28
ALJABAR FUNGSI KUADRAT ALJABAR FUNGSI KUADRAT Dosen Pembimbing: DRA. CECIL HILTRIMARTIN, M.SI. DRA. NYIMAS AISYAH, M.PD Disusun oleh: Siti Anisa Putri Utami (06081381419053) Oriza zativa (06081381419054) I Putu Satya Yoga (06081381419055) UNIVERSITAS SRIWIJAYA Fungsi Kuadrat - 1 -

Materi Aljabar Fungsi Kuadrat

Embed Size (px)

Citation preview

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

ALJABARFUNGSI KUADRAT

Dosen Pembimbing:

DRA. CECIL HILTRIMARTIN, M.SI.

DRA. NYIMAS AISYAH, M.PD

Disusun oleh:

Siti Anisa Putri Utami (06081381419053)Oriza zativa (06081381419054)I Putu Satya Yoga (06081381419055)

UNIVERSITAS SRIWIJAYAFKIP MATEMATIKA

2014/2015

Fungsi Kuadrat - 1 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Fungsi Kuadrat

A.Fungsi Kuadrat

1. Definisi

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita melihat dua besaran yang

saling bergantung. Misalkan posisi benda bergantung pada waktu, harga barang

bergantung pada jumlah barang yang tersedia dan lain sebagainya. Hubungan

antara dua besaran dengan sifat khusus disebut sebagai fungsi.

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya

adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi

kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:f ( x )=ax 2+bx+c , dengan a ,b , c

suatu bilangan real dan a≠0 . Contoh : 2 x2+7 x+6 .

2. Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x )=ax 2+bx+c maka

langkah langkah yang ditempuh adalah

Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x

Grafik akan memotong sumbu x jika f ( x )=0 , maka :

ax 2+bx+c=0 , dengan akar akarnya x1 dan x2 , dan D=bc2−4 ac

adalah diskriminan bentuk kuadratnya.

Jika D>0 maka grafik memotong sumbu x di dua titik yang

berlainan, yaitu ( x1 ,0) dan ( x2 ,0) .

Jika D=0 maka grafik memotong sumbu x di suaatu titik atau

menyinggung sumbu x di titik ( x , 0 ).

Fungsi Kuadrat - 2 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Jika D<0 maka grafik tidak memotong sumbu x

Tentukan titik potong grafik di sumbu y .

Grafik akan memotong sumbu y jika x=0 , maka

y= f (0 )=a. 02+b . 0+c=c .

Titik potong grafik fungsi kuadrat f ( x )=ax 2+bx+c dengan sumbu

y adalah (0 , c ) .

Tentukan persamaan sumbu simetri grafik

Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat f ( x )=ax 2+bx+c adalah

x=− b2 a

Tentukan titik puncak atau titik balik grafik fungsi kuadrat.

(−b2 a

,−D4 a )atau (−b

2 a, f (−b

2 a )).

Jika a>0 , jenis titik baliknya adalah titik balik minimum dan

parabola terbuka keatas.

Jika a<0 , jenis titik baliknya adalah titik balik maksimum dan

parabola terbuka kebawah.

Pilihlah beberapa titik pada parabola yang perlu, agar grafik lebih

mulus. Tetapkan beberapa titik yang perlu kemudian dicerminkan

(direfleksikan) terhadap sumbu simetrinya. Misalkan titik (0,c)

dicerminkan terhadap sumbu simetri x=− b

2 a di peroleh bayngan titik

(2(−b 2 a )−0 , c )=(−ba

, c) .

Menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat.

Fungsi Kuadrat - 3 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Setelah titik digambarkan dalam sisitem koordinat cartesius, kemudian

hubungkan titik tadi sehingga diperoleh kurva atau grafik fungsi

kuadrat yang mulus dengan persamaan y=ax2+bx+c .

