PROJECTE D’ÀMBITS - 3r ESO - CURS 2016-17 DOCUMENT D’INICI DE PROJECTE

CLEPSIDRA

Crèdits de la imatge: Marsyas, CC BY-SA 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=476174 Crèdits del projecte: adaptació de Sergi del Moral i Blanca Amengual a partir del projecte Clepsidra de Carlos Morales Socorro http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/abriendolaescuela/files/2011/10/I-2008-clepsidra.pdf

Reconeixement – No Comercial – Compartir Igual (by-nc-sa): No es permet un ús comercial de l’obra original ni de les possibles obres derivades, la distribució de les quals s’ha de fer amb una llicència igual a la que regula l’obra original.

TAULA DE CONTINGUTS

1. INTRODUCCIÓ 2

2. OBJECTIUS D’APRENENTATGE 2

3. PRODUCTES 3

4. AVALUACIÓ 3

5. DOCUMENTACIÓ DEL PORTAFOLI 3

5. CALENDARI 4

6. SEQÜÈNCIA 5 Sessió 1. Entendre el problema 5 Sessió 1. Experimentar i recollir dades 6 Sessió 2. Ajust del model matemàtic: assaig-error 7 Sessió 2 i 3. Ajust al model matemàtic: funció quadràtica 9 Sessió 4. Predir i discutir validesa del model ajustat 13 Sessió 5. Preparar escala temporal i comprovar funcionament 14 Demés sessions. Investigació autònoma 15 Sessió Extra. Resolució de problemes 16

7. GLOSSARI 18

1 de 20

1. INTRODUCCIÓ En aquest projecte ens proposem mesurar el temps. Construirem una clepsidra, un rellotge d’aigua. Treballarem com a científics i científiques, no ens creurem res que no puguem demostrar. Experimentarem i recollirem dades, ajustarem un model matemàtic a les dades recollides, analitzarem la validesa, calibrarem el rellotge i finalment comprovarem el seu funcionament. Demanarem als nostres familiars que validin els nostres descobriments, per això els farem arribar un informe descriptiu del procés de treball.

2. OBJECTIUS D’APRENENTATGE Durant aquest projecte treballaràs les competències i els continguts clau següents:

Competències bàsiques ● CB5. Aprendre a aprendre. ● CB6. Autonomia i iniciativa personal. ● Treball en equip

Competències d’àmbits ● M1. Traduir un problema a llenguatge matemàtic. ● M2. Emprar conceptes, eines i estratègies per resoldre problemes. ● M3. Mantenir una actitud de recerca. ● C5. Resoldre problemes de la vida quotidiana aplicant el raonament científic. ● C9. Dissenyar i construir objectes tecnològics que resolguin un problema i avaluar

idoneïtat.

Continguts clau ● M-CC4. Llenguatge algebraic. ● M-CC5. Patrons, relacions i funcions. ● M-CC6. Representació de funcions: gràfics, taules i fórmules. ● M-CC7. Anàlisi del canvi i tipus de funcions. ● M-CC11. Magnituds i mesura. ● C-CC15. Fases d’una investigació. Disseny d’un procediment experimental. ● C-CC17. Objectes tecnològics de la vida quotidiana ● C-CC24. Disseny i construcció d’objectes tecnològics.

Continguts curriculars especialment rellevants ● Funcions lineals i funcions quadràtiques ● Equacions de primer i segon grau ● Precisió, exactitud i error

2 de 20

3. PRODUCTES En acabar el projecte s’hauran de lliurar tres productes finals, tots ells realitzats en grups de tres persones. Són els següents:

● Rellotge d’aigua ● Vídeo-comprovació del funcionament ● Informe científic

4. AVALUACIÓ Procés de treball

● Dossier d’inici de projecte i tasques al Classroom (individual) ● Autoavaluacio i coavaluació final amb CoRubrics (individual)

Productes ● Rellotge d’aigua (en grup) ● Informe científic (en grup)

○ Valoració del grup a partir de la rúbrica ○ Valoració de l’equip docent a partir de la mateixa rúbrica ○ Valoració de la vostra família a partir de la rúbrica

● Exposició final, si escau (individual i en grup) L’avaluació del procés de treball i els productes finals tenen el mateix pes, es podran fer adaptacions en cada cas a criteri de l’equip docent. Més enllà del resultat final es valorarà especialment la capacitat respondre preguntes i de treballar de manera autònoma, individualment i en grup.

