=6−(U 1+V 4 )eA 4=6−¿eA 4=10

eB1=6− (U 2+V 1 )eB1=6− (3+12 )eB1=−9

eB3=10− (U 2+V 3 )eB3=10− (3+4 )eB3=3

eB 4=11− (U 2+V 4 )eB 4=11− (3−4 )eB 4=12

eC 1=10−(U 3+V 1 )eC 1=10−(8+12 )eC 1=−10

COSTOS MARGINALES

U 1+V 1=12U 1+V 3=4U 2+V 2=−4U 3+V 1=10U 3+V 2=9U 3+V 4=4




U 1=0 V 1=12 U 2=−7 V 2=11U 3=−2 V 3=4

V 4=6

CM= Cij- (Ui+ Vj)

eA 2=13−(U 1+V 2 ) eA 2=13−(0+11 )eA 2=2

eB1=6− (U 2+V 1 )eB1=6− (0+6 )eB1=1

eB3=10− (U 2+V 3 )eB3=10− (−7+4 )eB3=13

eB 4=11− (U 2+V 4 )eB 4=11− (−7+6 )eB 4=12

eC 3=12−(U 3+V 3 )eC 3=10−(−2+4 )eC 3=10

Z= 12.000

MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO

El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping Stone o

método del paso a paso es un método que nos ayuda a calcular cuál será la

variación del costo mínimo, además a buscar la solución óptima de un

problema de transporte solucionado por algunos de los métodos (VOGEL,

COSTO MÍNIMO, ESQUINA DEL NOROESTE, entre otros).

Este método parte de una solución inicial y mediante interacciones (procesos

aritméticos) busca mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de

partida es la más desfavorable en términos económicos, el procedimiento se

hará más dispendioso pues implica más interacciones hasta aproximarse a la

solución óptima. Por tal motivo entre más acertada sea la solución de la que

partiremos, resultará más confiable la solución óptima que resultará de

nuestros procedimientos.




EJEMPLO Nº.-1

A B C D OFERTA

1 15

2 25

3 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

A B C D OFERTA

1 510

15

2 515

5 25

3 5 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

Z= 410

A B C D OFERTA

1 015

15

2 015

10 25

3 5 0 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

Z= 335

A B C D OFERTA


11

16 18

14

7

0

0

12

10 20

9

0

11

16 18

14

7

0

0

12

10 20

9

0

11

16 18

14

7

0

0

12

10 20

9

0

11

16 1814

7

0

12

10 20



1 5 10 15

2 1015

0 25

3 5 0 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

Z= 315

PROGRAMACIÓN LINEAL

a) x3

b) x2

c) x2− yd) X− y

Circunferencia con coeficientes

(X−h)2+(Y−k )2=r2

EJEMPLO Nº.-1

X2+7 X+¿ y2+9 y−3=0

(X2+7 X+ 494 )+( y2−9 y+ 814 )=3+ 494 + 81

4

(X+ 72 )+( y−92 )=712

C (−72 + 92 )

2 X+3 y=5 2 X+3 y−5=0

d=|ax+by+c√a2+b2 |YAMBAY JOSSELIN SEXTO SEMESTRE “A”

0

9

0



d=|2 (−3 )+3 (4 )−5√4+9 |

d= 1

√13Distancia entre dos puntos:

d=√( X1−X 2 )2+ ( y1− y2 )2

d=√(−3−5 )2+(4−7 )2

d=√64+9d=8.5Distancia de un punto a la recta

PENDIENTE

y 1− y 2X 1−X 2

m=7−45+3

m=38

PUNTO

y− y1=m ( x−x 1 )

y−4=38

( x+3 )

8 y−32=3 x+98 y−32=3 x+93 x−8 y+41=0 ECUACIÓN

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

La programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento que minimiza una función cuadrática de n variables lineales de igualdad o de desigualdad.

EJEMPLO Nº.-1

MINIMIZAR:

Z= ( x1−2 )2+ ( x2+2 )2

S.a. X 1+2 X 2≤3 8X 1+5 X 2≥10Xi≥0




X 1+2 X 2=32 X 2=−X1+3X 2=−X 1−13

2X 2=−1

2X+32

PENDIENTE

m=−12

y=mx+bm 1.m 2=−1−12.m2=−1m 2=2

y− y1=m ( x−x 1 )X 2−2=2 ( x−2 )X 2−2=2 X−42 X−X 2=2PERPENDICULAR

2 X 1−X 2=2X 1+2 X 2=34 X 1−2 X 2=4X 1+2 X 2=35 X 1=7X 1=75

X 1+2 X 2=375+2 X2=32 X 2=3−7

5 X 2=3−752

X 2= 45

X 1 ; X 2P (1,4 ;0,8 )

Z=(X 1−2 )2+(X 2−2 )2Z=( 75−2)2

+( 45−2)2

Z=95Z=1,8

EJEMPLO Nº.-2

MINIMIZAR: La función:

Z= −6 X 1−13 X2−(X 1 X2 )−4 X12−4 X22

S.a. X 3=0X 4=0X 2=20 X 1+X 2=23

X 1+20=23X 1=23−20X 1=3

Z= −6 X 1−13 X2−(X 1 X2 )−4 X12−4 X22

Z= −6 (3)−13(20)−(3.20 )−4 (3)2−4(20)2

Z= −18−260−60−36−1600Z= −1974




ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN

El método de Bronch and Bound o de ramificación o acotamiento es un

algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera sin

embargo es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que ver

éste como si fuese un modelo de programación lineal luego generar cotas en

caso que al menos una variable de decisión adopte un valor fraccionario.

