Upload
safran-nasoha
View
1.811
Download
22
Embed Size (px)
Citation preview
1
Jenis dan Operasi MatriksPertemuan 01
Matakuliah : K0034 - Aljabar Linear Terapan
Tahun : 2007
2
Jenis dan Operasi Matriks
Pengertian
Matriks merupakan
Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linier.
Definisi Matriks adalah
Susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]
3
Bentuk Umum:
Elemen matriks : aij
Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}
Ukuran matriks :• Jumlah baris : m• Jumlah kolom : n• Ordo atau ukuran matriks : m x n
• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann
mn 3 2 m1
2n23 22 21
1n 13 12 11
a
.. .. .. .. ..
.. a
a..aa
aaa
a..aaa
mm
4
Contoh:
Notasi matriks, menggunakan huruf besar (kapital)
Kesamaan matriksMatriks A = (aij) B = (bij)
A = B jika aij = bij untuk semua i = 1, 2 .. m dan j = 1, 2,...n
6213
7410
6532
43xAMatriks
5
Contoh:
A = B
A C (ukurannya tidak sama)
Matriks A dan Matriks B disebut sama, bila• Ordo-ordonya sama• Elemen-elemen yang seletak sama
143
021
43
21
43
21CBA
6
Bentuk Matriks Khusus1. Matriks bujur sangkar
Suatu matriks dimana jumlah baris = jumlah kolom
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n
Diagonal utama A : a11, a22, ….., ann
Contoh :
nn 2 n1
2n22 21
1n 12 11
..
.. .. .. ..
..
..
aaa
aaa
aaa
A
n
527
641
235
12
343322 xx AA
7
2. Matriks Diagonal :Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semua elemennya nol, sedangkan unsur-unsur yang lain adalah nolContoh :
000
000
002
,
300
020
005
8
3.Matriks Satuan (Matriks Identitas) :
Matriks bujur sangkar di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.
Contoh:
100
010
001
,1 0
0 13 2 II
9
4. Matriks SingularMatriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti : nilai determinannya = 0)
5. Matriks Non SingularMatriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti: nilai determinannya 0)
6. Matriks TransposeBila matriks A berordo mxn, maka At
(Transpose Derit) berordo nxm dengan elemen baris ke I dan kolom ke j dari A1 adalah elemen baris ke j dan kolom ke I dari A
10
7. Matriks Simetris
Matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi (At = A).
Contoh :
3 4 6
4 7 1
6 1 5
:
75
83
42
,784
532
33
1
xA
AmakaA
11
8.Matriks Idempotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A2 = A atau An = A untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,….
Contoh:
AAAA
A
321
431
422
321
431
422
321
431
422
.
321
431
422
2
12
Program MAPLEnya:
# A = Matriks Idempotent, sehingga A2 = A
> Restart:
> A:=matriks([[2,-2,-4], [-1,3,4], [1,-2,-3]])
> C: = evalm (A&*A);
321
431
422
:
A
321
431
422
:
C
13
9. Matriks Nilpotent
Matriks bujur sangkar dimana berlaku A3 = 0 atau An = 0 untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4,…..
Contoh:
Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3
0
000
000
000
312
625
311
312
625
311
312
625
311
312
625
311
3
AAAA
A
14
Program MAPLEnya:
# Matriks Nilpotent, sehingga
> Restart
> A:=matriks([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);
> evalm(A&*A*A);
312
625
311
:
A
000
000
000
:A
15
10.Matriks Nol: adalah matriks di mana semua unsur nilainya nol
11.Matriks Identitas:
100
010
001
10
01
33
22
x
x
I
I
16
Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol
Jika A = matriks berukuran n x n
I . A = A . I = A
A + 0 = 0 + A = A
A . 0 = 0 . A = 0
12. Matriks Segitiga (Triangular Matrix)
Matriks segitiga atas:
Matriks bujur sangkar, apabila setiap unsur yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
33
2322
13 12 11
33
a 0 0
a a 0
aaa
xA
17
Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsurnya yang terletak diatas diagonal utamanya sama dengan nol
Contoh:
B x3 3
32
0
=
b 0
b b 0
b b b
11
21 22
31 33
18
Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + bij)
A – B = (aij – bij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh:
6129
111311
291
476
438
765C
BACMaka
291
476Bdan
438
765ADiketahui
2x3
2x32x32x3
2x32x3
19
Program MAPLEnya:
# Penjumlahan Dua Matriks
> restart;
> A:=matrix([[5,6,7],[8,3,4]]);
> A:= matrikx(2,3,[5,6,7,8,3,4]);
438
765
:A
438
765
20
> B:=matrix(2,3,[6,7,4,1,9,2]);
> C:=evalm(A+B);
291
476
:B
6129
111311
:C
21
Soal Latihan
Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!
22
23
24
25
Syarat:Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua
26
2358
202222xC
504
231
:A
Program MAPLEnya:# Perkalian Dua Matriks> restart;> A:=matrix(2,3,[1,3,2,4,0,5]);
> B:=matrix(3,2,[7,2,1,4,6,3]);
36
41
27
:B
27
28
29
30