J3009 Unit 8

DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/ 8/1

DAYA RICIH &

MOMEN LENTUR

Objektif am : Mempelajari dan memahami tentang momen

lentur dan gambarajah momen lentur.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-

menerangkan dan memilih tanda lazim bagi momen lentur

mengira magnitud dan menentukan tanda bagi momen lentur

membina gambarajah momen lentur bagi rasuk

UNIT 8

OBJEKTIF


8.0 PENGENALAN

Momen lentur ialah jumlah aljabar momen daya yang bertindak disebelah kanan atau

kiri di sesuatu keratan rasuk. Ia biasanya ditandai dengan M.

8.1 TANDA LAZIM BAGI MOMEN LENTUR

Daya yang bertindak di sebelah kiri atau kanan di keratan rasuk menghasilkan momen

kearah ikut jam atau lawan jam. Seperti daya ricih, tanda lazim bagi momen lentur juga

perlu ditetapkan untuk memastikan tanda yang sama digunakan bagi sebelah kiri atau

kanan keratan yang dipertimbangkan.

Rajah 8.1 menunjukkan tanda lazim yang akan digunakan bagi momen lentur.

Momen lentur diambil positif jika paduan momen ke sebelah kiri bertindak kearah ikut

jam kesebelah kanan kearah lawan jam. Oleh itu bagi momen lentur negatif paduan

momen bertindak kearah lawan jam kesebelah kiri dan kearah ikut jam kesebelah kanan.

Sebaliknya momen lentur positif melendutkan rasuk manakala momen lentur negatif

meledingkan rasuk.

Paduan momen Momen lentur M

(a) Momen lentur positif

X

X

Paduan momen Momen lentur M

X

X

(b) Momen lentur

negatif

Rajah 8.1: Tanda Lazim Bagi

Momen Lentur


8.2 MAGNITUD MOMEN LENTUR

Contoh-contoh berikut menunjukkan kaedah yang digunakan untuk mencari tindak balas

di penyokong sesuatu rasuk. Persamaan keseimbangan iaitu F = 0 dan

M = 0 digunakan.

Contoh 8.1

Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan C dan bebankan seperti Rajah 8.2 . Dapatkan

daya ricih dan momen lentur tersebut.

Rajah 8.2: Rasuk Yang Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Timpu

Penyelesaian :

Rajah Jasad Bebas

3 m 1 m

C A B

10 kN

1 m

RA

A

RC

3 m

C B

10 kN


Daya tindakbalas disangga AM = AM

F = F

RA + R C = 10 kN 10(1) = RC (4)

RC = 4

10 = 2.5 kN

RA = 10 – 2.5 = 7.5 kN

Daya Ricih Momen Lentur

A : 7.5 kN 0 < x < 1

B : 7.5 – 10 = -2.5 kN M = 7.5x

C : -2.5 + 2.5 = 0 kN pada, x =0, M=0

x =1, M=7.5

1 < x < 4

M – 7.5x + 10(x-1)

M = 7.5x – 10(x-1)

pada, x =1, M=7.5

x =4, M=0

Contoh 8.2

Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan D dan bebankan seperti Rajah 8.3. Dapatkan

daya ricih dan momen lentur tersebut.

Rajah 8.3: Rasuk Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban

Teragih Seragam

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m 2 m

A


Penyelesaian :

Rajah Jasad Bebas

AM = AM F = F

RD (4.5) – 15 (2) (2

2+ 0.5) = 0 RA + RD – F = 0

4.5 RD – 30 (1.5) = 0 RA + (10) – (152) = 0

RD = 5.4

45 = 10 kN RA = 20 kN

RD RA

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m 2 m

A

RD = 10 RA = 20

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m 2 m

A


RA = 20 kN V

M

x

Jadual 8.1 : Jadual daya ricih dan momen lentur

Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih & Momen

Lentur

0 x 0.5

V = 20

x = 0, V = 20

x = 0.5, V = 20

M = 20x

x=0, M=0

x=0.5, M=10

0.5 x 2.5

15 kN/m

0.5 x-0.5

V = 20 – 15(x-0.5)

