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1 Seis Sigma Programa de certificación de Black Belts ASQ 8. Diseño de experimentos De Taguchi, Mezclas y Diseño Central Compuesto P. Reyes / Octubre 2003

Diseño taguchi power_point

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Seis Sigma

Programa de certificación de Black Belts ASQ

8. Diseño de experimentos

De Taguchi, Mezclas y Diseño Central Compuesto

P. Reyes / Octubre 2003

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8A6. Diseño de Experimentosde Taguchi

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Diseño de experimentos de Taguchi

Sugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias

De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son:

a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad.

b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.

c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

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DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Taguchi ha propuesto una alternativa no del tododiferente que se que conoce como Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.

La herramienta son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.

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Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes.Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particularesque denominó:

La (b)C

a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas.

Ejemplo : L4

F A C T O R E S (c)No. (a) A B C Resultado

1 1 1 1 Y12 1 2 2 Y23 2 1 1 Y34 2 2 1 Y4

1 , 2 = Niveles de los Factores (b) , Contrastes.

Experimento de 2 niveles y 3 factores por lo que se requieren 4 pruebas . En la matriz se pueden observar los contrastes de cada factor , formando las columnas de los factores ; (1) significa que el factor esta a su nivel bajo (-) y (2) a su nivel alto o de signo (+).

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Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La.

L4L8L12L16L32L64

Número de condiciones experimentales(renglones)lineas o pruebas.

Número de factores o efectos maximoque se pueden analizar y número de columnas

4 812163264

3 711153163

Ejemplo: En un proceso de formación de paneles, una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se cree que 5 factores pueden estar afectando la emisión, éstos son :

Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de resina Tipo I Tipo IIB Concentración 5% 10%C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 segD Humedad 3% 5%E Presión 800 psi. 900 psi.

Descripción

Se desea analizar el efecto de cada factor y proponer las mejores condiciones de operación.En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 factores o efectos, a dos niveles cada

uno. Por lo tanto, se utilizará un arreglo ortogonal L8.

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Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la practica sea más dificil de variar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primeras columnas.

El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:

No. A B C D E e e Resina Concen. Tiempo Humedad Presión Yi1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.492 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.423 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.384 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.305 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.216 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.247 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.328 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28

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Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden a las columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos ser-virán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observaciones tenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dos grados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es:

A1 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 1 = 0.49 + 0.42 + 0.38 + 0.30 = 1.59

A2 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 2 = 0.21 + 0.24 + 0.32 + 0.28 = 1.59

SSA = Suma de cuadrados debido al factor A SSA = (A2 - A1)2 /8 = 0.3645 con 1 g.l

Similarmente :SSB = (B2 - B1)sq/8= 0.00080 con 1g.lSSC = (C2 -C1)sq/8 = 0.01805 con 1g.lSSD = (D2 -D1)sq/8= 0.00320 con 1g.lSSE = (E2 - E1)sq/8= 0.00245 con 1g.lSse1 = (F2 - F1)sq/8= 0.00080 con 1g.l, 1a. Columna de error FSse2 = (G2 -G1)sq/8= 0.00045 con 1g.l 2a. Columna de error G

Las sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones del error, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene:

Sse = SSF + SSG = 0.00080 + 0.00045 = 0.00125 con 2g.l.

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La tabla ANOVA es :

Efecto SS G.L. V Fexp. % Contrib.A 0.03645 1 0.03645 58.32* 57.59B 0.0008 1 0.0008 1.28 0.28C 0.01805 1 0.01805 28.88** 28.01D 0.0032 1 0.0032 5.12 4.14E 0.00245 1 0.00245 3.92 2.93

Error 0.00125 2 0.000625 7.03

Total 0.0622 7 100

* significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51

** significante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio o media. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección.

Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número de grados de libertad).

