Upload
sriwijaya-university
View
1.026
Download
13
Embed Size (px)
Citation preview
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
ALJABARFUNGSI KUADRAT
Dosen Pembimbing:
DRA. CECIL HILTRIMARTIN, M.SI.
DRA. NYIMAS AISYAH, M.PD
Disusun oleh:
Siti Anisa Putri Utami (06081381419053)Oriza zativa (06081381419054)I Putu Satya Yoga (06081381419055)
UNIVERSITAS SRIWIJAYAFKIP MATEMATIKA
2014/2015
Fungsi Kuadrat - 1 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
A.Fungsi Kuadrat
1. Definisi
Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita melihat dua besaran yang
saling bergantung. Misalkan posisi benda bergantung pada waktu, harga barang
bergantung pada jumlah barang yang tersedia dan lain sebagainya. Hubungan
antara dua besaran dengan sifat khusus disebut sebagai fungsi.
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya
adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi
kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:f ( x )=ax 2+bx+c , dengan a ,b , c
suatu bilangan real dan a≠0 . Contoh : 2 x2+7 x+6 .
2. Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x )=ax 2+bx+c maka
langkah langkah yang ditempuh adalah
Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x
Grafik akan memotong sumbu x jika f ( x )=0 , maka :
ax 2+bx+c=0 , dengan akar akarnya x1 dan x2 , dan D=bc2−4 ac
adalah diskriminan bentuk kuadratnya.
Jika D>0 maka grafik memotong sumbu x di dua titik yang
berlainan, yaitu ( x1 ,0) dan ( x2 ,0) .
Jika D=0 maka grafik memotong sumbu x di suaatu titik atau
menyinggung sumbu x di titik ( x , 0 ).
Fungsi Kuadrat - 2 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Jika D<0 maka grafik tidak memotong sumbu x
Tentukan titik potong grafik di sumbu y .
Grafik akan memotong sumbu y jika x=0 , maka
y= f (0 )=a. 02+b . 0+c=c .
Titik potong grafik fungsi kuadrat f ( x )=ax 2+bx+c dengan sumbu
y adalah (0 , c ) .
Tentukan persamaan sumbu simetri grafik
Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat f ( x )=ax 2+bx+c adalah
x=− b2 a
Tentukan titik puncak atau titik balik grafik fungsi kuadrat.
(−b2 a
,−D4 a )atau (−b
2 a, f (−b
2 a )).
Jika a>0 , jenis titik baliknya adalah titik balik minimum dan
parabola terbuka keatas.
Jika a<0 , jenis titik baliknya adalah titik balik maksimum dan
parabola terbuka kebawah.
Pilihlah beberapa titik pada parabola yang perlu, agar grafik lebih
mulus. Tetapkan beberapa titik yang perlu kemudian dicerminkan
(direfleksikan) terhadap sumbu simetrinya. Misalkan titik (0,c)
dicerminkan terhadap sumbu simetri x=− b
2 a di peroleh bayngan titik
(2(−b 2 a )−0 , c )=(−ba
, c) .
Menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat.
Fungsi Kuadrat - 3 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Setelah titik digambarkan dalam sisitem koordinat cartesius, kemudian
hubungkan titik tadi sehingga diperoleh kurva atau grafik fungsi
kuadrat yang mulus dengan persamaan y=ax2+bx+c .
Contoh Soal :
1. Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat berikut
a . y=2 x2;b . y=12
x2
Penyelesaian
a. y=2 x2
ambil beberapatitik
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 50 32 18 8 2 0 2 8 18 3 50
Gambarka titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian hubungkan dengan
garis lengkung
Fungsi Kuadrat - 4 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
b. y=12
x2
ambil beberapatitik
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 12,5 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5
Gambarkan titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian
hubungkan dengan garis lengkung
Fungsi Kuadrat - 6 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Beberapa sifat grafik fungsi kuadrat
1. y=x2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Kurva diatas memiliki simetri. Nilai nilai x yang positif dan negatif
menghasilkan nilai y yang sama. Oleh karena itu, jika kurva tersebut
dilipat pada sumbu y, kedua bagian kurva tersebut, titik demi titik akan
berhimpitan.
