Capítulo 1 - Números Reales, Desigualdades y Valor AbsolutoCálculo Diferencial

14 de mayo de 2013

Revisa los siguientes sitios en Internet donde encontrarás ayuda pararesolver los problemas propuestos de este capítulo:

→calculus100 →@calculotv

→Calculotv@gmail.com →calculotv.blogspot.com

Autor: MSc. Alexis Salcedo. Venezuela, Barquisimeto.

Problemas Propuestos

En los ejercicios del 1 al 18, se utiliza la siguiente notación:

N = el conjunto de los números naturales, Z = el conjunto de

los enteros, Q = el conjunto de los números racionales, I = el

conjunto de los números irracionales y R = el conjunto de los

números reales. Clasique la armación como verdadera o falsa.

1. 6 ∈ N

2. 0 /∈ N

3. 3, 2 ∈ Z

4. −10, 1 ∈ R

5. − 115 ∈ Q

6. −√

6 ∈ Q

7.√

11 /∈ R

8. −1 ∈ N

9. 24 /∈ N

10. 4 ∈ Q

11. 1, 089 ∈ I

12. N ⊂ Z

13. Z ⊂ N

14. Q ⊂ R

15. Z ⊂ Q

16. R ⊂ Z

17. Q ⊂ I

18. I ⊂ Q

1

En los ejercicios del 19 al 44, reescriba cada expresión sin usar

el símbolo del valor absoluto, tratando por separado distintos

casos cuando sea necesario.

19.∣∣−5

∣∣20.

∣∣−π∣∣21.

∣∣3−√3∣∣

22.∣∣√5− 5

∣∣23.

∣∣|−2| − |−3|∣∣

24. −∣∣√10− 6

∣∣25.

∣∣2 14 − 4

∣∣26. −

∣∣√2− 3∣∣

27.

∣∣∣∣7− 12

12− 7

∣∣∣∣28. −1−

∣∣ |−1| − 1∣∣

29.∣∣(−5) (4− 9)

∣∣30.

∣∣−8− (−2)∣∣

31.∣∣ |−6| − |−4|

∣∣32.

∣∣2− |−12|∣∣

33.

∣∣−6∣∣∣∣4∣∣+∣∣−2

∣∣34.

−1

|−1|

35.∣∣x+ 1

∣∣36.

∣∣2x− 1∣∣

37.∣∣1− 2x2

∣∣

38.∣∣x2 + 1

∣∣39.

∣∣a+ b∣∣− ∣∣b∣∣

40.∣∣|x| − 1

∣∣41. |x| −

∣∣x2∣∣42. y −

∣∣y − |y|∣∣43. |x+ 1| − |x|

44.

∣∣x∣∣− ∣∣x3∣∣x

x−∣∣x∣∣x

; x 6= 0

45. En cada la de la tabla de la gura adjunta, verique cada celda, encaso, que describa una relación válida entre los números reales a y b.La primera línea ya está completada como ejemplo.

a b a < b a ≤ b a > b a ≥ b a = b

1 6 X X6 1-3 55 -3-4 -40,25 1

3

− 14 − 3

4

46. En cada la de la tabla de la gura adjunta, verique cada celda, encaso, que describa una relación válida entre los números reales a, b yc.

a b c a < b < c a ≤ b ≤ c a < b ≤ c a ≤ b < c

−1 0 22 4 −312

12

34

−6 −6 −634

54

54

47. Muestre cada uno de los siguientes intervalos en la recta real.

a) [−1, 1]

2

b)(−4, 1

]c) (−4, 1)

d) [1, 4]

e)[−1,+∞

)f)(−∞, 0

]48. Obtenga el conjunto indicado si

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 B = 2, 4, 6, 8 C = 7, 8, 9, 10

a) A ∪B[1]

b) A ∩B[2]

c) B ∪ Cd) B ∩ Ce) A ∪ Cf) A ∩ Cg) A ∪B ∪ Ch) A ∩B ∩ C

En los ejercicios del 49 al 124, Resolver la desigualdad dada en

términos de intervalos e ilustre la solución sobre la recta de los

números reales.

