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Fontes de alimentação c.c.-c.a Prof. Porfírio Cabaleiro Cortizo 1 Revisão de circuitos magnéticos

Magnéticos indutores

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  • 1. Fontes de alimentao c.c.-c.a Reviso de circuitos magnticosProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo

2. Fontes de alimentao c.c.-c.a Leis bsicas de magnetismoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 3. Fontes de alimentao c.c.-c.aLei de Faraday A tenso induzida em um enrolamento de n espiras submetida a um fluxo varivel dada pela expresso: d v(t ) = n dt Se a distribuio do fluxo for uniforme, (t ) = B(t ) * Ac Ento: dB (t )v(t ) = nAcdtProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 4. Fontes de alimentao c.c.-c.aLei de Lenz A tenso induzida devida a variao do fluxo (t) de polaridade tal que origina uma corrente atravs do circuito que reage a alterao do fluxo. Exemplo: Um elo de fio em curto-circuito. As variaes do fluxo (t) induzem uma tenso v(t) no elo. Esta tenso dividida pela impedncia do elo, geram uma corrente i(t). Esta corrente induz um fluxo (t), que tende a se opor a mudanas de (t).Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 5. Fontes de alimentao c.c.-c.aLei de Ampere A integral de linha da intensidade do campo magntico H igual a corrente total circundada pelo campo magntico. Hdl = i Exemplo: Circuito magntico com um fio conduzindo uma corrente i(t) passando em uma das pernas do ncleo. Para um campo magntico uniforme de amplitude H(t) temos: F(t) = H(t)*lm = i(t)Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 6. Fontes de alimentao c.c.-c.aRelaes fundamentais de EletromagnetismoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 7. Fontes de alimentao c.c.-c.a Relaes fundamentais de Eletromagnetismo B: densidade de fluxo magntico [Tesla] H: Intensidade de Campo Magntico [A/m] : fluxo magntico [Weber] W: Energa do Campo Magntico Relaes fundamentais B= A: reaA B = H : permeabilidade do meio 1W = H2 2Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 8. Fontes de alimentao c.c.-c.a Circuito magntico: uma estrutura dentro da qual circula o fluxo magntico.BH= =F= dl = Ni AA O fluxo magntico similar a corrente eltrica. Por uma seo do material 1 dl = Ni circula sempre o mesmo fluxo.A1 Relutncia do circuito magntico:R= A dl 1 Permencia:P= R A relutncia depende do comprimento, da rea e do material. equivalente ao conceito de resistencia no caso da corrente.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 9. Fontes de alimentao c.c.-c.aAnalogia entre circuitos eltricos e dispositivos magnticos C. eltrico C. magntico e : f.e.m. F: f.m.m. r : resistenciaR: relutncia i : corrente : fluxo magntico e = riF = R : resistividade : permeabilidadeProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 10. Fontes de alimentao c.c.-c.aAnalogia entre um circuito magntico e um circuito eltrico Rncleoi Ng: entreferroRg Ni N: nmero de espiras 11 R1 2i 2NR2R3 NiProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 11. Fontes de alimentao c.c.-c.a Caractersticas dos materiais magnticos:Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 12. Fontes de alimentao c.c.-c.aModelamento do material magnticoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 13. Fontes de alimentao c.c.-c.aCaractersticas EltricasdB( t ) v( t ) = nAc H ( t ).lm = ni( t )dt Eliminando B e H, a relao entre v e i dH ( t ) n 2 Ac di( t ) v( t ) = nAcv( t ) = dtlmdt n 2 Ac L= lmNa saturao, a densidade de fluxo constante e igual a Bsate a lei de Faraday prediz que : dBv(t) = nAc sat = 0 A saturao conduz ao curto - circuitodtProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 14. Fontes de alimentao c.c.-c.aExemplo: Indutor com entreferroProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 15. Fontes de alimentao c.c.-c.aEfeito do entreferroProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 16. Fontes de alimentao c.c.-c.a Tipos de ncleos magnticosNcleos ETD Ncleos ENcleos U Ncleos RMNcleos POTProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 17. Fontes de alimentao c.c.-c.a Toroide Equivalente O fabricante fornece os dados de um toroide com as dimenses equivalentes ao ncleo em questo.Seo efetiva: Ae Comprimento efetivo: leN2N20 r Ae N 2 L==== AL N 2Rlele 0 r Ae o r AeAL = Indutancia especfica =leProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 18. Fontes de alimentao c.c.