X = 0.5, V = 20

X = 2.5, V = -10

M=20x -15(x-0.5)(x-0.5)

2

x=0.5, M=10

x=2.5, M=20

2.5 x 4.5

15 kN/m

0.5 2 x-2.5

V

V = 20-30 = -10

x = 2.5, V = -10

x = 4.5, V = -10

M=20x-15(2)(x-1.5)

M=20x-30(x-1.5)

x=2.5, M=20

x=4.5, M=0

M

RA = 20 kN

V

RA = 20 kN

M


8.3 GAMBARAJAH MOMEN LENTUR

Keratkan rasuk pada jarak x dari A. Gambarajah jasad bebas bagi sebelah kiri dan kanan

keratan ini adalah seperti Rajah 8.4 (b).

M M

x

V

10 kN

V

RA = 5 kN RB = 5 kN

Rajah 8.4 (b): Kedududkan Daya Ricih Dan

Momen LenturPada Keratan X-X

C A

F = 10 kN

B

5 m 5 m

X

X

N

N

x

Rajah 8.4 (a): Rasuk Disokong Mudah Yang Dipotong Pada

Kedudukan X-X


Kita perlu menentukan nilai momen lentur di beberapa keratan rasuk dan bagi julat

0 < x < 5. Kita keratkan rasuk di XX. Rasuk Rajah 8.4(a). Mengambil momen pada

keratan ini memberi

MNN = 0

M – 5x = 0

M = 5x

pada x = 0, M = 0

x = 5, M= 25

Persamaan ini memberi hubungan momen lentur (M) dengan jarak dari A (x). Nyatakan

bahawa di atas GML kita perlu melukiskan satu garis lurus yang bercondong dengan

kecerunan +5 diantara titik A hingga ke titik C.

Diantara 5 m hingga ke 10 m, rasuk dikerat pada NN. Rujuk Rajah 8.4(c). Mengambil

momen pada keratan ini memberi

MNN = 0

M + 10(x-5) – 5x = 0

M = 50 – 5x

pada, x = 5, M = 25

x = 10, M= 0

N

N

M

V

RA = 5 kN

10 kN

x

Rajah 8.4 (c): Kedudukan Daya Ricih Dan

Momen Lentur Pada Keratan N-N


Oleh itu kita melukiskan garis bercondong ke kiri dengan kecerunan –5 di atas GML.

GMLnya adalah seperti Rajah 8.5.

Rajah 8.5: Gambarajah Momen Lentur

F = 10 kN

5 m 5 m

F = 10 kN

RA = 5 kN RB = 5 kN

GDR

GML

5

-5 25 kNm


Merujuk kepada Rajah 8.6 (a) dan mengambil momen pada keratan XX, kita dapati,

MXX = 0

dan M + 4x ( 2x ) – 16 (x) = 0

M = 16x – 2x2

Persamaan ini menunjukkan bahawa perhubungan di antara momen lentur dan x

berbentuk parabola. Tanda negatif dihadapan kuantiti x2 iaitu –2 menunjukkan bahawa

parabola ini bentuk cembung.

Pada, x = 0, M = 0

pada, x = 4, M = 32

pada, x = 8, M = 0

Rajah 8.6 (a)

Di sini tindak balas RA = RB = 16 kN

Pertimbangkan gambarajah jasad bebas bagi keratan XX.

W = 4 kN/m

8 m

A B

M

RA = 16 kN

V

4x

2

x

2

x

Rajah 8.6 (b)


GML boleh dilukiskan dan adalah seperti Rajah 8.7.

Rajah Jasad Bebas

G/rajah

Daya Ricih

(kN)

G/rajah

Momen Lentur

RA = 16 kN

B

RB = 16 kN 32 kN

Rajah 8.7

-16

32 kNm

16


Contoh 8.3

Lakarkan gambarajah daya ricih dan momen lentur untuk rasuk Rajah 8.8.

