DEFINICIÓN

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

DEFINICIÓN

CONSTRUCCIÓN

Una igualdad algebraica está formada por dos Expresiones algebraicas separadas por el signo igual

(=). • Cuando la igualdad es cierta para algún valor

de las letras se llama ecuación.Una ecuación de segundo grado o ecuación

cuadrática, es aquella en la cual la mayor potencia de la variable considerada en

la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es:

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es

el coeficiente del termino cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente del término lineal y c es el

término independiente.

LAS ECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO SE COMPONEN DE

TRES TÉRMINOS:

CUADRÁTICO

(ax2)LINEAL

(bx)CONSTANTE (

c )

EXISTEN TRES

CLASES:

COMPLETAS

a x2 + b x + c = 0

PURAS ax2 +c

=0

MIXTASax2 +bx

=0

Solucionar una ecuación de segundo grado es encontrar él o los valores

numéricos (raíces)que remplazan la variable y satisfacen la ecuación.

Resolución de ecuaciones incompletas. Resolución de ax2+bx=0

La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+bx=0 tiene dos soluciones: x1=0 y

x2=-b/a

Se resuelve sacando factor común a la x e igualando

los dos factores a cero. x1=0 y

x2=-b/a

Resolución de ecuaciones incompletas.

Resolución de ax2+c=0 La ecuación de segundo

grado incompleta del tipo

ax2+c=0, puede no tener solución ó tener dos

soluciones distintas de la forma

Resolución de ecuaciones completas.Solución por factorización .

Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus

miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda

factorizarse, se procede así:

Como la ecuación es Equivalente a: mmmmmmmm

Se procede despejando la variable.

Descomposición de factores.Un modo fácil y sencillo de resolver una

ecuación de 2º grado es mediante el método de factorización.

Pasos:•Simplificar la ecuación y ponerla en la

forma:

• Factorice el primer miembro de la ecuación.

• Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x.

Utilizando la formula cuadrática.

Se utilizan los coeficientes de la ecuación general y se

remplazan en la formula:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más y menos,

¡así que normalmente hay dos soluciones!

Formula cuadráticaLa parte azul (b2 - 4ac) se

llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:

• si es positivo, hay DOS soluciones• si es cero sólo hay UNA solución,• y si es negativo hay dos soluciones

que incluyen números imaginarios

ACTIVIDAD

En la natación…

En el fútbo

l…

La trayectoria de una pelota que rebota es

una sucesión de parábolas.

Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El

mismo principio se aplica en una antena de radar.

Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales

captadoras de energía solar.

Vértice de la parábolaEl vértice de una parábola es el

punto donde la parábola cruza su eje. Si el coeficiente del término x2 es positivo, el

vértice será el punto más bajo en la gráfica. Si el

coeficiente del término x2 es negativo, el vértice será el

punto más alto en la gráfica.

Vértice.En la forma estándar,

y = ax2 + bx + c,la expresión

da la coordenada en el eje x del vértice (h). Y remplazando este valor de x en

la ecuación obtendremos la coordenada del vértice

en el eje y (k)

Obteniendo las coordenadas del vértice.

(h,k)

Corte con el eje yLa función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale

cero (0):lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la

función.Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

se tiene que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, por los métodos

antes vistos.Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Formula cuadrática

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para

"discriminar" (decidir) los puntos de corte con el eje x.

• Si es positivo, corta al eje en dos lugares.

• Si es cero corta en un solo lugar al eje.• Si es negativo no se corta con el eje x.

Tabular.Luego de haber encontrado la

coordenada del vértice para el eje x (eje de simetría) se puede asignar dos o más

valores a izquierda y derecha de esta coordenada

con el fin de tener otras parejas o puntos que

permitan trazar la grafica con mayor facilidad.

ACTIVIDAD

Todas las parábolas son semejantes, es

únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas

diferentes.

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1,

1/4 y 1/10.

Parábolas verticales, con

ecuaciones de la forma

y=ax²+bx+c.

ACTIVIDAD

1. Resolver cada ecuación por el método de factorización y formula cuadrática, compare sus resultados.

2. Iguale las ecuaciones a cero, utilice el discriminante de la formula cuadratica y determine si la grafica de las ecuaciones corta al eje horizontal en 2, 1 o ningun punto.a)-x 2 + 2x = -3 b) (1 / 2) x 2 + (1 / 3) x = 1 / 6 c) x 2 + 9 = 0 d) - 0,2 x 2 + 2,0 x = + 5,2 e) [3 x 2 + 2x] / 2 = 2

3. Realice la grafica de las ecuaciones utilizando, raíces, punto de corte con el eje vertical, vértice y punto máximo o mínimo.• -x 2 + 2x = -3• x2 – 9x + 20 = 0• X2 – 9 = 0• X2-3x = 0