Bazat e-automatikes

PROJEKT KURS I

I N X H I N I E R I A E L E K T R O N I K E _ G R U P I 3

L Ë N D A : ” B A Z A T E A U T O M A T I K Ë S I I ”

T E M A : S T U D I M I P Ë R P R O J E K T I M I N E R R E G U L L A T O R I T

N Ë N J Ë P R O Ç E S I N D U S T R I A L .

F A K U L T E T I I A R K I T E K T U R Ë S D H E I N X H I N I E R I V E

Albanian Universi ty Bazat e Automat ik ës

F a q e . | 2

r(t) y(t)

PROJEKT KURSI

Tema : Studimi per projektimin e rregullatorit në një proçes industrial.

Proçesi industrial është dhënë me anën e një modeli matematiknë rrafshin e kohës me hyrje sinjalin r dhe

dalje sinjalin y me këtë pamje.

Proçesi

Referuar arkitekturës hierarkike në ndarjen e proçesit industrial janë zhvilluar 4 nënproçese të lidhura në

kaskadë që përkatësisht në lidhje me hyrjen dhe daljen kanë këto ekuacione diferenciale:

1- ( ) ( )

2-

( ) ( ) ( )

3-

( ) ( ) ( )

4-

( ) ( ) ( )

Të katër nënproçeset të lidhur në kaskadë përfshijnë brënda proçesit kryesor me hyrje r dhe dalje y.

Të formohet sistemi dhe më tej të arsyetohet sipas këtyre kërkesave:

1- Për çdo nënproçes të gjëndet funksioni transmetues në rrafshin operator dhe të ndërtohet skema

strukturore përkatëse.

2- Proçesi i dhënë të trajtohet si objekt rregullimi dhe të ndërtohet konturi i mbyllur me këto të

dhëna:

a) Referimi r(t)=r

b) Nyja shumare si në figurë

c) Lidhja e kundërt negative me funksion transmetues

3- Të përcaktohen funskionet transmetues ( ) ( ) përktësisht gjëndje e hapur dhe gjëndje e

mbyllur e sistemit si dhe ekuacioni karakteristik për gjëndjen e mbyllur ( ) .

4- Të bëhet analiza e gjëndjes ekzistuese me ndihmën e programit MATLAB

a) Gjeometria e poleve

b) KAF (Karakteristika Amplitudo-Fazore)

c) KLA dhe KLF (Karakteristika Logaritmike e Amplitudës dhe Fazës)

d) Qëndrueshmëria me ndihmën e Hurwitz

e) Regjimi kritik

r ɛ

-y

𝑇 0 5

𝑇 6

𝑇 16

𝐾 100

Koeficientët e dhëna:


F a q e . | 3

5- Përfundime dhe udhëzime nga pedagogu

6- Studimi i cilësisë sipas marrëveshjeve në pikën 5

a) Regjimi i vendosur

b) Komente

c) Cilësia në regjimin kalimtar

7- Përfundime dhe udhëzime nga pedagogu.

8- Të përcaktohet rezerva e amplitudës dhe e fazës për sistemin e dhënë.

9- Të ndërtohet varësia e rezervës së amplitudës nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e

ndryshimit të tij në diapazonin (0.1 – 1.0)% kkr .Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një tabelë.

10- Të ndërtohet varësia e rezervës së fazës nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e ndryshimit të

tij në diapazonin (0.1 – 1.0) kkr.Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një tabelë.

11- Të komentohen rezultatet e arritura në kërkesën 9,10.

12- Të ndërtohet varësia e mbirregullimit mr nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e ndryshimit

të tij në diapazonin (0.1 – 1.0)% kkr.Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një tabelë.

13- Të ndërtohet varësia e kohës së rregullimit nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e

ndryshimit të tij në diapazonin (0.1 – 1.0)% kkr.Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një tabelë.

14- Të komentohen rezultatet e arritura në kërkesën 12,13

15- Udhëzime për çdo student.

16- Grafikët e fituar në kërkesat 9-13 ,të përafrohen analitikisht duke gjetur shprehjen përkatëse

algjebrike.

17- Përkrah grafikut real në të njëjtin rrafsh të ndërtohet me tabelën përkatëse edhe grafiku i kërkesës

16.


19- Të bëhet sinteza nëpërmjet metodës së drejtëpërdrejtë

20- Të komentohet modeli matematik i rregullatorit të fituar nga sinteza e kërkesës 19.

21- Të ndërtohet përgjigja kalimtare për konturin e mbyllur ,të vlerësohen treguesit e arritur të cilësisë.


23- Të bëhet sinteza me përdorimin e karakteristikave të frekuencës.

a- Të ndërtohet rrafshi i punës.

b- Të vendoset zona e rezervës së fazës dhe rezervës së amplitudës.

c- Të ndërtohet Kla dhe KLF për sistemin e dhënë, me bazë amplitudash.

d- Të vizatohet KLA për konturin e dëshiruar.

e- Të gjëndet KLA e rregullatorit.

f- Të ndërtohet KLF për konturin e korrektuar.

g- Të kontrollohet rezerva e kërkuar.

h- Të ndërtohet përgjigja kalimtare për gjëndjen e mbyllur.

i- Të vlerësohet cilësia e arritur për gjëndjen e mbyllur.

j- Të gjëndet skema RC për rregullatorin e fituar.

24- Përfundime të punës.