Penyelesaian :

F = 10 kN

RA = 5 kN RB = 5 kN Rajah 8.8

x

X

X

F = 10 kN

N

Rajah Jasad Bebas

N RA = 5 kN RB = 5 kN

5

GDR

-5

25 kN/m

GML


8.4 MOMEN LENTUR MAKSIMUM

Dalam kes-kes di mana sebatang rasuk dibebankan dengan beban-beban mudah,

kedudukan dan nilai momen lentur maksimum boleh didapati secara pemeriksaan

gambarajah momen lentur. Bagi bebanan gabungan nilai dan kedudukan momen lentur

maksimum sukar diperolehi daripada gambarajah momen lentur. Oleh itu hakikat

bahawa nilai maksimum atau minimum sesuatu fungsi diberi apabila dxdy = 0

digunakan. Bagi momen lentur persamaan dxdM = 0 digunakan untuk menentukan

kedudukan nilai maksimum.

8.5 TITIK KONTRALENTUR

Bagi rasuk yang dibebankan seperti Rajah 8.9 di bawah, momen lentur adalah positif di

antara bahagian AB dan negatif di antara bahagian BC.

2m 2m 2m

10 kN

4 kN

A B C D

RA = 3 kN RC = 11 kN

A B C

D

melendut

meleding

K

Rajah 8.9

GML


Dari Rajah pepesongan rasuk didapati bahagian AB melendut (momen lentur positif)

manakala bahagian BC meleding (momen lentur negatif). Titik K di mana kelengkungan

berubah dari keadaan meleding ke melendut disebutkan sebagai titik kontralentur iaitu

titik di mana momen lentur bertukar tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya.

Kedudukan titik ini boleh didapati dengan menyelesaikan persamaan M = 0 bagi julat

yang berkenaan.

Dari Rajah 8.9, kita dapati titik kontralentur berlaku di antara julat 2 < x < 4. Di sini

momen lentur

M = 3x – 10 (x – 2)

= -7x + 20

Untuk menentukan titik kontralentur, kita letakkan M = 0, oleh itu

M = -7x + 20 = 0

x = 7

20 = 2.86 m

Contoh 8.4

Sebatang rasuk ABCD berukuran panjang 9 m disokong secara mudah di B dan C

dengan

AB = 2m dan BC = 6m. Lihat Rajah 8.10 Rasuk ini membawa beban teragih seragam 12

kN/m ke atas keseluruhan rasuk. Lakarkan GDR dan GML bagi rasuk ini dan tentukan:

a) Kedudukan dan nilai momen lentur maksimum

b) Kedudukan titik kontralentur

RC = 45 kN

B

RB = 63 kN

12 kN/m

2 m 6 m 1 m

Rajah 8.10


Penyelesaian:

Mengambil momen pada B

MB = 0

-6RC + 12 (9) ( 29 - 2) = 0

RC = 45 kN

Mengambil momen pada C

MC = 0

6RB - 12 (9) ( 29 - 1) = 0

RB = 63 kN

-24 -33

39

12

GDR

(kN)

GML

(kN/m)

39.38

X1 X2 X3

-24

-6


Semakan,

RA + RC = 108

45 + 63 = 108

Kiraan adalah betul.

Jadual 8.2 : Jadual Daya Ricih Dan Momen Lentur

Julat x Gambarajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) &

Momen Lentur (kNm)

0 < x < 2

V = -12x

x = 0, V = 0

x = 2, V = -24

M = 2

12 2x

x = 0, M = 0

x = 2, M = -24

2 < x < 8

V = -12x + 63

x = 2, V = 39

x = 8, V = -33

M = 2

12 2x + 63 (x-2)

x = 2, M = -24

x = 8, M = -6

8 < x < 9

V = -12x + 63 + 45

x = 8, V = 12

x = 9, V = 0

M = 2

12 2x + 63 (x-2)

+ 45 (x-8)

x = 8, M = -6

x = 9, M = 0

x

12x

M

V

x

12x

M

V

2 m

63 kN

M

V 63 kN 45 kN

x

12x


GDR dan GML adalah seperti ditunjukkan. Momen lentur maksimum Mm berlaku di antara

