Disciplina: INFORMÁTICA EDUCATIVA II

Tarefa Semana 6, Grupo Logaritmos

Tutora: Cleonice Weber

Pós Graduação Lato Sensu:

Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

Universidade Federal Fluminense - UFF

Sumário: 1. Trigonometria e Navegação

2. O que é latitude? O que é longitude?

3. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

4. Construção de um Quadrante

5. Atividades práticas de medição de objetos inacessíveis

1. Trigonometria e Navegação

Há milênios o homem utiliza os mares para comércio. Em

épocas remotas, os navegadores, por não existirem

condições técnicas de localização em alto-mar, não se

afastavam da costa. Com o passar do tempo diversos

instrumentos foram desenvolvidos com a finalidade de

auxiliar na navegação. Tais instrumentos constituíram

elementos fundamentais no desenvolvimento da

trigonometria.

1. Trigonometria e Navegação

Bússola

Bússola Moderna Bússola Chinesa

http://www.members.tripod.com/caraipora/calc_dist_entre_dois_pontos.htm

1. Trigonometria e Navegação

O que é latitude?

O que é longitude?

Para saber mais, clique no link abaixo:

1. Trigonometria e Navegação1.1 Kamal Um dos mais simples instrumentos

para medir latitudes foi o árabe ´´Kamal´´

Este instrumento foi trazido ao

Ocidente pelo navegador português

Vasco da Gama por meio de contato

com um piloto árabe, quando Vasco

da Gama fez suas viagens à Índia.

Também era denominado tavoletas

de Índia ou balestilha do mouro.

1. Trigonometria e Navegação O ´´kamal´´ consistia de uma tábua

retangular com um fio com vários nós. Estes nós estavam associados a ´´isbas´´. A ´´isba´´ era uma unidade angular equivalente a 1 grau e 37 minutos usada pelos pilotos árabes, no Oceano Índico, na avaliação de latitudes. Prendia-se o nó com os dentes, esticava-se o fio com a peça de madeira afastando-a do rosto, visando o horizonte pelo lado inferior da tábua e a estrela pelo lado superior.

1. Trigonometria e navegação

Tarefas de investigação:

1. Use um transferidor para observar objetos ao longe sob um

ângulo de um ´´isba´´

2. Imagine que você cometeu um erro na mensuração de um

ângulo equivalente a um ´´isba´´. Se você seguir no rumo errado,

após 100 km de navegação, qual será a sua distância do ponto

de chegada correto?

3. E se você navegar 500km? Qual seria a distância entre o

ponto efetivo e o ponto desejado?

1. Trigonometria e NavegaçãoUtilizava-se a mão livre para contar os nós que sobravam.

Os lados da tábua não eram iguais.

Assim, cada kamal possibilitava efetuar duas medidas de alturas

entre limites distintos.

Uma medida com o lado maior e outra com o lado menor.

O kamal que Vasco da Gama trouxe da Índia estava adaptado

à navegação no Índico, os nós estavam associados a medidas e

pontos de referência distintos daqueles usados pelos europeus.

Por conta desta dificuldade de adaptação aos mares atlânticos,

este instrumento acabou não sendo difundido no Ocidente.

1. Trigonometria e Navegação

Em suas viagens na Expansão Marítima, portugueses e

espanhóis introduziram no Ocidente os instrumentos

náuticos uados pelos árabes: quadrante, astrolábio, kamal.

Cristóvão Colombo, em suas viagens à América utilizou-se do

quadrante e do astrolábio. Em sua 1a. viagem, os erros

obtidos na mensuração da latitude foram consideráveis,

mesmo pelos padrões da época.

1. Trigonometria e Navegação

Em sua 1a. viagem, Colombo tentou determinar a latitude

usando o quadrante pela primeira vez em 30 de outubro de

1492. Ele estava em Puerto de Mares, Cuba (hoje conhecida

como Puerto Gibara) aproximadamente a 20 graus de

latitude norte. Ele determinou a latitude como 42 graus. Em

2 de novembro ele efetuou uma segunda medição, também

obtendo um resultado bastante distante do real.

A 21 de novembro Colombo tentou novamente obter a latitude com o Quadrante, obtendo 42 graus. NEste ponto Colombo já suspeitava que a leitura do quadrante estava incorreta, mas ele registrou a leitura em seu diário. Ele culpou o quadrante pelo resultado ruim e comentou que não faria novas medições até que o quadrante estivesse consertado.

1. Trigonometria e Navegação

1. Trigonometria e Navegação

Colombo fez duas novas tentativas de medição da latitude

por dois diferentes métodos a 13 de dezembro quando

ancorou no Haiti. A partir de trabalhos de Ptolomeu, ele

sabia que Ptolomeu referia-se a latitude de uma cidade de

acordo com a duração da luz do dia no solstício de verão

(quanto mais ao norte, maior a duração da luz do dia).

13 de dezembro era o dia após o solstício de inverno de

1492, o qual era tão bom para medidas de latitudes (por que

o comprimento da luz do dia no solstício de verão é

aproximadamente o mesmo que a duração da noite no

solstício de inverno.

1. Trigonometria e navegação

Colombo aproveitou a oportunidade para medir a duração da

luz do dia, achando que o dia tenha 10 horas de duração. Este

também é um resultado ruim. Colombo não converteu a

medida da duração da luz do dia para latitude provavelmente

por que não sabia suficiente trigonometria para isto.

Aquela noite ele fez uma segunda tentativa para determinar a

latitude. Retornou ao quadrante e novamente tentou

determinar a latitude pela Estrela Polar e conseguiu uma

leitura de 34 graus. Ainda distante do valor correto de 19

graus.

