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Matemática

3ª Série do Ensino Médio

Professor: Patrício Júnior de Souza

Maio, 2016

Geometria Analítica: Introdução

A Geometria Analítica relaciona a álgebra para descrever figuras planas e suas propriedades (utiliza equações para descrever um lugar geométrico, Exemplo: Equação da reta ax+by=c). O principal recurso dessa geometria é o plano cartesiano, determinado por dois eixos ortogonais entre si, um eixo horizontal (eixo das abscissas – eixo x) e um eixo vertical (eixo das ordenadas, eixo y).

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Representação de um Ponto no Plano Cartesiano

O plano cartesiano é muito utilizado em nosso dia a dia, quando observamos um mapa-múndi ou um aparelho GPS, vemos que as coordenadas geográficas nada mais são do que a representação das coordenadas cartesianas (eixo x: longitude e eixo y: latitude).

Representação de um Ponto no Plano Cartesiano

Determine os pontos seguintes no plano cartesiano: A(-1,3), B(7,0), C(-4,0) e D(2,4).

Exercícios

1) Represente no plano cartesiano os seguintes pontos: A(-3,0); B(5,0); C(0,4); D(-2,-3); E(-3,4) e F(½,-1).

2) Considerando os pontos indicados no exercício anterior:

a) Desenhe o triângulo ABC;

b) Desenhe o triângulo BCD;

c) Desenhe o quadrilátero ADEF.

Plano CartesianoO sistema de coordenadas geográficas é baseado no sistema de coordenadas cartesianas. A Linha do Equador equivale ao eixo x e O Paralelo de Greenwich é o eixo y, as abscissas positivas estão a Oeste, enquanto que as negativas estão a Leste de Greenwich. Já em relação a latitude, as latitudes positivas indicam o Hemisfério Norte, e as latitudes negativas indicam o Hemisfério Sul.

Utilizando um aparelho GPS ou aplicativo de GPS no celular ou computador, pesquise as coordenadas geográficas do lugar onde você está ou de um lugar conhecido e escreva sua localização em coordenadas cartesianas.

Módulo de um número real ou valor absoluto

● Definição: Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto. O módulo de um número real será sempre positivo ou nulo. Definimos módulo de um número real a, assim:

Exemplo: O valor absoluto de -4 é igual a 4, pois a distância de -4 a 0 é igual a 4. Note que, o módulo de 4 também é igual a 4, a distância de 4 a 0 é 4.

De modo geral, números opostos (simétricos) possuem mesmo módulo. Isto é, seja a um número real, temos:

Propriedades de módulo● Sejam a e b reais, então:

● Ex.: |3-5|=|5-3|=2;● Ex.:|(-2)*5|=|-2|*|5|=2*5=10;● Ex.: (-2)*5=-10, já

|-2|*|5|=10, é sabido que

-10 < 10;● Ex.: |¾|=|3|/|4|= ¾;● Ex.:|2+3|≤|2|+|3|=5.● Ex.:|-2+3|≤|-2|+|3|→|1|=1 ≤ 2+3=5.● Ex.: |2|-|3|=-1 ≤ |2-3|=1.● Ex.: (-3)² = 9 e |-3|² = 3² = 9.

Distância entre dois pontosDefiniçãoDefinição: Sejam dois pontos distintos A(xA,yA) e B(xB,yB) no plano cartesiano. A distância entre A e B é a medida do segmento de reta que tem A e B como extremos (que vai de A até B, ou, o contrário, ou seja, de B até A). Denotamos a distância entre A e B por dAB.

A intersecção das projeções A intersecção das projeções horizontais (abscissas – eixo horizontais (abscissas – eixo x) e verticais (ordenadas – x) e verticais (ordenadas – eixo y) dos pontos A e B eixo y) dos pontos A e B formam um triângulo formam um triângulo retângulo em C, em que a retângulo em C, em que a distância entre os pontos A e distância entre os pontos A e B é igual à medida da B é igual à medida da hipotenusa.hipotenusa.

Distância entre dois pontosMedidas dos catetos:

● |xA-xB| = xA-xB, se xA>xB; ou, |xA-xB| = xB-xA, se xB>xA.

● |yA-yB| = yA-yB, se yA>yB; ou, |yA-yB| = yB-yA, se yB>yA.

A distância entre dois pontos no plano cartesiano (real) sempre será um valor positivo, por isso utilizamos o módulo. Lembremos a definição de módulo de um número ou valor absoluto:

Distância entre dois pontos● 1º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos

x.

Neste caso, as ordenadas dos pontos A e B são iguais, ou seja, y

A = y

B. A distância entre os

pontos A e B, ou o comprimento do segmento AB, é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas de A e B, de modo que:

● Observação: A distância entre A e B é a mesma entre B e A, logo, dAB = dBA. Ou seja,

● Exemplo: Sejam A(5,2) e B(-5,2), calcule a distância entre A e B.

Distância entre dois pontos● 1º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos

x.

Distância entre dois pontos● 2º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos

y.

Neste caso, as abscissas dos pontos A e B são iguais, ou seja, yA = yB. A distância entre os pontos A e B, ou o comprimento do segmento AB, é dada pelo módulo da diferença das ordenadas de A e B, de modo que:

● Exemplo: Sejam A(2,-1) e B(2,3), calcule a distância entre A e B.

Distância entre dois pontos● 2º caso: O segmento AB é paralelo ao eixo dos

y.

Distância entre dois pontos● 3º caso: O segmento AB é oblíquo aos eixos

Este é o caso geral, pois a fórmula que encontraremos também resolve os dois casos anteriores. Vejam que as retas que passam pelo ponto xB paralela ao eixo dos y e pelo ponto yA paralela ao eixo dos x, definem um triângulo retângulo com hipotenusa AB. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos:

Se reescrevermos ∆x=|xA-xB| e ∆y=|yA-yB|, temos:

● Exemplo: Sejam A(-2,1) e B(2,4), calcule a distância entre A e B.

Distância entre dois pontos● 3º caso: O segmento AB é oblíquo aos eixos

Referências Bibliográficas

● <http://www.matika.com.br/modulo/> acesso em 21/05/2016.

● <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2013/06/distancia-entre-dois-pontos-no-plano.html> acesso em 21/05/2016.