-c.aToroide Equivalente com entreferro Problema: o valor de no constante em todos os pontos da curva BxHB A introduo do entreferro, permite tornar a indutancia menos dependente do valor de B = H = o. r.HH Ae N 2 L= 0 Neste caso: le g+ g = 2d r d Em geral, le/ r> WcA maior parcela da energia armazenada no entreferro. Pode-se desprezar a energia armazenada no ncleo.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 20. Fontes de alimentao c.c.-c.aEnerga armazenada no indutorO fluxo () e a densidade de fluxo (B) so, B, H iguais, a intensidade de campo (H) diferente, B, H BH Fe = H Ar = H Fe = r H Fe B0H Ar = 0Rncleo r varia entre 1.000 e 10.000RgNi Rg r vezes maior que RncleoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 21. Fontes de alimentao c.c.-c.aSaturao do ncleo magntico BB = HBSAT Lr = 1 = 0 r = 2000iHQuando satura, a permeabilidade do ncleo passa a ser a do are o ncleo perde suas propriedades magnticas. Ao perder aspropriedades magnticas, o valor da indutancia caibruscamente a zero.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 22. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto de um indutorProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 23. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto do indutorDados de entrada: Valor de pico da corrente circulando no indutor (IMAX) O valor do indutor desejado (L)Caractersticas do ncleo e do material: Seo efetiva (Ae) Comprimento efetivo (le) Permeabilidade relativa ( r) Densidade de saturao (BSAT)Deve-se determinar: o nmero de espiras (N) e o entreferro (g)Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 24. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto do indutor Devemos escolher BMAX < BSAT e o modelo de um ncleo: LI max maxVe22 W = = 2 2 0 e maxVe 2Determina-se o valor de e =0 LI max2o e AeDetermina-se o valor de AL= leProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 25. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto do indutor Uma vez encontrada a indutncia especfica do ncleo, podemos utilizar um fornecido pelo fabricante com o entreferro necessrio ou utilizar um ncleo normal e introduzir o entreferro.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 26. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto do indutor Montagem dos ncleosVerso produto finalVerso prottipoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 27. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto do indutor1o. Caso: Ncleos com entreferro:2o. Caso: Ncleos sem entreferro:Calcula-se AL e depois o no. deCalcula-se AL, o no. de espirasespirascomo no 1o. caso e finalmente o entreferro0 e Ae AL = le 1 1 g = le . L er N= ALProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 28. Fontes de alimentao c.c.-c.a Projeto do indutor Estimativa do ncleo: LI Max I RMS Ae Aw = Max jFUProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 29. Fontes de alimentao c.c.-c.aEfeito de Espraiamento do FluxoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 30. Fontes de alimentao c.c.-c.aEfeito de Espraiamento do FluxoO carretel aumenta o efeito do espraiamento do fluxo.Melhor soluo: Colocar o enrolamento o mais prximo possvel doncleoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 31. Fontes de alimentao c.c.-c.aEfeito de Espraiamento do Fluxo O espraiamento do fluxo tem por efeito aumentar o valor do indutor. Pode-se corrigir este aumento, reduzindo-se o nmero de espiras de um fator F, dado pela expresso abaixo:Onde: g2G F = 1+ ln()G a altura da janela, Aegg o entreferro, N N corrigido =Ae a seo do ncleo FN o nmero de espiras do enrolamentosemlevar em considerao oespraiamento do fluxoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 32. Fontes de alimentao c.c.-c.aEfeito de Espraiamento do FluxoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 33. Fontes de alimentao c.c.-c.aProjeto do enrolamento Qual o dimetro do fio a ser adotado? O ideal usar o maior dimetro possvel, ou seja preencher totalmente o espao disponvel na janela do ncleo. O fabricante fornece a rea da janela (AW) do ncleo AWComo o fio de cobre no se ajusta perfeitamente na janela, uma parte darea fica vazia. Por esta razo, utilizaremos um fator de correodenominado de fator de utilizao (Fu)Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 34. Fontes de alimentao c.c.