Tanım:Sabit bir noktası F ve sabit bir doğrusu Δ olan bir Π düzleminin (P) = {P:|PF| = |PH| , Δ , F , P € Π } noktalarının kümesine parabol denir.

Burada F odak,O tepe(köşe), Δ doğrultman,2p parametre ve parabolün simetrik olduğu doğru da eksen adını alır.Ekseni X ve Y,köşesi başlangıç noktası olan parabolleri görüyorsunuz.

,

Ötelenmiş Parabol Denklemi

y = ax2 + bx2 + c ise F( , ) ve

doğrultman denklemi y = dır.

a

b

2

a

bac

4

14 2

a

bac

4

14 2

,

Parabol Ve Doğru

y2 = 2px parabolü ile y = m.x + n doğrusu kesiştiğinde ( m.x + n )2 = 2px denkleminden kesim noktalarının apsisleri bulunur.Burada :

p - 2mn < 0 durumunda doğru parabolü kesmez.

P - 2mn > 0 durumunda doğru parabolü farklı 2 noktada keser.

P - 2mn = 0 durumunda doğru parabole teğet olur(değme koşulu).

Değme Noktası ( ) olur.

Parabole Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi

Parabol ve (x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet denklemi :

nm

n2,

,

y2 = 2px için yy0 = p( x + x0 )

x2 = 2py için xx0 = p( y + y0 ) dır.

Parabolün Köşegeni

Eğimleri aynı olan kirişlerin orta noktalarının kümesine köşegen denir. y 2 = 2px parabolünün eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarını kümesi y=p / m olur. y = p / m doğrusu ,eğimi m olan teğetin değme noktasından geçer. y = p / m doğrusuna ve eğimi m olan kirişlere birbirinin eşleniği denir.

ELİPS

Tanım: π düzleminin farklı ve sabit iki noktası F , F’ ; değişen bir noktası P ise düzlemin P noktalarının

(E) = {P,|PF| + |PF’ | = 2a , F , F’ , p € π , a > c > 0 , |FF’ | = 2c} kümesine elips denir.

,

12

2

2

2

b

x

a

y

c

ay

2

c

ay

2

Burada , F , F’ odakları ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ’ doğrultmanlardır. |AA’ | = 2a , |BB’ | = 2b ve |FF’ | = 2c olur. a2 = b2 + c 2 olduğunu görünüz.

,

Elips Ve Doğru

elipsi ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri durumu :

a2 m2 + b2 - n2 > 0 ise iki farklı noktada kesişirler.

a2 m2 + b2 - n2 < 0 ise kesişmezler.

a2 m2 + b2 - n2 = 0 ise bir noktada keser, teğet olur(değme koşulu).

Değme noktası ise dır.

Elipse Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi

Elips merkezinden geçen kirişlere elipsin köşegeni denir.

12

2

2

2

b

y

a

x

),(22

n

b

n

ma

,

Eğimleri arasında m1 . m2 = bağıntısı bulunan iki köşegene eşlenik köşegenler adı verilir.,

y = m.x köşegeninin eşleniği olur.

Elipsin Parametresi

Elipsin odaklarından birinden eksene çizilen dik kiriş uzunluğuna parametre denir.

Parametre = 2p = dır.

Elipsin Dışmerkezliği

Elipste dışmerkezlik oranına verilen addır. e < 1 dır.

Elipsi Alanı

elipsinin alanı πab dır.

2

2

a

b

xma

by

2

2

a

b22

12

2

2

2

b

y

a

x

ea

c

,

HİPERBOL

Tanım: π düzleminin sabit iki noktası F , F’ ve herhangi bir noktası P ise P noktalarının ;

( H ) = { P : [|PF | - |PF’ | = 2a , |FF’ | = 2c , a < c , F , F’ , F € π }

kümesine hiperbol denir.

