LOS INVARIANTES: CAYLEY Y SYLVESTER

20 Matemáticos Célebres Francisco Vera

Preparado por Patricio Barros

Capítulo SéptimoLOS INVARIANTES

CAYLEY Y SYLVESTER

Durante mucho tiempo ha sido artículo de fe la creencia en el valor de símbolos matemáticos sinsentido, creencia que ha dado lugar a verdaderos absurdos cuyo origen está en la que Enriques hallamado "superstición del formalismo”, que nace de una falsa interpretación del principio deHankel, según el cual toda expresión escrita con los símbolos de la Aritmética universal siguesiendo válida cuando las letras dejan de representar simples “cantidades". Hoy sabemos que estosólo es cierto bajo ciertas condiciones. El año 1863 Weierstrass estableció el llamado teoremafinal de la Aritmética que demuestra la no existencia de ningún sistema de números complejos demás de dos componentes en el que el producto satisfaga todas las leyes formales de la Aritmética.Ya el año 1858 Cayley había encontrado una extraña propiedad en el cálculo de matrices: la noconmutatividad del producto, que causó el efecto de una herejía; pero las herejías dejan de seriocuando son razonables y la de Cayley ha sido, precisamente, la base de la obra de Heisenberg queha modificado la Mecánica ondulatoria, sustituyendo el principio de causalidad toda causa tieneun efecto, admitido como dogma científico, por el de indeterminación, que reduce a la modestacategoría de probable la certeza que orgullosamente hemos venido atribuyendo a la Ciencia.Pero en la primera mitad del siglo XIX, las cosas pasaban de otro modo, y fueron los inglesesquienes, saliendo de su "espléndido aislamiento", las modificaron de raíz. El año 1812 JorgePeacock, Carlos Babbage y Juan Federico Guillermo Herschell fundan en Cambridge una"Sociedad Analítica" que no tardó en hacer progresar la Matemática, encerrada hasta entonces enmoldes newtonianos. Dicha sociedad fue el germen de lo que después se ha llamado escuela delos reformadores ingleses, quienes, con su característica originalidad insular, pusieron loscimientos de la actual Álgebra por postulados; y cuando el año 1841 Cayley y Sylvester crean lateoría de invariantes, de importancia capital en la Física teórica, el terreno está ya preparado pararecibir la nueva semilla.James Joseph Sylvester nació en Londres el 8 de septiembre de 1814, de padres israelitas, y seignora todo lo relativo a su infancia. Contaba siete años cuando vino al mundo Arturo Cayley, sucomplemento algebraico, en Richmond, Surrey, de padre inglés y madre rusa, el 16 de agosto de1821, el año en que Abel creyó haber resuelto la ecuación general de quinto grado y, al observarun error en sus cálculos, le inspiró algo mucho mejor: la demostración de la imposibilidad deresolverla, que decidió la suerte de toda una teoría algebraica.

El padre de Cayley, que era negociante, se retiró a vivir tranquilamente en Blackheath, en 1829,donde el pequeño Arturo aprendió las primeras letras, al mismo tiempo que Sylvester, yaadolescente, ingresaba en la Royal Institution de Liverpool desde donde tuvo el primer contactocon los EE.UU. en los que años después había de producir una verdadera revolución matemática.Allí tenía un hermano que era actuario, y la empresa de loterías le consultó un difícil problema decálculos de probabilidades. Lo resolvió, y este su primer trabajo le valió la bonita suma dequinientos dólares que, en aquella época, era casi una fortuna.Su origen judío le impidió suscribir los treinta y nueve artículos que la Iglesia anglicana exigecomo mínimo de creencias religiosas, y marchó a Irlanda en busca de la libertad de concienciaque le negaba Inglaterra. En Dublín obtuvo los diplomas de bachiller y licenciado que no pudoconseguir en Cambridge, en cuyo Trinity College ingresaba Cayley con la calificación de “por