2 < x < 8

Di sini M = 2

12 2x + 63 (x-2)

dx

dM = -12x + 63 = 0

x = 5.25

Momen lentur maksimum Mm = 2

)25.5(12 2 + 63 (5.25 - 2) = 39.38 kNm

Untuk menentukan titik kontralentur, letakkan M = 0

M = 2

12 2x + 63 (x-2) = 0

-6x2 + 63x – 126 = 0

6x2 – 63x + 126 = 0

x = a

acbb

2

42

= 62

126646363 2

dan x = 7.81 atau 2.69


C B

UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA.

SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN BERIKUTNYA.

8.1 Apakah momen lentur ?

8.2 Sebatang rasuk disokong secara mudah di A dan D dan bebanan seperti Rajah 8.2.

Kirakan daya ricih dan momen lentur rasuk tersebut.

Rajah 8.2

AKTIVITI 8

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

1 m

D

20 kN

1 m 2 m

A

10 kN


1 m

RA

A

RC

3 m

C B

10 kN

8.3 Lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur bagi rajah di bawah;

Rajah Jasad Bebas

Rajah 8.3

8.4 Lukiskan gambarajah daya ricih dan momen lentur untuk pembebanan rasuk seperti

Rajah 8.4

RD = 10 kN RA = 20 kN

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m 2 m

A

Rajah 8.4


TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!!

Maklum balas

8.1 Momen lentur ialah jumlah aljabar momen daya yang bertindak disebelah kanan atau

kiri di sesuatu keratan rasuk.

8.2 Rajah Jasad Bebas

DM = DM

-RA (4) + 10 (3) + 20 (1) = 0

4RA = 50

RA = 4

50 = 12.5 kN

F = F

MAKLUM BALAS 8

RD

A D

20 kN

1 m 2 m 1 m

C

RA

B

10 kN

DAYA RICIH & MOMEN LENTUR J3009/8/21

RA + RD = 10 + 20

RD = 17.5 kN

Daya Ricih Momen Lentur

A : 12.5 kN 0 < x < 1

B : 12.5 – 10 = 2.5 kN M = 12.5x

C : 12.5 –10 – 20 = -17.5 kN pada, x =0, M=0

D : 12.5 – 10 – 20 + 17.5 = 0 x =1, M=12.5

1 < x < 3

M= 12.5x - 10(x-1)

pada, x =1, M=12.5

x =3, M=17.5

3 < x < 5

M = 12.5x - 10(x-1)-20(x-3)

pada, x =3, M=17.5

x =4, M=0

8.3

Daya tindakbalas di sangga Daya Ricih

F = F A : 7.5 kN

RA + R C = 10 kN B : 7.5 – 10 = -2.5 kN

RA = 10 – 2.5 = 7.5 kN C : -2.5 + 2.5 = 0 kN

AM = AM


10(1) = RC (4)

RC = 4

10 = 2.5 kN

Momen Lentur

0 < x < 1 1 < x < 4

M = 7.5x M – 7.5x + 10(x-1)

pada, x =0, M=0 M = 7.5x – 10(x-1)

x =1, M=7.5 pada, x =1, M=7.5

x =4, M=0

7.5

-2.5

1 m

A

RC = 2.5 kN

3 m

C B

10 kN

G/Rajah

Daya Ricih

(kN)

RA = 7.5kN

G/rajah

Momen Lentur

7.5 kNm


RA = 20 kN V

M

x

8.4 Jadual 8.4 : Jadual daya ricih dan momen lentur

Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) &

Momen Lentur

(kNm)

0 x 0.5

V = 20

x = 0, V = 20

x = 0.5, V = 20

M = 20x

x=0, M=0

x=0.5, M=10

0.5 x 2.5

15 kN/m

0.5 x-0.5

V = 20 – 15(x-0.5)

X = 0.5, V = 20

X = 2.5, V = -10

M=20x -15(x-0.5)(x-0.5)

