1

Exercicis de selectivitat – Derivades (extrems i creixement)

1

a) Que la gràfica de ( )f x talli l’eix d’abscisses en 0x = i 1x = significa que (0) 0f = i (1) 0f = , és a dir: ·0 ·0 ·0 0 0 0·1 ·1 ·1 0 0 0a b c d d da b c d a b c d a b c

+ + + = = = ⇒ ⇒ + + + = + + + = + + =

(1)

Que la funció tingui un mínim en 0x = implica que '(0) 0f = , 2'( ) 3 2f x ax bx c= + + , per tant:

3 ·0 2 ·0 0 0a b c c+ + = ⇒ = (2) De (1) i (2) es dedueix: 0a b b a+ = ⇔ = − . Per tant la funció té la forma: 3 2( )f x ax ax= − Noteu que ha de ser 0a < , ja que si fos 0a > , com que la segona derivada és ''( ) 6 2f x ax a= − , es compliria que ''(0) 6 ·0 2 2 0f a a a= − = − < i això implicaria que en 0x = hi hauria un màxim en comptes d’un mínim. b) 2'( ) 3 2f x ax ax= − s’anul·la per a 0x = (mínim) i 2 / 3x = . Com que

''(2 / 3) 4 2 2 0f a a a= − = < , es dedueix que en 2 / 3x = hi ha un màxim.

''( ) 0 6 2 0 1/ 3f x ax a x= ⇔ − = ⇔ = ; '''( ) 6 0f x a= ≠ , per tant, en 1/ 3x = hi ha una

inflexió.

2

1/3 2/3

2

Observant el dibuix es veu que en l’interval (2, 3) les tangents a la gràfica tenen pendent positiu, per tant, 'f és positiva. Això també passa en l’interval (5, 6) . En canvi, en l’interval (3, 5) la derivada ha de ser negativa. En els punts 3x = i 5x = la funció hi té extrems, per tant, la derivada s’hi anul·la: '(3) '(5) 0f f= = En el punt 4x = la funció hi té una inflexió i passa de convexa a còncava; per tant la derivada passa de decréixer a créixer i hi té, per tant, un mínim. La gràfica de '( )f x pot ser com la de la figura

3

a) 1 22 3

12( ) 1 6 '( ) af x a x x f xx x

− −= + + ⇒ = − − Si en 3x = hi ha un extrem s’ha de complir:

'(3) 0f = , és a dir: 2 3

12 0 3 12 03 3a a− − = ⇒ − − = ⇒ 4a = −

b) 2 32 3 3 4 3 4

4 12 8 36 8 36 12'( ) 4 12 ''( ) ''(3) 03 3 81

f x x x f x fx x x x

− −= − = − ⇒ = − + ⇒ = − + = > , per tant es

tracta d’un mínim relatiu.

4

a) Perquè hi hagi un extrem relatiu en 3x = s’ha de complir: '(3) 0f =

3 2

6 4

3 ( ) 2 3'( ) x x x a x af xx x

− + − −= = 6 3'(3) 0 0

81af − −

= ⇒ = ⇒ 2a = −

b) 4

2 6'( ) xf xx

− += Si 3x < es compleix: '( ) 0f x > , per tant ( )f x és creixent en ( , 3)−∞

Si 3x > es compleix: '( ) 0f x < , per tant ( )f x és decreixent en (3, )+∞

3 4 5

3

3

2( ) xf xx−

= Com que 0

( )xlím f x→

= ∞ , la funció té una asímptota vertical d’equació: 0x =

Com que ( ) 0xlím f x→ ± ∞

= (grau del numerador més petit que el del denominador), la funció té una

asímptota horitzontal d’equació: 0y = (Les asímptotes són els eixos de coordenades)

5

( )( ) ( )

22 2

2 2

(2 1)( 1) 66 2 7'( ) ''( )1 1 1

x x x xx x x xf x f xx x x

+ + − + −+ − + += ⇒ = =

+ + +

En els extrems de la funció la derivada s’anul·la. Busquem els punts singulars de ( )f x : 2

2 36'( ) 0 0 6 021

x xf x x x xx

−+ −= ⇔ = ⇒ + − = ⇔ = +

Calculem la segona derivada en aquests punts:

