Click here to load reader

Culegere probleme gimnaziu

  • View
    23.057

  • Download
    23

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Text of Culegere probleme gimnaziu

  • 1. ADRIAN STAN Dreptul de copyright:Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului
  • 2. Refereni tiinifici:Prof. gr. I Mnzal Iorgu - inspector de matematic Inspectoratul colar Judeean BuzuProf. gr. I Stanciu Neculai director Grupul colar Tehnic Sf. Mc. SAVA, Berca 2
  • 3. BREVIAR TEORETIC DIVIZIBILITATERelaia de divizibilitate: a b (sau ba) c N respectiv Z astfel nct a=bc. (a se divide cu b) sau (a este divizibil cu b) sau ( b divide pe a) Proprieti:1. aa , a Z *2. 1a, a Z3. ab, bc ac, a, b Z *4. da,db da+b sau da-b5. ab, ba a=b , a, b Z *6. da dabc7. ad, bd abd, dac a i b sunt prime ntre ele.Descompunerea n factori primi:n = p1 1 p 2 p3 ......... p k k N a a2 a3 aNumrul divizorilor lui n N este:N= (a 1 + 1 )(a 2 + 1 )........ (a k + 1 ) .Numrul divizorilor lui n Z este: N=2NNumere prime Numim numr prim orice numr natural mai mare dect 1,care are numai divizori improprii-adic pe 1 i pe el nsui.Criterii de divizibilitate: 3
  • 4. Criteriul de divizibilitate cu 2Un numr este divizibil cu 2 dac ultima sa cifr este par. Numerelecare sunt divizibile cu 2 se numesc numere pare.Criteriul de divizibilitate cu 5Un numr este divizibil cu 5 dac ultima sa cifr este 0 sau 5.Criteriul de divizibilitate cu 4Un numr este divizibil cu 4, dac numrul format de ultimele sale 2cifre este divizibil cu 4.Criteriul de divizibilitate cu 8Un numr este divizibil cu 8, atunci cnd n umrul format deultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.Criteriul de divizibilitate cu 25Un numr este divizibil cu 25, dac numrul format de ultimele sale2 cifre este divizibil cu 25, adic dac ultimele sale 2 cifresunt:00;25;50; 75.Criteriul de divizibilitate cu 125Un numr este divizibil cu 125, dac numrul format de ultimele sale3 cifre este divizibil cu 125.Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10Un numr este divizibil cu o putere a lui 10, dac ultimele sale ncifre sunt zerouri.Criteriul de divizibilitate cu 3Un nr.este divizibil cu 3, dac suma cifrelor sale este un numrdivizibil cu 3.Criteriul de divizibilitate cu 9Un numr este divizibil cu 9, daca suma cifrelor sale este divizibilcu 9.Criteriul de divizibilitate cu 6Un numr este divizibil cu 6, dac este divizibil cu 2 i cu 3.Criteriul de divizibilitate cu 15Un numr este divizibil cu 15, dac este divizibil cu 5 si cu 3.Criteriul de divizibilitate cu 11Un numr este divizibil cu 11, dac diferena dintre suma cifrelorsituate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare esteun numr divizibil cu 11.Teorema mpririi cu rest n N. 4
  • 5. Fie a, b N q, r N ,0 r b a. a = b q + r , b 0Cel mai mare divizor comun al numerelor a i b (c.m.m.d.c) sau(a,b) este cel mai mare numr la care se mpart exact si a si b ieste dat de produsul factorilor comuni, luai la puterea cea maimic.1) (a;b)=d a=dxa, b=dxb, (a;b)=12) (a;b)=d d/a si d/b, oricare ar fi d a.. d/a si d/b=> d/dCel mai mic multiplu comun al numerelor a si b (c.m.m.m.c.) sau[a,b] este cel mai mic numr care se mparte exact i la a i la b ieste dat de produsul factorilor comuni i necomuni luai laputerea cea mai mare.1)[a;b]=m m=axm , m=bxm2)[a;b]=m a/m si b/m, oricare ar fi m, a.i. a/m si b/m=>m/mRelaia dintre c.m.m.m.c i c.m.m.d.c[a,b](a,b)=abDac p i q sunt prime atunci p n si q m sunt prime. MULIMI. OPERAII CU MULIMIN = {0 ,1, 2 ,3,......... .. n ,...... } N * = N {0}Z = {...... n,.... 3,2,1,0,1,2,3,........., n,.......} Z * = Z {0} a Q = a, b Z , b 0 Q* = Q {0} b R Q = n n 0 nu este patrat perfect R = Q ( R Q) = (,+) .Fie A i B dou mulimi. Atunci: 5
  • 6. A B = x x A sau x B . Reuniunea mulimilor. A B = x x A si x B . Intersecia mulimilor. A B = x x A si x B . Diferena mulimilor. AxB = ( x, y ) x A si y B . Produsul cartezian. Definiie: Se numete cardinal al unei mulimi finite , numrul deelemente pe care-l are aceasta.Principiul includerii i excluderii:card(A B) =card (A) +card(B) card (AB).Definiie: Se numete submulime al unei mulimi A, orice mulimeformat cu elementele lui A.Numrul tuturor submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n. FRACII aFracie: Se numete fracie, o expresie de forma , b 0 unde a se bnumete numrtor iar b se numete numitor. aFracie subunitar: Fracia , b 0 se numete fracie subunitar b adac a
  • 7. aFracie supraunitar: Fracia , b 0 se numete fracie b asupraunitar dac a>b sau 1 . b a cFracii echivalente: Dou fracii si se numesc echivalente i b d a cscriem = dac a d = b c . b dA amplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn anmuli att numrtorul ct i numitorul, cu acel numr.a am = , b 0, m 0.b bmA simplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn ampri att numrtorul, ct i numitorul la acel numr.a a:m = , b 0, m 0.b b:m aFracie ireductibil: Fracia , b 0 se numete ireductibil, bdac nu se mai poate simplifica adic c.m.m.d.c(a,b)=1.Compararea fraciilor:a c a a a c a c b c a d b cb b b c b dNumr raional : aSe numete numr raional , numrul reprezentat prin fracia i btoate fraciile echivalente cu aceasta.;Operaii cu numere fracionare: Pentru a aduna sau scdea numerefracionare reprezentate prin numitori diferii se aduc fraciile la 7

8. acelai numitor prin amplificarea fiecrei fracii cu ctul dintrec.m.m.m.c al numitorilor i numitorul fraciei respective.a c a + c a c ac a c a d + = ; = ; : = ;b b b b d bd b d b c 0 m n m+ n a a a a = 1; = ; b b b b n ma a a n mn a m a mn a 1 b : = ; = ; =b b b b b b a b ac + bIntroducerea unui ntreg n fracie: a = ; c c Fracii zecimale: - Fracii zecimale: finite: {0,5;1,45;2,5;0,12345;......} Transformarea fraciilor zecimale n fracii ordinare: ab abc a, b = ; a, bc = ; 10 100 - fracii zecimale -periodice: { , (3);21,3(5);2,3( 4)......} 1Transformarea fraciilor zecimale periodice n fracii ordinare: ab a abc aa, (b) = ; a, (bc) = ; 9 99 abc ab abcd aba, b(c ) = ; a, b(cd ) = ; 90 990Scrierea n baza zece:abcd = a 103 + b 102 + c 10 + d a-cifra miilor; b-cifrasutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;a, efg = a 10 + e 101 + f 102 + g 103 == a 10 + e 0.1 + f 0.01+ g 0.001a-cifra unitilor, e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-ciframiimilor. 8

Search related