Costruzioni metalliche - Di Re

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria civile

RELAZIONE DI CALCOLO DI UNEDIFICIO MULTIPIANO IN ACCIAIO

Studente: Docente:

Paolo Di Re Prof.Ing. Franco Bontempi

Assistente:

Ing.Francesco Petrini

Matricola: Data

1185698 11 febbraio 2013

Anno Accademico 2012-2013

Indice

1 Descrizione generale dell’opera 11.1 Struttura originale americana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Struttura italiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Ubicazione, geometria e caratteristiche generali . . . . . . . . . . . 31.2.2 Classificazione e nomenclatura degli elementi . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Materiali utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Profili utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5 Configurazione dei solai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Analisi dei carichi 112.1 Carichi permanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Carichi permanenti strutturali - G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Carichi permanenti non strutturali - G2 . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Carichi variabili - Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Carico antropico - Qantropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Azione della neve - Qneve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Azione del vento - Qvento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Azione sismica - E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Verifiche dei solai 153.1 Modello di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Solaio di copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Combinazioni di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Solaio di interpiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Combinazioni di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.3 Verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Verifica degli elementi non appartenenti ai telai di facciata est e ovest 234.1 Modelli di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Orizzontamento di copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

4.2.1 Travi secondarie A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Travi secondarie B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.3 Travi principali interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.4 Travi principali esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Orizzontamento di interpiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.1 Travi secondarie A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Travi secondarie B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3 Travi principali interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.4 Travi principali esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Verifica agli S.L.U. delle colonne interne e di facciata nord e sud . . . . . . 404.5 Riepilogo profilati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Struttura semplificata - Telaio piano 435.1 Modellazione della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 Carichi permanenti e variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Azione sismica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.3 Combinazioni di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 Confronto tra la struttura americana e italiana . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.1 Analisi della struttura italiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.2 Confronto con l’analisi della struttura americana . . . . . . . . . . . 54

6 Ottimizzazione delle sezioni degli elementi - Sizing 596.1 Impostazioni di verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Ottimizzazione degli elementi e confronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Analisi di push-over 757.1 Distribuzioni di forze applicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2 Definizione delle cerniere plastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.1 Cerniere plastiche per le travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.2 Cerniere plastiche per le colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3 Curve di Push-over e fattore di struttura q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4 Analisi con nuovo valore del fattore di struttura . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Verifiche della struttura a telaio 858.1 Verifiche delle travi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1.1 Verifica IPE 750x137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.2 Verifica IPE 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2 Verifiche delle colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2.1 Verifica HEB 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2.2 Verifica HEB 900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ii

8.2.3 Verifica HEB 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.3 Verifiche sui drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.4 G.R. Trave - Colonna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.4.1 Nodo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.4.2 Nodo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.4.3 Nodo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.4.4 Nodo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9 Modellazione e analisi di un nodo del telaio 1019.1 Premensionamento del nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2 Modellazione agli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.3 Analisi e verifica del nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A Esercitazioni 1A.1 Esercitazioni sulla plasticità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A.1.1 Esercitazione 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1A.1.2 Esercitazione 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A.1.3 Esercitazione 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

A.2 Esercitazioni sull’instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2.1 Esercitazione 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2.2 Esercitazione 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

Capitolo 1

Descrizione generale dell’opera

1.1 Struttura originale americana

La struttura progettata consiste in un edificio di 6 piani, ad uso uffici, situato a Seattle,Washington, considerata zona sismica appartenente al Sismic Use Group I (FEMA 451,NEHRP Recommended Provisions).

La geometria della stessa viene presentata in Figg.1.1 e 1.2

Figura 1.1: Pianta della struttura americana

La pianta ha una forma regolare, con 5 campate da 28′ − 0′′ = 853.4 cm in direzioneN-S e 6 campate da 30′ − 0′′ = 914.4 cm in direzione W-E; l’altezza di interpiano è di12′ − 6′′ = 381.0 cm, ad eccezione del primo piano che presenta un’altezza di 15′ − 0′′ =

2 Cap. 1 – Descrizione generale dell’opera

Figura 1.2: Sezione verticale A della struttura americana - Direzione N-S

457.2 cm. Le fondazioni si estendono per una profondità di 15′ − 0′′ = 457.2 cm, e insommità è presente un parapetto alto 5′ − 0′′ = 152.4 cm.

Tutti i carichi orizzontali vengono sostenuti dalle colonne perimetrali, collegate alletravi attraverso unioni a ripristino di continuità, ad eccezione dei collegamenti tra lecolonne d’angolo e le travi parallele alla direzione W-E; queste colonne risultano incastratealla fondazione. Tutte le colonne interne, invece, sono collegate alle travi attraverso unioniin grado di trasmettere solo sforzo normale e taglio, e sono considerate colonne a gravità(incernierate alla base). In Fig.1.1, il simbolo I indica che l’unione tra la trave e lacolonna, nella direzione della freccia, è in grado di trasmettere momento flettente.

Il materiale utilizzato è un acciaio con tensione nominale di snervamento pari a 50 ksi =

344.7MPa e i profilati utilizzati per i vari elementi sono quelli riportati Tab.1.1.

Tabella 1.1: Profilati in acciaio utilizzati nella struttura americana

Piano Colonne Travi

R W21x122 W24x846 W21x122 W24x845 W21x147 W27x944 W21x147 W27x943 W21x201 W27x942 W21x201 W27x94

I solai sono in lamiera gracata, con relativo getto di calcestrutto, di tipo non collabo-rante,. La tessitura è parallela alla direzione W-E, pertanto il loro peso si ritiene gravisulle travi parallele alla direzione N-S.

1.2 – Struttura italiana 3

1.2 Struttura italiana

Nella progettazione presentata in questa relazione si è deciso di riprogettare la strutturaamericana del Par.1.1, ubicandola ad Udine, quindi adattando tutte le caratteristiche (siastrutturali che operative) ad un progettazione in territorio italiano.

Si è partiti, in via preliminare, considerando lo schema strutturale proposto nellastruttura originale, ma utilizzando da un lato dimensioni delle campate e delle altezze diinterpiano, che fossero più verosimili per l’utilizzo di unità di misura comunemente usatein Italia, dall’altro utilizzando i profilati commerciali europei, che si possono ritenereequivalenti ai profilati americani utilizzati.

1.2.1 Ubicazione, geometria e caratteristiche generali

L’edificio è sito ad Udine, in viale Luigi Moretti n10 e rientra nella categoria di utilizzoB2 - Uffici aperti al pubblico.

Figura 1.3: Mappa del sito - Google maps

In base a quanto indicato nel §2.4 delle NTC 2008, si assume per la strutturaVITA NOMINALE = 50 anniCLASSE D’USO IIPROGETTAZIONE IN CLASSE DI DUTTILITÀ BASSA - CD ”B”

Alla classe d’uso II corrisponde un Coefficiente d’uso CU = 1.0.


Per quanto riguarda la geometria, si è lasciata invariata la forma rettangolare (Figg.1.4e 1.5), ma le 5 campate da 28′− 0′′ in direzione N-S sono state trasformate in campate da850.0 cm e le 6 campate da 30′ − 0′′ in direzione W-E in campate da 900.0 cm; l’altezzadi interpiano è stata assunta pari a 380.0 cm, ad eccezione del primo piano per cui si èassunta un’altezza di 450.0 cm. Per le fondazioni, invece, si è assunta una profondità di450.0 cm, e in sommità un parapetto di altezza 150.0 cm.

Figura 1.4: Pianta della struttura italiana

Figura 1.5: Sezione verticale A della struttura italiana - Direzione N-S


1.2.2 Classificazione e nomenclatura degli elementi

In Fig.1.6 e in Fig.1.7 vengono riportate le classificazione degli elementi appartenentirispettivamente al generico orizzontamento e al telaio di facciata (A), con la relativanomenclatura utilizzata nei successivi capitoli.

Figura 1.6: Classificazione elementi dell’orizzontamento

Figura 1.7: Classificazione elementi del telaio di facciata


1.2.3 Materiali utilizzati

I materiali utilizzati per la realizzazione degli elementi strutturali sono di seguito riportati.

Acciaio da carpenteria

Nel rispetto di quanto indicato nel §11.3.4.1 delle NTC 2008, per i profilati metallici siutilizza un acciaio di classe S 275 (Tab.11.3.IX), per il quale si assumono i seguenti valoridelle proprietà meccaniche:

• Modulo elastico E = 210000MPa

• Modulo di elasticità trasversale G = E[2(1+ν)]

• Coefficiente di Poisson ν = 0.3

• Coefficiente di espansione termica lineare α = 12 · 10−6 −1

• Densità ρ = 78.5 kN/m3

• Tensione di snervamento caratteristica fyk = 275.0MPa

• Tensione di rottura caratteristica ftk = 430.0MPa

Per tale materiale si ritengono soddisfatti i requisiti indicati nel §11.3.4.9 delle stessenorme, per gli acciai da carpenteria in zona sismica, ovvero

ftkfyk

= 1.64 ≥ 1.20 εu ≥ 20 % fy,max ≤ 1.20 · fyk = 330.0MPa

Acciaio per bulloni

Sempre per quanto indicato nel §11.3.4.9 delle NTC 2008, si utilizzano bulloni ad altaresistenza di classe 8.8. Per tali bulloni si assumono le seguenti caratteristiche meccaniche:

• Tensione di snervamento fyb = 640.0MPa

• Tensione di rottura ftb = 800.0MPa

1.2.4 Profili utilizzati

Per la scelta dei profilati europei equivalenti sono stati considerati i momenti di inerziadelle sezioni rispetto all’asse di maggiore resistenza, prendendo il profilato che ha unvalore di tale grandezza il più possibile vicina a quella del rispetto profilato americano.Le sezioni utilizzate sono riportate in Tab.1.2.


Tabella 1.2: Profilati europei equivalenti a quelli americani

Profilati A I h b tw tf(cm2) (cm4) (mm) (mm) (mm) (mm)

Profilato americano W21x122 232 123200Profilato europeo HEB 500 239 107200 500 300 14.5 28.0



Profilato americano W24x84 159 98650Profilato europeo IPE 600 156 92080 600 220 12.0 19.0

Profilato americano W27x94 179 136100Profilato europeo IPE 750x137 175 159900 753 263 11.5 17.0

Figura 1.8: Parametri geometrici delle sezioni

Figura 1.9: Dimensionamento iniziale dei profilati


1.2.5 Configurazione dei solai

Per i solai si è scelto di utilizzare una lamiera grecata non collaborante con tessitura indirezione W-E, come nella struttura americana.

Ogni foglio di lamiera ha una lunghezza pari a 4.5 m ed poggiato su tre delle traviparallele alla direzione N-S: una trave ad ogni estremità e una terza al centro; la distanzatra gli assi di tali travi è di 2.25 m (Fig.1.4).

Si è utilizzata una lamiera grecata non collaborante di tipologia 1 H53, avente lecaratteristiche meccaniche riportate in Fig.1.10 con spessore s = 1.2mm.

Figura 1.10: Lamiera grecata utilizzata per i solai

Il getto di calcestruzzo al di sopra della lamiera, per la soletta, viene effettuato utiliz-zando un Cls leggero per uno spessore di 4.0 cm al di fuori delle nervature della lamiera.All’interno di tale getto è presente una rete elettrosaldata.

Al di sopra, invece, sono collocati, dal basso verso l’alto, i seguenti elementi (Fig.1.11):

Massetto delle pendenze Cls leggero spess. = 5.0 cmSottofondo Malta di cemento spess. = 5.0 cmPavimento Laterizio spess. = 2.0 cm

In tutti i solai sono presenti gli elementi utilizzati per la realizzazione dei vari impiantie del rivestimento, oltre al sistema di isolamento, a livello del controsoffitto; nel solo solaiodi copertura, che è considerato praticabile, è presente uno strato di impermeabilizzantetra il massetto delle pendenze e il sottofondo.

Figura 1.11: Configurazione solai


Come indicato nel §7.2.6 delle NTC 2008, gli orizzontamenti possono essere consideratiinfinitamente rigidi nel loro piano, a condizione che siano realizzati in cemento armato,oppure in latero-cemento con soletta in c.a. di almeno 40 mm di spessore, o in strutturamista con soletta in cemento armato di almeno 50 mm di spessore collegata da connetto-ri a taglio opportunamente dimensionati agli elementi strutturali in acciaio o in legno epurché le aperture presenti non ne riducano significativamente la rigidezza.

Capitolo 2

Analisi dei carichi

L’analisi dei carichi è stata eseguita nel rispetto delle indicazioni fornite nel §3 delle NTC2008.

2.1 Carichi permanenti

Nei carichi permanenti è stato considerato il peso proprio dei vari elementi distinguendotra carichi permanenti strutturali e non strutturali.

2.1.1 Carichi permanenti strutturali - G1

Per i permanenti strutturali si è considerato il peso di:

Lamiera grecata per solai q = 0.15 kN/m2

Soletta solai γ = 20.0 kN/m3

Elementi in acciaio γ = 78.5 kN/m3

2.1.2 Carichi permanenti non strutturali - G2

Per i permanenti non strutturali si è considerato il peso di:

Pavimento solai γ = 20.00 kN/m3

Sottofondo solai γ = 21.00 kN/m3

Impermeabilizzante solai q = 0.30 kN/m2

Massetto delle pendenze solai γ = 15.00 kN/m3

Isolante controsoffitti q = 0.30 kN/m2

Impianti e rivestimento controsoffitti q = 0.20 kN/m2

Tramezzi uniformemente distribuiti q = 1.20 kN/m2

Tamponature di facciata in vetro q = 1.50 kN/m2

Parapetto in copertura q = 1.35 kN/m2

12 Cap. 2 – Analisi dei carichi

Le NTC 2008, nel §3.1.3.1 prevedono che, per gli orizzontamenti degli edifici per abitazionie uffici, il peso proprio di elementi divisori interni può essere ragguagliato ad un caricopermanente portato uniformemente distribuito, purché vengano adottate le misure co-struttive atte ad assicurare una adeguata ripartizione del carico. Il carico uniformementedistribuito ora definito dipende dal peso proprio per unità di lunghezza delle partizioni,che in tal caso è compreso tra 1.0 kN/m e 2.0 kN/m.

2.2 Carichi variabili - Q

2.2.1 Carico antropico - Qantropico

Il carico antropico agente sui solai è stato assunto pari a

Qantropico = 3.00 kN/m2

come indicato in Tab.3.1.II delle NTC 2008, per la Categoria B2 - Uffici aperti al pubblico.

2.2.2 Azione della neve - Qneve

Il carico provocato dalla neve sul solaio di copertura è stato determinato nel rispetto delleindicazioni riportate nel §3.4 delle NTC 2008, considerando che Udine appartiene allaZona I - Alpina, e si trova ad una quota s.l.m pari a 113 m; la topografia è stata assuntanormale e l’inclinazione la falda orizzontale. In Fig.2.1 si riportano i calcoli eseguiti.

Valore carratteristicio della neve al suolo Coefficiente di forma (copertura ad una falda)

113 0

1.50 0.8

Coefficiente termico

Coefficiente di esposizione

Topografia CE

Normale 1

Descrizione

Aree in cui non è presente una significativa rimozione di neve sulla costruzione prodotta dal vento, a causa del

terreno, altre costruzioni o alberi.

qsk (val. caratt. della neve al suolo [kN/mq])

as (altitudine sul livello del mare [m])

Zona I - AlpinaAosta, Belluno, Bergamo, Biella, Bolzano, Brescia, Como, Cuneo, Lecco, Pordenone, Sondrio, Torino, Trento, Udine, Verbania, Vercelli, Vicenza.

qsk = 1,50 kN/mq as ≤ 200 m

qsk = 1,39 [1+(as/728)2] kN/mq as > 200 m

Il coefficiente termico può essere utilizzato per tener conto della riduzione del carico neve a causa dello scioglimento della stessa, causata dalla perdita di calore della costruzione. Tale coefficientetiene conto delle proprietà di isolamento termico del materiale utilizzato in copertura. In assenza di uno specifico e documentato studio, deve essere

utilizzato Ct = 1.

(inclinazione falda [°])

1.20 kN/mq

Figura 2.1: Carico neve

2.2 – Carichi variabili - Q 13

2.2.3 Azione del vento - Qvento

L’azione indotta dal vento è stata determinata nel rispetto delle indicazioni riportatenel §3.3 delle NTC 2008 e nel §C3.3 della relativa Circolare esplicativa, ovvero ricondu-cendole ad azioni statiche equivalenti, che sono state pensate per semplicità applicate incorrispondenza degli orizzontamenti.

Udine rientra nella Zona di appartenenza 1 e l’edificio è situato in una zona urbanacon meno del 15 % della superficie coperto da edifici la cui altezza media supera i 15m, quindi Classe di rugodità B e Classe di esposizione IV. In Fig.2.2 si riportano i calcolieseguiti per la determinazione della pressione cinetica di riferimento qb, dei coefficientidi esposizione Ce(z), in corrispondenza degli orizzontamenti, dei coefficienti di forma equindi delle pressioni agenti sulle facciate esterne.

Figura 2.2: Azione del vento

La pressione agente internamente non è stata considerata, perché, essendo l’edificioregolare, questa costituisce un sistema autoequilibrato, che non da quindi sollecitazioniorizzontali globali alla struttura.

14 Cap. 2 – Analisi dei carichi

2.3 Azione sismica - E

L’azione indotta dal sisma è stata determinata nel rispetto delle indicazioni riportate nel§3.2 delle NTC 2008 e nel §C3.2 della relativa Circolare esplicativa.

È stata considerata una Categoria di sottosuolo B (Tab.3.2.II), e una Categoria topo-grafica T1 (Tab.3.2.IV).

Gli spettri elastici di progetto, relativi all’SLD e all’SLV sono riportati in Fig.2.3,determinati per mezzo del programma Spettri-NTC ver.1.0.3. Si è assunto un valore dellosmorzamento pari al 5 %.

T [s] Sd[g] T [s] Sd[g]

0.000 0.245 0.000 0.088

TB 0.152 0.600 0.126 0.217

TC 0.455 0.600 0.377 0.217

0.549 0.498 0.449 0.182

0.642 0.426 0.522 0.157

0.736 0.372 0.594 0.138

0.829 0.330 0.666 0.123

0.923 0.296 0.738 0.111

1.016 0.269 0.810 0.101

1.109 0.247 0.883 0.093

1.203 0.227 0.955 0.086

1.296 0.211 1.027 0.080

1.390 0.197 1.099 0.075

1.483 0.184 1.171 0.070

1.576 0.173 1.243 0.066

1.670 0.164 1.316 0.062

1.763 0.155 1.388 0.059

1.857 0.147 1.460 0.056

1.950 0.140 1.532 0.054

2.044 0.134 1.604 0.051

2.137 0.128 1.677 0.049

2.230 0.123 1.749 0.047

2.324 0.118 1.821 0.045

TD 2.417 0.113 1.893 0.043

2.493 0.106 1.993 0.039

2.568 0.100 2.094 0.035

2.643 0.095 2.194 0.032

2.719 0.089 2.294 0.029

2.794 0.085 2.395 0.027

2.869 0.080 2.495 0.025

2.945 0.076 2.595 0.023

3.020 0.072 2.696 0.021

3.096 0.069 2.796 0.020

3.171 0.066 2.896 0.019

3.246 0.063 2.997 0.017

3.322 0.060 3.097 0.016

3.397 0.057 3.197 0.015

3.472 0.055 3.298 0.014

3.548 0.053 3.398 0.013

3.623 0.050 3.498 0.013

3.699 0.048 3.599 0.012

3.774 0.046 3.699 0.011

3.849 0.045 3.799 0.011

3.925 0.043 3.900 0.010

4.000 0.041 4.000 0.010

SLV SLD

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400

Sd

[g]

T [s]

SLV SLD

Figura 2.3: Spettri elastici di progetto

Capitolo 3

Verifiche dei solai

3.1 Modello di calcolo

Per la determinazione delle sollecitazioni agenti sul solaio, si è supposto che questo scarichiil suo peso e quello dei carichi ad esso applicati alle sole travi secondarie, parallele alladirezione N-S (Fig.1.4).Pertanto, è stata considerata una fascia di solaio parallela alla direzione di tessitura larga1.0 m, ed è stata considerata come una trave continua su tre appoggi (rappresentati dallestesse travi) e soggetta a carichi distribuiti (Fig.3.1).

Figura 3.1

3.2 Solaio di copertura

3.2.1 Analisi dei carichi

I carichi agenti su una fascia di solaio larga 1.0 m sono i seguenti:

16 Cap. 3 – Verifiche dei solai

CaricoAzione kN/m

G1

Lamiera grecata 0.15

Soletta γ = 20.0 kN/m3 s = 4.0 cm 0.80

Riempimento nervature γ = 15.0 kN/m3 s = 2.5 cm 0.50

Totale 1.45

G2

Pavimento γ = 20.00 kN/m3 s = 2.0 cm 0.40

Sottofondo γ = 21.00 kN/m3 s = 5.0 cm 0.42

Impermeabilizzante 0.30

Massetto delle pendenze γ = 15.00 kN/m3 s = 5.0 cm 0.75

Isolante 0.30

Impianti e rivestimento 0.20

Totale 2.37

Qa Antropico 3.00

Qn Neve 1.20

3.2.2 Combinazioni di carico

I carichi sono stati combinati secondo quando indicato nel §2.5 delle NTC 2008.In particolare, per la verifica dei solai sono state considerate le seguenti combinazioni:

I coefficienti Ψ0 assunti nelle combinazioni sono pari a 0.5 per il carico da neve e a 0.7per il carico antropico (Tab.2.5.I).

Le combinazioni più gravose sono quelle in cui si assume il carico antropico è assuntocome carico fondamentale Qk1 e la neve come carico secondario Qk2, e forniscono i seguentivalori dei carichi distribuiti lungo il solaio:

Combinazione fondamentale Sfavorevole q = 10.73 kN/m

Combinazione fondamentale Favorevole q = 1.45 kN/m

Combinazione rara q = 7.45 kN/m

3.2 – Solaio di copertura 17

3.2.3 Verifica

Verifica agli S.L.U.

La verifica nei confronti degli S.L.U. è stata condotta in termini di resistenza, ovveroanalizzando le sollecitazioni prodotte nel solaio dal carico risultante dalla combinazionedi carico fondamentale.

Per tener determinare le condizioni di carico più gravose, sono state analizzate duedifferenti configurazioni degli stessi: la configurazione (1) in cui si massimizzano le sol-lecitazioni nella mezzeria delle singole campate e le azioni sugli appoggi laterali, e laconfigurazione (2) in cui si massimizzano le azioni sull’appoggio centrale.