5. DOCUMENTACIÓ DEL PORTAFOLI A l’inici de projecte se us entregarà un portafoli amb la següent documentació:

● Document d’inici de projecte ● Full d’experimentació ● Model d’informe científic ● Graella d’avaluació de l’informe científic ● Article científic: Quinze anys d’estudis quiroptelògics a les Illes Balears ● Full mil·limetrat DIN-A4 ● Val per una “bona pregunta”

3 de 20

5. CALENDARI

dimecres 7 de desembre Entendre el problema Experimentar Representar dades

dilluns 12 de desembre Ajust model

dimarts 13 de desembre Ajust model

dimecres 14 de desembre Predir amb el model Discutir validesa

dijous 15 de desembre Preparar escala Comprovar rellotge

dilluns 19 de desembre Investigació autònoma

dimarts 20 de desembre Investigació autònoma

dimecres 21 de desembre Investigació autònoma

diluns 9 de gener Investigació autònoma

dimarts 10 de gener Investigació autònoma

dimecres 11 de gener Investigació autònoma Pre-entrega Informe científic

dijous 12 de gener Investigació autònoma Pre-entrega Informe científic

diluns 16 de gener Exposició final Auto i coavaluació

4 de 20

6. SEQÜÈNCIA

Sessió 1. Entendre el problema Estàs preparat per actuar com un científic/a? En aquest projecte analitzarem un fenomen real i construirem un model matemàtic que ens doni una aproximació del seu comportament, aprenent moltes altres coses pel camí, i finalment, construint un petit rellotge d’aigua, una clepsidra!

El rellotge d'aigua o clepsidra és un instrument per a mesurar el temps basat a fer passar una quantitat d'aigua d'un recipient a un altre a través d'un petit orifici. Es van inventar a la Mesopotàmia fa més de 3000 anys i s’utilitzaven especialment per la nit, quan els rellotges de sol perdien utilitat. Els primers rellotges d’aigua van consistir en un recipient de ceràmica que contenia aigua fins un cert nivell, amb un orifici a la base d’una grandària adient perquè l’aigua sortís a una velocitat determinada i, per tant, en un temps prefixat. El recipient disposava al seu interior de vàries marques de manera que el nivell indicava els diferents períodes. Els rellotges d’aigua també es feien servir als tribunals d’Atenes per indicar el temps assignat als oradors. Diuen que el filòsof Plató va inventar un rellotge d’aigua molt eficient. Més tard van ser introduïts als tribunals de Roma. A més, s’utilitzaven a les campanyes militars per indicar les guàrdies nocturnes. El rellotge d’aigua egipci, més o menys modificat, va seguir sent l’instrument més eficient per mesurar el temps durant molts segles. (Font: Wikipedia).

Encara que ara us pugui semblar estrany per aconseguir que el rellotge d’aigua funcioni caldrà que aprengueu: manipulació de fórmules matemàtiques, volum i àrees de cossos geomètrics, introducció al mètode científic, recollida de dades en taules i gràfics, mitjanes, errors absoluts, sistemes d’equacions, equacions de segon grau, funcions quadràtiques, estimació, GeoGebra, calculadora, percentatges, resolució de problemes… PROBLEMA 0

CLASSROOM (codi chuveq6). Instal·lat el GeoGebra (geogebra.org/download). Obre’l, a la barra “Entrada” escriu y=2x^2-2x+1 i clica intro. Acabes de dibuixar la teva primera paràbola! Fes una captura de pantalla i envia-la a la tasca PROBLEMA 0.

PROBLEMA 1. FASES DEL PROJECTE

Acordeu l’ordre de les targetes amb les fases del projecte i escriviu-les aquí. No importa que estiguin malament!