Oleh karena itu, kurva dikatakan simetris di sumbu y, sumbu y disebut
sumbu simetris
Nilai maksimum kurva tersebut adalah 0 di titik asal. Kurva tersebut
dikatakan memiliki titik balik di titik asal.
Kemiringan kurva tidak tetap, seperti yang terjadi pada garis lurus,
melainkan meningkat dari titik ketitik berswama dengan semakin
besarnya nilai x.
Kurva tersebut dapat digunakan untuk menghitung kuadrat setiap
bilangan dalam kisaran nilai yang diplotkan, dan juga sebaliknya,
untuk menghitung akar kuadrat. Misalkan untuk menghitung √3 ,
carilah titik pada kurva yang sepadan dengan 3 pada sumbu y .
Kemudian tampak bahwa terdapat dua titik pada sumbu x yang
Fungsi Kuadrat - 7 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
sepadan dengan 3, nilai nilai x (yaitu, ±√3 ) menjadi =1,73 dan -1,73,
karena √3 positif , nilainya kira kira 1,73
2. Grafik y=−x2
semua nilai y untuk kurva ini secara numeris sama dengan nilai y
dalam y=x2, tetapi negatif, bentuk kurva ini akan sama, akan tetapi
posisinya terbalik. Perhatikan gambar berikut
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3. Rumus Sumbu Simetri dan Titik Balik
Kali ini kita akan menentukan sumbu simetri dan titik balik pada fungsi
dengan bentuk f ( x )=ax 2+bx+c . Kita dapat mengubah bentuk fungsi menjadi
bentuk kuadrat sempurna, yaitu
Fungsi Kuadrat - 8 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
f ( x )=(ax2+bx )+c
f ( x )=a (x2+ba
x )+c
f ( x )=a (x+b2 a )
2+c−b2
4 a
f ( x )=a (x+b2 a )+b2−4 ac
−4 a
Seperti pada persamaan kuadrat, kita menuliskan D=b2−4 ac , maka fungsi
kuadrat tersebut dapat ditulis sebagai
f ( x )=a (x+ b2 a )
2
+ D−4 a
Berdasarkan hasil ini kita tahu bahwa sumbu simetri parabola x=− b
2a dan
koordinat titik balik adalah (− b
2 a, D−4 a )
.
4. Titik ekstrim fungsi kuadrat
Jika a>0 maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai
nilai minimum sebesar −D4 a , yang terjadi apabila
x=−b2 a . Pada kasus
ini diperoleh titik minimum (titik balik minimum atau titik puncak) dan
fungsi kuadrat adalah (−b
2 a,−D
4 a ).
Jika a<0 , maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai
nilai maksimum sebesar −D4 a , yang terjadi apabila
x=−b2a . Pada
kasus ini diperoleh titik maksimum ( titik balik atau titik puncak) dan
fungsi kuadrat adalah (−b
2 a,−D
4 a ).
Fungsi Kuadrat - 9 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Metode diferensial
Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi kuadrat dapat digunakan metode
diferensial. f ( x )=ax 2+bx+c→ f ' ( x )=2ax+b
Nilai stasioner dicapai jika f ' ( x )=0 maka 2 ax+b=0⇔ x=−b
2a , yaitu
f ''( x )=2a
Jika f ''(−b
2 a )>0 maka fungsi f memiliki nilai minimum untuk
x=−b2 a ,
yaitu ymin=f (−b
2a )=−D4 a .
Jika f ''(−b
2 a )<0 maka fungsi f memiliki nilai minimum untuk
x=−b2 a ,
yaitu ymin=f (−b
2a )=−D4 a
Contoh :
1. Cari persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim fungsi kuadrat
f ( x )=3 x2−8x+5 .
