Matematika afariste-ligjerata-5-11

5. NJEHSIMI I PERQINDJES DHE PROMILES

1. LLOGARITJET THEMELORE

1.1. Llogaritja e thjeshtë e përqindjes

Llogaritja e përqindjes praktikohet në përvojën afariste për krahasimin e

raporteve dhe ndryshimeve midis madhësive ekonomike. Fjala përqindje ka prejardhje

nga fjala latine “pro” që do të thotë “për” dhe “centum”, që do thotë njëqind.1 E qindta

është numri i njësive nga 100. Zakonisht shkruhet:

p(%) =100

p

(0.1.1)Raportet (proporcionet) themelore midis madhësive ekonomike për llogaritje të thjeshtë

prej njëqind janë:

S : 100 = P : p (1.2.2)S = madhësia themelore (numri) nga e cila përcaktohet p (%);

P = pjesa e njëqindtë, përkatësisht numri i cili fitohet kur nga madhësia kryesore (e

numrit) llogaritet përqindja;

P = përqindja (%).

Në bazë të këtyre raporteve themelore, përherë mund të llogaritet cilado

madhësi, kur dy të tjerat janë të njohura. Janë të mundshme tri raste:

1. dihet pjesa e njëqindtë P dhe madhësia themelore S, kurse kërkohet përqindja p:

p = S

P⋅100

(1.3.3)2. dihen madhësia themelore S dhe përqindja p, kurse kërkohet pjesa e njëqindtë P:

p = 100

pS ⋅

(1.4.4)

3. janë të njohura pjesa e njëqindtë P dhe përqindja p, ndërsa kërkohet madhësia S:

1 Literatura e përdorur për këtë kaptinë: 28, 10, 11, 12, 4, (shiko: Literatura fq. ....... ???). Autorë të ndryshëm përdorin simbole të ndryshme për madhësitë ekonomike, kryesisht nga literatura amerikane, pjesërisht të vetat, kurse një pjesë nga autorë të tjerë, gjë që mund të hutojë shfrytëzuesit. Për këtë arsyepo përdorim simbolikën unike të B. Relić-it, Gospodarska matematika (Matematika ekonomike), RIF, Zagreb, 2002.

Matematika Afariste Ligjerata

p = p

P⋅100

(1.5.5)Shembulli 1.

Sipërmarrësi e ka rritur prodhimin për 8% në raport me vitin e mëparshëm, kur ai ishte

5200 copë produkti. Sa copë më tepër janë prodhuar në vitin vijues dhe sa është

prodhimi gjithsej i këtij viti?

Zgjidhja:

S = 5200

p = 8%

P = ?

P 416100

41600

100

85200

100=→=→⋅=→⋅= PPP

pS

Në vitin vijues janë prodhuar 416 copë produktesh më shumë, kurse prodhimi gjithsej i

këtij viti është: 5200 + 416 = 5616 copë.

Shembulli 2.

Nga shitja e faturuar në shumë prej 500 000,00 eurosh, sipërmarrësi me kohë i ka

inkasuar 482000,00 euro. Sa për qind të shumës janë inkasuar dhe sa është shuma e pa

inkasuar e sipërmarrësit e shprehur në përqindje?

Zgjidhja:

S = 500000,00

P = 482000,00

p = ?

p %4,9600,500000

00,48200000

00,500000

00,482000100100 =→=→⋅=→⋅= pppS

P

Sipërmarrësi me kohë i ka inkasuar 96,4% të borxhit, kurse pa inkasuar kanë mbetur

3,6% të mjeteve.

Shembulli 3.

Nga prodhimi gjithsej prej 3000 tonelatash, 5% janë produkte që nuk i përgjigjen

kualitetit standard. Sa është sasia e prodhimit standard?

Zgjidhja:

S = 3000 tona

2


p = 5%

P = ?

P 150100

15000

100

53000

100=→=→⋅=→⋅= PPP

pS

3000 – 150 = 2850

Me kualitet standard janë 2850 tonelata.

Shembulli 4.

Plani vjetor i prodhimit është realizuar 90%, që është 108 litra. Sa ishte plani i

prodhimit dhe sa litra planifikohet të prodhohen në vitin e ardhshëm, nëse parashikohet

rritje 12% në krahasim me planin e këtij viti?

Zgjidhja:

P = 108 litra

p = 90%

S = ?

S 12090

10800

90

108100100 =→=→⋅=→⋅= SSSp

P

Plani i prodhimit për vitin vijues ishte 120 litra. Për të marrë përgjigje për atë se sa

planifikohet të prodhohet vitin e ardhshëm, duhet të konstatojmë pjesën e njëqindtë të

P dhe të rritet për aq sa është planifikuar të prodhohet në këtë vit.

S = 120

p = 12%

P = ?

P 40,13412040,14100

1440

100

12120

100=+=→=→⋅=→⋅= PPP

pS

Për vitin e ardhshëm planifikohet të prodhohen 134,40 litra.

1.2. Llogaritja e përqindjes plus njëqind

Llogaritja e përqindjes plus njëqind aplikohet kur dihet madhësia e rritur S për

ndonjë përqindje të P (pra S+P), dhe përqindja p, kurse duhet të llogaritet madhësia

themelore S ose pjesa e njëqindtë P. Raportet themelore (proporcionet) midis madhësive

ekonomike për llogaritjen e të njëqindtës plus njëqind dalin nga:

3


S + P = ( S + P)

S : 100 = ( S + P) : ( 100 + p)

(1.6.6)

(1.7.7) Nga kjo përmasë mund të llogaritet madhësia themelore:

p

PS

+⋅+=

100

100)( (1.8.8)

dhe pjesa e njëqindtë:

P = (S + P) – S

p = ( S + P ) : ( 100 + p )

(1.9.9)

(1.10.10)respektivisht:

Pp

pPS

+⋅+=

100

)(

(1.11.11)

dhe

S = (S+P) – P (1.12.12)

Shembulli 5.

Pas rritjes së pagave për 15% bruto, pagat në fabrikë ishin 120000,00 kuna.

Për sa kuna janë rritur pagat bruto?

p = 15%

S + P = 120000,00 kuna

P = ?

P : p = (S+P) : (100+p)

P 17.15652115

1800000

15100

15120000

100

)( ==+

⋅=+

⋅+=p

pPS

Pagat bruto janë rritur për 15652,17 kuna.

Shembulli 6.

Çmimi i shitjes i prodhimit është 2.500,00 euro. Sa është çmimi kushtues, nëse dallimi

në

çmim është 12%, sa është dallimi i çmimit?

Zgjidhja:

S + P = 2.500, 00 euro

p = 12%

S = ?

4


S 14,2232112

250000

12100

10000,2500

100

100)( ==+

⋅=+⋅+=p

PS

Çmimi i shitjes është 2.232,14 euro. Dallimi në çmim është diferenca midis çmimit të

shitjes dhe çmimit kushtues: S - P =2500,00 - 2232,14 = 267,86 euro, kurse pjesa e

njëqindtë është:

P 86,267100

1214,2232

100=⋅=→⋅= P

pS

Diferenca në çmim është 267,86 euro.

1.3. Llogaritje e të njëqindtës minus njëqind

Llogaritja e të njëqindtës minus njëqind aplikohet kur është e njohur madhësia

kryesore e zvogëluar S për aq sa është pjesa e përqindjes P. Në këtë rast është e njohur

(S-P) dhe përqindja p, prandaj duhet të llogaritet madhësia S ose pjesa e përqindjes P.

S :100 = (S – P) : (100 – P) (1.13.13) prej nga del:

p

PSS

−⋅−=

100

100)(

(1.14.14) dhe pjesa e përqindjes:

P = S – (S – P) (1.15.15)Pjesa e përqindjes llogaritet nga përmasa (raporti) themelor:

P : p = (S – P) : (100 – p) (1.16.16) prej nga del:

Pp

pPS

−⋅−=

100

)(

(1.17.17) dhe madhësia kryesore:

S = (S – P) + p (1.18.18)

Shembulli 7.

Çmimi i një kg materiali (stoku) është 300,00 euro dhe është 15% më e ulët se materiali

tjetër. Sa është çmimi i materialit të dytë, përkatësisht sa është materiali i parë më i lirë?

Zgjidhja:

S - P = 300 euro

5


P(p) = 15%

S = ?

P = ?

S 94,35285

30000

15100

100300

100

100)( ==−⋅=

−⋅−=p

PS

Çmimi i materialit të dytë është 352,94 euro

P 94,5285

4500

15100

15300

100

)( ==−⋅=

−⋅−=p

pPS

Materiali i parë kushton më lirë për 52,94 euro

Shembulli 8.

Vlera e pasurisë së ndërmarrjes pas çregjistrimit për 40%, është 350000,00 euro. Sa është

amortizimi, e sa vlera blerëse?

Zgjidhja:

p = 40%

S – P = 350000,00 euro

P = ?

S = ?

P : p = ( S – P) : (100 – p)

P 3.333,23360

000,000,14

40100

40000,350

100

)( ==−

⋅=−

⋅−=p

pPS

Amortizimi kap shumë prej 233333,30 euro

S 30.333,58360

000,000,35

40100

100000,350

100

100)( ==−

⋅=−⋅−=p

PS

Vlera blerëse e pasurisë është 583 333,30 euro.

1. 4. Llogaritja promile nga njëmijë

6


Promili është numri i njësive që merren nga njëmijë njësi të ndonjë madhësie

ekonomike, Fjala “promil” del nga fjalët latine “pro”, që do të thotë “për” dhe “mille”,

që do të thotë njëmijë. Shënohet me shenjën %o 2, kurse 5 ‰1000

5=

Rrallë përdoret në praktikën ekonomike. Është përmasë themelore për llogaritjen

promile:

S : 1000 = P : p (1.19.19)dhe për këtë arsye përherë është mundshme të llogaritet një e panjohur nëse

dy të tjerat janë të njohura, si dhe te llogaritja e përqindjes.

Shembulli 9.

Në një litër verë ka 20 ‰ alkool. Sa alkool, shprehur në mililitra, ka në një

litër verë?

Zgjidhja:

S = 1 l = 1000 ml

p = 20 ‰

P = ?

P 201000

201000

1000=⋅=⋅= pS

Në një litër verë ka 20 mililitra alkool.

Shembulli 10.

Për pasurinë me vlerë 500 000,00 euro, është paguar premia e sigurimit 700,00 euro. Sa

është premia e sigurimit shprehur në promilë?

Zgjidhja:

S = 500 000,00 euro

P = 700,00 euro

p = ?

p = 4,1000,500

000,700

000,500

70010001000 ==⋅=⋅S

P

Premia e sigurimit është 1,4 ‰.

2 Përdoren simbole të njëjta për madhësitë ekonomike dhe shprehen rasporte të njeta midis tyre, si edhe për llogaritjen e përqindjes prej njëqind, vetëm se në vend të 100 shkruhet 1000.

7


1.5. Llogaritja e promilit plus njëmijë

Llogaritja e promilit plus njëmijë aplikohet kur është e njohur madhësia

kryesore

S të cilës i shtohet pjesa promilë (S + P) si dhe promili p. Për gjetjen e madhësisë S

përdoren përmasat:

S : 1000 = P(S + P) : (1000 + p) (1.20.200)

dhe

P : p = (S + P) (1.21.21)prej të cilave pastaj mund të llogariten S e P si edhe kur llogaritetpjesa

e njëqindtë plus njëqind.

Shembulli 11.

Pasi të shtohet lënda e parë e re prej 200 ‰ pesha e prodhimit është 100 kg.

Sa ishte pesha e prodhimit para se të shtohej lënda e parë e re dhe për sa

kilogram është shtuar pesha e përgjithshme e prodhimit.

Zgjidhja:

p = 200 ‰

S + P = 100 kg

S = ?

P = ?

S 33,83200,1

000,100

2001000

1000100

1000

1000)( ==+⋅=

+⋅+=

p

PS

P 67,16200,1

000,20

2001000

200100

1000

)( ==+⋅=

+⋅+=p

pPS

Pesha e prodhimit para shtimit të lëndës së parë të re ishte 83,33 kg, kurse pas shtimit të

lëndës së parë të re është rritur për 16,67 kg.

1.6. Llogaritja e promilit minus njëmijë

8


Llogaritja e promilit minus njëmijë bëhet njësoj, sikurse llogaritja e

përqindjes minus njëqind, pos faktit që konstanta në vend të 100 është njëmijë. Përmasat

kryesore janë si vijon:

S : 1000 = (S – P) : (1000 – p)

(1.22.22)

prej nga del:

Sp

PS

−⋅−=

1000

1000)(

(1.23.23)

dhe pjesa e njëmijtë:

P = S – (S – P)

(1.24.24)

Shembulli 12.

Pas çregjistrimit të pasurisë 300 ‰ vlera e saj është 200 000,00 euro. Sa është vlera e

çregjistruar dhe sa është vlera blerëse e pasurisë?

Zgjidhja:

p = 300 ‰

S - P = 200 000,00 euro

P = ?

S = ?

S 29.714,285700

000,000,200

3001000

1000000,200

1000

1000)( ==−

⋅=−⋅−=

p

PS

P 29.714,85700

000,000,60

3001000

300000,200

1000

)( ==−

⋅=−

⋅−=p

pPS

Vlera blerëse e pasurisë ishte 285,714.29, kurse çregjistrimi 85,714.29 euro.

6. DISA PROPORCIONE TE VEQANTA

1.7. Rregulla e thjeshtë dhe komplekse e treshit

9


Rregulla e thjeshtë dhe komplekse (e përbërë) e treshit shpesh përdoret në

praktikën e sipërmarrësve. Fjala është për raporte (përmasa) midis katër madhësive

(rregulla e thjeshtë e treshit) ose të më shumë madhësive (rregulla komplekse e treshit).

Rregulla e thjeshtë e treshit përdoret për llogaritjen e një madhësie të panjohur me

ndihmën e tri të njohurave. Ekzistojnë disa mënyra për të konstatuar ato madhësi të

katërta të panjohura. Do të përmendim dy mënyrat më të thjeshta:

1. Madhësitë identike paraqiten njëra nën tjetrën:

X1 Y1

X2 Y2

pastaj me shigjetë shënohet drejtimi nga madhësia e panjohur, p. sh. Y2*.

X1 Y1

X2 Y2

Madhësitë midis tyre mund të jenë në proporcione të drejtë dhe në të zhdrejtë.

Proporcion i drejtë midis madhësive do të thotë: kur rritet një madhësi - rritet edhe

tjetra, ndërsa proporcion i zhdrejtë do të thotë: kur rritet njëra madhësi, zvogëlohet

proporcionalisht madhësia tjetër. Për këtë arsye paraqiten dy raste:

1.1. Nëse madhësitë x dhe y janë në proporcione të drejta, atëherë edhe me shigjetën

e dytë shënohet drejtimi i njëjtë si në të parën.

X1 Y1

X2 Y2

Kjo na orienton kah raporti reciprok midis madhësive y2 : y1 = x2 : x1. Nga ky

raport mund të llogaritet:

y2

1

21

x

xy ⋅= (1.25.25)

1.2. Nëse madhësitë janë në përpjesëtim të zhdrejtë, atëherë me shigjetë shënohet

drejtimi i kundërt në raport me të parin:

X1 Y1

X2 Y2

Atëherë raporti reciprok midis madhësive mund të shkruhet si Y2:Y1=X1:X2,

10


përkatësisht:

y22

11

x

yx ⋅=

(1.26.26)

2. Mënyra e dytë e konstatimit të raportit reciprok midis madhësive konsiston në

shumëzimin e thjeshtë të madhësive sipas diagonales së kundërt dhe me

pjesëtimin me madhësinë e cila sipas diagonales është e kundërt me madhësinë e

kërkuar. Në atë rast duhet pasur kujdes që madhësitë të vendosen si duhet,

prandaj në esencë konsiston në dy rastet paraprake, gjë që shihet më së miri nga

dy shembujt në vijim:

Shembulli 13.

Nëse dy punëtorë prodhojnë 19 tonelata produkte, sa tonelata në kushte të njëjta (ceteris

paribus), do të prodhojnë pesë punëtorë:

Zgjidhja:

Së pari vërehet se madhësitë në fjalë janë në përpjesëtim të drejtë. Madhësi janë

punëtorët dhe tonelatat e produkteve, prandaj shkruhen njëra nën tjetrën.

2 punëtorë 10 tonelata

5 punëtorë x tonelata

Shkruhet në formë të përpjesëtimit x tonelata : 10 tonelata = 5 punëtorë : 2 punëtorë,

prej nga del:

x 252

510 =⋅= tonelata

Pra, 5 punëtorë do të prodhojnë 25 tonelata produktesh.

Shembulli 14.

Nëse 20 punëtorë e kryejnë një punë për 15 ditë, sa punëtorë nevojiten për ta kryer atë

për 6 ditë?

Zgjidhja:

Fjala është për madhësi në proporcion të zhdrejtë, sepse numri i punëtorëve rritet, kurse

numri i ditëve përpjesëtimisht zvogëlohet.

20 punëtorë 15 ditë

x punëtorë 6 ditë

11


Përpjesëtimi (proporcioni) mund të shkruhet si vijon: x punëtorë : 20 punëtorë = 15

ditë : 6 ditë, prej nga del:

x 506

1520 =⋅= punëtorë

Për ta kryer punën për 6 ditë, nevojiten 50 punëtorë.

Pra, me rastin e shtrimit të rregullës së thjeshtë të treshit qenësore është të

vendosen madhësitë e përpjesëtueshme dhe secila njësi e jashtme të shumëzohet me

njësinë e jashtme, kurse njësia e brendshme me të brendshmen, e pastaj është lehtë të

llogaritet njësia e katërt e panjohur.

Në rastet kur në rregullën komplekse të treshit kemi më shumë se katër njësi,

atëherë rregulla e treshit përdoret për konstatimin e ndonjë njësie sipas radhës më e lartë

se njësia e katërt. Për këtë arsye, madhësitë duhet të shkruhen njëra nën tjetrën, kurse

me shigjetë të shënohet kahja nga njësia e panjohur. Bëjmë krahasimin e përpjesëtimit

të secilës madhësi me madhësinë që duhet të gjendet (me atë rast shikohet vetëm raporti

(përpjesëtimi) midis dy madhësive, duke mos u kujdesur për shumat e madhësive të

trajtuara). Shigjetat vihen në të njejtin drejtim, nëse është fjala për madhësi

proporcionalisht të drejtë, ose në drejtim të kundërt, kur është fjala për madhësi me

proporcion të zhdrejtë.

Shembulli 15.

10 punëtorë prodhojnë 30 tonë produkte për 22 ditë duke punuar 7 orë në ditë. Sa

punëtorë nevojiten për të prodhuar 50 tonë duke punuar 24 ditë nga 8 orën në ditë?

Zgjidhja:

10 punëtorë 30 tona 22 ditë 7 orë

x punëtorë 50 tona 24 ditë 8 orë

Për t’i vizatuar shigjetat, duhet të konstatohet sa vijon:

1. Për më shumë tonë produktesh, duhen më shumë punëtorë (madhësi me përpjestim të

drejtë).

2. Për numër më të madh të ditëve të punës, duhet numër më i vogël i punëtorëve

(madhësi me proporcion të zhdrejtë).

3. Për numër më të madh të orëve të punës, duhet numër më i vogël i punëtorëve

(madhësi me proporcion të zhdrejtë).

12


Tani mund të vizatohen shigjetat në drejtimet përkatëse:

10 punëtorë 30 tonelata 22 ditë 7 orë

x punëtorë 50 tonelata 24 ditë 8 orë

Sipas drejtimit të shigjetave përcaktohen përpjesëtimet: x : 10 = 50 : 30

22 : 24

7 : 8

prej nga del:

x 37,135760

77000

82430

7225010 ==⋅⋅

⋅⋅⋅=

Pra, për të prodhuar 50 tonelata produkte duke punuar 24 ditë nga 8 orën në ditë, duhen

≈ 13, përkatësisht 14 punëtorë.

Vërejtje: Në situata si kjo, është e drejtë që rezultati përfundimtar të rrumbullakësohet

në numrin e parë më të madh të plotë. Sikur rezultatin e mësipërm ta rrumbullakësonim

në 13 punëtorë, prodhimi nuk do të arrinte 50 tonelata. Duke bërë rrumbullakësimin në

14 punëtorë, do të tejkalojmë shumën e kërkuar, gjë që është gabim më i vogël.