2

x=0.5, M=10

x=2.5, M=20

2.5 x 4.5

15 kN/m

0.5 2 x-2.5

V

V = 20-30 = -10

x = 2.5, V = -10

x = 4.5, V = -10

M=20x-15(2)(x-1.5)

M=20x-30(x-1.5)

x=2.5, M=20

x=4.5, M=0

M

RA = 20 kN

V

RA = 20 kN

M


20

0

-10

RD = 10 RA = 20

B C

0.5 m

D

15 kN/m

2 m 2 m

A

10 kNm 20 kNm

GDR

(kN)

GML

(kNm)


Anda telah menghampiri kejayaan. Sebelum mencuba cuba soalan dalam penilaian kendiri

ini, anda perlulah memahami dan mahir didalam unit sebelumnya. Semak jawapan dari

pensyarah modul anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!!

1. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 1. Kirakan nilai Daya Ricih, momen lentur dan

lukiskan Gambarajah Daya Ricih dan momen lentur.

2. Sebatang rasuk sepanjang 6 m disokong mudah pada A dan B. Beban-bebannya

dikenakan seperti Rajah 2.

A B

PENILAIAN KENDIRI

5 kN

A B C

1 m

D

5 kN/m

1 m 2 m

10 kN

Rajah 1

1.5 m 1.5 m

3 m

6 m

2 kN 5 kN

2 kN/m 2 kN/m

Rajah 2

C D E


a) Kirakan daya tindakbalas pada penyokong RA dan RB

b) Kirakan magnitud daya ricih dan momen lentur pada setiap titik A, C, D, E dan B

c) Lakarkan daya ricih dan momen lentur

d) Nyatakan momen lentur maksimum dan jaraknya dari titik A


Adakah anda telah mencuba ?

Adakah anda telah mencuba?????????????? Jika “Ya”, sila semak jawapan anda.

Jawapan

1.

Rajah Jasad Bebas

MAKLUMBALAS KENDIRI

5 kN

A B C D

5 kN/m

1 m 1 m 2 m

10 kN

RA = 10.625 RB = 9.375


Julat Rajah Jasad Bebas Daya Ricih (kN) &

Momen Lentur

(kNm)

0 x 1

5 kN/m

RA = 10.625 kN

V = 10.625 – 5x

x = 0, V = 10.625

x = 1, V = 5.625

M=10.625x-5x (x/2)

x =0, M=0

x =1, M=8.125

1 x 3

5 kN/m

1 m x-1 V

RA = 10.625 kN

V = 10.625 – 5 – 5

V = 0.625

x = 1, V = 0.625

x = 3, V = 0.625

M=10.625x -5(1)(x -1/2) -

5(x -1)

x =1, M=8.125

x =3, M=9.375

3 x 4

V = 10.625 – 5 – 5 – 10

V = -9.375

x = 3, V = -9.375

x = 4, V = -9.375

M=10.625x -5(1)(x-1/2)-

5(x-1) -10(x-3)

x =3, M=9.375

x =4, M=0

M

V

x

M

M

V

5 kN 10 kN

RA = 10.625 kN

5 kN/m

1 m 2 m x-3


10.625

5.625

0.625

0

-9.375

5 kN

A B C D

5kN/m

1 m 1 m 2 m

10 kN

RA = 10.625 RB = 9.375

8.125 kNm

9.375 kNm

G/rajah

Daya Ricih

(kN)

G/rajah

Momen Lentur

(kNm)

G/rajah

Jasad Bebas


2. a) RA = 6.875 kN ; RB = 9.125 kN

b)

Titik Daya Ricih (kN) Momen Lentur (kNm)

A + 6.875 0

C + 1.875 8.060

D + 1.875 10.875

E - 6.125 11.440

B - 9.125 0

c) Gambarajah Daya Ricih

Gambarajah Momen Lentur

d) Mmaks = 11.75 kNm ; 3.94 m

6

3

-3

-6

-9

3 6 L (m)

V (kN)

12

8

4

3 6 L (m)

M (kNm)

Education

J3009 Unit 8