L'insieme dei numeri reali

Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali

Ancona, 4 ottobre 2011 1

APPUNTI DI LEZIONI

Corso di Metodi Matematici e Statistici

C.d.L Scienze del Controllo Ambientale e Protezione Civile

a.a. 2011/2012

Dr. Enrico Smargiassi



Es. 𝐴 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 3 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 → 𝒫 𝐴 = , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝑥, 𝑦 , 𝑥, 𝑧 , 𝑦, 𝑧 , 𝑥, 𝑦, 𝑧

23 = 8 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI

Il concetto di insieme è un concetto “intuitivo” e non richiede ulteriori specificazioni.

Il concetto d’insieme si applica a classi di “oggetti” qualsiasi e non solo a numeri, come:

N = 1, 2, … Z = 0, ±1, ±2, … Q = q = ±m

n, m, n ∈ 𝐍, n ≠ 0

Possibili sinonimi di insieme: collezione, aggregato, famiglia, classe.

Nomenclatura: A,B,… insiemi a A

a,b,… elementi a A

Rappresentazione di un insieme estensiva (per elencazione) N

Intensiva (enunciando una proprietà o legge

caratteristica Q

DEFINIZIONE (di sottoinsieme)

A1 è un sottoinsieme di A, e si scrive A1 ⊆ A o A ⊇ A1, se ogni elemento di

A1 appartiene anche ad A

𝑠𝑒 𝑎 ∈ 𝐴1 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑎 ∈ 𝐴

Se A ⊆ B e B ⊆ A allora diremo che i due insiemi coincidono A = B, ovvero

contengono gli stessi elementi

(questo è un modo per verificare che due insiemi coincidono)

Si usa la scrittura A ⊂ B , cioè A è strettamente incluso in B, ovvero A è un sottoinsieme

proprio di B, quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, ma esiste almeno un

elemento di B che non è un elemento di A.

A ⊂ B 𝑠𝑒 ( A ⊆ B e A ≠ B)

Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi si chiama insieme delle parti di A,

𝒫(𝐴). Il numero di elementi di 𝒫 𝐴 è 2𝑛 se n è il numero di elementi di A.

A

A1



Per evitare paradossi logici è bene parlare di insiemi solo dopo aver fissato un contesto,

cioè un “ambiente” o “universo”, all’interno del quale si opera con i sottoinsiemi di tale

insieme universo.

DEFINZIONI

Sia X l’insieme universo e A e B due suoi sottoinsiemi.

- L’insieme unione di A e B, A B , è l’insieme degli elementi x X che

appartengono ad A oppure a B, oppure ad entrambi

- L’insieme intersezione di A e B, A B , è l’insieme degli elementi x X che

appartengono sia ad A e sia a B

- L’insieme differenza di A e B, A \ B , è l’insieme degli elementi x X che

appartengono ad A, ma non a B

- L’insieme complementare di A rispetto a X, Ac, oppure 𝐀 è l’insieme degli elementi

x X che non appartengono ad A

Due insiemi che hanno intersezione vuota si dicono insiemi disgiunti.

Vale anche X \ A = Ac e X \ Ac = A

Ac

A

A B

B A

A B

B A

A \ B

B A



Es. 𝐴𝑛 = 𝑞𝜖𝑄: −1

𝑛 ≤ 𝑞 ≤

1

𝑛 𝐴1 = 𝑞𝜖𝑄: − 1 ≤ 𝑞 ≤ 1

𝐴2 = 𝑞𝜖𝑄: −1

2 ≤ 𝑞 ≤

1

2

… …

𝐴𝑛 = 𝑞𝜖𝑄: − 1 ≤ 𝑞 ≤ 1 = 𝐴1

+∞

𝑛=1

𝐴𝑛

+∞

𝑛=1

= 0

Esercizio 1 Provare la seguente relazione di De Morgan, rispetto all’insieme

universo X: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵

S. Verifichiamo prima che 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐵

Sia 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑥 ∈ 𝐵

Verifichiamo ora che 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵

Sia 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒𝑑 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒

⟹ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵

⟹ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵 ⟹ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵

PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI E (proprietà duali)

A A = A A A = A idem potenza

A B = B A A B = B A commutatività

(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

associatività

A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

distributività

A (A B) = A A (A B) = A assorbimento

Legge di dualità: Da ogni proprietà scritta utilizzando l’unione e l’intersezione tra insiemi se

ne può dedurre un’altra scambiando tra loro i simboli di unione e intersezione.