F a q e . | 4

Zhvillim :

Disa hapa të rëndësishme që do të na ndihmojnë në zgjidhjen e detyrës tonë:

1- Do të kalojmë nga rrafshi i kohës në rrafshin operator, (në rrafshin e La Plas-it), me anën e

transformimit La Plas. Do të bëjmë transformimin e sinjaleve, nga rrafshi i kohës do të kalojmë në

rrafshin operator, me ndihmën e formulës :

( ) ( ) ∫ ( )

, t 0

Kushtet që na lejojnë përdorimin e formulës mbi sinjalet ,që përfaqësojnë funksionet në rrafshin

e kohës ,janë që:

i. Ato të jenë të vazhduar.

ii. Të mos kenë pika këputjeje të llojit të I-rë dhe II-të.

2- Përdorimi i transformimit të La Plas na jep një metodë më të thjeshtë për zgjidhjen e ekuacioneve

diferenciale lineare të cilat përfaqësojnë skemën.

→

Meqënëse është proçes industrial ,atëherë , këto kushte nga ana matematikore plotësohen dhe transformimet La Plas

egzistojnë kështu ,pranojmë që :

2

Rrafshi i

La Plas

𝑑𝑛

𝑑𝑡𝑛≡ 𝑠𝑛 f(t) F(s)

Rrafshi i

kohës

𝑑𝑛𝑓(𝑡)

𝑑𝑡𝑛 𝑠𝑛𝐹(𝑠)

Pranojmë se në matematikën e kontrollit përgjithësisht

pranohen kushte fillestare zero,pra jemi në një gjëndje

ekuilibri të teknologjisë.

1

𝑟(𝑠) 𝑟(𝑡) 𝑟 𝑘𝑢𝑟 𝑟(𝑡) 𝑟

𝜀(𝑠) 𝜀(𝑡)

𝑢(𝑠) 𝑢(𝑡)

𝑥(𝑠) 𝑥(𝑡)

𝑧(𝑠) 𝑧(𝑡)

𝑦(𝑠) 𝑦(𝑡)

𝑟(𝑡) ℎ𝑦𝑟𝑗𝑎 𝑒 𝑝𝑟𝑜ç𝑒𝑠𝑖𝑡

𝑦(𝑡) 𝑑𝑎𝑙𝑗𝑎 𝑒 𝑝𝑟𝑜ç𝑒𝑠𝑖𝑡


F a q e . | 5

Kërkesa 1

i. ( ) ( ) ⇒ ( ) ( ) 100

( ) ( )

( ) 100 , funksioni i transmetimit për nënproçesin e parë.

Skema strukturore.

ii.

( ) ( ) ( )

⇒ ( ) ( ) ( ) 0 5

( ) ( )

( )

, funksioni i transmetimit për nënproçesin e dytë.

Skema strukturore.

iii.

( ) ( ) ( )

⇒ ( ) ( ) ( ) 6

( ) ( )

( )

, funksioni i transmetimit për nënproçesin e tretë.

Skema strukturore.

iv.

( ) ( ) ( )

⇒ ( ) ( ) ( ) 16

( ) ( )

( )

, funksioni i transmetimit për nënproçesin e katërt.

Skema strukturore.

𝜀(𝑠)

𝑢(𝑠)

𝐺 (𝑠)

𝑢(𝑠)

𝑥(𝑠)

𝐺 (𝑠)

𝑥(𝑠)

𝑧(𝑠)

𝐺 (𝑠)

𝑧(𝑠)

𝑦(𝑠)

𝐺 (𝑠)


F a q e . | 6

Kur kemi n blloqe në kaskadë.

𝐺(𝑠) 𝐺𝑖(𝑠)

𝑛

𝑖 1 𝑛

Kërkesa 2

Skema strukturore e sistemit:

Kërkesa 3

Funksioni i transmetimit për sistemin e hapur :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

( 1)( 1)( 1) 100

( )

(0 5 1)(6 1)(16 1)

10 5 1

Funksioni i transmetimit për sistemin e mbyllur :

( ) ( )

1 ( ) ( )

( )

1 ( ) ( ) 1

( )

10 5 1

Ekuacioni karakteristik i sistemit për gjëndjen e mbyllur :

( ) 1 ( ) ( ) 0

( ) 10 5 1 0

Kërkesa 4

Me ndihmën e software-it MATLAB .

i. Gjeometria e poleve (në konturin e mbyllur)

−

𝜀(𝑠)

𝑢(𝑠) 𝐺 (𝑠)

𝑥(𝑠)

𝐺 (𝑠)

𝑦(𝑠) 𝐺 (𝑠)

𝑧(𝑠)

𝐺 (𝑠)

𝑟(𝑠)

𝐺𝑙𝑘(𝑠)

Nga paraqitja e VGJR-së,e ndërtuar me

MATLAB, vërejmë se sistemi jonë është jo i

qëndrueshëm për shkak se një çift polesh

komplekse të konjuguara i ka né të

djathtë të boshtit imagjinar në rrafshin

kompleks.

polet_e_sistemit_te_mbyllur =

-2.34e+000

8.51e-002 +9.33e-001i

8.51e-002 -9.33e-001i


F a q e . | 7

ii. KAF (Karakteristika Amplitudo-Fazore)

Nyquist për vlera të ndryshme të k-së :

Bindjen se sistemi është i

paqëndrueshëm e përforcon edhe

karakteristika amplitudo-fazore, e cila

na e tregon atë me anë të vijës që

kalon mbi pikën -1.

Një pamje nga afër e pikës -1.