Il momento resistente della lamiera è pari a

MR = fyd ·W = 180MPa · 30.1 cm3 = 5.42 kN/m

che risulta maggiore del massimo momento flettente che si ottiene nelle varie combinazioni,pari a 4.98 kN/m.


Verifica agli S.L.E.

La verifica nei confronti degli S.L.E. è stata effettuata secondo quanto indicato nel §4.2.4.2delle NTC 2008, ovvero verificando che la freccia massima nella mezzeria di ogni campatada 2.25 m del solaio fosse inferiori ai valori limite riportati in Tab.4.2.X per coperturepraticabili, dove δtot e δ2 sono le grandezze riportate in Fig.3.2

Figura 3.2: Definizione degli spostamenti verticali per le verifiche S.L.E. - Fig.4.2.1 NTC 2008

La freccia in mezzeria è stata calcolata modellando il solaio come trave continua sutre appoggi, tramite codice di calcolo SAP2000 (Fig.3.3).

Figura 3.3

I valori ottenuti sono i seguenti:

δ1 = 0.29 cm δ2 = 0.27 cm

δmax = δ1 + δ2 = 0.56 cm ≤ L

250= 0.90 cm δ2 = 0.27 cm ≤ L

300= 0.75 cm

3.3 – Solaio di interpiano 19

3.3 Solaio di interpiano

3.3.1 Analisi dei carichi

I carichi agenti su una fascia di solaio larga 1.0 m sono i seguenti:

CaricoAzione kN/m

G1

Lamiera grecata 0.15

Soletta γ = 20.0 kN/m3 s = 4.0 cm 0.80

Riempimento nervature γ = 15.0 kN/m3 s = 2.5 cm 0.50

Totale 1.45

G2

Pavimento γ = 20.00 kN/m3 s = 2.0 cm 0.40

Sottofondo γ = 21.00 kN/m3 s = 5.0 cm 0.42

Impermeabilizzante 0.30

Massetto delle pendenze γ = 15.00 kN/m3 s = 5.0 cm 0.75

Isolante 0.30

Impianti e rivestimento 0.20

Tramezzi 1.20

Totale 3.57

Qa Antropico 3.00


I carichi sono stati combinati secondo quando indicato nel §2.5 delle NTC 2008.In particolare, per la verifica dei solai sono state considerate le seguenti combinazioni:

I valori dei carichi distribuiti lungo il solaio sono:

Combinazione fondamentale Sfavorevole q = 11.74 kN/m

Combinazione fondamentale Favorevole q = 1.45 kN/m

Combinazione rara q = 8.02 kN/m


3.3.3 Verifica


La verifica nei confronti degli S.L.U. è stata condotta in termini di resistenza, ovveroanalizzando le sollecitazioni prodotte nel solaio dal carico risultante dalla combinazionedi carico fondamentale.

Per tener determinare le condizioni di carico più gravose, sono state analizzate duedifferenti configurazioni degli stessi: la configurazione (1) in cui si massimizzano le sol-lecitazioni nella mezzeria delle singole campate e le azioni sugli appoggi laterali, e laconfigurazione (2) in cui si massimizzano le azioni sull’appoggio centrale.

Il momento resistente della lamiera è pari a

MR = fyd ·W = 180MPa · 30.1 cm3 = 5.42 kN/m

che risulta maggiore del massimo momento flettente che si ottiene nelle varie combinazioni,pari a 4.46 kN/m.

3.3 – Solaio di interpiano 21


La verifica nei confronti degli S.L.E. è stata effettuata secondo quanto indicato nel §4.2.4.2delle NTC 2008, ovvero verificando che la freccia massima nella mezzeria di ogni campatada 2.25 m del solaio fosse inferiori ai valori limite riportati in Tab.4.2.X per solai ingenerale, dove δtot e δ2 sono le grandezze riportate in Fig.3.4

Figura 3.4: Definizione degli spostamenti verticali per le verifiche S.L.E. - Fig.4.2.1 NTC 2008

La freccia in mezzeria è stata calcolata modellando il solaio come trave continua sutre appoggi, tramite codice di calcolo SAP2000 (Fig.3.5).

Figura 3.5


δ1 = 0.32 cm δ2 = 0.24 cm

δmax = δ1 + δ2 = 0.56 cm ≤ L

250= 0.90 cm δ2 = 0.24 cm ≤ L

300= 0.75 cm

Capitolo 4

Verifica degli elementi non appartenentiai telai di facciata est e ovest

Per analizzare il comportamento della struttura è stato assunto un modello di calcolosemplificato, in cui si considera solamente uno dei due telai principali di facciata (resistentialle azioni orizzontali), in particolare il telaio (A) in Fig.1.4.

Pertanto, le travi interne non appartenenti a tale telaio e le travi principali esternesono state dimensionate e verificate in modo semplificato, secondo quando indicato neiparagrafi successivi.

4.1 Modelli di calcolo

Per ciascuna TRAVE SECONDARIA INTERNA è stato ipotizzato un funzionamento atrave appoggiata, con luce pari a L = 8.50m, in cui gli appoggi laterali sono rappresentatidalle travi principali, cui questa viene collegata, pensando a vincoli interni di cernieraideale (Fig.4.1). I carichi agenti sulla stessa trave sono uniformemente distribuiti e datidai carichi trasmessi dalla porzione di solaio sovrastante. Nel Cap.3 il solaio è statodimensionato considerando per ogni foglio di lamiera grecata lungo 4.5 m solamente unastriscia di larghezza 1.0 m, e pensando che la porzione di solaio ad essa competentepoggiasse sulle tre travi secondarie sottostanti; per questo, i carichi che il solaio trasmettealle travi coincidono con le reazioni vincolari calcolate nel modello di trave continua supiù appoggi in fase di verifica (Parr.3.2.3 e 3.3.3).

Per ciascuna TRAVE PRINCIPALE è stato ipotizzato sempre un funzionamento atrave appoggiata, però con luce pari a L = 9.00m, in cui gli appoggi laterali sono rap-presentati dalle colonne, cui questa viene collegata, pensando a vincoli interni di cernieraideale (Fig.4.2). I carichi agenti sulla stessa trave sono uniformemente distribuiti, perquanto riguarda il peso proprio, e concentrati, per quanto riguarda i carichi trasmessi dal-le travi secondarie collegate. Questi ultimi coincidono con le reazioni vincolari calcolatenel modello di trave appoggiata descritto sopra (Fig.4.1).

24 Cap. 4 – Verifica degli elementi non appartenenti ai telai di facciata est e ovest

Figura 4.1: Modello di calcolo per le travi secondarie interne

Figura 4.2: Modello di calcolo per le travi principali

4.2 Orizzontamento di copertura

4.2.1 Travi secondarie A

Sono le travi che fanno da appoggi laterali ai fogli di lamiera grecata che costituisconoil solaio (numerando le travi secondarie da W ad E, sono le travi dispari ad eccezione diquelle di facciata).

Sezione del profilato

Il profilato utilizzato è una IPE 360, avente le seguenti caratteristiche meccaniche:

Peso h b tw tf r A Iy Wel,y Wpl,y

kN/m mm mm mm mm mm cm2 cm4 cm3 cm3

0.57 360.0 170.0 8.0 12.7 18.0 72.73 16270 903.6 1019.0

4.2 – Orizzontamento di copertura 25

Analisi dei carichi

I carichi agenti lungo la trave sono i seguenti:

CaricoAzione kN/m

Peso proprio trave G1 0.57

Carico solaio

G1 2.54

G2 4.67

Qant 5.91

Gneve 2.36

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazionisu tale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole le due porzionidi solaio adiacenti alla trave appartenenti a due fogli di lamiera contigui (aree campite inFig.4.3), e le altre porzioni di solaio sono caricate con la combinazione favorevole.

Figura 4.3: Carico massimo sulle travi secondarie A

Combinazioni di carico

I carichi sono stati combinati secondo quando indicato nel §2.5 delle NTC 2008.

Combinazione fondamentale q = 21.68 kN/m

Combinazione rara q = 7.78 kN/m︸︷︷︸G

+ 7.09 kN/m︸︷︷︸Q

= 14.87 kN/m


La verifica nei confronti degli S.L.U. è stata condotta in termini di resistenza, ovveroanalizzando le sollecitazioni prodotte nella trave dal carico risultante dalla combinazionedi carico fondamentale.


In base a quanto indicato nel §4.2.4.1 delle NTC 2008, il momento resistente della traveè pari a

MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 1019.0 cm3 = 266.88 kN/m

che risulta maggiore del massimo momento flettente agente, pari a

MS =q · L2

8= 195.80 kN/m


La verifica nei confronti degli S.L.E. è stata effettuata secondo quanto indicato nel §4.2.4.2delle NTC 2008, ovvero verificando che la freccia massima nella mezzeria della trave fosseinferiori ai valori limite riportati in Tab.4.2.X per le coperture praticabili, dove δtot e δ2sono le grandezze riportate in Fig.3.4.

La freccia in mezzeria è stata calcolata come

δ =5

384

p · L4

EIy


δ1 = 1.55 cm δ2 = 1.41 cm

δmax = δ1 + δ2 = 2.96 cm ≤ L

250= 3.40 cm δ2 = 1.41 cm ≤ L

300= 2.84 cm

4.2.2 Travi secondarie B

Sono le travi che fanno da appoggi intermedi ai fogli di lamiera grecata che costituisconoil solaio (numerando le travi secondarie da W ad E, sono le travi pari).





0.57 360.0 170.0 8.0 12.7 18.0 72.73 16270 903.6 1019.0


Analisi dei carichi


CaricoAzione kN/m


Carico solaio

G1 2.45

G2 4.00

Qant 5.06

Gneve 2.03

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazionisu tale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte e due leporzioni di solaio adiacenti alla trave, che appartengono ad uno stesso foglio di lamiera(aree campite in Fig.4.4).

Figura 4.4: Carico massimo sulle travi secondarie B





+ 7.09 kN/m︸︷︷︸Q

= 14.11 kN/m





MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 1019.0 cm3 = 266.88 kN/m


MS =q · L2

8= 171.96 kN/m




δ =5

384

p · L4

EIy


δ1 = 1.36 cm δ2 = 1.37 cm

δmax = δ1 + δ2 = 2.73 cm ≤ L

250= 3.40 cm δ2 = 1.37 cm ≤ L

300= 2.84 cm

4.2.3 Travi principali interne


Il profilato utilizzato è una IPE 750x137, avente le seguenti caratteristiche meccaniche:



1.37 753.0 263.0 11.5 17.0 17.0 175 159900 4246 4865

Analisi dei carichi



Carico CaricoAzione kN/m kN


Carico travi secondarie A

G1 39.51

G2 56.66

Qant 71.72

Gneve 28.69

Carico trave secondaria B

G1 25.64

G2 33.99

Qant 43.03

Gneve 17.21

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazioni sutale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte le porzionidi solaio adiacenti alla trave appartenenti a due campate contigue in direzione N-S (areecampite in Fig.4.5).

Figura 4.5: Carico massimo sulle travi principali



Combinazione fondamentale q = 1.78 kN/m X = 265.44 kN Y = 161.78 kN

Combinazione raraG q = 1.37 kN/m X = 86.06 kN Y = 51.64 kN

Q X = 96.17 kN Y = 59.64 kN





MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 4865.0 cm3 = 1274.17 kN/m

che risulta maggiore del massimo momento flettente agente, pari a 1178.61 kN/m.




δ =5

384

p · (4L)4

EIy+X · L24EIy

[3(4L)2 − 4L2] +Y (4L)3

48EIy


δ1 = 0.41 cm δ2 = 0.80 cm

δmax = δ1 + δ2 = 1.20 cm ≤ L

250= 3.60 cm δ2 = 0.80 cm ≤ L

300= 3.00 cm


4.2.4 Travi principali esterne





1.06 550.0 210.0 11.1 17.2 24.0 134 67120 2441 2788

Analisi dei carichi





G1 19.75

G2 28.33

Qant 35.86

Gneve 14.34


G1 12.82

G2 17.00

Qant 21.52

Gneve 8.61

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazioni sutale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte le porzionidi solaio adiacenti alla trave appartenenti a due campate contigue in direzione N-S (areecampite in Fig.4.5).





Q X = 96.17 kN Y = 59.64 kN





MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 2788.0 cm3 = 730.19 kN/m





δ =5

384

p · (4L)4

EIy+X · L24EIy

[3(4L)2 − 4L2] +Y (4L)3

48EIy


δ1 = 0.48 cm δ2 = 0.40 cm

δmax = δ1 + δ2 = 0.88 cm ≤ L

250= 3.60 cm δ2 = 0.40 cm ≤ L

300= 3.00 cm

4.3 – Orizzontamento di interpiano 33

4.3 Orizzontamento di interpiano

4.3.1 Travi secondarie A

Sono le travi che fanno da appoggi laterali ai fogli di lamiera grecata che costituisconoil solaio (numerando le travi secondarie da W ad E, sono le travi dispari ad eccezione diquelle di facciata).





0.57 360.0 170.0 8.0 12.7 18.0 72.73 16270 903.6 1019.0

Analisi dei carichi


CaricoAzione kN/m


Carico solaioG1 2.54

G2 7.03

Qant 5.91

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazionisu tale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole le due porzionidi solaio adiacenti alla trave appartenenti a due fogli di lamiera contigui (aree campite inFig.4.3), e le altre porzioni di solaio sono caricate con la combinazione favorevole.





+ 5.91 kN/m︸︷︷︸Q

= 16.05 kN/m





MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 1019.0 cm3 = 266.88 kN/m


MS =q · L2

8= 211.78 kN/m




δ =5

384

p · L4

EIy


δ1 = 1.96 cm δ2 = 1.14 cm

δmax = δ1 + δ2 = 3.10 cm ≤ L

250= 3.40 cm δ2 = 1.14 cm ≤ L

300= 2.84 cm

4.3.2 Travi secondarie B





0.57 360.0 170.0 8.0 12.7 18.0 72.73 16270 903.6 1019.0


Analisi dei carichi


CaricoAzione kN/m


Carico solaio

G1 2.45

G2 6.02

Qant 5.06

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazionisu tale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte e due leporzioni di solaio adiacenti alla trave, che appartengono ad uno stesso foglio di lamiera(aree campite in Fig.4.4).





+ 5.06 kN/m︸︷︷︸Q

= 14.10 kN/m




MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 1019.0 cm3 = 266.88 kN/m


MS =q · L2

8= 185.59 kN/m


La verifica nei confronti degli S.L.E. è stata effettuata secondo quanto indicato nel §4.2.4.2delle NTC 2008, ovvero verificando che la freccia massima nella mezzeria della trave fosse


inferiori ai valori limite riportati in Tab.4.2.X per le coperture praticabili, dove δtot e δ2sono le grandezze riportate in Fig.3.4.


δ =5

384

p · L4

EIy


δ1 = 1.75 cm δ2 = 0.98 cm

δmax = δ1 + δ2 = 2.73 cm ≤ L

250= 3.40 cm δ2 = 0.98 cm ≤ L

300= 2.84 cm

4.3.3 Travi principali interne


Il profilato utilizzato è una IPE 750x137, avente le seguenti caratteristiche meccaniche:



1.37 753.0 263.0 11.5 17.0 17.0 175 159900 4246 4865

Analisi dei carichi





G1 39.51

G2 85.35

Qant 71.72


G1 25.64

G2 51.21

Qant 43.03

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazioni sutale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte le porzioni


di solaio adiacenti alla trave appartenenti a due campate contigue in direzione N-S (areecampite in Fig.4.5).





Q X = 43.03 kN Y = 25.82 kN




MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 4865.0 cm3 = 1274.17 kN/m







δ =5

384

p · (4L)4

EIy+X · L24EIy

[3(4L)2 − 4L2] +Y (4L)3

48EIy


δ1 = 1.20 cm δ2 = 0.66 cm

δmax = δ1 + δ2 = 1.86 cm ≤ L

250= 3.60 cm δ2 = 0.66 cm ≤ L

300= 3.00 cm

4.3.4 Travi principali esterne





1.06 550.0 210.0 11.1 17.2 24.0 134 67120 2441 2788

Analisi dei carichi





G1 19.75

G2 42.67

Qant 35.86


G1 12.82

G2 25.60

Qant 21.52

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazioni sutale trave sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte le porzioni


di solaio adiacenti alla trave appartenenti a due campate contigue in direzione N-S (areecampite in Fig.4.5).





Q X = 96.17 kN Y = 59.64 kN




MR =fykγM0

·Wpl,y =275MPa

1.05· 2788.0 cm3 = 730.19 kN/m







δ =5

384

p · (4L)4

EIy+X · L24EIy

[3(4L)2 − 4L2] +Y (4L)3

48EIy


δ1 = 0.61 cm δ2 = 0.36 cm

δmax = δ1 + δ2 = 0.97 cm ≤ L

250= 3.60 cm δ2 = 0.36 cm ≤ L

300= 3.00 cm

4.4 Verifica agli S.L.U. delle colonne interne e di fac-

ciata nord e sud

Per le colonne non appartenenti ai telai di facciata ovest ed est, è stata eseguita la solaverifica nei confronti degli S.L.U., confrontando la sollecitazione di sforzo normale agenteNSd, dovuta a:

• Peso proprio della colonna

• Azione trasmessa dalle travi principali e secondarie dell’impalcato

con lo sforzo normale resistente NRd, calcolato come indicato nel §4.2.4.1.2 delle NTC2008, ovvero

NRd =fyk · AγM0

γM0 = 1.05

Si riportano in Tab.4.1 i profilati utilizzati e i valori ottenuti per le sollecitazioni e perle resistenze.

Tabella 4.1: Verifiche colonne interne e di facciata nord e sud

Colonne interne

Quota Profilato Peso Area Nimpalcato NSd NRd

m kg/m cm2 kN kN kN

da 23.5 a 19.7 HE 220 B 71.5 91 1485.93 1488.65 2383.33da 19.7 a 17.8 HE 220 B 71.5 91 770.94 2260.95 2383.33da 17.8 a 15.9 HE 300 B 117 149 770.94 3034.11 3902.38da 15.9 a 12.1 HE 300 B 117 149 770.94 3809.49 3902.38da 12.1 a 10.2 HE 600 B 212 270 770.94 4584.46 7071.43da 10.2 a 8.3 HE 600 B 212 270 770.94 5359.42 7071.43da 8.3 a 4.5 HE 600 B 212 270 770.94 6138.41 7071.43da 4.5 a 0 HE 600 B 212 270 770.94 6918.89 7071.43

4.5 – Riepilogo profilati 41

Colonne di facciata nord e sud

Quota Profilato Peso Area Nimpalcato NSd NRd

m kg/m cm2 kN kN kN

da 23.5 a 19.7 HE 160 B 42.6 54.3 759.00 760.61 1422.14da 19.7 a 17.8 HE 160 B 42.6 54.3 393.48 1154.91 1422.14da 17.8 a 15.9 HE 200 B 61.3 78.1 393.48 1549.56 2045.48da 15.9 a 12.1 HE 200 B 61.3 78.1 393.48 1945.37 2045.48da 12.1 a 10.2 HE 300 B 117 149 393.48 2341.07 3902.38da 10.2 a 8.3 HE 300 B 117 149 393.48 2736.78 3902.38da 8.3 a 4.5 HE 300 B 117 149 393.48 3134.71 3902.38da 4.5 a 0 HE 300 B 117 149 393.48 3533.46 3902.38

4.5 Riepilogo profilati

In Fig.4.6 vengono rappresentati tutti i profili utilizzati per gli elementi di trave non ap-partenenti al telaio esaminato nei successivi capitoli, per i generico impalcato (gli elementidell’impalcato di copertura sono uguali a quelli dell’impalcato di interpiano, come definitoin questo capito).

Figura 4.6: Riepilogo profilati travi

In Fig.4.7 vengono rappresentati tutti i profili utilizzati per gli le colonne del generico


telaio interno parallelo alla direzione N-S, quindi un telaio non esaminato nei successivicapitoli (le travi sono quelle indicate in Fig.4.6).

Figura 4.7: Riepilogo profilati colonne

Capitolo 5

Struttura semplificata - Telaio piano

Come già accennato nel Cap.4, per analizzare il comportamento della struttura è statoassunto un modello di calcolo semplificato, in cui si considera solamente uno dei duetelai principali di facciata (resistenti alle azioni orizzontali), in particolare il telaio (A) inFig.1.4.

Inizialmente sono stati assunti per i vari elementi di tale telaio i profilati indicati nelPar.1.2.4 e con essi è stata effettuata l’analisi della struttura, che è stata poi confrontatacon quella effettuata sulla struttura americana Par.1.1.

5.1 Modellazione della struttura

La struttura è stata modellata utilizzando il codice di calcolo SAP2000.Le travi e le colonne sono state modellate con elementi frame, cui sono state assegnate

sezioni con le opportune caratteristiche meccaniche relative a ciascun profilato (Par.1.2.4).Gli elementi sono collegati tra loro in corrispondenza dei baricentri delle sezioni di estre-mità1 attraverso vincoli interni di incastro ideale e le colonne sono incastrate idealmentealla base.

Sulle travi (secondarie) sono stati applicati i carichi distribuiti trasmessi dalla porzionedi solaio sovrastante, mentre ai nodi trave-colonna sono stati applicati i carichi trasmessidalle travi principali sovrastanti; ogni carico è stato assegnato (Fig.5.1); i carichi sono statiassegnati distinguendo in casi di carico differenti i permanenti strutturali, i permanentinon strutturali e i variabili (separatamente antropici e da neve).

I carichi dovuti al vento sono stati applicati, come indicato nel Par.2.2.3, ricondu-cendole ad azioni statiche equivalenti, che sono state pensate per semplicità applicate incorrispondenza degli orizzontamenti.

1Per semplicità, non sono stati inseriti alle estremità degli elementi dei elementi ”bracci rigidi” necessaria modellare la tridimensionalità dell’elemento reale, che non viene tenuta in conto nella modellazione aframe.

44 Cap. 5 – Struttura semplificata - Telaio piano

Figura 5.1: Modello semplificato a telaio piano della struttura

Il peso proprio degli elementi modellati è stato fatto determinare dal codice di calcolo apartire dalla densità del materiale e dai volumi degli elementi stessi.

