Dos naturais aos racionais[1]

DIVERSAS FORMAS DE REPRESENTAR OS NÚMEROS.

PROF.: MARIA APARECIDA LOTH MACHADOFUNDAMENTAL I E II

VOCÊ JÁ USOU MUITAS VEZES OS NÚMEROS, MAS SERÁ QUE JÁ PAROU PARA PENSAR SOBRE:

O modo como surgiram os números?

Como foram as primeiras formas de contagem?

Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?

domingo, 12 de setembro de 2010 2



Quanto tem cada um?

Compare com o slide nº 6.




Para representar 332, os egípcios escreviam:

ou seja, 100+100+100+10+10+10+1+1.

Para representar 4569, os egípcios escreviam:ou seja,

1000+1000+1000+1000+100+100+100+100+100+10+10+

+10+10+10+10+1+1+1+1+1+1+1+1+1.

TUDO ISSO ERA FEITO USANDO OS DESENHOS...

IMAGINE QUE TRABALHÃO...(consulte os slides anteriores).


Certamente você já os conhece... Não é mesmo?


Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.

I V X L C D M Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.


Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.

II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30

Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.

IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90

Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.

VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60



Observe que na primeira linha (quadro anterior) o ¨zero¨não aparece. Uma vez que não se podia conceber o nada como um número. A grande invenção dos hindus foi criar um símbolo para o zero em torno de 800 a.C.

O criador desse número é desconhecido pela Ciência. Esse fato contribuiu de forma significativa para a escrita dos números no sistema decimal como hoje conhecemos, visto que esse símbolo representa a ausência de quantidades que ocupa uma determinada ordem.


Nosso sistema de numeração decimal, proveniente da representação hindu, utiliza 10 símbolos (algarismos) para denotar qualquer número que se desejar expressar, por maior que ele seja.

Nosso sistema de numeração decimal é posicional; no número 121, os algarismos 1 ocupam a 1ª ordem e a 3ª ordem, portanto, possuem valores relativos diferentes, 1 e 100.


Nosso sistema de numeração possui uma composição aditiva, assim 123 = 100 + 20+ 3.

O zero é um elemento fundamental importância, por sua causa, diferenciamos 75 de 705 e de 7005.





Quem se lembra da operação de varejo no Brasil antes dos anos 90, quando a tecnologia era “proibida” por aqui, sabe a grandeza que representa a automação comercial. Nos supermercados, por exemplo, o funcionário do caixa procurava a etiqueta de preço de cada item e digitava o valor em sua máquina registradora, fazendo a soma. Muito usual também era ver uma empresa do comércio “fechada para inventário”, visto que o controle era praticamente todo manual e demandava muito tempo, espaço e pessoas. Apenas as lojas menores podiam se dar ao “luxo” de conhecer mais de perto os clientes: anotava-se em sua ficha, ou na caderneta, os produtos comprados e os pagamentos realizados. Neste quadro cabe muito bem a expressão: “isto é coisa do século passado!” Mas lembre-se: faz menos de 15 anos...


Com a (tardia) entrada dos microcomputadores no Brasil, houve uma revolução na administração de varejo. O funcionário do caixa, ao invés de simplesmente somar preços, passou a entrar com o código dos produtos, e o sistema informatizado fazia o resto: totalizava as vendas, dava baixa no estoque, emitia relatórios atualizados, informava a comissão dos vendedores e tudo mais. Foi um enorme salto de produtividade. Mesmo assim, ainda era possível melhorar: ao invés do usuário entrar com os dados, por que não o próprio sistema capturá-lo? É aqui que entra o código de barras, uma tecnologia aplicada a muitas áreas: indústria, comércio, bancos, bibliotecas, hospitais, bancos de sangue, correios, transportes, controles de acesso etc.


Você já observou que todas as embalagens de produtos que consumimos trazem impressos em seus rótulos o código de barra?

Porque será que ele é tão importante? Você já observou em uma embalagem

quantas informações elas trazem? São muitas não é mesmo... Quase todas as informações são

acompanhadas de dados quantitativos,(números).


E as notícias em jornais e revistas, estão sempre trazendo dados informativos acompanhados de números, muitos números...

Os encartes de propagandas, esses sim, são repletos de números... Estão sempre oferecendo vantagens, proporcionando descontos nos preços à vista, parcelamentos diversos, quantidade maior com preço vantajoso em relação a quantidade menor.


Quando o homem percebeu que os números naturais não eram suficientes para indicar partes das coisas inteiras, ou de grupos de coisas, ele necessitou criar novos números: OS RACIONAIS, que podem ser representados na forma fracionária e também na forma decimal.


É comum encontrarmos esses númerosracionais na forma decimal, em embalagensde produtos diversos.

Principalmente quando procuramosinformações nutricionais nos produtos queconsumimos diariamente.

Vejam alguns exemplos:


Montaremos grupos de seis pessoas.

Cada pessoa do grupo deverá trazer duas embalagens de produtos diversos.