encima del primero" al mismo tiempo que Sylvester embarcaba para Virginia como profesor deMatemática de su Universidad.En aquellos años, los analistas ingleses habían hecho grandes progresos. John Warren atacó elproblema del imaginarismo, que entonces estaba de moda y que es el causante de las muchastonterías que han escrito los filósofos que sólo conocen la Matemática del bachillerato, y su ATreatise on the Geometrical Representation of the Square Roots of Negative Quantities,publicado en 1828, puede considerarse como una anticipación de Gauss, y Peacock da a conocersu tratado de Algebra en el que por primera vez se consideran las letras a, b, que intervienen enrelaciones como

a + b = b + aa × b = b × a

no como números, sino cómo símbolos arbitrarios combinados convenientemente en dosoperaciones: una representada por el signo + y la otra por el signo × de acuerdo con lospostulados previamente admitidos A Peacok le faltó, sin embargo, dar el paso decisivo:demostrar que sus postulados no eran contradictorios, paso que franquearon los alemanes que seocupaban de los fundamentos de la Matemática.La estancia de Sylvester en Virginia no fue grata. En cierta ocasión lo insultó un joven estudianteque no fue castigado. Sylvester dimitió y buscó trabajó en las universidades de Harvard yColumbia, y cómo no lo encontrara, regresó a Inglaterra donde obtuvo colocación como actuarioen una compañía dé seguros, y olvidó la Matemática pura, ya que la aplicada es, precisamente, enlos problemas de seguros donde tiene una de sus mejores aplicaciones.En éste tiempo Cayley se dedicó al turismo. Viajó por Francia, Suiza e Italia, con lacaracterística euforia dé los ingleses en cuanto cruzan el canal de La Mancha y, sobre todo,cuándo entran en una boite de nuit de Montmartre o les ciega la luz agresiva del cielo italiano.Cayley, como Sylvester, también olvidó la Matemática, y el año l846, por una rara coincidencia,ambos empiezan a estudiar Derecho, ambos se hacen abogados y ambos ejercen la profesión quetan alejada parece de las ciencias exactas, pero con las que debe de tener alguna conexiónmisteriosa.Es muy frecuente, el caso de los estudiantes que, al fracasar en la Facultad de Ciencias o en lasescuelas de Arquitectura o Ingeniería cambian el Álgebra por el Código civil y son, luego buenosabogados. Quizás, la explicación de este fenómeno se encuentre en la inflexibilidad de lainterpretación de un hecho matemático y en la flexibilidad de la interpretación de un hechojurídico y se concibe que haya espíritus que se sientan atraídos por una u otra orientación.Seguramente esa es la causa de que Grecia diese geómetras y Roma jurisconsultos. La cienciagriega es la romana desinteresada y romántica y la romana interesada y pragmática, y su aspectopráctico, que arranca de sus ideas religiosas, da carácter a sus concepciones científicas. La vidaciudadana, las obligaciones civiles y la preparación para la guerra, movidos los hombres aimpulsos de una gran voluntad, hicieron de Roma un pueblo casi netamente práctico que redujoal mínimo la especulación científica, incompatible con el dinamismo de su idiosincrasia que lellevó a gozar plenamente de la vida. A Roma le interesó más el hombre que la Naturaleza, y aGrecia le interesó más la Naturaleza que el hombre y por eso la ciencia romana no tiene el poderde abstracción que tuvo en Atenas y en Alejandría, y, en vez de la Geometría, creó el Derecho,como corolario de su genio fundamentalmente humano.