Shembulli 16.

50 tonelata produkte i prodhojnë 13 punëtorë për 24 ditë pune. Pesë ditëve të pra kanë

punuar 10 punëtorë, kurse gjatë dhjetë ditëve të ardhshme kanë punuar 8 punëtorë. Sa

punëtorë duhet të punojnë gjatë 9 ditëve vijuese për të prodhuar 50 tonelata produkte?

Zgjidhja:

Zgjidhja bëhet gradualisht:

1. 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë

x1 tonelata 10 punëtorë 5 ditë

x1 : 50 = 10 : 13

5 : 24

x1

01,8312

2500

2413

51050 ==⋅

⋅⋅=

Pra, në pesë ditët e para 10 punëtorë kanë prodhuar 8.01 tonelata produktesh.

2. 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë

13


x2 tonelata 8 punëtorë 10 ditë

x2 : 50 = 8 : 13

10 : 24

x2 = 82,12312

4000

2413

10850 ==⋅

⋅⋅

Pra, gjatë 10 ditëve të ardhshme 8 punëtorë do të prodhojnë 12,82 tonelata produkte.

3. Gjatë 15 ditëve të para janë prodhuar: x1+x2=8,01+12,82=20,83 tonelata produkte,

kurse kanë mbetur të prodhohen edhe 50 – 20,83 =29,17 tonelata produkte.

Për këtë mund të shtrohet përpjesëtimi:

50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë

29,17 tonelata y punëtorë 9 ditë

prej nga pason përpjesëtimi: y : 13 punëtorë = 29, 17 : 50

24 : 9

y 22,20450

04,9101

950

2417,2913 ==⋅

⋅⋅=

Kështu kemi arritur deri te zgjidhja, se gjatë 9 ditëve të fundit do të duhej të

punësoheshin 21 punëtorë, për të prodhuar 50 tonelata produkte.

1. 8. Veprimi i thjeshtë dhe i komplekse i pjesëtimit

Me veprimin e pjesëtimit zgjidhet problemi i ndarjes së madhësisë të dhënë në

pjesë sipas një ose më shumë kritereve. Nëse pjesëtimi bëhet sipas një kriteri, fjala është

për veprim të thjeshtë të pjesëtimit, ndërsa kur pjesëtimi bëhet sipas më shumë

kritereve, fjala është për veprim kompleks të pjesëtimit.

Përmes veprimit të pjesëtimit të thjeshtë duhet të ndahet madhësia S në pjesë,

ose bartës x1, x2, ..., xn sipas një kriteri ashtu që pjesët të jenë në përpjesëtim a1 : a2 : ... :

an dhe shtrohet pyetja sa janë të mëdha ato pjesë. Problemi matematikisht formulohet si

vijon:

14


x1 + x2 + ...+ xn = S (1.27.27)

x1: x2 : ...: xn = a1 : a2 : ...:an (1.28.28)

pastaj merret se x1 = k . a1

x2= k . a2...xn = k . an , ku k është faktor i proporcionalitetit. Nëse vlerat

x1, x2,... xn shtrohen si ekuacion (1.28.28) fitohet:

knaaa

S

+++=

...21

(1.29.29)

Madhësitë e veçanta të pjesëve fitohen në këtë mënyrë:

x1=ka1 121 ...

aaaa

S

n

⋅+++

= (1.30.30)

x2=ka2 221 ...

aaaa

S

n

⋅+++

= (1.31.31)

xn=kan anaaa

S

n

⋅+++

=...21

(1.32.32)

Shembulli 17.

Të ardhurat prej shitjes së katër produkteve të njëjta kapin shumë prej 68000,00 eurosh,

por shpenzimet për to janë të ndryshme.

Produkti I. = 10000,00 euro

Produkti II. = 12000,00 euro

Produkti III. = 12500,00 euro

Produkti IV. = 14000,00 euro

Si të ndahet e ardhura për këto katër produkte?

Zgjidhja:

Pra, 68000,00 euro duhet të ndahen për produktet (bartëset) e shpenzimeve sipas

proporcionit të drejtë me shpenzimet. Fjala është për veprim të thjeshtë të pjesëtimit:

x1 + x2 + x3+ x4 = 68 000,00

x1 + x2 + x3+ x4 = 68 000,00 = 10 000 : 12 000 : 12 500 : 14 000

kurse sipas formulës (1.29.29)

k 40206,148500

68000

14000125001200010000

68000 ==+++

=

15


Nga kjo del sa vijon:

Produktit I. i takon x1 = ka1 = 1,49206 x 10 000,00= 14 020,60 euro.

Produktit II. i takon x2 = ka2 = 1,40206 x 12 000,00 = 16 842,72 euro.

Produktit III. i takon x3 = ka3 = 1.40206 x 12 500,00= 17 525,75 euro.

Produktit IV. i takon x4 = ka4 = 1,40206 x 14 000,00 = 19 628,84 euro.

Shitja gjithsej e realizuar kapë shumën: 67 999,91 ≈ 68 000,00 euro.

Në praktikë ndarja e këtillë e shpenzimeve është mjaft e shpeshtë në ndërmarrje. Fjala

është për të ashtuquajturin kalkulim të numrave ekuivalentë në të cilën shpenzimet e

gjithmbarshme të realizuara iu ndahen produkteve sipas kriterit të raporteve ekuivalente

midis produkteve. Llogaritet raporti i shpenzimeve të përgjithshme dhe shuma e

produktit të sasisë së prodhimit dhe numrit ekuivalent, e pastaj ai numër që fitohet si

proporcion shumëzohet me sasinë e prodhimit dhe në këtë mënyrë bëhet ndarja e

shpenzimeve. Mirëpo, janë të shpeshta rastet kur raportet midis madhësive që

realizohen me ndarjen e madhësisë së dhënë në proporcion të zhdrejtë.

Shembulli 18.

Fitimi nga një punë në shumë prej 15000,00 eurosh duhet t’iu ndahet punëtorëve sipas

kriterit të mungesës nga puna. Si të ndahet shuma e përmendur, nëse punëtori A kishte

munguar 20 orë, punëtori B 15 orë, punëtori C 10 orë dhe punëtori D 25 orë.

Zgjidhja:

x1 + x2 + x3+ x4 = 15 000,00

x1 : x2 : x3 : x4 25

1:

10

1:

15

1:

20

1=

(Krahu i djathtë shumëzohet me emëruesin e përbashkët 300.)

x1 : x2 : x3 : x4 = 15 : 20 : 30 : 12

k 805,19477

00,15000

12302015

00,15000 ==+++

=

Pastaj llogaritet fitimi i secilit punëtorë:

punëtori A x1 = ka1 = 194.805 x 15 = 2922,08 euro

punëtori B x2 = ka2 = 194,805 x 20 = 3896,10 euro

punëtori C x3 = ka3 = 194,805 x 30 = 5844,15 euro

punëtori D x4 = ka4 = 194,805 x 12 = 2337,66 euro

16


Gjithsej: 14 999,99 ≈ 15 000,00 euro

Llogaritja komplekse e pjesëtimit aplikohet kur ndarja e ndonjë madhësie

bëhet sipas më shumë se një kriteri. Ndonjë madhësi duhet të ndahet në pjesë ose për

bartës x1, x2, ..., xn, ashtu që raportet midis pjesëve të jenë b1: b2 : ... :bn (sipas kriterit të

parë) dhe c1: c2 : ... :cn (sipas kriterit të dytë) dhe m1: m2 : ... :mn (sipas kriterit të tretë)

etj. Shtrohet pyetja sa janë ato pjesë? Shuma e atyre pjesëve duhet të jetë e barabartë me

tërësinë ose përgjithësisht:

x1+ x2 + ... + xn = S (1.33.33)

x1 : x2 : …: xn = b1 : b2 : …: bn

= c1 : c2 : …: cn

. . .

=m1 : m2 : …: mn (1.34.34)

Nga formula (1.34.24) del se:

x1:x2::xn)...(:...:)...(:)...( 222111 nnn mcbmcbmcb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

(1.35.35)

Nëse shprehjet në anën e djathtë shënohen me a1, a2 ... an dhe renditen në

barazimin e paraprak, fitohen përpjesëtime të njëjta si edhe për veprimin e thjeshtë të

pjesëtimit (1.28.28):

x1:x2 : …: xn = a1 : a2 : …: an (1.36.36)

vetëm se a1 paraqet

),...( 111 mcb ⋅⋅⋅ a2)....(),......( 222 nnnn mcbamcb ⋅⋅⋅=⋅⋅=

Kjo do të thotë se përdoren faktorë të njëjtë të proporcionalitetit dhe formula të njëjta

për përcaktimin e madhësisë së pjesëve të veçanta:

k =naaa

S

+++ ...21

(1.37.37)

Madhësitë e veçanta të pjesëve fitohen në këtë mënyrë:

x1

121

1 ...a

aaa

Ska

n

⋅+++

== (1.38.38)

x2

221

2 ...a

aaa

Ska

n

⋅+++

==

17


. . .

xn

nn

n aaaa

Ska ⋅

+++==

...21 (1.39.39)

Shembulli 19.

Shpenzimet mujore të energjisë elektrike në shumë prej 3500,00 eurosh

duhet të ndahen sipas sipërfaqes së hapësirës afariste dhe numrit të

punëtorëve në atë hapësirë.

Hapësira afariste I. ka 45 m2 dhe 3 punëtorë.

Hapësira afariste II. ka 96 m2 dhe 7 punëtorë.

Hapësira afariste III. ka 65 m2 dhe 5 punëtorë.

Hapësira afariste IV. ka 12 m2 dhe 2 punëtorë.

Hapësira afariste V. ka 18 m2 dhe 4 punëtorë.

Hapësira afariste VI. ka 20 m2 dhe 6 punëtorë.

Sa janë shpenzimet e secilës hapësirë afariste?

Zgjidhja:

X1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3500

x1 : x2 : x3 : x4 : x5 : x6 = 45 : 96 : 65 : 12 : 18 : 20

= 3 : 7 : 5 : 2 : 4 : 6

Me renditjen sipas formulës (1.33.33) fitohet:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 135: 672 : 325 : 24 : 120

Prej këndej del se:

k 596,21348

3500

1207224325672135

3500 ==+++++

=

Ndarja e shpenzimeve mujore të energjisë elektrike është si vijon:

Hapësira afariste I. x1 = k1 = 2,596 x 135 = 350, 46 euro

Hapësira afariste II. x2 = k2 = 2.596 x 672 = 1744,51 euro.

Hapësira afariste III. x3 = k3 = 596 x 325 = 843,70 euro.

Hapësira afariste IV. x4 = k4 = 2,596 x 24 = 62,30 euro.

Hapësira afariste V. x5 = k5 = 2,596 x 72 = 186,91 euro.

Hapësira afariste VI. x6 = k6 = 2,596 x 120 = 311,52 euro.

18


Gjithsej: 3 499,40 euro ≈ 3 500 euro.

Mirëpo, në praktikë janë të mundshme rastet kur një ose më shumë

kritere janë me proporcion të drejtë. Në atë rast, si edhe me rastin e

pjesëtimit të thjeshtë, për përpjesëtimin e drejtë aplikohen raportet

proporcionale të drejtpërdrejta, kurse për proporcionin e zhdrejtë madhësitë

vihen në raport me njëshin.

Shembulli 20.

Këmbimorja (vendi ku bëhet këmbimi i valutave) duhet t’i ndajë shpenzimet

për tri lokacione (A, B dhe C) sipas proporcionit të drejtë të numrit të

klientëve, kurse me proporcion të zhdrejtë të largësisë nga qendra. Lokacioni

A ka 1200 klientë kurse është 500 m larg qendrës. Lokacioni B ka 800

klientë kurse nga centrali është larg 2 km. Lokacioni C ka 1500 klientë kurse

është larg qendrës 3 km. Si do t’i ndajë këmbimorja shpenzimet e

përgjithshme në shumë prej 66000,00 eurosh?

Zgjidhja:

A + B + C = 66 000

A : B : C = 1200 : 800 : 1500 3

1:

2

1:

5,0

1=

A : B : C = 2400 : 400 : 500

k 205004002400

66000 =++

=

Pra, shpenzimet do të ndahen si vijon:

Lokacioni A 2400 x 20 = 48 000,00 euro

Lokacioni B 400 x 20 = 80 00,00 euro

Lokacioni C 500 x 20 = 10 000,00 euro.

1. 9. Llogaritja vargore

19


Llogaritja vargore në praktikë aplikohet për thjeshtësimin e problemit në të

cilin është e nevojshme të përcaktohet raporti midis dy madhësive që janë të dhëna me

madhësi të tjera në përpjesëtim të drejtpërdrejtë reciprok. Fjala është për një veprim

specifik skematik, përmes të cilit problemi thjeshtësohet dhe në praktikë haset shpesh.

Shembulli 21.

10 kg mall A kushtojnë sa 7 kg të mallit B; 5 kg të mallit B kushtojnë sa 6 kg të mallit C;

7 kg të mallit C kushtojnë sa 3 kg të mallit D. Sa kushton një kg i mallit A, nëse 4 kg të

mallit D kushtojnë 5000 euro.

Zgjidhja:

Pra, duhet që në mënyrë indirekte në bazë të çmimit të mallit D dhe raporteve reciproke

midis madhësive të lidhura në proporcion të drejtë, të përcaktohet çmimi i 1 kg të mallit

A. Zgjidhja arrihet gradualisht:

1. Duhet të shkruhen raportet e dhëna:

x euro kushton 1 kg i mallit A.

10 kg të mallit B kushtojnë sa 6 kg të mallit C.

7 kg të mallit C kushtojnë sa 3 kg të mallit D.

4 kg të mallit D kushtojnë 5000 euro.

2. Pastaj gradualisht (me veprim iterativ) hap pas hapi gjendet zgjidhja:

1) x euro kushton 1 kg i mallit A ose x4

5000

7

3

5

6

10

7 ⋅⋅⋅= euro

2) 1 kg i mallit A kushton sa 10

7 kg të mallit B ose

4

5000

7

3

5

6

10

7 ⋅⋅⋅ euro

3) 1 kg i mallit B kushton sa 5

6 kg të mallit C ose

4

5000

7

3

5

6 ⋅⋅ euro

4) 1 kg i mallit C kushton sa 7

3 kg të mallit D ose

4

5000

7

3 ⋅ euro

5) 1 kg i mallit D kushton sa 4

5000 kg të mallit ose

4

5000 euro

Nga kjo del:

20


x euro kushton 1 kg i mallit A ose x 4

5000

7

3

5

6

10

7 ⋅⋅⋅= euro,

përkatësisht 1 kg i mallit A kushton 450,00 euro.

Zgjidhja e njëjtë mund të gjendet në rrugë më të shkurtër nëse raportet (1) deri në (5) i

shënjojmë në formë skeme:

x euro 1 kg A

10 kg A 7 kg B

5 kg B 6 kg C

7 kg C 3 kg D

4 kg D 5000 euro

Me rastin e përpilimit të skemës së llogaritjes vargore duhet të respektohen këto

rregulla:

1. Skemën e fillojmë me pyetjen e shtruar në problem.

2. Secilin hap të mëtutjeshëm e fillojmë me madhësinë me të cilën e kemi përfunduar

të mëparshmin.

3. Skemën e përfundojë me madhësinë me të cilën e kemi filluar.

X mund të llogaritet si herës i shumës së krahut të djathtë dhe të majtë, respektivisht

x 00,4501400

630000

47510

5000367 ==⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

1.10 Llogaritja e përzierjes

Në rastet praktike kur duhet të llogaritet se në çfarë mase përzihen disa madhësi të

njëjta që kanë ndonjë karakteristikë të përbashkët, aplikohet llogaritja e përzierjes.

Problemi i tillë mund të zgjidhet përherë përmes ndonjërës nga metodat për zgjidhjen e

ekuacioneve lineare sistemore, por në praktikë është e mundshme që problemi të

zgjidhet në mënyrë të shpejtë dhe të thjeshtë. Në realitet, duhet të gjendet intensiteti

mesatar i karakteristikës së madhësisë së njëjtë, që shënohet me m.

21


m

∑

∑

=

==n

ii

n

iii

x

xa

1

1

(1.40.40)

xi = sasia i-së me madhësi të njëllojtë

ai = intensiteti i-së asaj me veti e madhësie të njëllojtë

m = intensiteti mestar i vetisë me madhësisë të njëllojtë.

Llogaritja e përzierjes mund të jetë: a) e thjeshtë dhe b) komplekse.

a) Llogaritja e thjeshtë e përzierjes

Llogaritja e thjeshtë e përzierjes është e lidhur me probleme në të cilat përzierja

është komplekse prej dy madhësive dhe ka zgjidhje të thjeshtë. Në rast të tillë vlejnë

relacionet:

m21

2211

xx

xaxa

++

=

(1.41.41)

x1 : x2 = (a2 – m) : (m – a1) (1.42.42)

22


Shembulli 22.

Verniku i përhirtë përfitohet me përzierjen e të bardhit me të ziun. Çmimi i 1 kg

vernik i bardhë është 40 euro, kurse i atij të zi 35 euro. Të supozojmë se nuanca nuk

është qenësore. Si të përgatitet përzierja me çmim 38 euro për 1 kg vernik?

Zgjidhja:

x1 = sasia (kg) e vernikut të bardhë L1

x2 = sasia (kg) e vernikut të zi L2

a1 = 40 euro (çmimi i vernikut të bardhë ) L1

a2 = 35 euro (çmimi i vernikut të zi) L2

m = 38 euro (çmimi mesatar i vernikut të përhirtë ) L2

Duhet të gjendet masa e përzierjes së vernikut të bardhë me atë të zi, për të fituar

vernikun e përhirtë, përkatësisht x1 : x2 .

Kjo përmasë e përzierjes mund të shkruhet në mënyrë skematike:

a1 a2 -m

m

a2 m-a1

Vetitë e madhësive që përzihen shënohen njëra nën tjetrën prej intensiteti më të vogël

kah ai më i madh; midis tyre dhe pak më djathtas intensiteti mesatar m i cili kërkohet,

kurse përzierja shënohet me shigjeta dhe përcaktohen dallimet midis a2 dhe m dhe m e

a1 dhe shënohen në diagonale. Në shembullin tonë kjo ë shtë si vijon:

35 (a1) 40 – 38 2

38 (m)

40 (a2) 38 - 35 3

x1 : x 2 = 2 : 3

Pra, duhet të përzihen verniku i bardhë dhe ai i zi në përmasën 3 : 2 për të përfituar

vernikun e përhirtë .

b) Llogaritja komplekse e përzierjes

23


Llogaritja komplekse e përzierjes aplikohet në situatat kur përzierja përbëhet prej

më shumë se dy madhësive të ndryshme. Problemet e tilla kanë kryesisht më shumë

zgjidhje. Do të tregojmë se si zgjidhet në formë skeme një problem i tillë .

Shembulli 23.

I kemi katër lloje të ndonjë malli me çmim 160, 140, 110 dhe 50 euro. Si duhet ta

përziejmë mallin e tillë për të përfituar 560 kg me çmim 120,00 euro?

Zgjidhja:

Do ta krijojmë skemën në të cilën në shtyllën e majtë do t’i radhisim çmimet sipas

madhësisë, në mes intensitetin e kërkuar (120, 00), kurse në shtyllën e djathtë do të

përcaktojmë përmasën e kërkuar.

