Produtos Notáveis, Fatoração e Frações

Algébricas

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2

Exemplo:

( 3x + 2y)² = 9x² + 12 xy + 4y²

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2

Exemplo:

(3 a – 4 b) ² = 9a² - 24 ab + 16 b²

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença

de dois termos.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

(a + b) . (a – b) = a2 - b2

Exemplo:

(x + 9y) (x – 9y) = x ² - 81y²

Quarto caso: Produto da forma (x + p) (x + q)

O produto da forma (x + p) (x + q) é igual ao quadrado do primeiro termo , soma de p com q, acrescentando de x , multiplicação de p por q.

(x +p) (x + q) = x² + (p+q)x + (p . q)

Exemplo:

(x + 5) ( x – 9) = x² -4 x – 45

Quinto caso: Cubo da soma de dois termos

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3

Exemplo:

(3c + 2a)3 == (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 == 27c3 + 54ac2 + 36 a2c + 8a3

Sexto caso: Cubo da diferença de dois termos

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3

Exemplo:

(x - 2y)3 == x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 ==x3 - 6 x2y + 12 x y2 – 8y3

1º caso: Fator Comum em evidência:

Quando os termos apresentam fatores comuns.

Observe o polinômio:ax + ay »

Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.Assim: ax + ay = a.(x+y)

Exemplo:

3x + 9 y = 3( x + 3y)

2º caso: Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em

alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a ,

os dois últimos termos possuem em comum o fator b.

Colocando esses termos em evidência:a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum.

Assim colocando-o em evidência:(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

3º caso: Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da

soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz

quadrada de cada quadrado.

Assim: x² - y² = (x +y) (x – y)

Exemplo:

81x² - 64y² = (9x + 8y) (9x – 8y)

4 º caso: Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²√x² = x√81 = 9

4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²√4x² = 2x√144 = 12

5º caso: Fatoração do trinômio do 2º grau:

São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P,

que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma

(x + a) .(x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e

Produto = a . b.

Observe:

x² + 10x + 16 → (x + 8) .(x + 2)Soma: 8 + 2 = 10Produto : 8 . 2 = 16

6 º caso: Soma e diferença de cubos

A soma de dois cubos é igual ao produto do fator

(a + b) pelo fator (a2 – ab + b2 ).

A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator

(a – b) pelo fator (a2 + ab + b2 ) .

Vejamos alguns exemplos:a3 + 27 = a3 + 33 = (a + 3) . (a – a . 3 + 32) = (a + 3) . (a2 – 3a + 9)

125 – x3 = 53 – x3 = (5 – x) . (52 + 5 . x + x2) = (5 – x) . (25 + 5x + x2)

Fração algébrica é o quociente polinomial apresentado sob a forma de fração, no qual o denominador apresenta uma ou mais variáveis.

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.

Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.

Exs:

Da mesma forma que ocorre com as frações numéricas,as frações algébricas são somadas ou subtraídas obedecendo dois casos diferentes.

Caso 1: Denominadores iguais.

Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denominadores iguais, as mesmas regras aplicadas às frações numéricas aqui são aplicadas também.

Caso 2: Denominadores diferentes.

Para adicionar ou subtrair frações algébricas com denominadores diferentes, siga as mesmas orientações dadas na resolução de frações numéricas de denominadores diferentes.