Esto es muy comprensible y en el mundo ha de haber espíritus de todos los matices. Lo que ya noes tan comprensible es que luego de una formación matemática rigurosa, como la de Cayley ySylvester, se abandone para abrazar la Jurisprudencia, cuyo ejercicio profesional puede sercompatible, tal es el caso de Fermat, con la Matemática, pero no el olvido absoluto de ésta paraentregarse a la otra, y menos aún en Cayley que, cuando se decidió a estudiar Derecho, ya haciatres años que había realizado varias investigaciones en la teoría de determinantes y hacía seis que,al traducir las operaciones geométricas de proyección al lenguaje analítico, a la maneracartesiana, sentó las bases de la teoría de invariantes.El concepto de invariante está ligado al de grupo cuya definición general se apoya en la idea deoperación; y así dice Bourlet que "un conjunto de transformaciones constituye un grupo sicomprende la transformación idéntica y si el producto de un número cualquiera detransformaciones, así como la inversa de una transformación, forma parte del conjunto".Esta definición, demasiado abstracta, necesita algunas aclaraciones para el lector no matemático.Una transformación es una correspondencia entre dos elementos A y B de un conjunto,llamándose B el transformado de A. Si consideramos ahora dos transformaciones T y T', una delas cuales hace corresponder al elemento A el B y la otra el B al C, el producto de lastransformaciones T y T' es la transformación que al elemento A le nace corresponder el C; lainversa de la transformación T es la que al elemento B le hace corresponder el A, y, finalmente,el producto de una transformación por su inversa, aplicado a una figura, la, sustituye por ellamisma: transformación idéntica. Una notable propiedad de los grupos es la invariantes, es decir:operaciones que dejan las relaciones que se pueden establecer entre los elementos del grupo ycuya ley de composición constituye su estructura.Un ejemplo aclarará estas ideas. Tracemos en una hoja de papel una figura cualquiera, sencilla ocomplicada, compuesta de rectas y curvas que se entrecrucen, y doblemos el papel en la formaque nos plazca, pero ,sin desgarrarlo. ¿Tendrá esta figura alguna propiedad que sea la mismaantes y después de plegar el papel? Tracemos ahora la misma figura sobre un trozo de caucho yluego estiremos el caucho en todas las direcciones que queramos, pero sin desgarrarlo. Secomprende sin dificultad que las longitudes de las líneas han variado; que los ángulos queformaban no son los mismos, ni las áreas tampoco; que algunas de las curvas se habráncomplicado y otras, en cambio, han podido convertirse en rectas y, al revés, algunas rectas encurvas, y, sin embargo, hay algo en la figura que no ha cambiado, algo tan sencillo que,precisamente por eso, puede pasar inadvertido: ese algo es el orden de los puntos en que una líneacualquiera de la figura, recta o curva, encuentra a otra línea cualquiera, de modo que si, porejemplo, para ir de un punto A a otro C, siguiendo una cierta línea, teníamos que pasar por unpunto B de esta línea antes de deformarla, también tendremos que pasar por B para ir de A a Cdespués de deformada, es decir: ese orden es un invariante en las transformaciones particularesque han plegado la hoja de papel y estirado la hoja de caucho.Y ahora es fácil ver que la Geometría se reduce al estudio de los invariantes del grupo de losmovimientos, esto es: de las relaciones que no cambian en el movimiento de los cuerpos sólidos,independientemente de las que tengan con el mundo exterior, límite alcanzado por un dobleproceso psicológico de abstracción de las sensaciones y de generalización de la idea de cuerpohasta hacerle asumir la categoría de figura geométrica, de tal modo que cuando decimos, porejemplo, que en un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales, nopensamos un triángulo determinado, sino un triángulo isósceles cualquiera, con absolutaindependencia de su magnitud y de su posición.Obsérvese, en efecto, que los objetos del mundo exterior producen en nosotros diversassensaciones que situamos en un cierto continente, de tal modo que la noción de éste queda aislada