Per quanto riguarda l’azione sismica, questa è stata modellata effettuando per la strut-tura un’analisi lineare dinamica, secondo quanto indicato nel §7.3 delle NTC 2008. Taleanalisi è stata condotta attraverso la determinazione dei modi di vibrare della struttura,ovvero attraverso l’analisi modale. Per poter effettuare l’analisi modale sono state asse-gnate al modello le masse di tutti gli elementi non modellati, lasciando che il codice dicalcolo calcolasse automaticamente le masse degli elementi modellati (cioè appartenential telaio esaminato). Le masse sono state assegnate in dei nodi collocati nel baricentro diogni orizzontamento e per ciascun orizzontamento è stato assegnato un ”vincolo di dia-framma” (che comprende tutti i nodi appartenenti ad un orizzontamento, compreso quelloaggiunto per l’assegnazione delle masse), per modellare l’indeformabilità dei solai nel loropiano. Quindi, sono stati assegnati gli spettri di risposta di progetto relativi ai vari statilimiti considerati.

Oltre all’analisi dinamica lineare, è stata eseguita anche un’analisi statica lineare,ovvero applicando alla struttura le forze statiche equivalenti all’azione sismica.

Tutti i valori dei carichi applicati e delle masse assegnate per l’analisi modale, e glispettri di risposta utilizzati per le azioni sismiche sono indicati nel Par.5.2.

5.2 – Analisi dei carichi 45

5.2 Analisi dei carichi

5.2.1 Carichi permanenti e variabili

I carichi distribuiti agenti lungo le TRAVI secondarie sono i seguenti:

Carico distribuito

p.p. travi G1 G2 Tampon. Parap. Qant Qneve

Impalcato kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m

Copertura da SAP 1.22 2.00 - 2.03 2.53 1.01Interpiano da SAP 1.22 3.01 5.70 - 2.53 -

I carichi concentrati agenti in sommità delle COLONNE INTERNE sono i seguenti:

Carico concentrato

G1 G2 Qant Gneve

Impalcato kN kN kN kN

Copertura 58.50 73.66 93.23 37.29Interpiano 58.50 110.95 93.23 -

I carichi concentrati agenti in sommità delle COLONNE D’ANGOLO sono i seguenti:

Carico concentrato

G1 G2 Qant Gneve

Impalcato kN kN kN kN

Copertura 32.33 36.83 46.42 18.65Interpiano 32.33 55.47 46.42 -

Si è pensato che la disposizione dei carichi sul solaio che massimizza le sollecitazioni sutale telaio sia quella in cui sono caricate con la combinazione sfavorevole tutte le porzionidi solaio adiacenti al telaio stesso (aree campite in Fig.5.2).

Azione del vento

L’azione del vento è stata modellata come forze statiche equivalenti applicate in corrispon-denza degli orizzontamenti. In pratica, considerando i parametri relativi alla pressionedel vento sulle facciate N-S, riportate in Fig.2.2, è stata calcolata la pressione del ventoagente, in corrispondenza di ogni piano, sulla facciata sopravvento e su quella sottovento

p = qb · ce · cp · cd


Figura 5.2: Carico massimo sul telaio di facciata ovest

Ciascuna di queste pressioni è sta moltiplicata per la relativa area d’influenza pari a2

Ainfluenza,i =1

2LW−E ·

(hsup,i

2+hinf,i

2

)LW−E = 54.0m è la lunghezza totale dell’edificio in direzione W-E;

hsup e hinf sono le altezze d’interpiano rispettivamente al di sopra e al disotto dell’im-palcato i−esimo.

In questo modo si è calcola la forza dovuta al vento sulla facciata sopravvento e suquella sottovento. In Fig.5.3 sono riportati i valori ottenuti.

Figura 5.3: Forze dovute al vento

2La presenza del coefficiente pari ad 1/2 è dovuta al fatto che nell’intera struttura ci sono due telairesistenti alle forze orizzontali, e in tale analisi ne stiamo considerando uno solo.


5.2.2 Azione sismica

Analisi delle masse

Come già indicato nel Par.5.1, le masse degli elementi che costituiscono il telaio sonostate fatte calcolare automaticamente al codice di calcolo, mentre sono state aggiunge incorrispondenza dei baricentri dei vari impalcati le masse di tutti gli elementi non modellati,ovvero dei solai e degli elementi interni. Queste masse aggiunte contengono anche ilcontributo dato dai carichi permanenti non strutturali e dai carichi variabili (antropici),combinati secondo la combinazione 7) riportata nel Par.5.2.3.

Si noti che, come fatto per l’azione del vento, anche in questo caso le masse aggiunteda considerare sono solamente quelle relative a metà struttura, poiché si ipotizza (data laregolarità della struttura) che il telaio esaminato assorba solo metà delle azioni sismiche,lasciando all’altro telaio di facciata parallelo il compito di assorbirne l’altra metà.

In Fig.5.4 vengono riportati in forma tabellare i calcoli eseguiti per uno degli oriz-zontamenti e in Tab.5.1 vengono riportati i valori delle masse di tutti gli orizzontamenti.

Area G1 G2 Qant Combin. Massa

m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN t

Solaio 2295.00 1.45 3.57 3.00 13586.40 1384.954

Tamponatura superiore 366.70 - 1.35 - 495.05 50.463

Tamponatura inferiore 366.70 - 1.50 - 550.05 56.070

Tot. 1491.488

Profilato Lung. n° G1 Combin. Massa

m kN/m kN t

Travi secondarie interne IPE 360 8.50 115 0.57 558.15 56.896

Travi principali interne IPE 550 9.00 24 1.06 228.96 23.339

Travi principali di facciata IPE 750 X 137 9.00 12 1.37 147.96 15.083

Colonne interne HE 220 B 3.80 20 0.72 54.34 5.539

Colonne di facciata HE 160 B 3.80 10 0.43 16.19 1.650

Tot. 102.508

Massa totale 1593.995 t

ORIZZONTAMENTO DI INTERPIANO - 6

Figura 5.4: Calcolo masse orizzontamento di interpiano

Tabella 5.1: Masse aggiunte della struttura

Piano R 6 5 4 3 2

Massa (t) 649.521 796.998 799.122 799.122 803.881 804.846

Fattore di struttura

Come indicato nel §7.3.1 delle NTC 2008, il valore del fattore di struttura utilizzato perridurre le azioni sismiche (o meglio gli spettri di progetto) nel caso di analisi lineari agli


S.L.U., è stato determinato come

q = q0 ·KR ·KD = 4.0

KR = 1.0 per edifici regolari in altezza;

KD = 1.0 quando si utilizzano profilati con sezioni duttili e semicompatte (classI 1 e 2);

q0 = 4.0 nel caso di strutture intelaiate progettate in CD ”B”.

Spettri di progetto

Lo spettro di progetto per gli S.L.V. è stato calcolato a partire dallo spettro elasticodefinito nel Par.2.3, dividendolo per il valore del fattore di struttura q calcolato.

Lo di progetto per gli S.L.D., invece, è dato proprio dallo spettro elastico definito nelPar.2.3.

In Fig.5.5 vengono riportati gli andamenti dei due spettri di progetto.

Figura 5.5: Spettri di progetto


Forze statiche equivalenti

Le forze statiche equivalenti utilizzate nell’analisi statica lineare sono state calcolate comeindicato nel §7.3.3.2 delle NTC 2008. Si riportano in Fig.5.6 i calcoli effettuati per l’S.L.D.e per l’S.L.V.

STATO LIMITE DI SALVAGUARDIA DELLA VITA ‐ S.L.V.

T1 = 0.907235 = C1*H3/4 C1 = 0.085 Telaio Si

TB = 0.151814863 s

λ = 0.85 TC = 0.455444589 s 2 TC = 0.910889 s

g = 9.81 m/s2 TD = 2.417211056 s

W = 91900.12 kN peso complessivo della costruzione

ag = 2.004 *g m/s2

F0 = 2.450

S = 1.200

η = 0.250

Sd = 0.739 m/s2

Fh = 5886.730044 kN

Massa totale costruzione 9368.004 kN s2/m

R 1306.501 kN s2/m

6 1603.627 kN s2/m

5 1608.805 kN s2/m

4 1608.805 kN s2/m

3 1618.927 kN s2/m

2 1621.339 kN s2/m

Calcolo Fi Forza da applicare alla massa i‐esima

Fh (kN) zi (m) Wi (kN) zi Wi (kNm) ∑j zj Wj (kNm) Fi (kN) Fi /2 (kN)

R 5886.73 23.50 1306.50 30702.78 128073.90 1411.21 705.60

6 5886.73 19.70 1603.63 31591.45 128073.90 1452.06 726.03

5 5886.73 15.90 1608.81 25580.00 128073.90 1175.75 587.87

4 5886.73 12.10 1608.81 19466.54 128073.90 894.75 447.38

3 5886.73 8.30 1618.93 13437.09 128073.90 617.62 308.81

2 5886.73 4.50 1621.34 7296.02 128073.90 335.35 167.68

Fh = Sd (T1) W λ/g

STATO LIMITE DI DANNO ‐ S.L.D.

T1 = 0.907235 = C1*H3/4 C1 = 0.085 Telaio Si

TB = 0.125750045 s

λ = 1.00 TC = 0.377250136 s 2 TC = 0.7545 s

g = 9.81 m/s2 TD = 1.893134447 s

W = 91900.12 kN peso complessivo della costruzione

ag = 0.073 *g m/s2

F0 = 2.471

S = 1.200

η = 1.000

Sd = 0.090 m/s2

Fh = 846.6002097 kN

Massa totale costruzione 9368.004 kN s2/m

R 1306.501 kN s2/m

6 1603.627 kN s2/m

5 1608.805 kN s2/m

4 1608.805 kN s2/m

3 1618.927 kN s2/m

2 1621.339 kN s2/m

Calcolo Fi Forza da applicare alla massa i‐esima

Fh (kN) zi (m) Wi (kN) zi Wi (kNm) ∑j zj Wj (kNm) Fi (kN) Fi /2 (kN)

R 846.60 23.50 1306.50 30702.78 128073.90 202.95 101.48

6 846.60 19.70 1603.63 31591.45 128073.90 208.83 104.41

5 846.60 15.90 1608.81 25580.00 128073.90 169.09 84.55

4 846.60 12.10 1608.81 19466.54 128073.90 128.68 64.34

3 846.60 8.30 1618.93 13437.09 128073.90 88.82 44.41

2 846.60 4.50 1621.34 7296.02 128073.90 48.23 24.11

Fh = Sd (T1) W λ/g

Figura 5.6: Forze statiche equivalenti

Si noti che per poter effettuare tali calcoli, nella massa relativa a ciascun piano èstato necessario considerare anche quella degli elementi modellati, sommandola quindi ai


valori delle masse aggiunte riportate in Tab.5.1 moltiplicati per 2; le forze calcolate sonostate quindi divise per 2. I valori delle masse degli elementi di ogni piano sono riportatein Tab.5.2 e il calcolo di tali masse per uno degli impalcati di interpiano è riportato inFig.5.7.

Profilato Lung. n° G1 Combin. Massa

m kN/m kN t

Travi secondarie esterne IPE 600 8.50 5 1.22 51.85 5.285

Colonne di facciata HE 500 B 3.80 4 1.87 28.42 2.897

Colonne d'angolo HE 500 B 3.80 2 1.87 14.21 1.449

Tot. 9.632

ORIZZONTAMENTO DI INTERPIANO - 6

Figura 5.7: Masse elementi modellati per orizzontamenti di interpiano

Tabella 5.2: Masse elementi modellati

Piano R 6 5 4 3 2

Massa (t) 7.459 9.632 10.560 10.560 11.165 11.646


I carichi sono stati combinati secondo quando indicato nel §2.5 delle NTC 2008.In particolare, sono state considerate le seguenti combinazioni, implementate diretta-

mente nel codice di calcolo utilizzato:

• Combinazione FONDAMENTALE, impiegata per gli S.L.U., data dalla più gravosadelle seguenti combinazioni:

1) 1.3 ·G1 + 1.5 ·G2 + 1.5 · ( Qant + 0.5 ·Qneve + 0.6 ·Qvento)

2) 1.3 ·G1 + 1.5 ·G2 + 1.5 · (0.7 ·Qant + Qneve + 0.6 ·Qvento)

3) 1.3 ·G1 + 1.5 ·G2 + 1.5 · (0.7 ·Qant + 0.5 ·Qneve + Qvento)

• Combinazione RARA, impiegata per gli S.L.E., data dalla più gravosa delle seguenticombinazioni:

4) G1 +G2 + ( Qant + 0.5 ·Qneve + 0.6 ·Qvento)

5) G1 +G2 + (0.7 ·Qant + Qneve + 0.6 ·Qvento)

6) G1 +G2 + (0.7 ·Qant + 0.5 ·Qneve + Qvento)

• Combinazione SISMICA, impiegata per gli S.L.V. e gli S.L.D., dalla combinazione:

7) G1 +G2 + 0.3 ·Qant + E

5.3 – Confronto tra la struttura americana e italiana 51

5.3 Confronto tra la struttura americana e italiana

5.3.1 Analisi della struttura italiana

Per la struttura italiana sono state eseguite 4 tipologie di analisi:

1) Un’analisi della struttura sottoposta ai carichi gravitazionali, per quale sono statericavate le massime sollecitazioni alla base delle colonne;

2) Un’analisi modale, per la quale sono stati ricavati i periodi dei modi propri di vibraredella struttura;

3) Un’analisi statica lineare per le azioni sismiche, per la quale sono stati ricavati i massimispostamenti orizzontali di ogni piano;

4) Un’analisi dinamica lineare per le azioni sismiche, per la quale sono stati ricavati imassimi spostamenti orizzontali di ogni piano.

Per l’analisi della struttura sottoposta ai carichi gravitazionali, si riportano in Figg.5.8e 5.9 gli andamenti delle tensioni agenti negli elementi relative alle combinazioni di caricofondamentale e rara3.

Figura 5.8: Sollecitazioni elementi - Combinazione FONDAMENTALE

Figura 5.9: Sollecitazioni elementi - Combinazione RARA

In Fig.5.10, invece, si riportano le deformate relative ai primi 4 modi fondamentali divibrare della struttura, le cui masse partecipanti sono indicate in Tab.5.3.

3Le suddette figure fanno riferimento agli inviluppi delle tensioni ottenute per le combinazioni 1), 2)e 3) e 4), 5) e 6) del Par.5.2.3.


Figura 5.10: Modi di vibrare

Tabella 5.3: Parametri modi di virare

Periodo Massa Massa totaleModo s % %

1 2.162157 82.65 82.652 0.743733 10.53 93.173 0.417655 4.00 97.174 0.281617 1.74 98.91

Si noti che come modi significativi basterebbero i primi due modi, avendo questi intotale una massa partecipante superiore al 85 %.

Infine, si riportano in Fig.5.11 le deformate della struttura soggetta ad azioni sismiche(Combinazione sismica), e in Fig.5.12 i valori degli spostamenti di piano ottenuti conl’analisi statica e con l’analisi dinamica.

Figura 5.11: Deformata per azioni sismiche


2 3 4 5 6 R

0.30 0.65 0.99 1.30 1.55 1.72

1.00 2.07 3.06 3.92 4.65 5.18

0.42 0.91 1.38 1.80 2.16 2.39

1.17 2.48 3.73 4.82 5.73 6.34

Spostamenti (cm)

PIANO

Modale S.L.V.

Statica S.L.V.

Modale S.L.D.

Statica S.L.D.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

2

3

4

5

6

R

Spostamenti ‐ S.L.D. (cm)

Statica S.L.V. Modale S.L.V. Statica S.L.D. Modale S.L.D.

Figura 5.12: Spostamenti per azioni sismiche

Modo 1

Modo 2

Modo 3

Modo 4

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500

Sd

[g]

T [s]SLV SLD

Figura 5.13: Periodi propri di vibrare in relazione agli spettri di progetto


5.3.2 Confronto con l’analisi della struttura americana

Per la struttura americana sono state effettuate 4 tipologie di analisi:

1) Un’analisi della struttura sottoposta ai carichi gravitazionali, per quale sono statericavate le massime sollecitazioni alla base delle colonne;


3) Un’analisi statica lineare per le azioni sismiche per la quale sono stati ricavati i massimispostamenti orizzontali di ogni piano;


I carichi utilizzati nell’analisi sono quelli indicati nel §3.2.2 delle FEMA 451, NEHRP Re-commended Provisions. I carichi gravitazionali applicati sul telaio esaminato sono riportatiin Tab.5.4.

Tabella 5.4: Carichi gravitazionali struttura americana

Carico distribuito travi Carico concentrato Carico concentratocolonne interne colonne d’angolo

Piano kips/ft kips kips

Copertura 0.8125 60.9 30.45Interpiano 0.9625 60.9 30.45

Le masse e le forze statiche equivalenti utilizzate sono indicate nella Tab.3.2-3 dellestesse FEMA 451; per la sola l’analisi dinamica lineare, invece, sono stati utilizzati glispettri previsti dalla normativa italiana per la città di Udine, in modo da poter effettuareun confronto con la struttura italiana.

Per l’analisi della struttura sono stati confrontate le sollecitazioni agenti alla basedelle colonne con quelle che sono state ottenute nell’analisi della struttura italiana, senzaconsiderare il carico neve e il carico dovuto al vento. I risultati sono riportati in Fig.5.14.

In Fig.5.15, invece, sono riportati dei diagrammi in cui in ascissa sono riportati i valoridi sollecitazione in tutti gli elementi per la struttura americana e in ordinata gli stessi valoridi sollecitazione ma per la struttura italiana. Come si vede, i punti si dispongono lungola retta bisettrice del diagramma; questo indica che le sollecitazioni nelle due strutture inmedia sono simili.

Per l’analisi modale, invece, sono stati confrontati i periodi dei modi propri di vibraredella struttura, riportati in Fig.5.16.

Infine, sono stati confrontati gli spostamenti di piano ottenuti dall’analisi staticalineare per le due strutture soggetta ad azione sismica. I risultati sono riportati in Fig.5.17.


1 2 3 4 5 6

N (kN) 1234.27 2296.22 2329.52 2329.52 2296.22 1234.27

M (kNm) 15.20 1.27 0.00 0.00 -1.27 -15.20

N (kN) 1394.51 2396.02 2417.42 2417.42 2396.02 1394.51

M (kNm) 14.67 0.68 0.00 0.00 -0.68 -14.67

N (kN) -160.24 -99.80 -87.90 -87.90 -99.80 -160.24

M (kNm) 0.53 0.58 0.00 0.00 -0.58 -0.53

N (kN) -11.49% -4.17% -3.64% -3.64% -4.17% -11.49%

M (kNm) 3.63% 85.39% -195.24% -195.24% 85.39% 3.63%

Differenze

Differenze percentuali

COLONNA

SOLLECITAZIONI ALLA BASE DELLE COLONNE

Struttura italiana

Struttura americana

Figura 5.14: Sollecitazioni alla base delle colonne per le due strutture


‐150

‐100

‐50

0

50

100

‐150 ‐100 ‐50 0 50 100

Sollecitazioni elementi struttura

italiana

Sollecitazioni elementi struttura americana

T

M

‐2500

‐2000

‐1500

‐1000

‐500

0

‐3000 ‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0

Sollecitazioni elementi struttura

italiana

Sollecitazioni elementi struttura americana

N

Figura 5.15: Sollecitazioni in tutti gli elementi per le due strutture

Differenze

0.20247

0.082197

0.042383

0.018557

0.002855

-0.010399 -5.88%

1.38%

7.05%

11.29%

12.43%

10.33%

0.176935

0.207019

0.263060

0.375272

0.661536

1.959687

5

6

T (s)MODO

0.166536

0.209874

0.281617

0.417655

0.743733

2.162157

AmericanaItaliana Differenze percent.

PERIODI MODI DI VIBRARE

1

2

3

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 2 3 4 5 6

T (s)

Modi

Italiana

Americana

Figura 5.16: Periodi propri di vibrare per le due strutture


2 3 4 5 6 R

1.00 2.07 3.06 3.92 4.65 5.18

1.17 2.48 3.73 4.82 5.73 6.34

0.95 2.00 3.00 3.86 4.58 5.08

0.93 2.00 3.02 3.90 4.63 5.12

1.13 2.49 3.86 5.08 6.10 6.85

Italiana S.L.D.

Italiana S.L.V.

Americana S.L.D.

Spostamenti - Analisi modale (cm)

PIANO

Americana

Americana S.L.V.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00

2

3

4

5

6

R


Amaricana Forze statiche FEMA Americana S.L.D. Italiana S.L.D.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00

2

3

4

5

6

R

Spostamenti ‐ S.L.V. (cm)

Amaricana Forze statiche FEMA Americana S.L.V. Italiana S.L.V.

Figura 5.17: Spostamenti di piano da analisi modale per le due strutture

Capitolo 6

Ottimizzazione delle sezioni deglielementi - Sizing

Dopo avere eseguito l’analisi della struttura riportata nel paragrafo precedente, si è decisodi determinare un dimensionamento delle sezioni dei vari elementi, al fine di ottimizzarneil peso, e quindi il costo della costruzione.

Per fare ciò, si è utilizzato lo strumento di dimensionamento degli elementi in acciaiodefinito nel codice di calcolo SAP2000, ovvero lo Steel Frame Design. Con tale strumentoè possibile assegnare ad un generico elemento frame, non una sola sezione, ma una lista disezioni, lasciando al programma la possibilità di scegliere la minima sezione che soddisfatutte le verifiche. In particolare, a tutte le travi è stata assegnata una lista di sezionicontente tutte le possibili sezioni di tipo IPE, mentre alle colonne è stata assegnata unalista di sezioni contente tutte le possibili sezioni di tipo HE B.