Contoh Soal :

1. Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat berikut

a . y=2 x2;b . y=12

x2

Penyelesaian

a. y=2 x2

ambil beberapatitik

X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 50 32 18 8 2 0 2 8 18 3 50

Gambarka titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian hubungkan dengan

garis lengkung

Fungsi Kuadrat - 4 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Fungsi Kuadrat - 5 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

b. y=12

x2

ambil beberapatitik

X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 12,5 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5

Gambarkan titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian

hubungkan dengan garis lengkung

Fungsi Kuadrat - 6 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Beberapa sifat grafik fungsi kuadrat

1. y=x2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Kurva diatas memiliki simetri. Nilai nilai x yang positif dan negatif

menghasilkan nilai y yang sama. Oleh karena itu, jika kurva tersebut

dilipat pada sumbu y, kedua bagian kurva tersebut, titik demi titik akan

berhimpitan.

Oleh karena itu, kurva dikatakan simetris di sumbu y, sumbu y disebut

sumbu simetris

Nilai maksimum kurva tersebut adalah 0 di titik asal. Kurva tersebut

dikatakan memiliki titik balik di titik asal.

Kemiringan kurva tidak tetap, seperti yang terjadi pada garis lurus,

melainkan meningkat dari titik ketitik berswama dengan semakin

besarnya nilai x.

Kurva tersebut dapat digunakan untuk menghitung kuadrat setiap

bilangan dalam kisaran nilai yang diplotkan, dan juga sebaliknya,

untuk menghitung akar kuadrat. Misalkan untuk menghitung √3 ,

carilah titik pada kurva yang sepadan dengan 3 pada sumbu y .

Kemudian tampak bahwa terdapat dua titik pada sumbu x yang

Fungsi Kuadrat - 7 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

sepadan dengan 3, nilai nilai x (yaitu, ±√3 ) menjadi =1,73 dan -1,73,

karena √3 positif , nilainya kira kira 1,73

2. Grafik y=−x2

semua nilai y untuk kurva ini secara numeris sama dengan nilai y

dalam y=x2, tetapi negatif, bentuk kurva ini akan sama, akan tetapi

posisinya terbalik. Perhatikan gambar berikut

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3. Rumus Sumbu Simetri dan Titik Balik

Kali ini kita akan menentukan sumbu simetri dan titik balik pada fungsi

dengan bentuk f ( x )=ax 2+bx+c . Kita dapat mengubah bentuk fungsi menjadi

bentuk kuadrat sempurna, yaitu

Fungsi Kuadrat - 8 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

f ( x )=(ax2+bx )+c

f ( x )=a (x2+ba

x )+c

f ( x )=a (x+b2 a )

2+c−b2

4 a

f ( x )=a (x+b2 a )+b2−4 ac

−4 a

Seperti pada persamaan kuadrat, kita menuliskan D=b2−4 ac , maka fungsi

kuadrat tersebut dapat ditulis sebagai

f ( x )=a (x+ b2 a )

2

+ D−4 a

Berdasarkan hasil ini kita tahu bahwa sumbu simetri parabola x=− b

2a dan

koordinat titik balik adalah (− b

2 a, D−4 a )

.

4. Titik ekstrim fungsi kuadrat

Jika a>0 maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai

nilai minimum sebesar −D4 a , yang terjadi apabila

x=−b2 a . Pada kasus

ini diperoleh titik minimum (titik balik minimum atau titik puncak) dan

fungsi kuadrat adalah (−b

2 a,−D

4 a ).

Jika a<0 , maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai

nilai maksimum sebesar −D4 a , yang terjadi apabila

x=−b2a . Pada

kasus ini diperoleh titik maksimum ( titik balik atau titik puncak) dan

fungsi kuadrat adalah (−b

2 a,−D

4 a ).

Fungsi Kuadrat - 9 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Metode diferensial

Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi kuadrat dapat digunakan metode

diferensial. f ( x )=ax 2+bx+c→ f ' ( x )=2ax+b

Nilai stasioner dicapai jika f ' ( x )=0 maka 2 ax+b=0⇔ x=−b

2a , yaitu

f ''( x )=2a

Jika f ''(−b

2 a )>0 maka fungsi f memiliki nilai minimum untuk

x=−b2 a ,

yaitu ymin=f (−b

2a )=−D4 a .

