مرجعمرجع

مفاھيم و روش ھای آماریمفاھيم و روش ھای آماری

تأليف تأليف باتاچاريا باتاچاريا . . گوری کی گوری کی جانسونجانسون. . ريچارد ای ريچارد ای

: : فھرست مطالب فھرست مطالب ـ مطالعه توصيفی داده ھا ـ مطالعه توصيفی داده ھا 11 ـ مبادی احتمال ـ مبادی احتمال 22 ـ متغيرھای تصادفی و توزيع ھای احتمال ـ متغيرھای تصادفی و توزيع ھای احتمال33 ـ توزيع ھای متغيرھای تصادفی گسسته ـ توزيع ھای متغيرھای تصادفی گسسته 44 ـ توزيع نرمال و نمونه ھای تصادفی ـ توزيع نرمال و نمونه ھای تصادفی 55

:ھدف فصل خالصه كردن و توضيح خصوصيات مھم

اين . مي نامند آمار توصيفي مجموعه دادھا را

مبحث مشتمل است بر فشرده كردن داده ھا در

قالب جداول ، نمايش آنھا به وسيله نمودار و

.محاسبه شاخصھاي عددي می باشد

:عناوين مھم فصل ـ مراحل اساسی توصيف مجموعه داده ھا1

ـ توزيع فراوانی 2

ـ نمادگزاری مجموعه ھای داده ھا و عمل جمع3

ـ معيارھای گرايش به مرکز4

. ـ معيارھای پراکندگی 5

ـ معيارھای توصيفی برای داده ھای گروه بندی شده 6

ـ آناليز ترکيبی 7

در فعاليتھاي متنوعي از قبيل تجربيات آزمايشگاھي ،

نظر خواھي از مردم و بررسي سندھاي تاريخي با فرآيند

زمين شناس . جمع آوري داده ھا سروكار داريم

حفاريھاي متعددي انجام مي دھد تا اندازه ھايي براي

. مطالعه ذخيره نفت در يك ساختار سنگي به دست آورد

مھندس برق تغيير آھنگ صدا را در تقويت كننده ھايي

. كه در مقياس وسيع توليد مي شوند ، تحقيق مي كند

جمعيت شناسي كه عالقه مند به مطالعه ساختار سني

جمعيت يك ناحيه است به نتايج سرشماري ھزاران نفر

.در آن ناحيه ، مراجعه مي كند

فرآيند جمع آوري داده ھا ھرچه باشد ، مجموعه

داده ھاي حاصل معموال متشكل از اندازه ھاي عددي

است كه از لحاظ پيچيدگي مي تواند از تعدادي ارقام تا

.صدھا و بلكه ھزارھا عدد را در بر داشته باشد

اندازه ھاي ثبت شده در مجموعه داده ھا ، اجزاي

اساسي اطالعاتي ھستند كه طبيعت به محقق منتقل مي

معھذا ، در مواجھه با تركيبات تعداد زيادي از . سازد

اندازه ھا ذھن انسان نمي تواند محتواي كلي اطالعات

.ثبت شده در مجموعه داده را فورا درك كند

خالصه كردن و توضيح خصوصيات مھم مجموعه

اين مبحث . مي نامند آمار توصيفي دادھا را معموال

مشتمل است بر فشرده كردن داده ھا در قالب جداول ،

نمايش آنھا به وسيله نمودار و محاسبه شاخصھاي عددي

.گرايش به مركز و تفرق می باشد

اين روش ھا انعطاف پذيرند و آنھا را ھم مي توان

در مواردي به كار برد كه مجموعه داده ھا به وسيله

نمونه گيري بخش كوچكي از جامعه به دست مي آيد و

تمام جامعه را ھم در مواردي كه مجموعه داده ھا تقريبا

) .مثال در سرشماريھا(شامل است

در حالت اول توصيف خالصه وار داده ھا معموال با

بررسي دقيقتر و تجزيه و تحليل بيشتري دنبال مي شود

.تا بتوان استنباطھايي درباره تمام جامعه به دست آورد

بعد از انجام يك آمارگيري ، يافته ھاي واقعي براي

انتشار در بين مردم اغلب به صورت گزارشھايي ارائه

مي شوند ، و نيز ممكن است اين نتايج پايه اطالعات

.براي ارزيابي تأثير برنامه ھاي پيشنھادي دولت باشند

: نمونه ھاي از اين گونه يافته ھا ، عبارت اند از

مقدار چوب موجود براي ساختن الوار يا تعداد افراد

جديدي كه در صورت تغيير محدوديتھاي سني ، بايد

. زير پوشش بيمه سراسري قرار گيرند

ھر مجموعه اي از داده ھا را بايد با توجه به اين

.نكات بررسي كرد

مراحل اساسي توصيف مجموعه داده ھا

خالصه كردن و توصيف الگوي كلي داده ھا به وسيله ) الف(

ارائه جداول و نمودارھا) يك (

بررسي كلي نمودار دادھا از لحاظ خصوصيات ) دو (

. مھم ، از جمله تقارن يا انحراف از تقارن

بررسي اجمالي نمودار داده ھا براي مالحظه ) سه (

مشاھدات غير منتظره اي كه به نظر مي رسد از توده اصلي

. داده ھا دورند

محاسبه معيارھاي عددي براي به دست آوردن ) ب(

يك مقدار نوعي يا معرف ، كه مركز داده ھا ) يك (

. را نشان دھد

.مقدار پراكندگي داده ھا ) دو (

توصيف داده ھا به وسيله نمودارھا و جداول

عمدتا دو نوع نمودار براي نشان داده مجموعه داده

ھا به كار مي روند كه عبارت اند از نمودار نقطه اي و

.بافت نگار

نمودار ھاي نقطه اي را وقتي به كار مي برند كه

تعداد مشاھدات نسبتا كم باشد ؛ بافت نگارھا براي حالتي

.كه تعداد مشاھدات زياد است ، به كار مي روند

نمودار نقطه اي

وقتي تعداد داده ھا كم است ، آنھا را ميتوان به وسيله

نمودار نقطه اي نشان داد و به اين ترتيب كه خطي رسم

مي كنيم و روي آن مقياسي كه حوزه اندازه ھا را در بر

گيرد ، در نظر مي گيريم و ھر يك از اندازه ھا را بر

روي اين خط به صورت نقطه پر رنگي مشخص مي

.نمودار حاصل ، نمودار نقطه اي خوانده مي شود . كنيم

توزيع فراواني

وقتي مجموعه داده ھا از تعداد زيادي اندازه تشكيل

. شده باشد ، رسم نمودار نقطه اي زحمت زيادي دارد

بعالوه ، تجمع زياد نقاط ممكن است باعث شود كه

نمودار نقطه اي جزئيات مربوط به قسمتھايي را كه در

.آنھا مشاھدات بشدت متمركزند ، بخوبي نشان ندھد

در چنين حاالتي مناسب است كه داده ھا را از طريق

گروه بندي مشاھدات نزديك به ھم خالصه كنيم و يك

. جدول فراواني ، تشكيل دھيم

: مراحل اصلي اين فرآيند در زير خالصه شده است

: مراحل تشكيل توزيع فراواني

پيدا كردن مقدار كمينه و بيشينه در مجموعه ) الف (

. داده ھا

انتخاب تعدادي زير فاصله يا خانه ھايي به طول ) ب (

مساوي ، به طوري كه دامنه مقادير بين بيشينه و كمينه

ھر يك از . را بدون داشتن فصل مشترك در بر گيرند

اين زير فاصله ھا را رده و دو سر ھر رده را مرزھاي

.آن رده مي نامند

ھر . شمارش تعداد مشاھدات موجود در ھر رده ) ج (