( )29 6 7 10''( 3) 0

93f − +

− = = >−

Per tant, la funció té un mínim relatiu en 3x = −

2

4 4 7 15''(2) 02 4

f + += = > Per tant, la funció té un altre mínim relatiu en 2x =

6

Calculem la derivada de la funció: ( )2 2' 4 2 ( ) 3 2 4y x x x a x a x= − + + = + − Si la funció té un màxim relatiu en 1/ 3x = − , en aquest punt la derivada ha de valer 0 :

21 1 1 23 2 4 0 4 03 3 3 3

aa − + − − = ⇒ − − = ⇒

112

a = −

L’altre extrem (el mínim) s’ha de donar en l’altre punt en què la derivada s’anul·la: 2' 3 11 4y x x= − − ; 2 411 121 48' 0 3 11 4 0

1/ 36y x x x ± += ⇔ − − = ⇔ = = −

Per tant, l’abscissa del

mínim és 4x =

7

4

a) 2 3

3 2(3 )'( ) 1 ; ''( )a af x f xx x− −

= − = En els punts en què la funció té extrems la derivada ha

de valer 0 2

2

3'( ) 0 1 0 3 3af x a x x ax−

= ⇔ − = ⇒ − = ⇒ = ± − (1)

Si 3a = la funció és: ( )f x x= (excepte per a 0x = ) i, per tant, no té extrems. Si 3a > l’equació (1) no té solucions (radicand negatiu), per tant, la funció no té extrems. Si 3a < l’equació (1) té dues solucions, una de positiva: 1 3x a= + − i una de negativa:

2 3x a= − − Es comprova que 1''( ) 0f x > i 2''( ) 0f x < , per tant la funció té un màxim en 2x i un mínim en 1x

b) Si 3a = la funció coincideix amb la recta y x= (excepte en 0x = ) i, per tant és creixent en tot el seu domini.

Si 3a > la derivada és: 2 2

3 3'( ) 1 1 0a af xx x− −

= − = + > per a qualsevol 0x ≠ ; per tant, en

aquest cas la funció també és creixent en tot el seu domini. Si 3a < ja hem vist que la funció té màxim i mínim, per tant en algun interval és decreixent.

8

a) 2

2 2

2 1 2 / 1( )2 1 2 1/ 2x x x

x x xlím f x lím límx x→±∞ →±∞ →±∞

− −= = =

+ + Per tant, la funció té una asímptota horitzontal

(per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 1/ 2y = Si té asímptota horitzontal ja no en pot tenir d’obliqües. Com que el denominador de ( )f x no s’anul·la per a cap valor de x , tampoc no hi ha

asímptotes verticals.

b) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 22 2

(2 2) 2 1 4 2 4 2 2'( )2 1 2 1

x x x x x x xf xx x

− + − − + −= =

+ +

( )2

222

1/ 24 2 2 1 9'( ) 0 0 2 1 0142 1

x xf x x x xx

+ − − ±= ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = = −+

Noteu que el signe de la derivada només depèn del numerador ja que el denominador és positiu per a qualsevol valor de x . És fàcil comprovar que:

Si 1x < − llavors '( ) 0f x > , per tant ( )f x és creixent estrictament en ( , 1)−∞ − Si 1 1/ 2x− < < llavors '( ) 0f x < , per tant ( )f x és decreixent estrictament en ( 1, 1/ 2)− Si 1/ 2x > llavors '( ) 0f x > , per tant ( )f x és creixent estrictament en (1/ 2, )+∞ Es dedueix que la funció té un màxim relatiu en 1x = − i un mínim relatiu en 1/ 2x =

5

c) i d)

La funció ( )g x té màxim allà on ( )f x té mínim i viceversa. (Per a obtenir la gràfica de ( )g x cal “girar” la de ( )f x respecte de l’eix d’abscisses i traslladar-la tres unitats cap a dalt.)