Burada ; F , F’ odaklar ; A , A’ , B , B’ köşeler ; Δ ve Δ doğrultmanlardır. a2 = a2 + b2 olduğunu görüyorsunuz. ,

Ötelenmiş Hiperbol Denklemi

Hiperbol Ve Doğru

hiperbolü ile y = m.x + n doğrusunun kesişmeleri

durumu :

12

2

2

2

b

y

a

x

,

n2 + b2 - a2 m2 > 0 ise doğru hiperbolü iki noktada keser.

n2 + b2 - a2 m2 <0 ise doğru hiperbolü kesmez.

n2 + b2 - a2 m2 = 0 ise doğru hiperbole teğet olur (değme koşulu)

Değme noktası da dır.

Hiperbole Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi

Hiperbol ve P ( x0 , y0 ) noktası verilsin.Bu noktadaki teğet denklemi :

için

için dır.

),(22

n

h

a

ma

120

20

b

yy

a

xx1

2

2

2

2

b

y

a

x

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx1

))(())((2

12

1

b

kyky

a

hxhx

,

Hiperbolün Köşegeni

Hiperbolün merkezinden geçen doğrulara köşegen denir.Eğimleri

arasında m1 .m2 = bağıntısı bulunan y = m.x ve y = . X

köşelerine de eşlenik köşegenler adı verilir.

Hiperbolün Parametresi

Hiperbolün bir odağında eksene dik olan kiriş uzunluğuna parametre

denir. dır.

Hiperbolün Dışmerkezliği

oranına dışmerkezlik denir. e > 1 dır.

2

2

a

bma

b2

2

a

bp

2

22

a

ce

,

Hiperbolün Asimptotları

b2 x2 - a2 y2 = a2 b2 hiperbolünün asimptot denklemleri y =

dır.

İkizkenar Hiperbol

a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.denklemi x2 - y2 = a2

olur.

Eşlenik Hiperboller

Birinin asal köşeleri , diğerinin yedek köşeleri olan hiperbollere eşlenik hiperboller denir.

ile eşlenik hiperbol denklemleridir.

xa

b

12

2

2

2

b

y

a

x1

2

2

2

2

b

y

a

x

,

MERKEZLİ KONİKLERİN SINIFLANDIRILMASI

Tanım: R2 uzayının sabit bir Δ doğrusu ile

bunun dışında sabit bir F noktası verilsin.F

noktasına olan uzaklığın Δ doğrusuna olan

uzaklığa oranı sabit olan P ( x , y ) noktalarının

kümesine konik denir.Yani ,

( K ) = { P : = e ve e > 0 } dır.

Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur.

Bu koniğin genel denklemi

Ax2 + B.x.y + Cy2 +D.x + Ey + F = 0 biçimindedir.

------------

----

----

--

P ( x , y )

F ( m , n )

H

a.x + b.y + c = 0

|PF |

|PH |

,

Koniğin merkezinin koordinatları ;

fx = 0 2Ax + B.y + D = 0

fy = 0 B.x + 2C.y + E = 0

Sistemin çözümü varsa , denklem , merkezli konik (elips,hiperbol) belirtir.

δ = | | = 4AC - B2 = 0 ise merkezli konik vardır.

Δ = diyelim.

1. 4AC - B2 > 0 ya da B2 - 4AC < 0 ise konik elips türündendir.

a) δ = 4AC - B2 > 0 ve A . Δ < 0 ise gerçel elips ,

b) δ > 0 ve A . Δ > 0 ise sanal elips ,

c) δ > 0 ve Δ = 0 ise nokta elips ( yozlaşmış elips ) olur.

Sisteminin çözümünden elde edilir.

2A B B 2C

A B/2 D/2B/2 C E/2D/2 E/2 F

,

2. 4AC - B2 < 0 ya da B2 - 4AC > 0 ise konik hiperbol türündendir.

a) δ = 4AC - B2 < 0 ve Δ = 0 ise denklem hiperbol belirtir.

b) δ < 0 ve Δ = 0 ise kesişen doğru çifti (yozlaşmış hiperbol) belirtir.