يك از اعداد حاصل از اين شمارش ھا را فراواني رده

. اي يا فراواني خانه اي مي نامند

تعيين فراواني نسبي ھر رده با تقسيم فراواني رده ) د (

:اي آن رده به تعداد كل مشاھدات

فراواني نسبي يك رده= تعداد كل مشاھدات فراواني رده اي

به اين ترتيب فراواني نسبي يك رده ، عبارت :نكته

است از نسبت تعداد مشاھدات موجود در آن رده به تعداد

.كل مشاھدات

از طريق انتخاب تعداد و موضع رده ھا عمدتا

تعداد رده ھا ، بسته به . آزمايش و خطا انجام مي شود

و 5تعداد مشاھدات موجود در مجموعه داده ھا ، بين

. تغيير مي كند 15

گروه بندي داده ھا در خانه ھا ، موجب مي شود كه

اطالعات مربوط به چگونگي توزيع مشاھدات در ھر خانه

اگر تعداد رده ھا را خيلي كم اختيار كنيم ، . از دست برود

موضوع از دست رفتن اطالعات در رده بندي داده ھا جدي

است و اگر تعداد رده ھا خيلي زياد و مجموعه داده ھا

مجموعه كوچكي باشد ، فراواني ھا از يك خانه به خانه ديگر

به طور مغشوشي كم و زياد مي گردند و ھيچ الگويي براي

. توزيع كلي داده ھا به دست نمي آيد

از اين رو در وھله اول مي توان تعداد رده ھا را

اين . زياد گرفت و فراواني ھاي آنھا را تعيين كرد

فواصل را بعدا مي توان به صورت مطلوبي تركيب كرد

.تا الگوي كلي توزيع داده ھا پديدار گردد

يك رقم اعشار اضافي براي مشخص كردن غالبا

مرزھاي رده ھا به كار مي رود تا ھيچ مشاھده اي

درست روي مرز قرار نگيرد و ابھامي در رده بندي داده

.ھا به وجود نيايد

براي ساده كردن عمل شمارش فراواني ھر خانه ،

در جدولي كه براي اين منظور تشكيل مي شود به ازاي

) مقابل آن(ھر مشاھده ، يك خط نشانه در خانه مناسبي

قرار مي دھند و سپس تعداد اين خطوط را در ھر خانه

.مي شمارند

به طريق ديگر مي توان با استفاده از كامپيوتر ، داده

ھا را از كوچكترين تا بزرگترين آنھا مرتب كرد و بعد

.فراواني ھر رده را شمارش نمود

بافت نگار فراواني نسبي

بعد از خالصه كردن مجموعه بزرگ داده ھا به

صورت توزيع فراواني ، مي توان آن را به وسيله بافت

نگار فراواني نسبي نشان داد ، كه يك نمايش بصري از

.الگوي توزيع است

بافت نگار فراواني نسبي

براي رسم بافت نگار فراواني نسبي ، رده ھا را

آنگاه روي . روي محور افقي نمودار مشخص مي كنيم

ھر رده ، مستطيلي عمودي رسم مي كنيم كه مساحت آن

. مساوي با فراواني نسبي آن رده باشد

ارتفاع مستطيل= طول رده فراواني نسبي رده

به اين ترتيب ، مساحت ھر يك از مستطيل ھاي بافت

نگار نشان دھنده نسبت مشاھدات موجود در رده اي است

بنابراين مجموع مساحت . كه مستطيل بر آن قرار دارد

.تمام مستطيل ھا در يك بافت نگار برابر با يك است

براي نمايش فراواني ھاي نسبي ، استفاده از مساحت

به . مستطيل ھا به جاي ارتفاع آنھا فايده آشكاري دارد

نظر مي رسد كه در موقع مقايسه كردن دو قسمت يك

بافت نگار ، يا دو بافت نگار مختلف ، چشم انسان به

.طور غريزي مساحت ھا را با ھم مقايسه مي كند

وقتي دو بافت نگار روي رده ھايي با طول ھاي

متفاوت بنا شده باشند ، اين خاصيت كه مساحت كل برابر

.با يك است ، آنھا را قابل مقايسه با ھم مي سازد

ھرگاه داده ھا در دامنه وسيعي به اين صورت پراكنده

شده باشند كه تعداد زيادي از آنھا در بخش كوچكي از

كمي از آنھا در جاھاي ديگر دامنه دامنه و تعداد نسبتا

واقع باشند ، قاعده مساوي گرفتن طول رده ھا نامناسب

.است

استفاده از فواصل كوچكتر در جاھايي كه داده ھا

شديدا متمركزند ، و فواصل بزرگتر در جاھايي كه داده

ھا متفرق اند ، باعث مي شود كه اطالعات كمتري در

.نتيجه گروه بندي از بين برود

در گزارش ھاي رسمي ، جدول بندي داده ھايي از

قبيل درآمد ، سن و ساير خصوصيات ، معموال با رده

در حالتي كه ھمه رده . ھاي غير مساوي انجام مي شود

ھا با ھم مساوي نيستند ، بافت نگار را بايد طوري رسم

كرد كه مساحت مستطيل ھا نشان دھنده فراواني ھاي

.نسبي باشند ، تا الگوي صحيح توزيع نشان داده شود

نمودار خطي فراواني نسبي

گاھي داده ھا به جاي آنكه مربوط به كميات پيوسته

اي باشند ، اندازه ھاي ناشي از شمارش اند ، مانند تعداد

.فرزندان خانواده ھا يا تعداد حوادث رانندگي در روز

چنانچه تعداد مقادير متمايز در چنين مجموعه اي از

داده ھا خيلي زياد نباشد ، براي ساختن توزيع فراواني ،

به جاي آنكه رده ھا را به صورت فواصل در نظر

. بگيريم ، ھر مقدار به عنوان يك رده به كار مي رود

سپس داده ھا به صورت نمودار خطي فراواني نسبي

.نمايش داده مي شوند

نمودار خطي فراواني نسبي

مقادير متمايز را به صورت نقاطي روي محور افقي

مشخص مي كنيم و سپس از نقاط حاصل ، خط ھايي

عمود بر محور رسم مي كنيم كه ارتفاع ھر يك برابر با

. فراواني نسبي مقدار مربوطه باشد

در اين حالت ، خطوط جايگزين مستطيل ھا مي شوند

روي تا بر اين موضوع تأكيد شود كه فراواني ھا واقعا

ھمچنين مي توان بافت نگار را . فاصله ھا پخش نشده اند

با ترسيم مستطيل ھايي كه وسط قاعده پاييني آنھا بر

مقادير متمايز واقع باشند ، رسم كرد ، با اين شرط كه

فراواني ھاي نسبي را براي اين نقاط وسط در نظر

.بگيريم

اگرچه ھر دو نمودار خطي و مستطيلي را براي داده

ھاي شمارشي مي توان به كار برد ولي ھيچوقت نبايد

براي نمايش داده ھاي پيوسته از نمودار خطي استفاده

.كرد

خانواده به 25تحقيقي در مورد تعداد فرزندان : مثال

عمل آمده ، توزيع فراواني به دست آمده در جدول

. زير نشان داده شده است

..

مجموع 25 1.00

012345

14

10622

0.04 =25 /10.16 =25 /40.40 =25 /10

0.24 =25 /60.08 =25 /20.08 =25 /2

تعداد فرزندان فراواني فراواني نسبي

نمودار خطي در مورد توزيع فراواني تعداد

خانواده در شكل زير مشاھده 25فرزندان

. مي شود

.