-c.aProjeto do enrolamento Fatores que afetam o fator de utilizao: 1) formato da disposio do enrolamentoPadro de pre-enchimentoquadrado Padro de pre-enchimentohexagonalProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 35. Fontes de alimentao c.c.-c.aProjeto do enrolamento Fatores que afetam o fator de utilizao: 2) Formato do carretel do enrolamento 3) Isolamento e margem de seguranaProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 36. Fontes de alimentao c.c.-c.aProjeto do enrolamentoFatores que afetam a escolha do Fator de utilizao Fu Fios redondos no ocupam integralmente a rea da janela doncleo. H uma reduo entre 0,55 e 0,7 Isolamento entre enrolamentos e camadas reduzem Fu por umfator entre 0,65 e 0,95 dependendo do tamanho do fio e do tipode isolamento Valores tpicos de FuIndutores: Fu = 0,5Indutores com enrolamento de folha de Cobre: Fu=0,65A fio NI rms Fu ==Aw jAwProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 37. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas em um indutorProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 38. Fontes de alimentao c.c.-c.aPerdas no indutor. Perdas por efeito Joule no cobre Perdas de Histerese e Foucault no ncleoPerdas no CobreiAs perdas no cobre so devidas a resistncia dosenrolamentosR Perdas no ncleoB Devido ao fluxo varivel no ncleo aparecem perdas devidas a histerese do material magntico e a circulao de correntes induzidas no prprio material do ncleoHProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 39. Fontes de alimentao c.c.-c.aPerdas no cobreSCondutividade do cobre: = 5.7107 -1m-1 Resistividade: = 1 / l1 l Resistencia: R = [] A fio Dados do enrolamento: Nmero de espiras: N O comprimento total ser Nlm Comprimento mdio da espira: lm Supondo que se preenche a janela, rea da janela: AWa rea ocupada pelo cobre ser: AW Fu Fator de utilizao: Fu A fio = N A resistencia do enrolamento ser:1 N 2 lm R= AW FuProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 40. Fontes de alimentao c.c.-c.aPerdas no cobre Conhecendo o valor eficaz da corrente no indutor pode-se calcular as perdas no cobre. Aumentar o nmero de espiras, aumenta o comprimento e diminui a seo do cobre acarretando um aumento das perdas.2PCu (W) 601 N lm 2 PCu = I rms Aw Fu 4020Os valores da Densidade deCorrente j, em projeto de 0indutores ou transformadores 50 100 150 200situam-se entre 1A/mm2 e 5A/mm2 I rms N j=A fioProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 41. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito Pelicular Em baixa freqncia, a corrente no condutor circula por toda a seo uniformemente. Em freqncias elevadas isto no ocorre devido ao efeito Pelicular (Skin effect) A corrente alternada gera um campo magntico. Este campo, ao atravessar uma rea de condutor induz correntes que tendem a anular o campo.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 42. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito PelicularProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 43. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito PelicularPode-se considerar que toda a corrente circula por uma parte daperiferia do condutor, denominada de profundidade de penetraodo efeito pelicular ()2 =[m] 0 Densidade de corrente = 5,7 107 -1m-1 a T=25C = 4,34 107 -1m-1 a T=100C o = 4 10-7Circula maiscorrente na = 2fparte externarf = 20 kHz = 0.47 mmProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 44. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito PelicularConsiderando que a resistencia do condutor em baixa frequncia igual a Rcc e que a resistencia do mesmo em alta frequncia iguala Rca, a relao entre as duas dada pela expresso abaixo: d 2Rca ( )= 2 Onde:Rcc ( d )2 ( d 1 )2d o diametro do condutor e a profundidade de penetrao2 2Quando a forma de onda da corrente for no senoidal, considerar aprofundidade de penetrao como sendo a mdia da profundidadede penetrao dos trs primeiros harmnicosProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 45. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito PelicularEscolhendo-se um fio cujo raio seja menor ou igual a profundidade depenetrao do efeito pelicular, pode-se admitir de que a corrente se distribuiuniformemente por toda a seo do condutor.Um tipo de fio especial chamado de fio de Lizt foi desenvolvido para trabalharem alta freqncia. Ele construido a partir de fios muito finos esmaltados etranados de modo a garantir que todos apresentam a mesma resistencia.Outra soluo utilizar laminas de cobre com espessura igual a duas vezes a profundidade de penetraoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 46. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito de ProximidadeQuando um condutor percorrido poruma corrente, esta induz correnteparasitas nos condutores adjacentespor um processo chamado de efeito deProximidade. Este fenmeno aumentasignificativamenteasperdas nos Condutor 2enrolamentos de alta freqncia detransformadores e indutores Condutor 1Considere um enrolamento laminar, comuma espessura muito maior que a Densidade de corrente Jprofundidadedepenetraoeconduzindo uma corrente i(t)Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 47. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito de Proximidade Efeito pelicular fora a corrente a se concentrar na superfcie do condutor. Esta corrente induz uma corrente de igual valor e oposta nos condutores adjacentes. Considerando quea corrente eficaz na primeira camada I, a resistencia efetiva da primeira camadaPerdas na primeira camada P1=I2Rca : Perdas na segunda camada P2=5P1h Rca = Rcc Para h>> Perdas na terceira camada P3=13P1Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 48. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito de ProximidadeProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 49. Fontes de alimentao c.c.-c.a Efeito de Proximidade Perdas Pm na camada m : [ ] h Pm = I . ( m 1 ) + m . Rcc 2 2 2 M h Perdas P totais das M camadas : P = I . .( 2 M + 1 ). Rcc 2 2 3 Nos indutoresUtilizar o menor nmero de camadas possvel Indutores em ncleo ToroidalProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 50. Fontes de alimentao c.c.-c.aEfeito de Proximidade: Curvas de Dowell d fio FL k=4Nd fio FL = lwOnde: dfio o diametro do fio, N o nmerode espiras/camada, a profundidade de penetrao e lw a altura da janelaProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 51. Fontes de alimentao c.c.-c.a Reduo das perdas de Proximidade 1. Para corrente senoidais nos enrolamentos, h uma espessura tima docondutor que minimiza as perdas no cobre. 2. Minimizar o nmero de camadas. Usar uma geometria de ncleo quemaximize a altura dos enrolamentos.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 52. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas no ncleo Por histerese A curva B-H real apresenta histerese B O deslocamento do ponto de funcionamento na curva provoca perdas no material magntico 1W = H2dV V 2 HPor corrente induzidas no ncleo (eddy currents) O fluxo magntico induz correntes no prprio ncleo. A circulao destas correntes provoca perdas no ncleo.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 53. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas no ncleo c: uma constante V: volumePFE = cVe f B xyca f: freqncia B: densidade de fluxo Os coeficientes x e y so fornecidos pelo fabricante x varia muito e y 2Normalmente, o fabricante fornece a curva: Perdas em funo de BProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 54. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas no ncleo 200 kHz 1000B 500 kHzB P/V 100 100 kHz10 Smente a componente alternada do Fluxo provoca perdas. Nas curvas se entra com a amplitude da componente alternada. 10 1001000B Escala logartmica Dependem do material do ncleo O fabricante d as perdas por volume para que seja vlida para todos os tamanhos de ncleoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 55. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas no ncleoIB IcaBca0 N i B=leg+0 N I carBac = l g+ eCom este valor (Bca) se entra nas curvas e obtem-se ras perdas volumtricas PAnalticamente so expresses do tipo: = 10 2.94 + 2.32log( Bca ) VConhecido o volume do ncleo (Ve) obtemos as perdas no ncleoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 56. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleo O parmetro que determina a escolha do material magntico a freqncia de trabalho Utiliza-se ao. As perdas so F < 100 Hzbasicamente devido a histerese do material magnticoAo aumentar a freqncia, alm das F < 20 kHz perdas devido a histerese do materialmagntico ocorrem tambm perdasdevido as correntes de Foucault As perdas so proporcionais a rea do ciclo de A histerese e inversamente proporcionais a resistividade i = k do material Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 57. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleo Os materiais empregados procuram aumentar a resistividade (ao com silcio) e estruturas laminadas de modo a diminuir a superfcie. A saturao ocorre entre 1.1 e 1.4 TA i = k AC iACProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 58. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleo Ao aumentar a freqncia de trabalho, foram desenvolvidos materiais de maior resistividade com menores espessuras. Apareceram os materiais amorfos. Estes materiais possuem estruturas similares as dos materiais cermicos. Pode-se assim chegar a dobrar a resistividade mantendo nveis de saturao elevados e com r bastante elevados. Consegue-se espessuras entre 40 e 50 m. O inconveniente o custo elevado destes materiais.Outra opo o uso de p de ferro compactado com materiais cermicos.Desta forma se consegue ter uma estrutura com pequenos entreferrosdistribudos. So fabricados com diferentes espessuras de grosPodem trabalhar em freqncias de MHz.A permeabilidade relativa baixa ( r < 200)Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 59. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 60. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleoPara aplicaes com freqncias superiores a 20 kHz, utiliza-semateriais a base de FERRITE So xidos de ferro misturados com outros materiais Existem duas famlias principais: Mn-Zn e Ni-Zn No so condutores eltricos e portanto as perdas por correntes induzidas so muito baixas O inconveniente que se saturam a nives de induo muito mais baixos que os materiais metlicos. Tpicamente BSAT < 0.4 T Mn-Zn: r 2000 Se conseguem permeabilidades elevadas: Ni-Zn: r 500Como regra geral, quanto maior a freqncia de trabalho, menor re menor BSATProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 61. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleoFerroxcube: 3C90 (f < 100 kHz), 3F3 (f < 500 kHz) Epcos: N27 (f < 100 kHz), N87 (f < 500 kHz) N27N8720050100 kHz100 mTProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 62. Fontes de alimentao c.c.-c.a Materiais do ncleo MATERIAL xy c 3C80 (100oC)1,30 2,50 16,70 PFE = cVe f x Bca y 3C81 (100 oC) 1,40 2,507,00 3C85 (100 C)o 1,30 2,50 11,0020-100KHz 3C85 (100oC)1,50 2,601,50 100-200KHzSIFERRIT N27 1,39 2,196,55 (no especificado)3F3 (100oC)1,60 2,500,25 (20-300KHz)3F3 (100oC)1,80 2,500,02(>300KHz)3F4 (100oC)1,75 2,90 12x10-2(500-1000KHz)4F1 (100oC)1,35 2,259,00 (3000-10000KHz) IP10 (23oC) 1,21 2,24 19,39 IP6 (23oC)1,18 2,34 69,63Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 63. Fontes de alimentao c.c.-c.aPerdas no ncleoConsiderando que as perdas no ncleo so proporcionais aoquadrado de B 0 N 2 AeL=L I ca lBac =g+ erN AeL2 I ca 2 PFE = cVe f x 0 N I ca N 2 Ae2Bac = PFE = cVe f B x 2ca l g+ er PFEAo aumentar o nmero dek Fe PFE =espiras, diminui-se aN2densidade de fluxo e portantoas perdas no ncleo NProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 64. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas Totais 1 N 2 lm 2PCu = I rms PCu = kCu N 2 AW Fu L2 I ac2 k FEPFE = cVe f x PFE= 2PT N 2 Ae2 NPCu PTmin k PT = kCu N 2 + FE N2PFE NOTIMO N Ao calcularmos as perdas totais, vemos que h um ponto em que as mesmas so mnimas.Prof. Porfrio Cabaleiro Cortizo 65. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas TotaisPTNo projeto consideramos que no PCuocorre a saturao do ncleo,proposio quedeversercomprovada no final PTminNMin < NOTIMO PFE N B Se com NOTIMO, B menorBSAT que BSAT, o projeto vlido NCaso contrario, esseNMin NOTIMO projeto no ser possvelProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 66. Fontes de alimentao c.c.-c.a Perdas TotaisPT PCu NMin > NOTIMO PTmin PFE Se com NOTIMO o ncleo doN indutor satura, devemos escolher NMin B BSATNCom o ncleo escolhido no possvel trabalhar no NOTIMO NMinponto timoProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo 67. Fontes de alimentao c.c.-c.aReferncias1. Site do prof. Javier Sebastin Ziga, Universidade de Oviedo, Cursode Sistemas de Alimentacin, cap. 8, http://www.uniovi.es/ate/sebas/2. Robert W. Erickson, Fundamentals of Power Electronics, Editora Chapman & Hall, 1o. Edio - 19973. Abraham I. Pressman, Switching Power Supply Design, Editora McGraw Hill International Editions, 19924. Colonel McLyman, Transformerand Inductor Design Handbook, 3o. Edio 20045. Cludio Lus Ebert, Programa computacional para projeto de Transformadores utilizados em Fontes de Alimentao Chaveadas, dissertao de PPGEE-UFSC, 19976. http://en.wikipedia.org/wiki/Skin_effectProf. Porfrio Cabaleiro Cortizo