(a1) 160 (m - a4 )70

(a2) 140 (m – a3)10

(m) 120

(a3)110 (a2 – m)20

(a4)50 (a1 – m)40

Nga skema e mëparshme shohim se mallin duhet ta përziejmë sipas përmasës:

1 0:4321 /4 0:2 0:1 0:7 0::: =xxxx

= 7 : 1 : 2 : 4

Me aplikimin e veprimit të pjesëtimit fitojmë : 7k + k + 2k + 4k = 560

14k = 560

Mallin do të përziejmë si vijon: k = 40

Mallin do të përziejmë si vijon:

mallin nga 160 kn 7 x 40 = 280 kg




24


7. NJEHSIMI DIFERENCIAL DHE ZBATIMI1.11. Llogaritja diferenciale

Llogaritja diferenciale rrallë përdoret në praktikën afariste, por megjithatë

është e nevojshme të njihet esenca e saj, sepse pa njohjen e derivateve të disa

funksioneve elementare, nuk mund të kuptohen bazat e koncepcioneve ekonomike

neoklasike mbi të cilat mbështetet tërë sistemi ekonomik. Sipërmarrësi ose studenti pa

i njohur ato metoda nuk do të kuptojë as produktin kufizues (minimal), as të ardhurat

kufitare (minimale), as shpenzimet kufitare (minimale), as elasticitetin e prodhimit, të

kërkesës s dhe të ofertës etj. Aplikimi i atij koncepcioni është veçanërisht i rëndësishëm

në mikroekonomi, ku është treguar kryesisht i saktë, por i pamjaftueshëm dhe joreal,

sidomos sa i përket modelimit të ndërmarrjeve. Fjala është për ekuacionet diferenciale

në ekonominë e ndërmarrjes, të cilat i përshkruajnë ndryshimet e madhësive

ekonomike dhe zgjidhen me metoda matematike. Prejardhjen e ka nga fizika klasike e

Isak Njutnit (I. Newton) dhe shpjegimet e ligjeve natyrore.3

Qenësore është të përcaktohet si ndryshohet ndonjë madhësi ekonomike e

varur, në se madhësia ekonomike e pavarur i afrohet (konvergjon) ndonjë numri. Në se

i marrim dy madhësi (x dhe y), të cilat ndryshojnë (variojnë), janë të ndryshueshme

dhe quhen variabla (ndryshore), shtrohet pyetja si ndryshohet y, nëse x i afrohet

(konvergjon) ndonjë numri. Në se funksioni i dhënë y = f (x), problemi konsiston në

faktin se duhet të përcaktohet masa e ndryshimit relativ e funksionit. Nëse madhësia e

ndryshimit të variablës x shënohet me s Δx, kurse madhësia e ndryshimit të variablës y

me Δy, mund të shkruhet:

x

xfxxf

x

y

∆−∆+=

∆∆ )()(

(1.43.43)

3 Lit. 18., 19., 21., 22., 40.

25


=∆∆

→∆ x

yx 0

limx

xfxxfx ∆

−∆+→∆

)()(lim

0

(1.44.44)

Nëse ekziston ndonjë vlerë kufizuese (minimale), ajo varet jo vetëm nga x

dhe shënohet se y’(x), që është funksioni i derivuar ose derivat i funksionit y. Pra,

derivati është funksion y = f (x) është vlera kufitare (minimale) të cilës i afrohet herësi

(kuocienti) i diferencave të funksionit dhe variablës së pavarur, kur rritja e variablës së

pavarur i afrohet zeros.4

Funksionet në ekonomi mund të jenë të ndryshme, siç janë funksionet e

prodhimit, të ofertës, të kërkesës etj. Fjala është për një fushë të ndërlikuar të

matematikës, në të cilën në mënyrë matematikore përshkruhet se çka ndodhë në

ekonominë e afarizmit të ndërmarrjes.

Secili funksion paraqet ndonjë lidhje funksionale të parametrave dhe

variablave nga të cilat varet vlera e funksionit. Derivati i funksionit tregon se si

ndryshohet variabla e varur, nëse ndryshohen variablat e pavarura. Derivati i

funksionit të prodhimit tregon produktin minimal të prodhimit.

Shikuar nga aspekti matematikor, në ekonomi aplikohen të ashtuquajturat

funksione elementare, përkatësisht funksionet reale të variablës reale (x dhe y = f(x) së

bashku janë elemente të numrave realë). Funksionet elementare i ndajmë në:

1.) Funksione algjebrike (funksione të cilat fitohen me një varg operacionesh

algjebrike – mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe ngritje në fuqi (potencim)

me eksponentin e numrit të plotë dhe atë thyesor). Dallojmë këto funksione

algjebrike:

a) funksione racionale të tëra ose polinomet,

b) funksionet racionale thyesore,

c) funksionet iracionale.

2.) Funksionet transcedente (të gjitha funksionet që nuk janë algjebrike). Funksionet

më të rëndësishme transcedente janë:

a) funksionet eksponenciale,

b) funksionet logaritmike,

4 Lit. 13., 19., 21., 22., 23., 18., 15 (sh. Literatura, fq. 329-331).

26


c) funksionet trigonometrike,

d) funksionet ciklometrike,

Shkurtimisht do t’i paraqesim rregullat themelore të derivimit.

Tabela 1. Derivacionet e disa funksioneve elementare

funksioni derivacioni

(konstanta) C 0

x 1

xn nxn-1

xx2

1

n x n nxn 1

1−

ex ex

ax axlna

ln xx

1

loga xax

ex a ln

1log

1 =

log xx

ex

4343,0log

1 ≈

sin x cos x

cos x - sin x

27


tg xx2cos

1

ctg xx2sin

1−

Derivimi i produktit të konstantës dhe funksionit:

)('))'(( xfCxfC ⋅=⋅

(1.45.45)

Derivimi i shumës dhe i diferencës së funkcioneve:

)(')('))'()(( xgxfxgxf ±=±

(1.46.46)

Derivimi i produktit të funksioneve:

)(')()()('))'((( xgxfxgxfxgxf ⋅+⋅=⋅

(1.47.47)

Derivimi i herësit (kuocientit) të funksioneve:

2

'

))((

)(')()()('

)(

)(

xg

xgxfxgxf

xg

xf ⋅−⋅=

(1.48.48)

Derivacioni (derivati) i funksionit kompleks:

Nëse është y )(uf= dhe u )(xg= , atëherë është:

)(')(' xgufdx

dy ⋅=

(1.49.49)

Shembulli 24.

Përcaktoni derivacionin (derivatin) e funksionit:

a) f (x)

=−⋅+⋅−⋅=⇒−+−= )'7()'(3)'(2)'5()('7325 2323 xxxxfxxx

34150132235 22 +−=−⋅+⋅−⋅= xxxx

b) f (x) ⇒−+= 43 752 xxx

28


f’ (x) 4 33 24 33 2 4

7

3

51

4

17

3

15

2

12

xxxxxx−+=⋅−⋅+⋅=

c) f (x) 3 22

154

xxx+−=

Funksionin së pari e kemi shkruar në formë të polinomit me eksponentë thyesor:

f (x) 3

212 54

−−− +−= xxx

f’(x) 3 523

3

523

3

258

3

258

xxxxxx −+−=−+−=

−−−

d) f (x) xxx xf 269315,02ln2)('2 ⋅≈=⇒=

e) f (x) 1ln1

ln1)'(lnln)'()('ln +=⋅+⋅=⋅+⋅=⇒= xx

xxxxxxxfxx

f) f (x) xex35=

f’(x) )( )3(5)3(5)'()'(5 323233 xxeexexexex xxxxx +=+=⋅+⋅⋅=

g) f (x) 23

12

+−=

x

x

f’(x)

=++

⋅−−+⋅=+

+⋅−−+⋅−=4129

3)12()23(2

)23(

)'23()12()23()'12(22 xx

xx

x

xxxx

4129

7

4129

7

4129

3646222 ++

=++

=+++−+=

xxxxxx

xx

h. f(x)152

5)'15(

152

1)('15

+=+⋅

+=⇒+=

xx

xxfx

i) f(x)53

36

532

1)('

2

53

2

5353

2

22

−=⋅

−⋅=⇒=

−−−

x

xex

xexfe

xxx

Shembulli 25.

Përcaktoni derivacionin (derivatin) e dytë të funksionit f (x) xxx ++= 23 32

Zgjidhja:

29


f ' (x) = 6x2 + 6x + 1

f ”(x) = (f’(x))’ = 12x + 6

Përcaktimi i ekstremit të funksionit të një variable duke

aplikuar llogaritjen diferenciale

Me aplikimin e llogaritjes diferenciale relativisht thjeshtë përcaktohen ekstremet lokale

të një variable. Procedura është si vijon:

1. Përcaktohet derivacioni (derivati) i parë i funksionit.

2. Derivacioni (derivati) i parë barazohet me zeron. Zgjidhjet e ekuacionit janë pikat

stacionare – të vlerës së variables x në të cilat funksioni do të mund të kishte ekstrem.

3, E përcaktojmë derivacionin (derivatin) e dytë të funksionit. I radhisim më parë pikat

stacionare (x0) në derivacionin (derivatin) e dytë. Nëse është f”(x0)> 0; atëherë

funksioni ka maksimumin (minimumin) në pikën (x0 , f (x0)). Nëse është f”(x0) < 0;

atëherë funksioni ka maksimumin në pikën (x0 , f (x0)). Nëse është f ”(x0) = 0, atëherë

verifikohet vlera e variacionit të rendit më të lartë për x0. Nëse f’”(x0) ≠ 0, fjala është

për pikën e infleksionit (pika në të cilën kahja e konkavitetit ndërrohet në kahje

konveksioni ose anasjalltas).

Shembulli 26.

Përcaktoni ekstremet e funksionit f(x) = x3 – 2x2 – 4x +1.

Zgjidhja:

f’(x) = 3x2 – 4x – 4

f’(x) a

acbbxxx

2

404430

2

2,12 −±−=⇒=−−⇒=

x1,2 6

48164 +±=

x1 2=

x23

2−=

⇒ pikat stacionare

f”(x) 46)'443( 2 −=−−= xxx

f”(x1) )7,2min())2(,2min(08426)2('' −⇒⇒>=−⋅== ff

30


⇒<−=−−⋅=

−= 084

3

26

3

2")(" 2 fxf max

⇒

−− )

3

2(,

3

2f

−⇒

27

67,

3

2max

Shembulli 27.

Është dhënë funksioni i kërkesës q(p) = (3 + p)0,5, ku p është çmimi i produktit të

caktuar. Caktoni zonën e elasticitetit dhe të jo elasticitetit të funksionit të kërkesës!

Zgjidhja:

q(p) = ( 3 + p)0,5= p+3

Së pari të caktojmë domenin e funksionit të kërkesës:

[ )∞=

≥

≥+,0)(

0

03

qD

p

p

Koeficienti i elasticitetit E q,p llogaritet nga relacioni:

Eq,p dp

dq

q

p ⋅=

(1.50.50)

Eq,p

) ( )p

p

pp

pp

p

p

+=

+⋅

+=

+⋅+

=3232

1

33

3

'

Shihet se është Eq,p ≥ 0 për secilën p ∈ D (q), prandaj vlen

)3(2,, p

pEE pqpq +

==

Elasticiteti: 1, <pqE

31


⇒<+

1)3(2 p

p p < 2 (3 + p) ⇒ p > - 6, që vlen për secilin p∈ D (q).

Pra, funksioni i kërkesës është jo elastik në tërë domenin e vet. Për p = 0 e fitojmë jo

elasticitetin e përkryer.

Në praktikë derivimi i funksionit mund të përdoret me rastin e përcaktimit të

fazës së prodhimit, të përcaktimit të rezultatit monopolistik të prodhimit etj., që mund të

shërbejnë për marrjen e vendimeve afariste.

Shembulli 28.

Është dhënë funksioni i prodhimit Q = 20x2 – 3x3, është x sasia e faktorit të prodhimit të

angazhuar. Numerikisht dhe grafikisht përcaktoni fazat e prodhimit, elasticitetin e

prodhimit në kufijtë e fazave të prodhimit dhe elasticitetin e prodhimit për një vlerë x në

zonën e prodhimit elastik.

Zgjidhja:

1. Për funksionin e prodhimit së pari caktojmë zero pikët:

20x2 – 3x3 = 0

X2 (20 – 3x) = 0

x1 = 0, 20 - 3x = 0

- 3x = - 20

3x = 20

x2 3

20=

x2 = 6,67

Në praktikë prodhimi asnjëherë nuk është e njëjtë me zeron, nëse rritet hyrja e faktorit

prodhues. Prandaj merret një pikë pas pikës ku është prodhimi maksimal.

2. Pastaj përcaktojmë pikën e maksimumit:

Q(x) = 20x2 – 3x3

Q’(x) = 40 x – 9x2 → derivacioni (derivati) i parë i funksionit

40x – 9x2 = 0

x(40-9x) = 0

x1 = 0, 40 – 9x = 0

- 9x = - 40

32


9x = 40

x2 9

40=

x2 = 4,44 – kandidatët për funksione ekstreme → max

Q” (x) = 40 – 18 x → derivacioni(derivati) i dytë i funksionit

Q”(4,44) 44,41840 ⋅−=

Q” (4,44) = 40 – 79,92

Q”(4,44) = - 39,92 < 0 → max, kushti i derivacionit të dytë

Q(4,44) = 20 x 4,44 – 3 x4,44x4,44 = 394,27 – 262,59 = 131,68

Maksimumi i prodhimit gjithsej arrihet në pikën: M (4,44; 131,68).

3. Pika e infleksionit

Pika e infleksionit është pika në të cilën lakorja kalon nga forma konvekse në atë

konkave ose anasjelltas.

Q” (x) = 40 – 18x

40 – 18x = 0

- 18x )1(/4 0 −⋅−= 18x = 40

x =18

40

x = 2,22

Q (2,22) = 20 . 2,222 – 3. 2,223

Q (2,22) = 98,57 – 32,83

Q (2,22) = 65,74

Pika e infleksionit e prodhimit është: I (2,22; 65,74).

4. Produktiviteti kufitar (minimal)

Produktiviteti kufitar (minimal) i punës (kapitalit) tregon ndryshimin e sasisë së

prodhimit për njësinë e punës ose të kapitalit të shpenzuar. Kështu fitohet përgjigja

33


lidhur me pyetjen për sa rritet prodhimi gjithsej për secilën njësi shtesë të faktorit

prodhues.

MPQxdL

dQ=

MPQx = 40x – 9x2

pikat zero:

40x – 9x2 = 0

x (40x – 9x) = 0

x1 = 0, 40 – 9x = 0

- 9x = - 40

x 9

40=

x2 = 4,44

pika e maksimumit M:

Q” (x) = 40 – 18 x

40 – 18x = 0

- 18x = - 40

x = 2,22

MPQ 2,22 = 40 . 2,22 – 9 . 2,222

MPQ 2,22 = 88,80 – 44,36 = 44,44

Maksimumi i produktivitetit prodhues arrihet në pikën: M (2,22; 44,44).

5. Produktiviteti mesatar i punës ose i kapitalit

Produktiviteti mesatar i punës ose i kapitalit tregon sasinë e prodhimit për njësinë e

punës ose e kapitalit të shpenzuar.

APQ x

x

xx

x

Q 32 320 −==

APQ x = 20x – 3x2

Pika e maksimumit të APQx është njëkohësisht edhe pika ku është APQx = MPQx,

përkatësisht ku produktiviteti mesatar është i barabartë me produktivitetin minimal.

APQx = MPQx

34


20x – 3x2 = 40x – 9x2

20x – 40x – 3x + 9x2 = )1(/0 −⋅

x (20 – 6x) = 0

x1 = 0, 20 - 6x = 0

- 6x = - 20

x 6

20=

x2 = 3,33

APQ 3,33 233333,320 ⋅−⋅=

APQ 3,33 = 66,60 – 33,27

APQ 3,33 = 33,33

Maksimumi i produktivitetit mesatar arrihet në pikën M (3,33; 33, 33).

Ky është njëkohësisht kufiri midis fazës I dhe II. të prodhimit. Maksimumin e

produktivitetit mesatar e tregon tabela në vazhdim:

Tabela 2. Maksimumi i produktivitetit mesatar

X

20x2 – 3x3

Q

20x– 3x2

APQx

40x – 9x ?

MPQx0 0 0 01 17 17 312,22 (I) 65,74 29,61 (M) 44,443,33 111 (M) 33,33 33,334 128 32 164,44 (M) 131,68 29,66 Q e ka M 06 72 12 - 84

Q3,33 = 20 + 3,332 – 3 . 3,333

Q3,33 = 221,78 – 110,78

Q3,33 = 111

Q4 32 43420 ⋅−⋅= Q4 = 320 – 92

Q4 = 128

Q6

32 63620 ⋅−⋅=

Q6 = 720 – 648

35


Q6 = 72

APQ2,22 222,2322,220 ⋅−⋅=

APQ2,22 = 44,40 – 14,79

APQ2,22 = 29,61

APQ4

243420 ⋅−⋅=

APQ4 = 80 – 48

APQ4 = 32

APQ4,44 244,4344,420 ⋅−⋅=

APQ4,44 = 88,80 – 59,14

APQ4,44 = 29,66

APQ6 263620 ⋅−⋅=

APQ6 = 120 – 108

APQ6 = 12

MPQ4 249440 ⋅−⋅=MPQ4 = 160 – 144

MPQ4 = 16

MPQ4,44

244,4944,440 ⋅−⋅=

MPQ4,44 Q→=−= 06,1776,177

e ka max.

MPQ6

269640 ⋅−⋅=

MPQ6 = 240 – 324

MPQ6 = 84

Paraqitja grafike 1. Përcaktimi i fazave të prodhimit

36


Prodhimi i

përgjithshë

mProdhimtari

a mesatareProdhimtari

a kufitare

6. Elasticiteti i prodhimit në kufijtë e fazave të prodhimit

Elasticiteti i prodhimit është aftësia e prodhimit për të reaguar kur ndryshohet ndonjë

faktor i cili me të cilin është në ndërvarësi reciproke.

EQX

2

2

320

940

xx

xx

APQ

MPQ

−−==

EQ3,33 2

2

3333,333333,320

3333,393333,340

⋅−⋅⋅−⋅=

EQ3,33 33,3366,66

10033,133

−−=

EQ3,33 133,33

33,33 ==

Elasticiteti i prodhimit në kufirin I. e II. të fazës së prodhimit është 1. Në kufirin I. e II.

të fazë së prodhimit produktiviteti kufitar dhe ai mesatar janë të barabartë. Lakoret e

tyre në Paraqitjen grafike 1. priten.

37


EQ4,44 2

2

4444,434444,420

4444,494444,440

⋅−⋅⋅−⋅=

EQ4,44 26,5989,88

78,17778,177

−−=

EQ4,44 063,29

0 ==

Elasticiteti i prodhimit në fazën II. e III. është baras me 0, produktiviteti kufitar

(minimal) baras me zero, kurse prodhimi gjithsej është maksimal.

EQ2

2

2

23220

29240

⋅−⋅⋅−⋅=

EQ në zonën e prodhimit elastik

EQ2 1240

3680

−−=

EQ2

57,128

44 ==

1, 57 do të thotë se rritja e rolit të faktorit prodhues është për 1% (në nivelin prej x = 2)

shkakton ngritjen e prodhimit për 1,57%, duke supozuar se faktorët e tjerë kanë mbetur

të pandryshuar. Prodhimi ndryshon më shumë se investimi i faktorit prodhues.

Gjithashtu, është i mundshëm deviacioni (derivati) i pjesërishëm (parcial) i funksioneve

me dy ose më shumë variabla. Le t’i ketë funksioni f (x,y) dy deviacione të pjesërishme

të derivacionit të rendit të parë:

- derivacioni f sipas x, me ç’rast y e shikojmë si konstant

- derivacionin f sipas y, me ç’rast x e shikojmë si konstant.

Matematikisht mund të shënohen: x

f

δδ

, y

f

δδ

; dx

df,

dy

df; x

f ' , yf ' ,

përkatësisht

xf , yf .

Shembulli 29.

Përcaktoni deviacionet parciale të funksionit:

a) f (x, y) = 2x3 + 3x2– 3xy + 5

b) f (x, y) = 5 1n (2x – 3y)

38


c) f (x, y) = xy

Zgjidhja:

a) fx = 6x2 – 3y; fy = 6y – 3x

b) fx yxyx 32

102

32

15

−=⋅

−⋅=

; fy

xyyxyx 23

15

32

15)3(

32

15

−=

−−=−⋅

−⋅=

c) fx

1−⋅= yxy ; fy

xx y ln=

Shembulli 30:

Funksioni i dhënë i kërkesës:

qA = 0,5 pA-0,4 pB

0,8,

ku është qA kërkesa e produktit A, pA çmimi i produktit A dhe pB çmimi i prodhimit B.

Përcaktoni koeficientin e elasticitetit parcial dhe koeficientin e elasticitetit të kryqëzuar

dhe shpjegoni rezultate e fituara.

