ESPACIO VECTORIAL

Def in ic ión de vector

Un vec tor f i j o es un segmento or ientado que va de l

punto A (or igen ) a l punto B (extremo ) .

Módu lo de l vec to r , -Es la long itud del segmento

AB(módulo de ) , se rep resenta po r .

D i r ecc ión de l vec tor , .Es la direcc ión de la recta que cont iene a l vector o de

cua lqu ie r recta para lela a e l l a .

Sent ido de l vec to r . - El que va del or igen A a l ext remo B.

Dos puntos A y B de te rminan dos vec to res f i j os y , con sent ido d i s t into , que

se l l aman vectores opuestos . -Un vec to r f i j o es nulo cuando el or igen y su

extremo co inc iden.

Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas

E l vector que une e l or igen de coordenadas O

con un puntoP se l l ama vector de pos ic ión de l punto P .

Coordenadas o componentes de un vector en el plano

S i l as coo rdenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas de l

ext remo menos las coordenadas del or igen.

E jemp los : Ha l la r l as componentes de un vector cuyos ex t remos son:

3 : pr imera componente

5 : segunda componente

Un vec tor t i ene de componentes (5 , −2) . Ha l la r l as coordenadas de A s i se

conoce e l ex t remo B(12, −3) .

Vectores equipolentes

Dos vec tores son equipolentes cuando t ienen igua l

módulo , d i recc ión y sent ido .

S i y son vectores equ ipolentes , e l cuadr i l á te ro ABCD es un

para le logramo .

Ejemplo : Ca lcu la las coordenadas de C para que e l cuadr i lá tero de vért ices:

A(-3 , -4) , B(2 , -3) , D(3 , 0) y C; sea un para le logramo.

Vector l ibre

E l con junto de todos lo s vec tores

equ ipo lentes entre s í se l l ama vector l ibre . Cada vector f i jo es un

representante de l vector l ibre .

Módulo de un vector

E l módulo de un vector es l a long itud de l segmento o r ientado que lo

de f ine .

E l módulo de un vector es un número s i empre pos it ivo y so lamente e l

vector nu lo t i ene módu lo cero .

Cálcu lo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo

Cálcu lo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Ejemplo

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igua l a l módulo del vector que t i ene de

ex t remos d i chos puntos.

Ejemplo

Vector unitario

Los vectores un i tar ios t i enen de módulo la un idad.

Normal izar un vector

Normal izar un vector cons i s te en ob tener o t ro v ector un itar io , de la

misma d i recc ión y sent ido que e l vec to r dado .

Para normal izar un vector se div ide és te por su módulo .

Ejemplo

S i es un vec tor de componentes (3 , 4 ) , ha l l a r un vector un itar io de su

misma d i recc ión y sent ido .

Suma de vectores

Para sumar dos vectores l ibres y se escogen como

representantes dos vecto res ta les que e l extremo de uno co inc ida con e l or igen de l

o t ro vec tor .

Regla del parale logramo

Se toman como representantes dos vectores con e l origen en común , se t r azan

rectas parale las a l os vectores ob ten iéndose un para le logramo cuya d iagona l

co inc ide con la suma de lo s vec tores .

Para sumar dos vectores se suman sus respect ivas

componentes .

Propiedades de la suma de vectores

Asociat iva

+ ( + ) = ( + ) +

Conmutat iva

+ = +

Elemento neutro

+ =

Elemento opuesto

+ (− ) =

Resta de vectores

Para restar dos vectores l ibres y se suma con e l

opuesto de .

Las componentes del vector resta se obt ienen restando las componentes

de los vectores .

Ejemplo

Coordenadas del punto medio de un segmento

S i l as coo rdenadas de lo s puntos ex tremos , A y B , son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento co inc iden con la

semisuma de las coordenadas de de lo s puntos extremos .

Ejemplo

Ha l la r l as coordenadas de l punto medio del segmento AB .

Tres puntos estén alineados

Condición para qué tres puntos estén al ineados

Los puntos A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) y C(x 3 , y 3 ) están al ineados s i empre

que los vectores tengan la misma di recc ión . Es to ocur re cuando sus

coordenadas son proporc iona les .

Ejemplo

Ca lcu la r e l va lor de a para que los puntos estén a l ineados .

Simétrico de un punto respecto de otro

S i A' es e l s imétr ico de A r espec to de M , entonces M es e l punto

medio de l segmento AA' . Po r lo que se ve r i f i ca rá igua ldad:

Ha l la r e l simétr ico del puntoA(7 , 4 ) r espec to de M(3 , −11) .

Ejemplo

Ejercicios de vectores.1

1Un vec to r t i enen de componentes (5 , −2) . Ha l la r l as coordenadas de

A s i se conoce e l ex tremo B(12 , −3) .

2Dado e l vec tor = (2 , -1 ) , de te rminar dos vec to res equ ipo lentes a ,

, sab iendo que A(1 , -3 ) y D(2 , 0 ) .

3Ca lcu la r l a d i s tanc ia ent re los puntos :

4S i es un vec to r de componentes (3 , 4 ) , ha l l a r un vec tor un i ta r io de su


5Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i recc ión que e l vec to r =(8 , -6 ) .

6Ca lcu la las coordenadas de D para que e l cuadr i l á te ro de vér t i ces : A ( -1 ,

-2 ) , B (4 , -1 ) , C (5 , 2 ) y D; sea un para le logramo.