نماد گذاري مجموعه ھاي داده ھا و عمل جمع

روش ھاي نموداري كه شرح آن گذشت به ما كمك

مي كنند كه تجسمي از الگوي مجموعه داده ھا به دست

براي اينكه داده ھا را به طور عيني تري . آوريم

توصيف كنيم و مجموعه ھاي داده ھا را با ھم مقايسه

نماييم ، بايد قدم ديگري برداريم و براي خصوصيات

مھمي نظير مكان مركز داده ھا و ميزان تفرق داده ھا ،

.معيارھاي عددي به دست دھيم

چون معموال داده ھا به وسيله نمونه گيري از جامعه

بزرگي به دست مي آيند ، بحث ما در مورد معيارھاي

عددي محدود به داده ھايي است كه از نمونه گيري ناشي

.مي شوند

معھذا ، وقتي جامعه متناھي باشد و كامال نمونه

برداري گردد ، با انجام عمليات حسابي مشابھي مي توان

.معيارھاي عددي را براي جامعه به دست آورد

براي اينكه ايده ھا و فرمول ھاي مربوطه بھتر

عرضه شوند ، مجموعه داده ھا را به وسيله نمادھايي

نشان مي دھيم كه بحث ما محدود به مجموعه مشخصي

.از اعداد نباشد

مجموعه داده ھا متشكل از تعدادي اندازه است كه به

. طور نمادي به صورت نشان داده مي شوند

مربوط به ، نشان دھنده تعداد ( ) آخرين زيرنويس

داده ھاست ، و به ترتيب نشان دھنده اولين

.مشاھده ، دومين مشاھده ، و الي آخر ، ھستند

12 ,,, xxxn

nnx

12 ,, xx

در مطالعه آمار ، ھمه جا با عمل جمع كردن داده ھا

يا اعداد ديگري كه با استفاده از داده ھا به دست مي آيند

براي اجتناب از نوشتن مكرر عالمت . ، سروكار داريم

را به عنوان ) حرف بزرگ يوناني سيگما(، نماد (+)