Zgjidhja:

Elasticiteti parcial:

EqA,pA A

A

A

A

dp

dq

q

p⋅=

EqA,pA

4,0)4,0(5,05,0

8,04,1

8,04,0−=−⋅⋅= −

− BA

BA

A pppp

p

Nëse çmimi i produktit A rritet për 1%, kërkesa e produktit A do të zvogëlohet për

0,4%, pa ndryshim të çmimit të produktit B.

Elasticiteti i kryqëzuar:

EqA,pB B

A

A

B

dp

dq

q

p⋅=

EqA,pB

8,08,05,05,0

2,04,0

8,04,0=⋅⋅⋅= −−

− BA

BA

B pppp

p

39


Nëse çmimi i produktit B rritet për 1%, kërkesa për produktin A do të rritet për 0,8%, pa

ndryshim të çmimit të produktit A.

Përcaktimin e funksionit ekstrem të dy variablave do ta shpjegojmë në shembullin

konkret.

Shembulin 31.

Funksioni i të ardhurave gjithsej të ndërmarrjes X ka formën:

P (Q1, Q2) = 2Q1 Q2 – 2Q12 – Q2

2 + Q1+20

ku Q1 dhe Q2 janë sasi të produktit 1 e 2. Përcaktoni me çfarë sasie Q1 dhe Q2 do të

realizohen të ardhurat më të mëdha.

Zgjidhja:

Zgjidhja e problemit të dhënë konsiston në llogaritjen e maksimumit të funksionit të

dhënë. Veprimi është si vijon:

1. Përcaktojmë devijacionet (derivatet) e para parciale PQ1 dhe PQ2;

PQ1 = 2Q2 – 4Q1 + 1 PQ2 = 2Q1 - 2Q2

2. I barazojmë deviacionet e para parciale s(derivatet e para parciale) me zero dhe e

zgjidhim sistemin me dy ekuacione me nga dy të panjohura:

2Q2 – 4Q1 + 1 = 0

2Q1 – 2Q2 = 0

Q1 2

1= Q2

→=2

1

pika stacionare

3. Përcaktojmë derivacionet (derivatet)parciale të rendit të dytë PQ1Q1, PQ2Q2 , PQ1Q2,

PQ2Q1 :

PQ1Q1 = - 4 PQ2Q2 = –2

PQ1Q 2 = 2 PQ2Q1 = 2 → deviacionet e përziera parciale të rendit të dytë përherë

janë të barabarta.

4. I llogarisim vlerat e derivacioneve parciale të rendit të dytë në pikat stacionare (në

këtë rast vetëm një pikë stacionare

2

1,

2

1 dhe derivacionet parciale janë konstante –

nuk varen nga Q1 dhe Q2):

40


PQ1Q1= - 4 PQ2Q2 = - 2 → derivacionet parciale të shkallës së dytë sipas variablave të

njëjta duhet të kenë parashenja të njëta nëse funksioni arrin ekstremin në pikën

stacionare. Nëse janë negative, funksioni ka maksimumin, nëse ato janë pozitive,

funksioni ka minimumin në pikën stacionare të vrojtuar.

PQ1Q2 = 2 PQ2Q1 = 2

5. Llogarisim vlerat e determinantes:

Δ =¿∣PQ1Q1

∣PQ2Q1

22

21

QQ

QQ

P

P21122211 QQQQQQQQ PPPP ⋅−⋅=

Nëse është: Δ > 0 funksioni arrin ekstremin në pikën e shikuar

Δ < 0 funksioni nuk arrin ekstremin në pikën e shikuar

Δ = 0 është e nevojshme të aplikohen metoda

më të ndërlikuara.

Në rastin tonë Δ2

4−= 0422)2()4(

2

2>=⋅−−⋅−=

−

Funksioni arrin maksimumin në pikën

=

.4

81,

2

1,

2

1

2

1,

2

1,

2

1,

2

1P

Pra, e ardhura maksimale në shumë prej 20,25 njësish monetare do të realizohet me

prodhimtarinë 0,5 njësish të herësit të dy produkteve.

Shembulli 32:

Lakorja e dhënë e kërkesës së dy ndërmarrjeve në kartelë: px = 50 - x

Në kushte: 1.) MC = 0

2.) Ndërmarrjet pajtohen të prodhojnë gjysmën e sasive të

prodhimit të monopolit dhe të realizojnë gjysmën e fitimit.

Llogarit rezultatin monopolistik të prodhimit.

41


Zgjidhja:

Rezultati monopolistik i prodhimit mund të llogaritet nga funksioni i fitimit ashtu që

ekuacioni të shumëzohet me x dhe merren parasysh kushtet e rendit të parë:

250 xxm −=Π , mandej pason: 025 0 =−=∂∏∂

xx

m (derivacioni i parë parcial

m sipas x).

Me zgjidhjen e ekuacionit sipas x, px dhe m∏ fitohen këto dy zgjidhje optimale:

x* = 25; px* = 25; Πm* = 625

Interpretimi i zgjidhjeve të fituara:

Nëse të dy ndërmarrjet vendosin të prodhojnë sasi të njëjta, secila ndërmarrje mund të

prodhojë 12,5 njësi dhe më atë rast të fitojë 312,5 njësi të fitimit me çmim 25 njësish.

Rezultati i përgjithshëm (monopolistik) i prodhimit do të jetë: 312,5 x 2 = 625 njësi

monetare. Mirëpo, nëse ndërmarrja A vendos të mos i përmbahet marrëveshjes së

kartelit dhe prodhon 15, në vend të 12,5 njësive, rezultati i tregut i prodhimit do të jetë

27,5 njësi, ndërsa çmimi i tregut i prodhim së do të jetë 27,5 njësi. Sipas atij çmimi

ndërmarrja A do të fitonte 337,5 njësi (15 x 22,5), kurse ndërmarrja B 281,25 njësi

(12,5 x 22,5). Për këtë arsye, ndërmarrja është shumë e motivuar të shtojë prodhim në

15 njësi. Mirëpo, nëse të dy ndërmarrjet e rrisin prodhim në 15 njësi (gjithsej 30),

çmimi i tregut do të bie në 20 njësi dhe të dy ndërmarrjet do të humbnin fitimin, duke

fituar vetëm 300 njësi. Në atë rast, rezultati i përgjithshëm (monopolistik) i prodhimit

do të jetë 600 njësi monetare, do të thotë më i vogël për 25 njësi monetare. Prandaj,

bisedimet midis këtyre dy ndërmarrjeve, arritja e marrëveshjes së kartelit dhe respektimi

i asaj marrëveshjeje është zgjidhja e vetme për të dyja ndërmarrjet.5

5 Lit. 42.

42


8. NJEHSIMI INTEGRAL DHE ZBATIMI

1.12. Llogaritja integrale

Llogaritja integrale është fushë mjaft e gjerë dhe relativisht e ndërlikuar e

matematikës, e cila rrallë aplikohet në praktikën afariste. Ne në këtë punim shkurtimisht

do të shpjegojmë vetëm nocionet themelore të llogaritjes integrale dhe rregullat e

integrimit.6

Funksioni primitiv për funksionin e një variable y = f (x) është funksion i tillë

F(x) derivacioni i të cilit është i barabartë me funksionin fillestar f (x). Mbledhja e

funksioneve primitive për funksionin e dhënë është bashkësi e pakufishme. Shprehja e

përgjithshme F(x)+C për të gjitha funksionet primitive të funksionit të dhënë (x) i

quajmë integrale të papërcaktuara dhe i paraqesim:

F(x)+C ∫= dxxf )(

(1.51.51)

Tabela 3. Rregullat e përgjithshme të integrimit

Tabela e integraleve themelore

(Konstanta e integrimit të C nuk është përfshirë në tabelë)

∫ −≠+

=+

)1(1

1

nn

xdxx

nn

∫ = xx

dxln

∫ = xx edxe

∫ =a

adxa

xx

ln

∫ −= xxdx cossin

a

xarctg

axa

dx∫ =

+1

22

∫ −+=

− xa

xa

axa

dxln

2

122 ( )ax <

∫ +−=

− ax

ax

aax

dxln

2

122

( )ax >

∫ =− a

x

xa

dxarcsin

22

6 Lit. 18. (sh. Literatura, fq. 329-331).

43


∫ = xxdx sincos

∫ −= xtgxdx cosln

∫ = xctgxdx sinln

∫ ++=+

22

22ln axx

xa

dx

∫ −+=−

22

22ln axx

ax

dx

Rregullat themelore të integrimit:

Integrimi i prodhimit të konstantës dhe funksionit:

∫ ∫⋅=⋅ dxxfadxxfa )()(

(1.52.52)

Shumat e integruara dhe diferencat:

( )∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf )()()()()()(

(1.53.53)

Rregulla e supstitucionit: Nëse është )(tux = , atëherë:

[ ]∫ ∫ ⋅= dttutufdxxf )(')()(

(1.54.54)

Integrimi parcial: Nëse u dhe v janë funksione prej x, atëherë vlen:

∫ ∫−= vduuvfudv (1.55.55)

Shembulli 33.

Zgjidhja:

Përcaktoni integralet e papërcaktuara:

a) ∫ ∫ +=+

=⇒+

Cxx

dxxdxx413

41333

b) ∫ ∫ ∫ +=⋅=+

⋅==⇒+

Cxxx

dxxdxxdxx 5514

444

55

145555

c) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =+−=+−=+− dxxdxdxxdxxxdxxx 34)34()34( 222

44


∫ ∫ ∫ =⋅+⋅−=+

⋅++

⋅−+

=+−+++

13

24

3103

114

1234

1231011122 xxxxxx

dxxdxdxx

Cxxx ++−= 323

1 23 .

Shembulli 34.

Caktoni funksionet e shpenzimeve të përgjithshme T = f(Q), nëse elasticiteti

QE QT 2,0, = dhe nëse shpenzimet fikse janë 1,8.

Zgjidhja:

Zgjidhja e këtij problemi konsiston në zgjidhjen e ekuacionit diferencial.

dQ

dT

T

QE QT ⋅=,

)(:)(. //02,0 QdQQdQ

dT

T

Q =⋅

⇒= 02,0 dQT

dT e integrojmë ekuacionin

∫∫ = dQT

dt02,0

lnT CQ += 02,0

T CQe += 02,0

T QC ee 02,0⋅=C është konstanta, prandaj eC është konstanta (nuk është qenësore shenja) dhe arrijmë

deri të zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial:

T(Q) QeC 02,0⋅=

Përdorim vlerën e dhënë të shpenzimeve fikse:

T (0) = 1,8

C 8,1002,0 =⋅ ⋅e

C = 1,8

45


Pra, funksioni i kërkuar i shpenzimeve të përgjithshme është:

T(Q) Q 02,08,1 e⋅=

Shembulli 35.

a) Është dhënë funksioni i shpenzimeve kufitare (minimale) t(Q) = 2Q – 4Q -2 si

funksion i prodhimit Q. Përcaktoni funksionin e shpenzimeve të përgjithshme,

nëse shpenzimet e përgjithshme në nivel të prodhimit Q = 1 janë 10.

b) Një prodhues ka gjetur se kostoja margjinale është 23 80 500x x− + euro për

njësi kur prodhohen x njësi. Kostoja e përgjithshme e prodhimit të 2 njësive të

para është 1000 €. Sa është kostoja e përgjithshme e prodhimit të 5 njësive të

para ?

c) Një shitës me pakicë pranon një dërgesë prej 12000 kg miell, i cili do të

shpenzohet me shpejtësi konstante nga 300 kg në javë. Në qoftë se kostoja e

depos e miellit është 0.5 cent për kilogram për javë, sa do të duhet të paguajë

shitësi në emër të kostos për depo gjatë 40 javëve të ardhshme?

d) Çmimi p (euro) i një njësie të mallit të caktuar vlerësohet të ndryshojë me

shpejtësi

2

217

16

dp x

dx x= −

+,

ku x (qind) njësi është kërkesa e konsumatorëve. Supozojmë se 300 njësi

( 3)x = kërkohen kur çmimi është 240 € për njësi.

1) Të gjendet funksioni i çmimit ( )p x sipas kërkesës.

2) Për çfarë çmimi do të kërkohen 400 njësi? Për çfarë çmimi nuk do të

kërkohet asnjë njësi?

3) Sa njësi kërkohen për çmimin 30 € për njësi ?

Zgjidhja:

a) Funksioni i shpenzimeve minimale t(Q) është i barabartë me derivacionin

e funksionit të shpenzimeve të përgjithshme T (Q) sipas variablës Q. Pra, vlen:

)(QtdQ

dT =

46


dQ) (2 /42 ⋅−−= QQdQ

dT

dT ∫−= − )(2 /)42( dQQQ

∫ ∫ −−= dQQQdT )42( 2

T ∫ ∫ −−= dQQQdQ 242

T CQQ +−

⋅−⋅=−

14

22

12

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është: T(Q) = Q2+4Q-1 +C. E radhisim

informatën shtesë T (1) = 10:

10 C+⋅+= −12 141

C = 5

Pra, funksioni i kërkuar i shpenzimeve të përgjithshme është: T(Q) = Q2+4Q-1+5.

b) Kujtojmë se kostoja margjinale është derivati i funksionit ( )C x të kostos së

përgjithshme. Kështu,

2'( ) 3 80 500C x x x= − + ,

prandaj ( )C x duhet të jetë funksioni primitiv

2

3 2

( ) '( )

(3 80 500)

40 500 ,

C x C x dx

x x dx

x x x K

=

= − +

= − + +

∫∫

për ndonjë vlerë të konstantës së integrimit K.

Vlera e K përcaktohet nga fakti se

(2) 1000C = .

Pra,

3 22 40 2 500 2 1000K− ⋅ + ⋅ + = ,

prej nga gjejmë

152K = .

Prandaj,

47


3 2( ) 40 500 152C x x x x= − + + ,

dhe kostoja e prodhimit të 5 njësive të para është

3 2(5) 5 40 5 500 5 152

1777.

C = − ⋅ + ⋅ +=

c) Shënojmë me ( )S t koston e përgjithshme (totale) (në euro) gjatë t javëve. Meqë

mielli shpenzohet me shpejtësi konstante nga 300 kg në javë, numri i kilogramëve të

miellit në depo pas t javësh është

( ) 12000 300q t t= − .

Prandaj, meqë kostoja e depos e miellit është 0.5 cent (d.m.th. 0.005 €) për kilogram

për javë, shpejtësia e ndryshimit të kostos së depos sipas kohës është

( ) 0.005

0.005(12000 300 )

60 1.5 .

dSq t

dtt

t

= ⋅

= −= −

Rrjedhimisht, ( )S t është

2

( )

(60 1.5 )

60 0.75

dSS t dt

dt

t dt

t t C

=

= −

= − +

∫∫

për ndonjë konstantë C. Për të përcaktuar vlerën e C, shfrytëzojmë faktin se në kohën e

arritjes së dergesës (kur 0t = ) nuk ka kosto, pra

(0) 0S = ,

d.m.th.

260 0 0.75 0 0C⋅ − ⋅ + =ose

0C = .

Kështu,

48


2( ) 60 0.75S t t t= − ,

dhe kostot për depo gjatë 40 javëve të ardhshme do të jenë

2(40) 60 40 0.75 40

1200.

S = ⋅ − ⋅=

d)

1) Çmimi ( )p x për njësi të kërkesës gjendet duke integruar '( )p x sipas x :

2

( ) '( )

217.

16

p x p x dx

xdx

x

=

= −+

∫∫

Për këtë, bëjmë zëvendësimin

2 116 , 2 ,

2u x du x dx du x dx= + = = ,

për të fituar

2

1/ 2

1/ 2

2

217( )

16217 1

2

217

2217 1

122

217 16 .

xp x dx

x

duu

u du

u C

x C

−

= −+

= − ⋅

= −

= − ⋅ +

= − + +

∫

∫

∫

Meqë 240p = kur 3x = , gjejmë

2

(3) 240

217 16 3 240

240 217 25

1325,

p

C

C

C

=

− + + =

= +=

49


prandaj

2( ) 217 16 1325p x x= − + + .

2) Kur kërkesa është 400 njësi kemi 4x = , dhe çmimi korrespondues është

2(4) 217 16 4 1325

97.46.

p = − + +≈

Asnjë njësi nuk kërkohet kur 0x = , kurse çmimi korrespondues është

2(0) 217 16 0 1325

457.

p = − + +=

3) Për të përcaktuar numrin e njësive të kërkuara për çmimin 30 € për njësi, duhet

zgjidhur ekuacionin

2

2

2

22

2

( ) 30

217 16 1325 30

217 16 1295

129516

217

129516

217

129516

217

4.43.

p x

x

x

x

x

x

x

=

− + + =

− + = −

+ =

+ =

= − ≈

D.m.th., kërkesa do të jetë përafërsisht 443 njësi.

1.13 Detyra dhe zgjidhje

DETYRA

1. Nga prodhimet vjetore prej 5000 tonelatash 25 tonelata janë jokualitative

(me defekte). Sa është përqindja e mallit jokualitativ?

50


2. Shitja e realizuar kap shumën 120000,00 euro, për të cilën llogaritet

tatimi në mbivlerë në kontigjente me shkallë 22%. Sa kapë tatimi në

mbivlerë?

3. Në një aksident komunikacioni është shkatërruan kamioni i fabrikës. Shoqëria e

sigurimit në emër të dëmit ka kompensuar vlerën e kamionit në shumë prej 9500,00

eurosh, që do të thotë 75% të vlerës së kamionit. Sa është vlera e kamionit?

4. Pasuria e ndërmarrjes është çregjistruar 50% dhe pas çregjistrimit vlen 230000,00

euro. Sa është amortizimi dhe sa ishte vlera blerëse e pasurisë.

5. Sipërmarrja është dashur të pranojë lëndë të parë më vlerë 7500,00 euro, kurse ka

marrë 12% më pak vlerë të mallit. Sa është vlera e lëndës së parë që ajo ka marrë?

6. Çmimi prodhues i produktit është zvogëluar për 15% dhe tani është 2500,00 euro. Sa

ishte çmimi i shitjes së mallit para zvogëlimit të çmimit?

7. Çmimi i shitjet është rritur prej 230 në 250 euro. Sa për qind është rritur

çmimi i shitjes i produktit?

8. Çmimi i shitjes i produktit është zvogëluar 5% ose 65 euro. Sa ishte

çmimi i shitjes përpara, e sa pas lirimit?

9. Shpenzimet fikse të ndërmarrjes kapin shumën prej 50000,00 eurosh dhe

përbëjnë 25% të shpenzimeve të përgjithshme. Sa është shuma e

shpenzimeve të përgjithshme dhe sa shpenzimet variabile, nëse

shpenzimet fikse dhe ato variabile e përbëjnë shpenzimet e përgjithshme

të fabrikës?

10. Pas rritjes prej 11% punëtori ka marrë pagën prej 350 eurosh. Për sa

euro është rritur paga e tij?

11. Produkti me peshë 1 kg përmban 500 g lëndë të parë, 300 g lëndë tjetër

të parë dhe 200 g të lëndës së tretë. Çfarë është struktura e produktit për

kah lënda e parë në përqindje?

12. Fatura që ka arritur kap shumën prej 7000,00 eurosh. Vlera e mallit në

faturë përbën 80%, shpenzimet e transportit 15%, premia e

sigurimit 5%, kurse pjesa tjetër shpenzime të tjera. Sa euro kap vlera e

mallit, sa shpenzimet e transportit, sa premia e sigurimit dhe sa

shpenzimet e tjera?

51


13. Sa mall mund të blihet me 5600,00 euro, nëse 300 kg kushtojnë

25000,00 euro?

14. Sa kap kamata për 23000,00 euro kredi, nëse për 250000,00 euro kredi

kamata kap shumë prej 7800,00 euro, kurse kushtet e kredisë janë të

njëjta?

15. 500 copë produkti i prodhojnë 25 punëtorë për tridhjetë ditë, duke

punuar 7 orë në ditë. Sa do të prodhonin 30 punëtorë, nëse do të punonin

25 ditë nga 8 orë në ditë?