6.1 Impostazioni di verifica

Per poter eseguire il dimensionamento in modo tale che gli elementi progettati rispettas-sero le verifiche previste dalle NTC 2008, è stato necessario impostare alcuni parametridello Steel Frame Design, riportati in Fig.6.1. Inoltre, è stato necessario impostare comecombinazioni di verifica le seguenti combinazioni (Vedi Par.5.2.3):

• Per le verifiche in termini di RESISTENZA:

– Combinazione FONDAMENTALE;

– Combinazione SISMICA S.L.V.;

• Per le verifiche in termini di SPOSTAMENTO:

– Combinazione RARA;

– Combinazione SISMICA S.L.D.;

60 Cap. 6 – Ottimizzazione delle sezioni degli elementi - Sizing

Figura 6.1: Parametri dello Steel Frame Design

La definizione di tali parametri e di tali combinazioni si basa sulle seguenti verificherichieste dalla normativa in relazione alle combinazioni di carico utilizzate:


– Per le TRAVI:

∗ In relazione alla combinazione FONDAMENTALE deve verificarsi che(§4.2.4.1 delle NTC 2008):

1. Il valore del momento flettente resistente MRd, calcolato come

MRd =fykγM0

Wpl ≥MSd

deve essere maggiore del momento flettente sollecitante MSd;

2. Il valore dello sforzo normale resistente NRd, calcolato come

NRd =fykγM0

A ≥ NSd

deve essere maggiore dello sforzo normale sollecitante NSd;

3. Il valore del taglio resistente TRd, calcolato come

VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd0.5

ridotto al 50%, deve essere maggiore del taglio sollecitante VSd;

6.1 – Impostazioni di verifica 61

Per garantire il rispetto di tali verifiche sono stati impostati i valori dei coef-ficienti GammaM0, GammmaM1 e GammaM2, previsti nella Tab.4.2.Vdella normativa e come limite del fattore di utilizzo (Limite rapportodomanda capacità) r ≤ 1.0;

∗ In relazione e alla combinazione SISMICA S.L.V. deve verificarsi che (§7.5.4.1delle NTC 2008):


MRd =fykγM0

Wpl ≥MSd



NRd =fykγM0

A ≥ NSd

0.15

e ridotto al 15% deve essere maggiore dello sforzo normale sollecitanteNSd;


VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd,G + VSd,M

0.50

e ridotto al 50% deve essere maggiore della somma del taglio solleci-tante VSd,G dovuto alle sole azioni non sismiche e del taglio sollecitanteVSd,M dovuto all’applicazione dei momenti plastici resistenti equiversi;

Per garantire il rispetto di tali verifiche sono stati modificati per le sole travii parametri indicati in Fig.6.2. La scelta di un fattore massimo di utilizzoper il taglio pari a 0.45, invece che 0.5, è legata al fatto che il taglio VSd,M èmaggiore del taglio sollecitante che viene utilizzato dal programma; questostratagemma ovviamente non garantisce il soddisfacimento della verifica,che va comunque effettuata a valle del dimensionamento;

– Per le COLONNE:

∗ In relazione alla combinazione FONDAMENTALE deve verificarsi che(§4.2.4.1 delle NTC 2008):

1. Il valore del momento flettente resistente MN,Rd in presenza di sforzoassiale N, calcolato come

MN,Rd =fykγM0

Wpl

1− NSd

NRd

1− 0.5A−2b tf

A

≥MSd


deve essere maggiore del momento flettente sollecitanteMSd, dove NSd

è lo sforzo assiale sollecitate e NRd quello resistente calcolato come

NRd =fykγM0

A


VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd0.5


3. Va effettuata la verifica a presso-flessione, riportata nel §4.2.4.1.3.3delle NTC 2008 e nel §4.2.4.1.3.3 della Circolare esplicativa;

Per garantire il rispetto di tali verifiche sono stati impostati i valori dei coef-ficienti GammaM0, GammmaM1 e GammaM2, previsti nella Tab.4.2.Vdella normativa e come limite del fattore di utilizzo (Limite rapportodomanda capacità) r ≤ 1.0;

∗ In relazione e alla combinazione SISMICA S.L.V. deve verificarsi che (§7.5.4.2delle NTC 2008):


MRd =fykγM0

Wpl ≥MSd

deve essere maggiore del momento flettente sollecitante MSd, calcolatocome

MSd = MSd,G + 1.1 · γRd · Ω ·MSd,E

dove MSd,G è il momento flettente sollecitante dovuto alle azioni nonsismiche e MSd,E quello dovuto alle azioni sismiche;


NRd =fykγM0

A ≥ NSd

deve essere maggiore dello sforzo normale sollecitante NSd, calcolatocome

NSd = NSd,G + 1.1 · γRd · Ω ·NSd,E

dove NSd,G è lo sforzo normale sollecitante dovuto alle azioni nonsismiche e NSd,E quello dovuto alle azioni sismiche;



VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd0.50

e ridotto al 50% deve essere maggiore del taglio sollecitante VSd, cal-colato come

VSd = VSd,G + 1.1 · γRd · Ω · VSd,E

dove VSd,G è il taglio sollecitante dovuto alle azioni non sismiche e VSd,Equello dovuto alle azioni sismiche;

γRd = 1.15 per acciaio S 275 e Ω è il minimo rapporto MRd,i/MEd di tuttele travi, tra il momento resistente e il momento sollecitante in condizionisismiche. Per garantire il rispetto di tali verifiche, sono stati modificati perle sole colonne i parametri indicati in Fig.6.3, ovvero si è ridotti i fattori diutilizzo per 1.1 · γrd = 1.265. Si noti come l’impostazione di tali parametrinon consenta di verificare in modo automatico la prescrizione riportata nel§7.5.4.3 della normativa, secondo cui, per il rispetto della gerarchia tratrave e colonne, in ogni nodo deve valere la relazione∑

MC,Rd ≥ γRD ·∑

Mb,Rd

dove MC,Rd è il momento resistente della colonna calcolato per i livellidi sollecitazione assiale derivante dalla combinazione sismica, e Mb,Rd è ilmomento resistente delle travi convergenti nel nodo; tale prescrizione deveessere verificata a valle del dimensionamento;


– Per le TRAVI:

∗ In relazione alla combinazione RARA deve verificarsi che (§4.2.4.2 delleNTC 2008):

1. Lo spostamento massimo totale in mezzeria δmax sia inferiore a

δmax ≤L

250

2. Lo spostamento massimo in mezzeria δ2 dovuto ai soli carichi variabilisia inferiore a

δ2 ≤L

300

– Per le COLONNE:

∗ In relazione alla combinazione RARA deve verificarsi che (§4.2.4.2 delleNTC 2008):


1. Lo spostamento massimo di interpiano δ sia inferiore a

δ ≤ h

300

2. Lo spostamento massimo in testa all’edificio ∆ sia inferiore a

∆ ≤ H

500=

2350 cm

500= 4.7 cm

∗ In relazione alla combinazione SISMICA S.L.D. deve verificarsi che (§7.3.7.2delle NTC 2008):


δ ≤ h

200

Per garantire il rispetto di tali verifiche sono stati impostati i valori del limite totaledi spostamento e della freccia limite, rispettivamente a 250 e a 300; inoltre, è stataaggiunta una combinazione di verifica per gli spostamenti, in cui sono presenti soloi carichi variabili, ma amplificata del fattore 300/250 = 1.2, in modo da garantirecon lo stesso limite di spostamento massimo 250, anche la verifica 2. delle travi.Per garantire al verifica sullo spostamento massimo in testa dell’edificio è statoimpostato come target di spostamento il valore 23.5/500 = 4.7 cm.

Figura 6.2: Sovrascritture per le travi


Si noti che tutte le verifiche richieste per gli S.L.U. e gli S.L.E. in condizioni nonsismiche (quindi in relazione alla combinazione FONDAMENTALE e RARA) vanno ese-guite anche in condizioni sismiche (quindi in relazione alla combinazione S.L.V. ed S.L.D.rispettivamente).

Figura 6.3: Sovrascritture per le colonne

Un’ulteriore osservazione va fatta sul periodo dei modi di vibrare che voglio ottenereper la struttura. Infatti, se si osservano gli spettri di progetto riportati in Fig.5.5, in cuilo spettro per gli S.L.V. è quello ridotto attraverso il fattore di struttura q = 4.0, si vedeche per T > T ∗ = 1.893 s, lo spettro relativo agli S.L.V. (abbattuto attraverso q) risultaessere inferiore a quello relativo agli S.L.D.; ciò può creare un contraddizione del processoprogettuale, perché se i periodi dei primi modi di vibrare della struttura (in particolareil primo) dovessero essere maggiori di T ∗ si perde il vantaggio di avere una struttura ingrado di dissipare energia. In altre parole, lo scopo di poter avere una struttura duttile èquello di poter dissipare energia e ridurre così le azioni sismiche, quando si ha a che farecon stati limite ultimi; questo comportamento viene ”simulato” nelle analisi dinamichelineari riducendo lo spettro di progetto per gli S.L.V. attraverso il fattore di struttura,in modo tale che le azioni con cui si dimensiona e si verifica la struttura sono minori diquelle che si avrebbero se la struttura fosse perfettamente elastiche; allora, se per valoriridotti del periodo lo spettro di progetto agli S.L.V. risulta esser inferiore a quello agliS.L.D., ma per valori elevati del periodo questo non accade, vuol dire che per valori elevatidel periodo non si ha una struttura in grado di dissipare energia in modo ottimale. Perrisolvere tale problema, si è deciso di imporre un target di periodo per il primo modo divibrare, pari a 1.90 s.


6.2 Ottimizzazione degli elementi e confronti

Il processo di sizing viene effettuato in modo iterativo, ovvero si esegue l’analisi dellaconfigurazione iniziale e si effettua il dimensionamento automatico delle sezioni; dopodichési esegue l’analisi della nuova configurazione e si effettua di nuovo il dimensionamento, ecosì via finchè non si raggiunge la convergenza.

Per la CONFIGURAZIONE INIZIALE si riporta in Figg.6.5 e 6.4 per ogni elemento,oltre alla sezione di profilato utilizzata, i valori del fattore di utilizzo r della sezione e ilpeso dell’elemento.

Figura 6.4: Fattori di utilizzo degli elementi - Configurazione iniziale

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

r

Elementi

Tutti gli elementi

Travi Colonne Tutti gli elementi

Travi 6 ed R103.7016%

Travi 4 ed 5116.4519%

Travi 2 ed 3116.4519%

Colonne 18.7 ‐ 23.563.9510%

Colonne 10.2 ‐ 18.790.7414%

Colonne 0.0 ‐ 10.2137.7022%

Distribuzione dei pesi

Peso totale629.00 kN

Figura 6.5: Fattori di utilizzo degli elementi e pesi - Configurazione iniziale

6.2 – Ottimizzazione degli elementi e confronti 67

Codice el. Profilato Peso (kN/m) Lungh. (m) Peso tot. (kN) r 0

T.R.6 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.317 1 0.272

T.R.5 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.279 2 0.279

T.R.4 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.272 3 0.279

T.R.3 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.279 4 0.317

T.R.2 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.317 5 0.317

T.6.6 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.542 6 0.496

T.6.5 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.509 7 0.509

T.6.4 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.496 8 0.509

T.6.3 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.509 9 0.542

T.6.2 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.542 10 0.542

TOT. 103.70


T.5.6 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.640 1 0.540

T.5.5 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.569 2 0.569

T.5.4 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.540 3 0.569

T.5.3 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.569 4 0.611

T.5.2 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.640 5 0.640

T.4.6 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.724 6 0.640

T.4.5 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.647 7 0.647

T.4.4 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.611 8 0.647

T.4.3 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.647 9 0.724

T.4.2 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.724 10 0.724

TOT. 116.45


T.3.6 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.847 1 0.698

T.3.5 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.773 2 0.723

T.3.4 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.723 3 0.743

T.3.3 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.773 4 0.743

T.3.2 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.847 5 0.773

T.2.6 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.825 6 0.773

T.2.5 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.743 7 0.825

T.2.4 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.698 8 0.825

T.2.3 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.743 9 0.847

T.2.2 IPE750X137 1.370 8.50 11.65 0.825 10 0.847

TOT. 116.45


C.6.6 HE500B 1.870 5.70 10.66 0.273 1 0.273

C.6.5 HE500B 1.870 5.70 10.66 0.357 2 0.273

C.6.4 HE500B 1.870 5.70 10.66 0.351 3 0.351

C.6.3 HE500B 1.870 5.70 10.66 0.351 4 0.351

C.6.2 HE500B 1.870 5.70 10.66 0.357 5 0.357

C.6.1 HE500B 1.870 5.70 10.66 0.273 6 0.357

TOT. 63.95


C.4.6 HE550B 1.990 5.70 11.34 0.417 1 0.417

C.4.5 HE550B 1.990 5.70 11.34 0.617 2 0.417

C.4.4 HE550B 1.990 5.70 11.34 0.610 3 0.610

C.4.3 HE550B 1.990 5.70 11.34 0.610 4 0.610

C.4.2 HE550B 1.990 5.70 11.34 0.617 5 0.617

C.4.1 HE550B 1.990 5.70 11.34 0.417 6 0.617

TOT. 68.06


C.2.6 HE650B 2.250 5.70 12.83 0.764 1 0.764

C.2.5 HE650B 2.250 5.70 12.83 0.951 2 0.764

C.2.4 HE650B 2.250 5.70 12.83 0.955 3 0.951

C.2.3 HE650B 2.250 5.70 12.83 0.955 4 0.951

C.2.2 HE650B 2.250 5.70 12.83 0.951 5 0.955

C.2.1 HE650B 2.250 5.70 12.83 0.764 6 0.955

TOT. 76.95

COLONNE DA QUOTA 17.80 m A 23.50 m



TRAVI PIANO 6 ED R

TRAVI PIANO 4 E 5

TRAVI PIANO 2 E 3

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r

Elementi

Travi piano 6 ed R

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r

Elementi

Travi piano 4 ed 5

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r

Elementi

Travi piano 2 ed 3

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6

r

Elementi

Colonne da quota 17.80 m a 23.50 m

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6

r

Elementi


0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6

r

Elementi



In Figg.6.7 e 6.8, invece, si riportano le stesse grandezze per la CONFIGURAZIONEFINALE, rappresentata in Fig.6.6.

Figura 6.6: Configurazione finale a valle del sizing

Figura 6.7: Fattori di utilizzo degli elementi - Configurazione finale



T.R.6 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.378 1 0.378

T.R.5 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.413 2 0.378

T.R.4 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.410 3 0.410

T.R.3 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.413 4 0.413

T.R.2 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.378 5 0.413

T.6.6 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.460 6 0.448

T.6.5 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.487 7 0.460

T.6.4 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.448 8 0.460

T.6.3 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.487 9 0.487

T.6.2 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.460 10 0.487

TOT. 103.70


T.5.6 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.404 1 0.372

T.5.5 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.475 2 0.372

T.5.4 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.457 3 0.404

T.5.3 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.475 4 0.404

T.5.2 IPE600 1.220 8.50 10.37 0.404 5 0.412

T.4.6 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.372 6 0.431

T.4.5 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.431 7 0.431

T.4.4 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.412 8 0.457

T.4.3 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.431 9 0.475

T.4.2 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.372 10 0.475

TOT. 110.08


T.3.6 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.554 1 0.465

T.3.5 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.492 2 0.466

T.3.4 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.466 3 0.491

T.3.3 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.492 4 0.491

T.3.2 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.554 5 0.492

T.2.6 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.558 6 0.492

T.2.5 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.491 7 0.554

T.2.4 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.465 8 0.554

T.2.3 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.491 9 0.558

T.2.2 IPE750x137 1.370 8.50 11.65 0.558 10 0.558

TOT. 116.45


C.6.6 HE800B 2.620 5.70 14.93 0.244 1 0.244

C.6.5 HE800B 2.620 5.70 14.93 0.279 2 0.244

C.6.4 HE800B 2.620 5.70 14.93 0.297 3 0.279

C.6.3 HE800B 2.620 5.70 14.93 0.297 4 0.279

C.6.2 HE800B 2.620 5.70 14.93 0.279 5 0.297

C.6.1 HE800B 2.620 5.70 14.93 0.244 6 0.297

TOT. 89.60


C.4.6 HE900B 2.910 7.60 22.12 0.456 1 0.456

C.4.5 HE900B 2.910 7.60 22.12 0.519 2 0.456

C.4.4 HE900B 2.910 7.60 22.12 0.515 3 0.515

C.4.3 HE900B 2.910 7.60 22.12 0.515 4 0.515

C.4.2 HE900B 2.910 7.60 22.12 0.519 5 0.519

C.4.1 HE900B 2.910 7.60 22.12 0.456 6 0.519

TOT. 132.70


C.2.6 HE1000B 3.140 10.20 32.03 0.495 1 0.495

C.2.5 HE1000B 3.140 10.20 32.03 0.748 2 0.495

C.2.4 HE1000B 3.140 10.20 32.03 0.749 3 0.748

C.2.3 HE1000B 3.140 10.20 32.03 0.749 4 0.748

C.2.2 HE1000B 3.140 10.20 32.03 0.748 5 0.749

C.2.1 HE1000B 3.140 10.20 32.03 0.495 6 0.749

TOT. 192.17




TRAVI PIANO 6 ED R

TRAVI PIANO 4 E 5

TRAVI PIANO 2 E 3

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r

Elementi

Travi piano 6 ed R

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r

Elementi

Travi piano 4 ed 5

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r

Elementi

Travi piano 2 ed 3

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6

r

Elementi


0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6

r

Elementi


0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.0001.100

1 2 3 4 5 6

r

Elementi


Per la struttura finale sono state eseguite 3 tipologie di analisi:


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

r

Elementi

Tutti gli elementi

Travi Colonne Tutti gli elementi

Travi 6 ed R103.7014%

Travi 4 ed 5110.0815%

Travi 2 ed 3116.4515%

Colonne 18.7 ‐ 23.589.6012%

Colonne 10.2 ‐ 18.7132.7018%

Colonne 0.0 ‐ 10.2192.1726%

Distribuzione dei pesi

Peso totale744.69 kN

Figura 6.8: Fattori di utilizzo degli elementi e pesi - Configurazione finale

1) Un’analisi della struttura sottoposta ai carichi gravitazionali, per quale sono statericavate le massime sollecitazioni negli elementi;



Per l’analisi della struttura soggetta ai carichi gravitazionali sono stati confrontate lesollecitazioni agenti alla base delle colonne con quelle che sono state ottenute nell’analisidella struttura iniziale. I risultati sono riportati in Fig.6.9.

In Fig.6.10, invece, sono riportati dei diagrammi in cui in ascissa sono riportati i valoridi sollecitazione in tutti gli elementi per la struttura iniziale e in ordinata gli stessi valori disollecitazione ma per la struttura finale. Come si vede, i punti si dispongono lungo la rettabisettrice del diagramma, anche se in maniera dispersa; questo indica che le sollecitazioninelle due strutture in media sono simili, probabilmente perché la maggior parte dellesollecitazioni è dovuta ai carichi trasmessi dalla parte di struttura non modellata, che èrimasta invariata durante il sizing.


1 2 3 4 5 6

N (kN) 1394.51 2396.02 2417.42 2417.42 2396.02 1394.51

M (kNm) 575.21 606.20 601.96 601.96 602.89 533.78

N (kN) 1982.16 3367.92 3404.68 3404.68 3367.92 1982.16

M (kNm) 610.39 641.77 637.46 637.46 638.46 568.96

N (kN) 1337.65 3077.59 3120.20 3120.20 3077.59 1337.65

M (kNm) 475.15 638.53 640.94 640.87 642.17 516.49

N (kN) -644.51 -290.33 -284.48 -284.48 -290.33 -644.51

M (kNm) -135.23 -3.24 3.48 3.41 3.71 -52.46

N (kN) -48.18% -9.43% -9.12% -9.12% -9.43% -48.18%

M (kNm) -28.46% -0.51% 0.54% 0.53% 0.58% -10.16%

SOLLECITAZIONI ALLA BASE DELLE COLONNE

COLONNA

Struttura italiana iniziale

Struttura italiana finale

Differenze

Struttura americana

Differenze percentuali

0.00

500.00

1000.00

1500.00

2000.00

2500.00

3000.00

3500.00

4000.00

1 2 3 4 5 6

Sforzo norm

ale N (kN

)

Piano



Struttura americana

0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

1 2 3 4 5 6

Momento flettente (kN

m)

Piano



Struttura americana

Figura 6.9: Sollecitazioni alla base delle colonne per le tre strutture


‐200

‐100

0

100

200

300

400

500

600

700

‐200 0 200 400 600 800

Sollecitazioni elementi struttura finale

Sollecitazioni elementi struttura iniziale

T

M

‐3500

‐3000

‐2500

‐2000

‐1500

‐1000

‐500

0

‐3500 ‐3000 ‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0Sollecitazioni elementi struttura

finale

Sollecitazioni elementi struttura iniziale

Figura 6.10: Sollecitazioni in tutti gli elementi per la struttura iniziale e finale

Per l’analisi modale, invece, sono stati confrontati i periodi dei modi propri di vibraredella struttura, riportati in Fig.6.11.

Infine, sono stati confrontati gli spostamenti i piano ottenuti dall’analisi dinamicalineare per le due strutture soggetta ad azione sismica. I risultati sono riportati in Fig.6.12.


Americana Iniziale Finale Differenze

1.9597 2.1622 1.8465 0.315644

0.6615 0.7437 0.5954 0.148347

0.3753 0.4177 0.2959 0.121788

0.2631 0.2816 0.1874 0.094217

0.2070 0.2099 0.1298 0.080038

0.1769 0.1665 0.1020 0.064505

da SAP

Iniziale Finale

0.021088 0.017973

0.003033 0.011613

0.045336 0.034898

0.00652 0.021746

0.06917 0.04976

0.009948 0.030111

0.090225 0.064379

0.012976 0.038153

0.107865 0.07882

0.015513 0.046534

0.11956 0.090077

0.017195 0.053782

4 50.28%

5 61.65%

6 63.22%

1 17.09%

2 24.92%

3 41.16%

PERIODI MODI DI VIBRARE

MODOT (s)

Differenze percent.

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

1 2 3 4 5 6

T (s)

Modi

Iniziale

Finale

Americana

Modo 1

Modo 2

Modo 3

Modo 4

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500

Sd

[g]

T [s]

Periodi struttura finale

SLV SLD

Figura 6.11: Periodi propri di vibrare per le tre strutture


2 3 4 5 6 R

1.00 2.07 3.06 3.92 4.65 5.18

1.17 2.48 3.73 4.82 5.73 6.34

0.95 2.00 3.00 3.86 4.58 5.08

0.93 2.00 3.02 3.90 4.63 5.12

1.13 2.49 3.86 5.08 6.10 6.85

0.71 1.68 2.67 3.63 4.52 5.01

0.65 1.53 2.45 3.34 4.16 4.76Finale S.L.V.

Spostamenti - Analisi modale (cm)

PIANO

Iniziale S.L.D.

Iniziale S.L.V.

Americana S.L.D.

Americana S.L.V.

Americana

Finale S.L.D.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00

2

3

4

5

6

R


Amaricana Forze statiche FEMA Finale S.L.D. Americana S.L.D. Iniziale S.L.D.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00

2

3

4

5

6

R

Spostamenti ‐ S.L.V. (cm)

Amaricana Forze statiche FEMA Finale S.L.V. Americana S.L.V. Iniziale S.L.V.

Figura 6.12: Spostamenti di piano da analisi modale per le tre strutture

Capitolo 7

Analisi di push-over

Tra le due strutture analizzate (oltre a quella avente i profili americani) è stata presain considerazione la struttura ottenuta per mezzo con il processo di ottimizzazione dellesezioni degli elementi (sizing), la cui configurazione è riportata in Fig.6.6. Questa è lastruttura definitiva che si è scelto di realizzare, ma prima di effettuare le varie verifiche, siè deciso di effettuare un’analisi statica non lineare (o di Push-over), al fine di determinarnela risposta in campo elasto-plastico in modo più accurato e il valore effettivo del fattoredi struttura q.