Estensione: Le operazioni di unione e intersezione possono essere estese al caso di un

numero qualsiasi, anche infinito, di insiemi 𝐴𝐴∈ℱ 𝐴𝐴∈ℱ



“ xB xA” equivale dire AB

“ xA per cui xB” equivale dire A B { }

“ xA xB” equivale dire A B

“ xA xB” equivale dire A = B

Esercizio 2 Negare la seguente affermazione: “xA yA : x < y”

S. xA : x y yA

Esercitazione 2 Negare le seguenti affermazioni:

“yR : x y xA” “xA y,zA : y < x < z”

Esercitazione 1 Verificare la relazione duale di De Morgan, rispetto all’insieme

universo X: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

ALCUNI SIMBOLI LOGICI

“per ogni”

“esiste almeno un”

quantificatori esistenziali

: “tale che”

“se … allora …” (implica logicamente)

“… se e solo se …” (equivalenza logica)



IL SISTEMA DEI NUMERI REALI

La definizione rigorosa dell’insieme dei numeri reali non è elementare e richiede sempre

una certa fatica intellettuale.

Vi sono diverse modalità di affrontare la problematica della definizione del numero reale.

In particolare:

- L’approccio genetico, dove, una volta caratterizzato N attraverso alcune sue

proprietà, si costruiscono con successivi ampliamenti gli insiemi Z, Q, R e C. tale

approccio prevede ampliamenti successivi che colmano alcune “lacune”,

creando così insiemi che godono sempre di maggiori proprietà dimostrate.

Il passaggio da Q e R può essere nota ad alcuni con il termine di sezione di

Dedekind.

- L’approccio assiomatico, invece, procede partendo da tutte le proprietà

“necessarie”, che assunte come assiomi, costituiscono la definizione stessa di

numero reale. Tale approccio è ovviamente non coerente storicamente ma

fornisce un metodo di sintesi e di ordine logico, richiedendo anche una maturità di

idee.

Qui si adotterà l’approccio assiomatico, parlando, quindi, di numero reale in termini degli

assiomi (proprietà) che lo definiscono.

Gli assiomi di R possono essere distinti in algebrici, di ordinamento e di completezza (o

continuità).

ASSIOMI ALGEBRICI (relativi alle operazioni di calcolo – Struttura di Campo)

In R si definiscono due operazioni interne, l’addizione e la moltiplicazione, che ad ogni

coppia di numeri reali a, b associa rispettivamente la loro somma, a+b, e il loro prodotto,

ab, per cui valgono le seguenti proprietà:

1. Associatività a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) = (ab)c a,b,c R

2. Commutatività a + b = b + a

ab = ba a,b R

3. Distributività a(b + c) = ab + ac a,b,c R

(della moltiplicazione rispetto alla somma)

4. Esistenza degli elementi neutri

Esistono in R, e sono unici, due numeri che indicheremo con 0 e 1 per cui

a + 0 = a e 1a = a a R

5. Esistenza degli elementi opposti

a R ! b R : a + b = 0



𝐷𝑖𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑐𝑕𝑒 𝑠𝑒 𝑎 < 0 𝑒 𝑏 < 0 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑎𝑏 > 0

𝑆𝑒 𝑎 < 0 𝑒 𝑏 < 0 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 − 𝑎 > 0 𝑒 − 𝑏 > 0

𝑃𝑒𝑟 𝑙′𝑎𝑠𝑠𝑖𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑐𝑕𝑖𝑢𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑖 𝑹+ 𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑔𝑢𝑒 𝑐𝑕𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑒 – 𝑎 −𝑏 > 0

𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑕𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑕𝑒 – 𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏,

𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑕𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑏𝑒 𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡à 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑙′𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑖 – 𝑎 𝑏 𝑒

𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑕𝑒 𝑙′𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜è 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑖 𝑜𝑡𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑙 𝑟𝑖𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜.

𝐼𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖

𝑎𝑏 + – 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡à 𝑎 − 𝑎 𝑏 = 0 𝑏 = 0

−𝑎 −𝑏 + −𝑎 𝑏 = 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑜𝑣𝑖𝑡à −𝑎 −𝑏 + 𝑏 = −𝑎 0 = 0

b è detto opposto di a e si indica con –a

6. Esistenza dei reciproci

a R\{0} ! b R : a b = 1

b è detto reciproco di a e si indica con a-1 o 1/a

Questi assiomi strutturano R come un campo algebrico. Da essi discendono tutte le regole

di calcolo elementare note.