.اختصار رياضي براي عمل جمع به كار مي بريم

( ) نماد جمع

نماد نشان دھنده مجموع عدد است

مجموع تمام «: اين نماد به اين صورت خوانده مي شود

». تا تغيير مي كند 1 ھا ، كه از

n

n

12 ,,, xxxn

ixi

nn

ii xxxx

21

1

n

iix

1

جمله اي كه بعد از نماد نوشته مي شود ، نشان

دھنده مقاديري است كه بايد جمع شوند ، و نمادھاي پايين

. و باالي دامنه زيرنويس را معين مي كنند

در اينجا چند خاصيت اصلي نماد جمع را براي استفاده

.ھاي بعدي ذكر مي كنيم

i

بعضي از خواص اصلي جمع

: اگر و اعداد ثابتي باشند ، داريم

ab

n

ii

n

ii xbbx

11

naxbabxn

ii

n

ii

11)(

2

11

2

1

2 2)( naxaxaxn

ii

n

ii

n

ii

معيارھاي گرايش به مركز

شايد مھمترين نكته در مطالعه توزيع يك نمونه از

اندازه ھا ، تعيين يك مقدار مركزي باشد ، يعني ، يك

.مقدار نماينده كه اندازه ھا در اطراف آن توزيع شده اند

ھر معيار عددي را كه معرف مركز مجموعه داده ھا

دو تا از . باشد ، معيار گرايش به مركز مي نامند

متداولترين معيارھاي گرايش به مركز عبارت اند از

.ميانگين و ميانه

مركب از اندازه متوسط نمونه اي يا ميانگين

، عبارت است از خارج قسمت مجموع اين

ميانگين را با نشان مي دھند كه در . اندازه ھا بر

:عمليات ، به صورت زير نوشته مي شود

n

12 ,,, xxxn

n

x

n

x

x

n

ii

1

بر مي آيد ، » متوسط« ھمانطور كه از مفھوم

اگر . ميانگين ، مركز مجموعه داده ھا را نمايش مي دھد

نمودار نقطه اي مجموعه داده ھا را اين طور تجسم كنيم

كه روي ميله افقي نازكي ، گويھاي ھم اندازه اي در

محل داده ھا قرار دارند ، آنگاه ، ميانگين نشان دھنده

نقطه اي است كه اين ميله در آن نقطه به حال تعادل در

.مي آيد

x

مركب از اندازه ، ميانه نمونه اي

عبارت است از اندازه وسطي ، در صورتي كه اندازه ھا

را به ترتيب از كوچكترين به بزرگترين مقدار مرتب

.كرده باشيم

n12 ,,, xxxn

اگر عدد فردي باشد ، يك مقدار وسطي منحصر به

اگر زوج باشد دو . فرد وجود دارد كه ميانه است

مقدار وسطي وجود دارند كه متوسط آنھا به عنوان ميانه

.تعريف مي شود

n

n

اجماال مي توان گفت كه ، ميانه مقداري است كه

به . دسته داده ھا را به دو نيمه مساوي تقسيم مي كند

در % 50داده ھا در زير ميانه و % 50 عبارت ديگر ،

.باالي ميانه قرار مي گيرند

توجه به اين نكته الزامي است كه وجود معدودي

مشاھده خيلي بزرگ يا خيلي كوچك ، در ميانه تأثيري

ندارد ، در حالي كه وجود اين گونه مقادير فرين در

.ميانگين اثر قابل مالحظه اي دارد

به نظر مي رسد براي توزيع ھايي كه خيلي نامتقارن

ھستند ، ميانه معيار معقولتري از گرايش به مركز است

به اين دليل در گزارشھاي دولتي راجع به . تا ميانگين

توزيع درآمد ، به جاي ميانگين ، ميانه درآمدھا را ذكر

.مي كنند

وقتي توزيع خيلي نامتقارن نيست ، ميانگين به ميانه

ترجيح داده مي شود و خيلي بيشتر از ميانه به كار مي

رود ، زيرا در روش ھاي استنباطي ، ميانگين از لحاظ

.نظري داراي امتيازاتي است كه ميانه فاقد آنھاست

مثال بيشتر از ( اگر تعداد مشاھدات خيلي زياد باشد

، گاھي مفيد است كه مفھوم ميانه را تعميم ) 30 يا 25

دھيم و مجموعه داده ھاي مرتب شده را به چھار قسمت

درست ھمانطور كه نقطه تقسيم داده ھا به . تقسيم كنيم

دو نيمه ، ميانه خوانده شد ، نقاط تقسيم داده ھا به چھار

.قسمت را چارك مي نامند

معھذا ، به جاي اينكه بحث را محدود به تقسيم چھار

قسمتي كنيم ، داده ھا را به قسمت ھاي زيادتري تقسيم ،

توجه داشته باشيد كه ھر . و صدك را تعريف مي كنيم

.بيان كرد % 100كسر را مي توان به صورت

pp

ام نمونه ، مقداري است كه وقتي ) 100( صدك

داده ھا از كوچكترين تا بزرگترين مقدار مرتب شدند ،

از مشاھدات منطبق بر اين مقدار يا در % 100حداقل

از % 100)1 -( آن و حداقل ) زير(سمت چپ

) باالي(مشاھدات منطبق بر اين مقدار يا در سمت راست

. آن باشند

ام و 50 ام ، 25واضح است كه چاركھا ، صدك ھاي

. ام ھستند 75

p

p

p

چارك ھاي نمونه

= ام 25كوچكتر صدك ) اول ( چارك

= ام 50صدك ) يا ميانه ( چارك دوم

= ام 75بزرگتر صدك ) سوم ( چارك

2Q

3Q

1Q

بر طبق قرارداد ، مقداري را كه به عنوان صدك

نمونه به دست مي آيد ، قابل قبول مي دانيم مگر آنكه دو

مقدار مجاور در تعريف صدك صدق كنند ، كه در اين

صورت متوسط آنھا را به عنوان صدك در نظر مي

اين امر ، مشابه است با تعريف ميانه در حالتي .گيريم

.كه حجم نمونه يك عدد زوج است

موقعي كه تمام مقادير نمونه يك فاصله در تعريف

صدك صدق مي كنند ، اگر مجموع داده ھا بزرگ باشد ،

قراردادي كه براي تعيين نقطه اي از اين فاصله به

عنوان صدك به كار مي رود ، تأثير محسوسي در نتيجه

ندارد و شايد فقط در مورد تعيين صدك ھاي فرين

ام 95آنھايي كه قبل از صدك پنجم يا بعد از صدك (

.نوع قرارداد مطرح باشد ) ھستند

قبل از خاتمه اين بحث ، به معرفي دو معيار گرايش

به مركز ديگر مي پردازيم كه مركز داده ھا را بھتر

ميانگين : اين دو عبارت اند از . توصيف مي كنند

پيراسته و ميانگين وينزوري ، كه در سالھاي اخير

.اھميت پيدا كرده اند

در نظر داشته باشيد كه حتي معدودي مشاھده كه به

طور غير عادي بزرگ يا كوچك باشند ، مي توانند بر

حال آنكه ميانه ، بعد از آنكه . ميانگين نمونه اثر بگذارند

داده ھا مرتب شدند ، به جز با يك يا دو مقدار وسطي ،

ميانگينھاي پيراسته و وينزوري را . با بقيه كاري ندارد

. مي توان تلفيقي از ميانگين نمونه و ميانه نمونه دانست

طرز به دست آوردن ميانگين نمونه پيراسته

تمام مشاھدات كوچكتر از چارك اول را بر ) الف (

. مي داريم

. تمام مشاھدات بزرگتر از چارك سوم را بر مي داريم

.ميانگين مشاھدات باقيمانده را حساب مي كنيم ) ب (

طرز به دست آوردن ميانگين نمونه وينزوري

به جاي ھر يك از مشاھدات كوچكتر از چارك ) الف (

به جاي ھر يك از . اول مقدار چارك اول را مي گذاريم

مشاھدات بزرگتر از چارك سوم ، مقدار چارك سوم را

.بقيه مشاھدات را تغييري نمي دھيم . مي گذاريم

پس از اين اصالحات ، ميانگين تمام مشاھدات ) ب (

. را ، محاسبه مي كنيم

وجود معدودي مشاھده غير معمول يا اشتباه انگيز

كه خيلي كوچك يا خيلي بزرگ باشند ، تأثيري در نمونه

معيار . پيراسته و ميانگين نمونه وينزوري نمي گذارد

اولي ، مشاھداتي كه كمتر از چارك اول يا بيشتر از

؛ معيار دومي قبل » كنار مي گذارد « چارك سوم ھستند

از متوسط گيري ، اين مشاھدات را با چاركھاي متناظر

.جايگزين مي كند

مي بينيم كه در توزيع ھاي متقارن ، اين دو معيار

به خوبي ميانگين نمونه ھستند ، ولي در صورت تقريبا

وجود مقادير غير منتظره ، ھر دو از ميانگين نمونه

وقتي منحني توزيع يك دنباله كشيده داشته باشد ، . بھترند

اين معيارھا ، به جاي ميانگين و ميانه ، به عنوان

.معيارھاي گرايش به مركز به كار مي روند

معيارھاي پراكندگي

عالوه بر تعيين مكان مركز داده ھا ، جنبه مھمي از مطالعه

توصيفي داده ھا اندازه گيري عددي ميزان پراكندگي داده ھا

دو مجموعه از داده ھا ممكن است داراي . حول مركز است

مركز يكساني باشند ولي از نظر پراكندگي به اندازه قابل

در اين بخش ، چند معيار . توجھي با ھم متفاوت باشند

عددي ارائه مي دھيم كه انجام مقايسه عيني بين ميزان

پراكندگي در مجموعه ھاي داده ھاي مختلف را تسھيل

. مي كنند

يك معيار گرايش به ( ) از آنجا كه ميانگين نمونه

مركز است ، اختالف داده ھا نسبت به مركز بر حسب

تفاضل ھاي نشان داده مي شود ،

، يا به عبارت انحراف از ميانگين كه ھر يك از آنھا را

.مي نامند انحراف ساده تر

x

)(),(,),( 12 xxxxxxn

به منظور يافتن شاخصي براي كل اختالف ھا ، يك

راه اين است كه متوسط اين انحراف ھا را در نظر

:لكن ، با توجه به داريم . بگيريم

xnxn

ii

1

0)(11

xnxnxnxxxn

ii

n

ii

اين . بنابراين متوسط انحراف ھا ھميشه صفر است

خاصيت از اين امر ناشي مي شود كه بعضي انحراف ھا

مثبت و انحراف ھاي ديگر منفي اند ، و مجموع انحراف

مجموع انحراف ھاي منفي را خنثي ھاي مثبت دقيقا

.مي كند

بنابراين در فرموله كردن يك معيار عددي براي

پراكندگي ، بايد عالمتھاي منفي را قبل از متوسط گيري

با مربع كردن يك عدد منفي ، عالمت آن . حذف كنيم

واريانس مثبت مي شود و به اين ترتيب معياري به نام

بر مبناي متوسط گيري از انحراف ھاي مربع شدهنمونه

. ، به دست مي آيد

21

22

2 )(,)(,,)( xxxxxxn

در ( به اين نكته توجه كنيد كه اگر مقدار انحراف

معلوم باشد ، خود به خود انحراف ) بين انحراف

باقيمانده معين مي شود ، زيرا مجموع انحراف بايد

.صفر گردد

1n

n

n

مركب از اندازه نمونه اي ( ) واريانس

:به صورت زير تعريف مي شود

2Sn12 ,,, xxxn

1

)(1

2

2

n

xx

S

n

ii

روشي كه براي محاسبه ، پيشنھاد مي شود ،

مربع كردن ھمه انحراف ھا و به دست : عبارت است از

آوردن مقادير ، جمع كردن اين مقادير با ھم ، و

. تقسيم كردن مجموع آنھا به

2S

2)( xxi

1n

با استفاده از خواص نماد جمع كه قبال مورد بحث

:قرار گرفت ، داريم

n

iii

n

ii xxxxxx

1

22

1

2 )2()(

2

11

2 2 xnxxxn

ii

n

ii

22

1

2 2 xnxnxn

ii

2

1

2 xnxn

ii

اين رابطه فرمول مناسب ديگري براي محاسبه واريانس

با توجه به . با ماشين حساب الكترونيكي به ما مي دھد

: رابطه باال داريم

11

2

2

n

xnx

S

n

ii

چون در محاسبه واريانس از مجموع توان ھاي دوم

استفاده مي شود ، واحد آن ، توان دوم واحدي است كه

براي يافتن يك معيار . اندازه ھا با آن بيان شده اند

پراكندگي كه واحد آن ھمان واحد داده ھا باشد ، از

انحراف معيار واريانس جذر مثبت گرفته ، آن را

. مي ناميم

انحراف معيار به جاي واريانس به عنوان يك معيار

. پايه اي براي پراكندگي به كار مي رود

:عبارت است از انحراف معيار نمونه

1

)(1

2

n

xx

S

n

ii

را به اين صورت ساده تعبير مي كنيم ( ) ميانگين

كه نقطه تعادل مجموعه اندازه ھاست ولي بر خالف

تعبير چندان روشن و ساده ( ) ميانگين ، انحراف معيار

در مقايسه دو مجموعه داده ھا با يكديگر ، . اي ندارد

بيشتر بودن مقدار در يكي از اين مجموعه ھا ، حاكي

از وجود پراكندگي بيشتري در آن مجموعه داده ھا نسبت

.به مجموعه ديگر است

x

S

S

معھذا ، در مورد يك مجموعه از داده ھا ، معناي

مقدار عددي در رابطه با پراكندگي نقاط ، اين قدر

نتايج به دست آمده به وسيله رياضيدان . واضح نيست

روسي چبيشف رابطه اي بين مقدار و نسبت ھاي تعداد

داده ھا در فاصله ھاي اطراف ميانگين ، به دست مي

.اين نتيجه را بدون اثبات در زير بيان مي كنيم . دھد

S

S

قاعده چبيشف

: براي ھر مجموعه اي از داده ھا

فاصله تا شامل حداقل ) الف (

. از داده ھاست

فاصله تا شامل حداقل ) ب (

. از داده ھاست

به طور كلي به ازاي ھر ضريب ، فاصله ) ج (

. تا شامل حداقل از داده ھاست

Sx 2Sx 243)