Këtu kemi bërë një përpjekeje për të

kthyer sistemin në të qëndrueshëm

duke luajtur me koefiçentin k ,duke

zmadhuar dhe zvogëluar atë, dhe me

ndihmën e karakteristikës kemi

paraqitur këto përpjekje tona

“grafike”.

Një pamje nga afër e pikës -1.

Pika -1

K=100

𝑘 𝑘𝑘𝑟

𝜔 0 𝜔


F a q e . | 8

iii. KLA dhe KLF (Diagrama Bodé – konturi i hapur)

iv. Qëndrueshmëria e sistemit sipas kriterit Hurwitz.

Duke u nisur nga ekuacioni karakteristik për konturin e mbyllur kemi :

( ) 1 ( ) 0

( ) 1 ( ) (1 )(1 )(1 ) 0

( )

( ) (1 ) 0

Sipas këtij kriteri sistemi do të jetë i qëndrueshëm për këto kushte:

i. Të gjithë koeficientët e F(s) të jenë pozitivë.

ii. Përcaktori të jetë pozitiv.

Me rregullat e njohura formojmë tabelën e Hurwitz :

Koeficientët janë

0

0

0

1 0

Ndërtojmë përcaktorin e rendit të tretë në këtë rast :

[ 0 00

] [

] ( − ) 0 →

Zëvëndësojmë vlerat përkatëse të koeficientëve

( )( ) ( )(1 )

Pjestojmë me dhe do të kemi:

(1 ) (1 1

1

) 1

𝑎 0 5

𝑎 6

𝑎 16

𝑎 101

𝜏 𝑇

𝑇 𝑑ℎ𝑒 𝜏

𝑇

𝑇

Bëjmë disa zëvëndësime :

Dy karakteristikat ,përkatësisht të

amplitudës dhe fazës, të cilat na japin

informacion mbi sistemin tonë .

Shikojmë se rezerva e qëndrueshmërisë

shumë e vogel, sistemi jonë duhet të jetë i

paqëndrueshëm në konturin e mbyllur.


F a q e . | 9

Për të patur një sistem të mbyllur të qëndrueshëm duhet që :

(1 ) (1 1

1

) − 1

Për të patur një sistem të mbyllur të paqëndrueshëm duhet që :

(1 ) (1 1

1

) − 1

Për rastin tonë me të dhënat mbi proçesin ai rezulton jo i qëndrueshëm:

ℎ 1 ℎ 0 0

ℎ ℎ

Nga këtu gjejmë e cila është :

(1 ) (1 1

1

) − 1 156 5

v. Regjimi kritik , ℎ

Për përcaktimin e ℎ ka dy mënyra :

1- Me matje direkte nga sinusoida në Matlab.

Kujtojmë se : ℎ

2- Duke ndërtuar një karaktesistikë frekuence në rrafshin Nyquist.

Nisur nga funksioni i transmetimit :

( )

( )( )( )

( ) dhe nga ekuacioni karakteristik :

( ) 1 ( ) 0 → 1

( ) 0

( ) ( ) 0

( )

( ) ( ) 1

( )

Kalojmë nga rrafshi operator në rrafshin e frekuencës :

→ dhe kemi : ( )| ( )

( )| ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1

( ) ( ) ( )

𝜔 − 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑐 𝑘 𝑛𝑑𝑜𝑟𝑒

𝑓 − 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑐 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒

𝑇− 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑 𝑙 𝑘𝑢𝑛𝑑𝑗𝑒𝑗𝑒

𝑈(𝜔) 𝑅𝑒 𝐷(𝑗𝜔)

𝑉(𝜔) 𝐼𝑚 𝐷(𝑗𝜔)

Koment


F a q e . | 10

Në të dyja rastet merren vetëm vlerat pozitive të frekuencave .

Pra ndajmë pjesën reale dhe imagjinare :

( ) 1 − ( )

( ) ( 1 ) −

Ndërtojmë rrafshin ( ) ( )

Dhe këtu dy mënyra :

1- Me Matlab.

2- Në mënyrë analitike.

Për të ndërtuar karakteristikën në mënyrë analitike na mjaftojnë disa pika.Zgjedhim disa

pika të cilat janë të lehta për t’u gjetur,pikat ku kurba pret boshtet.

i- ( ) 0 1 , pra rasti kur reali është zero.

√1

1 1

0 0

( )| ( )

( ) ( ) − 1 1

ii- ( ) 0 , pra rasti kur imagjinari është zero.

√

1

0 6

( )| ( )

( ) 1 − ( ) 1 − 50 16 − 16

Tabela. 1

0 0.75 1 1.25 1.5 1.75 ... 4 ∞

( ) 1 0 -49.16 -51.2 -106 -166.2 -239.72 -326.69 ... -1711 -

( ) 0 2.14 0 -3.37 -25 -65.63 -128.25 -217.87 ... -2982 -

𝜔𝑘𝑘𝑟

𝜔

𝜔 0

𝑘𝑘𝑟

1


F a q e . | 11

ℎ(𝑡) 𝑦(𝑡)|𝑟(𝑡) (𝑡) 𝐵(0)

𝐴(0)

𝐵(𝑠𝑖)

𝑠𝑖 [𝑑𝑑𝑠𝐵(𝑠)]

|𝑠 𝑠𝑖

𝑒𝑠𝑖𝑡𝑛

𝑖

vi. Përgjigja kalimtare për sistemin tonë.Kujtojmë se përgjigja kalimtare ndërtohet për sistemin e

mbyllur.(Ndërtojmë me ndihmën e MATLAB)

ℎ( ) ( )| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( )}

Bazohemi tek Teorema e Heaviside.

