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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino de la Piedad, 8 C.P. 40002 Segovia Tlfns. 921 43 67 61 Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected] Dinámica y Energía en bucles La velocidad de un cuerpo en un bucle es, en todos sus puntos, tangente a la superficie. Como la normal será siempre igual a la fuerza que haga el móvil sobre la superficie: = ! + ! Cuando la normal se anule = 0 , el cuerpo dejará de estar en contacto con la superficie, impidiendo de esta manera que pueda completar el giro completo. No obstante, podemos diferenciar dos zonas dentro del bucle en función del ángulo en el que se encuentre el móvil. MITAD INFERIOR La ecuación que rige la dinámica del cuerpo en esta mitad es = ! + ! , en la cual ! 0: El ángulo estará comprendido entre 0 o y 90 o , o bien entre 270 o y 360 o . En estos intervalos siempre se cumple: cos 0. Como ! = cos ! 0. Por lo tanto, en este tramo, la normal jamás se anulará y el cuerpo no puede salir despedido. (Imagen 1) MITAD SUPERIOR Aquí la ecuación que rige la dinámica del cuerpo es = ! + ! , pero ! 0: El ángulo estará comprendido entre 90 o y 270 o . En estos intervalos siempre se cumple: cos 0. Como ! = cos ! 0. En este caso puede anularse la normal, provocando que el móvil salga volando (Imagen 2). Imagen 1 Imagen 2

Dinámica en bucles

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         Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47  www.maristassegovia.org  |  [email protected]  

   

Dinámica  y  Energía  en  bucles    

 La   velocidad   de   un   cuerpo   en   un   bucle   es,   en   todos   sus  puntos,   tangente   a   la   superficie.   Como   la   normal   será  siempre   igual   a   la   fuerza   que   haga   el   móvil   sobre   la  superficie:  

𝑁 = 𝐹! + 𝑃!  

Cuando   la   normal   se   anule  𝑁 = 0  𝑁,   el   cuerpo   dejará   de  estar   en   contacto   con   la   superficie,   impidiendo   de   esta  manera  que  pueda  completar  el  giro  completo.  No  obstante,  podemos  diferenciar  dos  zonas  dentro  del  bucle  en  función  del  ángulo  en  el  que  se  encuentre  el  móvil.    

 

MITAD  INFERIOR  

La  ecuación  que  rige  la  dinámica  del  cuerpo  en  esta  mitad  es  𝑁 = 𝐹! + 𝑃!,  en  la  cual  𝑃! ≥ 0:  

• El  ángulo  𝜙  estará  comprendido  entre  0o  y  90o,  o  bien  entre  270o  y  360o.  • En  estos  intervalos  siempre  se  cumple:  cos𝜙 ≥ 0.  • Como  𝑃! = 𝑚𝑔 cos𝜙    ⟹    𝑃! ≥ 0.  

 Por  lo  tanto,  en  este  tramo,  la  normal  jamás  se  anulará  y  el  cuerpo  no  puede  salir  despedido.  (Imagen  1)    

MITAD  SUPERIOR    

Aquí   la   ecuación   que   rige   la   dinámica   del   cuerpo  es  𝑁 = 𝐹! + 𝑃!,  pero  𝑃! ≤ 0:  

• El  ángulo  𝜙  estará  comprendido  entre  90o  y  270o.  

• En   estos   intervalos   siempre   se   cumple:  cos𝜙 ≤ 0.  

• Como  𝑃! = 𝑚𝑔 cos𝜙    ⟹    𝑃! ≤ 0.  

En   este   caso   sí   puede   anularse   la   normal,  provocando   que   el   móvil   salga   volando                (Imagen  2).    

 

 

Imagen  1  

Imagen  2  

         Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

Camino  de  la  Piedad,  8  -­‐  C.P.  40002    -­‐    Segovia    -­‐    Tlfns.  921  43  67  61  -­‐    Fax:  921  44  34  47  www.maristassegovia.org  |  [email protected]  

 Para   cualquiera   de   los   dos   casos   encontramos   la   misma   expresión.   Sustituimos   las   expresiones   de   la   fuerza  centrífuga  y  de  la  componente  perpendicular  del  peso:  

𝑁 = 𝑚𝑣!

𝑅+𝑚𝑔 cos𝜙  

Si  queremos  que  el  cuerpo  complete  el  bucle,  la  condición  mínima  es  que  𝑁! ≥ 0  𝑁.  Es  decir,  que  la  normal  se  anule  en  el  punto  más  alto  del  bucle.  (Imagen  3).  Para  ello,  la  velocidad  mínima  que  tiene  que  llevar  en  ese  punto  será:  

𝑚𝑣!"#!

𝑅= −𝑚𝑔 cos 180°  

𝑣!"#!

𝑅= 𝑔    ⟹    𝒗𝒎𝒊𝒏 = 𝒈 ·𝑹  

Por   otro   lado,   aplicamos   el   principio   de   conservación   de   la   energía   para  comparar   las   velocidades  entre  el   punto  más  alto   y   el   punto  más  bajo  del  bucle:  

𝐸! = 𝐸!  

𝐸!" = 𝐸!" + 𝐸!"  

12𝑚𝑣!! =

12𝑚𝑣!! +𝑚𝑔ℎ  

Simplificando   la   masa,   multiplicando   por   dos   a   toda   la   ecuación   y  sustituyendo  𝑣! = 𝑣!"#  y  ℎ = 2𝑅  obtenemos:  

𝑣!! = 𝑣!"#! + 2 · 𝑔 · 2𝑅  

𝑣!! = 𝑔𝑅 + 4𝑔𝑅 = 5𝑔𝑅  

 

TODO   ESTO   SIN   TENER   EN   CUENTA   EL   ROZAMIENTO.   PODRÍA   PARECER   SENCILLO   INCORPORARLO   A   NUESTRO  PROBLEMA:  

𝑭𝑹 = 𝝁 · 𝑵    ⟹    𝑭𝑹 = 𝝁𝒎 ·𝒗𝟐

𝑹− 𝒈  

SIN   EMBARGO   ES   BASTANTE  MÁS   COMPLICADO,   YA   QUE   EL   ROZAMIENTO   AFECTARÍA   AL   PROBLEMA   DE   ESTE  MODO:  

1. El  rozamiento  disminuye  la  velocidad.  2. El  descenso  de  velocidad  disminuye  la  fuerza  centrípeta.  3. Como  disminuye  la  fuerza  centrípeta  también  disminuye  la  normal.  4. Al  disminuir  la  normal,  disminuye  la  fuerza  de  rozamiento.  

Imagen  3