2

11( 2

Sx 3Sx 398)

3

11( 2

1k

kSx kSx )11( 2k

قاعده چبيشف تضمين مي كند كه ھر فاصله اي به

مركز و به طول ، شامل نسبت كمينه اي از داده

البته ، در ھر حالتي ، نسبت واقعي داده ھاي . ھاست

موجود در ھر فاصله ، ممكن است به مقدار قابل مالحظه

.اي بزرگتر باشد

xkS2

معيار ديگري براي پراكندگي كه گاھي اوقات به كار

: مي رود ، عبارت است از دامنه نمونه

دامنه نمونه = بزرگترين مشاھده –كوچكترين مشاھده

دامنه ، طول فاصله اي است كه مشاھدات در آن

.پخش شده اند

دامنه نمونه ، به عنوان معياري براي پراكندگي ، دو

محاسبه و تعبير آن فوق العاده : ويژگي جالب توجه دارد

معھذا ، داراي اين اشكال جدي است كه . ساده است

وجود مشاھده اي بسيار بزرگ يا بسيار كوچك در

بعالوه ، . مجموعه داده ھا ، خيلي بر آن اثر مي گذارد

اين معيار اطالعي از پراكندگي نقاط مياني به ما نمي

8دامنه را اغلب در مواقعي كه حجم نمونه از . دھد

.كوچكتر باشد به كار مي برند

براي حل مشكل استفاده از اين معيار كه ممكن است

بر اثر وجود يك يا دو مشاھده غير معمول و دور از

انتظار يك مقدار غير معمولي را اختيار كند ، اصالحي

به عمل مي آيد و فاصله بين چارك ھاي اول و سوم

. محاسبه مي شود

دامنه ميان چاركي نمونه= چارك سوم –چارك اول

دامنه ميان چاركي نمونه ، طول فاصله اي را كه

نيمه مركزي مشاھدات در بر دارد ، به دست مي دھد ،

وجود تعدادي مشاھده خيلي بزرگ يا خيلي كوچك ، در

امروزه در گزارشھاي . اين معيار اثري نمي گذارد

دولتي راجع به درآمد و ديگر توزيع ھايي كه داراي

دنباله كشيده در يك جھت ھستند ، دامنه ميان چاركي

نمونه ، به عنوان يك معيار پراكندگي ، بر واريانس

.رجحان داده مي شود

تذكراتي درباره انتخاب معيارھاي عددي

تا اينجا معيارھاي عددي متعددي براي توصيف

معيارھاي گوناگون . اختصاري داده ھا معرفي شده اند

ھر كدام بر يك ويژگي از ) يا پراكندگي(گرايش به مركز

اين معيارھا ، معموال . شكل توزيع مشاھدات تأكيد دارند

در اينجا طبيعي . مقادير عددي متفاوتي به دست مي دھند

است كه پرسيده شود چه معيارھايي را براي توصيف

مركز و تغييرات يك مجموعه از داده ھا بايد انتخاب

كرد ؟

در انتخاب معيار مناسب ، توجه به نكات زير مفيد

:است

منظوري كه از توصيف اختصاري داده ھا ) الف (

. داريم

. سادگي تعبير ) ب (

.درجه تأثير ناپذيري از مشاھدات غير منتظره ) ج (

.ميزان بالقوه كاربرد در فرآيند استنباط آماري ) د (

در ھنگام به كار بردن معياري براي معرفي خالصه

بر اين . داده ھا ، بايد شكل كلي توزيع را در نظر داشت

:اساس ، نتايج كلي زير را مي توان بيان كرد

ارائه نموداري براي نمايش شكل كلي داده ھا ) الف (

. يكي از مراحل اساسي توصيف اختصاري داده ھاست ،

اگر با توجه به ھدفي كه از توصيف اختصاري ) ب (

داده ھا داريم ، معيارھاي گوناگوني به صورت رقيب

يكديگر موجود باشند ، بھتر است به جاي استفاده دلخواه

. از يك معيار ، ھمه آنھا را به كار بريم

در تعبير معيارھاي توصيفي ، شكل كلي توزيع ) ج (

. داده ھا را ھميشه بايد در نظر داشت

ھر يك از مقادير مشاھدات غير عادي را بايد به ) د (

.صورت پانوشت در صفحه گزارش ذكر كرد

معيارھاي توصيفي براي داده ھاي گروه بندي شده

وقتي كه مجموعه داده ھا از تعداد زيادي اندازه تشكيل

شده است ، توزيع فراواني ، اطالعات موجود در داده ھا

ھمچنين مي توان . را به صورت فشرده به دست مي دھند

از اين توزيع براي محاسبه تقريبي مقادير معيارھاي

.توصيفي استفاده كرد

بايد به خاطر داشت كه با رده بندي داده ھا ، مقداري

انجام محاسبات بر . از اطالعات را از دست مي دھيم

مبناي داده ھاي گروه بندي شده از لحاظ رياضي آسانتر

ولي دقت اين گونه محاسبات كمتر از محاسباتي . است

.است كه بر مبناي مجموعه كامل داده ھا انجام مي گيرد

اگرچه مزيت محاسباتي داده ھاي گروه بندي شده

كمتر شده است ، ولي اين گونه محاسبات ھنوز ھم مفيد

ھستند ، زيرا داده ھاي اوليه اغلب به شكل جداول

مثال در . فراواني با رده ھاي معين داده مي شوند

پرسشنامه ھايي كه از طرف دستگاه ھاي دولتي توزيع

مي شود ، از مردم مي خواھند سن يا درآمدشان را با

عالمت گذاري در خانه ھايي كه به وسيله فاصله سن يا

.فاصله درآمد مشخص مي شوند گزارش دھند

ميانگين نمونه گروه بندي شده

اگر توزيع فراواني داراي رده باشد و نقاط وسط

رده ھا و فراواني ھاي متناظر

: باشند ، آنگاه

) ميانگين گروه بندي شده (

)فراواني نقطه وسط( كل فراواني

k

12 ,,, mmmk 12,,, fffk

n

fm

x

k

iii

1

اگرچه عالمت را ھم براي ميانگين داده ھاي گروه

بندي شده و ھم براي ميانگين داده ھاي گروه بندي نشده

به كار برديم ، بايد توجه داشت كه مقادير عددي در

.دو حالت ، فقط اندكي تفاوت دارند

x

x

براي محاسبه واريانس ، باز فرض مي كنيم كه تمام

. مشاھدات يك رده در نقطه وسط آن رده قرار گرفته اند

: آنگاه مربعات انحراف از ميانگين عبارت اند از

، كه ھر كدام به ترتيب با

.فراواني ھاي تكرار مي شوند

21

22

2 )(,)(,,)( xmxmxmk

12,,, fffk

: پس مجموع مربعات انحراف از ميانگين برابر است با

كه وقتي بر تقسيم مي شود ، واريانس نمونه ، ،

چون كل فراواني ، يعني ، براي داده . به دست مي آيد

ھاي گروه بندي شده معموال عدد بزرگي است ، حاصل

تقسيم مجموع مربعات انحراف از ميانگين بر ، با

.حاصل تقسيم آن بر تقريبا برابر است

k

iii fxm

1

2)(

1n

1n

2S

n

n

: عبارت است از واريانس نمونه گروه بندي شده

n

fxm

S

k

iii

1

2

2)(

ھمان طور كه در مورد فرمول واريانس نمونه براي

داده ھاي گروه بندي نشده ديديم ، مي توان با بسط

و جمع ھمه جمالت حاصل با يكديگر ، فرمول

به ) در مورد داده ھاي گروه بندي شده(ديگري براي

.دست آورد

2)( xmi

2S

: فرمول ديگري براي واريانس نمونه گروه بندي شده

)براي محاسبات دستي (

21

2

2 xn

fm

S

k

iii

آناليز ترکيبی

مقصود از آناليز ترکيبی ، دسته بندی اشياء يا اعداد