Jika f ''(−b

2 a )<0 maka fungsi f memiliki nilai minimum untuk

x=−b2 a ,

yaitu ymin=f (−b

2a )=−D4 a

Contoh :

1. Cari persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim fungsi kuadrat

f ( x )=3 x2−8x+5 .

Penyelesaian

f ( x )=3 x2−8x+5 a=3 , b=−8 , dan c=5

Persamaan sumbu simetri :

x=−b2 a

x=−(−8)2 .3

=43

Fungsi Kuadrat - 10 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Karena a=3>0 maka nilai ekstrimnya adalah minimum.

y min =−D4 a

⇔ ymin=−(b2−4ac )4 a

ymin=−{(−8 )2−4 . 3 .5 }

=−(64−60)4 .3

=−13

Jadi, persamaan sumbu simetri : 43 dan nilai ekstrimnya adalah minimum

ymin=−13 .

5. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik A( x1 , 0 ) dan B( x2 ,0)

dan melalui titik M ( xm , ym) maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

y=f ( x )=a( x−x1)( x−x2)⇔ y=f ( x )=ym

(xm−x1 )( xm−x2) .

Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik A( x1 ,0 ) dan B(O ,0 )

dan melalui titik M ( xm , ym) maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

y=f ( x )=ym

xm( xm−x1)x ( x1−x2)

Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik A( x1 ,0 ) dan B( x2 ,0)

dan melalui titik M (O , ym ) maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

y= f ( x )=ym

x1 x2( x−x1 )( x−x2 )

Contoh :

1. Tentukanlah persamaan garis garis singgung pada parabola

y=2x2−16 x+24, yang melalui titik parabola itu dengan sumbu koordinat.

Fungsi Kuadrat - 11 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Penyelesaian

Titik potong parabola

y=2x2−16 x+24

y=x2−8 x+12

( x−6 ) ( x−2 )

x=6dan x=2

Untuk x=6

y=2x2−16 x+24

y=2 (6 )2−16 (6 )+24

y=2 (36 )−(96 )+24

y=72−96+24

y=0

m= y '=4 x−16

m=4 (6 )−16

m=24−16

m=8

y− y1=m ( x−x1 )

y−0=8 ( x−6 )

y=8x−48

Untuk x=2

y=2x2−16 x+24

y=2 (2 )2−16 (2 )+24

y=2 ( 4 )− (32 )+24

y=8−32+24

y=0

Fungsi Kuadrat - 12 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

m= y '=4 x−16

m=4 (2 )−16

m=8−16

m=−8

y− y1=m ( x−x1 )

y−0=−8 ( x−2 )

y=−8 x+16

Jadi persamaan garis garis singgungnya adalah y=8x−48dan

y=−8 x+16

2. Bentuklah persamaan garis singgung pada parabola y=3 x2−5 x , yang

membentuk sudut 45o dengan sumbu x. Tentukan pulalah garis singgung

pada parabola yang melalui titik O (0,0)

Penyelesian

a. Garis singgung parabola yang membuat sudut 45o dengan sumbu x

y=3 x2−5 x

m=tan 45o

m=1

y=3 x2−5 x

y '=m

y '=6 x−5

1=6 x−5

6 x=6

x=1

Fungsi Kuadrat - 13 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Substitusikan nilai x =1

y=3 x2−5 x

y=3¿

y=3−5

y=−2

y− y1=m ( x−x1 )

y− (−2 )=1(x−1)

y+2=x−1

y=x−3

Jadi persamaan garis singgung parabola y=3 x2−5 x yang membuat sudut

45o dengan sumbu x adalah y=x−3

b. Garis singgung pada parabola yang melalui titik O (0,0)

y=3 x2−5 x

y ,=m=6 x−5

Masukkan nilai y = 0

m=6 (0 )−5

m=−5

Persamaan garis yang melalui titik (0,0)

y=mx

y=−5 x

Jadi persamaan garis singgung parabola y=3 x2−5 x yang melalui titik

(0,0) adalah y=−5 x

Fungsi Kuadrat - 14 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

B.Hubungan Grafik dengan Pemecahan Persamaan

Kuadrat dan Ketidaksamaan

Apabila D<0 maka persamaan...