ASSIOMI DI ORDINAMENTO (relazione d’ordine)

Nell’insieme R esiste un sottoinsieme non vuoto, detto dei numeri positivi, R+, i cui elementi

soddisfano le seguenti proprietà:

1. Chiusura di R+ rispetto all’addizione e alla moltiplicazione

a, b R+ a + b R+ e ab R+

2. Tricotomia a R+ oppure –a R+ oppure a=0

Da questi assiomi discendono molte considerazioni che ci sembrano ovvie:

- I numeri 0 che non sono positivi si dicono negativi (a è negativo perché –a R+)

Si scrive a > 0 per i numeri positivi e a < 0 per quelli negativi.

Inoltre si potrà scrivere a > b quando a + (-b) = a – b è positivo

oppure a < b quando a – b è negativo.

In particolare a < 0 significa –a > 0.

Si scrive anche a 0 quando a è positivo o nullo.

- a b e a b a = b

- Il prodotto di due numeri negativi è positivo (regola dei segni)



NOTA. INTERVALLI NUMERICI in R (sottoinsiemi di R)

- 𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑐𝑕𝑖𝑢𝑠𝑜 𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑎 𝑒 𝑏

- 𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑎 𝑒 𝑏

- 𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑎 𝑒 𝑏

- 𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑖 𝑎 𝑒 𝑏

- −∞; 𝑎 = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 ≤ 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑖𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑐𝑕𝑖𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑎

- −∞; 𝑎 = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 < 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑖𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑎

- 𝑏; +∞ = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 ≥ 𝑏 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑖𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑐𝑕𝑖𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑏

- 𝑏; +∞ = 𝑥 ∈ 𝑹: 𝑥 > 𝑏 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑖𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑎𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑏

- −∞; +∞ = 𝑹

- 𝑎; 𝑎 = = ∅

- Il numero 1 è positivo ( e quindi N)

- Valgono tutte le usuali regole di calcolo per le disequazioni.

ASSIOMA DI COMPLETEZZA (o di continuità)

Tale assioma esprime la proprietà di “continuità” dei numeri reali, cioè l’idea che ci siano

abbastanza numeri per rappresentare grandezze che variano con continuità, quali, ad

esempio, tempo e posizione.

Dapprima procediamo con alcune definizioni.

DEFINIZIONE (insieme limitato superiormente)

Sia A R, A è limitato superiormente se esiste M R tale che M a per ogni a A.

M è detto maggiorante dell’insieme A.

DEFINIZIONE (insieme limitato inferiormente)

Sia A R, A è limitato inferiormente se esiste m R tale che m a per ogni a A.

M è detto minorante dell’insieme A.

DEFINIZIONE (insieme limitato)

Sia A R, A è limitato se lo è superiormente e inferiormente. In tal caso è sempre possibile

trovare un numero reale positivo k tale che |a| k per ogni a A.

DEFINIZIONE (massimo di un insieme)

Sia A R limitato superiormente, si dice che A ha un massimo se esiste un maggiorante

che appartiene ad A, cioè

M maggiorante di A e M A M = max A



NOTA.

Non tutti gli insiemi limitati hanno un min e max.

L’intervallo ]0; 1[, ad esempio, non ha massimo o minimo.

OSSERVAZIONI

Se sup A esiste ed esso appartiene ad A allora è anche massimo

Se inf A esiste ed esso appartiene ad A allora è anche minimo

Se il sup A esiste allora esso è il minimo dell’insieme dei maggioranti (il più piccolo dei

maggioranti)

Se il inf A esiste allora esso è il massimo dell’insieme dei minoranti (il più grande dei

minoranti)

Se A non è superiormente limitato allora di definisce sup A = +

Se A non è inferiormente limitato allora di definisce inf A = -

DEFINIZIONE (minimo di un insieme)

Sia A R limitato inferiormente, si dice che A ha un minimo se esiste un minorante che

appartiene ad A, cioè

m minorante di A e m A m = min A

Consideriamo l’insieme 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 = 𝑛−1

𝑛, 𝑛 ∈ 𝑵 . Esso non ha massimo, poiché tutti i

maggioranti sono numeri maggiori o al più uguali ad 1, ma non appartengono ad A dato

che non sono esprimibili tramite una espressione 𝑛−1

𝑛 che rappresenta una frazione più

piccola di 1.

E’ naturale però considerare il numero 1 come quello che può giocare il ruolo del

massimo, pur non essendolo. Per questo si introduce un nuovo concetto , cioè quello di

estremo superiore ed inferiore di un insieme.

DEFINIZIONE (estremo superiore ed inferiore di un insieme)

Sia A R non vuoto, il numero reale S si dice estremo superiore di A e si indica con

S = sup A se

- S è un maggiorante per A

- > 0 S- non è maggiorante di A ( piccolo a piacere)

Analogamente, il numero reale I si dice estremo inferiore di A e si indica con I = inf A se

- I è un minorante per A

- > 0 I+ non è un minorante di A ( piccolo a piacere)



Dimostrazione (per assurdo): supponiamo per assurdo che esistano due sup distinti per A,

indicati con S e T.

