Sposoby zapisu Sposoby zapisu liczbliczb

Sposoby zapisu Sposoby zapisu liczbliczb

Odrobina historiiOdrobina historii

Liczby• Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w

matematyce. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

Początki• Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej. Nie znał jeszcze

cyfr. Wyniki swych obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. i jest na niej widocznych 55 karbów, zgrupowanych po 5, stąd domyślamy się, że

chodzi tu o liczbę.

Rozwój liczb• W rozwoju kultury ludzkiej pierwsze pojawiły się liczby naturalne. Systemy

pozycyjne pojawiły się w I tysiącleciu przed naszą erą w starożytnej Babilonii, w pierwszych latach naszej ery u Majów, przed IX wiekiem naszej ery  w Indiach, skąd system dziesiątkowy przejęli Arabowie, a od nich Europejczycy. Znaki, za pomocą których zapisujemy liczby to cyfry. Używamy 10 cyfr. Są to:  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0. Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego wyrazu sifr, oznaczającego zero. Zostało ono zaczerpnięte od Hindusów. Wiadomo, że zera używał induski uczony Arjabhata, którego dzieło pt. ,,Surjasiddhanta”  w zachowanej swej postaci sięga wieku V. Uczony użył tam terminu ,,siunia”, który oznacza pustkę, zero. Zero było zapisywane początkowo jako punkt. Jeszcze dziś w Turcji, Egipcie i krajach Bliskiego Wschodu zero zapisuje się  w kształcie kropki czworokątnej, a piątkę w kształcie zera. Najstarsze dokumenty zawierające znaki liczb sięgają IV wieku p.n.e.

System liczb, których używamy obecnie, wynaleźli Hindusi. Europejczycy poznali go jednak za pośrednictwem Arabów, dlatego mówimy  o „cyfrach arabskich”. Dawniej w Europie nie pisano liczb, tak jak dziś. Najstarszy znany europejski rękopis, w którym spotykamy cyfry arabskie (bez zera) był pisany w Hiszpanii w 976 roku. W rękopisach arabskich cyfry te spotykamy już sto lat wcześniej

Liczby Sumerów• Sumerowie był to lud zamieszkujący w IV wieku p.n.e. dolny Eufrat (teren

dzisiejszego Iraku). Lud ten pisał półokrągłym, a później trójgraniastym rylcem na płytkach drewnianych, kamiennych, a najczęściej glinianych, które wypalane przetrwały do naszych czasów.  

•       Sumerowie zapisywali liczbę 1 znakiem pionowego klina . Za jego pomocą zapisywali liczby od 1 do 9, grupując je w rzędach obok lub zapisując jedne nad drugimi.

•  Do oznaczania liczby 10 stosowali znak składający się z dwóch pionowych klinów połączonych razem i tworzących kąt . Powtarzając wymienione znaki i grupując je zapisywali liczby od 1 do 99, przy czym dziesiątki zapisywali na lewo od jedności. Np. układ znaków oznacza  liczbę 23.

Liczbę 100 Sumerowie oznaczali znakiem powstałym z połączenia dwóch klinów: pionowego i poziomego: . Liczbę 1000 zapisywali umieszczając znak 10 przed 100, co oznaczało mnożenie liczby 10 przez 100. Ponowne umieszczenie znaku liczby 10 przed znakiem liczby 1000 oznaczało  10 x 1000=10 000.

Liczby Azteków• Hieroglify azteckie możemy podzielić na grupy : • liczbowe - liczby od 1 do 19 oznaczano kropkami lub palcami, liczba 20 -

flagą, liczba 400 - znakiem podobnym do pióra, liczba 8 000 - symbolicznym workiem, dat (kalendarzowe) – kalendarz aztecki wywodził się prawdopodobnie z kalendarza Majów ale był znacznie uproszczony. Był to kalendarz podwójny: rytualny liczący 260 dni stosowany do ceremonii religijnych i drugi 365-dniowy, w którym każdy dzień miał swoją nazwę i symbol obrazkowy, piktograficzne oraz fonetyczne (sylabiczne i alfabetyczne).

Kalendarz aztecki

Liczby Majów• Bardzo oryginalny system zapisywania liczb stworzyło indiańskie plemię

Majów, które zamieszkiwało południowo-wschodnią część Meksyku, Gwatemalę i część Hondurasu. Jako jedni z pierwszych wynaleźli zero (ok. 500 r.n.e. - a więc później niż Sumerowie, lecz wcześniej od Hindusów). Zero zaznaczane było rysunkiem przypominającym skorupkę ślimaka lub - jak inni twierdzą - półotwarte oko.

Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw ,,cyfr'' od 0 do 19.

Oznakowanie liczb

Cyfry Etrusków• Cyfry etruskie - system numeryczny używany przez plemiona etruskie;

cyfry rzymskie rozwinęły się z cyfr etruskich. Na podstawie cyfr etruskich prawdopodobnie powstał również system numeryczny rowasz (rewasz), używany przez Szeklerów i karpackich górali co było by zrozumiale w świetle hipotezy Alinei że etruski to forma starowęgierskiego.