L’analisi di Push-over è stata eseguita in accordo con le indicazioni riportate nel§7.3.4.1 delle NTC 2008. In pratica, sono state applicate alla struttura i carichi gravi-tazionali e, per la direzione considerata dell’azione sismica, un sistema di forze orizzontalidistribuite, ad ogni livello della costruzione, proporzionalmente alle forze d’inerzia edaventi risultante (taglio alla base) Fb. Tali forze sono scalate in modo da far cresceremonotonamente, sia in direzione positiva che negativa e fino al raggiungimento delle con-dizioni di collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di controllocoincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione.

7.1 Distribuzioni di forze applicate

Oltre ai carichi gravitazionali, è stata considerata la distribuzione di forze ricadente trale distribuzioni principali (Gruppo 1):

GRUPPO 1 - DISTRIBUZIONI PRINCIPALIDistribuzione proporzionale alle forze statiche, applicabile solo se il modo di vibrare fon-damentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al75%. È stata assunta come distribuzione di forze proprio quella pari alle forze staticheequivalenti relative agli S.L.V.;

76 Cap. 7 – Analisi di push-over

Figura 7.1: Distribuzioni di carico per il Push-over

Tale distribuzione di forze è stata utilizzata per impostare nel codice di calcolo ilcaso di carico statico non lineare per il pus-over; tale caso prevede come distribuzioni dicarico base quella derivante dalla suddetta distribuzione e prevede un’analisi eseguita sottol’ipotesi di piccoli spostamenti e in controllo di spostamento (lo spostamento di controlloè quello del centro di massa dell’ultimo livello della costruzione); il punto di partenza ditale analisi, tuttavia, è lo stato che si ottiene dopo aver applicato alla struttura i carichigravitazionali, combinati secondo la combinazione sismica, riportate nel Par.5.2.3.

Figura 7.2: Casi di carico per il Push-over

7.2 – Definizione delle cerniere plastiche 77

7.2 Definizione delle cerniere plastiche

Per poter modellare il comportamento elasto-plastico della struttura si è deciso di utiliz-zare un modello a plasticità concentrata, ovvero sono state definite ed assegnate ai varielementi delle cerniere plastiche concentrate in tratti specifici degli stessi, come descrittodi seguito.

7.2.1 Cerniere plastiche per le travi

Per ogni trave è stata definita una cerniera plastica flessionale, in termini di momento-curvatura.

È stato necessario calcolare il momento flettente di snervamento My, il momento flet-tente plasticoMp, la curvatura di snervamento χy e la curvatura di collasso χu di ciascunatrave

My = fyd ·Wel e Mp = fyd ·Wpl

χy =εyh/2

e χu =εuh/2

Figura 7.3: Definizione caratteristiche cerniere plastiche flessionali per le travi

I parametri della cerniera sono riportati in Fig.7.3. Si assume una lunghezza dellacerniera plastica pari all’altezza della sezione.

Quindi, è stata assegnata ad ogni trave la cerniera plastica flessionale definita, collo-candone una ad ogni estremità e una nella mezzeria (Fig.7.7).


Figura 7.4: Definizione caratteristiche cerniera plastica flessionale per le travi

7.2.2 Cerniere plastiche per le colonne

Per ogni colonna è stata definita una cerniera plastica a presso-flessione, in termini dimomento-curvatura.

È stato necessario calcolare il momento flettente di snervamento My, il momento flet-tente plasticoMp, la curvatura di snervamento χy e la curvatura di collasso χu di ciascunatrave

My = fyd ·Wel e Mp = fyd ·Wpl

χy =εyh/2

e χu =εuh/2

nonché il dominio di interazione M-N per quelle di plasticizzazione (N −Mp), per il qualesi è utilizzata l’equazione

M

Mp

= 1−(N

Ny

)2

I parametri della cerniera sono riportati in Fig.7.6. Si assume una lunghezza dellacerniera plastica pari all’altezza della sezione.

7.2 – Definizione delle cerniere plastiche 79

Figura 7.5: Domini di interazione

Figura 7.6: Definizione caratteristiche cerniere plastiche presso-inflesse per le colonne


Quindi, è stata assegnata ad ogni colonna la cerniera plastica definita, collocandoneuna ad ogni estremità (Fig.7.7).

Figura 7.7: Assegnazioni cerniere plastiche

7.3 Curve di Push-over e fattore di struttura q

In Fig.7.8 viene rappresenta la curva di Push-over, ovvero il diagramma avente in ascissai valori dello spostamento del punto di controllo δ (mm) e in ordinata i valori del taglioalla base della struttura Fb (kN).

Nella stesa figura vengono riportati i calcoli per la determinazione del fattore di strut-tura q. Questo è stato determinato considerando lo step 1 in cui si ha la formazione dellaprima cerniera plastica, lo step 8 in cui si ha la formazione dell’ultima cerniera plastica(ovvero della 65a cerniera plastica) e lo step 11 in cui si ha il collasso della struttura;a questi step corrispondono i valori dello spostamento e del taglio alla base indicati ri-spettivamente con i pedici ”1”, ”65” e ”u”. A partire da tali dati è stata determinata lacurva di push-over bilinearizzata, ovvero la curva che ha tratto iniziale parallelo al trattoelastico della curva reale e poi un tratto orizzontale in corrispondenza del valore di piccodel taglio alla base; il punto in cui la curva bilineare cambia pendenza è rappresentatodallo spostamento δy. Inoltre, è stata calcolata la risposta della struttura che si avrebbese questa rimanesse sempre in campo elastico, con rigidezza pari a quella iniziale e spo-stamento ultimo pari a δel = δu; il corrispondente valore del taglio alla base che si avrebbeè indicato come Fel.

7.3 – Curve di Push-over e fattore di struttura q 81

Step α (kN) δ (cm)

0 0.0 0.00

1 3014.9 9.36

2 4047.1 14.50

3 4209.0 15.92

4 4258.4 16.63

5 4351.7 19.03

6 4758.6 48.25

7 4820.7 59.91

8 4822.9 60.59

9 4822.9 85.68

10 4822.9 85.68

11 4823.6 86.94

12 4817.4 91.92

13 3733.3 160.07

14 2671.5 290.09

α1 (kN) δ1 (cm)

3014.91 9.4

α65 (kN) δ65 (cm)

4822.89 60.6

αu (kN) δu (cm)

4823.65 86.9

αy (kN) δy (cm)

4823.65 15.0

αel (kN) δel = δu (cm)

28008.61 86.9

ρ1 qμ1.600 5.807

q 9.290

prima

cerniera

ultima

cerniera

collasso

bilineare

elastica

equival.

δ1δy δ65

αu

δu

αel

0.0

5000.0

10000.0

15000.0

20000.0

25000.0

30000.0

0.00 50.00 100.00 150.00

Taglio alla

base (kN

)

Spostamento (cm)

Curva di Push‐over

Curva di push‐over Push‐over bilinearizzata

Lineare equivalente

δ1δy δ65

αu

δu

0.0

1250.0

2500.0

3750.0

5000.0

0.00 50.00 100.00 150.00

Taglio alla

base (kN

)

Spostamento (cm)

Curva di Push‐over

Serie1 Push‐over bilinearizzata

Figura 7.8: Curva di push-over

Il valore del fattore di struttura è dato, quindi, da

q = qµ · ρ1 =αelαu· αuα1

=αelα1

= 9.29

Come indicato nel §7.3.1 delle NTC 2008, il valore del fattore di struttura utilizzatoper ridurre le azioni sismiche (o meglio gli spettri di progetto) nel caso di analisi lineariagli S.L.U., è stato determinato come

q = q0 ·KR ·KD = 9.29

KR = 1.0 per edifici regolari in altezza;

KD = 1.0 quando si utilizzano profilati con sezioni duttili e semicompatte (classI 1 e 2);


In Fig.7.9, invece, vengono rappresentati gli step fondamentali dell’analsi, in cui si puòvedere l’ordine di formazione delle cerniere plastiche.

Figura 7.9: Ordine di formazione delle cerniere plastiche

7.4 Analisi con nuovo valore del fattore di struttura

Utilizzando il valore del fattore di struttura calcolato con l’analisi di push-over, è statoricalcolato lo spettro di progetto per gli S.L.V., rappresentato in Fig.7.10.

Infine, in Fig.7.11 vengono rappresentati dei diagrammi in cui si confrontano le sol-lecitazioni nei vari elementi ottenuti con gli spettri per gli S.L.V. relativi a q = 4.0 e aq = 9.29. Come si vede, gli sforzi normali sono pressoché simili (ad eccezione di alcunipochi elementi in cui gli sforzi normali per q = 9.29 sono leggermente maggiori), e questoperché tali sollecitazioni sono dovute principalmente ai carichi gravitazionali, che restanoinvariate; i tagli e i momenti flettenti, invece, sono sistematicamente più bassi in tutti glielementi nel caso di q = 9.29, come ci si aspettava, essendo tale spettro minore di quellorelativo a q = 4.0.

7.4 – Analisi con nuovo valore del fattore di struttura 83

Modo 1

Modo 2

Modo 3Modo 4

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500

Sd

[g]

T [s]

SLV SLD SLV - q = 4.0

Figura 7.10: Spettri di progetto con q = 9.29

‐300

‐100

100

300

500

700

900

1100

1300

‐100 100 300 500 700 900 1100 1300

Taglio (kN

) e m

omento flettente

(kNm) ‐q = 9.29

Taglio (kN) e momento flettente (kNm) ‐ q = 4.0

T M

‐2000

‐1800

‐1600

‐1400

‐1200

‐1000

‐800

‐600

‐400

‐200

0

‐2000‐1500‐1000‐5000Sforzo norm

ale N (kN

) ‐q = 9.29

Sforzo normale N (kN) ‐ q = 4.0

Figura 7.11: Confronto sollecitazioni con i due valori di q

Capitolo 8

Verifiche della struttura a telaio

Per gli elementi appartenenti ai telai di facciata est ed ovest, ovvero gli elementi modellatinel codice di calcolo, sono state eseguite le verifiche previste dalle NTC 2008 e riportatenei paragrafi seguenti.

Sono state considerate le seguenti combinazioni di carico (Vedi Par.5.2.3):


– Combinazione FONDAMENTALE;

– Combinazione SISMICA S.L.V.;



– Combinazione RARA;


In realtà, la normativa prevede che le verifiche di resistenza in presenza dell’azionesismica, vengano fatte solamente in relazione alla Combinazione SISMICA S.L.V., però,per la nostra struttura il fattore di struttura è tale che lo spettro di progetto relativo agliS.L.V. ha ordinate inferiori a quelle dello spettro relativo agli S.L.D. (Fig.7.10), quindi lastruttura è soggetta a forze maggiori nel caso degli S.L.D.; quest’ulteriore verifica è stataeseguita controllando che sotto le azioni prodotte dalla Combinazione SISMICA S.L.D.,tutte le travi restino in campo elastico.

86 Cap. 8 – Verifiche della struttura a telaio

8.1 Verifiche delle travi


– In relazione alla combinazione FONDAMENTALE deve verificarsi che (§4.2.4.1delle NTC 2008):


MRd =fykγM0

Wpl ≥MSd



NRd =fykγM0

A ≥ NSd

deve essere maggiore dello sforzo normale sollecitante NSd;


VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd0.5


– In relazione e alla combinazione SISMICA S.L.V. deve verificarsi che (§7.5.4.1delle NTC 2008):


MRd =fykγM0

Wpl ≥MSd



NRd =fykγM0

A ≥ NSd

0.15

e ridotto al 15% deve essere maggiore dello sforzo normale sollecitante NSd;


VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd,G + VSd,M

0.50

e ridotto al 50% deve essere maggiore della somma del taglio sollecitanteVSd,G dovuto alle sole azioni non sismiche e del taglio sollecitante VSd,M do-vuto all’applicazione dei momenti plastici resistenti equiversi; quest’ultimo

8.1 – Verifiche delle travi 87

è dato da

VSd,M = γrdMrd,dx +Mrd,sx

Ltravecon γrd = 1.1 · 1.15

– In relazione e alla combinazione SISMICA S.L.D. deve verificarsi che:

1. Il valore del momento flettente di snervamento Myd, calcolato come

Myd =fykγM0

Wel ≥MSd



– In relazione alla combinazione RARA deve verificarsi che (§4.2.4.2 delle NTC2008):

1. Lo spostamento massimo totale in mezzeria δmax sia inferiore a

δmax ≤L

250

2. Lo spostamento massimo in mezzeria δ2 dovuto ai soli carichi variabili siainferiore a

δ2 ≤L

300

8.1.1 Verifica IPE 750x137

Sono tutte le travi appartenenti agli orizzontamenti del piano 2, 3 e 4. Per ciascuna com-binazione è stata considerata la massima azione sollecitate (sollecitazione o spostamentoa seconda dei casi) relativa ad ognuna delle combinazioni di carico prese in esame.

Sezione A (cm2) At (cm

2) Wel (cm

3) Wpl (cm

3)

IPE750x137 175.00 93.32 4246.00 4865.00

Mrd (kNm) MSd (kNm) Nrd (kN) NSd (kN)

1274.17 458.04 4583.33 0.00

Vrd (kN) VSd (kN)

705.51 167.75

COMBINAZIONE FONDAMENTALE

OK OK

OK



1274.17 300.92 687.50 0.09

Vrd (kN) VSd,G (kN) VSd,M (kN) VSd (kN)

705.51 76.62 379.25 455.87

OK

COMBINAZIONE SISMICA S.L.V.

OK OK

Myd (kNm) MSd (kNm)

1112.05 608.16

COMBINAZIONE SISMICA S.L.D.

OK

L/250 (cm) δmax (cm) L/300 (cm) δ2 (cm)

3.40 0.37 2.83 0.12

COMBINAZIONE RARA

OK OK

8.1.2 Verifica IPE 600

Sono tutte le travi appartenenti agli orizzontamenti del piano 5, 6 e R. Per ciascuna com-binazione è stata considerata la massima azione sollecitate (sollecitazione o spostamentoa seconda dei casi) relativa ad ognuna delle combinazioni di carico prese in esame.


2) Wel (cm

3) Wpl (cm

3)

IPE600 156.00 83.80 3069.00 3513.00


920.07 298.76 4085.71 0.00

Vrd (kN) VSd (kN)

633.57 130.33


OK OK

OK

8.2 – Verifiche delle colonne 89


920.07 222.52 612.86 0.10

Vrd (kN) VSd,G (kN) VSd,M (kN) VSd (kN)

633.57 63.71 273.86 337.57

OK


OK OK

Myd (kNm) MSd (kNm)

803.79 418.75

COMBINAZIONE SISMICA S.L.D.

OK

L/250 (cm) δmax (cm) L/300 (cm) δ2 (cm)

3.40 1.69 2.83 0.51

COMBINAZIONE RARA

OK OK

8.2 Verifiche delle colonne


– In relazione alla combinazione FONDAMENTALE deve verificarsi che (§4.2.4.1delle NTC 2008):

1. Il valore del momento flettente resistenteMN,Rd in presenza di sforzo assialeN, calcolato come

MN,Rd =fykγM0

Wpl

1− NSd

NRd

1− 0.5A−2b tf

A

≥MSd

deve essere maggiore del momento flettente sollecitante MSd, dove NSd èlo sforzo assiale sollecitate e NRd quello resistente calcolato come

NRd =fykγM0

A



VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd0.5


3. Va effettuata la verifica a presso-flessione, riportata nel §4.2.4.1.3.3 delleNTC 2008 e nel §C4.2.4.1.3.3 della Circolare esplicativa; in tal caso si èutilizzato il programma di calcolo Profili V6;

– In relazione e alla combinazione SISMICA S.L.V. deve verificarsi che (§7.5.4.2delle NTC 2008):


MRd =fykγM0

Wpl ≥MSd

deve essere maggiore del momento flettente sollecitante MSd

MSd = MSd,G + 1.1 · γRd · Ω ·MSd,E

dove MSd,G è il momento flettente sollecitante dovuto alle azioni non si-smiche e MSd,E quello dovuto alle azioni sismiche;


NRd =fykγM0

A ≥ NSd

deve essere maggiore dello sforzo normale sollecitante NSd, calcolato come

NSd = NSd,G + 1.1 · γRd · Ω ·NSd,E

dove NSd,G è lo sforzo normale sollecitante dovuto alle azioni non sismichee NSd,E quello dovuto alle azioni sismiche;


VRd =fyk√

3 · γM0

Ataglio ≥VSd0.50

e ridotto al 50% deve essere maggiore del taglio sollecitante VSd

VSd = VSd,G + 1.1 · γRd · Ω · VSd,E

dove VSd,G è il taglio sollecitante dovuto alle azioni non sismiche e VSd,Equello dovuto alle azioni sismiche;


γRd = 1.15 per acciaio S 275 e Ω è il minimo rapporto MRd,i/MEd di tutte letravi, tra il momento resistente e il momento sollecitante in condizioni sismiche.

8.2.1 Verifica HEB 1000

Sono le colonne che vanno dalla quota 0.0 m (base dell’edificio) alla quota 10.20 m (puntointermedio tra l’orizzontamento del piano 3 e quello del piano 4). Per ciascuna combi-nazione è stata considerata la massima azione sollecitate (sollecitazione o spostamento aseconda dei casi) relativa ad ognuna delle combinazioni di carico prese in esame.

Gli elementi più sollecitati (sia per lo sforzo normale, sia per il taglio, sia per il momentoflettente) risultano essere le colonne centrali della struttura.


2) Wel (cm

3) Wpl (cm

3) b (cm) tf (cm)

HE1000B 400.00 212.44 12890.00 14860.00 30.00 3.60

Nrd (kNm) NSd (kNm) Mrd (kNm) MSd (kNm)

10476.19 3425.75 3401.61 844.06

Vrd (kN) VSd (kN)

1606.16 214.79


OK

OK


Il minimo valore di Ωi = 920.0 kNm222.5 kNm

= 4.135 si ha nella trave IPE600 della campata più adestra del telaio all’orizzontamento 4.

Mrd (kNm) MSd,G (kNm) MSd,E (kNm) MSd (kNm)

3891.90 0.88 513.67 3505.28

Nrd (kN) NSd,G (kN) NSd,E (kN) NSd (kN)

10476.19 1729.06 132.82 2635.18

Vrd (kN) VSd,G (kN) VSd,E (kN) VSd (kN)

1606.16 23.80 105.73 745.15

OK

OK

OK



Sono le colonne che vanno dalla quota 10.2 m (punto intermedio tra l’orizzontamento delpiano 3 e quello del piano 4) alla quota 17.80 m (punto intermedio tra l’orizzontamento delpiano 5 e quello del piano 6). Per ciascuna combinazione è stata considerata la massimaazione sollecitate (sollecitazione o spostamento a seconda dei casi) relativa ad ognunadelle combinazioni di carico prese in esame.



2) Wel (cm

3) Wpl (cm

3) b (cm) tf (cm)

HE900B 371.00 188.48 10980.00 12590.00 30.00 3.50


9716.67 2237.27 3241.50 342.77

Vrd (kN) VSd (kN)

1424.97 165.78


OK

OK





3297.38 4.51 229.03 1567.05


9716.67 329.62 870.92 6271.29


1424.97 23.80 93.05 658.59

OK


OK

OK



Sono le colonne che vanno dalla quota 17.8 m (punto intermedio tra l’orizzontamentodel piano 5 e quello del piano 6) alla quota 23.50 m (sommità della struttura). Perciascuna combinazione è stata considerata la massima azione sollecitate (sollecitazione ospostamento a seconda dei casi) relativa ad ognuna delle combinazioni di carico prese inesame.



2) Wel (cm

3) Wpl (cm

3) b (cm) tf (cm)

HE800B 334.00 161.58 8977.00 10230.00 30.00 3.30


8747.62 1062.91 2955.44 226.58

Vrd (kN) VSd (kN)

1221.59 78.12


OK

OK

8.3 – Verifiche sui drift 95




2679.29 23.10 179.50 1247.69


8747.62 164.81 385.26 2793.16


1221.59 23.80 56.18 407.11

OK


OK

OK

8.3 Verifiche sui drift

• In relazione alla combinazione RARA deve verificarsi che (§4.2.4.2 delle NTC 2008):


δ ≤ h

300=

1.50 cm per il piano 21.27 cm per i restanti piani

2. Lo spostamento massimo in testa all’edificio ∆ sia inferiore a

∆ ≤ H

500=

2350 cm

500= 4.7 cm

La verifica è riportata in Fig.8.1.

• In relazione alla combinazione SISMICA S.L.D. deve verificarsi che (§7.3.7.2 delleNTC 2008):


δ ≤ h

200=

2.25 cm per il piano 21.90 cm per i restanti piani

La verifica è riportata in Fig.8.2.


2 3 4 5 6 R

0.30 0.70 1.09 1.44 1.72 1.90

0.30 0.40 0.39 0.35 0.28 0.17

OK OK OK OK OK OK

Spostamenti - RARA (cm)

PIANO

Totale

Drift

0

5

10

15

20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

2

3

4

5

6

R

Spostamenti ‐ RARA (cm)Drift Totale Limite drift Limite totale

Figura 8.1: Verifiche spostamenti RARA

2 3 4 5 6 R

0.71 1.68 2.67 3.63 4.52 5.18

0.71 0.97 0.99 0.96 0.89 0.66

OK OK OK OK OK OK

Spostamenti - S.L.D. (cm)

PIANO

Totale

Drift

0

5

10

15

20

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

2

3

4

5

6

R

Spostamenti ‐ S.L.D. (cm)Drift Totale Limite drift

Figura 8.2: Verifiche spostamenti S.L.D.

8.4 – G.R. Trave - Colonna 97

8.4 G.R. Trave - Colonna

Per assicurare lo sviluppo del meccanismo globale dissipativo, la normativa impone ilrispetto della seguente condizione, al fine di garantire il rispetto della gerarchia delleresistenze tra la travi e le colonne che concorrono in uno stesso nodo:∑

MC,Rd ≥ γRD ·∑

Mb,Rd con γRD = 1.1 per CD”B”

dove MC,Rd è il momento resistente della colonna calcolato per i livelli di sollecitazioneassiale derivante dalla combinazione sismica S.L.V., Mb,Rd è il momento resistente delletravi convergenti nel nodo, calcolato come

Mb,Rd = γRdfykγM0

Wpl γRd = 1.15 per acciai S275

Il momento resistente delle colonne è stato determinato considerando il dominio diinterazione M-N in fase di plasticizzazione (N−Mp), per il quale si è utilizzata l’equazione

MC,Rd

Mp

= 1−(NSd

Ny

)2

Mp =fykγM0

Wpl Ny =fykγM0

A

I nodi considerati per le verifiche sono quelli indicati in Fig.8.3. La selezione è statafatta considerando il numero di elementi convergenti e le relative sezioni, e prendendoa parità di queste condizioni quello in cui le colonne risultano avere lo sforzo normaleminore; in questo modo si possono ritenere verificati tutti i nodi della struttura.