A(s)- emëruesi

B(s)- numëruesi

Përgjigja kalimtare për sistemin tonë,

këtu jemi për K më të madhe se Kkr,

shikojmë se si lëkundjet me kalimin e

kohës zmadhohen në amplitudë.Me

siguri do të çojë në shkatërrimin e

proçesit.

Përgjigja kalimtare për K=Kkr,shikojmë

lëkundjet harmonike periodike që nuk

shuhen.Këto lëkundje sjellin

paparashikueshmëri né përgjigjen e

sistemit.

Këtu ne mund të matim dhe frekuencën

kritike. 𝜔𝑘𝑟 𝜋𝑓 0 6 𝑟𝑎𝑑𝑠

𝑓 1

𝑇

1

1 𝑠 0 10 𝐻𝑧


F a q e . | 12

... Kërkesa 5 Udhëzime nga pedagogu :

5.1 Të pranohet një vlerë për në masën 80% të tij dhe kjo të quhet koeficient i sistemit të hapur për

punën e mëposhtme. Ky arsyetim ka këtë skemë :

Kjo do të thotë që aty është futur një përforcues.Në figurë treguar përgjigja kalimtare e sistemit .

5.2 Përcakto treguesat e cilësisë për këtë gjëndje dhe komento. (me ndihmën e MATLAB)

𝑅𝑅

𝑦(𝑠)

𝑘𝑘𝑟(𝑇 𝑠 1)(𝑇 𝑠 1)(𝑇 𝑠 1)

(0 ) 𝑟(𝑠)

𝑘𝑘𝑟 156 5

Nga përgjigja kalimtare e ndërtuar në

MATLAB.

Mbirregullimi >> mr= 0.853=87.1 %

Amplituda maksimale >> hmaks=1.82

Amplituda në regjimin e vendosur >> h∞=0.967

Përgjigja kalimtare për K=0.8 Kkr ,

tregon një lëkundje harmonike që

shuhet. Sistemi jonë stabilizohet pas

një kohe tr=148 [s] ,kohëzgjatja e

proçesit kalimtar. Kujtojmë se ne

pranojmë këtë kohë si kohën e

përfundimit të proçesit kalimtar ku

lëkundjet ,në amplitudë, nuk e kalojnë

zonën e gabimit (2Δ) të pranuar nga

ne . Pra Δ ≤ 5%

hmaks mr

h∞

±5%

tr


F a q e . | 13

5.3 KAF, KLA dhe KLF .(me ndihmën e MATLAB)

Nyquist për 80%kkr

KLA dhe KLF për 80%kkr (Diagrama Bodé)

Nyquisti na tregon gjithashtu se për k=0.8kkr

sistemi jonë kthehet në të qëndrueshëm.

Këtë fakt e vërejmë të zmadhuar djathas ku

tregohet karakteristika poshtë pikës -1.

Fakti që jemi afër pikës -1 na tregon se

përgjigja kalimtare do të ketë një numër

lëkundjesh para se ajo të ztabilizohet , siç

treguam më lart, dhe kjo shpjegon edhe

kohëzgjatjen e përfundimit të proçesit

kalimtar.


F a q e . | 14

5.4 Zona e përafërt dhe zona e saktë e poleve.

Zona e përafërt e poleve:

Kërkojmë të gjejmë se ku janë vendosur polet ,arsyetojmë për konturin e mbyllur, dhe për këtë

nisemi nga ekuacioni karakteristik.

( ) 10 5 0 5 0 ( 1+0.8kkr = 40.325 )

Do të bëjmë raportin e dy koeficientëve të njëpasnjëshem për të gjetur me përafërsi zonën e

poleve.

0 1

1

Nga këto raporte nxjerrim dy numra që do të shërbejnë si ekstremume të zonës ku do të ndodhen

polet e sistemit (në modul) ,përkatësisht: m=0.21 dhe M=2.23

Modulet e poleve do të jenë në mjedisin 0 1 | | .

Verifikojmë rezultatin:

− 1 | | 1

−1 6 1 | | 6 1

Të tre polet plotësojnë kushtin e arritur.

0 1 |𝑠𝑖| Kjo është zona e përafërt se ku

do të ndodhen polet e sistemit

tonë.


F a q e . | 15

Zona e saktë e poleve :

Zona e saktë ku ndodhen polet do ta përcaktojmë me anën e tre parametrave më poshtë:

– shkalla e qëndrueshmërisë përfaqëson distancën e polit më të afërt nga boshti imagjinar, që

është pjesa reale e tij.

0.0194

– përfaqëson distancën e polit më të largët nga boshti imagjinar, që është pjesa reale e tij.

2.19

⁄ - karakterizon lëkundjet e h(t) , ℎ ,janë reali dhe imagjinari i rrënjës

komplekse më afër boshtit imangjinar.

Nisur nga −1 6 1 , gjejmë që :

0 01 ℎ 0 61

5.5 Treguesit cilësorë të zonës së saj.

Mbirregullimi >>

Kohëzgjatja e proçesit kalimtar >>

S2

S3

𝜃

𝜂

𝜁

+j

+1 𝜃 S1


F a q e . | 16

Kërkesa 6 Studimi i cilësisë. (Referencë nga libri – ”BAZAT E AUTOMATIKËS 1- Petrika Marango”)

Cilësia në regjimin e vendosur.