16, 50 punëtorë mbledhin 15 tonelata mollë për 8 ditë. Ditën e parë molla

mbledhin 12 punëtorë, kurse gjatë 4 ditëve të tjera 7 punëtorë. Sa

punëtorë duhet të mbledhin mollë dy ditët e fundit, për t’u kryer puna për

8 ditë?

17. Ndërmarrja ka marrë 1380 kg lëndë të parë A, 230 kg B, 460 kg C dhe

650 kg D, për të cilat ka paguar shpenzimet e transportit 2400,00 euro.

Duhet të shpërndahen shpenzimet e transportit të lëndës së parë sipas

sasive të blera.

18. Rezerva (stoqe) janë 25 copë produktesh A me çmim 157,00 euro, 30

copë produktesh B me çmim 185,00 euro, 36 copë C me çmim 200,00

euro dhe 7 copë të produktit D me çmim 130,00 euro. Sa është çmimi

mesatar i produkteve që janë rezervë (stoqe)?

19. Sa kushton 1 kg mollë, nëse 1 kg mollë bën sa 2 kg dardha, 1 kg dardha

kushton sa 0,5 kg qershi, kurse 1 kg qershi kushton 3 euro?

20. Është dhënë funksioni i prodhimit Q = 18x2 - 4x3, ku sasia x është e

faktorit të angazhuar prodhues. Paraqitni me numra dhe grafikisht fazat

e prodhimtarisë, elasticitetin e tij në kufijtë e fazave të prodhimit dhe

elasticitetin e prodhimtarisë për një vlerë x në zonën e prodhimtarisë

elastike.

21. Lakorja (kurba) e dhënë e kërkesës: px = 20 - x

Me kushte: 1.) MC = 0

2.) Ndërmarrjet janë të pëlqimit që gjysmën

e sasive të prodhimit të monopolit dhe të

52


realizojnë gjysmën e fitimit.

22. Përcaktoni derivatet e funksioneve të dhëna:

a) f(x) 1572 23 −+−= xxx

b) f(x) 5 3x=

c) f(x) xx ln7 4=

d) f(x) 5

32

−+=

x

x

e) f(x) 145 −= x

23. Përcaktoni ekstremet e funksioneve f(x) 2323

1 23 ++−= xxx

24. Funksioni dhënë i kërkesës pq −= 2 , ku p është çmimi i produktit të caktuar.

Përcaktoni zonën e elasticitetit dhe atë të joelasticitetit të funksionit të dhënë!

25. Përcaktoni ekstremet e funksionit: f(x,y) = 2x2 + y2+x+1.

26. Është dhënë funksioni i kërkesës: 9,06,03 BAA ppq −= , ku qA është kërkesë

e produktit A, PA çmimi i produktit A dhe pB çmimi i produktit B.

Caktoni koeficientin e elasticiteti parcial dhe koeficientin e elasticitetit të

kryqëzuar dhe shpjegoni rezultatet.

27. Përcaktoni integralet e papërcaktuara:

a) ∫ 2x

dx

b) ∫ −+ dxxx )375( 2

c) ∫ −42x

dx

28. Përcaktoni funksionin e shpenzimeve të përgjithshme T = f(Q), nëse

elasticiteti është ET,Q= 0,3Q dhe nëse shpenzimet fikse janë 1,5.

29. Është dhënë funksioni i shpenzimeve minimale t(Q) = 4Q+3Q-2 si

funksion i prodhimit Q. Caktoni funksionin e shpenzimeve të

përgjithshme, nëse shpenzimet e përgjithshme në nivel të prodhimit

Q = 1 janë 3.

53


ZGJIDHJET:

1. 0,5%

2. 27 500,00 euro

3. 126 666,67 euro

4. amortizimi: 230 000,00 euro

vlera blerëse 460 000,00 euro

5. 6 600,00 euro

6. 2 941,18 euro

7, 8,7%

8. para zbritjes 1 300,00 euro

pas zbritjes 1 235,00 euro

9. shpenzimet e përgjithshme 200 000,00 euro

shpenzimet variabile 150 000,00 euro

10. 346,85 euro

11. 50% të një lënde të parë, 30% të të dytës, 20% të të tretës lëndë të parë.

12. Vlera ë mallit: 5 600,00 euro

shpenzimet e transportit: 1050,00 euro

premia e sigurimit: 280,00 euro

shpenzimet e tjera: 350,00 euro.

13. 80 kg

14. 7176,00 euro

15. 571,43 euro

16. 174 punëtorë

17. A = 1200,00 euro

B = 200,00 euro

C = 400,00 euro

D = 600,00 euro

18. 179,44 euro

19. 30,00 euro

20. Kufiri I. dhe II. i fazës së prodhimit gjendet në pikën

54


(2,25; 45,56), kurse kufiri II. dhe III. është në pikën

(3; 54). EQ2,25 = 1, EQ3 = 0, EQ1 = 1,71 për x=1.

21. x* = 10, px* = 10 Πm* = 100

22. a) f’(x) = 6x2 – 14 x + 5

b) f’(x) 5 25

3

x=

c) f’(x) )1ln4(7 3 += xx

d) f’(x) 2510

3102

2

+−−−=

xx

xx

e) f’(x) 14

10

−=

x

23. ;3

10,1max

min(3,2)

24. Funksioni është elastik për

∈ 2,

3

4p , për p = 2

funksioni është plotësisht joelastik.

Funksioni është joelastik për

∈

3

4,0p , për p = 0 funksioni është

plotësisht joelastik.

25. min

−−

7

6,

7

1,

7

2

26. EqA,pA = - 0,6

Nëse çmimi i produktit A rritet për 1%, kërkesa për produktin A zvogëlohet për

0,6%, pa ndryshuar çmimi i produktit B.

EqA,pB = 0,9

Nëse çmimi i produktit B rritet për 1%, kërkesa për produktin A rritet

për 0,9%, pandryshuar çmimi për produktin A.

27. a) I Cx

+−= 1

55


b) I Cxxx +−+= 32

7

3

5 23

c) I Cxx +−+= 4ln 2

28. T (Q) = 1,5 e 0,3Q

29. T(Q) 43

2 2 +−=Q

Q .

56


9. NJEHSIMI I THJESHTË I KAMATËS

2. LLOGARITJA E THJESHTË E KAMATËS

2.1. Nocionet themelore

Kamatat ia paguan huamarrësi (boxhliu) huadhënësit për shfrytëzimin e të

hollave të tij për kohë të caktuar. Për këtë arsye kamatat përherë llogariten për kohë të

caktuar, që quhet kohë e kapitalizimit të parasë, kohë e kamatizimit të parave ose

periudhë e kapitalizmit të parave. Koha matet me njësitë e njohura kohore, kurse për

llogaritjen e kamatës përdoren ditët, muajt dhe vitet. Koha e kapitalizimit për llogaritjen

e kamatës përcaktohet me kontratën midis huadhënësit dhe huamarrësit (borxhliut) ose

me dispozita ligjore.7

Kamatat mund të jenë të rregullta dhe kamatëvonese (ndëshkuese). Kamata të

rregullta janë ato që zakonisht janë të kontraktuara, kurse ato ndëshkimore

(kamatëvonesë), mund të jenë të kontraktuara ose të përcaktuara me ligj. Në praktikë,

më së shpeshti, kamatëvonesat janë pak më të mëdha se ato të rregullta dhe janë një lloj

dënimi për mospagimin me kohë të obligimeve.

Kamatat mund të llogariten në fund të periudhës së caktuar kohore ose në

fillim të periudhës së caktuar kohore nga kapitali (kryegjëja) nga fillimi i periudhës ose

nga kapitali në fund të asaj periudhe. Për këtë arsye flitet për llogaritjen dekursive ose

anticipative të kamatës. Përqindja përmes së cilës llogaritet shuma e kamatës quhet

interes. Përqindja për llogaritjen dekursive të kamatës shënohet me p, kurse për

llogaritjen anticipative si q. Kjo përqindje quhet edhe shkalla (norma) e kamatës.

Shkalla e kamatës zakonisht kontraktohet, ose është e caktuar me ligj, kurse përherë i

referohet një periudhe të caktuar kohore, zakonisht prej një viti. Nga kamata vjetore

mund të llogaritet interesi tremujor, mujor ose ditor dhe anasjelltas, pra interesi për

cilëndo periudhë kohore.

7 Literatura e pwrdorur: 28., 11., 12., 10, 16. (sh. Literatura fq. 329-331) dhe simbolika e Relicit: Matematika ekonomike, RIF, Zagreb, 2002.

57


Varësisht nga ajo se çka merret si bazë për llogaritjen e kamatës, kamatat mund

të jenë të thjeshta dhe të përbëra. Nëse kamatat llogariten për secilën periudhë të

kapitalizimit nga i njëjti kapital (kryegjë), është fjala për kamata të thjeshta, kurse kur

kamata llogaritet nga kapitali i ndryshueshëm, fjala është për kamata të përbëra.

Llogaritja e thjeshtë dhkomplekse e kamatës mund të jetë dekursive dhe anticipative.

2.2. Llogaritja e kamatës në përqindje

Llogaritja e kamatës në përqindje del nga përpjesëtimi themelor për llogaritjen

e një të qindtës, vetëm se kryegjëja është S, nga e cila llogaritet kamata dhe shënohet me

C, kurse përqindja P është kamata dhe shënohet me K. Përqindja p është interesi dhe

shënohet p (G) dhe paraqet shumën e kamatës në njëqind njësi monetare për një vit. Pra,

në llogaritje është përfshirë edhe koha dhe shënohet veçmas me n. Vlera definitive e

kryegjësë shënohet me Cn dhe është e barabartë me shumën e kryegjësë dhe kamatave:

Cn = C + K (2.1.56)

Kamatat e thjeshta për një vit në mënyrë dekursive të llogaritjes janë:

K1 100

)(GpC ⋅= (2.2.57)

Kamatat për dy vjet janë dy herë më të madha se kamatat për një vit, për tre

vjet – tri herë, për n vjet n herë më të mëdha.

K2 100

)(2

GpC ⋅= (2.3.58)

K3 100

)(3

GpC ⋅= (2.4.59)

Kn 100

)(GpCn

⋅= (2.5.60)

Raporti themelor për llogaritjen e thjeshtë të kamatës është:

C : 100 ( )nGpK ⋅= )(: (2.6.61)

Nga kjo del se vlera definitive (e ardhshme) e kapitalit në bazë të llogaritjes së

thjeshtë dhe dekursive të kamatës është:

58


Cn

⋅+=

100

)(1

nGpC (2.7.62)

Nëse janë të njohura: kapitali C, vjetët n, kamata vjetore p (G), kamatat

përcaktohen:

K 100

)( nGpC ⋅⋅= (2.8.63)

Shembulli 36.

Sa është shuma e kamatës gjithsej për kapitalin prej 12 000,00 euro për periudhën 5-

vjeçare me interes vjetor 7? Llogaritja e kamatës është dekursive.

Zgjidhja:

Kamata e thjeshtë gjithsej është: K = 100

57000 12 ⋅⋅ = 4 200,00 euro.

Interesi vjetor llogaritet sipas formulës:

P(G) nC

K

⋅⋅=100

(2.9.64)

Shembulli 37.

Pas dy vjet e gjysmë huamarrësi ka paguar 10 500,00 euro të borxhit dhe 2300,00 euro

kamatë. Sa ishte shkalla e kamatës (interesi), nëse llogaritja është dekursive?

Zgjidhja:

p (G) %76,82,5500 10

2300100 =⋅

⋅=

Shkalla e kamatës vjetore ishte 8,76%.

Borxhi ose kapitali (kryegjëja) për të cilën llogaritet kamata llogaritet sipas formulës:

C nGp

K

⋅⋅=)(

100

(2.10.65)

Shembulli 38.

59


Pas dy vjetësh është paguar borxhi i cili përmban 8% të kamatave vjetore të thjeshta të

llogaritura në mënyrë dekursive në shumë prej 2500,00 euro. Sa kapte shuma e huas

(borxhit)?

Zgjidhja:

C 625 1528

2500100 =⋅⋅=

Borxhi kapte shumën prej 15 625 euro.

Koha n llogaritet sipas formulës:

n)(

100

GpC

K

⋅⋅= (2.11.66)

Shembulli 39.

Për sa vjet shuma prej 50 000,00 euro me kamatë vjetore 7 për qind sjellin 12 500,00

euro kamatë të thjeshtë.

Zgjidhja:

57,37000 50

500 12100 =⋅

⋅=n

Shuma prej 50 000,00 eurosh sjellin kamatën në shumë prej 12 500,00 eurosh me

shkallë të kamatës vjetore prej 7 për qind për 3 vjet, 6 muaj e 25 ditë.

Nga rasti i mësipërm shihet se 3,57 paraqet 3 vjet, kurse muajt llogaritën ashtu që 0,57

shumëzohet me 30 ditë në muaj dhe fitohen 6 muaj, e pastaj, 0,84 shumëzohet me 30

ditë në muaj dhe dalin 25 ditë. Ky është rast i shpeshtë gjatë transaksioneve financiare

afatshkurta në të cilat kamatat llogariten edhe për muaj e ditë. Për këtë arsye në

formulën (2.6.61) është futur variabla e re sipas së cilës n =....... ??? që të fitohet

formula për llogaritjen e thjeshtë të kamatës mujore:

C : 100 = K :

⋅

12)(

mGp

(2.12.67)

Barazimi themelor për llogaritjen e thjeshtë të kamatës për muaj është:

C : 1200 mGpK ⋅= )(:

(2.13.68)

60


Nga ky barazim është thjeshtë të llogaritet një e panjohur, nëse të tjerat janë të

njohura.

Shembulli 40.

Kamata e thjeshtë për borxhin kapë shumën 2400,00 euro, me kamatë vjetore 7 për tre

muaj. Sa është borxhi?

Zgjidhja:

C mGp

K

⋅⋅=

)(

1200 (2.14.69)

C 37

24001200

⋅⋅= = 137 142,86

Borxhi ishte 137 142,86 euro.

Nëse kamata e thjeshtë llogaritet për ditë, atëherë është n⋅365 = d, prej nga

del se është n 365

d= . Meqenëse secili i katërti vit është i brishtë (i fundit ishte viti

2000), duhet pasur kujdes se në ato vite në vend të 365 merren 366 ditë. Fjala është për

metodën angleze sipas së cilës ditët në muaj llogariten sipas kalendarit. Është e

mundshme të përdoren edhe 360 ditë, prandaj është 360 . n = d, përkatësisht n =

360

d . Fjala është për metodën franceze sipas së cilës viti ka 360 ditë, kurse ditët në

muaj llogariten sipas kalendarit. Ekziston edhe metoda gjermane sipas së cilës viti ka

360 ditë, kurse secili muaj 30 ditë. Në praktikën tonë aplikohet metoda angleze, e cila

jep rezultatet më të sakta. Me radhitjen e barazimit fillestar (2.6.61) fitojmë:

C : 100

=

365)(:

dGpK (2.15.70)

Me zgjidhjen e barazimit të mësipërm fitohet baza për barazimin themelor për

llogaritjen e thjeshtë të kamatës për ditët:

C : 36500 = K : ( p(G) . d) (2.16.71)

Nga ky barazim përherë është e mundshme të llogaritet një e panjohura nëse tri

të tjerat janë të njohura.

61


Shembulli 41.

Për borxhin prej 58 000,00 eurosh janë llogaritur kamatat në shumë prej 7500,00 eurosh

sipas interesit vjetor 7. Gjeni numrin e ditëve për pagesën e kamatës.

Zgjidhja:

d )(

500 36

GpC

K

⋅⋅=

(2.17.72)

d 7000 58

7500500 36

⋅⋅= = 674,26

Kamatat janë llogaritur për 374,26 ditë, përkatësisht për 1 vit, 10 muaj dhe 9 ditë.

2.3. Llogaritja e kamatës plus dhe minus njëqind

Llogaritja e kamatës plus ose minus njëqind aplikohet në praktikën afariste me

rastin e zgjidhjes së problemeve në të cilat duhet të llogaritet kapitali C dhe/ose kamatat

e thjeshta mbi bazën e kamatës së zvogëluar ose të rritur C, përkatësisht (C±K) . Kur

zgjidhen ato probleme duhet të nisemi nga barazimi kryesor për llogaritjen e thjeshtë të

kamatës prej njëqind dhe të aplikohen rregullat matematikore për zëvendësimin e

njësive të jashtme dhe të brendshme të përpjesëtimit.

(C ))(100(:) nGpK ⋅±± = C : 100 (2.18.73)

(C ))(100(:) nGpK ⋅±± = K : (p(G) )n⋅

(2.19.74)

Nga barazimet e mësipërme, kapitali dhe kamatat e thjeshta vjetore përcaktohen në këto

mënyra:

C nGp

KC

⋅±⋅±=

)(100

100)(

(2.2075)

K nGp

nGpKC

⋅±⋅⋅±=

)(100

)()(

(2.21.76)

nëse koha është shprehur në muaj, kapitali dhe kamatat përcaktohen në këto mënyra:

62


C mGp

KC

⋅±⋅±=

)(1200

1200)( (2.22.77)

K mGp

mGpKC

⋅±⋅⋅±=

)(1200

)()( (2.23.78)

nëse koha është shprehur në ditë, kapitali dhe kamatat përcaktohen në këto mënyra:

C dGp

KC

⋅±⋅±=

)(005 36

500 36)( (2.24.79)

(metoda angleze):

K dGp

dGpKC

⋅±⋅⋅±=

)(005 36

)()(

(2.25.80)

Shembulli 42.

Ndërmarrja ka inkasuar borxhin së bashku me kamata në shumë prej 153000,00 euro

me vonesë prej 3 muajsh. Sa ishte borxhi, e sa kapnin kamatat, nëse llogaritja e

kamatave është e thjeshtë dhe dekursive me interes vjetor 7 ?

Zgjidhja:

C 731200

1200000 153

⋅+⋅= ==

1221

600,00 183 150 368,55

Borxhi ishte 150368,55 euro. Shuma e kamatave mund të gjendet më së lehti me

aplikimin e formulës:

K = (C +K) – C (2.26.81)

Përkatësisht: K = 153000,00 – 150 386,55 = 2631,45.

Pra, kamatat kapin shumën prej 2631,45 eurosh.

Shembulli 43.

Pas zbritjes së 9 për qind të kamatave të thjeshta vjetore kreditori më 1. 5. ka paguar 35

000,00 euro. Çfarë shume duhet të kthejmë më 30. 6. të po atij viti, nëse llogaritja e

kamatës është dekursive?

C = 609500 36

500 36000 35

⋅−⋅= ==

960 35

500,00 277 1 35 525,58

63


më 30. 6. po të atij viti duhet të kthejmë 35 525,58 euro. Fjala është për llogaritje të

kamatës më pak njëqind për 60 ditë.

1.4. Llogaritja anticipative dhe dekursive e kamatave

Kamatat mund të llogaritën si dekursive dhe anticipative. Mënyra dekursive e

llogaritjes së kamatave është llogaritje e kamatave në fund të secilës periudhë të

kamatarimit të kapitalit nga fillimi i asaj periudhe. Kamatat e llogaritura në fund të

periudhës së kamatarimit i shtohen asaj kryegjëje.

Mënyra anticipative e llogaritjes së kamatave është llogaritje në fillim të

periudhës së kamatarimit nga kapitali në fund të periudhës. Kamatat e llogaritura në

fund të periudhës së kamatarimit i shtohen atij kapitali. Në rastin e ngarkimit me kamata

anticipative të thjeshta në secilën periudhë të kamatarimit kapitali mbetet i pandryshuar

gjatë kapitalizimit. Pas llogaritjes së kamatave ato në fillim të periudhës së kamatarimit

zbritën nga ai kapital.

Edhe me rastin e mënyrës dekursive edhe të asaj anticipative të kamatave,

kamatat mund të jenë të thjeshta dhe të përbëra. Me fjalë të tjera, edhe llogaritja e

kamatave të thjeshta mund të jetë dekursive dhe anticipative. Kamatat e thjeshta në

praktikë më së shpeshti aplikohen përkitazi me shumat e kursyera, llogaritë rrjedhëse,

çeqet, kamatëvonesat etj.

Shembulli 44.

Kursimtari në librezë për vitin 2002 kishte këto të dhëna:

Tabela 4.