9

a) 2'( ) 3 3 6f x x x= − − ; Els extems relatius es donen en punts en què la derivada val 0 :

2 2 2'( ) 0 3 3 6 0 2 0

1f x x x x x x

= ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = − (punts singulars)

''( ) 6 3f x x= − ; ''(2) 9 0f = > per tant hi ha un mínim relatiu en 2x = ''( 1) 9 0f − = − < per tant hi ha un màxim relatiu en 1x = −

3 23(2) 2 ·2 6·2 3 132

f = − − − = − 3 23 1( 1) ( 1) ·( 1) 6·( 1) 32 2

f − = − − − − − − =

b) Si la funció ( )f x tingués, per exemple, quatre arrels (quatre punts en què tallaria l’eix d’abscisses), com que és contínua i derivable, entre cada dues arrels hi hauria un extrem i n’hi hauria tres com a mínim, en comptes dels dos que hem trobat. Que la funció té tres arrels es dedueix del teorema de Bolzano: ( )f x és contínua en [ ]2, 1− − i

( 2) 0f − < i ( 1) 0f − > , per tant existeix un punt c entre 2− i 1− tal que ( ) 0f c = . Anàlogament es pot raonar en els intervals (per exemple) [ ]1, 0− i [ ]2, 4

-1

1/2

( )f x

-11/2

( )g x

2-1

6

10

a) Calculem-ne l’asímptota obliqua: y m x n= +

2

2

( ) 1x x

f x xlím lím mx x a x→±∞ →±∞

= = =+

(pendent de l’asímptota)

( )2

( )x x x

x a xlím f x mx lím x lím a nx a x a→±∞ →±∞ →±∞

−− = − = = − = + +

(ordenada a l’origen)

Per tant, l’asímptota (per la dreta i per l’esquerra) és: y x a= − . De l’enunciat es dedueix que 2a = −

b) 2

( )2

xf xx

=−

Domini: }{ 2 0Dom f x x= ∈ − ≠ = { }2−

Interseccions amb eixos: (0) 0f = → (0, 0) ( ) 0 0 (0, 0)f x x= ⇒ = →

Creixement i extrems: 2 2

2 2

2 ( 2) 4'( )( 2) ( 2)x x x x xf xx x− − −

= =− −

2

2

04'( ) 0 04( 2)

x xf x xx

−= ⇔ = ⇔ = −

(punts singulars)

És fàcil comprovar que: Si 0x < la derivada és positiva, per tant, la funció és creixent en ( , 0)−∞ Si 0 4x< < ( 0x ≠ ) la derivada és negativa, per tant, la funció és decreixent en (0, 2) i

(2, 4) Si 4x > la derivada és positiva, per tant, la funció és creixent en (4, )+∞ Es dedueix que té un màxim relatiu en 0x = , i un mínim relatiu en 4x =

40

7

11

a) Domini de ( )f x : { } { }28 0 0, 8Dom f x x x= ∈ − ≠ = −

Asímptotes verticals: 0

( )xlím f x→

= ∞ i 8

( )xlím f x→

= ∞ , per tant hi ha dues asímptotes

verticals d’equacions: 0x = i 8x = Asímptotes horitzontals: ( ) 0

xlím f x→±∞

= (numerador de grau més petit que el denominador),

per tant hi ha una asímptota horitzontal (per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 0y = Com que n’hi ha d’horitzontals no n’hi pot haver d’obliqües. b) Com que el numerador és positiu, el signe de la funció només depèn del denominador

28 (8 )x x x x− = − És fàcil veure que: Si 0x < el denominador és negatiu, per tant ( ) 0f x < en ( , 0)−∞ Si 0 8x< < el denominador és positiu, per tant ( ) 0f x > en (0, 8) Si 8x > el denominador és negatiu, per tant ( ) 0f x < en (8, )+∞

c) ( )22

2 8'( )8

xf xx x

−=

− Aquesta derivada s’anul·la en 4x = (punt singular). El seu signe

depèn del numerador (observeu que el denominador sempre és positiu) Si 4x > la derivada és positiva, per tant ( )f x és creixent en (4, 8) i (8, )+∞ Si 4x < la derivada és negativa, per tant ( )f x és decreixent en ( , 0)−∞ i (0, 4)

Es dedueix que hi ha un mínim relatiu en 4x =

4 80

0 4 8

8

12

a) Asímptotes verticals (només poden estar en els punts en què s’anul·la el denominador):

1

( ' )( )

( )x

per l esquerralím f x

per la dreta→−

−∞= +∞

, per tant hi ha una asímptota vertical d’equació: 1x = −

Asímptotes horitzontals: 2 ( 1) 1( )

1 (1 1/ ) 1 1/x x x x

x x x x xlím f x lím lím límx x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − −= = = = +∞

+ + +

Anàlogament: ( )xlím f x→−∞

= −∞ per tant, no hi ha asímptotes horitzontals.