Genel Konik Denkleminin Parabol Olması Durumu

δ = 4AC - B2 = 0 durumunu göz önüne alalım.

i) ise

a) D2 - 4AF > 0 iken parabol bir çift paralel doğru olur.

b) D2 - 4AF = 0 iken parabol çakışık iki doğru olur.

c) D2 - 4AF < 0 ise parabol sanal bir çift doğru gösterir.

i i) ise konik parabol gösterir.

E

D

C

B

B

A

2

2

E

D

C

B

B

A

2

2

,

GENEL KONİK DENKLEMİNİN STANDART DURUMA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

Ax2 + B.x.y + C.y + D.x +E.y +F = 0 denklemi ile verilen genel koniğin

fx = 2Ax + B.y + D = 0

fy = B.x + 2C.y + E = 0

x = x’ + h ve y = y’ + k konularak x’li ve y’li terimler yok edilir.O zaman genel konik denklemi Ax’2 + B.x’.y’ + C.y’2 + F’ = 0 durumuna girer.

x‘y’ lü terimin yok edilebilmesi için eksenlerin döndürülmesi yapılır.Bunun için eşitliğini gerçekleyen Dθ dönme dönüşümü ;

sisteminin çözümünden merkez M(h,k) elde edilir.

CA

B

tan2θ

x’ cosθ -sinθ x x’ = x . cosθ - y . sinθ y’ sinθ cosθ y y’ = x . sinθ + y . cosθ [ ] = [ ][ ]

,

konularak uygulanır.Denklem A1x2 + C1y2 + F’ = 0 biçimine gelir.

A1 , C1 katsayılarını θ açısına gerek kalmadan aşağıdaki gibi bulabilirsiniz.

1) A1 + C1 = A + C dır.

2) A1 - C1 = dır.Karekök önündeki işaret B’ nin işareti olarak alınır.

3) 4A1 . C1 = 4AC - B2 olur.

Bu üç eşitlikten uygun biçimde olanlar alınarak A1 ve C1 katsayıları elde edilir.

22)( BCA

ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI

1. y2=4x parabolü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Odağının koordinatları (1, 0) dır.

B) Doğrultman denklemi x= -1 dir.

C) (1, -2) noktasındaki teğetin denklemi y = -2x-2 dir.

E) Tepesi (0, 0) noktasıdır.

ÇÖZÜM:A) y2 = 2px parabolünde odak ( ,0) dır. 2p = 4 olduğundan

=1 Odak (1,0) olur.

B) Doğrultman denklemi x = - = -1 dir.

C) ( x0 ,y0 ) noktasındaki teğet denklemi y y0 = p( x + x0 ) dir. (1, -2) noktasındaki teğet ise y.(-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur. (YANLIŞ)D) Bir doğrultuya paralel kirişlerin eşleniği olan çap (köşegen)

y = dir.

Burada y = 2x doğrusunun eğimi 2 dir. Öyleyse çap y = =1 olur.E) Tepesi (köşesi) (0,0) noktasıdır. YANIT : C

2

p

2

p

2

p

m

p

5

4

4

25

25

2x

9

2y

5

18

2. + = 1 elipsi için aşağıdakilerden hangisi

yanlıştır?

A) Odakların koordinatları ( 4,0) dır.

B) Dış merkezliği e = dir.

C) Doğrultmanlarının denklemleri y = dir.

D) Parametresi 2p = dür.

E) Alanı 15 л dir.

ÇÖZÜM :

+ = 1 elipsinde m ve n den büyük olanı a ve eksen onun üzerindekidir.2

2

m

x2

2

n

y

A) + =1 elipsinde a2 = 25, b2 = 9 ve a2 =b2 + c2 den

c2 =16, c = 4 bulunur. Odaklar ( 4, 0) olur.

B) Dışmerkezlik e = = dir.

C) Asal eksen x ekseni olduğundan doğrultmanlar x =

x = olur.

D) Parametresi 2p = 2 olduğundan 2p = 2. = elde

edilir.