Figura 8.3: Nodi verificati

Si osservi che, a parità di sezioni, i nodi in cui converge una sola trave sono verificatese lo sono i relativi nodi in cui convergono due travi (tra l’altro nella nostra struttura lecolonne dei primi risultano sempre meno sollecitate assialmente delle colonne dei secondi).


8.4.1 Nodo 1HE1000B

HE1000B

Sezione A (cm2) Wpl (cm

3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE1000B 400.00 14860.00 IPE750x137 175.00 4865.00

Mp (kNm) Ny (kN) Mb,Rd (kNm)

3891.90 10476.19 1465.29

NSd (kN) MC.Rd (kNm)

1861.73 3768.99


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE1000B 400.00 14860.00 IPE750x137 175.00 4865.00


3891.90 10476.19 1465.29


1532.90 3808.58

OK

∑ MC,Rd (kNm)

7577.57

γRD∑ Mb,Rd (kNm)

3223.64

Trave sx

Trave dx

Colonna inferiore

Colonna superiore

IPE750x137 IPE750x137

8.4.2 Nodo 2HE900B

HE900B


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE900B 371.00 12590.00 IPE750x137 175.00 4865.00


3297.38 9716.67 1465.29


879.90 3270.34


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE900B 371.00 12590.00 IPE750x137 175.00 4865.00


3297.38 9716.67 1465.29


1200.38 3247.06

OK

∑ MC,Rd (kNm) γRD∑ Mb,Rd (kNm)

6517.40 3223.64

IPE750x137 IPE750x137

Colonna inferiore Trave sx

Colonna superiore Trave dx

8.4 – G.R. Trave - Colonna 99

8.4.3 Nodo 3HE800B

HE800B


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE800B 334.00 10230.00 IPE600 156.00 3513.00


2679.29 8747.62 1058.08


231.37 2677.41


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE800B 334.00 10230.00 IPE600 156.00 3513.00


2679.29 8747.62 1058.08


549.45 2668.72

OK


5346.13 2327.78

IPE600 IPE600



8.4.4 Nodo 4HE800B

HE800B


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE800B 334.00 10230.00 IPE600 156.00 3513.00


2679.29 8747.62 1058.08


231.37 2677.41


3) Sezione A (cm

2) Wpl (cm

3)

HE800B 334.00 10230.00 IPE600 156.00 3513.00


2679.29 8747.62 1058.08


549.45

OK


2677.41 2327.78

IPE600 IPE600



Capitolo 9

Modellazione e analisi di un nodo deltelaio

In tutta le analisi svolte fino ad ora, le unioni tra i vari elementi del telaio sono staticonsiderati infinitamente rigidi. In questo capitolo viene riportata l’analisi svolta su di unparticolare nodo della struttura (Nodo cerchiato in rosso in Fig.9.1).

Figura 9.1: Nodo modellato

Il nodo in esame vede la connessione di una colonna HEB 800 con una trave IPE 600.La colonna prosegue oltre l’orizzontamento cui appartiene la trave, quindi quest’ultima ècollegata all’anima della colonna per mezzo di una flangia, saldata alla sezione di estremitàdella trave stessa (Fig.9.2).

9.1 Premensionamento del nodo

Per predimensionamento del nodo si è utilizzato il programma di calcolo Profili V6.In tale programma vanno definite le caratteristiche generali dell’unione da progettare (se-

102 Cap. 9 – Modellazione e analisi di un nodo del telaio

Figura 9.2: Geometria nodo

zioni degli elementi connessi, tipologia del nodo, numero di file di bulloni, ecc.), riportatein Fig.9.3 e questo esegue il dimensionamento sulla base del momento resistente dellatrave Mb,Rd.

Figura 9.3: Dati generali per il dimensionamento del nodo

La geometria derivante dal dimensionamento è quella riportata in Fig.9.4.

9.2 – Modellazione agli elementi finiti 103

Figura 9.4: Geometria nodo

9.2 Modellazione agli elementi finiti

Sulla base del predimensionamento eseguito, si è proceduto a modellare il nodo utilizzandoopportuni elementi finiti, all’interno del codice di calcolo SAP2000.

In particolare, si è modellata la colonna a partire da metà dell’altezza di piano sotto-stante al nodo in esame fino alla metà dell’altezza di piano sovrastante il nodo stesso, esi è modellata la trave la sua intera lunghezza (Fig.9.5).

Figura 9.5: Modellazione nodo


Per i 120 cm al di sopra e al di sotto dell’asse della trave, la colonna è stata modellatautilizzando elementi shell per l’anima e per le ali, e lo stesso si è fatto per i primi 150 cmdi trave a partire dalla flangia. Le restanti parti degli elementi sono state modellate conelementi frame. All’interfaccia tra la parte di trave o di colonna modellata con elementishell e quella modellata con elementi frame, per ripristinare la continuità tra gli elementiframe e gli elementi shell, sono stati applicati dei bracci rigidi, tali da connettere l’assedell’elemento frame con tutti i nodi degli elementi frame (Fig.9.6).

Figura 9.6: Modellazione nodo

La flangia è stata modellata, anch’essa con elementi shell ed è stata collegata all’aladella colonna per mezzo di elementi gap; tali elementi, distribuiti lungo l’area di contattotra la flangia e la colonna, sono in grado di offrire resistenza solo ad azioni di compressionedirette lungo i loro asse longitudinale, quindi consentono alla flangia di allontanarsi dallacolonna(Fig.9.7) e di scorrere nel piano del nodo (non offrono resistenza a taglio o amomento flettente).

Infine, i bulloni sono stati modellati con elementi frame equivalenti alla sezione delgambo e sono stati connessi alle shell della flangia e dell’ala della colonna per mezzodi ulteriori elementi gap disposti a raggiera intorno alle esteremità (Fig.9.8); in tal caso

9.2 – Modellazione agli elementi finiti 105

Figura 9.7: Particolare elementi gap

gli elementi gap offrono resistenza, oltre che a compressione, anche a taglio e momentoflettente, ma non a trazione, in modo da simulare da un lato il contatto tra il foro e ibulloni (resistenza alla sola compressione), e dall’altro la resistenza della testa del bullonee del dado allo sfilamento del bullone stesso.

Figura 9.8: Particolare bulloni


9.3 Analisi e verifica del nodo

Per analizzare il nodo modellato, sono stati applicati ai nodi B e C in Fig.9.5, gli sposta-menti calcolati per la combinazione FONDAMENTALE e per la combinazione SISMICAS.L.V. con il modello globale utilizzato per le analisi precedenti, ottenuti come sposta-menti relativi tra questi due nodi e il nodo A; i valori sono riportati in Fig.9.9 (u è lospostamento lungo l’asse x orizzontale, w è lo spostamento lungo l’asse z verticale e θ èla rotazione nel piano del telaio).

Nodo u (cm) w (cm) θ (rad) u (cm) w (cm) θ (rad)

A 2.39 -0.22 -0.0011 - - -

Max B 2.72 -0.24 -0.0007 0.34 -0.02 0.0004

C 2.58 -0.54 0.0008 0.19 -0.33 0.0019

A 1.62 -0.12 -0.0010 - - -

Max B 1.93 -0.13 -0.0008 0.31 -0.01 0.0002

C 1.79 -0.29 -0.0008 0.17 -0.17 0.0002

A -2.39 -0.30 0.0011 - - -

Min B -2.73 -0.32 0.0007 -0.34 -0.02 -0.0004

C -2.58 -0.49 -0.0008 -0.19 -0.20 -0.0019

A -1.62 -0.18 0.0010 - - -

Min B -1.62 -0.19 0.0008 0.00 -0.01 -0.0002

C -1.79 -0.29 0.0011 -0.17 -0.11 0.0001

Spostamenti relativi ad ASpostamenti

Combinazione

Sismica S.L.V.

Fondamentale

Sismica S.L.V.

Fondamentale

Figura 9.9: Spostamenti applicati alle estremità del nodo

In Fig.9.10 è possibile vedere le deformate del nodo per le varie combinazioni di carico.

Nei confronti delle azioni derivanti dalle combinazioni di carico FONDAMENTALE eSISMICA S.L.V., sono state effettuate le seguenti verifiche:

• Si è verificato che la tensione massima, calcolata per mezzo del Criterio di resistenzadi Von Mises

σid =

√2

2

√(σI − σII)2 + (σII − σIII)2 + (σIII − σI)2 ≤ fyd

fyd =fykγM0

=275.0MPa

1.05= 261.90MPa

fosse inferiore alla resistenza a trazione di progetto fyd dell’acciaio utilizzato. Latensione principale σI e la tensione principale σII , sono state individuate come letensioni principali, rispettivamente massima e minima, nel piano dei vari elementishell utilizzati nella modellazione; una rappresentazione delle σI per le vari combi-nazioni di carico è riportata in Fig.9.11. La tensione σIII , invece, è stata individuatacome la tensione ortogonale al piano delle stesse shell.Come si vede dalla stessa Fig.9.11, le zone più sollecitate risultano essere le ali della

9.3 – Analisi e verifica del nodo 107

Figura 9.10: Deformate del nodo

colonna e della trave; in particolare la massima sollecitazione si ha per la combina-zione FONDAMENTALE (max) nel punto cerchiato in rosso, e assume un valorepari a

σI = 31880.01 kPa σII = 134577.24 kPa σIII = −121807.41 kPa

σid = 223494.56 kPa ≤ fyd = 261904.76MPa

• Per i bulloni è stata calcolata la resistenza a taglio FV,Rd

fdV = 0.6ftbγM2

= 0.6800MPa

1.25= 384MPa

FV,Rd = fdV Ares = 266.5 kN


e la resistenza a trazione FN,Rd

fdV = 0.9ftbγM2

= 0.9800MPa

1.25= 576MPa

FN,Rd = fdN Ares = 399.7 kN

con Ares = 294.0mm2, e si è verificato che in ciascuno di essi valesse la seguenterelazione

FV,SdFV,Rd

+FN,Sd

1.4FN,Rd≤ 1.0

dove FV,Sd e FN,Sd sono rispettivamente le sollecitazioni di taglio e di trazione dicalcolo, risultanti negli elementi frame.Il bullone più sollecitato risulta essere quello cerchiato in rosso in Fig.9.4, neiconfronti delle azioni indotte dalla combinazione SISMICA S.L.V. (min), per il quale

FV,SdFV,Rd

+FN,Sd

1.4FN,Rd=

117.25 kN

266.5 kN+

2.57 kN

1.4 · 399.7 kN= 0.445 ≤ 1.0

• Si è verificato che la tensione principale massima nell’anima della colonna e nellaflangia di collegamento, nel loro piano, fosse inferiore ancora alla resistenza a tra-zione di progetto fyd dell’acciaio utilizzato. Tale verifica garantisce la sicurezza neiconfronti dello strappo e della trazione delle lamiere e nell’intorno di ciascun forogarantisce la sicurezza anche nei confronti del rifollamento.La tensione massima nel piano dei suddetti elementi shell è stata ricavata ancorauna volta dal programma come tensione principale massima σI ; come si vede dallaFig.9.12, nessun punto della flangia e della parte di ala della colonna a contattocon questa risulta avere una tensione superiore a 261.90MPa, e questo accade perTUTTE le combinazioni di carico, quindi la verifica è soddisfatta. Ad ogni modosi nota, nell’intorno dei fori, la presenza di zone in cui si ha una concentrazione ditensioni.

9.3 – Analisi e verifica del nodo 109

Figura 9.11: Tensione principale massima nel piano delle shell (kPa)

Figura 9.12: Sollecitazioni nell’intorno dei fori (kPa)

Appendice A

Esercitazioni

In questa appendice viene riportato lo svolgimento di cinque esercitazioni, riguardantil’analisi di strutture metalliche, relativamente poco complesse, al fine di dimostrare lavalidità dei calcoli eseguiti in fase di progettazione. Le prime tre esercitazioni sono relativeall’analisi della plasticità dei sistemi, mentre le altre due all’analisi dell’instabilità.

A.1 Esercitazioni sulla plasticità

A.1.1 Esercitazione 1

SISTEMA RETICOLARE A TRE ASTE

Ipotizzando un legame costitutivo di tipo elastico perfettamente plastico, trovare il caricoultimo della struttura in Fig.A.1 analiticamente e confrontarlo con quello ottenuto tramiteun’analisi statica non lineare del tipo incrementale ottenuto con il codice di calcolo. Sepossibile si svolga anche lo studio della fase di scarico. Nello studio utilizzare cerniereplastiche assiali oppure plasticità diffusa.

Figura A.1: Sistema reticolare a tre aste

A.2 App. A – Esercitazioni

Materiale Geometria

E = 210000N/mm2 L = 5mfy = 240N/mm2 Sezione circolareεu = 5% d = 10 cm

ANALISI GENERALE DEL SISTEMA

Il sistema è composto da tre aste reticolari, aventi tutte sezione circolare piena deldiametro di 10 cm, ovvero di area pari ad

A = πd2

4= π · 2500mm2

Per il materiale si considera un legame costitutivo elasto-plastico perfetto, con i valoridella tensione di snervamento fy, della rigidezza elastica E e della deformazione ultimaεu riportati nella tabella precedente, da cui si ricava la deformazione di plasticizzazione

εy =fyE

= 0.11429 %

Per tutte le aste, il valore dello sforzo normale di snervamento è pari a

Ny = fy · A = 1884.95 kN

Ad ogni modo, siamo di fronte ad un sistema avente

3 Aste reticolari → 9 g.d.l. complessivi3 Cerniere esterne → 6 Vincoli esterni2 Cerniere interne → 4 Vincoli interni

Il sistema è 1 volta iperstatico.

METODO ANALITICO

Indichiamo con:

x lo sforzo assiale nell’asta 1;

y lo sforzo assiale nelle aste 2 e 3;

δ l’abbassamento verticale del nodo O;

e applichiamo il Metodo degli spostamenti, cioè ricaviamo le equazioni di equilibrio delsistema, scritte in termini di spostamento, sostituendo all’interno dell’equazione di equili-brio in termini di tensioni il legame costitutivo e la relazione di compatibilità cinematica.

Applichiamo il metodo sotto l’ipotesi di Piccoli spostamenti, quindi imponendo l’equi-librio nella configurazione indeformata.

A.1 – Esercitazioni sulla plasticità A.3

Soluzione in campo elastico

Determiniamo la soluzione in campo elastico, cioè nella fase iniziale di carico in cui le ten-sioni negli elementi sono sufficientemente basse da evitare il passaggio in campo plastico,e ricaviamo il carico di primo snervamento Py.

1. CONGRUENZA

• ASTA 1 → δ = L · ε1 → ε1 = δL

• ASTA 2 e 3 → ∆L2 = L2 · ε2 → δ · cos π4

= Lcosπ/4

· ε2 → ε2 = δ2L

dove L2 e ∆L2 sono rispettivamente la lunghezza iniziale e l’allungamento delle aste2 e 3;

2. LEGAME COSTITUTIVO

σ = E · ε ed N = EA · ε

• ASTA 1 → x = EA · ε1 = EAL· δ

• ASTA 2 e 3 → y = EA · ε2 = 12· EAL· δ = 1

2· x

3. EQUILIBRIOImponiamo l’equilibrio alla traslazione verticale del nodo O (l’equilibrio alla trasla-zione orizzontale è automaticamente soddisfatto nel momento in cui si assume chele tensioni nelle aste 2 e 3 siano uguali)

x+ 2y · cosπ

4= P

4. SOLUZIONE x = 2y

x+ 2y

√2

2= P

→

x =

2P

2 +√

2

y =P

2 +√

2


Allora, la prima asta a plasticizzarsi è l’asta 1, che raggiunge il limite elastico per

x = xy = Ny = 1884.95 kN

ovvero per un valore del carico pari a

P = Py =2 +√

2

2·Ny = 3217.82kN

per il quale le aste 2 e 3 raggiungono uno sforzo normale pari a

y = yy =1

2xy = 942.48 kN < Ny

Il corrispondente spostamento δ e le corrispondenti deformazioni ε delle aste valgono

δ = δy =L

EANy =

L

Efy = 5.71mm

ASTA 1 → ε1 = εy = 0.11429 %

ASTA 2 e 3 → ε2 =1

2· δL

= 0.05714 %

Soluzione in campo plastico

Determiniamo la soluzione in campo plastico, cioè ricaviamo il carico ultimo Pcr, consi-derando che ora l’asta 1 è plasticizzata completamente, quindi la sua tensione non puòessere superiore ad Ny = fy · A.

1. EQUILIBRIOImponiamo sempre l’equilibrio alla traslazione verticale del nodo O

x+ 2y · cosπ

4= P → 2y · cos

π

4= P − fy · A

2. SOLUZIONE x = xcr = Ny = fy · A

y =P − fy · A√

2

Allora, le aste 2 e 3 plasticizzano insieme quando il loro sforzo normale diventa pari a

y = ycr = Ny = 1884.95 kN


P = Pcr = fy ·A · (1 +√

2) = 4550.69kN


Il corrispondente spostamento δ e le corrispondenti deformazioni ε delle aste valgono

δ = δcr = 2L

EANy = 11.43mm

ASTA 1 → ε1 = εy +δcr + δyL

= 0.22857 %

ASTA 2 e 3 → ε2 = εy = 0.11429 %

Poiché la deformazione dell’asta 1 è inferiore a quella di rottura εu, tale soluzione èaccettabile.

Le risorse plastiche della struttura in termini di carico P sono pari a

Pcr

Py

=fy ·A · (1 +

√2)

fy ·A · 2+√

22

= 1.414 → Sovraresistenza = +41.4 %

mentre in termini di spostamento δ

δcr

δy=

2LEfy

LEfy

= 2.0 → Duttilità = +100.0 %

Soluzione in fase di scarico

Determiniamo, infine, la risposta del sistema in fase di scarico, supponendo che questoavvenga appena prima di raggiungere il carico ultimo Pcr e che il valore finale del caricosia nullo

∆P = −Pcr = −fy · A · (1 +√

2) = −4550.69 kN → Pr = 0

Poiché è stato supposto un comportamento del materiale di tipo elsto-plastico, in fasedi scarico le aste si comportano come se fossero elastiche, quindi

∆x = 2∆y

∆x+ 2∆y

√2

2= ∆P

→

∆x =

2P

2 +√

2=−2Pcr

2 +√

2

∆y =P

2 +√

2=−Pcr

2 +√

2

Calcoliamo, allora, le tensioni residue all’interno degli elementixr = xcr −∆x = fy · A

[1− 2

2 +√

2(1 +

√2)

]= −780.77 kN

yr = ycr −∆y = fy · A[1− 1

2 +√

2(1 +

√2)

]= 552.09 kN

Come si vede l’asta 1 rimane compressa alla fine dello scarico. Questo accade perché,appena prima dello scarico l’asta 1 risulta plasticizzata, con una deformazione plastica


pari aεcr − εy = 0.11429 %

mentre le aste 2 e 3 sono ancora in campo elastico; allora, alla fine dello scarico, l’asta 1

avrà un deformazione residua che è pari a

ASTA 1 → εr1 = εy −∆x

EA= 0.0669 %

Questo significa che lo spostamento residuo nel punto O è pari a

δ = δr = L · εr = 3.35mm

ma per la congruenza le aste 2 e 3 dovranno risultare allungate di

ASTA 2 e 3 → εr2 =δr2L

= 0.0335 %

quindi tese; essendo il carico finale nullo, l’asta centrale deve risultare per l’equilibriocompressa.

Diagrammiamo l’andamento degli sforzi normali nelle aste al variare del carico (Fig.A.2).

Figura A.2: Andamento degli sforzi normali nelle aste del sistema

Si vede che nel momento in cui l’asta 1 plasticizza, le aste 2 e 3 hanno uno sforzonormale pari alla metà dell’asta 1, cioè alla metà dello sforzo normale di snervamento Ny.

In Fig.A.3, invece, è riportato l’andamento dello spostamento δ al variare del caricoP applicato al sistema.


Figura A.3: Diagramma Carico-Spostamento del sistema di tre aste reticolari

ANALISI INCREMENTALE

Per lo svolgimento dell’analisi incrementale utilizziamo il codice di calcolo SAP2000.Come prima cosa, va definita la struttura (Fig.A.4), definendo le varie aste (elementi

frame con rilasci rotazionali ad entrambe le estremità) e i vincoli di cerniera esterna; alleaste va assegnato il materiale e la sezione con le caratteristiche precedentemente indicate.

Applichiamo nel nodo comune alle tre aste, un forza verticale unitaria P = 1.00 kN ,che verrà utilizzata per impostare l’analisi di push-over.

Figura A.4: Modello della struttura nel codice di calcolo SAP2000

A questo punto, definiamo le caratteristiche della cerniera plastica. In tal caso è unacerniera plastica assiale, quindi possiamo definirla in termini di tensione-deformazione,lasciando che il programma calcoli per ogni elemento i relativi valori di forza-spostamento.I parametri della cerniera sono riportati in Fig.A.5.


Figura A.5: Definizione caratteristiche cerniera plastica assiale

Quindi assegniamo alle varie aste la cerniera plastica assiale definita, collocandola nellamezzeria di ciascun elemento1 (Fig.A.4).

Fase di carico

Impostiamo, ora, il caso di carico Push-over P, ovvero un caso di carico statico non lineare,in cui la distribuzione di carichi di base è la forza P = 1.00 kN precedentemente definita;l’analisi viene fatta sotto l’ipotesi di piccoli spostamenti e in controllo di spostamento,dove lo spostamento monitorato è l’abbassamento del nodo comune alle aste (nodo 4);tutti i parametri del caso di carico sono indicati in Fig.A.6.

Lanciamo l’analisi e leggiamo i risultati.In Fig.A.7 viene rappresentata la curva di push-over, ovvero il diagramma avente in

ascisse i valori dello spostamento di controllo del punto di controllo, in ordinate i valoridel carico P applicato alla struttura.

I valori dei punti della curva di push-over sono riportati in Tab.A.1, dove viene indicato,per ogni valore del moltiplicatore di carico2, il corrispondente valore dello spostamentodel nodo comune alle aste; vengono indicati, inoltre, i corrispondenti valori degli sforzinormali agenti nelle aste stesse, il cui andamento è rappresentato in Fig.A.8.

1In tal caso è irrilevante la posizione della cerniera. Tra l’altro, nella definizione delle caratteristicheè stata assunta una lunghezza di cerniera plastica pari alla lunghezza dell’elemento.