Asímptotes obliqües: y m x n= +

( ) 1 (1 1/ ) 1 1/ 11 (1 1/ ) 1 1/x x x x

f x x x x xlím lím lím lím mx x x x x→± ∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − −= = = = =

+ + + (pendent de l’asímptota)

( )2 2 2( ) 2

1 1 1 1/x x x x

x x xlím f x m x lím x lím lím nx x x→± ∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − −− = − = = = − = + + +

(ordenada a l’origen)

Per tant, hi ha una asímptota obliqua (per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 2y x= −

b) i c) ( )2 2

2 2

(2 1)( 1) 2 1'( )( 1) ( 1)

x x x x x xf xx x

− + − − + −= =

+ + Els extrems relatius es donen en punts en què

la derivada val 0 :

2

22

1 22 1 2 8'( ) 0 0 2 1 0( 1) 2 1 2x xf x x x xx

− ++ − − ± = ⇔ = ⇒ + − = ⇔ = = + − − (punts singulars)

El signe de la derivada depèn del numerador (ja que el denominador és sempre positiu) És fàcil veure que: Si 1 2x < − − la derivada és positiva, per tant la funció és creixent en ( ), 1 2−∞ − −

Si 1 2 1 2x− − < < − + (excepte 1x = − ) la derivada és negativa, per tant la funció és decreixent en ( )1 2 , 1− − − i

( )1, 1 2− − +

Si 1 2x > − + la derivada és positiva, per tant la funció és creixent en ( )1 2 ,− + +∞

Es dedueix que ( )f x té un màxim en

1 2x = − − i un mínim en 1 2x = − +

9

13

a) 2'( ) 3 2 ''( ) 6 2f x x x f x x= + = + Els màxims i mínims es troben en punts en què la

derivada s’anul·la: 2 0'( ) 0 3 2 0

2 / 3f x x x x

= ⇔ + = ⇔ = −(punts singulars)

''(0) 2 0f = > , per tant hi ha un mínim relatiu en 0x = ''( 2 / 3) 2 0f − = − < , per tant hi ha un màxim relatiu en 2 / 3x = −

(0)f b= 3 2( 2 / 3) ( 2 / 3) ( 2 / 3)f b− = − + − + =4

27b+

b) Si 0b > la gràfica tallarà l’eix d’ordenades en el punt (0, )b , per sobre de l’origen Si 0b = la gràfica passarà per l’origen de coordenades.

c) Perquè la gràfica en el màxim relatiu sigui

tangent a l’eix d’abscises s’ha de complir: 4( 2 / 3) 0 0

27f b− = ⇔ + = ⇔ 4 / 27b = −

d) A la vista de les gràfiques es dedueix que

si 0b = o 4 / 27b = − l’equació ( ) 0f x = tindrà dues solucions (una de les quals serà el màxim o el mínim). Si 0b > o

4 / 27b < − en tindrà només una i si

0-2/3

0-2/3

0-2/3

10

4 / 27 0b− < < l’equació tindrà tres solucions.

14

a) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 22 2 2

9 2 ( 5) 10 9 10 9'( )9 9 9

x x x x x x xf xx x x

− − + − − − + += = = −

− − −

( )

2

22

2 10·2 9 33'(2)252 9

f + += − = −

− (pendent de la tangent) ; 2 5 7(2)

4 9 5f +

= = −−

Equació de la tangent: (2) '(2)( 2)y f f x− = − ⇔7 33 ( 2)5 25

y x+ = − −

b) Domini: { } { }2 9 0 3, 3Dom f x x= ∈ − ≠ = − − Asímptotes verticals: si n’hi ha han d’estar en els punts en què el denominador val 0 :

3

( ' )( )

(x

per l esquerralím f x

per la dreta→−

+∞= −∞

3

( )( )

( ' )x

per la dretalím f x

per l esquerra→+

+∞= −∞

Per tant hi ha dues asímptotes verticals d’equacions: 3x = − i 3x =

Asímptota horitzontal: 2

5 (1 5 / ) 1 5 /( ) 09 ( 9 / ) 9 /x x x x

x x x xlím f x lím lím límx x x x x x→± ∞ →± ∞ →± ∞ →± ∞

+ + += = = =

− − − Per tant hi

ha una asímptota horitzontal (per la dreta i per l’esquerra) d’equació: 0y = Com que n’hi ha d’horitzontal no pot haver-n’hi d’obliqües. c) Busquem els possibles màxims i mínims:

