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Integrales dobles

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  1. 1. INTEGRALES DOBLES 9TEMA 1 | NTEGRALES DOBLESIN |EQBAL DQBLEEr. ..Sea R una regin cerrada y acotada del plano IR2.Sea f:IR?a IR una funcin definida sobre la regin R.Los pasos que conducen a la definicin de integral doble son: 1. Consideramos una cuadrcula que contenga a R siendo A i =1,. .., n rectn- gulos de la cuadrcula,de reas respectivas AA,totalmente contenidos en R.2. Escogemos (x,y) punto arbitrario de A para i =1,. .., n..n 3. Calculamos la suma 2 f(x,y) AAi i=14. Consideramos cuadrculas cada vez ms finas que contengan a R,de modo que las dimensiones de cada rectngulo tiendan a 0, y el nmero de rectn- gulos contenidos en R sea cada vez mayor.Entonces denimos: f(x,y) dA : = Iim z f(x, y)AAR n-ooilswsw a? Fnin n riLa funcin escalar de dos variables f definida en la regin R cerrada y acotada se dice que es integrable sobre R si y slo si verifica la existencia del lmite anterior y su valor es finito.El valor del lmite recibe el nombre de integral doble de f sobre R.
  2. 2. INTEGRALES DOBLES 10 Si la funcin f es continua en la regin R cerrada y acotada entonces f es inte- grable sobre R.(1) Si f(x, y)=1 en R,entonces rea (n) =jj 1dA R(2) Si f(X. y)20 en R,entoncesf(x, y)dA Rrepresenta el volumen del slido de paredes laterales rectas limitado arriba por la superficie z =f (x,y) y abajo por la regin R en el plano z =0.Z X(3) Si f(x,y)2g(x,y),entonces jj [f(x, y)-g(x, y)]dA Rrepresenta el volumen del slido limitado entre las superficies z =f (x,y) y z =g (x.y),siendo R la regin del plano z =0 cuya frontera es la proyeccin de la curva interseccin de ambas superficies.(1) jj k f(x, y)dA =kjj f(x, y)dA ke IR R R(2) jj [f+g]dA =IIf(x. y)dA + Il g(x, y)dA R R R
  3. 3. INTEGRALES DOBLES 1 1(3) Si R =R1 u R2 donde R1n R2 es alo sumo una curva, jjr(x, y)dA =jjr(x, y)dA + jj f(x, y)dA R R1 R2 Si f (x,y) es una funcin continua sobre el rectngulo R =[a, b] x [c, d] entonces: db bd jjt(x, y)dA = jj f(x, y)dxdy = jjt(x, y)dydx n ca ac La regin R es del tipo l en el plano si existen dos funciones continuas g1(x) y g2(x) de manera que los puntos de R pueden expresarse en Ia forma: asxsb9,(x)sys92
  4. 4. INTEGRALES DOBLESTeorema(a) Si R es una regin de tipo l,y f(x,y) es continua en R: b 92mjjt(x, y)dA= j j f(x, y)dydx R a 94x)(b) Si R es una regin de tipo II,y f (x,y) es continua en R: hztv)jj f(x, y)dA =jI j f(x, y)dxdy R rw)m i v ria lEn coordenadas rectangulares cartesianas dA =dx dy.Sea ahora el cambio de coordenadas dado por la aplicacin: x =X (u,v)y =Y (u.v) I siendo T la regin del plano uv que se aplica en Ia regin R del plano xy.Si se cumplen las condiciones siguientes:- Las funciones X,Y,ax/ au,ax/ av,av/ au,av/ av son continuas en T.- La aplicacin de T sobre R es biyectiva. - El jacobiano de la aplicacin J (u,v) ee 0.entonces:jj f(x, y)dxdy =jjt(x(u, v), v(u, v)) | J(u. v)l dudv R T 1. Coordenadas polaresx= rcos6} J(l',9)= fy= rsen9