2Avendo assunto un valore unitario della forza P = 1.00 kN , il moltiplicatore non è altro che il valoredel carico al dato step, espresso in kN .


Figura A.6: Assegnazione caso di carico per il Push-over

Figura A.7: Curva di Push-over


Tabella A.1: Dati dell’analisi di push-over in fase di carico

Step Moltiplicatore Spostamento Sforzo asta 1 Sforzo asta 2 e 3λ (kN) δ (mm) N1 (kN) N2 (kN)

0 0.00 0.00 0.00 0.001 3217.83 5.71 1884.96 942.482 4550.70 11.43 1884.96 1884.963 4550.76 111.43 1885.00 1884.984 4550.81 211.43 1885.03 1884.995 4550.84 255.75 1885.04 1885.006 4550.84 255.75 1885.04 1885.007 2665.83 307.18 0.02 1885.018 2665.88 407.18 0.05 1885.039 2665.94 507.18 0.08 1885.0410 2665.94 507.18 0.08 1885.0411 0.15 610.04 0.12 0.0212 0.20 710.04 0.15 0.0413 0.26 810.04 0.18 0.0514 0.31 910.04 0.22 0.0715 0.37 1000.00 0.25 0.08

Figura A.8: Andamento degli sforzi normali nelle aste in fase di carico, fino al collasso

In Fig.A.9, invece, vengono rappresentate gli step fondamentali dell’analisi (nell’ordinegli step 1, 2, 6 e 10), a partire dallo snervamento della prima asta, fino al collasso completodella struttura; si può vedere l’ordine di formazione delle cerniere plastiche.


Figura A.9: Ordine di formazione delle cerniere plastiche

Fase di scarico

Per effettuare l’analisi in fase di scarico, definiamo due casi di carico non lineare. Il primoè esattamente uguale a quello definito in fase di carico, con l’unica differenza che facciamoarrestare l’analisi ad uno spostamento del punto di controllo leggermente inferiore a quelloche porta la struttura al collasso; in altre parole effettuiamo l’analisi di push-over incontrollo di spostamento, impostando come spostamento massimo del nodo 4 il valoreU3 = 11.0mm.


Il secondo caso di carico, invece, lo impostiamo a partire dallo stato finale che si ottienenel primo caso, e applicando una forza alla struttura in verso opposto.

Lanciamo l’analisi e leggiamo i risultati.In Fig.A.10 viene rappresentata la curva di push-over, comprensiva sia del primo tratto

di carico, che del secondo tratto di scarico.

Figura A.10: Curva di Push-over - Fase di scarico

I valori dei punti della curva di push-over sono riportati in Tab.A.2; la fase di scaricovera e propria inizia allo step 2, e poiché il comportamento in fase di scarico è lineare, siriportano solamente i valori dello step finale. Vengono indicati, inoltre, i corrispondentivalori degli sforzi normali agenti nelle aste stesse, il cui andamento è rappresentato inFig.A.11.

Tabella A.2: Dati dell’analisi di push-over in fase di scarico

Step Moltiplicatore Spostamento Sforzo asta 1 Sforzo asta 2 e 3λ (kN) δ (mm) N1 (kN) N2 (kN)

0 0.00 0.00 0.00 0.001 3217.83 5.71 1884.96 942.482 4450.73 11.00 1884.96 1814.27. . . . . . . . . . . . . . .25 0.00 3.09 -722.64 511.30


Figura A.11: Andamento degli sforzi normali nelle aste in fase di scarico



TELAIO PIANO

Ipotizzando un legame costitutivo di tipo elasto-plastico perfetto, valutare analiticamente(anche analisi limite) e confrontare con il risultato ottenuto da opportuna analisi conil codice di calcolo, il moltiplicatore ultimo dei carichi e la curva di push-over del telaioriportato in Fig.A.12. Nello studio utilizzare cerniere plastiche flessionali oppure plasticitàdiffusa.

Figura A.12: Telaio piano


Il sistema è costituito da un telaio piano incastrato alla base, di altezza pari a L = 3.0m,ovvero metà della campata, che è pari a 2L = 6.0m. Sia le colonne che la trave sonoprofilati IPE 200, con anima parallela al piano del telaio. Le caratteristiche meccanichedel profilato sono di seguito riportate

h = 200 cm tw = 5.6mm Wel = 194.0 cm3

b = 100 cm tf = 8.5mm Wpl = 221.0 cm3

A = 28.5 cm2 I = 1943.0 cm4


Per il materiale si considera un legame costitutivo elasto-plastico perfetto, con i valoridella tensione di snervamento caratteristica fyk, della rigidezza elastica E e della defor-mazione ultima εu riportati sempre in Fig.A.12 e per i quali si determinano i valori diprogetto

fyd =fykγM0

=fyk1.05

= 223.81N/mm2 e εyd =fydE

= 0.10658 %

Per tutti gli elementi, il valore del momento flettente di snervamento di progetto My

e del momento plastico di progetto Mp sono pari a

My = fyd ·Wel = 43.42 kNm e Mp = fyd ·Wpl = 49.46 kNm

Al telaio sono applicate una forza verticale V nella mezzeria della trave e una forzaorizzontale in sommità H, pari a 0.8V .

Si trascura il peso degli elementi rispetto ai carichi applicati al sistema, così come sitrascura l’effetto dello sforzo normale e del taglio agente negli elementi, pensando che laplasticizzazione e il collasso degli stessi avvenga solo per effetto del momento flettente.

ANALISI LIMITE

In teoria, dovremmo applicare separatamente il Teorema cinematico e il Teorema statico,da cui ricavare rispettivamente il valore massimo e il valore minimo del range all’interno delquale ricade il valore esatto del carico critico λcr; nel caso in cui tali valori fossero uguali,essi coinciderebbero, ovviamente, con il carico critico stesso. Tuttavia, per la validitàdel Teorema di unicità, possiamo considerare tutti gli stati deformativi cinematicamentecompatibili, e considerare quello che tra essi è anche staticamente ammissibile: a talestato deformativo corrisponde un valore del moltiplicatore di carico pari al critico λcr.

Applicazione del Teorema cinematico

Andiamo alla ricerca di tutti gli stati cinematicamente compatibili. Per fare questo con-sideriamo quali sono i possibili cinematismi plastici della struttura, considerando che lecerniere plastiche possono formarsi in corrispondenza di:

• Forze concentrate;

• Vincoli esterni;

• Discontinuità.

Questo significa che nel nostro caso possiamo avere 8 configurazioni deformate possibili,a seconda della posizione in cui si collocano le 4 cerniere plastiche che portano al collasso3.

3Essendo il sistema 3 volte iperstatico, sono necessarie 4 cerniere plastiche, per avere un collassoglobale della stessa.


Gli 8 cinematismi compatibili sono riportati in Fig.A.13, sotto le ipotesi di4:

1. Piccoli spostamenti;

2. Deformazioni elastiche trascurabili rispetto a quelle plastiche.

Figura A.13: Stati deformativi cinematicamente compatibili del telaio piano

In realtà, i cinematismi 7 ed 8, producono solo un collasso locale della struttura, quindinon li consideriamo in tale analisi.

4Con il simbolo • è indicata la posizione delle cerniere plastiche.


A questo punto per ogni configurazione imponiamo l’equilibrio energetico; in altreparole pensiamo che il carico che ha prodotto tale deformata sia il carico critico è appli-chiamo il T.L.V., ricavando così il corrispondete moltiplicatore λ (ricordiamo sempre cheH = 0.8V ).

〈1〉 +λH · θ · L = 4Mp · θ → λ1 = 5 Mp

V ·L

〈2〉 −λH · θ · L = 4Mp · θ → λ2 = −5 Mp

V ·L

〈3〉 +λH · θ · L+ λV · θ · L = 6Mp · θ → λ3 = 103

Mp

V ·L

〈4〉 −λH · θ · L+ λV · θ · L = 6Mp · θ → λ4 = 30 Mp

V ·L

〈5〉 +λH · θ · L− λV · θ · L = 6Mp · θ → λ5 = −103

Mp

V ·L

〈6〉 −λH · θ · L− λV · θ · L = 6Mp · θ → λ6 = −30 Mp

V ·L

Applicazione del Teorema di unicità

Consideriamo lo stato deformativo, tra quelli esaminati nell’applicazione del teorema ci-nematico, che ha come corrispondente moltiplicatore di carico il valore minore (in valoreassoluto), ovvero lo stato deformativo 3. Verifichiamo che tale stato deformativo è anchestaticamente ammissibile.

In realtà, potremmo considerare anche lo stato deformativo 5, ma se si effettuasse laverifica si vedrebbe che questo non è staticamente ammissibile.

Per verificare l’ammissibilità statica dello stato deformativo 3, consideriamo l’anda-mento del momento flettente nella struttura, ad esso associato, riportato in Fig.A.14, chesi ottiene considerando il sistema labile in fase di collasso, cui sono applicati i valori dicarichi dati dal relativo moltiplicatore.

Figura A.14: Andamento del momento flettente associato allo stato deformativo 3

Come si vede, in tutte le sezioni in cui non si è ipotizzata la formazione della cernieraplastica, il momento flettente è minore del momento plastico Mp, quindi il sistema èstaticamente ammissibili. Pertanto il valore del moltiplicatore di collasso è

λcr = λ3 =10

3

Mp

V · L=

54.96 kN

V



Per lo svolgimento dell’analisi incrementale utilizziamo il codice di calcolo SAP2000.Come prima cosa, va definita la struttura (Fig.A.15), definendo le colonne e la trave e i

vincoli di incastro; agli elementi va assegnato il materiale e la sezione con le caratteristicheprecedentemente indicate.

Applichiamo nel nodo E un forza verticale unitaria V = −1.00 kN e al nodo C unaforza orizzontale unitaria V = 1.00 kN ; queste forze verranno utilizzate per impostarel’analisi di push-over, combinate in modo tale che la forza H risulti pari a 0.8 volte laforza V .

Figura A.15: Modello della struttura nel codice di calcolo SAP2000

A questo punto, definiamo le caratteristiche della cerniera plastica. In tal caso è unacerniera plastica flessionale, quindi dobbiamo definirla in termini di momento-curvatura.

È necessario calcolare la curvatura di snervamento χy e la curvatura di collasso χu

χy =εyh/2

= 1.0107 % e χu =εuh/2

= 50 %

I parametri della cerniera sono riportati in Fig.A.16. Si assume una lunghezza dellacerniera plastica pari all’altezza della sezione, ovvero 20.0 cm.

Quindi assegniamo ai vari elementi la cerniera plastica flessionale definita, collocandoneuna ad ogni estremità e una nella mezzeria della trave (Fig.A.15).

Impostiamo, ora, il caso di carico Push-over VH, ovvero un caso di carico statico nonlineare, in cui la distribuzione di carichi di base sono la forza V = 1.00 kN e la l’80 % dellaforza H precedentemente definite; l’analisi viene fatta sotto l’ipotesi di piccoli spostamentie in controllo di spostamento, dove lo spostamento monitorato è la traslazione orizzontaledel nodo C; tutti i parametri del caso di carico sono indicati in Fig.A.17.

Lanciamo l’analisi e leggiamo i risultati.


Figura A.16: Definizione caratteristiche cerniera plastica flessionale


In Fig.A.18 viene rappresentata la curva di push-over, ovvero il diagramma avente inascisse i valori dello spostamento di controllo del punto di controllo, in ordinate i valoridel moltiplicatore di carichi applicato alla struttura5.

5Avendo assunto un valore unitario della forza V = −1.00 kN , il moltiplicatore non è altro che il valore



I valori dei punti della curva di push-over sono riportati in Tab.A.3, dove viene indicato,per ogni valore del moltiplicatore di carico, il corrispondente valore dello spostamento delnodo C.


Step Forza verticale Forza orizzontale SpostamentoV (kN) H (kN) δ (mm)

0 0.00 0.00 0.001 41.71 1448.89 0.13582 45.17 1569.12 0.14533 48.73 1692.49 0.14734 54.62 1897.20 0.1651. . . . . . . . . . . .9 54.23 1883.86 0.1628. . . . . . . . . . . .12 53.27 1850.36 0.1590. . . . . . . . . . . .15 19.94 692.55 0.0595

In Fig.A.19, invece, vengono rappresentate gli step fondamentali dell’analisi, a partiredallo snervamento della prima fibra, fino al collasso completo della struttura; si può vederel’ordine di formazione delle cerniere plastiche.

di tale forza al dato step, espresso in kN .



Come si vede si è ottenuto un valore del moltiplicatore di collasso pari a

λcr = 54.62

mentre il valore ricavato con l’analisi limite era pari a

λcr = 54.96

quindi, con l’analisi limite si commette un errore del 0.62 %.



TRAVE DOPPIAMENTE INCASTRATA CON CARICO RIPARTITO

Trovare la risposta in campo elasto-plastico di una trave doppiamene incastrata soggettaa carico distribuito (Fig.A.20). Studiare la sensibilità della soluzione alla variazione delparametro ”lunghezza di cerniera plastica”.Come materiale si utilizzi quello dell’esercitazione 1.

Figura A.20: Trave doppiamente incastrata con carico distribuito


Il sistema è costituito da una trave doppiamente incastrata, di lunghezza pari a L =

4.0m. Questa è ha sezione corrispondente ad un profilato IPE 200, le cui caratteristichemeccaniche sono di seguito riportate

h = 200 cm tw = 5.6mm Wel = 194.0 cm3

b = 100 cm tf = 8.5mm Wpl = 221.0 cm3

A = 28.5 cm2 I = 1943.0 cm4

Per il materiale si considera un legame costitutivo elasto-plastico perfetto, con i valoridella tensione di snervamento fy, della rigidezza elastica E e della deformazione ultimaεu di seguito riportati

E = 210000N/mm2 fy = 240N/mm2 εu = 5%

da cui si ricava la deformazione di plasticizzazione εy = fyE

= 0.11429 %.Il valore del momento flettente di snervamento My e del momento plastico Mp sono

pari a

My = fy ·Wel = 46.56 kNm e Mp = fyd ·Wpl = 53.04 kNm

Si trascura il peso dell’elemento rispetto al carico applicato al sistema, così come sitrascura l’effetto del taglio agente negli elementi, pensando che la plasticizzazione e ilcollasso degli stessi avvenga solo per effetto del momento flettente.


METODO ANALITICO

Indichiamo con v(x) l’abbassamento della generica sezione della trave posta all’ascissa xe con χ(x) la sua curvatura, assumendo come asse x l’asse della trave con origine in A.Applichiamo il Metodo degli spostamenti, cioè ricaviamo le equazioni di equilibrio per lagenerica sezione, scritte in termini di spostamento, sostituendo all’interno dell’equazionedi equilibrio in termini di tensioni il legame costitutivo e la relazione di compatibilitàcinematica.

Applichiamo il metodo sotto l’ipotesi di Piccoli spostamenti, quindi imponendo l’equi-librio nella configurazione indeformata.

Figura A.21: Spostamenti in campo elastico

Soluzione in campo elastico

Determiniamo la soluzione in campo elastico, cioè nella fase iniziale di carico in cui letensioni nella trave sono sufficientemente basse da evitare il passaggio in campo plastico,e ricaviamo il carico λy per il quale si ha la formazione della prima cerniera plastica.

1. CONGRUENZA

χ(x) =d2v(x)

dx2con v(x = 0) = v(x = L) = v′′(x = 0) = v′′(x = L) = 0


M(x) = EI · χ(x)

3. EQUILIBRIO

d2M(x)

dx2= λ

4. SOLUZIONE

d4v(x)

dx4=

λ

EI→ v(x) =

λ

EIx4 + C3 · x3 + C2 · x2 + C1 · x+ C0

C0, C1, C2 e C3 sono costanti che si ricavano applicando le condizioni al contorno,ricavando

v(x) =1

24

λ

EI(L− x)x


M(x) = − 1

12λL2 +

1

2λL · x− 1

2λ · x2

Figura A.22: Momento flettente in campo elastico

Allora, le prime cerniere plastiche si formano in corrispondenza degli incastri A e B,contemporaneamente, quando il momento in tali sezioni raggiunge il valore

MA = MB = Mp = 53.04 kNm


λ = λy =12

L2·Mp = 39.78kN/m

per le altre sezioni raggiungono un momento flettente pari a

M(x) = −Mp +6

LMp · x−

6

L2Mp · x2 = Mp

6

L2

(−x2 + L · x− 6

L2

)< Mp

In particolare, nella mezzeria si raggiunge un valore del momento flettente pari a

M∗c =

λy · L2

24=Mp

2

I corrispondenti spostamenti v(x) lungo le sezioni valgono

v(x) =1

2L2

Mp

EI(L− x)x

Soluzione in campo plastico

Determiniamo la soluzione in campo elastico, cioè ricaviamo il carico ultimo λcr, conside-rando che ora le sezioni A e B sono plasticizzate completamente, quindi il loro momentoflettente non può essere superiore ad My = fy ·Wpl. Questo significa, che per gli ulterioriincrementi di carico la trave si comporta come una trave semplicemente appoggiata.


Figura A.23: Spostamenti in campo plastico

1. CONGRUENZA

∆χ(x) =d2∆v(x)

dx2con ∆v(x = 0) = ∆v(x = L) = 0


∆M(x) = EI ·∆χ(x) con ∆M(x = 0) = ∆M(x = L) = 0

3. EQUILIBRIO

d2∆M(x)

dx2= ∆λ

4. SOLUZIONE

d4∆v(x)

dx4=

∆λ

EI→ ∆v(x) =

∆λ

EIx4 + C3 · x3 + C2 · x2 + C1 · x+ C0

C0, C1, C2 e C3 sono costanti che si ricavano applicando le condizioni al contorno,ricavando

∆v(x) =1

24

∆λ

EI(L− x)(L2 − Lx+ x2)x

∆M(x) =1

2∆λL · x− 1

2∆λ · x2

Figura A.24: Momento flettente in campo plastico


Allora, la successiva cerniera plastica si forma nella mezzeria C della trave, quando ilmomento in tale sezioni raggiunge il valore

MC = M∗C + ∆MC =

Mp

2+ ∆MC = Mp = 53.04 kNm


∆MC =Mp

2→ ∆λ =

4

L2·Mp = 13.26 kN/m

λ = λp = λy + ∆λ =16

L2·Mp = 53.04kN/m

per le altre sezioni raggiungono un momento flettente pari a

M(x) = Mp(−1 +8

Lx− 8

L2x2) < Mp

I corrispondenti spostamenti v(x) lungo le sezioni valgono

v(x) =1

6L2

Mp

EI[−x4 + Lx3 − x(L2 + L+ 3) + Lx(L2 + 3)]

Le risorse plastiche della struttura in termini di carico λ sono pari a

λp

λy

=4

3→ Sovraresistenza = +33.3 %

Calcolo della lunghezza della cerniera plastica

L’analisi effettuata con il metodo analitico, in realtà, non è rigorosamente corretta. Infatti,quello che accade all’interno della trave, è che nel momento in cui agli incastri A e B lefibre più esterne della sezione si snervano, ovvero al raggiungimento in tali sezione delmomento di snervamento My = 46.56 kNm quindi del carico

λ1 =12

L2·My = 34.92 kN/m

la sezione non plasticizza completamente, ma man mano si snervano sempre più fibrecentrali, fino alla formazione della cerniera plastica. In tale fase, il legame costitutivodella sezione non è elastico lineare, come è stato ipotizzato, ma assume un’espressionenon determinabile in forma chiusa per sezioni a doppio T.

Inoltre, iniziano a snervarsi le fibre nelle sezioni adiacenti, poiché anche in corrispon-denza esse, il momento supera il momento di snervamento My.

È ovvio, allora, che quando in A e B si sono formate le cerniere plastiche, ovvero al


raggiungimento in tali sezione del momento plastico Mp = 53.04 kNm quindi del carico

λy =12

L2·Mp = 39.78 kN/m

tutto un tratto di trave, ad entrambe le estremità, risulta avere le sezioni parzialmenteplasticizzate, cioè si ha una certa lunghezza di cerniera plastica L∗1,i.

Tale lunghezza L∗1,i può essere determinata considerando l’andamento del momentoflettente lungo la trave in tale fase, che abbiamo visto essere dato da

M(x) = Mp6

L2

(−x2 + L · x− 6

L2

)e determinando il valore di x per il quale tale momento è pari ad My, ovvero

L∗1,i =L

4

(1−

√1−

1

36

(L+

1

β

))= 7.02 cm

dove β è il Fattore di forma della sezione, che vale

β =Mp

My

=Wpl

Wel

= 1.1392

La stessa cosa accade quando in C si forma la cerniera plastica, ovvero al raggiungi-mento in tale sezione del momento plastico Mp = 53.04 kNm, quindi del carico

λp =16

L2·Mp = 53.04 kN/m

cioè tutto un tratto di trave, in corrispondenza della mezzeria, risulta avere le sezioniparzialmente plasticizzate, cioè si ha una certa lunghezza di cerniera plastica L∗2.

Figura A.25: Lunghezza di cerniera plastica

Si noti che a questo punto la lunghezza L∗1 è diminuita.


Le lunghezze L∗1 ed L∗2 finali sono determinabili, considerando l’andamento del mo-mento flettente quando λ = λp, che abbiamo visto avere equazione

M(x) = Mp(−1 +8

Lx− 8

L2x2)

Per la L∗1 ricaviamo il valore di x per il quale M(x) = −My, ovvero

L∗1 =L

2

(1−

√1

2

(1 +

1

β

))= 6.20 cm

Per la L∗2, il momento può essere riscritto, effettuando il cambiamento di coordinata

ξ =2

Lx → x =

L

2(ξ + 1)

cioè sostituendo la x con la coordinata ξ che ha origine nella mezzeria

M(ξ) = Mp

[−1 + 4(ξ + 1)− 2(ξ + 1)2

]Ricavando, quini, il valore di ξ per il quale M(ξ) = My, ovvero

ξ∗2 =

√1− 1

β

2

quindiL∗2 = (ξ∗2 + 1)L = 98.86 cm


Per lo svolgimento dell’analisi incrementale utilizziamo il codice di calcolo SAP2000.Come prima cosa, va definita la struttura (Fig.A.26), definendo la trave e i vincoli

di incastro; agli elementi va assegnato il materiale e la sezione con le caratteristicheprecedentemente indicate.

Applichiamo alla trave un carico uniformemente distribuito verticale unitario q =

−1.00 kN/m; questo carico verrà utilizzato per impostare l’analisi di push-over.

Figura A.26: Modello della trave nel codice di calcolo SAP2000

A questo punto, definiamo le caratteristiche della cerniera plastica. In tal caso è unacerniera plastica flessionale, quindi dobbiamo definirla in termini di momento-curvatura.


È necessario calcolare la curvatura di snervamento χy e la curvatura di collasso χu

χy =εyh/2

= 1.14286 % e χu =εuh/2

= 50 %

I parametri della cerniera sono riportati in Fig.A.27.Si definiscono 10 modelli di trave, ognuno con cerniere di questo tipo, facendo variare

ogni volta la lunghezza di cerniera plastica, da un valore di lunghezza relativa pari a 0.01(4 cm) ad un valore di lunghezza relativa pari ad 1 (lunghezza totale della trave, 4.00 m).

In un modello ulteriore, si definiscono le cerniere plastiche aventi le lunghezze calcolatenel metodo analitico, ovvero Lp = 6.20 cm per le sezioni di incastro ed Lp = 98.86 cm perla mezzeria6.

Figura A.27: Definizione caratteristiche cerniera plastica flessionale

Per ogni modello, andiamo ad assegnare alla trave la rispettiva cerniera plasticadefinita, collocandone una ad ogni estremità e una nella mezzeria (Fig.A.26).

Impostiamo, ora, il caso di carico Push-over q, ovvero un caso di carico statico nonlineare, in cui la distribuzione di carichi di base è il carico distribuito q = 1.00 kN ; l’analisiviene fatta sotto l’ipotesi di piccoli spostamenti e in controllo di spostamento, dove lospostamento monitorato è l’abbassamento della mezzeria della trave; tutti i parametri delcaso di carico sono indicati in Fig.A.28.

Lanciamo l’analisi e leggiamo i risultati.6In realtà, in mezzeria si definisce una cerniera plastica pari alla metà di 98.86 cm, poiché si vanno ad

assegnare due cerniere plastiche, una per ognuno dei due elementi con cui si discretizza la trave.



In Fig.A.29 vengono rappresentate le curva di push-over al variare della lunghezzadella cerniera plastica, confrontate con quella ottenuta dal metodo analitico.


I valori dei punti della curva di push-over sono riportati in Tab.A.4, dove viene indicato,per ogni valore del moltiplicatore di carico7, il corrispondente valore dello spostamentodella mezzeria della trave.

Si può notare come, all’aumentare della lunghezza di cerniera plastica Lp, il valoredel moltiplicatore critico aumenta da un valore minimo di 51.84 kN/m per Lp = 0.010

ad un valore massimo di 52.86 kN/m per Lp = 0.500, e poi decresce leggermente fino a52.39 kN/m per Lp = 1.000.

7Avendo assunto un valore unitario del carico distribuito q = 1.00 kN/m, il moltiplicatore non è altroche il valore della risultante di tale carico al dato step, espresso in kN e divisa per la lunghezza L = 4.0mdella trave.



Step Lp = 0.010 Lp = 0.025 Lp = 0.050

λ(kN/m) δ(mm) λ(kN/m) δ(mm) λ(kN/m) δ(mm)

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001 34.92 6.48 34.92 6.48 34.92 6.482 48.79 15.93 47.51 16.11 47.04 16.183 50.56 22.26 51.93 51.56 52.40 101.214 50.56 22.26 51.93 51.56 52.40 101.215 51.84 38.48 51.93 51.56 52.40 101.216 51.84 38.48 52.04 68.48 52.06 118.367 51.84 38.48 52.04 68.48 52.06 118.368 -0.29 539.82 52.04 68.48 52.06 118.369 -0.29 1000.00 -0.09 569.81 -0.06 619.7010 1000.00 -0.06 1000.00

Step Lp = 0.100 Lp = 0.200 Lp = 0.300


0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001 34.92 6.48 34.92 6.48 34.92 6.482 46.80 16.21 46.68 16.23 46.64 16.233 52.66 200.84 52.79 400.28 52.83 599.754 52.66 200.84 52.79 400.28 52.83 599.755 52.66 200.84 52.79 400.28 52.83 599.756 52.08 218.12 52.09 417.62 52.09 617.127 52.08 218.12 52.09 417.62 52.09 617.128 52.08 218.12 52.09 417.62 52.09 617.129 -0.05 719.45 -0.04 918.95 12.28 1000.0010 -0.05 1000.00 -0.04 1000.00

Step Lp = 0.400 Lp = 0.500 Lp = 0.750


0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.001 34.92 6.48 34.92 6.48 34.92 6.482 46.62 16.24 46.61 16.24 46.59 16.243 52.85 799.24 52.86 998.74 52.38 1497.644 52.85 799.24 52.86 998.74 52.38 1497.645 52.85 799.24 52.86 998.74 52.38 1497.646 52.09 816.62 52.09 1016.12 51.60 1514.717 52.09 816.62 52.09 1016.12 51.60 1514.718 52.09 816.62 52.09 1016.12 51.60 1514.719 33.02 1000.00 1.78 1500.00 -0.52 2016.0410 -0.52 2500.00


Step Lp = 1.000

λ(kN/m) δ(mm)

0 0.00 0.001 34.92 6.482 46.58 16.243 52.39 1996.394 52.39 1996.395 52.39 1996.396 52.39 1996.397 0.29 2497.758 0.17 2500.00

Step Lp da Metodo analiticoλ(kN/m) δ(mm)

0 0.00 0.001 34.92 6.48. . . . . . . . .2 47.33 16.14. . . . . . . . .6 49.85 64.47. . . . . . . . .10 23.89 570.97

Tuttavia, l’aspetto fondamentale è che, all’aumentare i Lp diminuisce la rigidezzadella trave nelle fasi successive alla formazione delle prime cerniere; conseguentemente ilvalore del moltiplicatore critico viene raggiunto per valori di spostamenti sempre maggiori:in altre parole, aumenta la duttilità del sistema, come si vede bene dal diagramma inFig.A.29.

Ad ogni modo, si assume come valore del moltiplicatore critico il valore

λcr = 49.85

ovvero il valore relativo alla condizione in cui le cerniere plastiche hanno lunghezza paria quella calcolata con il metodo analitico.

In Fig.A.30, invece, vengono rappresentate gli step fondamentali dell’analisi, a partiredallo snervamento della prima fibra, fino al collasso completo della struttura; si può vederel’ordine di formazione delle cerniere plastiche.


A.2 – Esercitazioni sull’instabilità A.33

A.2 Esercitazioni sull’instabilità


STUDIO DEL COMPORTAMENTO CRITICO E POST-CRITICO DI UNASTA VINCOLATA E CON RIGIDEZZA CONCENTRATA

Si analizzi il comportamento di un’asta soggetta a carico assiale, per tre condizioni diffe-renti di vincolo, in modo tale da evidenziare un comportamento post-critico: stabile (casoa), instabile (caso b), e asimmetrico (caso c). Si svolga lo studio sia dal punto di vistaanalitico, sia con il calcolatore, paragonando tra loro i risultati. Per ognuno dei tre casisi considerino sia aste ideali che aste reali, affette cioè da imperfezioni di tipo geometrico,si considerino in particolare tre differenti rotazioni iniziali dell’asta: tali da produrre unospostamento in cima pari a 0.1 l, 0.2 l e 0.3 l. Si possono utilizzare i dati:

Caso a)l = 1.0m e k = 1.0 kNm

Casi b) e c)l = 1.0m e k = 1.0 kN/m

Figura A.31: Caso a), b) e c) di asta vincolata con rigidezza concentrata

Si risolve il problema applicando l’approccio statico, ovvero si impone l’equilibrio nellaconfigurazione deformata e si ricava il carico critico come il carico che rende nulla larigidezza geometrica del sistema.


CASO A

Assumiamo come parametro libero di spostamento la rotazione θ dell’asta rispetto alpiede. Nel caso di asta reale, l’imperfezione della stessa viene modellata attraverso unarotazione iniziale θ0 alla base, che ha lo scopo di ridurre la rigidezza geometrica del sistema,riduce così il valore del carico critico.

Figura A.32: Asta ideale ed asta reale

A Spostamenti non grandi - Asta ideale

Imponendo l’equilibrio nella configurazione deformata (Fig.A.32), si ottiene la rigidezzageometrica k∗ del sistema

k · θ = P · l · θ → (k − P · l) · θ = k∗ · θ = 0 → k∗ = (k − P · l)

Il carico critico è il valore di P che rende nullo tale rigidezza, ovvero

Pcr =k

l→ Pcr · l

k= 1

B Grandi spostamenti - Asta ideale


k · θ = P · l · sin θ →(k − P · l sin θ

θ

)· θ = k∗ · θ = 0 → k∗ =

(k − P · l sin θ

θ

)Il carico critico è il valore di P che rende nullo tale rigidezza, ovvero

Pcr =k

l

θ

sin θ→ Pcr · l

k=

θ

sin θ


C Spostamenti non grandi - Asta reale


k · (θ − θ0) = P · l · θ → k · θ(

1− P · lk− θ0

θ

)= k∗ · θ = 0

k∗ = k

(1− P · l

k− θ0

θ


Pcr =k

l

(1−

θ0

θ

)→ Pcr · l

k=

(1− θ0

θ

)D Grandi spostamenti - Asta reale


k · (θ − θ0) = P · l · sin θ → k

(1− P · l

k

sin θ

θ− θ0

θ

)= k∗ · θ = 0

k∗ = k

(1− P · l

k

sin θ

θ− θ0

θ


Pcr =k

l

θ − θ0sin θ

→ Pcr · lk

=θ − θ0sin θ

Si riporta, in Fig.A.33, l’andamento del carico critico (normalizzato rispetto al rappor-to k/l) al variare dell’angolo θ, per le 4 condizioni appena determinate. Per le condizioniC e D vengono rappresentati 3 andamenti ciascuno, ognuno relativo ad un valore di θ0;si noti che all’aumentare dell’angolo con cui si modella l’imperfezione dell’asta, il caricocritico risulta sempre più piccolo.

Si osservi, inoltre, che in tutti i casi, all’aumentare dell’angolo θ, il carico critico Pcraumenta (ovviamente in modulo). Questo dimostra che il comportamento post-critico èstabile.


Figura A.33: Caso A - Andamento del carico critico in funzione dell’angolo θ

Analisi al calcolatore

Effettuiamo, ora, le stesse analisi al calcolatore, con l’utilizzo del codice di calcolo SAP2000,ma solamente nei casi di asta reale.

Come prima cosa, definiamo la struttura assegnando all’asta un materiale ed unasezione con rigidezza molto elevate (si controllerà in fase di analisi che l’asta non presentideformazioni rilevanti). Dopodiché, si impone una rotazione iniziale alla base generandotre differenti modelli, in cui si assume rispettivamente un valore di tale rotazione pari aθ0 = 0.1, θ0 = 0.2 e θ0 = 0.3. Si applica, quindi, all’asta il vincolo di cerniera, la mollaalla base ed un carico in punta P = 1.00 kN verticale, che verrà utilizzato per impostarei casi di carico di push-over.

Si definiscono due casi di carico di push-over, entrambi aventi come carico di basela forza P assegnata ed entrambi in controllo di forza, ma uno in cui si consideranole non linearità geometriche P-delta (Fig.A.34), che corrisponde al caso di spostamentinon grandi, ed uno in cui si considerano come non linearità geometriche anche i grandispostamenti.

In Fig.A.35 si diagrammano, per le tre condizioni θ0 = 0.1, θ0 = 0.2 e θ0 = 0.3, le curverappresentative dei dati ottenuti con il codice di calcolo SAP200 (curve con andamento apuntini), confrontandole con le rispettive ottenute analiticamente.


Figura A.34: Assegnazione casi di carico per il Push-over : SNG e GS

Figura A.35: Caso A - Andamento del carico critico in funzione dell’angolo θ


CASO B





k · l2 · θ = P · l · θ → (k · l − P ) · θ = k∗ · θ = 0 → k∗ = (k · l − P )


Pcr = k · l → Pcrk · l

= 1



k · l2 sin θ cos θ = P · l sin θ →(k · l cos θ − P

θ

)· θ = k∗ · θ = 0

k∗ =

(k · l cos θ − P

θ


Pcr = k · lcos θ → Pcrk · l

= cos θ


C Spostamenti non grandi - Asta reale


k · l2(θ − θ0) = P · l · θ → k · l(

1− P

k · l− θ0

θ

)· θ = k∗ · θ = 0

k∗ = k · l(

1− P

k · l− θ0

θ


Pcr = k · l(

1−θ0

θ

)→ Pcr

k · l=

(1− θ0

θ

)D Grandi spostamenti - Asta reale


k · l2(sin θ − sin θ0) cos θ = P · l · sin θ

k · l(

(sin θ − sin θ0) cos θ

θ · sin θ− P

k · l · θ

)· θ = k∗ · θ = 0

k∗ = k · l(


θ · sin θ

)− P

θ


Pcr = k · l(


sin θ

)→ Pcr

k · l=


sin θ

Si riporta, in Fig.A.37, l’andamento del carico critico (normalizzato rispetto al prodot-to k · l) al variare dell’angolo θ, per le 4 condizioni appena determinate. Per le condizioniC e D vengono rappresentati 3 andamenti ciascuno, ognuno relativo ad un valore di θ0;si noti che all’aumentare dell’angolo con cui si modella l’imperfezione dell’asta, il caricocritico risulta sempre più piccolo.

Si osservi, inoltre, che nei casi in cui si fa l’ipotesi di grandi spostamenti (condizioniC e D), all’aumentare dell’angolo θ, il carico critico Pcr diminuisce (ovviamente in modu-lo). Questo dimostra che il comportamento post-critico è instabile, dovuto al fatto che,all’aumentare di θ, la reazione offerta dalla molla tende sempre più a spingere l’asta versoil basso; come caso limite, quando θ supera i 90 tale reazione diventa sfavorevole allastabilità. Tale comportamento non è leggibile nelle condizioni A e B, poiché l’ipotesi dipiccoli spostamenti fa si che la posizione della molla non cambi, ma resti sempre ad unadistanza l dal vincolo di cerniera alla base dell’asta.


Figura A.37: Caso B - Andamento del carico critico in funzione dell’angolo θ


Effettuiamo, ora, le stesse analisi al calcolatore, con l’utilizzo del codice di calcolo SAP2000,ma solamente nei casi di asta reale, esattamente come fatto per il caso A.





CASO C



Indichiamo con α l’angolo che la molla forma con l’orizzontale nella configurazionedeformata, che è pari a

α =π

4− θ

2

L’allungamento d della molla, invece, in generale vale8

d = l√

2(√

1 + sin θ − sin θ0 − 1)



k · l2(√

1 + θ − 1)

(1− θ) = P · l · θ → k · l

[(√1 + θ − 1

)(1− θ)

θ− P

k · l

]· θ = 0

k∗ = k · l

[(√1 + θ − 1

)(1− θ)

θ− P

k · l

]Il carico critico è il valore di P che rende nullo tale rigidezza, ovvero

Pcr = k · l(√

1 + θ − 1)

(1− θ)

θ→ Pcr

k · l=

(√1 + θ − 1

)(1− θ)

θ

8L’espressione di d vale nel caso più generale, ovvero di grandi spostamenti e di asta reale, ma èadattabile agli altri casi, ponendo sin(θ − θ0) = θ − θ0, nel caso di piccoli spostamenti, e θ0 = 0 nel casodi asta ideale.




k · l2(√

1 + sin θ − 1)[

cos

(π

4− θ

2

)cos θ − sin

(π

4− θ

2

)]= P · l · sin θ

k · lθ

(√1 + sin θ − 1

)[cos

(π

4− θ

2

)cos θ

sin θ− sin

(π

4− θ

2

)]− P

k · l

· θ = k∗ · θ = 0

k∗ =k · lθ

(√1 + sin θ − 1

)[cos

(π

4− θ

2

)cos θ

sin θ− sin

(π

4− θ

2

)]− P

k · l


Pcr = k · l(√

1 + sin θ− 1)[

cos(π

4−θ

2

)cosθsin θ

− sin(π

4−θ

2

)]Pcrk · l

=(√

1 + sin θ − 1)[

cos

(π

4− θ

2

)cos θ

sin θ− sin

(π

4− θ

2

)]C Spostamenti non grandi - Asta reale


k · l2(√

1 + θ − θ0 − 1)

(1− θ) = P · l · θ

k · l

[(√1 + θ − θ0 − 1

)(1− θ)

θ− P

k · l

]· θ = 0

k∗ = k · l

[(√1 + θ − θ0 − 1

)(1− θ)

θ− P

k · l

]Il carico critico è il valore di P che rende nullo tale rigidezza, ovvero

Pcr = k · l(√

1 + θ − θ0 − 1)

(1− θ)

θ→ Pcr

k · l=

(√1 + θ − θ0 − 1

)(1− θ)

θ

D Grandi spostamenti - Asta reale


k · l2(√

1 + sin θ − sin θ0 − 1)[

cos

(π

4− θ

2

)cos θ − sin

(π

4− θ

2

)]= P · l · sin θ


k · lθ

(√1 + sin θ − sin θ0 − 1

)[cos

(π

4− θ

2

)cos θ

sin θ− sin

(π

4− θ

2

)]− P

k · l

·θ = k∗·θ = 0

k∗ =k · lθ

(√1 + sin θ − sin θ0 − 1

)[cos

(π

4− θ

2

)cos θ

sin θ− sin

(π

4− θ

2

)]− P

k · l


Pcr = k · l(√

1 + sin θ − sin θ0− 1)[

cos(π

4−θ

2

)cosθsin θ

− sin(π

4−θ

2

)]Pcrk · l

=(√

1 + sin θ − sin θ0 − 1)[

cos

(π

4− θ

2

)cos θ

sin θ− sin

(π

4− θ

2

)]Si riporta, in Fig.A.40, l’andamento del carico critico (normalizzato rispetto al prodot-

to k · l) al variare dell’angolo θ, per le 4 condizioni appena determinate. Per le condizioniC e D vengono rappresentati 3 andamenti ciascuno, ognuno relativo ad un valore di θ0;si noti che all’aumentare dell’angolo con cui si modella l’imperfezione dell’asta, il caricocritico risulta sempre più piccolo.


Si osservi, inoltre, che il carico critico decresce per valori positivi dell’angolo θ. Questodimostra che il comportamento post-critico è asimmetrico.



Effettuiamo, ora, le stesse analisi al calcolatore, con l’utilizzo del codice di calcolo SAP2000,ma solamente nei casi di asta reale, esattamente come fatto per il caso A e B.


Figura A.41: Caso C - Andamento del carico critico in funzione dell’angolo θ



ANALISI DI BUCKLING DELLA STABILITÀ DI UN TELAIO TRIDIMEN-SIONALE

Con riferimento alla Fig.A.42 individuare i modi d’instabilità dell’intera struttura sia nelcaso di colonne flessibili, sia, al contrario, in caso di travi flessibili. La lunghezza L èposta pari a 5.0m, mentre tutte le colonne sono incastrate alla base. Le travi dei telaiprincipali sono incastrate alle colonne, mentre quelle trasversali risultano incernierate. Ilmateriale utilizzato è l’acciaio, con un modulo elastico di 200000MPa.

Affinché un telaio possa essere considerato a colonne flessibili, l’inerzia della trave deveessere almeno 4 volte superiore a quella della colonna; vale il viceversa per il caso di traviflessibili. Nella stessa figura sono riportati i profili scelti nei due casi.

L’interesse sta nel ricavare il carico critico euleriano del telaio con il codice di calcolo.

Figura A.42: Struttura oggetto dell’analisi di instabilità


Si studi come variano i carichi critici variando la configurazione progettuale nelleseguenti maniere (l’inserimento di controventi implica che il vincolo trave-colonna, nelpiano controventato, diventi una cerniera, mantenere invece gli incastri alla base dellecolonne).

”CF” - TELAIO A COLONNE FLESSIBILI

(a) Soluzione 1Si inseriscono dei controventi verticali in acciaio, con sezione circolare tubola-re (cava, diametro esterno 20 cm e spessore di 1 cm) disposti come in Fig.A.43.L’obiettivo è quello di ritenere la traslazione orizzontale delle colonne

Figura A.43

(b) Soluzione 2In questo caso si decide di utilizzare gli stessi controventi visti in precedenzama con una disposizione a K (Fig.A.44). In tal modo non si agisce sulla tra-slazione orizzontale del trasverso ma si diminuisce direttamente la lunghezzalibera della colonna, inserendo un appoggio (fisico) intermedio

Figura A.44


(c) Soluzione 3In questo caso si mantengono i controventi a K e si aggiungono controventidi piano (disposti ad X) della stessa sezione (Fig.A.45)

Figura A.45

”TF” - TELAIO A TRAVI FLESSIBILI

(a) Soluzione 1Si inseriscono dei controventi di piano ad X

Figura A.46


(b) Soluzione 2In questo caso, oltre ad aggiungere dei controventi orizzontali, si inserisconodei controventi a K così da diminuire la luce della colonna

Figura A.47

(c) Soluzione 3In questo caso si adottano molti accorgimenti: i controventi verticali presen-tano sezioni HEA 200 e vengono disposti a K in tutte le direzioni dei telai,come riportato in figura. I controventi di piano mantengono la loro sezionetubolare vista in precedenza, mentre l’asse delle colonne viene ruotato di 90

per evitare la sbandata vista in precedenza

Figura A.48

I carichi sulla struttura vengono assegnati unitari P = 1.00 kN , in modo tale che gliautovalori di buckling derivanti dall’analisi (Buckling factor riportati nelle figure seguenti)siano pari proprio ai carichi critici (per ciascun modo) espressi in kN . Si trascura il pesoproprio degli elementi.

Il carico critico euleriano è minore tra gli autovalori di buckling che non danno insta-bilità locali.


CF - Telaio a colonne flessibili - Soluzione base

Figura A.49: Telaio a colonne flessibili - Soluzione base

CF.a - Telaio a colonne flessibili - Soluzione 1

Figura A.50: Telaio a colonne flessibili con controventi verticali


CF.b - Telaio a colonne flessibili - Soluzione 2

Figura A.51: Telaio a colonne flessibili con controventi verticali a K

CF.c - Telaio a colonne flessibili - Soluzione 3

Figura A.52: Telaio a colonne flessibili con controventi verticali a K e di piano ad X


TF - Telaio a travi flessibili - Soluzione base

Figura A.53: Telaio a colonne flessibili - Soluzione base

TF.a - Telaio a travi flessibili - Soluzione 1

Figura A.54: Telaio a colonne flessibili con controventi di piano ad X


TF.b - Telaio a travi flessibili - Soluzione 2

Figura A.55: Telaio a colonne flessibili con controventi di piano ad X e verticali a K

TF.c - Telaio a travi flessibili - Soluzione 3

Figura A.56: Telaio a colonne flessibili con controventi di piano ad X, verticali HEA 200 a K ecolonne ruotate

Education

Costruzioni metalliche - Di Re