Penyelesaian
f ( x )=3 x2−8x+5 a=3 , b=−8 , dan c=5
Persamaan sumbu simetri :
x=−b2 a
x=−(−8)2 .3
=43
Fungsi Kuadrat - 10 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Karena a=3>0 maka nilai ekstrimnya adalah minimum.
y min =−D4 a
⇔ ymin=−(b2−4ac )4 a
ymin=−{(−8 )2−4 . 3 .5 }
=−(64−60)4 .3
=−13
Jadi, persamaan sumbu simetri : 43 dan nilai ekstrimnya adalah minimum
ymin=−13 .
5. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik A( x1 , 0 ) dan B( x2 ,0)
dan melalui titik M ( xm , ym) maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
y=f ( x )=a( x−x1)( x−x2)⇔ y=f ( x )=ym
(xm−x1 )( xm−x2) .
Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik A( x1 ,0 ) dan B(O ,0 )
dan melalui titik M ( xm , ym) maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
y=f ( x )=ym
xm( xm−x1)x ( x1−x2)
Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik A( x1 ,0 ) dan B( x2 ,0)
dan melalui titik M (O , ym ) maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
y= f ( x )=ym
x1 x2( x−x1 )( x−x2 )
Contoh :
1. Tentukanlah persamaan garis garis singgung pada parabola
y=2x2−16 x+24, yang melalui titik parabola itu dengan sumbu koordinat.
Fungsi Kuadrat - 11 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Penyelesaian
Titik potong parabola
y=2x2−16 x+24
y=x2−8 x+12
( x−6 ) ( x−2 )
x=6dan x=2
Untuk x=6
y=2x2−16 x+24
y=2 (6 )2−16 (6 )+24
y=2 (36 )−(96 )+24
y=72−96+24
y=0
m= y '=4 x−16
m=4 (6 )−16
m=24−16
m=8
y− y1=m ( x−x1 )
y−0=8 ( x−6 )
y=8x−48
Untuk x=2
y=2x2−16 x+24
y=2 (2 )2−16 (2 )+24
y=2 ( 4 )− (32 )+24
y=8−32+24
y=0
Fungsi Kuadrat - 12 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
m= y '=4 x−16
m=4 (2 )−16
m=8−16
m=−8
y− y1=m ( x−x1 )
y−0=−8 ( x−2 )
y=−8 x+16
Jadi persamaan garis garis singgungnya adalah y=8x−48dan
y=−8 x+16
2. Bentuklah persamaan garis singgung pada parabola y=3 x2−5 x , yang
membentuk sudut 45o dengan sumbu x. Tentukan pulalah garis singgung
pada parabola yang melalui titik O (0,0)
Penyelesian
a. Garis singgung parabola yang membuat sudut 45o dengan sumbu x
y=3 x2−5 x
m=tan 45o
m=1
y=3 x2−5 x
y '=m
y '=6 x−5
1=6 x−5
6 x=6
x=1
Fungsi Kuadrat - 13 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Substitusikan nilai x =1
y=3 x2−5 x
y=3¿
y=3−5
y=−2
y− y1=m ( x−x1 )
y− (−2 )=1(x−1)
y+2=x−1
y=x−3
Jadi persamaan garis singgung parabola y=3 x2−5 x yang membuat sudut
45o dengan sumbu x adalah y=x−3
b. Garis singgung pada parabola yang melalui titik O (0,0)
y=3 x2−5 x
y ,=m=6 x−5
Masukkan nilai y = 0
m=6 (0 )−5
m=−5
Persamaan garis yang melalui titik (0,0)
y=mx
y=−5 x
Jadi persamaan garis singgung parabola y=3 x2−5 x yang melalui titik
(0,0) adalah y=−5 x
Fungsi Kuadrat - 14 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
B.Hubungan Grafik dengan Pemecahan Persamaan
Kuadrat dan Ketidaksamaan
Apabila D<0 maka persamaan...