Allora non può essere che S < T poiché T non sarebbe sup, così come T < S non può essere

poiché S non sarebbe sup.

Pertanto T=S (tricotomia)

Es. 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 = 𝑛−1

𝑛, 𝑛 ∈ 𝑵 Verifichiamo che sup A = 1

1 è un maggiorante per A dato che 𝑎 = 𝑛−1

𝑛< 1 𝑖𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖

𝑛−1

𝑛< 1 ⟹

∀𝜀 > 0 1 − 𝜀 𝑛𝑜𝑛 è 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝐴, 𝑐𝑖𝑜è 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎 ∈ 𝐴

⇒ 𝑛 − 1 − 𝑛

𝑛< 0 ⇒

−1

𝑛< 0 𝑜𝑘!

𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑖 1 − 𝜀 < 𝑎 , 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑕𝑒 1 − 𝜀 <𝑛 − 1

𝑛

𝐼𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 𝑛 1 − 𝜀 < 𝑛 − 1 ⟹ 𝑛 − 𝑛 𝜀 − 𝑛 + 1 < 0 ⟹

⟹ 1 < 𝑛 𝜀 ⟹ 𝑛 > 1

𝜀 ⟹ 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑛 =

1

𝜀 + 1

= 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎

Es. ]-; 0] e [0; +[ [0; 1[ e [2; 3] [-2; -1] e N {0} e {3}

L’insieme dei maggioranti (o minoranti) di A ed A stesso sono separati

TEOREMA

Se A ammette sup allora esso è unico. (esiste un analogo teorema per l’estremo inferiore)

DEFINIZIONE (insiemi separati)

Due sottoinsiemi non vuoti A e B R si dicono separati se si ha a b aA, bB

ASSIOMA DI COMPLETEZZA

Per ogni coppia A e B di sottoinsiemi non vuoti di R e separati, esiste almeno un elemento

separatore, cioè un numero reale tale che a b aA, bB

Questo assioma significa che è sempre possibile interporre un numero reale tra gli

elementi di due insiemi separati. “Tutti i buchi possono essere riempiti”.

Dall’assioma di completezza discende il teorema seguente.



Dimostrazione:

Se A è limitato superiormente allora l’insieme dei maggioranti, ℳ𝐴 ≠ ∅

Per definizione di A e ℳ𝐴 sono separati. Per l’assioma di completezza deve allora esistere un

numero reale S tale che a S b aA, ∀𝑏 ∈ ℳ𝐴.

Tale elemento è il sup A

Infatti esso è un maggiorante per A e >0 S- non è un maggiorante per A, dato che se

lo fosse non sarebbe soddisfatta la disuguaglianza S S- contrariamente alla conclusione

dell’assioma di completezza.

L’unicità del sup garantisce la conclusione.

Esercizio 3 Determinare inf e sup di 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 = 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 , 𝑛 ∈ 𝑵

S. Dapprima poniamoci la domanda se A è limitato, ovvero se esiste un numero

kR per cui 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 < 𝑘.

Essendo l’espressione 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 positiva possiamo scrivere solo 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 < 𝑘 ⟹

Scegliendo k>1 la disequazione sopra è soddisfatta per 𝑛 > 5 + 21+4𝑘

2 𝑘−1 > 0

Pertanto basta scegliere, ad esempio k = 2 per avere 𝑛 > 5 + 29

2 ~ 5,2

Ciò significa che tutti gli elementi di A con n 6 soddisfano la condizione | | < k.

Quindi possiamo concludere che l’insieme A è limitato poiché tutti i suoi elementi

sono sempre inferiori ad un valore unico, che in base alle considerazioni sopra

può essere preso come 2 + max{x1, x2, x3, x4, x5}.

⟹ 1 − 𝑘 𝑛2 + 5𝑛 + 1 < 0 ⟹ 𝑛1,2 = 5 ∓ 21 + 4𝑘

2 𝑘 − 1

TEOREMA

Sia A R non vuoto e limitato superiormente, allora esiste S = sup A

(Questo teorema è di ampio uso e talvolta è considerato come il vero assioma dei numeri

reali. E’ ovvio che esista un analogo teorema per l’estremo inferiore)



Ora troviamo gli estremi di A.

Come si può procedere? Una possibilità è quella di verificare se gli elementi di A

sono ordinabili (in senso decrescente o crescente).

Per far ciò vediamo se xn+1 xn (ovviamente si può partire anche dalla

disuguaglianza di verso contrario ).