  5. 5. INTEGRALES DOBLES 1 32. Coordenadas polares descentradasx= x +rcos9 j J(r, e)= ry= y0+rsen63. Coordenadas elpticasx= arcosey= brsene} J(r, e)= abr4. Transformaciones linealesj J(u, v)= AD-BC AD-BCaeo Supongamos que tenemos un cuerpo plano acotado (lmina de grosor des- preciable),de forma que su masa total est distribuida en forma conocida siguiendo una funcin de densidad superficial u =u (x,y). Entonces:MasadeR =M(R) = u(x, y)dx dy R(1) Centro de masas de un cuerpo planoSi denotamos por (i,y) las coordenadas del centro de masas: n) jjxudxdy V= MF jjyutnwdxdy(2) Momentos de inercia de un cuerpo planoSea r una recta y denotemos por d (x,y) la distancia de la recta r al punto (x,y) de la regin R.El momento de inercia del cuerpo plano respecto a la recta r resulta ser: I,= jj d2(x.y) u (x.y) dx dy REn particular,los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados son:
  6. 6. INTEGRALES DOBLESlx =jj y2u(x. y)dxdy IY =jj x2u(x.y) dxdy R REl momento polar de inercia o momento respecto al origen es: lo -_- j (x2+y2)u(x, y)dxdy =IY + lx14
  7. 7. INTEGRALES DOBLES 151.11.2TEMA 1. PROBLEMASCalcular las siguientes integrales dobles,sobre el rectngulo R que se indica. (a)xy(x+y)dA R= [0,1]x[0,1] R(b)(y + x - 3xy2) dA R =[o,1] x (1,31 R(c)senax senzy dA R =[Om] x[0,1:] R(d) jj (x sen y - y e") dA R ={-1,11 x [0,1c/2] RDibujar Ia regin de integracin y calcular las siguientes integrales dobles: (a)x cos (x + y) dA RR tringulo de vrtices (0,0),(m0) y (nar) (o) jj e dA R= {(x, y)e IR2 /|x| +|y|s1} R(c) jj (x2 + yz) dA RR regin limitada por la recta y =xy por la parbola y =x2 (d)2xy dA R regin limitada por las rectas R!y=0,y= x,x+y=2 (e)x2y2 dA R regin limitada por las rectas R y=1,y=2,x=0,y= x(t) jj (xz- ya) dA RR regin limitada por la grfica dey =sen x y el segmento [0,1r] en y =0
  8. 8. INTEGRALES DOBLES 161.31.41.51.61.71.81.9Calcular la integral doblejj | yx2|dA R= [-1,1]x[0,2] RCalcular las integrales doblesf(x,y) dA para las funciones f y los rec- Rtngulos R que se indican. x + y x2 s y s 2x2 (a) f(x, y)=R =[0,1] x [0,1] 0 en caso contrario x2+ yz x2+ yz . 0,y>0}f(x. y)= > r=2acos9 y=0 >9=0 x=0 ->9=1t/2(1 er.cuadrante) (1 er.cuadrante)_ o s e s 1- Recinto en polares:2Osrszacose2a w/2ax-x2j j (x2+y2)dydx= j 0 0 0a (b) j j y] x2+ yz dy dx 0015/2 2acos6 j r2 rdrde =%1:a4 0OsxsaRecinto en cartesianas:o _ rsen6=rcos9; = (1er.cuadrante) y=0 > 6:0 (tencuadrante)x= a > rcos9=a;r=acose oseslj- Recinto en polares:a Osrs cose 1 a 1L ax 4 cose 4 3 1 jj x2+y2dydx= j jr rdrd9=j a?3 oo o o o 0059 1 _2 = j cose d9=a2 dt =3 o (1-sen29)2 3 o (1452 . _2_ 3 2 3 __ 1/4 1/4 1/4 1:;__a__. /__1_ 3 (j[(1+i)2+1+t +(1-t)2+1-t] dt 3 l 2 +2'"(1+ 1 x 2 2-1/2 (c)(x+y) dydx 0 x2 _ _ Osxst Recinto en cartesianas:2 x. rsen9=rcos9; 9=-7:- (1er.cuadrante) y= x2 > rsen9=r2cos26 ;r=Se":cos 9 osesf Recinto en polares:o S r S sen29 cos 9 sen e11 jj(x2+y2_)2dydx = j j T rdrde = J-1 0 0 0x2ID[57-a Y (d) I I (x2 + v2) dx ay 0 0 OsysaRecinto en cartesianas :o S x S (iva Frontera:x =a2 - yz x2 + yz =a2Coordenadas polares: x= rcos9 y= rsen9J(r, e)= r x2 + ya =a2 > r =a y =0 > e =0 (1 er.cuadrante) x =0 > e =12t- (1 er.cuadrante) _ oses Recinto en polares:2 osrsa
  9. 31. INTEGRALES DOBLES 39a "La j j (x2+y2)dxdy= j j r2rdrd9=%a4 0 0 0 01.16 Calcular las siguientes integrales dobles:(a) jj (x2 + y? ) dx dy R regin acotada de frontera Rr2 =2a2 cos 26En [0, 21:],la lemniscata r2 =2a?cos 29 est definida en los intervalos [0,1c/4],[3n/4, 51c/4],[7n/4, 21:],es decir,all donde cos 29 2 0.Descripcin de R: osesf Osrs/ al cos 29 Dada la simetra de la funcin sobre el dominio y por la simetra del domi- nio consideraremos slo la integral sobre R: 2 2 2 2 x= rcos6 (x +y)dxdy =4 (x +y)dxdy =Y= VS9"9 =j LI.J(r,9)= r1 4 531/ cos ze 4 =4 j j r2 r dr de =u;o o (b)(x3y + y - x) dx dy R semicrculo derecho deR centro (0,0) y radio 1