El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que

favorecen la obtención de variables enteros para las variables de decisión. En

este contexto resolver el modelo lineal asociado o un modelo de programación

entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del

modelo entero.

Ejercicio N°.-1

Maximizar z= 3x1+4x2

S.a. 2x1+x2≤6

2x1+3x2≤9

Xi ≥ 0, enteros.

2x1+x2=6 2x1+3x2=9


x1 x2

0 6

3 0

x1 x2

0 3

4.5 0



2x1+x2=6 2x1+x2=6-2x1-3x2=-9 2x1+ (1.5)=6

-2x2=-3 2x1 = 6-1.5x2=1.5 x1=2.25

z= 3x1+4x2

z= 3(2.25)+4(1.5)z=12.75




MODELOS DE REDES

EJEMPLO Nº.-1

Almacenes Buen Hogar distribuye sus artículos en 5 ciudades por lo regular

disponen de 10 artículos INSITU, estos artículos deben ser enviados a dos

locales de construcción designados con el número 3 y 4. En el local 3 se

necesita 3 artículos y 7 en el otro local. Elabore:


x1 ≤2 x1 ≥3

X2 ≥2X2 ≤1

x1 ≤1

X2 ≤1

x1 ≥2

X2 ≥2



1. Diagrama de red

2. Diagrama de capacidades y costos agregados

3. La formulación del PL de este problema

4. La matriz de incidencia (NODO- ARCO)

5. Elabore la tabla de transporte

MIN:Z= C12.X12+ C23X23+ C24X24+ C25X25+ C34X34+ C43X43+ C53X53+ C54X54S.a.+X12 =10-X12 +X23 +X24 +X25 =0 -X23 +X34 -X43 -X53 =-3 -X24 -X34 +X43 -X54 =-7 -X25 +X53 +X54 =0 0<=Xij<=Uij

ARCOVALOR

1,2 2,3 2,4 2,5 3,4 4,3 5,3 5,4

1 1 0 0 0 0 0 0 0 10

2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0

3 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -3

4 0 0 -1 0 1 1 0 -1 -7




5 0 0 0 -1 0 0 1 1 0

DESITNO

ORIGEN 3 4 OFERTA

1 10

DEMANDA 3 7 10

PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA

Se refiere a una red en la que cada arco (i, j) tome asociado un número C y que

se interpreta como la distancia que hay entre los NODOS. El objetivo consiste

en encontrar las rutas más cortas entre un NODO específico y todos los demás

NODOS de la red.

PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO

La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red con un costo mínimo, esto se conoce como árbol expandido mínimo, como sabemos in árbol es el conjunto de (n- 1) arcos- pasos, en una red con n nodos que conecta todo par de nodos.

ALGORITMO GLOTÓN

Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple existen dos formas que son:

Método Gráfico

1. Comience en cualquier NODO, escoja el arco más barato que parta de ese NODO, este es su primer enlace y se conoce como segmento de conexión entre dos NODOS, los NODOS restantes se llaman NODOS desconectados.

2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los NODOS desconectados, seleccione el más económico como siguiente enlace, rompa arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo NODO al segmento de conexión repita entre paso hasta que todos los NODOS estén conectados, es decir, requiere de (n- 1) pasos.


P13P14



Método Tabular

1. Empiece arbitrariamente con cualquier NODO, se designa este NODO como conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a este NODO, tache el índice de la columna que corresponde a él.

2. Considere todas las cifras que tengan el visto busque el valor mínimo en las columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en un círculo, si existen empates rompa arbitrariamente la columna que tenga ese elemento encerrado en un círculo designe al nuevo NODO conectado, se tacha el índice de la columna y coloque una marca correspondiente a este NODO, repita este paso hasta cuando todos los NODOS estén conectados.

3. Una vez que todos los NODOS hayan sido conectados identifique el árbol de expansión mínima mediante los elementos que están encerrados en el círculo.

Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor selección posible este es uno de los pocos problemas de a Ciencia Administrativa donde se garantiza que el algoritmo glotón nos dará la solución óptima.

EJEMPLO Nº.-1

MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO TABULAR

HACIADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4 1

2 4 6 3

3 6 6 7

4 6 1


1211109

8765

4321



5 1 4 9

6 3 4 5 7

7 7 5 2 2

8 1 2 2

9 9 5

10 7 5 3

11 2 3 1

12 2 1

El NODO 1 Se conecta 5 con

1

2 3 65 6 46 2 36 7 57 8 27 11 28 4 110 9 511 10 311 12 1

ESQUEMA FINAL

FLUJO MÁXIMO.- Aquí encontramos un solo NODO FUENTE y un solo NODO destino. El objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad del flujo total que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo, la cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitada por las restricciones de capacidad.

FLUJO FACTIBLE

1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.


1211109

8765

4321



2. El flujo en cada NODO debe satisfacer la condición de conservación.3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de

un camino, es igual o menor de las capacidades de los arcos de dicho camino.

EJEMPLONº.-1




EJEMPLO Nº.-2


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Materia IO2