Cilësia në regjimin vendosur është vlerësimi i gjëndjes së stabilizuar ose statikës të konturit

në lidhje me parametrin që kontrollohet.

Në statikë do të dëshironim që ( )| ( )| ,por që fizikisht nuk arrihet.

Do të dallojmë një madhësi ( )| ( )| − ( )| , këtë madhësi do ta quajmë

gabimi statik i konturit të mbyllur.

Për të kuptuar dhe llogaritur këto gabime do të nisemi nga shprehja e shmangies në formë

operatore, dhe më tej do të arsyetojmë sipas vetisë së vlerës përfundimtare për të

vlerësuar këtë parameter.

ℎ ( ) ( ) ( ) ( )1

1 ( ) ( ) ( )

1

1 ( )

→

( ) →

( )1

1 ( )

→

( )

Dallojmë tre forma të gabimit statik:

i. Për referim r(t)=1(t) kemi gabim statik të pozicionit. (K=100)

→

( ) →

1( ) 1

1 ( )

→ 1

1

1 ( )

1

1 (0)

1

1 0 00

ii. Për referim r(t)=t kemi gabim statik të shpejtësisë.

→

( ) →

1

1 ( )

→

1

1

1 ( )

1

1

1

iii. Për referim r(t)=t2/2 kemi gabim statik të shpejtimit.

→

( ) →

[

]

1

1 ( )

→

1

1

1 ( )

1

1

1


F a q e . | 17

Cilësia në regjimin kalimtar.

Cilësia në regjimin kalimtar lidhet me karakterin e përgjigjes kalimtare dhe treguesit e saj të

shprehur nga ana sasiore. Midis parametrave që karakterizojnë këtë lakore do të dallojmë

treguesit kryesorë të cilësisë.

Në shumicën e proçeseve industriale kërkohet (10 − 0) 50

Për sistemin tonë do të thotë që duhet të zgjedhim një koeficient më të vogël se 30% kkr

,nëse pranojmë mr ≤ 50%.

2Δ është zona ku pasi hyn h(t) proçesi quhet i përfunduar ,ku Δ ≤ 5%, zakonisht pranohet

Δ=5%.

Koha që teknikisht një proçes të quhet i përfunduar duhet të kënaqë këtë relacion

|ℎ( ) − ℎ( )| .

Për këto kushte mund të ndërtojmë një zonë të cilësisë së kërkuar brënda së cilës duhet të

ndodhet përgjigja kalimtare e dëshiruar.

Në grafikun më sipërm tregohet zona e cilësisë e kërkuar ,dhe brënda saj kam ndërtuar një lakore që i

përgjigjet parametrave që kërkohen në shumicën e proçeseve industriale. Kjo lakore i përket sistemit tonë

për vlerën 26.5% kkr. Pra deri në këtë vlerë ,e cila është dhe vlerë maksimale ,proçesi ynë mund të

konsiderohet si i pranueshëm për treguesit e një proçesi industrial.

𝑚𝑟| | 0 51

𝑜𝑠𝑒 50

5

ℎ 0 1

ℎ𝑚𝑎𝑥 1

𝑡𝑟 6 1 𝑠

Koment


F a q e . | 18

...

Pika 7 Përfundime dhe udhëzime të mëtejshme.

Pas udhëzimeve për zgjedhjen e koeficientit në 80% të kkr , sistemi u kthye në i

qëndrueshëm. Tani mund të bëjmë një sërë analizash mbi njohuritë që kemi marrë.

Karakteristika e parë që ndërtova është ajo e përgjigjes kalimtare e cila vërtetoi

qëndrueshmërinë e sistemit. Me ndërtimin e kësaj karakteristike tani nxjerrim treguesit e

njohur si : vlera maksimale , mbirregullimi , kohëzgjatja e proçesit kalimtar etj

Përgjigja kalimtare ka shumë luhatje derisa stabilizohet ,kjo gjë tregon se sistemi duhet të

jetë afër regjimit kritik duke menduar se jemi në 80% të kkr kjo gjë kuptohet

lehtë.Mbirregullimi rezulton 87.1% e vlerës në regjimin e stabilizuar , një luhatje me

amplitudë të konsiderueshme e cila në kushtet e një sistemi real ku nuk pranohet do të ishte

e dëmshme. Koha e stabilizimit të procesit është shumë e madhe ,e matur rezulton 309

sekonda, në një sistem industrial duke mëjanuar rastin kur kërkohet nuk është e

pranueshme.

Me ndërtimin e karakteristikës Nyquist vihet në dukje çfarë u tha më sipër që sistemi jonë

është shumë afër regjimit kritik duke ju përgjigjur edhe treguesve cilësorë që kam nxjerrë

nga grafiku i përgjigjes kalimtare.

Karakteristikat Bodé tregojnë një rezervë shumë të vogël si në amplitudë dhe fazë, sistemi

është pranë regjimit kritik.

Si përfundim sistemi jonë akoma ka nevojë për gjetjen e parametrave më të pranueshëm.

Koment


F a q e . | 19

Kërkesa 8 Të përcaktohet rezerva e amplitudës dhe e fazës për sistemin e dhënë.

Për rastin tonë ,pra për 80% të kkr kemi:

Rezerva në amplitudë : ( )

Rezerva në amplitudë : ( )

Këto dy parametra na tregojnë gjithashtu se sistemi jonë për vlerën 80% të kkr është i qëndrueshëm. Dhe

marzhet e qëndrueshmërisë na tregojnë se sa larg jemi nga pika kritike -1 që do të dërgonte sistemin në të

paqëndrueshëm.Gjithashtu parashikojmë që kjo rezervë e vogël do të na sjellë nje përgjigje kalimtare me

shumë lëkundje për shkak se ndodhet shumë afër pikës -1,këtë gjë e dëshmon edhe përgjigja kalimtare e

ndërtuar më sipër.