1. Trigonometria e navegação

Finalmente, a 3 de fevereiro de 1493, na viagem de volta,

Colombo tentou determinar a altitude da estrela Polar usando

ambos o Quadrante e o Astrolábio. Mas as ondas estavam tão

fortes que ele não conseguiu efetuar uma leitura.

As leituras obtidas pelo Quadrante por Colombo em sua

primeira viagem foram horríveis sob qualquer padrão.

Alguns sugeriram que ele tomou erradamente outra estrela

como sendo a Estrela Polar como referência.

1. Trigonometria e NAvegação

Em 1983, James Kelley apresentou a solução do mistério:

muitos quadrantes em museus marítimos possuem escalas em

tangentes. Se Colombo leu erradamente a escala, ele pode ter

registrado a tangente da latitude (sem o ponto decimal) ao invés

da latitude real. Se este foi o caso, as medidas de Colombo

estariam erradas apenas por algo como dois graus, o que não é

tão ruim considerando a tecnologia da época.

1. Trigonometria e navegação

De qualquer forma, neste ponto de sua carreira, Colombo não

estava familiarizado o suficiente com técnicas de navegação

celeste e instrumentos náuticos. Assim, não é surpreendente

que ele não tenha usado instrumentos náuticos e navegação

celeste em sua segunda viagem. Ao invés disso, ele usou uma

técnica tradicional mantendo um curso constante oeste para

sul de Gomera até o que hoje é a República Dominicana.

1a. Viagem de Cristóvão Colombo (1492)

1. Trigonometria e Navegação

Já em sua 3a. viagem à América, Colombo fez tentativas

regulares de usar a navegação celeste. Contudo, os resultados

foram ruins, mesmo para os padrões da época.

No Cabo Verde Colombo avaliou a latitude da Estrela Polar

entre 5 e 15 graus. A Estrela Polar estava realmente a 3,5 graus

do pólo celeste em 1498. Os navegadores treinados em

técnicas celestes da época sabiam destes valores. Esta é uma

evidência da pouca familiaridade de Colombo com a

navegação celeste.

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Quadrante: era usado pelos navegadores portugueses desde o Século XV. Era usado para medir a altura dos astros. É anterior ao astrolábio. Havia um fio de prumo fixo ao centro do arco e uma escala de graduação inscrita na borda do quarto de círculo.

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Quadrante de papelão

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Para utilizar o quadrante apontava-se ao astro que pretendia-se observar até vê-lo através dos orifícios. A medida é encontrada pelo valor apontado pelo fio de prumo na escala do quarto de círculo onde se encontra uma graduação de 0 a 90 graus.

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

Você vai precisar:

1. Cartão grosso

2. Régua e esquadro

3. Transferidor

4. Compasso

5. Máquina de calcular

6. Tesoura

7. Linha ou fio de naylon

8. Um peso pequeno

9. Duas ´´miras´´ para a visada

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

1. Faça um quadrado ABCD de 20 x 20 cm no cartão

2. Deixe margens de 1cm nos lados AD e CD e

marque A´O e OC´:

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

Trace um quarto de circunferência com centro O e

raio 19 cm:

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

2. Para graduar de forma precisa o quadrante, precisamos seguir

os passos abaixo.

2.1 Seja um triângulo EFG tal que E = 5 graus, F = 90 graus e EF =

19cm

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegaçãoConstruindo um quadrante

Determine FG, utilizando trigonometria. Discuta com

seus colegas como fazer isto.

2.2 Construa no lado BC´ do quadrado um segmento

XY de igual medida a FG tal que X = C´.

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

2.3 Trace um segmento OY. O ponto de intersecção

de OY com o quarto de circunferência corresponderá

no quadrante a 5 graus.

Para prosseguir com a graduação, faça de forma

análoga variando a amplitude do ângulo E de 5 em 5

graus até completar a tabela:

5º 10º 20º 25º 30º 35º 40º 45º

FG

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

Com isso graduamos o quadrante até 45o. Para completar a

graduação podemos aproveitar os cálculos efetuados e,

repetindo o raciocínio, considerar o lado A´B e fazendo A´= X:

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

Terminamos a graduação do quadrante. Agora

recortamos o cartão conforme a figura:

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Construindo um quadrante

Perfuramos o cartão no ponto O e fixamo o fio de naylon com o

pesinho na ponta.

As miras podem ser dois pedaços de cartolina parecidos com

miras de revólver. O importante é que sejam bem colocados.

Agora você pode usar seu quadrante para medir ângulos!

Atividades com seu Quadrante

Com o quadrante construído vocês se organizarão em duplas para desenvolver as seguintes atividades:

1. Utilize o quadrante para determinar a altura do prédio da escola onde você estuda.

2. Escolha uma árvore e meça a altura desta árvore.

3. Meça a altura de uma antena de celular.

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Astrolábio Colombo também usou um Astrolábio em sua primeira viagem. O astrolábio é semelhante ao quadrante mas possui um braço (ou alidade) que o navegador usaria como referência para achar altitude de estrelas. O quadrante era preciso até um grau e o astrolábio era um pouco menos preciso.

1. Trigonometria e navegação

Ilustração de um astrolábio

1. Trigonometria e navegação

A estrutura de um astrolábio

2. Instrumentos de Medição de ângulos na navegação

Para medir o tempo no navio usavam-se ampulhetas de areia.

A cada meia-hora elas eram viradas.

Para medir a meia-noite era usado

um instrumento denominado

noturnal.

Este instrumento indica a hora da

noite pela rotação das estrelas ao

redor do pólo celeste.

Informações sobre Cristóvão Colombo: http://www.columbusnavigation.com/cn.shtml

Referência:

Construção do Quadrante: http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2003/webquest/constroi.htm