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Arcos trigonométricos notáveis

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Page 1: Arcos trigonométricos notáveis
Page 2: Arcos trigonométricos notáveis

Arcos trigonométricos notáveis

Os arcos trigonométricos com extremidades nos pontos A, B, A’ e B’ merecem uma atenção especial. Eles são chamados arcos notáveis.

Vamos analisar a expressão geral desses arcos. Para isso, usaremos a variável k, ou seja, k ∈ {0, ±1, ±2, ±3, …}.

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Arco de extremidade A

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas. Como uma volta equivale a 2π (ou 360º), sua expressão geral é:

2kπ ou k.360º

Page 4: Arcos trigonométricos notáveis

Arco de extremidade B

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas (2kπ ou k.360º) mais 1 quadrante (π/2 ou 90º). sua expressão geral é:

2kπ + π/2 ou k.360º + 90º

Page 5: Arcos trigonométricos notáveis

Arco de extremidade A’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas (2kπ ou k.360º) mais meia–volta (π ou 180º). sua expressão geral é:

2kπ + π ou k.360º + 180º

Page 6: Arcos trigonométricos notáveis

Arco de extremidade B’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de voltas (2kπ ou k.360º) mais 3 quadrantes (3π/2 ou 270º). sua expressão geral é:

2kπ + 3π/2 ou k.360º + 270º

Page 7: Arcos trigonométricos notáveis

Arco de extremidade A ou A’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de meias–voltas. Como meia–volta equivale a π (ou 180º). sua expressão geral é:

kπ ou k.180º

Page 8: Arcos trigonométricos notáveis

Arco de extremidade B ou B’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de meias–voltas (kπ ou k.180º), mais 1 quadrante (π/2 ou 90º). sua expressão geral é:

kπ + π/2 ou k.180º + 90º

Page 9: Arcos trigonométricos notáveis

Arco de extremidade A, B, A’ ou B’

O A

B

A’

B’

Equivale a um número inteiro de quadrantes. Como um quadrante equivale a π/2 (ou 90º). sua expressão geral é:

kπ/2 ou k.90º

Page 10: Arcos trigonométricos notáveis

Observação

Nas expressões gerais dos arcos notáveis, é importante observar:

2kπ (ou k.360º) indica um número inteiro de voltas (origem A);

kπ (ou k.180º) indica um número inteiro de meias–voltas (pontos A ou A’);

kπ/2 (ou k.90º) indica um número inteiro de quadrantes (pontos A, B, A’ ou B’).

Page 11: Arcos trigonométricos notáveis

Exemplos

Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é 2kπ – π/3.

O A

B

A’

B’ P

60º

2kπ indica um número inteiro de voltas.

Partimos do ponto A, percorremos 60º no sentido negativo.

Page 12: Arcos trigonométricos notáveis

P

Exemplos

Localizar, no ciclo trigonométrico, a(s) extremidade(s) do(s) arco(s) cuja expressão geral é k.90º + 30º.

A

B

A’

B’

30º

+

K.90º indica um número inteiro de quadrantes.

Partimos dos pontos A, B, A’ e B’, percorremos 30º no sentido positivo.

30º

30º

30º

+

+

+

Q

R

S

Page 13: Arcos trigonométricos notáveis

Exemplos

Na figura, P e Q estão alinhados com o ponto O. Obter, em graus e radianos, a expressão geral dos arcos de extremidades P ou Q.

P

A

B

A’

B’

+

70º

70º

+Q

O

Partimos dos pontos A ou A’, giramos 70º (ou 7π/18) no sentido positivo.

A expressão geral dos arcos em P ou Q é

k.180º + 70º ou kπ + 7π/18