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para intentar hacer algo diferente
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ECUACIONES DE CAUCHY EVLER
GERMAN EDUARDO ACEVES GOMEZ
11310003
B:209
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER O
ECUACIÓN EQUIDIMENSIONAL
Toda ecuación diferencial lineal de la forma
donde los coeficientes a,,, a,,-1, . , , , ao son constantes, tiene los
nombres de ecuación de CAUCHY
La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado
k = n, n - 1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con
el orden k de la diferenciación, dky/&:
COMO SOLUCIONAR LA ECUACION
Intentaremos una solucion de la forma y =
x”, donde m esta por determinar.
La primera y segunda derivadas
son, respectivamente:
En concecuencia:
Así, y = x” es una solución de la ecuación
diferencial siempre que m sea una soluci6n de la
ecuación auxiliar
HAY TRES CASOS DISTINTOS POR CONSIDERAR QUE DEPENDEN DE SI LAS
RAÍCES DE ESTA ECUACIÓN CUADRÁTICA SON REALES Y DISTINTAS,
REALES REPETIDAS (O IGUALES) O COMPLEJAS.
CASO 1: raíces reales distintas Sean rnl y m2 las raíces reales
de (l), tales que rn1 f m2.
Entonces y, = ~„“1 y ys = x”* forman un conjunto fundamental de
soluciones. Así pues, la solución general es:
EJEMPLO:
SOLUCIÓN En Iugar de memorizar la ecuación (l), para
comprender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de
la ecuación auxiliar y la que obtuvimos en la sección las
primeras veces es preferible suponer que la solucibn es y = xm.
Diferenciamos dos veces
CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS
Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si rnl = mz),
solo llegaremos a una solución, que es y = Xml. Cuando las raíces de
la ecuacion cuadratica
am2 + (b - a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los
coefícientes tiene que ser cero. De acuerdo con la formula cuadrática,
la raíz debe ser rn1 = -(b - a)/2a.
Podemos formar ahora una segunda solución, ~2, empleando (5) de
la sección . Primero escribimos la ecuación de Cauchy-Euler en la
forma
SOLUCIÓN GENERAL
EJEMPLO:
CASO 3: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS
Si las raíces de (1) son el par conjugado ml =
QI + ip, m2 = cx - i,B, donde CY y p > 0 son reales, una solución es
Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como
en el caso de ecuaciones
con coeficientes constantes, conviene formular la solución ~610 en
términos de funciones reales.
Vemos la identidad
ESMERATE