ax2+bx+c=0 Mempunyai akar akar immaginer
Sedangkan pertidaksamaan
ax2+bx+c<0
Tidak akan dipenuhi harga manapun yang diberikan x jika a>0
Akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x jika a<0
Fungsi Kuadrat - 15 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
D<0 , a<0
Dalam grafik pertama, parabola seluruhnya terletak diatas sumbu x, dan pada
grafik kedua parabola seluruhnya terletak dibawah sumbu x
Apabila D=0 maka persaamaan
ax2+bx+c=0 mempunyai dua akar real yang sama dan grafiknya
menyinggung sumbu x
Sedangkan pertidaksamaan
ax2+bx+c<0
Tidak akan memenuhi harga apapun yang diberikan x, jika a>0.
Sebaliknya ketidaksamaan tersebut akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x kecuali
oleh x=−b2 a , jika a<0.
Fungsi Kuadrat - 17 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
D=0 , a<0
Dari ketua grafik diatas dapat kita lihat kedua grafik menyinggung sumbu x
Apabila D>0 maka persamaan
ax2+bx+c=0 mempunyai dua akar real yang berbeda x1 dan x2 (x1<x 2) .
Untuk ketidaksamaannya
ax2+bx+c<0
Akan dipenuhi oleh x1<x<x 2 jika a>0
Dan ketidaksamaan akan terpenuhi oleh x<x1 atau oleh x2<x jika a<0
Fungsi Kuadrat - 19 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
C.Latihan Soal
Soal
1. Persamaan garis singgung pada parabola y=0,5 x2−7 x+2 yang membentuk
sudut 45o dengan sumbu x, akan memotong garis y=9-2x pada koordinat ...
2. Jika Parabola f ( x )=x2−bx+7 puncaknya memiliki absis 4 maka
ordinatnya adalah ...
3. Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum, dan daerah nilainya dari
fungsi kuadrat y=x2+4 x−3 , dengan daerah asal {x|−3≤x≤1 } !
4. Jika fungsi f ( x )=px2−( p+1)x−6 mencapai nilai tertinggi x=−1 maka nilai p adalah ...
5. Tentukan nilai b agar grafik y=2 x2+bx+2 menyinggung sumbu x
6. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum −3 untuk x=2 , sedangkan untuk x=−2 fungsi berharga -11 maka fungsi tersebut adalah
7. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki pucak (1 ,−14 ) dan melalui (0 ,12) !
8. Tentukan harga m agar garis lurus y=mx−1 menyinggung parabola y=2 x2−3 x+7
9. Parabola yang melalui titik (1 ,11) ,(0,6 ), dan (−2,2 ) serta mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu y mempunyai titik puncak ...
10. Tentukan persamaan Parabola yang memiliki puncak (3 ,−4 ) dan melalui titik O (0,0) !
Fungsi Kuadrat - 22 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Kunci Jawaban
1. (13,-17)2. -93. nilai maksimum=2 , nilai minimum=−7 dan daerah hasilnya
{ y|−7≤ y≤2 }
4.−1
35. b=4
6.f ( x )=−1
2x2+2 x−5
7. f ( x )=2 x2−4 x−128. m=−39. (-2,2)
10.y= 4
3x2−8
3x
Fungsi Kuadrat - 23 -
ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Daftar Pustaka
Budhi, Wono Setya. 2010. Matematika 1. Jakarta: CV Zamrud Kemala
K, Evi Janu. 2010. Swadidik ALJABAR. Bandung: Pakar Raya
Tampomas, Husein. 2003. Sukses Ulangan dan Ujian Himpunan dan Fungsi Kuadrat. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia
Umar, Teuku. 1963. Aldjabar Rendah Djilid II. Jakarta: Pradnjaparamita
Fungsi Kuadrat - 24 -