يا حروف و يا انسان ھا به گروه ھای چند تايی است که

بر طبق قراردادھای خاصی از لحاظ جنس و نوع يا

. قرار گرفتن اشياء نزد يکديگر تفاوت داشته باشند

:اصل شمارش ) 1

اگر در انجام فرآيندي الزم باشد پديده ھاي ديگري را

تجربه كنيم و دسترسي به ھر پديده راھھاي مختلفي داشته

. باشد ، گوييم اصل شمارش را دنبال مي نمايد

تكنيك آن از ضرب كليه راھھا در يكديگر انجام مي

. شود knnn 21BBBBA kn

knn 21

21

داوطلبي به پنج سؤال سه گزينه اي پاسخ : مثال

به چند طريق سؤاالت پاسخ داده خواھند . مي دھد

شد ؟

5333333

در راستاي اصل شمارش مي توانيم : نكته

. تكنيك درختي را مورد توجه قرار دھيم

بدين صورت كه برخالف عمل ضرب عمل

.جمع را دنبال مي كند

كوھنوردي براي صعود به قله كوھي كه : مثال

مسير دارد تصميمات زير را در جھت رفت و 12

به چند طريق مي تواند به قله . برگشت مي گيرد

كوه صعود كند و برگردد؟

از راھي كه رفته است حق بازگشت داشته از راھي كه رفته است حق بازگشت داشته ) ) الف الف

. . باشد باشد

از راھي كه رفته است حق بازگشت نداشته از راھي كه رفته است حق بازگشت نداشته ) ) ب ب

. . باشد باشد

1441212

1321112

. تومان شرط بندي مي كند 2شخصي با : مثال

بدين صورت كه اگر برنده شود يك تومان بگيرد و

4اين شخص . اگر بازنده شود يك تومان بدھد

نوبت بازي مي كند نتايج زير را در پايان بازي

: چھارم براي او مشخص كنيد

مرحله 4. تومان برنده شود 2) الف

مرحله2. تومان بازنده شود 2) ب

مرحله5. نه ببرد و نه ببازد ) ج

اصل جايگشت) 2

كليه آرايشھاي ممكن از شيء را اصل

جايگشت مي گويند كه در حالت كلي در قالب

. فاكتوريل بيان مي شود

n

دانشجوي دانشگاه پيام نور براي 5: مثال

سوار شدن به سرويس خود معموال در يك صف

كنار يكديگر مي ايستند به چند طريق آرايشھا

صورت مي گيرد ؟120!5

اگر در مثال قبل دو نفر به داليلي عالقه مند

نباشند كنار يكديگر بايستند به چند طريق آرايشھاي

نفره شكل مي گيرد ؟ 5

. نفر بخواھند كنار ھم باشند 2 حالتھايي كه

48!2!4

7248120

اصل ترتيب) 3

اگر در انتخاب شيء از شيء نظمي ديده

شود و نظاير خاصي مورد توجه قرار بگيرد اصل

نماد و تكنيك آن . ترتيب شكل خواھد گرفت

:بصورت زير است )!(

!kn

nAkn

kn

يك دانشجوي پيام نور رشته رياضي از : مثال

يك نمايشگاه كتاب سه كتاب رياضيات ، آمار و

جغرافيا خريداري مي كند و برحسب عالقه كه

چه كتابي روي كتاب ديگري باشد دو كتاب

به چند . انتخاب و در قفسه اي قرار مي دھد

طريق انتخابھا صورت مي گيرد ؟ 6

)!23(!32

3

A

اصل تركيب ) 4

اگر در انتخاب شيء از شيء ھيچ نظم و

ترتيب و يا نظاير آن مورد توجه نباشد ، اصل

نماد و تكنيك آن به . تركيب را دنبال مي كنيم

: صورت زير است )!(!

!knk

nkn

Ckn

kn

كتاب از 2اگر در مثال قبل صرفا انتخاب : مثال

كتاب مورد توجه باشد در اينصورت به چند 3

طريق كتابھا در قفسه قرار مي گيرند ؟

3!1!2

!323

C

در يك انجمن شھري دو پست خالي وجود : مثال

مرد 5 زن و 4براي تكميل اين دو پست . دارد

خود را كانديد مي نمايند به چند طريق اين دو پست

:تكميل مي شود

.فرقي در جنسيت نباشد ) الف

يك پست براي خانمھا و يك پست براي ) ب

. آقايان منظور شود

. فقط از طريق آقايان تكميل شود ) ج

. فقط توسط خانمھا اين دو پست تكميل شود ) د

: : حل حل

) ) بب) ) الف الف

) ) دد) ) ج ج

36!7!2

!929

C

10!3!2

!525

C

2014

15 CC

6!2!2

!424

C

در راستاي اصل تركيب مي توانيم به تركيب : نكته

تكنيك و نماد آن به . تعميم يافته شده توجه كنيم

: صورت زير است

در حاليكه ھا از يكديگر

.متمايزند

!!!!

2121 kk nnnn

nnnn

nnnn k 21

10مدرس درس آمار عالقه مند است : مثال

نفر از دانشجويان خود را به صرف ناھار به يك

پرس 4در اين رستوران . رستوران دعوت كند

پرس جوجه كباب 4 پرس چلو كباب و 2شيشليك ،

وجود دارد به چند طريق اين دانشجويان مي توانند

ناھار بخورند ؟3150

!4!2!4!10

4,2,410

: ھدف فصل

در علم احتمال ، به عملی که برای جمع آوری داده ھا

صورت می پذيرد ، آزمايش گوييم و اگر نتيجه اين

آزمايش را از پيش نتوان به طور قطع معين کرد ، آن

مجموعه ھمه نتايج . را آزمايش تصادفی می ناميم

ممکن يک آزمايش تصادفی ، فضای نمونه ای آن

در اين فصل به تشريح کامل مطالب . ناميده می شود

. فوق می پردازيم

: عناوين مھم فصل

ـ فضای نمونه 1

. ـ پيشامد 2

ـ فضاھای گسسته و پيوسته 3

ـ احتماالت شرطی و تام4

ـ قضيه بيز5

فضاي نمونه) 1

كليه نتايج ممكن در انجام يك آزمايش را

.فضاي نمونه مي گويند

سكه اي را يك بار و در حالت بعد دو بار و : مثال

فضاي نمونه را . در نھايت سه بار پرتاب مي كنيم

. براي سه حالت بنويسيد

:تعداد اعضاء

THS ,1

THHTTTHHS ,,,2

HTTTTHTHTTTTHHHTHHHHTHTHS ,,,,,,,3

n2

آيا ھر فضاي نمونه بايد متناھي : سؤال

. با مثال بيان كنيد . باشد يا نامتناھي

اگر تعداد از اول مشخص باشد : جواب

. فضاي نمونه متناھي است

اگر تكرار از اول مشخص نباشد فضاي

.نمونه نامتناھي است

پيشامد) 2

ھر زير مجموعه از فضاي نمونه را پيشامد

يا كه معموال با نمادھاي . گويند

با توجه به دو تعريف فوق. معرفي مي كنند

مي توانيم ارزش وقوع يك پيشامد را در قالب نماد

: زير داشته باشيم

)(EPحالت مساعد حالت ممكن

,, 21 EE

,, BA

:خواص زير را داريم

) 1

2(عدم وقوع وقوع

) 3

) 4

1)(0 EP

)(1)( EPEP

1)( SP

0)( P

از آنجايي كه فضا مي تواند گسسته از آنجايي كه فضا مي تواند گسسته : : نكته نكته

يا پيوسته باشد نمادھاي اختصاصي را يا پيوسته باشد نمادھاي اختصاصي را

. . مي توانيم براي داشته باشيم مي توانيم براي داشته باشيم )(EP

: : فضاي گسسته فضاي گسسته ) ) 11

سكه را مورد توجه سكه را مورد توجه 33آزمايش پرتاب آزمايش پرتاب : : مثال مثال

احتمال پيشامدھاي زير را براي احتمال پيشامدھاي زير را براي . . قرار مي دھيم قرار مي دھيم