de las de orden, peso , contacto, etc. hasta llegar al concepto de extensión concreta primero y alde espacio vacío después. Si aquellas sensaciones no varían cuando estamos quietos, es decir,cuando no realizarnos ningún esfuerzo muscular, decimos que el objeto está fijo y si varíanafirmamos que se mueve, esto es, que experimenta un cambio de posición o de estado, según quepodamos o no podamos restablecer el primitivo conjunto de sensaciones por movimientosadecuados de nuestro cuerpo. En el primer caso el objeto no se deforma y en el segundo si.Por consiguiente, si un objeto, colocado en una posición P', produce en nosotros un ciertoconjunto de sensaciones, y pasa sin deformarse de P’ a P’’ y de P’’ a P’’’, variarán lassensaciones, pero siempre podremos restituir las primitivas por un cambio de actitud que nospermita colocar los diversos miembros de nuestro cuerpo en la misma posición relativa inicialrespecto del objetos es decir, que la transformación directa de P’ a P’’’, es también unmovimiento, de donde resulta que todos los movimientos sin deformación constituyen un grupo,concepto que aparecía en la definición de Bourlet como un todo complicado y ahora se presentaal espíritu como la síntesis de una serle de hechos idealizados, verdadera experimentación mentalintegrada por juicios mudos en tanto hemos tenido conciencia de estos dos procesos intelectuales:el formado por la variedad de sensaciones musculares y el constituido por la permanencia deforma en los movimientos, que nos permiten conocer las propiedades métricas de congruenciasegún las cuales dos figuras iguales a una tercera son iguales entre sí, o si se prefiere, dos figuraiguales son dos posiciones distintas de una misma figura.Los movimientos conservan las longitudes, los ángulos y la orientación de las figuras; pero hayotras transformaciones que no tienen estas propiedades, como las semejanzas, que conservan losángulos pero no la distancia, y las simetrías, en las que se pierde la orientación; tal el guante de lamano derecha que no se puede superponer al de la izquierda sin volverlo del revés, en cuyo casoya no es el mismo guante, o el objeto y su imagen en un espejo, que tampoco son superponiblessin atravesar el espejo, y de aquí, tal vez, las sensaciones extrañas que experimentamos cuandopensamos en la imposibilidad de coincidir con nuestra imagen al mirarnos al espejo; algo asícomo si fuera otro el que nos mira desde su superficie.El grupo formado por todos los movimientos, todas las semejanzas y todas las simetrías es elgrupo fundamental de Félix Klein, en cuyo famoso Programa de Erlangen estableció que laGeometría estudia las propiedades invariantes respecto de un grupo cualquiera detransformaciones, de donde resulta que hay tantas Geometrías corno grupos de transformaciones.Pero estos grupos se pueden reducir a tres: Análisis Situs, Geometría Proyectiva y GeometríaMétrica, cada uno de los cuales corresponde a tres grupos de transformaciones fundamentales yestudia las propiedades invariantes respecto de estos grupos.El concepto de grupo, surgido, de la experiencia, ha conseguido sistematizar las tres Geometríasque nacen de tres conjuntos de sensaciones: musculares, visuales y táctiles, estudiando cada unade ellas las propiedades invariantes respecto de un grupo de transformaciones fundamentales queresponden a necesidades biológicamente inmediatas, puesto que todas las sensaciones espaciales,de espacio psicológico, tienden a nuestra conservación individual provocando las adecuadasreacciones corporales, directas o reflejas, que permiten el paso de la representación psicológica ala Geometría por medio de una eliminación de los datos heterogéneos de los sentidos, sin que nosasombren las desigualdades entre los espacios psicológicos: anisótropos, heterogéneos ylimitados, y el espacio geométrico: isótropo, homogéneo e ilimitado, por razones de utilidad,como no nos chocan los bailes y las funciones de teatro en favor de los tuberculosos pobres, acausa de la diferencia entre el concepto y la representación sensible, que queda anulada por elimperativo biológico.