𝑳(𝝎)

𝝋(𝝎)

𝑳(𝝎) 𝟎𝒅𝑩

−𝝅

𝑳 ≪

𝝋 ≪

Koment


F a q e . | 20

Kërkesa 9 Të ndërtohet varësia e rezervës së amplitudës nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e

ndryshimit të tij në diapazonin (0.1 – 1.0)% kkr .Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një

tabelë.

Tabela 1

( ) ( ) 4.915625 10 20dB

9.831250 20 14dB 14.746875 30 10.5dB

19.662500 40 7.96dB

24.578125 50 6.02dB

29.493750 60 4.44dB

34.409375 70 3.1dB

39.325000 80 1.94dB

44.240625 90 0.915dB

49.156250 100 3.74e-05dB


F a q e . | 21

Kërkesa 10 Të ndërtohet varësia e rezervës së fazës nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e

ndryshimit të tij në diapazonin (0.1 – 1.0) kkr.Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një

tabelë.

Tabela 2

( ) ( ) 4.915625 10 53.8°

9.831250 20 33.3°

14.746875 30 23.5° 19.662500 40 17.3°

24.578125 50 12.8°

29.493750 60 9.31°

34.409375 70 6.42°

39.325000 80 3.98°

44.240625 90 1.87°

49.156250 100 1.12e-05°


F a q e . | 22

Kërkesa 11 Të komentohen rezultatet e arritura në kërkesën 9,10.

Nga grafikët e ndërtuar shikojmë se ,përsa i përket rezervave të amplitudës dhe fazës , me

rritjen e kkr zvogëlohen përkatësisht rezervat duke ju afruar vazhdimisht pikës kritike -1 e cila

në karakterisikën logaritmike të fazës përkon në -180° .

Nëse ne kërkojmë të kemi një sistem të qëndrueshëm duhet të kemi rezervë të mjaftueshme

si në amplitudë dhe fazë.

Kërkesa 12 Të ndërtohet varësia e mbirregullimit mr nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e

ndryshimit të tij në diapazonin (0.1 – 1.0)% kkr.Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një

tabelë.

Tabela 3

( ) ( ) 4.915625 10 1.03 0.831 0.199 24.4%

9.831250 20 1.29 0.911 0.379 41.8%

14.746875 30 1.44 0.943 0.497 53.7% 19.662500 40 1.55 0.947 0.603 62.8%

24.578125 50 1.64 0.948 0.692 70.3%

29.493750 60 1.71 0.973 0.737 76.6%

34.409375 70 1.77 0.973 0.797 82.2%

39.325000 80 1.82 0.974 0.846 87.1%

44.240625 90 1.87 0.985 0.885 91.6%

49.156250 100 - - - -

Koment


F a q e . | 23

Kërkesa 13 Të ndërtohet varësia e kohës së rregullimit nga koefiçienti i sistemit të hapur për rastin e

ndryshimit të tij në diapazonin (0.1 – 1.0)% kkr.Paraprakisht rezultatet të përfshihen në një

tabelë.

Tabela 4

( ) [s]

4.915625 10 31

9.831250 20 32.7

14.746875 30 35.3

19.662500 40 44.3

24.578125 50 57.9 29.493750 60 71

34.409375 70 98.2

39.325000 80 148

44.240625 90 309

49.156250 100 -

Kërkesa 14 Të komentohen rezultatet e arritura në kërkesën 12,13.

Përsa i përket mbirregullimit me rritjen e kkr nga (10-100)% ,ai rritet dhe bashkë me rritjen e

këtij parametri dimë tashmë se do të përkeqësohet qëndrueshmëria e sistemit si pasojë e

luhatjeve me amplituda sa vjen e me vlera më të mëdha.

I njëjti arsyetim është edhe në rastin e kohës së stabilizimit të poçesit kalimtar. Kohë e cila

me rritjen e koeficientit kkr në diapazonin e zgjedhur,është gjithmonë e më e madhe derisa

për vlerën e barabartë me atë të koeficientit kritik kjo kohë është infinit si pasojë e mos

stabilizimit të sistemit. Në këtë rast sistemi ka kaluar në gjëndje të pastabilizuar.

Koment


F a q e . | 24

...

Pika 15 Udhëzime për çdo student.

Kërkesa 16 Grafikët e fituar në kërkesat 9-13 ,të përafrohen analitikisht duke gjetur shprehjen

përkatëse algjebrike.

Kërkesa 17 Përkrah grafikut real në të njëjtin rrafsh të ndërtohet me tabelën përkatëse edhe grafiku i

kërkesës 16.

Për të bërë përafrimin e të dhënave diskrete të llogaritura në pika të barazlarguara kam përdorur

metodën e përafrimit me anë të interpolimit polinomial:

Nqs jepet një funksion f(x) i përcaktuar në intervalin I=[a,b] dhe njohim vlerat e tij në n-pika nyje :

a=x0<x1<.....<xn=b .

Problemi i interpolimit polinomial mbështet në gjetjen e polinomit ( )

i tillë që :

( ) ( ) 0

I fundit quhet dhe polinom interpolues i vlerave f(xi) në nyjet xi.