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 de 20

Sessió 1. Experimentar i recollir dades Comença l’experimentació! Els passos que seguirem a partir d’ara us serviran de guia més endavant, mireu d’entendre’ls un a un, i pregunteu allò que no quedi clar, ja que vosaltres sols els haureu de resseguir per construir el vostre propi rellotge d’aigua. Prepareu una tira de paper mil·limetrat de 21 cm de longitud tal i com es veu a la fotografia. Enganxa la tira al recipient de manera que el 0 quedi exactament a l’alçada de l’orifici de buidat. Veus el forat a la imatge? Tapa el forat amb una mica de cinta i omple el recipient fins més enllà de la marca de 21 cm. Destapa el forat i deixa que l’aigua vagi sortint. Posa en marxa el cronòmetre quan el nivell arribi a 21 cm, així evitarem problemes de sincronització. PROBLEMA 2. RECOLLIDA DE DADES

Realitzeu la recollida de dades a les columnes TEMPS i ALÇADA del Full d’experimentació. Seria convenient repartir-vos la feina entre les diferents persones del grup (mesurador/a de temps, mesurador/a d’alçada, anotador/a). Un cop hàgiu fet la recollida de dades, contesteu les següents preguntes:

(A) La velocitat és la distància dividit pel temps. En el nostre experiment, l’aigua surt sempre a la mateixa velocitat? A partir de les dades que heu recollit, sabríeu calcular la velocitat a la que baixa l’aigua? Completeu la columna VELOCITAT del Full d’experimentació. Fixa’t en les unitats!

(B) De quina manera influeix l’alçada del nivell de l’aigua en la velocitat de sortida?

PROBLEMA 3. FONTS D’ERROR

Quan fem ciència hem de ser molt rigorosos, donat que volem demostrar fets de manera objectiva, sense influències d’errors d’observació, opinions personals… Repasseu mentalment el procés de recollida de dades i digueu quines han estat les principals fonts d’error? Quines altres fonts d’error creieu que podem trobar en qualsevol treball científic?

6 de 20

Heu sentit mai la frase “una imatge val més que mil paraules”? A continuació farem una representació gràfica de les dades recollides i comprovarem com, efectivament, una sola imatge ens dóna molta informació, ens ajuda a entendre millor el fenomen, i ens aporta pistes per seguir l’estudi. PROBLEMA 4. REPRESENTACIÓ DE DADES

Representa les dades recollides al Full d’experimentació i respon les següents preguntes. Quina format té? Segueix una forma recta o corba? Quines conclusions extreus?

PROBLEMA 5. REPRESENTACIÓ A GEOGEBRA

CLASSROOM. Obre el GeoGebra i afegeix tots els parells (x,y) que has recollit. Ajusta la part gràfica de manera que es vegin tots els punts que acabes d’introduir, si cal ajusta l’escala dels eixos. Se sembla al mateix que el que has fet manualment? Guarda l’arxiu, el necessitaràs. Entrega’l a la tasca PROBLEMA 5.

Sessió 2. Ajust del model matemàtic: assaig-error Ha arribat el moment de fer les nostres primeres hipòtesis. Què està succeint? Aconseguirem trobar una fórmula matemàtica que “modelitzi” el fenomen (per això sovint diem model matemàtic) i ens permeti estimar l’alçada conegut el temps, o a l’inrevés, el temps coneguda l’alçada? Ara comença la part més interessant! I també la més difícil… En aquesta primerenca etapa de la nostra “vida científica” començarem donant un enfoc alternatiu: aconseguirem trobar un model matemàtic que s’ajusti a les dades recollides? Però… què és un model matemàtic? Segons diu la Viquipèdia, Eykhoff (1974) va definir un model matemàtic com «una representació dels aspectes essencials d'un sistema, que presenta el coneixement d'aquest sistema en una forma utilitzable». Aquesta definició us resulta familiar? Heu fet servir mai un model matemàtic? Recordeu quan vam fer pònting el curs passat? Vam predir el nombre de gomes dels salts de les nines amb un model matemàtic. Recordeu quin? Creieu que ens servirà en aquest cas? Per què?

Efectivament, les funcions lineals (també en diem rectes) y = b·x + c no són un model adequat per al fenomen que ens proposem estudiar.