La labor de Cayley y de Sylvester fue más analítica que geométrica, pero, dado el carácter de estecursillo, es más fácil trasladar al campo de la Geometría el concepto de invariante, que dejarlo enel dominio del Álgebra.Los dos matemáticos se conocieron el año 1850, no como matemáticos, sino como abogados, yen verdad que debió de ser curiosa la entrevista. Cada uno de ellos conocía la labor del otro yambos se profesaban mutua admiración, de la que nació en aquel momento una amistadperdurable.La relación personal de ambos tuvo recíproca influencia de la que salió beneficiada laMatemática y perjudicada la Jurisprudencia. Sylvester pidió un puesto de profesor en la EscuelaMilitar de Woolwich, y no se lo dieron, lo que le obligó a seguir trabajando en la compañía deseguros. Cayley fue más afortunado, pues que la Universidad de Cambridge creó por entoncesuna nueva cátedra de Matemática de la que le encargaron, y entonces se casó con Susana Moline.Sylvester permaneció célibe, encerrado unos años más en una oficina, realizando una labor deburócrata que no se acomodaba a su temperamento, y, al vacar una plaza en el Gresham Collegede Londres, la solicitó, pero no se la dieron. En cambio, fue llamado por la Academia deWoolwich para sustituir al candidato que lo había derrotado antes, porque éste acababa de morir.Sylvester conservó la cátedra de Woolwich hasta el año 1870 en que fue jubilado por imperativolegal, aunque estaba en plena actividad y en pleno vigor.Al año siguiente la instrucción pública inglesa se libró de la tutela eclesiástica y Sylvester obtuvorápidamente sus grados honoris causa, y con ellos volvió a América.Los EE.UU. tenían a gala en aquellos días no importar de Europa más que la Matemáticaestrictamente indispensable para satisfacer sus necesidades industriales. La opinión de ciertoprofesor inglés que reconocía la belleza de la teoría de funciones de Bessel a pesar de que teníaalgunas aplicaciones prácticas, hubiera sido inconcebible para un norteamericano del últimotercio del siglo XIX y en cambio aplaudiría a Cicerón cuando alababa a sus conciudadanosporque "gracias a los dioses, no son como los griegos y saben limitar el estudio de la Matemáticaal dominio de las aplicaciones prácticas". Afortunadamente, el aludido profesor inglés nopronunció su frase ni en la Roma del siglo I antes de J. C. ni en la Nueva York del XIX, sino enla Inglaterra de hoy.La presencia de Sylvester en Norteamérica cambió radicalmente su modo de pensar a esterespecto. Con voluntad tesonera y paciencia ejemplar, explicó sus teorías analíticas, convencidode la fecundidad de la abstracción; y cuando en 1875 se fundó la Universidad de Baltimore,Gilman, que era el alma de ella, llama Sylvester, quien, durante diez años de una labor que diríaseincompatible con su edad, educó a una multitud de estudiantes que determinaron el magníficodesarrollo que tiene actualmente la Matemática pura en los Estados Unidos.Sylvester no se limitó a las lecciones magistrales de la cátedra, sino que realizó, además, unalabor de divulgación y de extensión desde el American Journal of Mathematics, que fundó en1875, provocando una verdadera revolución en la enseñanza de la Matemática, y cuando volvió aInglaterra, en 1885, como profesor especial de Oxford, podía sentirse verdaderamente orgullosode sí mismo. En la otra orilla del Atlántico quedaban una afición y un método que ya habíanempezado a dar pruebas fidedignas de inmediatos frutos sazonados, y cuando en 1893 hubo deretirarse no ya por razones de carácter burocrático, sino biológico, porque era octogenario yestaba casi ciego, alcanzó a saber con legítima e íntima satisfacción que la semilla depositada porél daba ya frutos de bendición.Murió en Londres el 15 de marzo de 1897. Dos años antes, el 26 de enero de 1895, habla muertoCayley, dejando escritas novecientas sesenta y seis memorias, que ocupan trece volúmenes encuarto de seiscientas páginas cada uno.

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