( )2

222

910 9'( ) 0 0 10 9 019

x xf x x x xx

−+ += ⇔ − = ⇒ + + = ⇔ = −−

(punts singulars)

Es pot comprovar que: Si 9x < − la derivada és negativa, per tant ( )f x és decreixent en ( , 9)−∞ − Si 9 1x− < < − (excepte 3x = − ) la derivada és positiva, per tant ( )f x és creixent en

( 9, 3)− − i ( 3, 1)− − Si 1x > − (excepte 3x = ) la derivada és negativa, per tant ( )f x és decreixent en ( 1, 3)− i

(3, )+∞ Es dedueix que ( )f x té un mínim relatiu en 9x = − i un màxim relatiu en 1x = −

–1 3– 9 – 3

11

Observeu que el mínim és molt a prop de l’eix d’abscisses, ja que

( 9) 0,06f − =

15

a) Si la tangent en 0x = és horitzontal, la derivada en aquest punt serà 0 . 3 2'( ) 4 3 2 '(0)f x x a x b x c f c= + + + ⇒ = , per tant ha de ser 0c =

b) Si hi ha un extrem relatiu en 2x = − vol dir que '( 2) 0f − = , és a dir: 3 24( 2) 3 ( 2) 2 ( 2) 0 12 4 32a b a b− + − + − = ⇒ − = (1)

Si la gràfica talla l’eix d’abscisses en 1x = vol dir que (1) 0f = , és a dir: 8a b+ = − (2) Resolem el sistema format per les equacions (1) i (2):

12 4 32

8a b

a b− =

⇔ + = −

08

ab=

= −

c) Com a conseqüència dels resultats anteriors es dedueix que 4 2( ) 8 7f x x x= − + 3'( ) 4 16f x x x= − Busquem els possibles màxims i mínims:

3 2

0'( ) 0 4 16 0 4 ( 4) 0 2

2f x x x x x x

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −

(punts singulars)

2''( ) 12 16f x x= − ; ''(0) 16 0f = − < , per tant hi ha un màxim relatiu en 0x = 2''( 2) 12( 2) 16 32 0f − = − − = > , per tant hi ha un mínim relatiu en 2x = −

2''( 2) 12( 2) 16 32 0f = − = > , per tant hi ha un mínim relatiu en 2x =

-3 3-1-9

12

Es dedueix que ( )f x és decreixent en ( , 2)−∞ − i en (0, 2) i és creixent en ( 2, 0)− i en (2, )+∞ (També es pot deduir directament a partir del signe de la derivada)

16

a) Domini: Com que la funció és la composició d’una exponencial i una polinòmica, i totes dues tenen per domini , es dedueix que Dom f = Interseccions amb els eixos: 0(0) 1f e= = → (0, 1) (amb l’eix d’ordenades) Com que una funció exponencial sempre és positiva, no hi ha intersecció amb l’eix d’abscisses.

b) ( )2 2'( ) 2 2x xf x e x− += − + Busquem els punts en què la derivada s’anul·la: '( ) 0 2 2 0 1f x x x= ⇔− + = ⇔ = (punt singular) És clar que si 1x < la derivada és positiva i si 1x > la derivada és negativa, per tant la

funció és creixent en ( , 1)−∞ i decreixent en (1, )+∞ Es dedueix que té un màxim relatiu en 1x =

D’asímptotes verticals no en té ja que la funció és contínua en tot el seu domini.

2 2 0x x

xlím e e− + −∞

→+∞ = = , per tant té una asímptota horitzontal per la dreta d’equació:

0y =

2 2 0x x

xlím e e− + −∞

→− ∞ = = , per tant l’asímptota anterior també ho és per l’esquerra.

Com que hi ha asímptotes horitzontals no n’hi pot haver d’obliqües.

(-2 , -9) (2 , 9)

(0 , 7)

13

d) Noteu que, en

tractar-se d’una exponencial, la funció és positiva en tot el domini.