Desigualdades Lineales

49. 2x+ 7 > 3

50. 1− x ≤ 2

51. 4x− 5 < 2x+ 3

52. 32x−

12 < 0

[1]La unión de A y B es el conjunto A∪B formado por todos los elementos que estánen A o en B (o en A y B).

[2]La intersección de A y B es el conjunto A ∩ B formado por todos los elementosque están en A y en B a la vez.

53. − 34x ≥ −

58 + 2

3x

54. 2 (x− 5)− 3 > 5 (x+ 4)− 1

55. 4x (x− 2) < 2 (2x− 1) (x− 3)

56.2x− 5

3− 3 > 1

57.5x− 1

4− x+ 1

3≤ 3x− 13

10

58.x− 1

3+ 2 ≤ x− 5

7+ 6

59.x√3

+x√12

+x√27≥ 11√

3

60.x√2

+x

2−√

2− x

2 +√

2≤ 3

61.4

5(x− 2) <

1

3(x− 6)

62. −x+ 5

2≤ 12 + 3x

4

63.x

2+x

3+x

4+x

5+x

6≥ 1

2+

1

3+

1

4+

1

5+

1

6

64. 13 ≥ 2x− 3 ≥ 5

65. 2 ≤ 5− 3x < 11

66. 2 > −3− 3x ≥ −7

67. 5 <x− 1

−2< 10

68. 8 ≥ 2x− 5

3− 3 < 1− x

69. 4x < 2x+ 1 ≤ 3x+ 2

3

70. 2x− 3 < x+ 4 < 3x− 2

Desigualdades Polinómicas

71. (x− 3) (x+ 2) < 0

72. (2x+ 3) (x− 1) ≥ 0

73.(x− 3

2

) (x+ 5

2

)≤ 0

74. x2 − 3x+ 2 > 0

75. 1− x− 2x2 ≥ 0

76. x2 + 3x+ 1 < 0

77. x2 + 2x− 20 ≥ 0

78. 2x2 + 5x− 3 > 0

79. x2 + x+ 1 > 0

80. 9x− 2 < 9x2

81. 4x2 + 9x < 9

82. 2x2 + x ≤ 1

83. x2 < 2x+ 8

84. x2 + x > 1

85. x2 − 1 < 0

86. x2 ≥ 5

87. x2 < 3

88. x2 > 4

89. x2 ≤ 9

90. 4 < x2 < 9

91. 19 < x2 < 1

4

92. (x− 1)2< 4

93. (x+ 3)2< 2

94. x2 − x < 0

95. (x− 2) (x− 5) < −2

96. (x+ 2) (x− 1) (x+ 3) ≥ 0

97. x3 > x

98. x3 − x2 ≤ 0

99. x3 + 3x < 4x2

100. x3 + 1 > x2 + x

101. x3 − x2 − x− 2 > 0

102. x3 + 3x2 − x− 3 < 0

103. x3 − 2x2 ≤ 23x− 60

104. x3 + 5x2 − 2x− 24 > 0

105. x3 − 3x2 − 4x+ 12 ≥ 0

106. x3 + 2x2 + x ≤ 0

107. x3 + 5x2 − 25x ≤ 125

108. x3 − 9x+ 27 ≥ 3x2

Desigualdades Racionales

109.x+ 1

x− 1> 0

4

110.x− 2

x+ 2≤ 0

111.2

x≤ −3

5

112.1

x> 4

113.2

x− 1≤ −3

114.x

2+

1

x≤ 3

x

115.1

x+ 1− x− 2

3≥ 1

116.x− 1

x+ 3<x+ 2

x

117.x+ 1

1− x<

x

2 + x

118.4− 2x

x2 + 2≥ 2− x

x− 3

119.1

x+ 1<

2

3x− 1

120.x+ 1

2− x≤ x

3 + x

121.1

3x− 7≥ 4

3− 2x

122.x

x2 + 4x− 5+

3

x2 − 25≤ 2x

x2 − 6x+ 5

123.2x

x2 − 9+

x

x2 + x− 12≥ 3x

x2 + 7x+ 12

124. −3 <1

x≤ 1

Valor Absoluto

En los problemas del 125 al 139, resolver la ecuación dada.

125.∣∣x− 5

∣∣ = 4

126.∣∣2x+ 1

∣∣ = x+ 3

127.∣∣x− 2

∣∣ = 3x− 9

128.∣∣6x− 7

∣∣ =∣∣3 + 2x

∣∣129.

∣∣4x+ 5∣∣ =

∣∣8x− 3∣∣

130.∣∣9x∣∣− 11 = x

131. 2x− 7 =∣∣x+ 1

∣∣132.

∣∣∣∣x+ 5

2− x

∣∣∣∣ = 6

133.

∣∣∣∣x− 3

x+ 4

∣∣∣∣ = 5

134.∣∣2x− 1

∣∣− ∣∣x+ 5∣∣ = 3

135.∣∣x− 1

∣∣ =x2

4

136.∣∣x− 1

∣∣+∣∣x∣∣ = 3

137.∣∣x+ 3

∣∣+∣∣x∣∣ = 6

138.∣∣2x+ 1

∣∣ = 3−∣∣2x∣∣

139.∣∣x− 1

∣∣+∣∣x+ 1

∣∣ = 8

5

En los ejercicios del 140 al 170, Resolver la desigualdad dada en

términos de intervalos e ilustre la solución sobre la recta de los

números reales.

140.∣∣x− 4

∣∣ < 3

141.∣∣3x+ 1

∣∣ < 15

142.

∣∣∣∣2x3 − 1

∣∣∣∣ < 2

143.

∣∣∣∣2x5 − 2

∣∣∣∣ ≥ 3

144.∣∣−3x− 2

∣∣ ≤ 4

145.∣∣5x+ 2

∣∣ ≥ 1

146.∣∣−4x− 3

∣∣ > 1

147.∣∣x2 − 5

∣∣ ≥ 4

148.

∣∣∣∣2− 3x

1 + 2x

∣∣∣∣ ≤ 4

149.

∣∣∣∣ 1

1− 2x

∣∣∣∣ ≥ 1

3

150.

∣∣∣∣ 5

2x− 1

∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣ 1

x− 2

∣∣∣∣151.

∣∣x∣∣ > ∣∣x+ 1∣∣

152.∣∣2x− 1

∣∣ > ∣∣x− 1∣∣

153.∣∣x− 1

∣∣ < ∣∣x∣∣

154. 1 <∣∣x∣∣ ≤ 4

155. 0 <∣∣x− 3

∣∣ < 1

156. 3 ≤∣∣x− 2

∣∣ ≤ 7

157.∣∣x− 1

∣∣+∣∣x− 2

∣∣ > 1

158.∣∣x− 1

∣∣+∣∣x+ 1

∣∣ ≤ 4

159.∣∣3x− 5

∣∣ ≤ ∣∣2x− 1∣∣+∣∣2x+ 3

∣∣160.

∣∣x+ 2∣∣+∣∣x− 2

∣∣ ≤ 12

161.

∣∣∣∣∣x+ 1∣∣− ∣∣x− 1

∣∣∣∣∣ < 1

162.∣∣x− 1

∣∣− ∣∣x− 3∣∣ ≥ 5

163.∣∣x2 − 17

∣∣ ≥ 8

164.∣∣x2 − 3x− 1

∣∣ < 3

165.∣∣x2 + x− 4

∣∣ > 2

166.∣∣x2 + x− 49

∣∣ < 7

167.∣∣x2 + x− 81

∣∣ > 9

168.

∣∣∣∣ 1

x− 1− 1

∣∣∣∣ < 1

169.

∣∣∣∣∣x∣∣− 5∣∣∣ > ∣∣∣1− ∣∣x∣∣∣∣∣

170.

∣∣∣3− 2x

1 + x

∣∣∣ ≤ 1

6

Aplicaciones de las Desigualdades

171. La suma de dos veces un número y seis es menor que diez. Encuentretodas las soluciones.

172. El doble de la diferencia de un número y tres es mayor que o igual alnúmero aumentado en cinco. Encuentre todas las soluciones.

173. El producto de un número y cuatro es mayor que el número menosocho. Encuentre todas las soluciones.

174. La base de un rectángulo es 3 veces la altura. Si el perímetro es almenos de 48 metros, ¾cuáles son los posibles valores para la altura? (siel perímetro es al menos de 48 metros, entonces es mayor que o iguala 48 metros.)

175. La base de un rectángulo es 3 más dos veces la altura. Si el perímetrodebe ser por lo menos de 51 metros, ¾cuáles son los posibles valorespara la altura?

176. Los valores numéricos de los tres lados de un triángulo son dadospor tres enteros pares consecutivos. Si el perímetro es mayor que 24centímetros, ¾cuáles son las posibilidades para el lado más corto?

177. Los valores numéricos de los tres lados de un triángulo son dados portres enteros impares consecutivos. Si el perímetro es mayor que 27centímetro, ¾cuáles son las posibilidades para el lado más corto?

178. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius se rela-cionan con la ecuación C = 5

9 (F − 32) . En cierto día la temperaturaCelsius de una ciudad varió según el intervalo 5 ≤ C ≤ 20 ¾En quéintervalo cambió la temperatura ese día en grados Fahrenheit?

179. En cierto día la temperatura Fahrenheit de una ciudad varió según elintervalo 59 ≤ F ≤ 95 ¾En qué intervalo cambió la temperatura esedía en grados Celsius?

180. Para el circuito eléctrico que se muestra en la gura, la ley de Ohmarma que I = V/R, donde R es la resitencia (en ohms, Ω), V es ladiferencia de potencial (en voltios, V) e I es la corriente (en amperes,A). Si la tensión es de 110 V, ¾qué valores de la resistencia producenuna corriente que no exceda de 10 A?

181. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F (en libras) que se requierepara estirar un resorte x pulgadas, más alla de su longitud natural,está dada por F = (4, 5)x (véase la gura). Si 10 ≤ F ≤ 18, ¾cuál esel intervalo correspondiente de x en centímetros?

182. Si dos resistores, R1 y R2 se conectan en paralelo en un circuito eléc-

trico, la resistencia neta R está dada por1

R=

1

R1+

1

R2. Si R1 = 10

ohms (Ω) , ¾qué valores de R2 dan por resultado una resistencia netade menos de 5Ω?

183. Para cierto gas, la ley de Boyle arma que pv = 200, donde p denota lapresión (en N/cm2) y v el volumen (en cm3). Si 25 ≤ v ≤ 50, ¾cuálesson los valores correspondientes de p?

184. Un polígono con n lados tiene D diagonales, donde D está dada porla ecuación

D =n (n− 3)

2.

7

Encuentre el número de lados n si

27 ≤ D ≤ 230.

185. Si hay n personas en una habitación, el número N de apretones demanos posibles por todas las personas en la habitación está dada porla ecuación

N =n (n− 1)

2.

¾Para qué número n de personas es 66 ≤ N ≤ 300?

186. Si se lanza una pelota hacia arriba desde la parte superior de un ediciode 128 pies de alto con una velocidad inicial de 16 pies/s, entonces laaltura h arriba del suelo despues de t segundos será

h = 128 + 16t− 16t2

¾Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 32 piespor encima del suelo?

.

187. Cerca de una fogata, la temperatura T en °C a una distancia de x

metros del centro del fuego está determinada por

T =600.000

x2 + 300.

¾A qué distancias desde el centro de la fogata la temperatura serámenor de 500°C?

188. Para pasar la prueba de aptitud de una empresa, el candidato deberápromediar 80 o más en tres pruebas. Si un determinado candidato hatenido resultados de 72 y 81 en las dos primeras pruebas, ¾cuál es elintervalo de puntuación que deberá obtener en la tercera prueba elcandidato para obtener un promedio aprobatorio?

189. La calicación nal en un curso de cálculo es el promedio de cuatroexámenes. Cada examen se puntúa de 0 a 100 puntos. Un estudiante harecibido las calicaciones de 66, 71 y 84 en los tres primeros exámenes.Al estudiante le gustaría lograr una calicación media nal de al menos75 puntos. ¾Cuál es el intervalo de puntuación que el estudiante deberíatener en el cuarto examen para cumplir con su objetivo?

190. El perímetro de un determinado rectángulo debe ser menor que 100metros. La longitud de este rectángulo es de 30 metros. Encuentretodos los valores del ancho que cumplan con estas condiciones. Elancho debe ser un número positivo.

191. El perímetro de un cuadrado debe ser mayor que 16 pulgadas, peromenor que 84 pulgadas. Encuentre todos los valores de la longitud deun lado que cumplan con estas condiciones.

192. Un circuito electrónico tiene dos resistencias en paralelo. El valor deuna resistencia es x (ohms) y la segunda resistencia es 10 ohms mayorque esta. La resistencia total no debe superar los 40 ohms. Encuentre

el intervalo de la resistencia x, para que la relación1

x+

1

x+ 10≥ 1

40cumpla con las condiciones anteriores.

193. En un determinado rectángulo el largo excede en 7 unidades al an-cho. El área debe ser mayor a 30 unidades cuadradas. Encuentra lasrestricciones para el ancho.

8

194. Un ascensor en una zona de construcción tiene una capacidad máximade 3000 libras. Si el operador del elevador pesa 200 libras y cada sacode cemento pesa 70 libras, ¾cuántos sacos de cemento se pueden colocarcon seguridad en el ascensor en un solo viaje?

195. La suma de los primeros n cuadrados 12 + 22 + 32 + · · ·+n2 se obtienemediante la fórmula.

S =2n3 + 3n2 + n

6

Use la ecuación para resolver las siguientes desigualdades.

a) ¾Para qué cantidad de cuadrado consecutivos es S ≥ 30?

b) ¾Para qué cantidad de cuadrado consecutivos es S ≤ 285?

196. La suma de los primeros n cubos 13 + 23 + 33 + · · · + n3 se obtienemediante la fórmula.

S =n4 + 2n3 + n2

4

Use la ecuación para resolver las siguientes desigualdades.

a.) ¾Para qué cantidad de cubos consecutivos es S ≥ 100?

b.) ¾Para qué cantidad de cubos consecutivos es S ≤ 784?

197. Si la demanda de potencia en un circuito eléctrico de 110-voltios en unhogar varía entre 220 y 2.750 vatios, ¾cuál es el rango de corriente queuye a través del circuito? (P = V I, donde I (corriente) se expresa enamperios, V (voltaje) en voltios, y P (potencia) en watts (vatios).)

198. El número total de puntos en una formación triangular, con n lasestá dado por

t =n (n+ 1)

2

¾Cuántas las puede tener la formación si el número total de puntosdebe ser menor de 5.050?

199. Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectángulo.Como lo muestra la gura, un lado se extiende 2 cm y el otro 5 cm. Siel área del rectángulo resultante es menor de 130 cm2, ¾cuáles son lasposibles longitudes de un lado del cuadrado?

9

Aplicaciones del Valor Absoluto

200. El número total de tornillos producidos después de x horas por una

determinada máquina viene dada por la expresión x2 − x

3. Una má-

quina diferente produce x2 tornillos después de x horas. Un ingenierode producción está interesado en saber cuándo las dos máquinas hanproducido el mismo número de tornillos, más o menos 6 tornillos. Estose puede determinar mediante la solución de.∣∣∣(x2 − x

3

)−(x2)∣∣∣ ≤ 6.

Resuelve esta expresión para x. Supón que x ≥ 0.

201. Una compañía fabrica laminados industriales (hojas delgadas con unabase de nailon) de 0,020 pulg. de espesor, con una tolerancia de 0,003pulg.

a.) Determine una desigualdad que contenga valores absolutos y quedescriba el intervalo de espesores posibles para el material lamina-do.

b.) Resuelva la desigualdad que encontró en el inciso a).

202. La producción diaria estimada p en una reneria es∣∣∣p− 2.500.000∣∣∣ < 125.000

donde p se mide en barriles de petróleo. Determinar los niveles deproducción más alto y más bajo.

203. El peso p de tres cuartas partes de los tarros de café llenados por unprocesador de alimentos satisface la desigualdad∣∣∣∣p− 16

0, 05

∣∣∣∣ ≤ 1

donde p se mide en onzas. Determinar el intervalo en el cual se hallap.

204. La necesidad diaria de agua calculada para cierta ciudad está dadapor

|c− 3.725.000| ≤ 100.000

donde c es el número de galones de agua utilizados por día. Halle lamayor y menor necesidad diaria de agua.

Ejercicios Suplementarios

En los ejercicios del 204 al 205, resolver para x , suponiendo

que a, b, y c son constantes positivas.

205. a (bx− c) ≥ bc

206. a ≤ bx+ c < 2a

En los ejercicios del 207 al 208, resolver para x , suponiendo

que a, b, y c son constantes negativas.

207. ax+ b < c

208.ax+ b

c≤ b

209. Dado que −4 < x < 2 es la solución de∣∣x + a

∣∣ < b, hallar los valoresde a y b.

210. Hallar el valor del parámetro m, para que la suma de las raíces de laecuación 2x2 − 3mx+m2 = 0 sea mayor o igual que 1.

211. Hallar el valor de m, para que el producto de las raíces de la ecuaciónx3 − 2m2x2 +

(m4 +m2 − 1

)x+m2 −m4 = 0 sea menor o igual que

cero. Sugerencia: una raíz es 1.

212. Hallar el intervalo donde debe encontrarse el valor del parámetro m,para que el producto de las raíces de la ecuación 2x2 − (3m+ 2)x +m2 + m = 0 sea mayor que −4; y la suma de las raíces de la mismaecuación sea menor que 2.

213. Dada la ecuación x2 − 4mx − 5m2 = 0. Calcular el intervalo dondedebe encontrarse el valor del parámetro m, sabiendo que:

10

a) La suma de las raíces está en el intervalo [4, 12]

b) El producto es mayor que −45

214. ¾Para qué valores de a es el producto de las raíces de la ecuaciónx2 + 2ax− 35a2 = 0 mayor o igual que setenta?

215. Dada la ecuación3x

4+a

2− x2

2a= 0. Calcular el intervalo donde debe

encontrarse el valor del parámetro a, tal que la suma de las raíces está

en el intervalo[−√

94 ,√

94

).

En los ejercicios del 216 al 220, Resolver la desigualdad dada

en términos de intervalos e ilustre la solución sobre la recta

de los números reales.

216. (2x− 3)2

+ 4x2 (x− 7) ≤ 4 (x− 2)3

217. 6(x2 + 1

)− (2x− 4) (3x+ 2) < 3 (5x+ 21)

218.5

3x+ 1− 20

9x2 − 1<

2

3x− 1

219.1

x2 + x>

1

x2 − x− 1

x2 − 1

220. (x− 2)−3

< 0

221. En los siguientes problemas determine δ[3] (dependiente de ε[4]) demodo que la implicación dada sea verdadera.

a) |x− 5| < δ ⇒ |3x− 15| < ε

b) |x− 2| < δ ⇒ |4x− 8| < ε

c) |x+ 6| < δ ⇒ |6x+ 36| < ε

d) |x+ 5| < δ ⇒ |5x+ 25| < ε

222. En los siguientes problemas muestre que la implicación indicada esverdadera.

[3]delta (δ), cuarta letra del alfabeto griego.[4]épsilon (ε) , quinta letra del alfabeto griego. Tanto δ como ε se utilizan de manera

tradicional en cálculo para representar números positivos pequeños.

a) |x− 2| < ε

6⇒ |6x− 12| < ε

b) |x+ 4| < ε

2⇒ |2x+ 8| < ε

223. Los números que pueden escribirse como la razón (cociente) de dosenteros se denominan ______________

224. Los axiomas y las deniciones son tomados como ciertos, pero los____________ requieren de una demostración.

225. El conjuntox∣∣− 1

2 ≤ x < 6se escribe en notación de intervalos co-

mo ____________ y el conjunto x |−3 ≥ x se escribe como____________ .

226. Sia

b< 0, entonces a < 0 y _____ o bien a > 0 y _____ .

227. Sia

b≥ 0, entonces a ≥ 0 y _____ o bien a ≤ 0 y _____ .

228. Si a · b · c < 0, entonces a > 0 y b < 0 y _____ o bien a > 0 y_____ y c < 0 o bien a < 0 y _____ y c < 0 o bien a < 0 y b > 0y _____ .

229. ¾Cuáles de las ecuaciones siguientes son verdaderas?

a) |−x| = x

b) |xy| = |x| |y|c) |x|2 = x2

d)√x2 = x

e) |x+ y| = |x|+ |y|

230. En la ecuación |−b| = b ¾Para qué números reales b es verdadera estaecuación? ¾Para qué números reales b es falsa?

231. Dados a < b, determinar cuáles de las siguientes armaciones sonverdaderas o falsas.

a) a+ 12 < b+ 1

2

b) 6b < 6a

c) 4− a > 4− b

11

d)1

a<

1

be) (a− b) (b− a) > 0

f) a2 < b2

232. ¾Cuáles de las siguientes armaciones son siempre correctas si a ≤ b?

a) a− 3 ≤ b− 3

b) −a ≤ −bc) 3− a ≤ 3− bd) 6a ≤ 6b

e) a2 ≤ abf) a3 ≤ a2b

233. Resuelva la ecuación |x− 1| = 1− x.[5]

234. Resuelva la ecuación |3− x| = x− 3.

235. Resuelva la ecuación |3− x| = 3− x.[6]

236. Si −1 < y−5 < 1, ¾cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son ne-cesariamente verdaderas? ¾cuáles no necesariamente son verdaderas?

a) 4 < y < 6

b) −6 < y < −4

c) y > 4

d) y < 6

e) 0 < y − 4 < 2

f) 2 <y

2< 3

g)1

6<

1

y<

1

4

h)∣∣y − 5

∣∣ < 1

237. Si 2 < x < 6, ¾cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son nece-sariamente verdaderas? ¾cuáles no necesariamente son verdaderas?

[5]|u| = −u⇔ u ≤ 0.[6]|u| = u⇔ u ≥ 0.

a) 0 < x < 4

b) 0 < x− 2 < 4

c) 1 <x

2< 3

d)1

6<

1

x<

1

2

e) 1 <6

x< 3

f) |x− 4| < 2

g) −6 < −x < 2

h) −6 < −x < −2

Demostraciones

238. Se llama media aritmética de dos números a y b al númeroa+ b

2.

Probar que la media aritmética de dos números está entre los números;es decir, probar que:

a < b⇒ a <a+ b

2< b

239. Se llamamedia geométrica de dos números positivos a y b al número√ab. Probar que la media geométrica de dos números está entre los

números; es decir, probar que:

0 < a < b⇒ a <√ab < b

240. Probar que√ab ≤ a+ b

2

donde a ≥ 0 y b ≥ 0. Suegerencia: 0 ≤ (a− b)2 .En los problemas del 242 al 257, probar la proposición dada.

241. Si a < b y c < d; entonces a+ c < b+ d.

242. Si a < b; entonces −b < −a.

243. Si a < b y c > d; entonces a− c < b− d.

12

244. Si a < b y c > 0; entonces ac < bc.

245. Si a < b y c < 0; entonces ac > bc.

246. Si a > 1, entonces a2 > a.

247. Si 0 < a < 1, entonces a2 < a.

248. Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd.

249. Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2. (utilícese el ejercicio 248)

250. |xy| = |x| · |y|

251.|x||y|

=

∣∣∣∣xy∣∣∣∣ , y 6= 0

252. |an| = |a|n

253. |a| < |b| ⇔ a2 < b2

254. |a+ b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triangular)

255. |a− b| ≤ |a|+ |b|

256. |a| − |b| ≤ |a− b|

257. Comenzando con (x− y)2 ≥ 0, demuestre que

x2 + y2

2≥ xy.

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