Esplicitando xn+1 e xn si ottiene:

𝑥𝑛+1 ≤ 𝑥𝑛 ⟹ 𝑛+1 2+ 5 𝑛+1 +1

𝑛+1 2 ≤ 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 ⟹ 𝑛2+ 7𝑛+7

𝑛+1 2 ≤ 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 ⟹

Poiché −7+ 29

10 è una quantità negativa abbiamo il risultato che per ogni nN è

vero che 𝑥𝑛+1 ≤ 𝑥𝑛 e quindi gli elementi di A sono ordinati in senso decrescente !

Da questo si deduce subito che sup A = x1 = 7. Tale sup è anche massimo.

Per l’estremo inferiore speculiamo per n + (cioè per n molto grande): osserviamo

che il numeratore e denominatore nell’espressione di xn tendono a confondersi nel

loro valore, cioè che xn tende ad avvicinarsi al valore 1.

Quindi ipotezziamo che inf A = 1.

Verifichiamo tale ipotesi sulla base della definizione di inf:

- 1 è 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝐴 ⟹ 𝑥𝑛 ≥ 1 ∀𝑛 ∈ 𝑵 ⟹ 𝑛2+ 5𝑛+1

𝑛2 ≥ 1 𝑜𝑘!

- ∀𝜀 > 0 1 + 𝜀 𝑛𝑜𝑛 è 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝐴, 𝑐𝑖𝑜è 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑖

⟹ 𝑛2 + 7𝑛 + 7 𝑛2 ≤ 𝑛2 + 5𝑛 + 1 𝑛2 + 2𝑛 + 1 ⟹ 5𝑛2 + 7𝑛 + 1 ≥ 0 ⟹

⟹ 𝑛1,2 = −7 ± 29

10 ⟹ 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑝𝑟𝑎 è 𝑠𝑜𝑑𝑑𝑖𝑠𝑓𝑎𝑡𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟

𝑛 <−7 − 29

10 ⋁ 𝑛 >

−7 + 29

10

Perchè il numeratore maggiore del denominatore ∀n ∈ 𝑵

𝑥𝑛 < 1 + 𝜀

𝐼𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 𝑥𝑛 < 1 + 𝜀 ⟹ 𝑛 2 + 5𝑛 + 1

𝑛 2 < 1 + 𝜀 ⟹ 𝜀𝑛 2 − 5𝑛 − 1 > 0 ⟹

⟹ 𝑛 <5 − 25 + 4𝜀

2𝜀 ⋁ 𝑛 >

5 + 25 + 4𝜀

2𝜀

𝑃𝑜𝑖𝑐𝑕è 𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 5 + 25 + 4𝜀

2𝜀 è 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑐𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝜀

è 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 + 1 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑑𝑑𝑖𝑠𝑓𝑎𝑡𝑡𝑎

𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑛 𝑜𝑔𝑔𝑒𝑡𝑡𝑜.



Esercitazione 3 Determinare l’inf e il sup del seguente insieme:

𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 = −1 𝑛 2𝑛−1

𝑛, 𝑛 ∈ 𝑵 𝑆. 𝑖𝑛𝑓 𝐴 = −2 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 2

OSSERVAZIONE: L’INSIEME Q NON E’ COMPLETO !

Consideriamo l’insieme 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑸 ∶ 𝑥 ≥ 0, 𝑥2 < 2

Tale insieme è ovviamente limitato (basta considerare 3

2 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜

3

2

2> 2) , ma

non ha sup in Q. Supponiamo, per assurdo, che esista q = sup A con q Q, cioè tale che q sia un

maggiorante per A e che ogni numero razionale inferiore a q non lo sia.

Dimostriamo innanzitutto che un tal numero deve essere necessariamente tale che 𝑞2 = 2.

Infatti non può essere 𝑞2 < 2 𝑝𝑜𝑖𝑐𝑕è 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑛 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑞 + 1

𝑛 ∈ 𝑄 𝑐𝑜𝑛 𝑞 +

1

𝑛

2= 𝑞2 +

2𝑞

𝑛+

1

𝑛2 ≤ 𝑞2 + 2𝑞

𝑛+

1

𝑛 = 𝑞2 +

2𝑞+1

𝑛 < 2

Ma non può essere neanche 𝑞2 > 2 dato che prendendo di nuovo un opportuno numero naturale n si

potrebbe avere 𝑞 − 1

𝑛 ∈ 𝑄 𝑐𝑜𝑛 𝑞 −

1

𝑛

2> 2

𝑚𝑎 𝑐𝑖ò 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑢𝑝.