7 de 20

Necessitem un model més sofisticat, provarem amb les funcions quadràtiques, (també es diuen paràboles), i amb llenguatge matemàtic s’escriuen y = a·x² + b·x + c. També escrivim:

y = ax² + bx + c

Si donem valors als paràmetres a, b i c obtenim una paràbola. Per exemple, si a=1, b=1 i c=1 tenim la paràbola y = x² + x + 1.

IMPORTANT Així doncs, el que ens proposem precisament és trobar una funció quadràtica (una paràbola!) que s’ajusti a les dades que hem recollit. “Trobar una funció” vol dir, trobar per quins valors d’a, b i c la paràbola s’ajusta a les dades recollides.

PROBLEMA 6. BUSQUEM MODEL PER ASSAIG I ERROR

Ara que ja coneixes les funcions quadràtiques, intenta ajustar aquest model al núvol de punts obtingut en l’observació del buidat. De moment farem un ajust una mica matusser, doneu valors als paràmetres a, b i c a la fórmula general de la funció quadràtica i representeu les paràboles a l’arxiu GeoGebra del PROBLEMA 5. Ves modificant els paràmetres intentat apropar-te al núvol de punts! Fes un mínim de 5 proves, escriu-les a sota i respon la pregunta.

Paràmetres Funció quadràtica resultant

a=1, b=1, c=1

y = x² + x + 1

Has trobat una paràbola que s’ajusti prou bé? Et sembla que és un bon mètode per trobar la paràbola? Justifica el per què.

CLASSROOM. Fes una captura de pantalla del GeoGebra on es vegi la paràbola que més s’apropi i penja la imatge a la tasca PROBLEMA 6.

8 de 20

Sessió 2 i 3. Ajust al model matemàtic: funció quadràtica

Donats dos punts del pla només existeix una recta que passa per aquests dos punts. Oi? Doncs bé, en el cas d’una paràbola, ara que ja sabeu quina forma tenen, quants punts creieu que necessitarem?

Exacte! Tres punts, és a dir, donats tres punts del pla existeix una única paràbola que passi exactament per aquests tres punts. Aquest fet és el que farem servir per ajustar el model quadràtic al núvol de punts. Triarem tres punts i farem trobarem la paràbola que passa per aquests punts. Un dels tres punts que triarem sempre serà el d’inici (0,21). I els altres dos, agafarem un de mitja taula (33,13) i un de cap al final (70,6). Així doncs, volem trobar la funció quadràtica que passa pels punts (0,21), (33,13) i (70,6). Substituïm aquests tres punts a la fórmula general y = ax² + bx + c i obtenim aquestes tres equacions lineals (tres rectes!).

(0, 21) → 21 = c (33, 13) → 13 = 33²a + 33b + c (70, 6) → 6 = 70²a + 70b + c

Si fem els càlculs:

21 = c 13 = 1089a + 33b + c 6 = 4900a + 70b + c

D’això en diem sistema d’equacions, concretament, en diem sistema de 3 equacions i 3 incògnites que, en general, són encara massa difícils per nosaltres amb les eines matemàtiques que coneixem. Tot i així, farem un petit truc per simplificar el problema. Substituïm la primera equació en les altres dues equacions, de manera que ens queda:

13 = 1089a + 33b + 21 6 = 4900a + 70b + 21

I simplificant,

-8 = 1089a + 33b -15 = 4900a + 70b

Fixeu-vos, l’hem convertit en un sistema de 2 equacions i 2 incògnites, i això si que està al nostre abast. Per aprendre a resoldre aquests sistemes, podem fer servir dos mètodes diferents. I els haureu d’aprendre els dos!

9 de 20

MÈTODE 1: RESOLDRE EL SISTEMA D’EQUACIONS PER SUBSTITUCIÓ Situem-nos, hem de resoldre aquest sistema d’equacions:

-8 = 1089a + 33b -15 = 4900a + 70b

Resoldre el sistema vol dir trobar un punt concret (a0,b0) que és solució de les dues equacions del sistema (gràficament és el punt on es tallen les dues rectes). Aïllem una incògnita d’una equació, per exemple, la b de la primera equació. Ens queda:

Per facilitar la manipulació de fraccions treballarem amb la seva expressió decimal:

(Equació 1)

I això ho substituïm per la b de la segona equació del sistema. Ens queda:

Manipulem l’expressió pas a pas fins aïllar la a.

a = 0.007605008

Ja tenim la a! Per obtenir la b substituïm aquesta a a Equació 1. Fent els càlculs obtenim:

b = −0.2675207688

Tenim doncs que:

a = 0.0007605008 b = −0.2675207675 c = 21

I per tant, la nostra paràbola és:

y = 0.0007605008x² − 0.2675207688x + 21 Recordeu que la x és el temps transcorregut (en segons) i la y l’alçada de l’aigua (en cm).

