Integración por fracciones parciales.

Mario Alberto López Guzmán.

12310224.

Integración por fracciones parciales.

La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada, por unos criterios. Definición: Se llama función racional a toda función del tipo:

En donde    y    son polinomios con coeficientes reales, y grado

Antecedentes.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución

Tipos de fracciones parciales.CASO 1: Factores Lineales Distintos. A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma

Ejemplo: luego nos queda la siguiente igualdadHaciendo un Sistema.A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son:  Quedando de esta manera:

CASO 2: Factores Lineales Iguales.

A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma:

EJEMPLO:

Calculemos la siguiente integral:

Pero: tendemos

Simplificando por:

La solución seria:

CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.

A cada factor cuadrático reducible,    que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma   siendo A y B constantes a determinar.

Ejemplo:

Calcular:

Con lo que se obtiene 

De donde,

luego los valores a encontrar son.

A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

CASO 4: Factores cuadráticos Iguales

A cada factor cuadrático irreducible,  que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales. Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

tendremos que    por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Ejercicios a resolver: