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Chapitre 5

Compétences exigibles

i. Définition ii. Théorème de Thales

iii. Conservation de coefficient de colinéarité de 2 vecteurs

Activite1

On suppose les fils des rayons du soleil prennent la direction de la

droite D et la droite représente la surface du sol. L’ombre du

point A sur le sol est le point 'A l’intersection de la droite avec la

droite passant par A et parallèlement à la droite D .( voir figure ci

contre).

2_ Vocabulaire

B

2

Le point 'A est appelé projection du point A sur

parallèlement à D .

B : B est son propre projeté sur parallèlement à D .

3_ Définition :

Soient D et deux droites secantes et M un point du plan tel

que M .

Dire que le point 'M est la projection du point M sur

parallèlement à D veut dire : ' 'M et MM D .

Cas particulier :

Si D : 'A est la projection orthogonale de A sur .

4_ Application :

3

On considère ( la figure ci contre)

Des points B ,C , F sont alignes.

La droite BC est parallèle à D .

Les points E et F appartiennent à .

I. Déterminer les projections des points , , , ,A B C E F sur

parallèlement à D .

II. Représenter les projections des points , , , ,A B C E F sur D

parallèlement à .

III. Déterminer l’ensemble des points du plan dont la projection sur parallèlement à D est le point F .

IV. Construire le point M tel que le point E est sa projection

parallèlement à D et que le quadrilatère ECFM soit un

parallélogramme.

Ii_

4

Soient

Regarde figures :

5

Application :

ABC triangle tel que :

1. Enoncer le théorème de Thalès

2. A partir de l’égalité

AI AJ

AB AC

vérifier que 19x cm

3. A partir de l’ égalité

AI IJ

AB BC

vérifier que 4IJ cm

Réciproque du théorème de Thalès

( méthode pour prouver si 2 droites sont parallèles

Exercice résolu

ADE un triangle telque

;

4 ; 6

6 ; 9

B AD C AB

AB cm AD cm

AC cm AE cm

voir figure :

6

Montrons que : BC DE

Ona : donc

ona :

donc : BC ED d’après la réciproque du théorème de Thalès

exercice ; (voir figure ci contre) montrer que BC DE

III_

Activité : Soient D et deux droites sécantes en A . Les points , ,M N P

appartiennent à talque : 2 ; 5 ; 3AM AC AN AC AP AC et les

points ', ', 'M N P sont les projections respectives des points , ,M N P sur

parallèlement à BC .

1. Faire une figure géométrique

2. En utilisant le théorème de Thalès établir que :' ' '

2 ; 5 ; 3AM AN AP

AB AB AB

3. En deduire que ' 2 ; ' 5 ; ' 3AM AB AN AB AP AB

, ,

, ,

, , ; ;

2

3

A B D sont alignes

A C E sont alignes

A B D sont dans lememeordreque A C E

AB AC

AD AE

7

Si M et 'M son projeté sur D parallèlement à BC telque

AM AC avec IR . Quelle conjecture peut-on dire à propos des 2

vecteurs AM et AB .

R rregle : D et deux droites sécantes.

, , ,A B C D des points du plan et ', ', ', 'A B C D leurs projections (resp) sur

D parallèlement à .

Si ' ' ' 'AB k AC alors A B k A C

Si ' ' ' 'CD k AB alors C D k A B

2 cas :

Si : CD k AB alors ' ' ' 'C D k A B

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Exercice résolu :

Soit ABC un triangle et M AB tel que 1

3AM AB et N le projeté de

M sur AC parallèlement à BC .

Montrons que : 1

3AN AC

A est sa propre projection sur AC parallèlement à BC

N est la projection de M sur AC parallèlement à BC

C est la projection de B sur AC parallèlement à BC

Et comme 1

3AM AB alors

1

3AN AC car la projection conserve le

coefficient de colinéarité.

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EXERCICE 1 :

ABC un triangle et E un point vérifiant 0EA EB

1. Exprimer AE en fonction de AB

2. Soit F le projeté de E sur AC parallèlement à BC

. Montrer que

4

5AF AC

EXERCICE 2 :

ABCDest un trapèze tel que AB CD et AB CD . I le point d’intersection de

ses diagonales

- J est le projeté de I sur AB parallèlement à BC

.

- K est le projeté de I sur AD parallèlement à BC

.

1. Comparer

AJ

AB et

AI

AC

2. Montrer que JK BD.

EXERCICE 3 :

ABC un triangle et 'A le milieu de BC. Soit D un point tel que

3'

4AD AA

.

1. Construire les points E et F tel que E est le projeté de D sur BC

parallèlement à AB et F est le projeté de D sur BC

parallèlement à

AC.

2. Montrer que

3'

4BE BA

et

3'

4CF CA

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3. En déduire que A est le milieu de EF

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