Veieu com de meravellosa és aquesta expressió!!!??? #pelldegallina

10 de 20

Si li diem quant temps ha passat l’expressió ens torna l’alçada de l’aigua. És màgia? No, són matemàtiques.

PROBLEMA 7. AJUSTEM MODEL

Ara us toca a vosaltres. Feu servir el MÈTODE 1 per trobar la paràbola que s’ajusta a les vostres dades. Resseguiu els passos amb cura i penseu amb atenció què feu a cada moment!

Escriu aquí el model ajustat.

y =

11 de 20

MÈTODE 2: RESOLDRE EL SISTEMA GRÀFICAMENT AMB EL GEOGEBRA Obre un GeoGebra en blanc. Al menú superior ves a Opcions, dins a Arrodoniment i selecciona 10 Xifres decimals. A la barra inferior “Entrada” escriu la primera equació del sistema i clica Intro. Fes el mateix amb la segona equació del sistema. Mira la imatge inferior i fixa’t bé en la sintaxis, cal ser precís!

Al menú d’icones busca la eina Intersecció de dos objectes. Quan la tinguis seleccionada clica a sobre de les dues equacions de la Finestra algebraica (veure imatge inferior).

Si ho heu fet bé, hauria de sortir un nou element al a Finestra algebraica, un punt, tal com es veu a la imatge. Les coordenades d’aquest punt són els valors a i b de la vostra funció quadràtica. I el valor de c és 21 (recordeu per què?). Tenim doncs que:

a = 0.0007605008 b = −0.2675207675 c = 21

I per tant, la nostra paràbola és:

y = 0.0007605008x² − 0.2675207675x + 21 Òbviament, tant si resolem amb el primer o el segon mètode, la paràbola que surt és la mateixa!

12 de 20

Sessió 4. Predir i discutir validesa del model ajustat Tenim un model! Ara toca veure si realment s’ajusta a les dades, i com de bé s’ajusta, és a dir, volem mesurar l’error del model.

Ho farem de dues maneres: (1) gràficament i (2) mesurant l’error.

MÈTODE 1 LA VALIDESA DEL MODEL: GRÀFICAMENT

És molt senzill! Obriu el GeoGebra on teniu les vostres dades (el que vau entregar al PROBLEMA 6) i grafiqueu l’equació de la vostra paràbola.

La paràbola que us surt s’ajusta a les vostres dades? Si no s’assembla no us preocupeu, és estrany que surti bé a la primera! Torneu al PROBLEMA 7 i reviseu amb cura tots els passos.

PROBLEMA 9

Un cop tingueu la paràbola ajustada, responeu la següent pregunta. Com és que la paràbola passa exactament pels tres punts que vau escollir però no per TOTS els altres?

CLASSROOM. Feu una captura de pantalla del GeoGebra on es vegi el núvol de punts i la paràbola. Pengeu-la a PROBLEMA 9.

MÈTODE 2 VALIDESA DEL MODEL: CALCULAR LA MITJANA DELS ERRORS ABSOLUTS

PROBLEMA 10

Un cop hem obtingut la funció quadràtica que modelitza l’experiment, predir les alçades aquesta funció és mooolt fàcil. Només cal que calculem les imatges dels temps (x) que vam recollir en l’experimentació. Per exemple, per la paràbola d’aquest exemple y = 0.0007605008x² − 0.2675207675x + 21, la imatge de 14 segons és

y(14) = 0.0007605008·14² − 0.2675207675·14 + 21 = 17.4046 cm

13 de 20

Arrodonint, y(14) = 17 cm. Seguint aquesta indicació completeu, amb les vostres dades, la columna ALÇADA MODEL al Full d’experimentació. PROBLEMA 11. MITJANA DE L’ERROR ABSOLUT

Calculeu l’error absolut que dóna el vostre model matemàtic ajustat, només cal que resteu l’alçada real (y) i l’alçada estimada pel model (yc). Al resultat de la resta feu el valor absolut, és a dir, traieu el signe. Poseu els resultats a la columna ERROR ABSOLUT del Full d’experimentació. En quina unitat es mesura l’error absolut? Calculeu la mitjana dels errors, què dóna?

