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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 -‐ C.P. 40002 -‐ Segovia -‐ Tlfns. 921 43 67 61 -‐ Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Dinámica y Energía en bucles
La velocidad de un cuerpo en un bucle es, en todos sus puntos, tangente a la superficie. Como la normal será siempre igual a la fuerza que haga el móvil sobre la superficie:
𝑁 = 𝐹! + 𝑃!
Cuando la normal se anule 𝑁 = 0 𝑁, el cuerpo dejará de estar en contacto con la superficie, impidiendo de esta manera que pueda completar el giro completo. No obstante, podemos diferenciar dos zonas dentro del bucle en función del ángulo en el que se encuentre el móvil.
MITAD INFERIOR
La ecuación que rige la dinámica del cuerpo en esta mitad es 𝑁 = 𝐹! + 𝑃!, en la cual 𝑃! ≥ 0:
• El ángulo 𝜙 estará comprendido entre 0o y 90o, o bien entre 270o y 360o. • En estos intervalos siempre se cumple: cos𝜙 ≥ 0. • Como 𝑃! = 𝑚𝑔 cos𝜙 ⟹ 𝑃! ≥ 0.
Por lo tanto, en este tramo, la normal jamás se anulará y el cuerpo no puede salir despedido. (Imagen 1)
MITAD SUPERIOR
Aquí la ecuación que rige la dinámica del cuerpo es 𝑁 = 𝐹! + 𝑃!, pero 𝑃! ≤ 0:
• El ángulo 𝜙 estará comprendido entre 90o y 270o.
• En estos intervalos siempre se cumple: cos𝜙 ≤ 0.
• Como 𝑃! = 𝑚𝑔 cos𝜙 ⟹ 𝑃! ≤ 0.
En este caso sí puede anularse la normal, provocando que el móvil salga volando (Imagen 2).
Imagen 1
Imagen 2
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 -‐ C.P. 40002 -‐ Segovia -‐ Tlfns. 921 43 67 61 -‐ Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Para cualquiera de los dos casos encontramos la misma expresión. Sustituimos las expresiones de la fuerza centrífuga y de la componente perpendicular del peso:
𝑁 = 𝑚𝑣!
𝑅+𝑚𝑔 cos𝜙
Si queremos que el cuerpo complete el bucle, la condición mínima es que 𝑁! ≥ 0 𝑁. Es decir, que la normal se anule en el punto más alto del bucle. (Imagen 3). Para ello, la velocidad mínima que tiene que llevar en ese punto será:
𝑚𝑣!"#!
𝑅= −𝑚𝑔 cos 180°
𝑣!"#!
𝑅= 𝑔 ⟹ 𝒗𝒎𝒊𝒏 = 𝒈 ·𝑹
Por otro lado, aplicamos el principio de conservación de la energía para comparar las velocidades entre el punto más alto y el punto más bajo del bucle:
𝐸! = 𝐸!
𝐸!" = 𝐸!" + 𝐸!"
12𝑚𝑣!! =
12𝑚𝑣!! +𝑚𝑔ℎ
Simplificando la masa, multiplicando por dos a toda la ecuación y sustituyendo 𝑣! = 𝑣!"# y ℎ = 2𝑅 obtenemos:
𝑣!! = 𝑣!"#! + 2 · 𝑔 · 2𝑅
𝑣!! = 𝑔𝑅 + 4𝑔𝑅 = 5𝑔𝑅
TODO ESTO SIN TENER EN CUENTA EL ROZAMIENTO. PODRÍA PARECER SENCILLO INCORPORARLO A NUESTRO PROBLEMA:
𝑭𝑹 = 𝝁 · 𝑵 ⟹ 𝑭𝑹 = 𝝁𝒎 ·𝒗𝟐
𝑹− 𝒈
SIN EMBARGO ES BASTANTE MÁS COMPLICADO, YA QUE EL ROZAMIENTO AFECTARÍA AL PROBLEMA DE ESTE MODO:
1. El rozamiento disminuye la velocidad. 2. El descenso de velocidad disminuye la fuerza centrípeta. 3. Como disminuye la fuerza centrípeta también disminuye la normal. 4. Al disminuir la normal, disminuye la fuerza de rozamiento.
Imagen 3