E) Alan л ab dir. A = л. 5 . 3 = 15 л olur.

YANIT : C

25

2x

9

2y

a

c

5

4

c

a2

4

25

a

b2

5

95

18

5

4

3. y = 2px2 parabollerinden (-1,2) noktasından geçeni aşağıdaki- lerden hangisidir?_

A) y = 8x2 B) y = 2x2 C) y = 4x2 D) y = -4x2 E) y = -2x2

ÇÖZÜM : Parabol (-1,2) noktasından geçeceğinden, nokta denklemi sağlar. 2 = 2p. (-1)2 p = 1 ve parabol y = 2x2 olur.

YANIT : B

4. y2 = 4x parabolünün ,üzerindeki, (1, -2) noktasından çizilen teğet denklemi nedir?A) y=x+1 B) y=x-1 C) y=-x-1 D) y=-x+1 E) y=-x+3

ÇÖZÜM :y2 = 2px parabolünün üzerindeki noktasından çizilen teğet denklemiyy0 = p(x + x0) idi. Öyleyse (1, -2) noktasındaki teğet y.(-2) = 2(x +1) ya da y = - x-1 olur.UYARI : (1,-2) noktasındaki teğetin eğimi, m = y`(x ) dır.2y. y` = 4 m = = -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x-1 elde edilir.

YANIT : C

5. y = 2x - 1 doğrusunun y = x2 + kx + k parabolüne teğet olması için k nın değerler kümesi ne olmalıdır? A) ø B) {- 1,2} C) {8} D) {0,8} E) {0,4}

ÇÖZÜM :Doğrunun parabole teğet olması için kesim noktalarının bir tane olması gerekir. Öyleyse :2x - 1 = x2 + kx + k dan x2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi eldeedilir. Bu denklem kesim noktalarının apsislerini veren denklemdir. Çözüm kümesinin bir elemanlı olması için Δ = 0 olmalıdır.Δ = (k -2)2 - 4(k + 1) = k2 - 8k elde edilir.Δ = 0 için k2 - 8k = 0 k = 0 vk = 8Demek ki küme {0,8} dir. YANIT : D

6. 4x2 - 9y2 = 36 hiperbolüne y = mx doğrusuna paralel iki teğet çizilebilmesi için m ne olmalıdır?

A) B) m = 5 C) m = D) m>0 E) m< - v m>

3

2

3

2

m 3

22

1

ÇÖZÜM :Hiperbole y = mx doğrusuna paralel çizilebilecek teğetler asimptotları geçememelidir. Öyleyse, teğetin eğiminin mutlak değeri asimptotların eğiminden küçük ya da ona eşit olmalıdır.4x2 - 9y2 =36 ise - =1 ve a2 =9, b2 =4 olur.

dan elde edilir. YANIT : A

9

2x

4

2y

m a

b m 3

2

7. y2 =8x parabolünün 0x ekseni ile 135º lik açı yapan teğeti-nin denklemi nedir?A) y = – x–2 B) y = – x–1 C) y = –x + 2 D) y = –x +1 E) y = x –1

ÇÖZÜM :Teğet olacak doğru y = mx + n olsun. m = tan = tan 135º = – 1dir. y2 = 2px parabolüne teğet olma koşulu ise p – 2mn = 0 idi.2p = 8 p = 4 dür. 4– 2. (– 1).n = 0 dan n = – 2 elde edilir.Öyleyse teğet denklemi y = – x– 2 dir.

YANIT : A

8. 2x2 + 3y2 =6 elipsinin dışındaki P(3, 4) noktasından çizilen teğetlerinin değme noktalarını birleştiren kirişin denklemi nedir?A) x + y =2 B) 2x + y =1 C) x – 2y =1 D) x + 2y =1E) 2x + 3y =1

ÇÖZÜM :

+ =1 elipsinin dışındaki P( , ) noktasından çizilen

teğetlerin değme noktalarından geçen kiriş denklemi

+ =1 dir. Buna göre: + =1 elipsinde P(3, 4) noktası için kiriş + =1 ya da x+ 2y =1 denklemiolur.