In conclusione, allora, può essere solo 𝑞2 = 2. Ma tale numero non esiste in Q, infatti se esistesse si

avrebbe 𝑞 = 𝑛

𝑚 ⟹ 𝑞2 =

𝑛2

𝑚2 = 2 ⟹ 𝑛2 = 2 𝑚2 ⟹ 𝑛2 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹ 𝑛 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹

𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑡𝑟𝑒𝑏𝑏𝑒 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑒

𝐷𝑎 𝑐𝑢𝑖 2𝑞 + 1

𝑛 < 2 − 𝑞2 ⟹ 𝑛 >

2𝑞 + 1

2 − 𝑞2

𝑄𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑐𝑒𝑔𝑙𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖 2𝑞 + 1

2 − 𝑞2 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖 1 𝑝𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑕𝑒

𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞 + 1

𝑛 𝑐𝑕𝑒 è 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑞 𝑛𝑜𝑛 è 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑞

𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑙 𝑟𝑢𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑖 sup 𝑑𝑖 𝑞.

𝐼𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑞 − 1

𝑛

2

= 𝑞2 − 2𝑞

𝑛+

1

𝑛2 > 𝑞2 −

2𝑞

𝑛 > 2 ⟹ 𝑛 >

2𝑞

𝑞2 − 2

𝑄𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑐𝑒𝑔𝑙𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖 2𝑞

𝑞2 − 2 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖 1 𝑝𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑐𝑕𝑒

𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞 − 1

𝑛 è 𝑠𝑖𝑎 𝑝𝑖ù 𝑝𝑖𝑐𝑐𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑖 𝑞 𝑒 𝑠𝑖𝑎 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝐴

𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 > 2.

⟹ 𝑛 = 2𝑘 4𝑘2 = 2𝑚2 ⟹ 2𝑘2 = 𝑚2 ⟹ 𝑚2 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹ 𝑚 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹

⟹ 𝑚 = 2𝑕 ⟹ … … 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑎𝑟𝑒𝑏𝑏𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑎𝑙𝑙′ 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑟𝑖𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒

⟹ 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 ‼ 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎

𝑞 = 2 𝑐𝑕𝑒 è 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑖 2, 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑸



Un’altra proprietà importante dei numeri reali è quella archimedea, in quanto lo rende

utilizzabile per misurare grandezze; tale proprietà è espressa dal seguente teorema.

TEOREMA

∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹+ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 < 𝑏 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒, 𝑛 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑕𝑒 𝑛𝑎 > 𝑏

CONCLUSIONE

R è un campo, ordinato, archimedeo e continuo.

APPENDICE A.1 – Sistema ampliato di numeri reali (aritmetica estesa)

Poiché è stato esteso il concetto di sup ed inf anche per i sottoinsiemi di R illimitati, è

possibile pensare di ampliare R con i simboli + e -, nel quale è definito un ordinamento

e un “pseudo” formalismo algebrico, utile per eseguire calcoli.

In particolare:

−∞ < 𝑥 < +∞ ∀𝑥 ∈ 𝑹

𝑥 + +∞ = +∞ ∀𝑥 ∈ 𝑹 𝑥 + −∞ = −∞ ∀𝑥 ∈ 𝑹

+∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞

𝑥 ±∞ = ±∞ ∀𝑥 > 0 𝑥 ±∞ = ∓∞ ∀𝑥 < 0

±∞ ±∞ = +∞ ±∞ ∓∞ = −∞

𝑥

±∞= 0 ∀𝑥 ∈ 𝑹

APPENDICE A.2 – Principio d’induzione

Il principio d’induzione è uno strumento prezioso nella dimostrazione logica di affermazioni

che dipendono da indici. Esso discende direttamente dalla definizione dell’insieme dei

numeri naturali, N. Formuliamo il principio tramite il seguente teorema.

TEOREMA

Sia A N un insieme definito da una certa proprietà p(n), cioè 𝐴 = 𝑛 ∈ 𝑵 ∶ 𝑝(𝑛) .

Se

- p(1) è vera, cioè 1 A

- p(n) p(n+1) nN, cioè se n A allora anche n+1 A

Allora

p(n) è vera nN, cioè A = N

Vediamo ora qualche applicazione importante.



Es.

2𝑛 ≤ (𝑛 + 1)! ∀𝑛 ∈ 𝑵 ? dove n! = n(n-1)(n-2)…2 1 è il fattoriale

Applichiamo il principio d’induzione verificando le due ipotesi del teorema:

𝑛 = 1 → 21 ≤ 2! ?

𝑝 𝑛 ⟹ 𝑝 𝑛 + 1 ?