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En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es :Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = 0.00080 + 0.00320 + 0.00245 + 0.00125 = 0.0077Con , 1 + 1 + 1 + 2 = 5 grados de libertad.Y (Ve) = (Sse) /5 = 0.0077 / 5 = 0.00154

Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = 6.607877Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis.Fc para el factor (A ) = 23.66 y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contra Fcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factoresA y C

Los promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son:

EfectoA A1avg. = A1/4 =0.3975 A2avg. = A2/4 =0.2625B B1avg =0.3400 B2avg =0.3200C C1avg =0.3775 C2avg =0.2825D D1avg =0.3500 D2avg =0.3100E E1avg =0.3475 E2avg =0.3125

Nivel 1 Nivel 2

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El promedio global es _Y = (0.3975+ 0.34+ 0.3775+ 0.35 + 0.3475+ 0.2625+ 0.32+ 0.31+0.3125)/ 10 = 0.33

Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimice la emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. El resto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidad dentro del intervalo analizado

¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es: EF A = A2 - Y = 0.2665 - 0.33 = -0.06435EF C = C2 - Y= 0.2825 - 0.33 = -0.0475

Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 es

EF A + EF C + Y = -0.0635 - 0.0475 + 0.33 = 0.219

Diseños de experimentos - Taguchi

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Si las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra prueba bajo las mismas condiciones se le conoce como “Replica”. Taguchi considera dos tipos de error aleatorio con lecturas multiples:

Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones de experimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo que hace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones de experimentación.

Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadas bajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura no es posible evaluar el error secundario.

1 2 3

Lecturas

Diseños de Taguchi

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Ejemplo: Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg. Se puede ver afectado por cinco factores que son:

Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de lubricante Tipo I Tipo IIB Tipo de corte Continuo IntermitenteC Angulo de corte (en grados) 25° 35°D Velocidad de corte (r.p.m.) 100% 1200%E Avance (cm/min) 1 1.5

Descripción

Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por lo tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas .

TotalNo. A B C D E F G 1 2 3 Resultados

1 1 1 1 1 1 1 1 15 17 18 502 1 1 1 2 2 2 2 16 15 15 463 1 2 2 1 1 2 2 22 21 24 674 1 2 2 2 2 1 1 18 20 18 565 2 1 2 1 2 1 2 25 24 22 716 2 1 2 2 1 2 1 23 27 20 707 2 2 1 1 2 2 1 19 17 16 528 2 2 1 2 1 1 2 17 16 18 51

Total 463

Resultados

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La suma de cuadrados del total es:

SST = Yi2 - T2 / n

donde Yi2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado.

n es el número de lecturas y T es el total de las Yi’s. Para este caso : 2 2 2 2 2 2 2

SST = 15 + 17 + 18 +…………..17 + 16 + 18 - 463/24

SST = 278.9584 con 24 - 1 grados de libertad.

El error secundario se calcula individualmente

Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / ni

Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene:

Sse2 = 15*15 + 17*17 + 18*18 - (15 + 17 + 18)2 / 3 = 4.6666

Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente.

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1 4.66672 0.66673 4.66674 2.66675 4.66676 24.66677 4.66678 2.000

Condición SSe2

El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?.SSe1 = SSeF + SSeG

SSe1 = 4.08334 con 2 grados de libertad

La suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce. SSA = (A2 -A1)2 / n y así sucesivamente para todas las columnas,SSA = 26.04167, SSB = 5.04167……...

Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de los efectos es igual a la suma de cuadrados total 278.9586.

Total SSe2 = 48.669

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Reglas de Análisis: 1.-Antes de la ANOVA el primer críterio es probar el error 1 e1 vs. el error 2 e2. Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio “e”, contra el que se prueban todos los demás factores.2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el. 3.- Realizar la ANOVA.

Prueba de e1 vs e2Fexp = e1/e2 = 4.08334/2 / 48.666/16Fexp para e1 = 0.6712 con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador.

El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo tanto los errores se suman 4.08334 + 48.6667 = 52.7500

Efecto SS G.L. V Fexp.A 26.0417 1 26.0417 8.8863B 5.0417 1 5.0417 1.7204C 176.0417 1 176.0417 60.0711D 12.0417 1 12.0417 4.1090E 7.0417 1 7.0417 2.4028

Error 52.7500 18 2.93060

Total 278.9583 23.0000

La tabla ANOVA queda como:

Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41, sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte

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Nota: Sí las lecturas provienen de “Replicas”, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por lo que se adicionan sin más tramites.

Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es significante.

Arreglos con Interacciones.

Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de que interactuen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasa a ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor.Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales.

Gráficas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de un arreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño del experimento y evitar patrones indeseables de confusión.

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Columna 1 2 3 4 5 6 7Col (1) 3 2 5 4 7 6

Col (2) 1 6 7 4 5Col (3) 7 6* 5 4

Col (4) 1 2 3Col (5) 3 2

Col (6) 1Col (7)

1

3 5 . 7

2 6 4

2

3

51 4

6

7

A

B

C

Gráficas lineales para el arreglo ortogonal L8

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A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior del triangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, la interacción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6.

B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3, 5 y 6.

C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y las interacciones en las lineas 3, 5 y 6.

1 2 3 4 5 6 7No. A B AXB D AxD AxC G

1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2

El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8.

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Método Taguchi - Pasos Definir factores y niveles

Factores de control (que se controlarán – arreglo interno)

Factores de ruido (no se quieren o pueden controlar pero se controlan durante el experimento – arreglo externo)

Crear diseño de experimentos ortogonal de Taguchi

Analizar el diseño de experimentos de Taguchi

Predecir la respuesta con los niveles seleccionados

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Método Taguchi – Crear Diseño Usar Stat / DOE / Taguchi / Create Taguchi Design para

crear el diseño ortogonal de Taguchi 2 level Design, Number of factors (2 a 7) - 3

Designs L8

Factors (opcional para cambiar nombres de factores y niveles; Assign columns of the array as specified below)

Options Store designs in worksheet

Ingresar al menos dos columnas de respuestas

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A B C Resp1 Resp2

1 1 1 19.0 16.0

1 1 1 18.4 18.0

1 2 2 17.5 17.0

1 2 2 18.6 17.5

2 1 2 19.3 17.0

2 1 2 19.1 18.5

2 2 1 18.4 16.0

2 2 1 17.0 16.5

Arreglo

Interno

Arreglo Externo

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Método Taguchi – Analizar Diseño Usar Stat / DOE / Taguchi / Analize Taguchi Design para

analizar los resultados Response Data are in (al menos dos columnas de

respuestas) En Graphs seleccionar Signal to Noise Ratios, Means,

Estándar Deviations, Interaction Plots (pasar con >>) Display Interactions in Matrix o Separate Graph En Tables seleccionar Signal to Noise Ratios, Means,

Estándar Deviations En Options seleccionar Mayor es mejor, Nominal es

mejor o Menor es mejor para las relaciones Señal / Ruido, para que en estas gráficas S/N se seleccionen los niveles que maximicen la respuesta (para minimizar la variabilidad)

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Response Table for Signal to Noise Ratios

Larger is better

Level A B C

1 24.9490 25.1379 24.7692

2 24.9302 24.7412 25.1099

Delta 0.0188 0.3967 0.3408

Rank 3 1 2

Response Table for Means

Level A B C

1 17.750 18.1625 17.4125

2 17.725 17.3125 18.0625

Delta 0.025 0.8500 0.6500

Rank 3 1 2

Response Table for Standard Deviations

Level A B C

1 0.98789 1.17022 1.16700

2 1.03722 0.85489 0.85810

Delta 0.04933 0.31533 0.30890

Rank 3 1 2

Page 25: Diseño taguchi power_point

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CBA25.15

25.05

24.95

24.85

24.75

S/N

Rat

io

Main Effects Plot for S/N Ratios

CBA18.2

18.0

17.8

17.6

17.4

Mea

n

Main Effects Plot for Means

CBA1.17

1.09

1.01

0.93

0.85

StD

ev

Main Effects Plot for Standard Deviations

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Método Taguchi – Predicción de respuestas Usar Stat / DOE / Taguchi / Predict Taguchi Results para

predecir las respuestas en base a niveles de factores seleccionados como óptimos

Seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations

En Terms pasar todos los términos con >>

En Levels seleccionar Uncoded units (valores reales) o Coded units (1 y 2) y Select levels from a list (niveles usados