DATA DEPOZITIMI TËRHEQJA PAGESA10. 1. 3000,00 - 3000,0012. 3. 1500,00 - 4500,0015. 5. - 2000,00 2500,00Llogaritni kamatat gjithsej deri më 3. 6. 2002, nëse kamata vjetore është 5, kurse

llogaritja e kamatave e thjeshtë dhe dekursive.

Zgjidhja:

Së pari duhet të konstatohen numri i ditëve për kamatarim. Është rregull që dita e parë

nuk llogaritet, kurse e fundit po. Kjo do të thotë:

64


Tabela 5.

DATA DEPOZITIMI TËRHEQJA GJENDJA Nr. i ditëve 10. 1. 3000,00 - 3000,00 33 12. 3. 1500,00 - 4500,00 92 15. 5. - 2000,00 2500,00 19

d1 = 21 + 12 = 33

d2 = 16 + 31 + 30 + 15 = 92

d3 = 16 + 3 = 19

500 36

5192500

500 36

5924500

500 36

5333000 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=K

500 36

500 237

500 36

000 070 2

500 36

000 495 ++= = 13,56 + 56,71 + 6,51 = 76,78

Kamatat e llogaritura për periudhën prej 10. 1. deri më 3. 6. 2002 për gjendjet e

paraqitura sipas datave janë 76,78 euro.

Shembulli 45.

Kambiali është për 1000,00 euro dhe e ka afatin e arritjes më 15. 10 të vitit. Sa është

vlera e saj në ditën: 1.) më 15. 10 dhe 2.) më 31. 7, nëse përqindja e kamatës vjetore

është 5?

Zgjidhja:

Vlera e kambialit më 15. 10 është 1000,00 euro, që është njëkohësisht edhe vlera e saj

nominale. Prej 31. 7. deri më 15. 10 ka edhe 76 ditë. Kamata (diskontuese) llogaritet me

ndihmën e formulës:

K36500

7651000

500 36

)( ⋅⋅=⋅⋅= dGpC = 10,41

Më 15. 10. vlera e kambialit është 1000,00 euro (vlera nominale). Më 31. 7. vlera e

kambialit është 989,59 euro (vlera e diskontuar). Pra, vlera nominale zvogëlohet për

kamatën – diskontin dhe diferenca paraqet vlerën e diskontuar në ditën e caktuar.

Shembulli 46.

65


Ndërmarrja ia shet bankës më 10. 5. kambialin me shumë prej 10 000,00 eurosh e cila

arrin për pagesë më 20. 10 me diskont 10 për qind, 2 për qind provizion dhe shpenzime

të tjera në shumë prej 10 euro. Llogaritni shitjen dhe përcaktoni atë që merret.

Zgjidhja:

Llogaritja e shitjes më 10. 05.

100000,00 euro e pagueshme më 20. 10.

-446,58 euro kamata (diskont) më 10. 5.

9553,16 euro vlera diskontuese më 10. 5.

- 201,06 euro 2% provizion + 10,00 euro shpenzime

9352,10 euro vlera e kambialit më 10. 5.

Ndërmarrja për kambialin me vlerë 100000,00 euro realizon të hyra prej 9352,10

eurosh, pra më pak se vlera nominale e kambialit, për arsye se e ka shitur kambialin

para se të arrijë për pagesë dhe i ka lejuar blerësit 10 për qind diskont, 2 për qind

provizion dhe ka paguar shpenzimet prej 10 eurosh.

Llogaritja anticipative e kamatës në praktikë është më e rrallë, por ka raste kur

kamatat duhet të llogaritën në mënyrë anticipative. Për llogaritjen e thjeshtë të kamatës

me llogaritje anticipative përdoren këto simbole për madhësitë:

C – kapitali (kryegjëja)

__

K – kamatat e thjeshta

q(G) – interesi vjetor

n – koha e kapitalizimit sipas viteve

Cn – vlera definitive e kapitalit (kryegjësë)

Kamatat llogariten në bazë të bazës së përhershme të cilën e paraqet kapitali

(kryegjëja) Cn që arrin për pagesë në fund të kohës së kapitalizimit. Kamatat në fillim të

vitit të parë llogariten me ndihmën e formulës në vijim:

100

)(__

1

GqCK n ⋅

= (2.27.82)

Kamatat në fillim të vitit për dy vjet:

100

)(2

__

2

GqCK n ⋅

= (2.28.83)

66


Kamatat në fillim të vitit për n vjet:

100

)(__ GqCnK n

n

⋅= (2.29.84)

Përmasa themelore e llogaritjes anticipative të kamatave të thjeshta

është si vijon:

Cn : 100 = ))((:__

nGqK ⋅ (2.30.85)

Esenca e llogaritjes anticipative të kamatës është në faktin se kamatat

llogariten dhe paguhen përpara, pra në fillim të kohës së kapitalizimit. Në fillim të

kohës së kapitalizimit borxhliu merr ndonjë kapital Co, të cilin në fund të kohës së

kapitalizmit e kthen. Ajo është vlera definitive (e ardhshme) e kapitalit me llogaritje

anticipative të kamatës:

Cn nGq

C⋅−

=)(100

100 (2.31.86)

Shembulli 47.

Sa është vlera definitive e kapitalit prej 12000,00 eurosh në fund të vitit të katërt me 7

për qind kamatë të thjeshtë dhe antivipative?

Zgjidhja:

=⋅

=47-100

100000 124C = 16 666.67

__

K 100

74666,67 16 ⋅⋅= = 4 666,67

Cn – __

K = Co (2.32.87)

16 666,67 – 4 666,67 = 12 000,00

Vlera definitive e kapitalit në fund të vitit të katërt me 7 për qind kamatë të thjeshtë

anticipative do të jetë 16666,67 euro, kurse kamatat 4666,67 euro. Kontrollimi tregon

saktësinë e llogaritjes së kamatës.

67


Llogaritja anticipative e kamatës shpeshherë aplikohet me rastin e llogaritjes së

kamatës për periudhë kohe më të shkurtër, p. sh. për kredi konsumuese. Kreditë

konsumuese janë raport specifik juridiko-pronësor midis kreditorit (bankës, ndërmarrjes

tregtare etj.) dhe shfrytëzuesit të kredisë si borxhli. Me kontratë reciproke palët

obligohen se do t’i respektojnë kushtet e kreditimit, e sidomos faktin se huamarrësi do

të paguaj kredinë së bashku me kamatën në afatin e parashikuar përmes kësteve mujore.

Kamatat e kredisë konsumuese janë anticipative, llogariten dhe paguhen në fillim të

secilit muaj gjatë periudhës së kthimit të kredisë. Kamatat e thjeshta llogariten përherë

në mbetjen e borxhit të kredisë konsumuese për secilin muaj. Kamatat për muajin e parë

llogariten si vijon:

__

K1

1200

1)(1 ⋅⋅=

GqC

(2.33.88)Kamata për muajin e dytë llogaritet si vijon:

__

K2

−

⋅=

m

GqC 11

1200

)(1

(2.34.89)

Kamata për muajin e tretë llogaritet si vijon:

__

K3

−

⋅=

m

GqC 21

1200

)(1

(2.35.90)

Kurse kamatat për muajin e fundit llogariten si vijon:

__

Km

m

GqC

⋅⋅

=1200

)(1

(2.36.91)

Mbetja e borxhit në muajin e fundit është e barabartë me kredinë reale të

zvogëluar për këstet e paguara të kredisë. Kamatat e thjeshta gjithsej __

K janë të

barabarta me shumën e të gjitha kamatave mujore:

__

K =__

K 1+__

K 2 +__

K 3 + ... + __

K m

(2.37.92)

68


Nëse vlerat e tyre përfshihen në ekuacionin e mësipërm, fitohet formula për

kamatat gjithsej:

__

K 2400

)1()(1 +⋅⋅=

mGqC (2.38.93)

përkatësisht ekuacioni për koeficientin e kamatës k:

k 24

)()1( Gqm ⋅+= (2.39.94)

Koeficienti k i kamatës është shuma e kamatave të thjeshta gjithsej për 100

njësi monetare për m muaj me kamatë anticipative vjetore q(G).

Shembulli 48.

Ndërmarrja ka blerë një fshesë elektrike (thithëse të pluhurit) me vlerë 5000,00 kuna,

me këto kushte:

- pjesëmarrja me të holla të gatshme 30%

- afati i pagesës 1 vit

- norma e kamatës vjetore 8%

Sa është pjesa në të gatshme, sa kamatat gjithsej dhe sa është shuma e këstit mujor?

Zgjidhja:

I. ELEMENTET E KONTRATËS PËR KREDINË KONSUMUESE:

C – shuma e kredisë konsumuese të lejuar

P – shuma e pjesëmarrjes me të gatshme

p – përqindja e pjesëmarrjes në të gatshme

C1 – shuma e kredisë konsumuese të vërtetë

q(G) – interesi vjetor anticipativ

k – koeficienti i kamatës

__

K – gjithsej kamatat

C2 – gjithsej borxhi

m – numri i muajve për të cilët është lejuar kredia konsumuese

R - shuma konstante e këstit mujor.

II. PËRCAKTIMI I ELEMENTEVE TË KONTRATËS:

69


1. Shuma e vërtetë e kredisë konsumuese të lejuar përbën diferencën midis

kredisë së lejuar dhe pjesëmarrjes së gatshme: C1 = C – P.

2. Për kredinë konsumuese reale e lejuar C1 , llogaritet kamata gjithsej __

K

sipas llogarisë së thjeshtë të kamatës (llogaritja anticipative e kamatës) dhe i

bashkohen shumës reale të kredisë C1. Kështu fitohet shuma e borxhit të

përgjithshëm C2 .

3. Kësti konstant mujor R fitohet me pjesëtimin e C2 me numrin e muajve m.

4. Koeficienti i kamatës k fitohet ashtu që në formulën (2.38.93) renditet C1

= 100

III. ELEMENTET E NJOHURA

C = 5000,00 kuna

p = 30%

m = 12 muaj

q(Q) = 8%

IV. LLOGARITJA E ELEMENTEVE TË PANJOHURA

1. Pjesëmarrja në të gatshme: p100

305000

100

⋅=⋅= pC = 1500,00 kuna

2. Shuma e kredisë: C1 = C-P= 5000,00-1500,00 = 3500,00 kuna

3. Koeficienti i kamatës: k 24

8)112(

24

)()1( ⋅+=⋅+= Gqm = 4,33

4. Kamatat gjithsej: __

K 100

33,43500

1001 ⋅=

⋅=

kC= 151,55 kuna

5. Borxhi gjithsej: C2 = C1 + __

K = 3500,00 + 151.55 = 3651,55 kn.

6. Shuma e këstit mujor: R 12

55,36512 ==m

C = 304,3 kuna.

2.5. Detyra dhe zgjidhje

DETYRAT:

70


1. Sa është norma e kamatës vjetore të kapitalit 48000,00 euro e cila për 7

muaj sjell 648,00 euro kamata të thjeshta, me llogaritje dekursive?

2. Sa kapin kamatat e thjeshta për kredinë e shfrytëzuar me afat të shkurtë në

shumë prej 200000, euro për mjete qarkullimi për periudhën prej 31. 1.

deri më 30. 4. të vitit 2002, me normë 8,75% kamatë vjetore?

3. Sa është përqindja e kamatës vjetore pë kapitalin prej 200000,00 euro e

cila për 5 muaj sjell 700,00 euro kamatë të thjeshtë, me llogaritje

dekursive?

4. Sa është kapitali i cili me kamatë vjetore 7% për periudhën prej 15. 5. deri

më 20. 8. sjell 1450,00 euro kamatë të thjeshtë, nëse llogaritja është

dekursive?

5. Ndërmarrja në xhirollogari prej 23. 9. deri më 26. 11. ka pasur 17500,00

euro. Sa do të ketë më 31. 12. nëse banka deri më 15. 10 llogaritë 3,5%

kamatë të thjeshtë vjetore, kurse deri në fund të vitit 2,5% me llogaritje

dekursive?

6. Sa kohë nevojitet që kapitali prej 12000,00 eurosh me kamatë vjetore 6%

të bëhet 28340,00 euro? Llogaritja e kamatës është dekursive dhe e

thjeshtë.

7. Sa kohë nevojitet që një kapital të rritet për 14% me kamatë vjetore prej

2,3%, nëse llogaritja është dekursive dhe e thjeshtë?

8. Pas dy muajsh është kthyer borxhi prej 45350,00 eurosh së bashku me

18% kamatëvonesë. Sa ishte borxhi nëse llogaritja ishte dekursive e

thjeshtë?

9. Është inkasuar borxhi 7. 7., i cili kishte arritur për pagesë më 2. 3. në

shumë prej 232000,00 eurosh së bashku me 18% të kamatëvonesës. Sa

ishte borxhi nëse llogaritja ishte dekursive?

10. Për kredinë me afat të shkurtë për periudhën prej 1. 4. deri më 1. 10. në

llogari të ndërmarrjes kanë arritur 56000,00 euro pas zbritjes së 9,25% të

kamatës së thjeshtë vjetore. Sa ishte kredia, nëse llogaritja ishte

dekursive.?

71


11. Në llogari të ndërmarrjes më 31. 12. ishin 18230,00 euro të cilat përbëhen

nga pagesat më 23. 11. në të cilën janë shtuar 5% të kamatave vjetore të

thjeshta. Sa ishin obligimet e borxhliut, e sa kamatat nëse llogaritja është

dekursive?

12. Më 30. 5. ndërmarrja e paguan obligimin e vet me kambialin me shumë

prej 45 892,00 euro dhe arrin më 29.9. me diskont prej 7% kamatë vjetore

dhe 2% provizion. Sa është shlyer borxhi?

13. Më 3. 5. ndërmarrja e shet kambialin i cili kap shumën prej 34523,00

eurosh me diskont vjetor 7%. Sa është vlera nominale e kambialit më 27.

8.?

14. Më 12. 8. ndërmarrja e shet kambialin me vlerë 23870,00 euro dhe arrin

për pagesë më 24. 11. dhe ofron diskont prej 238700 euro. Sa është

përqindja e kamatës vjetore diskontuese?

15. Sa është vlera definitive e kapitalit prej 23000,00 eurosh në fund të vitit të

tetë me 7% kamatës së thjeshtë vjetore dhe me llogaritje anticipative?

16. Kredia konsumuese në shumë prej 17230,00 euro është lejuar me 15%

pjesëmarrje për afat 1 vjeçar dhe me kamatë vjetore 14%. Llogarit

pjesëmarrjen e gatshme, kamatën gjithsej dhe këstet mujore.

17. Sa ishte kredia konsumuese e cila duhet të kthehet në 12 këste në shumë

prej 15634,00 eurosh, pjesëmarrja 10% dhe 9% dhe me normë vjetor?

18. Sa ishte kredia konsumuese për të cilën kësti i parë mujor ishte 230,00

euro, kurse 7 këstet e tjera mujore nga 220,00 euro, nëse janë llogaritur

6% të kamatës vjetore?

19. Sa është afati i kthimit të kredisë konsumuese në shumë prej 53000,00

euro, për të cilën kësti mujor është 4580,00 euro, pjesëmarrja me të

gatshme 15 %, kurse norma e kamatës vjetore 10%?

20. Sa është vlera definitive (e ardhshme) e kapitalit prej 20000,00 eurosh me

llogaritje të thjeshtë anticipative të kamatës dhe 7% kamatë vjetore në

fund të vitit të tretë?

ZGJIDHJET:

72


1. p (G) = 2,312857

2. 426,71 euro

3. 0,9

4. C = 77945,51 euro

5. 17592,06 euro

6. d = 8283,47, që është ??? 22 vjet, 8 muaj dhe 13 ditë

7. d = 2221,74, që është ??? 6 vjet, 10 muaj e 13 ditë

8. C = 44679,80 euro

K = 670,20 euro

9. C = 218326,20 euro

10. C = 58723,40 euro

11. 18135,60 euro

K = 94,40 euro

12. 43921,88 euro

13. 35308,49 euro

14. p(G) = 35,096

15. C8 = 54761,90

16. P = 2584,50 euro

__

K = 1110,62 euro

R = 1313,01 euro

17. C = 198763,61 euro

18. C = 1731,05 euro

19. m = 10,30 muaj

20. C = 25316,46 euro.

73


10. Bashkësitë dhe veprimet me bashkësi

1. Le të jetë dhënë bashkësia iversale

−−= 4,2,5,,0,

2

1 πU dhe

nënbashkësitë e saj { }0,,2 π−=A ,

−−= 4,2,

2

1,5B dhe

−=

2

1,4C .

Njehso: BABA ∩∪ , , cc CBCBA ∪∩∪ ,)( dhe cCB )( ∩ .

2. Le të jenë dhënë bashkësit { }31:: <≤−∧∈= xZxxA dhe

{ }12: <<−∧∈= xZxxB . Njehso ABd h eBABABA \\,, ∩∪ .

3. Janë dhënë bashkësitë { }113: 2 <≤∧∈= xZxxA , { }27: 3 ≤∧∈= xNxxB .

Njehsoni: ) .(\,\,, BPd h eABBABABA ∩∪4. Le të jetë dhënë bashkësia iversale { },5,4,3,2,1,2,−= πU dhe nënbashkësitë e

saj { }1,,2 π−=A , { }4,1,5=B dhe { }5,4,3=C . Njehso: BABA ∩∪ , , cc CBCBA ∪∩∪ ,)( dhe cCB )( ∩ .

5. Le të jenë dhënë bashkësit { }3: 2 <∧∈= xZxxA dhe

{ }31: <<−∧∈= xZxxB . Njehso ABd h eBPBABABA \)(\,, ∩∪ .

6.Janë dhënë bashkësitë { }72: <≤∧∈= xZxxA , { }10: 2 <∧∈= xNxxB .

Njehsoni: ) .(\,\,, BPd h eABBABABA ∩∪

74


7. Janë dhënë bashkësitë { }5: ≤∧∈= xNxxA dhe { }63: ≤<∧∈= xNxxB .

Të caktohet AxB .

8. Le të janë dhënë bashkë bashkësitë { }8,6,5,4,3,2,1=A dhe { }8,6,5,4,2=B .

Gjeni bashkësinë S ashtu që të vlejë: { } { }101:4,3 <<∈=∪=∩ xNxSBdheSA .

Udhëzim: Shfrytëzo diagramin e Venit.

9. Janë dhënë bashkësitë{ }23: ≤<−∧∈= xZxxA , { }21: <≤−∧∈= xZxxB dhe

{ }4: <∧∈= xNxxC

Njehsoni: .)(,\,)\(,,\)( BAd h eCPABCBABACBA ∆∪∩∪10. Janë dhënë bashkësitë { }10: 2 ≤∧∈= xNxxA ,

{ }102: 2 <≤∧∈= xZxxB .

Njehsoni: ) .(,\,\,, APd h eBAABBABABA ∆∩∪11. Janë dhënë bashkësitë { }10: 2 ≤∧∈= xNxxA ,

{ }103: 3 <≤−∧∈= xZxxB .

Njehsoni: ) .(,\,\,, APd h eBAABBABABA ∆∩∪

Matricat, determinatet(percaktoret) dhe sistemet

75


1. Të tregohet se të cilit rend janë matricat vijuese:

1)

=

12

01A 2)

−=

2

1

0

B 3)

−

−=

3

11

2

4

2

1

C 4)

−−−

=

8325

11211

5447

4321

D

2. Janë dhënë matricat

−=

5

2

1

9

4

0

A dhe

−

−=

2

1

6

1

3

1

5

2

1

9

4

0

B

a) Të cilit rend janë matricat e dhëna.b) Emërtoni elementet e matricave të dhëna.c) Emërtoni rreshtat e matricave të dhëna.d) Emërtoni shtyllat e matricave të dhëna.