≤ 2 + 𝑛 𝑛 + 1 ! = n + 2 ! 𝑜𝑘!

2 ≤ 2 𝑜𝑘!

𝑝 𝑛 + 1 → 2𝑛+1 = 2 2𝑛 ≤𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎𝑝(𝑛)

≤ 2 n + 1 ! ≤

Es. 𝑛2 ≤ 2𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝑵, 𝑛 ≥ 4 ?

Per applicare il principio d’induzione trasliamo l’indice n in n+3 così da avere l’affermazione

valida per tutto N: (𝑛 + 3)2 ≤ 2𝑛+3 ∀𝑛 ∈ 𝑵

𝑛 = 1 → 42 ≤ 24 ?

𝑝 𝑛 ⟹ 𝑝 𝑛 + 1 ?

= 2 𝑛 + 3 2 ≤𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎𝑝(𝑛)

≤ 2 2𝑛+3 = 2𝑛+4 𝑜𝑘!

16 ≤ 16 𝑜𝑘!

𝑝 𝑛 + 1 → 𝑛 + 4 2 = 𝑛 + 3 + 1 2 = 𝑛 + 3 2 + 2 𝑛 + 3 + 1 ≤𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎

≤ 𝑛 + 3 2 + 2 𝑛 + 3 + 𝑛 + 3 = 𝑛 + 3 2 + 3 𝑛 + 3 ≤𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎

≤ 𝑛 + 3 2 + 𝑛 + 3 𝑛 + 3 = 𝑛 + 3 2 + 𝑛 + 3 2 =

Es. SERIE GEOMETRICA

Se x = 1 la sommatoria si riduce a 1+1+…+1, cioè sommare 1 n+1 volte, dando come risultato

n+1.

Se x 1 verifichiamo con il principio d’induzione che vale 𝑥𝑘𝑛𝑘=0 =

1− 𝑥𝑛+1

1−𝑥

𝑛 = 1 → 𝑥𝑘 = 1 + 𝑥1𝑘=0 =𝑚𝑜𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐 𝑕𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑎𝑚𝑜 =

1+𝑥 (1−𝑥)

1−𝑥=

1− 𝑥2

1−𝑥 𝑜𝑘!

𝑝 𝑛 ⟹ 𝑝 𝑛 + 1 ?

= 𝑥𝑛+1 + 1− 𝑥𝑛+1

1−𝑥=

𝑥𝑛+1− 𝑥𝑛+2+ 1− 𝑥𝑛+1

1−𝑥=

1− 𝑥𝑛+2

1−𝑥 𝑜𝑘!

𝑆𝑖𝑎 𝑥 ∈ 𝑹 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛 = 𝑥𝑘

𝑛

𝑘=0

𝑝 𝑛 + 1 → 𝑥𝑘

𝑛+1

𝑘=0

= 𝑥𝑛+1 + 𝑥𝑘

𝑛

𝑘=0

=𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑝 𝑛

=



Es. DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI (utile per il calcolo dei limiti)

1 + 𝑎 𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝑹 ?

Applichiamo il principio d’induzione verificando le due ipotesi del teorema:

𝑛 = 1 → 1 + 𝑎 1 = 1 + 𝑎 𝑜𝑘!

𝑝 𝑛 ⟹ 𝑝 𝑛 + 1 ?

𝑝 𝑛 + 1 → 1 + 𝑎 𝑛+1 = 1 + 𝑎 1 + 𝑎 𝑛 ≥𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑝 𝑛

≥

≥ 1 + 𝑎 1 + 𝑛𝑎 = 1 + 𝑛𝑎 + 𝑎 + 𝑛𝑎2 ≥𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎 ≥

≥ 1 + 𝑛𝑎 + 𝑎 = 1 + 𝑛 + 1 𝑎 𝑜𝑘!

Esercitazione 4 Verificare tramite il principio d’induzione che valgono le

seguenti affermazioni per ogni nN:

𝑘𝑛𝑘=1 =

𝑛(𝑛+1)

2

𝑘3𝑛𝑘=1 = 𝑘𝑛

𝑘=1 2

9𝑛+1 + 26𝑛+1 è 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟 11

APPENDICE A.2 – Struttura Topologica di R

L’insieme dei numeri reali, oltre a possedere, come abbiamo visto, una struttura algebrica

di campo e una struttura di ordine, possiede una struttura topologica o metrica. Essa si

basa sul concetto d’intorno, che rende l’idea di quanto due o più numeri reali siano

“vicini”.

Procediamo a descrivere i termini in oggetto ponendo delle definizioni.