OK, se mostrarán las respuestas estimadas por concepto

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Diseños de experimentos con Mezclas

Las proporciones de los componentes debe sumar la unidad

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8A8. Diseños de mezclas Los factores independientes son proporciones

de diferentes componentes de una mezcla

Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide

Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos

Page 29: Diseño taguchi power_point

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8A8. Diseños de mezclas Un diseño de estructura Simplex para q

componentes cuya proporción puede tomar los niveles m+1 igualmente espaciados entre 0 y 1

Xi = 0, 1/m, 2/m, ...., 1 para i = 1, 2, ..., q

Para una mezcla de q = 3 componentes donde el número de niveles igualmente espaciados para cada componente es m + 1 = 4 (X1 = 0, 0.333, 0.666, 1)

Las mezclas posibles con los 3 componentes es:

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Aumento de puntosMinitab augments (or adds points to) the design using the axial points shown below. Each added point is half way

between a vertex and the center of the design.

( (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q )

( 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, …, 1/2q )

. . . . . . . . . . . . . .

( 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, (q+1)/2q )

By augmenting a design, you can get a better picture of what happens on the interior of the design, instead of just

relying on points on the edges.

Page 31: Diseño taguchi power_point

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8A8. Diseños de mezclas X1 X2 X3 Rendimiento

0 0 10 0.333 0.6670 0.667 0.3330 1 00.333 0 0.6670.333 0.333 0.3330.333 0.667 00.667 0 0.3330.667 0.333 01 0 0

X2

Page 32: Diseño taguchi power_point

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8A8. Diseños de mezclas Las ecuaciones de la restricción y del modelo

lineal son:

1 2 3

1

( 1)!

!( 1)!

1

( )q

i ii

q mPuntos

m q

X X X

E Y X

Page 33: Diseño taguchi power_point

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8A8. Diseños de mezclas Ejemplo: Se tienen 3 componentes y m=2 niveles,

X1=polietileno, X2=Poliestireno, X3=polipropileno mezclados para formar fibras, de las cuales se mide la elongación en dos réplicas

X1 X2 X3 Rendimiento0 0 1 16.8, 160 0 0.5 10.0, 9.7, 11.80 1 0 8.8, 10.00.5 0 0.5 17.7, 16.4, 16.60.5 0.5 0 15.0, 14.8, 16.11 0 0 11.0, 12.4

X2

Page 34: Diseño taguchi power_point

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Corrida con Minitab

Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex lattice > Designs

Generates settings for the components in an experiment with a simplex lattice design. You can

· choose the degree of a simplex lattice design

· add a center point or axial points to the interior of the design (added by default)

· replicate the design

Dialog box items

Degree of lattice: Choose a degree for your design from the drop-down list. Augument the design with center points: Check to add a center point to the design.

Augument the design with axial points: Check to add axial points to design. See Placement of axial points in augmented designs.

Replicate Design Points:

Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates.

Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design enter the number of replicates for each point type.

Page 35: Diseño taguchi power_point

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Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex centroid > Designs

Generates settings for the components in an experiment with a simplex centroid design. You can

· add axial points to the interior of the design (by default, Minitab adds )

· replicate the design

Dialog box items

Augment the design with axial points: Check to augment (or adds points to) the base design. See Placement of axial points in augmented designs.

Replicate Design Points

Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates.

Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design. Then, under Number, enter the number of replicates for each point type.