..آن بنويسيد آن بنويسيد

)()()(

SnEnEP

. . دقيقا دو شير داشته باشيم دقيقا دو شير داشته باشيم ) ) الف الف

. . شير داشته باشيم شير داشته باشيم 22حداقل حداقل ) ) ب ب

. . شير داشته باشيم شير داشته باشيم 22حداكثر حداكثر ) ) ج ج

: حل

) الف

) ب

) ج

83

)()()( 1

1 SnEnEP THHHTHHHTE ,,1

83

)()()( 1

1 SnEnEP HHHTHHHTHHHTE ,,,2

87

3 HHHSE

: فضاي پيوسته ) 2

: در حالت طول ) ا

: در حالت سطح ) 2

:در حالت حجم ) 3

LSLEEP )(

ASAEEP )(

VSVEEP )(

:بيان چند تعريف

دو پيشامد و را مستقل از يكديگر ) 1

: گويند ھرگاه داشته باشيم

AB

)()()( BPAPBAP

تحقيق كنيد تحت شرايط زير دو : مثال

AB .پيشامد و مستقل از يكديگرند

21)( AP

21)( BP

41)( BAP

)()()( BPAPBAP 21

21

41

)()()()( CPBPAPCBAP 21

21

21

41

اگر و دو پيشامد مستقل از ھم : نكته

فرض شوند در اين صورت نتايج زير برقرار

: است

AB

)()()( BPAPBAP

)()()()()()()()()(

BPAPBAPBPAPBAPBPAPBAP

جدا از (دو پيشامد و را ناسازگار ) 2

گويند ھرگاه يكي از ) disjontھم يا

.تساويھاي زير برقرار باشد

يا يا

AB

0)()( PBAP )()()( BPAPBAP

مدرس درس آمار معموال دو نفر از : مثال

دانشجويان خود را با احتماالت و جھت اداء

احتمال آن . توضيحات الزم به پاي تابلو مي فرستد

پيشامدي را بيابيد كه در يك جلسه خاصي حداقل

يكي از دانشجويان احضار شود ؟

3.05.0

8.05.03.0)( BAP

قضيه جبر پيشامدھا

: براي ھر دو پيشامد دلخواه و داريم

AB

)()()()( BAPBPAPBAP

احتمال اينكه خانواده اي داراي تلويزيون : مثال

رنگي باشد و داراي تلويزيون سياه و سفيد باشد

و داراي تلويزيون رنگي و سياه و سفيد باشد

احتمال آن پيشامدي را بيابيد كه اين خانواده . است

رنگي يا . (حداقل داراي يكي از تلويزيون ھا باشد

)سياه و سفيد

3.06.0

1.0

8.01.06.03.0)( BAP

: اثبات )()()( BPAPBAP

)()()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPBAP

)(1)()()(1)(1)( BPBPAPBPBPAP

1)()(1)(1)( APBPAPBP

)()()(1)()( BAPBAPBAPAPBP

شامد : تمرين ه پي راي اينك د ب تحقيق كني

زان ه مي ت ب ند ، الزم اس ستقل باش م

. شرط برقرار باشد 12 kk

k

با توجه به خاصيت بسط دوجمله اي : اثبات

: خيام ـ نيوتن كه مي توانيم بنويسيم

: پيشامد داريم 2 چون حداقل

: پس تعداد حالتھا مي شود

kkkkkk

2210

kk 21

12 kk

: احتمال شرطي ) 3

اگر احتمال وقوع پيشامدي منوط به وقوع پيشامد

:ديگري باشد احتمال شرطي شكل مي گيرد

)()()(

BPBAPBAP

تاسي را يك بار پرتاب كرده مطلوبست : مثال

در حاليكه در اين پرتاب عدد 5محاسبه آمدن عدد

. فرد ظاھر شده است

: حل 5A 5,3,1B

5)( BAP

31

6361)( BAP

ه د : نكت ديگر باش ستقل از يك ر و م :اگ AB

)()( APBAP

)()( BPABP

ام ال ت ت: (احتم ل تمامي )اص

شامدھاي وع پي اگر وقوع يك پيشامدي منوط به وق

رد تكنيك آن . ديگري باشد ، احتمال تام شكل مي گي

.معموال در قالب احتماالت شرطي بيان مي شود

: عوامل مداخله كننده

)( 21 kBBBASAA

)()()( 21 kBABABA

به دليل اينكه پيشامدھاي معرفي شده

ناسازگار مي باشند مي توانيم تساوي زير را

:داشته باشيم

)()()()( 21 kBAPBAPBAPAP

: اما مي دانيم

)()()( iii BPBAPBAP

)()()()()()()( 2211 kk BPBAPBPBAPBPBAPAP

k

iii BPBAPAP

1)()()(

ال ه : مث شھد س ور م ام ن شگاه پي در دان

زان ه مي ه ب ، % 50مركز تلفن وجود دارد ك

ا . تلفنھا را پاسخ مي دھند % 20و % 30 ام

ه ترتيب % 1و % 2، % 4اين سه مركز ب

د شامدي . به اشتباه پاسخ مي دھن ال آن پي احتم

.را بيابيد كه يك تلفن اشتباه پاسخ داده شود

براي حل اين نوع مسائل معموال : حل

اطالعات مسئله را در قالب نمادھاي احتمالي

. معرفي مي كنند

آنگاه با استفاده از تكنيك مربوطه حل مسئله

:را به پايان مي بريم

پيشامد انتساب تلفن به مركز ام :

پيشامد پاسخ اشتباه :

iB

A

i

5.0)( 1 BP 3.0)( 2 BP 2.0)( 3 BP

04.0)( 1 BAP 02.0)( 2 BAP 01.0)( 3 BAP

028.0002.0006.002.0)01.0)(2.0()02.0)(3.0()04.0)(5.0()( AP

: قضيه بيز

در راستاي احتمال تام اگر بخواھيم احتمال عوامل

مداخله كننده را بعد از موفقيت بيابيم قضيه بيز مورد

: تكنيك آن به صورت زير است . توجه قرار مي گيرد

تا را 1 كه در آن مي تواند يكي از مقادير

. انتخاب كند

k

iii

jjj

BPBAP

BPBAPABP

1)()(

)()()(

jk

با توجه به مثال باال چه احتمالي دارد كه : مثال

. سر زده باشد 2تلفن اشتباه از مركز

،

: حل

3k 2j

2.0028.0

3.002.0

)()(

)()()( 3

1

222

i

ii BPBAP

BPBAPABP

مھره سبز 5 مھره قرمز و 4ظرفي شامل : مثال

از اين ظرف يك مھره به تصادف خارج . مي باشد

مھره به رنگ مخالف به 2اگر قرمز باشد . مي كنيم

مھره به 3ظرف بر مي گردانيم و اگر سبز باشد

آنگاه مھره . رنگ مخالف به ظرف بر مي گردانيم

احتماالت زير را بدست . دوم را خارج مي كنيم

. آوريد

.ھر دو مھره سبز باشد ) الف

. مھره دوم قرمز باشد ) ب

. مھره اول سبز باشد ) ج

براي حل اين نوع مسائل الزم است : حل

كه در آغاز درخت احتمال را بنا كنيم ، آنگاه با

انتخاب درست ، حل مسئله براي ھر مورد به

. پايان مي رسد

) الف

) ب

) ج

114

95)( ggP

103

94

117

95)()( RRPRgP

114

95

117

95)()( RgPggP

: : ھدف فصل ھدف فصل متغير تصادفی قانونی است که به وسيله آن متغير تصادفی قانونی است که به وسيله آن