Një polinom i gradës n është një funksion i tipit :

( )

,ku ai janë koeficientët e polinomit.

Me ndihmën e Matlab ndërtojmë polinomin përafrues:

Për të llogaritur koeficientët një polinomi interpolues përdoret komanda polyfit:

>> p=polyfit(xn,yn,N)

xn është vektori që përmban vlerat e koeficientit kritik ,boshti i abshisave (nyjet).

yn është vektori që përmban vlerat e funksionit në pikën ku kërkohet.

N është rendi i polinomit interpolues.

p është vektori që përmban koeficientët e polinomit interpolues.

Interpolimi


F a q e . | 25

Varësia e rezervës së amplitudës ndaj kkr :

Tabela 1.1

( ) y(k) Devijimi

4.915625 10 20dB 19.66 0.34

9.831250 20 14dB 14.54 -0.54

14.746875 30 10.5dB 10.66 -0.16 19.662500 40 7.96dB 7.80 0.16

24.578125 50 6.02dB 5.74 0.28

29.493750 60 4.44dB 4.26 0.18

34.409375 70 3.1dB 3.14 -0.04

39.325000 80 1.94dB 2.17 -0.23

44.240625 90 0.915dB 1.13 -0.215

49.156250 100 3.74e-05dB -2.08 2.08

Llogarisim devijimin mesatar të vlerava të përftuara nga metoda e interpolimit nga ato realet me formulën:

1

10 | − |

0

Me anë të ekuacionit polinomial të

rendit të 3-të llogarisim vlerat në pikat e

matura. Shikojmë se sa devijojnë vlerat

pëas përafrimit me anën e interpolimit

polinomial. (y(k),k=x është polinomi jonë në

k-pikat)


F a q e . | 26

Varësia e rezervës së fazës ndaj kkr:

Tabela 2.1

( ) ( ) y(k) Devijimi

4.915625 10 53.8° 52.15 1.65

9.831250 20 33.3° 35.88 -2.58

14.746875 30 23.5° 24.27 -0.77

19.662500 40 17.3° 16.42 0.88 24.578125 50 12.8° 11.46 1.34

29.493750 60 9.31° 8.50 0.81

34.409375 70 6.42° 6.66 -0.24

39.325000 80 3.98° 5.05 -1.07

44.240625 90 1.87° 2.80 -0.93

49.156250 100 1.12e-05° -0.97 0.97


1

10 | − |

1 1 5


rendit të 3-të llogarisim vlerat në pikat e

matura. Shikojmë se sa devijojnë vlerat


polinomial. (y(k),k=x është polinomi jonë në

k-pikat)


F a q e . | 27

Varësia e mbirregullimit ndaj kkr :

Tabela 3.1

( ) ( )

4.915625 10 1.03 0.831 0.199 24.4% 24.88 -0.48 9.831250 20 1.29 0.911 0.379 41.8% 40.95 0.85

14.746875 30 1.44 0.943 0.497 53.7% 53.51 0.19

19.662500 40 1.55 0.947 0.603 62.8% 63.23 -0.43

24.578125 50 1.64 0.948 0.692 70.3% 70.75 -0.45

29.493750 60 1.71 0.973 0.737 76.6% 76.73 -0.13

34.409375 70 1.77 0.973 0.797 82.2% 81.82 0.38

39.325000 80 1.82 0.974 0.846 87.1% 86.67 0.43 44.240625 90 1.87 0.985 0.885 91.6% 91.94 -0.34

49.156250 100 - - - - - -


1

| − | 0 0


rendit të 3-të llogarisim vlerat në pikat

e matura. Shikojmë se sa devijojnë

vlerat pas përafrimit me anën e

interpolimit polinomial. (y(k),k=x është

polinomi jonë në k-pikat)


F a q e . | 28

Varësia e kohës së stabilizimit të proçesit kalimtar ndaj kkr :

Tabela 4.1

( ) (s) y(k) Devijimi

4.915625 10 31 30.72 0.28

9.831250 20 32.7 33.76 -1.06

14.746875 30 35.3 34.30 1

19.662500 40 44.3 43.69 0.61

24.578125 50 57.9 58.50 -0.6

29.493750 60 71 73.43 -2.43

34.409375 70 98.2 94.19 4.01

39.325000 80 148 150.42 -2.42

44.240625 90 309 308.61 0.39 49.156250 100 - - -


1

| − | 1

Me anë të ekuacionit polinomial të rendit të

5-të llogarisim vlerat në pikat e matura. Kam

zgjedhur polinomin e rendit të 5-të sepse

rendi i 3-të dhe 4-t nuk sillnin një përafrim të

kënaqshëm.Shikojmë se sa devijojnë vlerat


polinomial. (y(k), k=x është polinomi jonë në k-

pikat)


F a q e . | 29

...

Pika 18 Përfundime dhe udhëzime nga pedagogu.

Për punën e bërë deri tani krijojmë idenë se si lidhen parametrat në një kontur të mbyllur , për më shumë në

pikat e fundit mund të gjejmë edhe për një pikë çfarëdo brënda dhe jashtë diapazonit të matur, falë

metodave të interpolimit të të dhënave diskrete që kishim në dispozicion, mund të vlerësojmë parametrin që

kërkojmë .

Kërkesa 19 Të bëhet sinteza nëpërmjet metodës së drejtëpërdrejtë

Kam zgjedhur mjetin korrektues në seri , i cili paraqitet si në figurën më poshtë.

Modeli i matematik i mjetit korrektues nxirret nga funksioni transmetues i konturit të

mbyllur të dëshiruar.

( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

G0(s) përfshin brënda edhe rregullatorin që është përfaqësuar nga Gk(s), ndërsa G(s)

konsiderohet e njohur.

Përcaktojmë Gk(s) :

( ) ( )

( ) 1 − ( ) ( )

Pranojmë G(s) si modelin e sistemit të mbyllur te deshiruar ,ku është implementuar edhe

rregullatori Gk(s).

𝑦(𝑠)

𝐺 (𝑠) 𝐺𝑘(𝑠)

𝑟(𝑠)

𝐺𝑙𝑘(𝑠)

Koment


F a q e . | 30

Arsyetimi do të bëhet për :

n=3 , duke qenë se konturi i hapur i dhënë përmban 3 pole.

tr=T2=6 , e dhënë si parametër për sistemin.

10 15

1 66 5

Këto vlera do ti zëvëndësojmë në modelin e konturit të dëshiruar

( ) (Tab. 5.2 – nga libri) :

1 5 5

Më poshtë kam treguar se modeli i dëshiruar i rendit të tretë nuk mjafton për rastin tonë

duke qenë se nuk na jep mbirregullimin, për këtë arsye kam kaluar në rendin e 4-t dhe

shikohet më poshtë në lakoret e përftuara me ndihmën e MATLAB-it se mbiregullim ka dhe

vlera e saj maksimale është 1.93% .Nga ky model i dëshiruar gjejmë mjetin korrektues :

( ) për model të rendit të 4-t (Tab. 5.2 – nga libri) :

1

Për kemi:

16

1 6 1 6 16

Përcaktojmë Gk(s) :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

,i konturit të hapur për 0.8kkr

( ) 6 6 1 05 1 06 1 06 06 06 6 06 5 06 06 1 1 06 1 05

1 0 1 05 05 1 06 06 5 06 6 06 5 06 06 05 1 0

Koment


F a q e . | 31

Kërkesa 20 Të komentohet modeli matematik i rregullatorit të fituar nga sinteza e kërkesës 19.

Me sa shikojmë mjeti korrektues del i një rendi shumë të lartë polesh dhe zerosh të cilat

përkthyer në elementë fizikë që do të përdoreshin për ndërtimin e këtij blloku do të na sillte

një kosto tej mase të ekzagjeruar dhe të papranueshme.

Kërkesa 21 Të ndërtohet përgjigja kalimtare për konturin e mbyllur ,të vlerësohen treguesit e arritur të

cilësisë.

Duke ndryshuar vlerat e do të marrim disa karakteristika nga modeli i fuksionit të

transmetimit të dëshiruar ,(me ndihmën e MATLAB).

Shikojmë që nuk kemi mbirregullime për modelin që kemi zgjedhur. Zgjedhim një model të

një rendi më të lartë në mënyrë që të shikojmë mbirregullimin.

Vlerat do ti zëvëndësojmë në modelin e rendit të 4-t tek ( ) (Tab. 5.2 – nga libri) :

1

Koment


F a q e . | 32

...

Rindërtojmë karakteristikat duke u bazuar në modelin e ri.

Pika 22 Përfundime dhe udhëzime nga pedagogu.

Modeli i përzgjedhur i kënaq paramterat e treguesve të kërkuar nga praktika industriale.

Për modelin e dëshiruar të rendit të 4-t

kemi një mbirregullim prej 1.93% .

Koment


F a q e . | 33

Kërkesa 23 Të bëhet sinteza me përdorimin e karakteristikave të frekuencës.

a) Të ndërtohet rrafshi i punës.

b) Të vendoset zona e rezervës së fazës dhe rezervës së amplitudës.

c) Të ndërtohet Kla dhe KLF për sistemin e dhënë, me bazë amplitudash.

d) Të vizatohet KLA për konturin e dëshiruar.

e) Të gjëndet KLA e rregullatorit.

f) Të ndërtohet KLF për konturin e korrektuar.

g) Të kontrollohet rezerva e kërkuar.

h) Të ndërtohet përgjigja kalimtare për gjëndjen e mbyllur.

i) Të vlerësohet cilësia e arritur për gjëndjen e mbyllur.

j) Të gjëndet skema RC për rregullatorin e fituar.

Pikat a),b),c),d),f), do ti ndërtojmë në letër të milimetruar siç është kërkuar edhe nga pedagogu.

Pikat g),h) do të zgjidhen me anë të software-it Matlab .

( )

,i konturit të hapur për 0.8kkr

Pikat i) dhe j) janë zgjidhur më poshtë:

i) Përsa i përket treguesve të cilësisë për konturin e mbyllur kemi :

Na është kërkuar një 0 dhe 5

- Dy pole dhe dy zero:

R2

C1

R1

Uh

+

-

+

-

Ud

C2

Funksioni i transmetimit për filtrin RC :

( ) ( 1)( 1)

( 1)(

1)

16 5 1

66 6 16 1 1

𝑇 0 5

𝑇 6

𝑇 16

𝜔 𝐹𝑈 𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑖𝑡

𝜔 𝐹𝐿 𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑖𝑡


F a q e . | 34

ku ,

{

1

1

Karakteristikat paraqiten më poshtë :

𝑇 0 5

𝑇 16

𝜔 6𝑒 − 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔 𝑒 0 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑡𝑟 1 𝑠

𝑚𝑟

𝜑 15


F a q e . | 35

...

Pika 24 Përfundime të punës.

Koment


F a q e . | 36

Education

Bazat e-automatikes