YANIT : D

2

2

a

x2

2

b

y0x 0y

20

a

xx20

b

yy

3

2x

2

2y

3

3.x

2

4.y

9. y2 = 5x parabolünün hangi kirişinin orta noktası M( , –2) dir?A) x + y = – 3 = 0 B) 5x + 4y – 5 = 0 C) 5x + 4y + 13 = 0

D) 4x + 5y – 13 = 0 E) x + 2y – 5 = 0

5

13

ÇÖZÜM :Eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarının kümesi, y = çapıdır.

– 2 = den m = bulunur. Öyleyse kiriş denklemi

y – y0 = m(x – x0) dan y – ( – 2) = – (x – ) ya da

5x + 4y – 5 = 0 elde edilir.

YANIT : B

m

p

m2

5

4

5

4

5

5

13

10. x2 + 8y = 0 parabolünün dik kesişen teğetlerinin kesim nokta-larının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?A) y = 2 B) x – 2 = 0 C) y + 2 = 0 D) x =1 E) y = 4

ÇÖZÜM :Bir parabolde birbirine dik olan teğetlerin geometrik yeri doğrultmandır.x2 = – 8y ve 2p = – 8 dir. Öyleyse geometrik yerin denklemi

y = – den y = + 2 olur. YANIT : A2

p

11. 4x2 + 9y2 – 48x + 72y + 144 = 0 elipsinin merkezi aşağıdaki-lerden hangisidir?A) (4, 6) B) (6, 4) C) (3, 4) D) (5, 3) E) (2, 6)

ÇÖZÜM : Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi fx = 0 ve fy = 0 denklemlerinin ortak çözümünden elde edilir.

fx = 8x – 48 = 0 fy = 18y – 72 = 0 sisteminin çözümünden x = 6, y = 4

elde edilir.

UYARI : + = 1 durumuna dönüştürerek de

(h,k) merkezini bulabilirsiniz. YANIT : B

2

2)(

a

hx 2

2)(

b

ky

TAMAMLAMALI TEST SORULARI

1. Merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı yedek eksen uzunluğu olan çembere .......... ,merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı büyük eksen olan çembere .......... denir.(elipsin yedek çemberi,elipsin asal çemberi)

2. Elipsin bir odağı merkez ve yarıçapı büyük eksen uzunluğu olan çembere .......... denir.(doğrultma çemberi)

3. Bir elipsin odağından geçen en kısa kiriş .......... kiriştir. (odağa dik olarak çizilen)

4. Bir hiperbolün birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri (monj çemberinin denklemi) .......... ve odaklarından biri merkez,asal eksen uzunluğu da yarıçap olan çembere .......... denir. (x2 + y2 = a2 - b2 , doğrultman çemberi )

5. Bir elipsin yarıçap vektörlerinin uzunluğu .......... ile .......... ve hiperbolün yarıçap vektörlerinin uzunlukları .......... dır.

( İle )

6. Bir ikizkenar hiperbolün odaklar uzunluğu türünden denklemi .......... ya da x.y= .......... dür.

( )

aa

cxa

a

cx

a

cxa ;, a

a

cx

4,

2

2222 ccyx

7. Bir hiperbolde değişken bir teğetle,asimptotların teşkil ettiği üçgenin alanı sabit ve .......... dır. (a .b )

8. Bir hiperbolde her teğetin asimptotlar üzerinde ayırdığı parçaların çarpımı sabit ve .......... dır. ( c2 )

9. Bir parabolde odaktan geçen kirişlerin uçlarındaki teğetlerin kesim noktalarının geometrik yeri .......... dır. ( doğrultman )

10. Elipsin(ya da hiperbolün) odaklarının herhangi bir teğetine olan uzaklıkları çarpımı sabit ve ........... dır. ( b2 )