7Ha l la r l as coordenadas de l punto med io de l segmento AB , de ex t remos

A(3 , 9 ) y B( -1 , 5 ) .

8Ha l la r l as coordenadas de l punto C , sab iendo que B(2 , - 2 ) es e l punto

med io de AC , A( - 3 , 1 ) .

9Aver iguar s i es tán a l ineados lo s puntos : A ( - 2 , - 3 ) , B (1 , 0 ) y C(6 , 5 ) .

10Ca lcu la r e l va lo r de a para que los puntos es tén a l ineados .

Ejercicios resueltos de vectores

1

Un vec tor t i enen de componentes (5 , −2) . Ha l la r l as coo rdenadas de A

s i se conoce e l ex tremo B(12 , −3) .


2

Dado e l vec tor = (2 , - 1 ) , de terminar dos vecto res equ ipo lentes a

, , sab iendo que A(1 , -3 ) y D(2 , 0 ) .


3

Ca lcu la r l a d i s tanc ia ent re los puntos :


4

S i es un vec tor de componentes (3 , 4 ) , ha l l a r un vec tor un i ta r io de su



5

Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i r ecc ión que e l vec tor =(8 , -6) .


6

Ca lcu la las coo rdenadas de D para que e l cuadr i l á te ro de vé r t i ces : A ( -1 , -

2 ) , B (4 , -1 ) , C (5 , 2 ) y D; sea un para le log ramo.


7

Ha l la r l as coo rdenadas de l punto med io de l segmento AB , de ex t remos A(3 ,

9 ) y B( -1 , 5 ) .


8

Ha l la r l as coo rdenadas de l punto C , sab iendo que B(2 , - 2 ) es e l punto

med io de AC , A( - 3 , 1 ) .


9

Aver iguar s i es tán a l ineados los puntos : A ( - 2 , - 3 ) , B (1 , 0 ) y C(6 , 5 ) .


10

Ca lcu la r e l va lor de a para que los puntos es tén a l ineados .

Vectores. Ejercicios . 2

1Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i recc ión que e l vec to r

=(8 , -6 ) .

2Ca lcu la e l ex t remo de l vec tor sab iendo que sus componentes son (3 ,

-1 ) y su o r igen A( -2 , 4) .

3Dados lo s puntos A (3 , 2 ) y B(5 , 4 ) ha l l a un punto C , a l ineado con A y B ,

de manera que se ob tenga

4Ha l la r e l s imét r i co de l punto A(3 , -2 ) respecto de M( -2 , 5 ) .

5C las i f i car e l t r i ángu lo de t e rminado por lo s puntos : A(6 , 0 ) , B (3, 0 ) y

C(6 , 3 ) .

7Determinar a con la cond ic ión de que lo s puntos A(0 , a ) y B(1 , 2 ) d i s ten

una un idad .

8S i M 1 (2 , 1 ) , M 2 (3 , 3 ) y M 3 (6 , 2 ) son lo s puntos med ios de lo s l ados de un

t r i ángu lo , ¿ cuá les son las coordenadas de lo s vé r t i ces de l t r i ángu lo?

9Probar que lo s puntos : A(1 , 7 ) , B (4 ,6 ) y C(1 , -3 ) pe r tenecen a una

c i r cun ferenc ia de cent ro (1 , 2 ) .

10Norma l i za r l o s s igu ientes vec to res : = (1 , ) , = ( -4 , 3 ) y = (8 .

-8 ) .

Vectores. Ejercicios resueltos

1

Ha l la r un vec to r un i ta r io de la misma d i r ecc ión que e l vec tor =(8 , -6) .


2

Ca lcu la e l ex t remo de l vec to r sab iendo que sus componentes son (3 , -

1 ) y su or igen A( -2 , 4 ).

3 = x B − (−2 )x B = 1

-1 = y B − 4y B = 3

B(1, 3)


3

Dados lo s puntos A (3 , 2 ) y B(5 , 4 ) ha l l a un punto C , a l ineado con A y B ,

de manera que se ob tenga


4

Ha l la r e l s imétr i co de l punto A(3 , -2 ) r espec to de M( -2 , 5 ) .


5

C las i f i ca r e l t r i ángu lo de te rminado po r lo s puntos : A(6 , 0 ) , B (3 , 0 ) y C(6 ,

3 ) .

S i :


7

Determinar a con la cond ic ión de que lo s puntos A(0 , a ) y B(1 , 2 ) d i s ten

una un idad .


8

S i M 1 (2 , 1 ) , M 2 (3 , 3 ) y M 3 (6 , 2 ) son lo s puntos med ios de lo s l ados de un

t r i ángu lo , ¿ cuá les son las coordenadas de lo s vé r t i ces de l t r i ángu lo?

x 1 = 7 x 5 = 7 x 3 = −1

y 1 = 4 y 5 = 0 y 3 = 3

A(7 , 4 )B(5 , 0 ) C (−1 , 2)


9

Probar que lo s puntos : A(1 , 7 ) , B (4 ,6 ) y C(1 , -3 ) pe r tenecen a una

c i r cun ferenc ia de cent ro (1 , 2 ) .

S i O es e l cent ro de la c i r cun fe renc ia l as d i s tanc ias de O a A , B , C y D

deben ser igua les


10

Norma l i za r l o s s igu ientes vec tores : = (1 , ) , = ( -4 , 3 ) y = (8 . -8 ) .

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