DEFINIZIONE (intorno)

Si chiama intorno (completo) del numero (o punto) aR, qualunque intervallo aperto del

tipo 𝑎 − 𝜌; 𝑎 + 𝜌 𝑐𝑜𝑛 𝜌 ∈ 𝑹+.

a si dice centro e semiampiezza o raggio dell’intorno.

Per intorno destro/sinistro, conseguentemente intervalli numerici del tipo

𝑎; 𝑎 + 𝜌 𝑎 − 𝜌; 𝑎

Si potrà parlare anche di intorno del punto all’infinito, intendendo indicare intervalli

illimitati del tipo 𝑀; +∞ 𝑜 −∞; 𝑀 𝑐𝑜𝑛 𝑀 ∈ 𝑹



OSSERVAZIONI:

Si chiama insieme derivato di A l’insieme dei suoi punti di accumulazione

A’ = {xR : x pt di accumulazione per A}

La definizione di punto di accumulazione è equivalente richiedere che ogni intorno di a abbia

infiniti punti di A.

Se A contiene un numero finito di punti allora non ha punti di accumulazione.

Ogni insieme limitato e infinito A R ammette almeno un punto di accumulazione (Teorema di

Bolzano)

DEFINIZIONE (punto di accumulazione)

Sia A R e aR, a è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di a contiene

almeno un punto di A diverso da a stesso, cioè 𝑎 − 𝜌; 𝑎 + 𝜌 ∩ 𝐴\ 𝑎 ≠ 𝜙 ∀𝜌 > 0

Osserviamo che un punto di accumulazione non necessariamente appartiene all’insieme

A.

DEFINIZIONE (punto isolato)

Sia A R e aA non di accumulazione, a si dice isolato, ovvero esiste almeno un intorno

di a che non contiene punti di A diversi da a.

DEFINIZIONE (punto interno)

Sia A R e aA, a si dice interno ad A se esiste un intorno di a tutto contenuto in A, cioè

tutti i suoi punti appartengono ad A.

DEFINIZIONE (punto esterno)

Sia A R e aR, a si dice esterno ad A se esiste un intorno di a che ha intersezione vuota

con A, cioè tutti i suoi punti non appartengono ad A.

𝐼𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 ∀𝜌 > 0 −𝜌; 𝜌 ∩ 𝐴\ 0 ≠ 𝜙. 𝐵𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑛 = 1

𝜌 + 1 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑒

𝑥 = 1

𝑛 < 𝜌 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑕𝑒

1

𝑛 < 𝜌 ⟹ 𝑛 >

1

𝜌

Es. 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹 ∶ 𝑥 = 1

𝑛 𝑛 ∈ 𝑵 𝑎 = 0 è 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑎𝑐𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝐴

Osserviamo che 0 è anche l’unico punto di accumulazione per A.

A

a

A

a



OSSERVAZIONI:

Se A è aperto allora R\A è chiuso e viceversa.

R e sono contemporaneamente aperti e chiusi.

Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi eventuali punti di accumulazione :

𝐴 = 𝐴 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝐴 = 𝐴 ∪ 𝐴′ 𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑐𝑕𝑖𝑢𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑖 𝐴 𝑒𝑑 𝐴′ è 𝑖𝑙 𝑠𝑢𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑜

Es.

]0, 1[ è un insieme aperto

]0, 1] né aperto né chiuso

[0, 1] chiuso

𝐴 = 1

𝑘 𝑘 ∈ 𝑵 è 𝑐𝑕𝑖𝑢𝑠𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑕è 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑑𝑖 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑎; 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑖 𝑠𝑢𝑜𝑖 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖

𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖.

𝐼𝑛𝑓𝑎𝑡𝑡𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑜 𝑥 = 1

𝑘 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 𝜌 ≤

1

𝑘 𝑘 + 1 𝑝𝑒𝑟 𝑎𝑣𝑒𝑟𝑒 𝑐𝑕𝑒

𝑙′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑥 − 𝜌, 𝑥 + 𝜌 𝑕𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝐴, 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑕𝑒 1

𝑘−

1

𝑘 + 1 =

1

𝑘(𝑘 + 1)

DEFINIZIONE (punto di frontiera)

Sia A R e aA, a si dice di frontiera per A se ogni intorno di a contiene punti che

appartengono d A e punti che non vi appartengono.

Ovviamente un punto è sempre caratterizzato come interno, esterno o di frontiera rispetto

ad un insieme.

DEFINIZIONE (insieme aperto)

Sia A R, esso è aperto se non contiene alcun punto di frontiera, cioè ogni suo punto è

interno.

DEFINIZIONE (insieme chiuso)

Sia A R, esso è chiuso se contiene anche la sua frontiera.

a

A

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L'insieme dei numeri reali