ax2+bx+c=0 Mempunyai akar akar immaginer

Sedangkan pertidaksamaan

ax2+bx+c<0

Tidak akan dipenuhi harga manapun yang diberikan x jika a>0

Akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x jika a<0

Fungsi Kuadrat - 15 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

D<0 , a>0

Fungsi Kuadrat - 16 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

D<0 , a<0

Dalam grafik pertama, parabola seluruhnya terletak diatas sumbu x, dan pada

grafik kedua parabola seluruhnya terletak dibawah sumbu x

Apabila D=0 maka persaamaan

ax2+bx+c=0 mempunyai dua akar real yang sama dan grafiknya

menyinggung sumbu x

Sedangkan pertidaksamaan

ax2+bx+c<0

Tidak akan memenuhi harga apapun yang diberikan x, jika a>0.

Sebaliknya ketidaksamaan tersebut akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x kecuali

oleh x=−b2 a , jika a<0.

Fungsi Kuadrat - 17 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

D=0, a>0

Fungsi Kuadrat - 18 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

D=0 , a<0

Dari ketua grafik diatas dapat kita lihat kedua grafik menyinggung sumbu x

Apabila D>0 maka persamaan

ax2+bx+c=0 mempunyai dua akar real yang berbeda x1 dan x2 (x1<x 2) .

Untuk ketidaksamaannya

ax2+bx+c<0

Akan dipenuhi oleh x1<x<x 2 jika a>0

Dan ketidaksamaan akan terpenuhi oleh x<x1 atau oleh x2<x jika a<0

Fungsi Kuadrat - 19 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

x2+5 x+6 D>0 , a>0

Fungsi Kuadrat - 20 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

−x2−5 x−6 D>0 , a<0

Kedua grafik memotong sumbu x

Fungsi Kuadrat - 21 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

C.Latihan Soal

Soal

1. Persamaan garis singgung pada parabola y=0,5 x2−7 x+2 yang membentuk

sudut 45o dengan sumbu x, akan memotong garis y=9-2x pada koordinat ...

2. Jika Parabola f ( x )=x2−bx+7 puncaknya memiliki absis 4 maka

ordinatnya adalah ...

3. Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum, dan daerah nilainya dari

fungsi kuadrat y=x2+4 x−3 , dengan daerah asal {x|−3≤x≤1 } !

4. Jika fungsi f ( x )=px2−( p+1)x−6 mencapai nilai tertinggi x=−1 maka nilai p adalah ...

5. Tentukan nilai b agar grafik y=2 x2+bx+2 menyinggung sumbu x

6. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum −3 untuk x=2 , sedangkan untuk x=−2 fungsi berharga -11 maka fungsi tersebut adalah

7. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki pucak (1 ,−14 ) dan melalui (0 ,12) !

8. Tentukan harga m agar garis lurus y=mx−1 menyinggung parabola y=2 x2−3 x+7

9. Parabola yang melalui titik (1 ,11) ,(0,6 ), dan (−2,2 ) serta mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu y mempunyai titik puncak ...

10. Tentukan persamaan Parabola yang memiliki puncak (3 ,−4 ) dan melalui titik O (0,0) !

Fungsi Kuadrat - 22 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Kunci Jawaban

1. (13,-17)2. -93. nilai maksimum=2 , nilai minimum=−7 dan daerah hasilnya

{ y|−7≤ y≤2 }

4.−1

35. b=4

6.f ( x )=−1

2x2+2 x−5

7. f ( x )=2 x2−4 x−128. m=−39. (-2,2)

10.y= 4

3x2−8

3x

Fungsi Kuadrat - 23 -

ALJABAR FUNGSI KUADRAT

Daftar Pustaka

Budhi, Wono Setya. 2010. Matematika 1. Jakarta: CV Zamrud Kemala

K, Evi Janu. 2010. Swadidik ALJABAR. Bandung: Pakar Raya

Tampomas, Husein. 2003. Sukses Ulangan dan Ujian Himpunan dan Fungsi Kuadrat. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia

Umar, Teuku. 1963. Aldjabar Rendah Djilid II. Jakarta: Pradnjaparamita

Fungsi Kuadrat - 24 -