3.A janë të barabarta matricat

a)

−=5

1

1

9

2

0

A dhe

−

=5

9

1

2

1

0B

b)

−−

−=

3

2

0

5

2

1

10

4

0

A dhe

−−

−=

3

2

0

5

2

1

10

4

0

B

c)

−=

3

2

0

5

2

1

1

4

1

A dhe

=

3

2

0

5

2

1

1

4

0

B

4. Të caktohen zyx ,, , në mënyrë që matricat vijuese të jenë të barabarta:

76


1)

−=

3

0

2

1

10

4 z

y

x

A dhe

−−

−

−=

3

6

0

9

2

1

10

4

1

B

2)

−

−+=

912

531

501 yx

A dhe

−−=912

331

1105

zB

3)

−

−+=

912

531

52012 yx

A dhe

−−=

912

3431

1105

zB

4)

−−

−+=

212

531

52012

z

yx

A dhe

−−=

912

531

1105

B

5)

−+=

212

531

52012

z

yx

A dhe

−

+=

z

yx

B

112

531

205

5. Cilat nga matricat vijuese mund të mblidhen e cilat jo? Nëse ato matrica mblidhen, të gjendet shuma e tyre.

a)

−=5

1

1

9

2

0

A dhe

−−

=0

2

2

2

5

0

1

1B

b)

−=5

1

1

9

2

0

A dhe

=

3

2

9

1

4

1

B

77


c)

−

−

−

=

1078

9757

5222

33

21

2

1

A dhe

−

−−

=

1078

9757

5222

3310

B

6. Janë dhënë matricat:

−−

−−=

5

1

1

9

2

0

A ,

−−=

5

2

9

1

4

1

B dhe

−=

7

2

9

1

8

1

C .

Të gjenden matricat vijuese:

1) BA + , 2) CBA ++ 3) CBA −+ 4) CBA +− 5) CBA 32 +−

7.) . Te gjendet matrica e transponuar e matricës:

1 3 -12

3 6 7

3 2 -1

A

=

.

Zgjidhja: Matrica e transponuar e matricës së dhënë merret me ndërrimin e vendeve të shtyllave dhe rreshtave ne mes veti.

1 3 3

3 6 2

-12 7 -1

TA

=

.

8. . Të mblidhen matricat e mëposhtme:

1 3 -12

3 6 7

3 2 -1

A

=

dhe

1 -2 -3

4 6 8

1 2 -1

B

=

.

Zgjidhja: Meqë matricat e dhëna janë të një tipi të tipit 3x3 (sepse kanë nga tre rreshta dhe tre shtylla), ato mund te mblidhen në mes veti.

78


1 3 -12

3 6 7

3 2 -1

+

1 -2 -3

4 6 8

1 2 -1

=

1 + 1 -3+ (-2 ) -12 +(-3 ) 2 -5 -15

3 + 4 6 + 6 7 +8 7 12 1 5

3+ 1 2+ 2 -1 + (-1 ) 4 4 -2

= =

9. Të shumëzohet matrica

1 3 -12

3 6 7

3 2 -1

A

=

me 2.

Zgjidhja:

2(1) 2(3) 2(-12) 2 6 -24)

2 2(3) 2(6) 2(7) 6 12 14

2(3) 2(2) 2(-1) 6 4 -2

A

= =

.

10. . Të formojmë prodhimin A⋅ B, për matricat e dhëna me shprehjet:

2 2

2 2

3 4A

×

− =

dhe

2 3

1 3 2

1 5 3B

×

= −

.

Zgjidhja:

2 2 2 3 2 3

2 2 1 3 2 2 1 ( 2)( 1) 2 3 ( 2)5 2 2 ( 2) 3

3 4 1 5 3 3 1 4( 1) 3 3 4 5 3 2 4 3× × ×

− ⋅ + − − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

=2 3

4 4 2

1 29 18 ×

− − −

.

11. Të zgjidhet sistemi me metodën e përcaktoreve:

x – y + 3 z = 2, x – z = 1,

2x – y − z = 2.

Zgjidhja: Njehsojmë përcaktorin e sistemit

112

101

311

−−−

−=P = 1⋅ 0⋅ (−1) +1⋅ (−1)⋅ 3 +(−1) ⋅ (−1) ⋅ 2 −

−2⋅ 0⋅ 3 − 1⋅ (−1) ⋅ (1) – (−1) ⋅ (−1).1 = −3.

Meqë P ≠ 0, sistemi është i mundshëm. Përcaktorët tjerë janë:

79


112

101

312

−−−

−=xP = −6,

122

111

321

−−=yP = −9,

212

101

211

−

−=ZP = −3.

Atëherë, sipas formulave Kramerit, zgjidhja e vetme e sistemit është:

x = 2, y = 3, z = 1, ose X = (2,3,1)T.

12. Gjeni matricën inverse për matricën

A =

1 2 1

3 0 2

4 2 5

− −

..

Zgjidhja: Përcaktori |A| = -4 (≠ 0), prandaj A-1 ekziston. Formojmë matricën e adjunguar adj A e cila shprehet me relacionin:

adjA= ~A =

11 21 31

12 22 32

13 23 33

A A A

A A A

A A A

.

Shohim se:A11 = 4, A12 = −7, A13 = -6, A21 = −12, A22 =9, A23 =10, A31 = 4, A32 = -5, A33 = − 6,

prandaj:

~A =

4 12 4

7 9 5

6 10 6

− − − − −

dhe A-1 =

4 12 41

7 9 54

6 10 6

− − − − −

.

13. Të gjejmë matricën inverse të matricës A =

211

012

001

. Rezultati

1

1 0 0

2 1 0

1/ 2 1/ 2 1/ 2

X A−

= = − −

.

14. Gjeni matricën inverse të matricës

80


A=

−−−

463

121

122

.

Rezultati A−1 =

1 1 0

1/ 2 11/14 1/14

0 3/ 7 1/ 7

− −

.

Vargjet, limiti i vargut.

1.Formo vargun aritmetik nëse 33 =a dhe 75 =a .

2.Formo vargun aritmetik nëse 11 −=a dhe 2=d .Pastaj njehso ?10 =S .

3. Formo vargun gjeometrik nëse 11 −=a dhe 2=q .Pastaj njehso ?4 =S .4. Të tregohet se vargu i dhene :

,...3,2,1

është varg aritmetik dhe pastaj të njehsohet 30a dhe .10S

5. Të tregohet se vargu i dhene :,...9,3,1

është varg gjeometrik dhe pastaj të njehsohet 5a dhe .4S

6. Shqyrto monotonin e vargut të dhënë me termin e përgjithshëm: nna

2

1= , Nn ∈ .

81


7. Të formohet vargu aritmetik nëse 94 53 == adhea .

8. Njehso:138

2237lim

35

235

−++−−−+

∞→ nnn

nnnn

.

9. Njehso: 12

1

3lim

+

∞→

++ n

n n

n.

10. Njehso: n

n n

n

++

∞→ 5

4lim .

11. Njehso: )3513(lim 22 +−−−+∞→

nnnnn

.

12. Njehso: n

n n

n

++

∞→ 1

2lim .

13. Të formohet e vargut të dhënë me termin e pergjithshëm: Nnann ∈= ,

3

1.

14. Të formohet vargu aritmetik nëse 2

11 21 =−= adhea .

15. Në qoftë se ,1)( 2 ++= xxxf të gjendet:

+∞→ )(

)1(lnlim

nf

nfn

n.

16. Njehso: n

n n

n

++

∞→ 1

3lim .

82

Matematika Afariste Ligjerata 83


11. R E N T A

3.5. Renta tërëjetësore

Renta tërë jetësore konsiston në pyetjen: Sa është vlera fillestare (e tanishme)

postnumerando e rentës konstante e cila zgjatë tërë jetën? Llogaritjet matematikore

tregojnë se vlera fillestare (e tanishme) e rentës tërëjetësore është:

p

RA

⋅=∞100

(3.31.125)

A ∞ - vlera fillestare (e tanishme) e rentës tërëjetësore

R – shuma konstante e rentës

p - përqindja vjetore e interesit

Formula për konstantën prenumerando është si vijon:

p

pRA

)100('

+=∞

(3.32.126)

Shembulli 77.

Sa është vlera e tanishme e rentës së përjetshme prej 1000,00 eurosh, e cila arrin për

pagesë në fund të çdo viti me kamatë vjetore 8%.

Zgjidhja:

8

1000100

)(

100 ⋅=⋅=∞ Gp

RA = 12 500,00 euro

Shembulli 78.

Sipërmarrësi deshiron të realizojë: a) gjatë 10 vjetëve të ardhshëm, dhe b) përjetësisht,

dividendën fikse në shumë prej 10 000,00 euro në fund të çdo viti. Shakalla vjetore e

profitabilitetit është 12%. Çfarë vlere aksionesh të zakonshme duhet të blejë?

Zgjidhja:

84


a) An R=)1(

1

−−

rr

rn

n

A 10 =10 000 85,65022302000 10)112,1(12,1

112,110

10

⋅=−⋅

− = 56502,23

b) 12

000 10100

)(

100 ⋅=⋅=∞ Gp

RA = 83 333,33 euro.

Shembulli 79.

Gjini ka lidhur kontratë me siguruesin “Eutanazia” për sigurim jetësor. Njëzet vjet do

të paguaj në fillim të çdo muaji shumën e caktuar dhe kështu do të sigurojë rentën

mujore tërëjetësore prenumerando në shumë prej 800,00 euro . Sa duhet të paguaj Gjini

secilin muaj nëse shkalla e kamatës vjetore dekursive është 5,5% ?

Zgjidhja:

Do të nisemi nga të dhënat që i kemi të njohura, përkatësisht nga shuma e rentës. Mund

të llogarisim shumën e cila na mundëson rentën mujore prenumerando prej 800,00

eurosh.

1,055r 5,5 =⇒=p 0,44717p' 0044717,11,055r' 12 =⇒==⇒

44717,0

)44717,0100(00,800

)(

))(100('

+⋅=+⋅=∞ Gp

GpRA = 179 702,8781

Pra, Gjini, për të marrë rentën tërëjetësore prej 800,00 eurosh duhet të kursejë 179

702,88 euro. Kjo shumë paraqet vlerën definitive të 240 pagesave prenumerando në

shumë të caktuar R.

Sn R= ⋅⋅ r )1(

1SR

1

1n −

−⋅=⇒−−

n

n

rr

r

r

r

R )1055,1(0044717,1

10044717,18781,179702

20 −⋅−⋅= = 417,15

Gjini duhet të paguaj njëzet vjet në fillim të çdo muaji nga 417,15 euro, për të sigurar

rentën tërëjetësore mujore prenumerando në shumë prej 800,00 eurosh.

85


3.6. Llogaritja e kamatëvonesave komplekse

me ngarkim kamate dekursive

Llogaritja e kamatëvonesave është mjaft e shpeshtë në praktikën e

sipërmarrësve të vegjël. Kamatëvonesat për tatimet e paguara pas kohë së caktuar, të

kontributeve, taksave dhe obligimeve të tjera publike, do t’i llogarisë drejtoria e

tatimeve, fondet dhe institucionet shtetërore, kamatëvonesat për obligimet ndaj

furnizuesve – furnizuesit, ndërsa kamatëvonesat për kërkesat nga blerësit detyrohemi t’i

llogarisim vetë ose në rastin më të mirë kamatat duhet të kontrollohen. Për këtë arsye,

për secilin sipërmarrës është me rëndësi të dijë se si llogariten kamatëvonesat.8

Llogaritja e kamatëvonesës është problematikë e ndërlikuar për shkak të

gjatësisë së periudhës kohore për të cilën llogaritet kamatëvonesa, ndryshimeve të

shpeshta de paqartësive të dispozitave ligjore me të cilat janë ndryshuar normat e

kamatëvonesave, intervaleve kohore për të cilat aplikimit të tyre dhe metodës së

llogaritjes. Sipas dispozitave ligjore në fuqi (Ligji mbi marrëdhëniet e obligueshme,

Ligji mbi kamatëvonesën, Vendimi mbi lartësinë e përqindjes së kamatëvonesës), nuk

është e qartë se cila mënyrë e kamatës aplikohet për ngarkim shumëvjeçar me kamatë,

sepse ligji thotë se vetëm për periudha më të shkurta se një vit aplikohet metoda

konforme. Në banka dhe në institucionet e tjera financiare aplikohet llogaritja

komplekse e kamatës. Në praktikën e sipërmarrësve aplikohet ngarkimi i komplekse me

kamatë përmes metodës konforme dhe mënyrës dekursive të llogaritjes së kamatës. Kjo

do të thotë se llogariten kamata mbi kamatat tanimë të llogaritura të periudhës

paraprake.

Në llogaritjet e kamatëvonesave zakonisht janë të dhënë përqindjet e

kamatëvonesës në nivel vjetor, por ka raste kur është kontraktuar dhe në nivel mujor,

prandaj duhet të rillogaritet në nivel vjetor ose ditor. Për këtë arsye, në praktikë, është e

mundshme të aplikohen këto formula:

8 Lit. 32 (sh. Literatura fq. 329-331).

86


a) Nëse është dhënë kamatëvonesa në nivel vjetor:

1. norma mujore konforme e kamatëvonesës pi (M) përcaktohet në këtë

mënyrë:

−

+= 1

100

)(1100)(

përkatës vitin në ditëve i

përcjellur emuajin në ditëve i

numri

numri

ii

GpMp

(3.33.127)

2. shkalla ditore konforme e kamatëvonesave pi (D) përcaktohet në këtë mënyrë:

−

+= 1

100

)(1100)(


1

numrii

i

GpDp

(3.34.128)

b) Nëse është dhënë kamatëvonesa në nivel mujor:

1. shkalla vjetore konforme e kamatëvonesës pi (G) përcaktohet në këtë mënyrë:

−

+= 1

100

)(1100)(


përcjellur emuajin në ditëve i

numri

numri

ii

MpGp

(3.35.129)

2. shkalla ditore konforme e kamatëvonesave pi (D) përcaktohet në këtë mënyrë:

−

+= 1

100

)(1100)(


1

numrii

i

MpDp

(3.36.130)

Nga formulat e mëparshme shohim se është shumë e thjeshtë të llogariten

përqindjet e kamatëvonesave nga niveli vjetor në atë mujor ose ditor, përkatësisht nga ai

mujor në nivel vjetor e ditor. Shkalla mujore e kamatëvonesës nuk ka kuptim, sepse

shtrohet pyetja për cilin numër të ditëve. Kuptim ka norma vjetore dhe ajo ditore e

normës së kamatëvonesës.

Në praktikë të shpeshta janë rastet kur duhet të llogariten kamatëvonesat për

periudha më të gjata kohore dhe për këtë duhet të përdoren normat e kamatëvonesave të

përcaktuara me dispozita ose me kontrata për periudha të caktuara kohore, të rillogariten

në shkallë mujore ose ditore dhe të aplikohet mënyra konforme e llogaritjes së

kamatave. Nëse llogariten kamatëvonesat në valutë të huaj, atëherë sipas praktikës

87


gjyqësore, aplikohen normat e kamatës që i ka banka më e afërt në vendin e realizimit

për kursim devizash për qëllime të padestinuara më gjatë se një vit dhe llogaritja e

thjeshtë e kamatës për periudhën më të vogël se një vit. Nëse kamatëvonesat llogariten

në valuta vendore, atëherë aplikohen shkallët e kamatëvonesave sipas tabelës së dhënë

si shtojcë, llogaritja e thjeshtë e kamatës në kontestet gjyqësore, ose llogaritja

komplekse e kamatës në marrëdhëniet e kontraktuara.

Shembulli 80.

Sipërmarrësi ka paguar rishtas tatimin në shumë prej 7925,00 eurosh. Llogaritni

kamatëvonesën për kryegjënë e përmendur për periudhën 17.2. 1997 deri më 31. 3.

2003. me ngarkim të komplekse dhe dekursiv të kamatës.

Zgjidhja:

Duhet të aplikohet Ligji mbi kamatëvonesat (“Gazeta zyrtare........” 72/02).

Në periudhën prej 17. 2. 1997 deri më 30. 6. 2002 në fuqi ishte kamatëvonesa ligjore në

shkallë prej 18%, prandaj koeficienti i komplekse konform është 1,431081388,

përkatësisht kamata kapë shumën: 7925,00 . 1,431081388 = 11 341,32 euro. Në

periudhën prej 1. 7. 2002 deri më 31. 3. 2003, në pajtim me Urdhëresën mbi

kamatëvonesën të publikuar në Gazetën zyrtare 72/02, përqindja e kamatëvonesës ishte

15% në vit, prandaj koeficienti i komplekse konform është 0,267888959, përkatësisht

kamatëvonesa kapë shumën prej 7925,00 . 0,267888959 = 2123,00 euro. Gjithsej

kamatëvonesa kapë shumë prej 13 464,34 eurosh, kurse borxhi gjithsej nga llogaritja 21

389,34 euro.

Shembulli 81.

Llogaritni kamatëvonesat të cilat i kërkon banka prej ndërmarrjes për kryegjënë në

shumë prej 3920799441, 34 YUD prej 15. 1. 1988 deri më 1. 9. 2002. Aplikoni

ngarkimin me kamatë komplekse dekursive sipas metodës së përcaktuar me normë

kamate ligjore në periudhat e caktuara.

Zgjidhja:

3920799441, 34 YUD ka mundësi që menjëherë të shndërrohen në kuna, e pastaj të

bëhet ngarkimi me kamatë.

88


1. Periudha prej 15. 1. 1988 deri më 31. 12. 1988

Tabela 6. Periudha prej 15. 1. 1988 deri më 31. 12. 1988

Nr. Rend

Periudha e llogaritjes

Ditët KryegjëjaShkalla e kamatës vjetore

Shkalla e kamatës mujore

Shkalla e kamatës ditore

Kamatat e llogaritura

Huaja e tërë

1. 15.1.- 31.1. 16 932,08151,400000

8,121166 0,25219593 16,12 408,20

2. 31.1.- 29.2. 29 408,20 67,20000 4,156918 0,14054143 16,97 425,17

3. 29.2.- 4.3. 4 425,17141,400000

7,7500089

0,24107841 4,11 429,29

4. 4.3.- 31.3. 27 429,29151,500000

8,124808 0,25230486 30,22 459,51

5. 31.3.- 30.4. 30 459,51169,500000

8,465520 0,27124102 38,90 498,41

6. 30.4.- 31.5. 31 498,41175,500000

8,962751 0,27727371 44,67 543,08

7. 31.5.- 30.6. 30 543,08 99,00000 5,802555 0,18819719 31,51 574,59

8. 30.6.- 31.7. 31 574,59355,500000

13,703441

0,41512855 78,74 653,33

9. 31.7.- 31.8. 31 653,33 432,0000015,208446

0,45773110 99,36 752,70

10. 31.8.- 30.9. 30 752,20712,500000

18,734161

0,57403082 141,01 893,71

11. 30.9.- 31.10. 31 893,71 564,0000017,391645

0,51858372 155,43 1049,14

12. 31.10.- 30.11. 30 1049,141122,00000

22,773376

0,686243924

238,75 1287,89

13. 30.11.- 8.12. 8 1287,89557,500000

17,293872

0,51588201 54,12 1342,01

14. 8.12.- 31.2. 23 1342,01374,465000

13,532170

0,41024581 132,51 1474,52

Gjithsej kryegjëja dhe kamatat më 31. 12. 1988 ishte 14745200 000, 00 YUD ose

1474,52 kuna.


Tabela 7. Periudha prej 31. 12. 1988 deri më 31. 12. 1999

Nr. Rend

Periudha e llogaritjes

Ditët

KryegjëjaShkalla e kamatës vjetore

Shkalla e kamatës mujore

Shkalla e kamatës ditore

Kamatat e llogaritura

1. 31.12.- 2.2. 33 1 474,52 675,362000 18,999999 0,5628148 299,942. 2.2.- 28.2. 26 1 774,46 1772,156000 25,199998 0,80588078 411,793. 28.2.- 31.3. 31 2 186,25 516,1777000 16,700006 0,49942493 365,10

89


4. 31.3.- 30.4. 30 2 551,35 1973,756000 28,300000 0,83412993 722,035. 30.4.- 31.5. 31 3 273,38 1283,685000 25,000000 0,72241481 818,356. 31.5.- 30.6. 30 4 091,73 2426,644 30,400001 0,88871405 1243,897. 30.6.- 31.7. 31 5 335,61 2197,315000 30,500000 0,86241706 1627,368. 31.7.- 31.8. 31 6 962,97 1599,227000 27,199998 0,77911768 1893,939. 31.8.- 30.9. 30 8 856,90 3787,229000 35,100001 1,00786195 3108,7710. 30.9.- 6.10. 6 11 965,68 3902,248000 36,799999 1,0101593173 748,1611. 6.10.- 31.10. 25 12 713,83 3059,428000 34,080002 0,950509766 3392,2312. 31.10.- 10.11. 10 16 106,06 3444,829000 34,079999 0,98234847 1653,9813. 10.11.- 30.11. 10 17 760,05 25227,982262 57,600000 1,52785412 6291,7914. 30.11.- 31.12. 31 24 051,84 15315,007852 53,400000 1,38982336 12843,68

Gjithsej kryegjëja dhe kamat 31. 12. 1989 ishte 368955200000,00 YUD ose 36895,52

kuna.