Page 36: Diseño taguchi power_point

36

Corrida en Minitab para el ejemplo Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design Simplex Lattice No of components 3 En Designs:

Degree of Lattice 2 No augment design with center points or axial

points No of replicates of the selected type of points

1 Vertex 2 2 Double Blend 3

En Options quitar Randomize runs OK

Page 37: Diseño taguchi power_point

37

Corrida en Minitab para el ejemplo

Introducir las respuestas de la elongación de la fibra en función de la mezcla de los 3 componentes X1, X2 y X3

A B C Elongación

1.0 0.0 0.0 11.0

0.5 0.5 0.0 15.0

0.5 0.0 0.5 17.7

0.0 1.0 0.0 8.8

0.0 0.5 0.5 10.0

0.0 0.0 1.0 16.0

1.0 0.0 0.0 12.4

0.0 1.0 0.0 10.0

0.0 0.0 1.0 16.8

0.5 0.5 0.0 14.8

0.5 0.5 0.0 16.1

0.5 0.0 0.5 16.4

0.5 0.0 0.5 16.6

0.0 0.5 0.5 9.7

0.0 0.5 0.5 11.8

Page 38: Diseño taguchi power_point

38

Analizar resultados en Minitab Stat > DOE > Mixture > Simplex Design Plot

1.0

0.01.0

0.0

1.0

0.0

CB

A

Simplex Design Plot in Amounts

Page 39: Diseño taguchi power_point

39

Analizar resultados con Minitab Stat > DOE > Mixture > Analyze mixture

design Responses – Elongation OK En Graphs Normal Plot – ver adecuación del

modelo

Page 40: Diseño taguchi power_point

40

Regression for Mixtures: Elongación versus A, B, C

Estimated Regression Coefficients for Elongación (component proportions)

Term Coef SE Coef T P VIF

A 11.700 0.6037 * * 1.750

B 9.400 0.6037 * * 1.750

C 16.400 0.6037 * * 1.750 SINERGIA

A*B 19.000 2.6082 7.28 0.000 1.750 ANTAGONICO

A*C 11.400 2.6082 4.37 0.002 1.750

B*C -9.600 2.6082 -3.68 0.005 1.750

S = 0.85375 PRESS = 18.295

R-Sq = 95.14% R-Sq(pred) = 86.43% R-Sq(adj) = 92.43%

Analysis of Variance for Elongación (component proportions)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Regression 5 128.296 128.2960 25.6592 35.20 0.000

Linear 2 57.629 50.9200 25.4600 34.93 0.000

Quadratic 3 70.667 70.6669 23.5556 32.32 0.000

Residual Error 9 6.560 6.5600 0.7289

Total 14 134.856

Page 41: Diseño taguchi power_point

41

8A8. Análisis del diseño Simplex

Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, C

Est. Regression Coefficients for Resp (component proportions)

Y=11.7X1+9.4X2+16.4 X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3

Term Coef SE Coef T P VIF

A 11.70 0.4941 * * 1.500

B 9.40 0.4941 * * 1.500

C 16.40 0.4941 * * 1.500

A*B 17.40 2.4207 7.19 0.000 1.500

A*C 12.00 2.4207 4.96 0.003 1.500

B*C -12.20 2.4207 -5.04 0.002 1.500

S = 0.69881 PRESS = 11.720

R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 95.31%

Page 42: Diseño taguchi power_point

42

8A8. Análisis del diseño Simplex Como b3 > b1 > b2 se concluye que el

componente 3 produce la mayor elongación

Como b12 y b13 son positivos la mezcla de componentes 1 y 2 así como 2 y 3 aumenta la elongación

Como b23 es negativo la mezcla de los componentes 2 y 3 tiene efectos antagónicos en la mezcla

Page 43: Diseño taguchi power_point

43

Análisis con Minitab – Trace Plot

Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot

A response trace plot (also called a component effects plot) shows the effect of each component on the response. Several response traces, which are a series of predictions from the fitted model, are plotted along a component direction. The trace curves show the effect of changing the corresponding component along an imaginary line (direction) connecting the reference blend to the vertex.

Each component in the mixture has a corresponding trace direction. The points along a trace direction of a component are connected thereby producing as many curves as there are components in the mixture.

Response trace plots are especially useful when there are more than three components in the mixture and the complete response surface cannot be visualized on a contour or surface plot. You can use the response trace plot to identify the most influential components and then use them for a contour or surface plot.

