18
Bab 2. LIMIT 2.1. Dua masalah fundamental kalkulus. 2.2. Garis Tangen 2.3. Konsep Limit 2.4. Teorema Limit 2.5. Konsep kontinuitas

materi limit kuliah mahasiswa limit

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: materi limit kuliah mahasiswa limit

Bab 2. LIMIT

2.1. Dua masalah fundamental kalkulus.2.2. Garis Tangen2.3. Konsep Limit2.4. Teorema Limit2.5. Konsep kontinuitas

Page 2: materi limit kuliah mahasiswa limit

Dua Masalah Fundamental Kalkulus• Masalah 1 (Masalah Tangen): Diberikan sebuah titik P(x,f(x)) pada kurva y=f(x),

bagaimana menentukan kemiringan garis tangen pada P?

• Masalah 2 (Masalah Luas): Jika f(x) 0 untuk x[a,b], bagaimana

menghitung luas daerah A yaitu suatu bidang yang berada diantara kurva y=f(x) dan sumbu-x sepanjang selang [a,b]?

Page 3: materi limit kuliah mahasiswa limit

Grafik f(x)=(x-2)2

Page 4: materi limit kuliah mahasiswa limit

2.2. Garis Tangen• Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan

garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).

• Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x) dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):

).0(,)()(

hh

afhafxymPQ

hafhafm

h

)()(lim0

Page 5: materi limit kuliah mahasiswa limit

2.3 Konsep Limit

Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg

membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,Lxf

ax

)(lim

Page 6: materi limit kuliah mahasiswa limit

Contoh

1. 54

64lim 2

2

2

xxx

x

0.82 8.02

0.800042.001 79996.0999.10.803922.1 7959.09.1

81818.05.2 7778.05.183333.03 75.01

)()(

xfxxfx

Page 7: materi limit kuliah mahasiswa limit

64)( 2

2

xx

xxf

Page 8: materi limit kuliah mahasiswa limit

• Hitung )(lim0

xfx

0 if10 if1

||)(.2

0 if00 if1

)(.1

xx

xxxf

xx

xf

Page 9: materi limit kuliah mahasiswa limit

Hukum2 Limit:

Pecahan) (Hk..0 jikaasalkan )(lim

)(lim

)()(lim4.

Perkalian) (Hk. )](lim)][(lim[)]()([lim.3

n)Penjumlaha Hk.()](lim[)](lim[)]()([lim 2.

maka )(limdan )(lim adaberikut limit Jika

.Konstanta) (Hk. lim .1

MML

xg

xf

xgxf

LMxgxfxgxf

MLxgxfxgxf

MxgLxf

CC

ax

ax

ax

axaxax

axaxax

axax

ax

Page 10: materi limit kuliah mahasiswa limit

Komposisi)Limit tusi/ (Hk.Substi).())(lim())((lim

maka )()(limdan )(limMisalkan .6

(Hk.Akar).lim

maka genap, nilaiuntuk 0 jikadan positifbulat bilangan suatu Jika 5.

Lfxgfxgf

LfxfLxg

ax

nan

axax

Lxax

nn

ax

Page 11: materi limit kuliah mahasiswa limit

2.4. Teorema2 Limit1. Teorema Limit trigonometri:

2. Hukum Apit: Misalkan f(x) g(x) h(x) untuk semua x disekitar a namun x a, dan

maka

1sinlim0

x

xx

)(lim)(lim xhLxfaxax

Lxgax

)(lim

Page 12: materi limit kuliah mahasiswa limit

cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)

1)sin(lim maka ,)cos(

1lim1)cos(lim000

x

xx

xxxx

Page 13: materi limit kuliah mahasiswa limit

Contoh

.01sinlim Tunjukkan 2

0x

xx

0dan 11sin1,0Untuk 2 xx

x

222 1sin xx

xx

Apit). Prinsipan (menggunak 01sinlim maka

0limdan 0)lim( karena

2

0

2

0

2

0

xx

xx

x

xx

Bukti:

Page 14: materi limit kuliah mahasiswa limit

• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)

• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)

• Teorema 2:

jika dan hanya jika

Lxfax

)(lim

Lxfax

)(lim

)(lim)(lim xfLxfaxax

Lxfax

)(lim

Page 15: materi limit kuliah mahasiswa limit

Contoh

ada tidak )(lim Maka

. .2)2(lim)(lim ,0Untuk

. .11lim)(lim,0Untuk

.0,20,1

)(

0

00

00

xf

xfx

xfxxx

xf

x

xx

xx

kirilimit

kananlimit

Page 16: materi limit kuliah mahasiswa limit

Contoh2 limit

later. discussed - examplesuch for limits sided-one Need

exist.not does )( lim0,1

0,1)( (4)

exist.not does 1 lim (3)

.0|| lim (2)

.211)1( lim (1)

0

20

0

22

1

xfx

xxf

x

x

x

x

x

x

x

Page 17: materi limit kuliah mahasiswa limit

.633)3(lim39lim

Jadi

.3untuk , 33

)3)(3(39)(

Tetapi

.erdefinisi tidak t)3(39)( Disini

;39lim (5)

3x

2

3x

2

2

2

3x

xx

x

xxx

xxx

xxf

fx

xxf

xx

Page 18: materi limit kuliah mahasiswa limit

• Definisi Limit. Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R,

ditulis

jika dan hanya jika, untuk  > 0, terdapat  > 0 sedemikian sehingga jika

0 < |x - a| <  maka |f(x) - L| < .

Lxfax

)(lim