1. Me ligjin mbi ndryshimin e vlerës së dinarit (Gazeta zyrtare e RSFJ nr. 83,

dt. 21. 12. 1989) është bërë denominimi i YUD dhe është vendosur raporti

1 : 10000, që do të thitë se borxhi gjithsej në shumë prej 368955200000,00

YUD prej 1. 1. 1990 ishte 36895520,00 YUD ose 36895,52 kuna.

2. Duke pasur parasysh faktin se në fillim të vitit 1992 u vendos pariteti i

YUD HRD 1 : 1, mund të konsiderohet se më 31. 12. 1989, borxhi ishte

36895520,00 YUD. Më 1. 6. 1994 është vendosur kuna, kurse pariteti i

HRD dhe HRK ishte në përpjestim 1 : 1000. Kjo do të thotë se borxhi

gjithsej më 31. 12. 1989 ishte 36895,52 kuna. Rezultat i njëjtë fitohet me

shndërrimin e kërkesës në shumë prej 3920799441,34 YUD në 392,08

kuna. Më 15. 1. 1988 dhe me ngarkimin e tij me kamatë deri më 31. 12.

1989, gjë që shihet nga tabelat e mësipërme, siç fitohet rezultati i njëjtë me

ngarkimin me kamata YUD në vitin 1990 dhe 1991 dhe kuna në periudhën

prej 1. 1. 1992 deri më 1. 6. 1994. Për këtë arsye YUD i kemi kthyer në

HRD dhe HRD në HRK më 31.12.1989.

3. Borxhi gjithsej për periudhën prej 31. 12. 1989 deri më 31. 12. 1999, pra

për 10 vjet, më 31. 12. 1999, fitohet ashtu që shuma e borxhit prej 36

895,52 kunash më 31. 12. 1989. shumëzohet me koeficientin komplekse të

kamatës 929, 789707287021.9 Kjo do të thotë se shuma gjithsej e

9 Ekzistojnë koeficientët e përbërë të llogaritur të kamatës të përcaktuar me përqindjet e eskontit, përqindja e kamatëvonesës dhe përqindja e kamatëvonesave për shumat e

90


kryegjësë dhe e kamatave më 31. 12. 1999 ishte 34305074,74 kuna, prej

tyre vetëm kamata 34034682,66 kuna.

4. Shuma e kryegjësë dhe e kamatave për vitin 2000 fitohet ashtu që borxhi

gjithsej me kamat më 31. 12. 1999, në shumë prej 34305074,74 kuna

shumëzohet me koeficientin e kamatës 1,18 dhe fitohet shuma 4047988,19

kuna, sepse përqindja vjetore e kamatëvonesës ishte 18% (N. N. RH

76/96).

5. Për vitin 2001 borxhi gjithsej ishte 47766386,06, që fitohet me

shumëzimin e borxhit gjithsej më 31. 12. 2000, në shumë prej 4047988,19

kuna me koeficientin 1,18, sepse përqindja vjetore e kamatëvonesës ishte

18% (N. N. RH 76/96).

6. Më 30. 6. 2002, kryegjëja me kamatat ishte: 47766386,06 . 1,0862804912

= 51887576,66 kuna. Deri më 30. 6. 2002, norma vjetore e kamatëvonesës

ishte 18%, prej së cilës del koeficienti konform 1,08627804912.

7. Prej 30. 6. deri më 1. 9. 2002, përqindja vjetore e kamatëvonesës ishte

15% (N. N. RH 72/02). Periudha e ngarkimit me kamatë ishte 63 ditë.

Koeficienti i komplekse konform ishte 1,02441661469. Gjithsej kryegjëja

dhe kamat më 1. 9. 2002 ishin: 51887576,66 . 1,02441661469 = 53

154495,59 kuna, kurse kamatëvonesa gjithsej ishte: 53 154495,59 –

392,08 = 53154103,51 kuna.

Ta vërtetojmë llogaritjen e mëparshme të kamatëvonesave me kompjuter:

LLOGARITJA E KAMATËVONESAVE

Kredidhënësi: A

Kredimarrësi (borxhliu): B

Emërtimi i llogarisë: LLOGARITJA E KAMATËVONESËS

Borxhi: 392,08 Kn

Data e borxhit: 15. 1. 1988.

Dita e llogaritjes: 1. 9. 2002.

tatimit, të kontributeve dhe taksave dhe të të ardhurave të tjera publike në periudhën prej 31. 12. 1989 deri më 31. 12. 2000, në Librin Obracunavanje zateznih kamata 1990-2000 (Llogaritja e kamatëvonesave 1990.-200)0, botimi IV i plotësuar , RiF, Zagreb, 2000,

91


Tabela 8.

Baza Dit.Norma.

K.DKamata

Tipi

Kam.Norma Dit. Data

92

Matematika Afariste Ligjerata 93


Kamatat: 53126694,38 Kn

Borxhi + kamatat: 53127086,46 kn

94


Legjenda:

Z = zatezne kamate ( K = kamatëvonesa)

R = revalorizimi i kamatës

D. K. Stopa = Dnevna kamatna stopa ( N. D. e Kamatës = norma

ditore e kamatës).

K. Stopa = zadana kamatna stopa (N. Dh. e Kamatës = norma e

dhënë e kamatës)

(Ditët = kohëzgjatja e periudhës)

Nga llogaritja e mësipërme me ndihmën e kompjuterit dhe nga llogaritja që u bë me

dorë, del diferenca e borxhit gjithsej prej 27409,13 kuna, ose 0,50%o, pra më pak se një

promil, gjë që është e parëndësishme duke pasur parasysh kohëzgjatjen për të cilën janë

llogaritur kamatëvonesat dhe ndryshueshmërinë e përindjes së kamatëvonesave.

Mirëpo, ekziston dallim i madh në kohën e shpenzuar për llogaritje të kamatëvonesave

dhe në mundësia e të gabuarit gjatë llogaritjes me laps. Për këtë arsye, kurdo që është e

mundshme, duhet të shfrytëzohet programi i gatshëm i kompjuterit.

3.7. Ngarkimi i kontinuuar me kamatë

Ngarkimi i kontinuuar (i vazhdueshëm) me kamatë paraqet kapitalizimin e

përhershëm, përkatësisht kapitalizimin e tillë në të cilin nuk ka diskontinuitet

(ndërprerje) midis dy llogaritjeve të kamatave dhe bashkangjitjen e tyre kryegjësë

brenda kohës sa zgjatë kapitalizimi. Llogaritja e tillë e kamatave në praktikë është e

rrallë, por vetë mënyra e llogaritjes mundet dhe shpesh duhet të përdoret me rastin e

shtimit natyral të popullsisë, numrit të blerësve, të kafshëve, bimeve etj. Formula për

ngarkim të kontinuuar me kamatë është:

100

)(

0

Gpn

n eCC⋅

⋅= (3.37.131)

Cn - vlera definitive (e ardhshme) e kryegjësë

C0 - vlera fillestare (e tanishme) e kryegjësë

n – kohëzgjatja e kapitalizimit (në vjet)

p (G) – përqindja dekursive vjetore (rritja mesatare vjetore)

95


e = 2,718281... (numri iracional) x

x x

+

∞→

11lim .

Shembulli 82.

Kryegjënë prej 10 000,00 eurosh ngarkonie me kamatë për periudhën prej 6 vjetësh me

kamatë vjetore 8, nëse llogaritja e kamatës është dekursive dhe a) vjetore dhe e thjeshtë,

b) vjetore komplekse dhe c) e kontinuuuar.

Zgjidhja:

a) 00,4800100

8610000

100

)( =⋅⋅=⋅⋅= nGpCK

(euro). kuna 00,14800000,480000,1000006 =+=+= KCC

b) 74,15868100

8110000

100

)(1

6

0 =

+⋅=

+⋅=

n

n

GpCC kuna (euro).

c) 74,161601000010000 48,0100

68

100

)(

0 =⋅=⋅=⋅=⋅⋅

eeeCCGpn

nkuna (euro).

Nga ky rast shohim rritjen e kamatave sipas mënyrës së llogaritjes të kamatave.

Shembulli 83.

Sipërmarrësi ka 25 struca. Shtimi mesatar vjetor është 15%. Sa struca do të ketë pas 12

vjetësh?

Zgjidhja:

24,151049644146,625718281,22525 8,1100

1215

12 =⋅=⋅=⋅=⋅

eC

Pas 12 vjetësh, në saje të shtimit vjetor 15%, sipërmarrësi do të ketë 151 struca.

Nga rasti i mësipërm shohim ndryshim të madh në llogaritjen e shtimit të strucave nëse

marrim se 15% prej 25 është 3,75, e kjo e shumëzuar me 12 vjet - jep 45 struca si shtim,

plus 25 strucat ekzistues, që do të thotë gjithsej 70 struca (përqindje e thjeshtë),

përkatësisht 133,76 struca (përqindja komplekse), e jo 151. Ky problëm i llogaritjes së

rritjes të kontinuuar përmes përqindjes në mënyrë teorike nuk është zgjidhur plotësisht.

Shembulli 84.

96


Sa është shtimi vjetor i grigjës së deleve, nëse për 5 vjet dyfishohet numri i deleve?

Zgjidhja:

C5 = 2 · C0 ; n = 5 vjet

)( :1 0 0

)(5

000/2 C

Gp

eCC⋅

⋅=⋅

ln1 0 0

)(5

/2Gp

e⋅

=2ln

20

)( =Gp

86,1369314716,0202ln20)( =⋅==Gp

loga = n · loga x

loga a = 1

ln x = loge x

loga ax = x

ln ex = x

P(G) = 20 ln2 = 20 . 0,6931416 = 13,86%

Shtimi vjetor i grigjës së deleve ishte 13,86%.

Nga rasti i mësipërm shohim shtë e mundshme të llogaritet cilado prej katër

madhësive, nëse janë të njohura tri të tjerat.

3. 8 Detyra dhe zgjidhje

DETYRA:

1. Përqindjet e kamatave vjetore 5, 7, 9, 12,5 dhe 15 rillogaritni si faktorë

përkatës dekurziv të kamatës.

2. Faktorët dekurziv vjetor të kamatës, 1,04., 1,07., 1,09., dhe 1,15

rillogaritni në përqindje kamate përkatëse vjetore.

3. Shuma prej 45 000,00 eurosh ngarkohet me kamatë të komplekse, vjetore

dekursive me përqindje vjetore 10. Sa do të jetë gjithsej në fund të vitit

të shtatë?

4. Ndërmarrja plason 150 000,00 euro për dy vjet me kamatë vjetore 12%.

Sa kapin kamatat komplekse nëse llogaritja e kamatave është

komplekse, vjetore dhe dekursive?

5. Ndërmarrja plason 130 000,00 euro për tre vjet me kamatë vjetore 11%.

97


Sa kapin kamatat komplekse nëse llogaritja është tremujore, komplekse

dhe dekursive?

6. Për çfarë kohe ndonjë kryegjë do të rritet së bashku me kamatat

Komplekse për 95%, nëse kamatat llogariten me normë 7%, kurse

llogaritja është komplekse, vjetore dhe dekursive?

7. Me çfarë përqindjeje vjetore të kamatës kryegjëja prej 230 000,00

eurosh do të sjellë për 5 vjet 2000 000,00 euro kamata të përbëra?

Llogaritja e kamatës është komplekse, vjetore dhe dekursive.

8. Paratë e deponuara sot në shumë prej 50 000,00 eurosh me kthim të

investimeve tre vjetët e parë sjellin fitim prej 8,5%, dy vjetët e

ardhshëm 7%, kurse në 5 vjetët e fundit 4%. Çfarë shume kthen

investimi?

9. Përqindjet vjetore të kamatës 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 rillogaritni në

faktorë përkatës diskontues të kamatës.

10. Sa është vlera e tanishme e 87 000,00 eurove të cilat do t’i fitojmë

për 5 vjet së bashku me kamatat komplekse të cilat llogariten me shkallë kamatë

6% vjetore dekursive?

11. Me çfarë shume ndërmarrja mundet sot t’i shlyej borxhet e veta që

arrijnë:

200 000,00 euro në fund të vitit të dytë;

250 000,00 euro në fund të vitit të tretë;

300000,00 euro në fund të vitit të katërt;

nëse llogaritja e kamatave është vjetore, komplekse dhe dekursive me

përqindje kamate 8,75?

12. Kërkesa në shumë prej 1000 000,00 eurosh mund të inkasohet në tri

pjesë të njëjta si vijon: e para në fund të gjysmvjetorit, e dyta në fund

të vitit të parë, kurse e treta pas dy vjetësh. Për çfarë shumash

është fjala, nëse llogaritja është komplekse, vjetore dhe dekursive,

kurse norma e kamatës gjysmëvjetore është 7?

13. Në fillim të secilit prej 7 vjetësh detyrohemi të investojmë 35 000,00

euro. Sa është vlera e të gjitha deponimeve në fund të vitit të shtatë,

98


nëse llogaritja është komplekse, dekursive dhe vjetore, kurse norma e

interesit 8?

14. Në fund të secilit prej 7 vjetëve detyrohemi të deponojmë 35 000,00

euro. Sa është vlera e të gjitha deponimeve në fund të vitit të shtatë,

nëse llogaritja e kamatave është komplekse, dekursive dhe vjetore,

kurse norma gjysmëvjetore 3,5?

15. Sa duhte të deponojmë sot në bankë për të siguruar 10 pagesa të

njëjta prej 3000,00 eurosh në fund të secilit vit, nëse llogaritja është

komplekse, dekursive dhe vjetore, kurse norma vjetore 7,5?

16. Sa është vlera e tanishme 5600,00 euro të paguara në fillim të secilit

prej 4 vjetëve, me normë kamate 8 dhe llogaritje të komplekse, vjetore

dhe dekursive të kamatës?

17. Për shitjen e makinës kanë arritur tri oferta:

oferta A 230 000,00 euro menjëherë;

oferta B 150 000,00 euro menjëherë dhe 95 000,00 pas 5 vjetësh;

oferta C në fund të secilit prej 5 vjetësh 50 000,00 euro.

Cila prej ofertave është më e volitshmja, nëse llogaritja e kamatës

është dekursive dhe vjetore, kurse norma e kamatës gjysmëvjetore

5,5?

18. Sa kapë gjithsej deponimi i tanishëm prej 20 000,00 eurosh në fund

të vitit të shtatë me normë kamate 7,5, nëse llogaritja e kamatës

është komplekse, vjetore dhe dekursive?

19. Me fçarë norme të kamatës vjetore kryegjëja për 5 vjet rritet për 67%,

nëse llogaritja e kamatës është komplekse, vjetore dhe anticipative?

20. Për sa kohë ndonjë kryegjë do të trefishohet me 7% kamatë vjetore,

nëse llogaritja është komplekse, vjetore dhe anticipative?

21. Sipërmarrësi deponon në fillim të secilit vit nga 23 000,00 euro. Çfarë

shume mund të realizojë në fund të vitit të dymbëdhjetë, nëse

krahas me kthimin e deponimeve në 6 vjetët e parë,profitabiliteti

është 8% në vit, kurse në 6 vjetët e tjerë 10% në vit. Llogaritja

e profitit është vjetore, dekursive dhe komplekse.

99


22. Rritja mesatare vjetore e viçave për majmëri me peshë 20 000,00 kg

është 16%. Sa do të peshojnë viçat pas 5 vjetësh?

23. Çfarë vlere do të arrijë kryegjëja prej 567 000,00 eurosh për tre vjet,

me normë kamate vjetore 7,25, nëse ngarkesa me kamatë është

kontinuele?

24. Për sa vjet do të dyfishohet numri i blerësve, nëse rritja vjetore është

15%?

25. Për sa vjet numri i banorëve të një qyteti do të dyfishohet, nëse

shtimi vjetor është 45%?

26. Majmëria e derrave për 15 muaj është shtuar për 250%. Për çfarë

kohe do të trefishohet me po atë rritje vjetore? Kohën shpreheni në

vite, muaj dhe ditë.

27. Çfarë shume detyrohemi të deponojmë në fillim të çdo muaji gjatë

25 vjetëve, për të siguruar rentën mujore tërëjetësore në shumë prej

400 eurosh? Norma e kamatës vjetore dekursive është 6%.

28. Çfarë shume detyrohemi të deponojmë në fillim të çdo muaji gjatë

25 vjetëve për të siguruar rentën postnumerando mujore prej 500.00

për 20 vjetët e ardhshëm? Norma e kamatës vjetore dekursive është

fikse dhe në nivel 6%.

29. Mateo gëzon të drejtën për rentë mujore tërëjetësore prenumerando

në shumë prej 800,00 në muaj. Në vend të rentës tërëjetësore

ka vendosur të marrë 30 këste mujore të rentës prenumerando. Sa është

shuma e asaj rente, nëse norma e kamatës vjetore dekursive është 6%?

30. Meta don ta shet vneshtin. I ka tri oferta. Blerësi A ofron 16 000,00 euro

menjëherë, 10 000,00 euro për dy vjet dhe 15 000 euro për 5 vjet.

Blerësi B ofron 14 000,00 euro menjëherë, nga 6000,00 në fund

të katër vjetëve të ardhshëm. Blerësi C ofron nga 800,00 në fillim

të çdo muaji gjatë katër vjetëve të ardhshëm.

31. Llogaritni afatin e kthimit të dhe anuitetin e dobësuar prej 140 000,00

eurosh, nëse huaja paguhet me anuitete të njëjta prej 25 000,00 eurosh

në fund të çdo viti, me normë të kamatës vjetore dekursive prej 8%.

100


32. Joza nga banka ka marrë hua në shumë prej 600 000,00 euro me këto

kushte: afati i kthimit 6 vjet, huaja paguhet në fund të secilit muaj me

anuitete të njëjta, norma e kamatës vjetore dekursive është 10%.

Përcaktoni: a) shumën e anuitetit për pagimin e huas dhe

b) shumën me të cilën Joza pas dy vjetësh të pagesave të rregullta

do të mund ta paguante huanë në tërësi.

Zgjidhje:

1. 1,05; 1,07; 1,09; 1,125; 1,15

2. 4,7,9, 15

3. C7 = 87692,27 euro

4. K = 38 160,00 euro

5. K = 47792,03

6. n = 9,87 vjet

7. p = 13,33%

8. 88 959,73 euro

9. 0,943396; 0,934579; 0,925926; 0, 909090; 0,9009009; 0, 892857

10. C0 = 65 011,46 euro

11. S0 = 577979,72 euro

12. 38896,68 euro

13. S7 = 337 281,97 euro

14. 'nS = 304026,79 euro

15. An = 20 592,24 euro

16. 'nA = 19 852,50 euro

17. Oferta A = 230 000,00 euro

Oferta B = 20 5615,91 euro

Oferta C = 183 397,22 euro

18. C7 = 34517,38 euro

19. q(G) = 9,7480%

20. n = 15,139 euro

101


21. 518026,71 euro

22. C5 = 44510,82 kg

23. C3 = 704761,40 euro

24. n = 4,62 vjet

25. n = 1,54 vjet

26. 1 vit, 1 muaj dhe 5 ditë

27. R = 121,51 euro

28. R = 93,07 euro

29. R = 5901,49 euro

30. Vlera e ofertave të kthyera në vlerën e tanishme: A = 35 429,18 euro,

B = 34 323,27 euro, C = 33 738,53 euro. Pra, oferta më e volitshme

është e ofertuesit A.

31. Afati i pagesës është 8 vjet. Me atë rast paguhen shtatë anuitete

të plota në shumë prej 25 000,00 eurosh, kurse i teti, anuiteti i

zvogëluar është 18 214,54 euro.

32. a) a = 10985,53 euro

b) C24 = 43 6694,70 euro

102

Education

Matematika afariste-ligjerata-5-11