Nas próximas aula iremos fazer a leitura dos números que estão nas embalagens.

O que significa cada número.

Quais são as informações, que o consumidor tem com a leitura desses números?

Você acha que essas informações são necessárias e importantes.


O que você acha que deveria ser diferente nas embalagens.

Todas as informações são importantes?

Você observou e comparou o código de barra de alguns produtos. ( volte ao slide 18, para fazer estas comparações).

Monte o relatório do seu grupo, quero disponibilizá-lo aqui.

Se resolver fazer digitado não precisa imprimir, envie para o email da professora: [email protected]








Na régua maior podemos falar inicialmente dos números que estão entre os números “zero e um”. Como iremos representá-los? Use a forma decimal e fracionária.

Num segundo momento, podemos considerar todos os números representados por cada milímetro, entre diversos intervalos, ou seja, por exemplo, entre 0 e 5 cm, ou 0 e 10 ou ainda entre 0 e 30.


Veja arquivo no word, com o tamanho realde exatamente um

“ Metro.”Com o auxilio da Fita

Métrica estaremos trabalhando os

números racionais e submúltiplos do

metros. ( milímetro, centímetro e decímetro ).

A mesma sugestãoFeita no slide

anterior Pode ser usada aqui com a fita

métricaUsando diversos intervalos e ainda

variando as unidades de

medida entre: mm, cm e mm


Reta racionais nº 1



5/10 =1/225/10 =5/2

2/10 4/10 6/10 8/10 10/10 12/10 14/10

45/10= 9/2


Observe que na reta entre 10 e 11, repartimos em cinco partes, surgindoassim, os racionais abaixo, entre eles.

Em seguida a mesma reta foi repartida em DEZ partes, surgindo assim,Novos números racionais entre eles.


10,03



Frações equivalentes. UnijuíAtividade proposta por Ines ( professora da Unijuí )

Roteiro de atividades para o aluno

1) Observe a representação das frações e verifique a sua equivalência.

2) No caderno, faça a simplificação de cada uma delas e agrupe-as de acordo com sua equivalência.

3) De acordo com as observações realizadas, conceitue fração equivalente.


http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/fracaoequi.htm



Roteiro de atividades:1) Observe as figuras dispostas em seqüência e responda:a) O que a parte pintada de cada figura representa?b) A parte pintada é igual em todas as figuras da mesma seqüência ? O que elas representam?c) E as frações que representam cada figura, em cada seqüência , estão escritas todas da mesma forma (iguais)? O que isto significa?


2) Observe a primeira seqüência de figuras e responda:a) A fração 2/3 representa a mesma parte das figuras desta primeira seqüência?

3) Observe a segunda seqüência de figuras e responda:a) A fração ¼ representa a mesma parte das figuras desta segunda seqüência?

4) Observe a terceira seqüência de figuras e respondaa) A fração 1/3 representa a mesma parte das figuras desta terceira seqüência? E a fração 6/24?

5) Após observar as figuras e responder as questões escreva o que você entende por frações equivalentes:


A mesma parte de um inteiro pode ser representada por várias frações. Observe a primeira figura da seqüência e certifique-se se as demais correspondem ou não a mesma parte do inteiro. (são equivalentes).

Observe as representações e responda se são ou não equivalentes.

a) 1/2 e 3/6

b) 1/3 e 5/10

c) 1/4 e 5/20

d) 1/5 e 3/12

e) 4/12 e 5/12


Tiras para frações equivalentes -1

Adição de números fracionários com denominadores diferentes

Subtração com denominadores pares

Subt. com denominadores pares e impares

Multiplicação de frações- 1

Multiplicação de frações -2

Multiplicação de frações -3


http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/tiras/index.html




http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/exer_fracao/soma.htm



http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/fracaocirc5.htm




http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/fracaomult0.htm







http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/exer_fracao/produto_frac.htm



Divisão de frações-1

Divisão de frações -2

Divisão de frações -3

Representação de números fracionários...

ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES...

Adição com denominadores dif.: Unijuí

MULTIPLICAÇÃO de números fracionários...


http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/fracaodiv0.htm






http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/exer_fracao/divide_frac.htm



http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_103_g_2_t_1.html?from=topic_t_1.html



http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/exer_fracao/soma_frac.htm

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/fracoes/exer_fracao/soma_frac.htm


http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/

http://nlvm.usu.edu/es/nav/topic_t_1.html

http://www.google.com.br/images




http://nlvm.usu.edu/es/nav/topic_t_1.html

http://www.google.com.br/images?hl=pt-BR&source=imghp&biw=1012&bih=531&q=N%C3%9AMEROS+NATURAIS&btnG=Pesquisar+imagens&gbv=2&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai

http://www.google.com.br/images?hl=pt-BR&source=imghp&biw=1012&bih=531&q=N%C3%9AMEROS+NATURAIS&btnG=Pesquisar+imagens&gbv=2&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai

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