PROBLEMA 12. DISCUTIR VALIDESA EN FUNCIÓ DE L’ERROR

En funció dels errors absoluts obtinguts i de la mitjana d’error, creieu que el model ajusta bé les dades? Justifiqueu la resposta.

Sessió 5. Preparar escala temporal i comprovar funcionament Tenim un model i sabem que s’ajusta bé a les dades, només queda construir el rellotge d’aigua i comprovar que funciona! Per fer-ho prepararem una escala que enlloc de mesurar centímetres mesuri temps. Com construir aquesta l’escala? Prepararem una nova tira de la mateixa mida que l’anterior. Posarem l’escala en cm al costat i mitjançant el model sabrem a quina alçada hem de posar les marques de temps. Per exemple, imagineu que volem col·locar l’alçada a la que han passat 10 segons (x). Com sabrem a quina alçada posar la marca? Fàcil! Nomes hem de calcular y(10). Fem-ho:

y(10) = 0.0007605008·10² − 0.2675207675·10 + 2 = 18.400842405

Si arrodonim a les dècimes, y(10) = 18.4. Fixeu-vos en la imatge, on estan els 10 segons? Fem el mateix pels temps que us sembli oportú: 0, 20, 40, 60, 100, 200… Enganxem la nova escala al recipient, omplim i… hem acabat la primera fase!

14 de 20

Demés sessions. Investigació autònoma Conjuntament hem fet un rellotge d’aigua, seguint el mateix ritme. Ara us toca a vosaltres, cada grup té un recipient diferent, i el vostre objectiu és fer tot el que calgui per convertir aquest recipient en un rellotge d’aigua que funcioni correctament. Pel que fa a la investigació per compte propi, recordeu els passos que hem seguit:

1. Entendre el problema (ja està fet!) 2. Experimentar i recollir dades 3. Ajustar model (funció quadràtica) 4. Discutir validesa del model 5. Preparar escala temporal pel rellotge 6. Comprovar funcionament empíricament 7. Escriure informe científic

PRODUCTES FINALS

Heu de lliurar tres productes finals: (1) el rellotge, (2) el vídeo del buidat i (3) l’informe científic. El rellotge d’aigua l’heu de lliurar a l’equip docent, els altres dos via Classroom. Pel vídeo del buidat:

CLASSROOM. Graveu un vídeo del buidat on es vegi que efectivament el rellortge d’aigua marca bé el temps, per tant calda que afegiu a la imatge un comptador, o bé que hi surti un cronòmetre directament. Només cal un vídeo per grup, que algú del grup el pugi a la tasca PRODUCTE FINAL. VÍDEO BUIDAT.

Per l’informe científic teniu tres documents que us poden ajudar:

● Una model d’informe amb els requisits que ha de complir. ● Un document d’avaluació de l’informe que us servirà per saber per quins criteris se us

avaluarà (al portafoli del grup). ● Un article científic real de la vostre professora Blanca Amengual.

CLASSROOM. Només cal un informe per grup. Un cop el tingueu llest que algú del grup el pugi a la tasca PRODUCTE FINAL. INFORME CIENTÍFIC.

15 de 20

Sessió Extra. Resolució de problemes Per resoldre problemes matemàtics (i no matemàtics!) et resultarà molt útil el Mètode dels quatre passos de George Pólya (1947). Són aquests:

1. Comprensió. Quines són les incògnites? Quines són les dades? Són irrellevants, necessàries o contradictòries?

2. Planificació. Quines dades conec/desconec? Quina relació hi ha entre elles? ... 3. Execució. Aplicar les estratègies, refer el pla si es necessari. 4. Comprovació. Anàlisi del procés que s’ha seguit per a la resolució i analitzar els resultats

obtinguts per escollir el més adient. PROBLEMA 13

Quina és la capacitat del recipient que vam fer servir per construir el primer rellotge d’aigua?