17

a) '( ) ( ) ( )x x xf x e ax b a e e ax b a= + + = + + . Si la funció té un extrem en ( )33, e vol dir dues

coses: 3 3 3

3

3 1(3) (3 )4 0'(3) 0 (4 ) 0a bf e e a b ea bf e a b+ = = + =

⇔ ⇔ ⇔ + == + =

14

ab= −

=

b) ( ) ( 4)xf x e x= − + '( ) ( 3)xf x e x= − + ''( ) ( 3) ( 2)x x xf x e x e e x= − + − = − + 3''(3) 0f e= − < , per tant es tracta d’un màxim

18

4 3 2 2 2 3 2 3 2'( ) 30 60 30 30 ( 1) ; ''( ) 120 180 60 ; '''( ) 360 360 60f x x x x x x f x x x x f x x x= − + = − = − + = − + Els pòssibles màxims i mínims han de trobar-se entre els punts que anul·len la derivada:

2 2 0'( ) 0 30 ( 1) 0

1f x x x x

= ⇔ − = ⇔ =

Noteu que '( ) 0f x > per a qualsevol valor de x , per tant, la funció és creixent en tot el seu domini i no té extrems. En els punts 0x = i 1x = la segona derivada també s’anul·la però la tercera no, per tant són punts d’inflexió.

(1, 2.72)

14

19

La funció étà definida i és contínua en { }3− 2 2 3 2 3 3 2 2

4 3 3 3

3 ( 3) 2( 3) 3 ( 3) 2 9 ( 9)'( )( 3) ( 3) ( 3) ( 3)

x x x x x x x x x x xf xx x x x

− − − − − − −= = = =

− − − −

Evidentment la derivada s’anul·la per a 0x = i 9x = (punts singulars, possibles màxims o mínims). Observeu que el numerador serà negatiu si 9x < i positiu si 9x > , i el denominador serà negatiu si 3x < i positiu si 3x > (perquè és una potència imparella). Es dedueix: Si 3x < serà '( ) 0f x > , per tant la funció serà creixent en ( , 3)−∞ Si 3 9x< < serà '( ) 0f x < , per tant la funció serà decreixent en (3, 9) Si 9x > serà '( ) 0f x > , per tant la funció serà creixent en (9, )+∞ Es dedueix que hi ha un mínim relatiu en 9x = (En 3x = hi ha canvi de creixement, però no hi ha extrem ja que la funció no hi està definida.)

20

a) En el punt 1x = la funció és discontínua. Si el numerador no s’anul·la en 1x = , la discontinuïtat serà infinita. Si el numerador s’anul·la en 1x = la discontinuïtat pot ser evitable. Perquè el numerador s’anul·li en 1x = ha de ser 2 0 2m m− = ⇔ =

Si 2m = : 1 1 1

2 2 2 2( 1) 21 1 1x x x

mx x xlím lím límx x x→ → →

− − −= = =

− − − (disc. evitable)

Si 2m ≠ : 1

1 2 1 22 21 0 1 2 1 2x

si x i m o bé si x i mmx mlímx si x i m o bé si x i m

+ −

+ +→

+∞ → > → <− − = = − −∞ → < → >

b) 2 2

( 1) ( 2) 2'( )( 1) ( 1)

m x mx mf xx x

− − − −= =

− − Perquè la derivada sigui positiva per a tot valor de x , el

numerador de la derivada ha de ser positiu: 2 0m− > ⇔ 2m <

15

21

{ } { }1 0 1Dom f x x= ∈ − ≠ = −

Asímptotes verticals: 2

1 1

14 1 2( )1 0 1x x

si xx xlím f x límx si x

−

+→ →

+∞ →− + − = = = − − ∞ → , per tant hi ha una

asímptota vertical d’equació: 1x =

Asímptotes horitzontals: 2 4 1 4 1/( )

1 1 1/x x x

x x x xlím f x lím límx x→±∞ →±∞ →±∞

− + − += = = ±∞

− − Per tant no hi ha

asímptota horitzontal per cap costat. Asímptotes obliqües: y mx n= +

2 2

2

( ) 4 1 1 4 / 1/ 11 1/x x x

f x x x x xlím lím lím mx x x x→±∞ →±∞ →±∞

− + − += = = =

− − (pendent de l’asímptota obliqua)

[ ]2 4 1 3 1( ) 3

1 1x x x

x x xlím f x mx lím x lím nx x→±∞ →±∞ →±∞

− + − +− = − = = − =

− − (ordenada a l’origen de l’asímptota)

Per tant hi ha asímptota obliqua (per l’esquerra i per la dreta) d’equació: 3y x= −