Page 44: Diseño taguchi power_point

44

Análisis con Minitab – Trace Plot

Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot

Response -- Elongation

A B

C

0.50.0-0.5

17

16

15

14

13

12

11

10

9

deviation from reference blend in proportion

Fitt

ed E

lon

gac

i

Cox Response Trace Plot

Page 45: Diseño taguchi power_point

45

Análisis con Minitab – Gráfica de contornos Stat > DOE

> Mixture > Contour plot

Setup OK

0.0

1.0

0.0

1.0

0.0

1.0

10.011.2

12.4 13.6

14.8

16.017.2

A

B C

Mixture Contour Plot of Elongaci

Page 46: Diseño taguchi power_point

46

Análisis con Minitab – Contornos restringidos

Stat > DOE > Mixture > Overlaid Contour plot

Response --Elongation

Contours Low Limit 12

High Limit 14 OK 0.0

1.0

0.0

1.0

0.0

1.0

A

B C

Contour Plot of Elongación

Elongación 1214

Lower BoundUpper Bound

feasible regionWhite area:

Page 47: Diseño taguchi power_point

47

Análisis con Minitab - Optimización Stat > DOE > Mixture > Response optimizer Indicar en Response – Elongation

En Setup indicar los valores de la respuesta óptima: Lower 10 Target 15 Upper 20

En Options indicar los valores iniciales de las variables A = 0.3 B = 0.3 C = 0.4 La suma debe dar la Unidad OK

Page 48: Diseño taguchi power_point

48

Salida del Optimizador Minitab

Hi

Lo1.0000D

Optimal

Cur

d = 1.0000

Targ: 15.0

Elongaci

y = 15.0

0.0

1.0

0.0

1.0

0.0

1.0000[ ]:B [ ]:C[ ]:A

[0.30] [0.2692] [0.4308]

Page 49: Diseño taguchi power_point

49

Ejemplo con Diseño centroide

Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design

Simplex Centroid 3 Components Augment Axial

Points No Replicates: 1 Vertex 2 2 Double Blend 1 0 Center points 2 -1 Axial point 1

OK OK

A B C Ymillas/galón

1.00000 0.00000 0.00000 24.5

0.00000 1.00000 0.00000 24.8

0.00000 0.00000 1.00000 22.7

0.50000 0.50000 0.00000 25.1

0.50000 0.00000 0.50000 24.3

0.00000 0.50000 0.50000 23.5

0.33333 0.33333 0.33333 24.8

0.66667 0.16667 0.16667 24.2

0.16667 0.66667 0.16667 23.9

0.16667 0.16667 0.66667 23.7

1.00000 0.00000 0.00000 25.1

0.00000 1.00000 0.00000 23.9

0.00000 0.00000 1.00000 23.6

0.33333 0.33333 0.33333 24.1

Page 50: Diseño taguchi power_point

50

Simplex Design Plot

1.0

0.01.0

0.0

1.0

0.0

CB

A

Simplex Design Plot in Amounts

Page 51: Diseño taguchi power_point

51

Ecuación de regresiónEstimated Regression Coefficients for Ymillas/ga (component proportions)

Term Coef SE Coef T P VIF

A 24.744 0.3225 * * 1.548

B 24.311 0.3225 * * 1.548

C 23.178 0.3225 * * 1.548

A*B 1.514 1.8168 0.83 0.429 1.718

A*C 1.114 1.8168 0.61 0.557 1.718

B*C -1.086 1.8168 -0.60 0.566 1.718

S = 0.46528 PRESS = 5.2730

R-Sq = 70.91% R-Sq(pred) = 11.44% R-Sq(adj) = 52.74%

Page 52: Diseño taguchi power_point

52

Response Surface plot

A B

C

0.50.0-0.5

25

24

23

deviation from reference blend in proportion

Fitt

ed Y

mill

as/

Cox Response Trace Plot

Page 53: Diseño taguchi power_point

53

Gráfica de contornos

1.0

0.01.0

0.0

1.0

0.0

23.40

23.65 23.90 24.15

24.40 24.65 24.90

CB

A

Mixture Contour Plot of Ymillas/

Page 54: Diseño taguchi power_point

54

Salida del optimizador

Hi

Lo1.0000D

Optimal

Cur

d = 1.0000

Targ: 24.0

Ymillas/

y = 24.0

0.0

1.0

0.0

1.0

0.0

1.0[ ]:B [ ]:C[ ]:A

[0.30] [0.1738] [0.5262]