Si has respost sense fer càlculs el més probable és que hagis demostrat que saps llegir l’etiqueta de l’envàs, però recorda que estem actuant com a científics, no ens creiem res que no puguem demostrar científicament! Així que... fent servir el regle i la cinta mètrica, demostra que efectivament el recipient té 1,5 litres. Un cop ho tinguis feu un petit informe individual explicant el procés seguit i les dificultats trobades. Fes els càlculs aquí.

CLASSROOM. Entrega l’informe seguint la plantilla que trobaràs a la tasca PROBLEMA 13.

Quina fórmula has fet servir pel volum del cilindre? Guardem-la aquí, serà molt important!

FÓRMULA DEL VOLUM D’UN CILINDRE

16 de 20

Demostra que π és aproximadament 3.1. Imagina que no coneixes quan val, però que saps la fórmula del volum del cilindre, com pots aproximar el valor de π?

PROBLEMA 14

(A) Quina quantitat d’aigua cabria al recipient si l’omplíssim fins els 15 cm d’alçada? Expressar el resultat en cm³ i en litres.

(B) Si buidem 0.5 litres del recipient anterior, a quina alçada quedaria l’aigua?

(C) Quina quantitat d’aigua hi cap en una secció horitzontal d’1 cm d’alçada?

(D) Estima l’alçada d’un cilindre de radi 7 cm i volum 3077.2 cm³?

(E) Estima el radi d’un cilindre d’alçada 30 cm i 3.390 litres de capacitat màxima.

Comprova experimentalment els resultats dels problemes A, B i C.

17 de 20

7. GLOSSARI Error absolut

És la diferència (en valor absolut) entre el valor exacte i l'aproximat. Té les mateixes unitats que els valors que s'utilitzen.

Equació

Una equació és una igualtat que conté una o diverses variables. Resoldre l'equació consisteix a determinar els valors que pot prendre la variable (o les variables) per tal de fer verdadera la igualtat. Per exemple, x + 2 = 5 és una equació. Resoldre l’equació és trobar que per x = 3 l’equació és certa.

Equació lineal

Una equació lineal amb dues incògnites és una equació que es pot expressar de la forma ax + by = c, on x i y són las incògnites, i a, b i c són nombres coneguts. Per exemple, x - y = 0. El punt (1,1) és solució de l’equació, ja que 1 - 1 = 0.

Funció

Una funció és una correspondència entre dos conjunts numèrics, de tal manera que a cada element del conjunt inicial li correspon un element i només un del conjunt final, la imatge. Es relacionen així dues variables numèriques que solen anomenar-se x i y.

Funcions lineals

Són les rectes. Tenen una expressió algebraica d’aquest tipus y = bx + c, on b i c són valors coneguts, m és el pendent de la recta i n es diu terme independent. Per exemple, y = x + 1 és una funció lineal i es representa així.

Funció quadràtica

Són les paràboles. Tenen una expressió algebraica d’aquest tipus y = ax² + bx + c, on a, b i c són valors coneguts. Per exemple, y = x² + x - 1 és una funció quadràtica i es representa així.

18 de 20

Imatge

Donada una funció podem calcular la imatge d’un número x substituint el valor x en l'expressió de la funció. Per exemple, la imatge de x = 2 per la funció f(x) = 2x - 1 és 3. Solem escriure f(2) = 3.

Model matemàtic

Un model matemàtic és una representació dels aspectes essencials d'un sistema, que presenta el coneixement d'aquest sistema en una forma utilitzable. En aquest projecte fem servir com a model les funcions quadràtiques. Són altres models les funcions lineals, exponencials, racionals, sinusoïdals...

Sistema d’equacions lineals

Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites està format per dues equacions lineals de les quals es busca una solució comuna. Les solucions del sistema són els punts (x,y) que són solució de les dues equacions.

Valor absolut

El valor absolut d'un nombre és el nombre sense el seu signe, gràficament és la distància que el separa del zero. S'escriu entre dues barres | |. Per exemple, el valor absolut de -3 és 3. Ho escrivim així |-3| = 3.

19 de 20