Cyfry Rzymskie• Cyfry rzymskie znane są już od ponad MM lat. Jakkolwiek od momentu pojawienia się

cyfr arabskich zakres ich używania znacznie się zmniejszył, to jednak stosuje się je również obecnie. Można je jeszcze zobaczyć na tarczach zegarowych, za ich pomocą oznacza się miesiące w datach (np. 21 IX – 21 września), a także wieki jako okresy w dziejach ludzkości (np. VII wiek, XX wiek itp.), numeruje się nimi rozdziały książek lub artykułów (np. I rozdział, IV rozdział itd.). Rzymski zapis cyfrowy został przejęty i zmodyfikowany przez Rzymian od Etrusków ok. D lat p.n.e.                W systemie rzymskim do zapisu liczb używanych jest siedem znaków cyfrowych (liter):

•Znak               I       V       X       L       C       D       M

Wartość          1      5      10     50    100   500   1000

Cyfry Egipcjan• Starożytni Egipcjanie, podobnie jak wiele innych ludów,

zapisywanie liczb zaczęli od bardzo prostej metody. Jedna pionowa kreska | oznaczała, że policzono jeden przedmiot, dwie kreski || – dwa przedmioty, trzy kreski ||| – trzy, cztery kreski |||| – cztery. Im większą liczbę trzeba zanotować, tym bardziej uciążliwy staje się ten sposób.

    1     2     3

    4     5     6

    7     8     9

Cyfry Egipcjan• Kiedy Egipcjanie rozwinęli swoje pismo, hieroglify, dla większych

liczb wymyślili specjalne symbole. Liczby od 1 do 9 nadal zapisywano odpowiednią ilością pionowych kresek. Ale już 10 oraz

liczby większe zapisywano specjalnym, pojedynczym znakiem.

Cyfry Babilończyków• Na terenach Mezopotamii żyli Sumerowie podbici i włączeni w

skład państwa babilońskiego w drugim tysiącleciu przed naszą erą. Głównym osiągnięciem Babilończyków było pismo klinowe, ryte na tabliczkach glinianych, potem wypalanych. Dzięki zastosowanej technologii, zapisy babilońskie

przetrwały do naszych czasów. Babilończycy używali do

zapisu liczb dwóch znaków: ostrego (pionowego) klina dla oznaczenia liczby 1, rozwartego (poziomego)

klina dla oznaczenia liczby 10.

Alfabet Braille’a• Dzięki Luisowi Braille’owi cyframi mogą posługiwać się także

niewidomi. Alfabet ten oparty jest na wojskowym systemie umożliwiającym odczytywanie rozkazów bez użycia światła. Różni się od wojskowego tym, że jest oparty na 6 punktach wypukłych, które niewidomi odróżniają palcami.

•       Poniżej prezentujemy zapis cyfr w alfabecie Braille’a:

Zapis liczb w informatyce

Bit – podstawowa jednostka w operacjach, wskazująca na obecność (1) albo brak (0) sygnału

Bajt – 23 bitów = 8 bitów (najmniejsza, adresowana jednostka informacji)

Kilobajt – 210 bajtów = 1 024 bajty

Megabajt – 220 bajtów = 1 048 576 bajty

Gigabajt – 230 bajtów = 1 073 741 824 bajty

Terabajt - – 240 bajtów = 1 099 511 627 776 bajty

Jednostki ilości danych

Ośmiobitowy bajt po raz pierwszy pojawił się pod koniec 1956 roku, a został rozpowszechniony i uznany jako standard w 1964 r. o tym jak IBM wprowadził System/360.

Przykład: 700 Mb = 716800 kb = 734003200 bajty

Dwójkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy,

w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 2.

Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i 1.

Powszechnie używany w informatyce.

1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10.

Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym

4 3 2 1 0 11110 = 11110 = 1x24 + 1x23+ 1x22 + 1x21 + 0x20 = 1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30

Ponieważ 0 x 2n =0, oraz 1 x 2n = 2n wystarczy jeśli zsumuje się tylko te potęgi dwójki, przy których współczynnik wynosi 1.

Obliczanie postaci dwójkowej liczby dziesiętnej

Dla liczby 1476 będzie to:

Liczba Reszta Komentarz1476 0 1476 = 2x738 + 0738 0 738 = 2x369 + 0369 1 369 = 2x184 + 1184 0 184 = 2x92 + 092 0 92 = 2x46 + 046 0 46 = 2x23 + 023 1 23 = 2x11 + 111 1 11 = 2x5 + 15 1 5 = 2x2 + 12 0 2 = 2x1 + 01 1 1(wynik mniejszy niż 2 - koniec)

A zatem: 147610 = 101110001002

Przeliczanie systemu dwójkowego na ósemkowy i szesnastkowy nie wymaga szczególnych zabiegów, bowiem w systemie ósemkowym każdą cyfrę opisują 3 bity, natomiast w systemie szesnastkowym 4 bity. Wystarczy podzielić liczbę dwójkową na pola o odpowiedniej szerokości i policzyć wartość każdego z nich;

np. 11000101012 = 001 100 010 1012 = 14258

11000101012 = 0011 0001 01012 = 31516

1x82 + 4x81 + 4x80 = 64 + 32 + 4 = 100.

System Ósemkowy

System SzesnastkowyPodstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 16. Często system szesnastkowy jest określany nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM hexadecimal. Początkowo chciano używać łacińskiego sexa zamiast hexa, ale niejednoznacznie się to kojarzyło. Do zapisu liczb potrzebne jest szesnaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E, F.Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex przybiera postać 3E8, gdyż:3x162 + 14x161 + 8x160 = 768 + 224 + 8 = 1000.

Dziękuje za obejrzenie mojej

prezentacji

• Przygotował – Piotr Nowicki Kl. 3G