  10. 32. INTEGRALES DOBLES l.2 l l 2 Recinto en polares: l NIF!o IA | / d) -1 l/A ml "jj (x3y+y-x)dxdy =R2(rscose rsenensene-rcose) rdedr =32 2 2 - -2 (c)(X y ):g x dxdy R primer cuadrante R x +y x 2 2 del circulo x + y s9 Recinto en polares:E 0 _ = acose l 5 6 5 1: luego R se describe como :2Os rs-acose
  11. 40. INTEGRALES DOBLES 48| | i>| =i. .a 01:, 8 m O I! ) N I "iv l D. Q.CD | | l L1 3/2 o -1" 2 2 3 -a3 n a = j[(a sen9) -a]d9=3- j(sen9-1)d9= 3L 1 2 2 -a3 n 2 -a3 cos39 n = -j[(1-cos9)sen9-1]d9=3cos9- 3 +9 =3 15. 1 2 2 3 _2_ 2 1:.' 3 (3*2) i2=jj, /x2+y2 dxdy R C l b. _ x= rcos9j J e_ one cam ioapoares.y= rsene (r,)_r (x-a)2+y2=(3)2 -> r= acos9 2 2 .eses-E luego R se describe como :2 Osrsacose .72. l 2 awserz a3 2 3 a3 sen39 M2 2a3 I2=jj dfd9=jCOS9d9= sen9- 3 = 9 o o o o Porlotanto:3 3 _ _ _ a_ 2 z;_2 -2 3 1-11.23 Calcular el volumen del slido interior al cilindro x2 + y2 =2ax y a la esfera x2 + y2 + 22 =4a2.Cilindro x2 + y2 =2ax ;(x - a)2 + y2 =a2La proyeccin de la curva interseccin de la esfera x2 + y2 + 22 =(2a)2 y
  12. 41. INTEGRALES DOBLES 49el cilindro x?+ y?= 2ax es la circunferencia (x - a)?+ y?= a?Por la simetra del dominio de integracin y del integrando y dado que en el dibujo se considera slo z 2 0 quedar: Vol (D) =4 x} (2a)2- x2- ya dx dy RX= fCOS6En coordenadas polares y=r sen 9I J(r, e)= r(x-a)? +y? =a?-> r=2acose0S6Sn/2luego R se describe como :O s r s 2a coseVol (o) =4IZZaOSGJ4aZ-I2 rdrde =00: |2a COS 9l.n12 2_ 23/2 3 2 = -2j I?I c953 j(sen3e-1)de= o 3/2 o 3 o1t/21 _ 3? 3 =33a j[(1-cos2e)sene-1] dG= %-a3[cose-; e+e] =o o
  13. 42. INTEGRALES DOBLES 50_Q31v__;aaIz 3)1 .24 Calcular el volumen del slido interior a las esferas x?+ y?+ z?= a?yx? +y? +(z-a)? =a? .Proyeccin sobre el plano xy de la curva interseccin de ambas esferas: 2 2 2 2 X + Z= a I y+ 2} z= + a2'X2'y2 a2- 2a t} a2- x2- ya =02x + y2+ (z - a)2= ax2+ y2+ (I a2- x2- yz - a )2 =a2x2+ y2= - a2 Casquete superior de x2+ y2+ zz =a2 :z =+ I a2- x2- yz2: z= a-x/ a2-x2-y2 Vol(D) =jj [J a2-x2-y2 -(a-, /a2-x2-y2)1dxdy Rx= rcos6 y= rsen6Casquete inferior de x2+ y2+ (z - a)2: aEn coordenadas polares I J (r.e) =r
  14. 43. INTEGRALES DOBLES 51OSGSZK R se describe como :3 0srsa 2 Ea 21122 Vol(D)= _ j (2 a2-r2-a)rdrd9= 0 0 . ... _3_a 3/2 2 _ (az-r? ) a j __5_ a _21c| :- 3/2 -r2 o 12 1ta22 1.25 Calcular el volumen del slido limitado por el paraboloide y+z = gay el plano x =a. Efectuaremos la integracin sobre el plano yz considerando las funcio- nes en la forma x =f (y,z).cies:? 2 Y_ z__2_x 2 2 2 2 4*9a} 4+%=2 yz. z=1 x= a (f) l/ Ts)es una elipse de semiejes JB y 13-8y=2J rcose2:35 rseneI IIr'9I= I2rConsideramos coordenadas elpticas:
  15. 44. INTEGRALES DOBLES 52EI recinto de integracin R se describir en la forma o S e S 2" 0srs1 entonces:a V2 22 Vol (D) =jj [a-2- (T+) 1 dydz = R21:alj(a-ar2)12rdrde =2nj12a(r-r3)dr =0 041 =24au[-4I =San01.26 (a) Calcular el valor del rea de la superficie plana exterior a la circunferencia x? +y? =1 einteriorala cardioide r=1 +cos e.r =1+cos9Descripcin de las fronteras en polares:r =1 ;r =1 + cos e w ._ ._ Jr., :1 interseccin.cos9_0, e _ 2 2 1 1 2 S e S 2Recinto en polares:1