Page 55: Diseño taguchi power_point

55

8B1. Diseños de superficie de respuesta

Page 56: Diseño taguchi power_point

56

8B1. Superficie de respuesta Un modelo de primer orden es el siguiente:

Su gráfica de contornos son líneas rectas que nos permiten seguir experimentando en la trayectoria de ascenso rápido, perpendicular a los contornos

kk xxxy ...22110

Page 57: Diseño taguchi power_point

57

9B1. Trayectoria de ascenso rápido

Orig.+8 8 3.36 75 173 70.4

Orig.+9 9 3.78 80 175 77.6

Orig.+10

10 4.20 85 177

Orig.+11

11 4.62 90 179 76.2

Orig.+12

12 5.04 95 181 75.1

80.3

Page 58: Diseño taguchi power_point

58

8B1. Trayectoria de ascenso rápido

Respuesta

Pasos

Page 59: Diseño taguchi power_point

59

8B2. Superficie de respuesta Si en la prueba de ANOVA el modelo presenta

curvatura significativa entonces el modelo a aplicar es:

k

jjiij

k

i

k

iiii

k

iii XXXXY

2

1

11

2

10

Page 60: Diseño taguchi power_point

60

8B2. Diseño central compuesto

  Puntos axiales en 1.414

Réplicas en (0,0) para el error puro

Page 61: Diseño taguchi power_point

61

8B2. Diseño central compuesto

  del Proceso   codificadas   Rendimiento

Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y2

1 80 170 -1 -1 76.5

2 80 180 -1 1 77.0

3 90 170 1 -1 78.0

4 90 180 1 1 79.5

5 85 175 0 0 79.9

6 85 175 0 0 80.3

7 85 175 0 0 80.0

89

8585 175

175

00

00

79.779.8

10111213

92.0777.93

8585

175175

182.07167.93

1.414-1.414

00

00

1.414-1.414

78.475.678.577.0

Page 62: Diseño taguchi power_point

62

8B2. Diseño central compuesto

Estimated Regression Coefficients for Y  Term Coef SE Coef T PConstant 79.940 0.11896 671.997 0.000A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif.B 0.515 0.09405 5.478 0.001A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000 Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000

Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000

Page 63: Diseño taguchi power_point

63

8B2. Diseño central compuesto La ecuación de regresión de la superficie de

respuesta es:

Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B –1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB

Con las ecuaciones de la página siguiente el punto máximo óptimo queda en X1 = 0.389 y X2 = 0.306 Con una respuesta estimada Yest = 80.21

Page 64: Diseño taguchi power_point

64

8B2. Diseño central compuesto 

1

2

1

2

11 12 1

12 22 2

1

...

ˆ

ˆ 0.995

0.515...

ˆ

ˆ ˆ ˆ, / 2,..., / 2

ˆ ˆ ˆ 1.376,0.1250/ 2, ,.... / 2

0.1250, 1.001

ˆ. ,

01 1

2 2

k

k

k

k

kk

s

x

xx

x

b

matriz simetrica

x B b

B

0

.7345, 0.0917 0.995 0.389

0.0917, 1.006 0.515 0.306

1ˆˆ2s sy x b

Page 65: Diseño taguchi power_point

65

8B2. Diseño central compuesto 

75 76

77 78

79 80

10-1

1

0

-1

A

B

Contour Plot of Y

1.51.0

0.50.0

-1.5

73.5

B

74.5

-1.0

75.5

76.5

77.5

-0.5-0.5

78.5

79.5

80.5

0.0-1.0

0.5

Y

1.0-1.5

1.5A

Surface Plot of Y

Localización del punto óptimo