به ھر نقطه از فضای نمونه ای يک عدد به ھر نقطه از فضای نمونه ای يک عدد در اين فصل به در اين فصل به . . حقيقی نسبت داده می شود حقيقی نسبت داده می شود

تفصيل در مورد متغير تصادفی و تابع احتمال تفصيل در مورد متغير تصادفی و تابع احتمال . . آن بحث می نماييم آن بحث می نماييم

:: عناوين مھم فصل عناوين مھم فصل ـ متغير تصادفی ـ متغير تصادفی 11

ـ توزيع احتمال ـ توزيع احتمال22

:متغير تصادفي

متغير تصادفي تابعي از فضاي نمونه

:به زير مجموعه اي از اعداد حقيقي

X

RASX :

اب : مثال سكه را در نظر مي 2آزمايش پرت

داد شير در انگر تع يم بي گيريم و فرض مي كن

د اب باش ر پرت صادفي را در . ھ ر ت حضور متغي

د ي كني تور ون معرف ب دس .قال

X

012

XXX

41)0(42)1(41)2(

XPXPXP

: توزيع احتمال

توزيع احتمال يك مدل آماري است كه

مي تواند تبلوري از احتماالت باشد كه به

)()( .شكل كلي نمايش داده شود xXPxf

ال االت : مث يم احتم ق كن وانيم تحقي مي ت

اب د 2منتسب در آزمايش پرت سكه مي توان

ود شان داده ش ر ن وي زي .در الگ

، ، 22

2

)()(

x

xXPxf 2,1,0x

با انتخاب مي توانيم به جواب : حل

.برسيم

2,1,0x

41

402

)0()0(

XPf

42

412

)1()1(

XPf

41

422

)2()2(

XPf

:خواص توزيع احتمال

توزيع احتمال بر مبناي ويژگيھايي كه مي تواند

:اتخاذ كند الزم است در شرايط زير صدق نمايد

، )1

) 2

1)(0 xf Dx

1)(

1)(

dxxf

xf

: اگر متغير تصادفي گسسته باشد

تابع احتمال

: اگر متغير تصادفي پيوسته باشد

تابع چگالي احتمال

X

X

).( fp

)..( fdp

: مطلوبست مقدار براي : مثال

مشروط بر آنكه نقش يك توزيع

.احتمال را بدھد

k

xkxf2

1)( ,2,1,0x

)(xf

:حل 0)( xf 02 x 01 k 1 k

1)( xf 12)1(0

x

xk

1)41

211)(1( k 1)

211

1)(1(

k

122 k21

k

پارامتر را به گونه اي بيابيد : مثال

كه ، نقش يك

.توزيع احتمال را بدھد

0x)1(

1)( 2xxf

: حل

0 2 1

1

1

x

dx

10

tan1 1 x

1)0tan(tan1 11 x

1)02

(1

12

2

:: ھدف فصل ھدف فصل ھدف در اين فصل ، معرفی توزيع ھدف در اين فصل ، معرفی توزيع

ھای احتمال مربوط به متغيرھای گسسته ھای احتمال مربوط به متغيرھای گسسته ..می باشدمی باشد

: : عناوين مھم فصل عناوين مھم فصل ـ معرفی توزيع ھای خاص ـ معرفی توزيع ھای خاص11 ـ توزيع توأم دو متغيره ـ توزيع توأم دو متغيره22 ـ توزيع ھای حاشيه ای ـ توزيع ھای حاشيه ای 33 ـ تابع مولد گشتاور ـ تابع مولد گشتاور44 ـ تابع توزيع احتمال ـ تابع توزيع احتمال55

: معرفي توزيع ھاي خاص

از آنجايي كه متغير منتسب به توزيع ھاي احتمال

مي تواند در شكل كمي ، گسسته و يا پيوسته باشد ،

لذا در آغاز معرفي ، به سراغ توزيع ھايي خواھيم

رفت كه متغير آنھا گسسته است و در پايان درباره

توزيع ھايي سخن خواھيم داشت كه متغير منتسب به

.آنھا پيوسته مي باشد

: توزيع برنولي ) 1

اگر نتيجه آزمايشي فقط دو وضعيت را

آن آزمايش) پيروزي يا شكست(معرفي كند

توزيع . را آزمايش برنولي مي گويند

منتسب به اين آزمايش توزيع برنولي نام

.دارد

اگر احتمال موفقيت و احتمال

در اين صورت توزيع مورد . شكست فرض شود

: نظر به صورت زير خواھد بود

در حاليكه به ازاي شكست و به

ازاي ھمواره موفقيت را به دنبال خواھيم

.داشت

ppq 1

xxqpxXPxf 1)()( 1,0x

0x

1x

احتمال موفقيت براي يك داوطلب در : مثال

مي باشد ، توزيع % 70جھت اخذ گواھينامه

احتمال براي اين شخص كه در آزمون رانندگي

. شركت مي كند بنويسيد

: حل xxxf 1)3.0()7.0()( 1,0x

: توزيع دوجمله اي ) 2

اگر يك آزمايش برنولي بار تكرار شود و

در اين بار ، بار موفقيت را دنبال كند ،

توزيع منتسب به اين آزمايش ، توزيع دوجمله اي

:نام دارد و ساختار آن به اين شكل است

n

nx

xnxqpxn

xXPxf

)()( nx ,,2,1,0

5اگر در مثال باال داوطلب مورد نظر : مثال

. بار در آزمون شركت كند و در نھايت قبول شود

. توزيع احتمال را براي او معرفي كنيد : اوال

ام براي 5احتمال موفقيت را در مرتبه : ثانيا

. او بدست آوريد

xxqp

xxXPxf

55

)()( 1x

ه خص در مرحل ن ش ه اي ايي ك ام 5از آنج

ت ال موفقي ذا احتم ت آورده ل راي بدس ت ب موفقي

ود د ب ين خواھ راي او چن .ب

00567.017.00081.0)7.0()3.0()5( 4 f

ال : مثال ا احتم وپي % 80يك فوتباليست ب ت

تد ي فرس ه درون دروازه م ت ب ا موفقي ن . را ب اي

ست ار دارد 6فوتبالي وپ را در اختي االت . ت احتم

راي او ال ب ع احتم ي توزي س از معرف ر را پ زي

.بدست آوريد

توپ را به درون دروازه 2درست ) الف

. بفرستد

توپ را به درون دروازه 2حداكثر ) ب

. بفرستد

توپ را به درون دروازه 2حداقل ) ج

.بفرستد

: حل

) الف

) ب

xxx

xXPxf

6)2.0()8.0(

6)()(

0016.064.015)2.0()8.0(26

)2()2( 42

XPf

)2()1()0()2( XPXPXPXP

425160 )2.0()8.0(26

)2.0()8.0(16

)2.0()8.0(06

) ج

يا

: توپ 6 حداقل

)6()2()2( XPXPXP

)1()0(1)2(1)2( XPXPXPXP

6)8.0()6( F

رين ولي و : تم ع برن ا توزي ه آي د ك ق كني تحقي

ده در ي ش اختار معرف ا س ه اي ب ع دوجمل توزي

خواص توزيع احتمال صدق مي كنند يا خير ؟

: حل

. ويژگي اول بديھي است : توزيع برنولي ) الف

0)( xf

1

0

1

0

1 1)(x x

xx pqqpxf

در اينجا نيز ويژگي : توزيع دوجمله اي ) ب

.اول بديھي است

:به اعتبار بسط دوجمله اي خيام ـ نيوتن

n

x

n

x

nnxnx qpqpxn

xf0 0

11)()(

:اميد رياضي

اگر متغير از توزيع پيروي كند بنا

به تعريف اميد رياضي متغير را به صورت

:زير تعريف مي كنيم

X)(xf

X

اگر متغير گسسته باشد ، حالت اول و اگر متغير

.حالت دوم رخ می دھد ، پيوسته باشد

dxxxf

xxfXE x

)(

)()(

X

X

را براي توزيع ) اميد رياضي(ميانگين : مثال

. ھاي برنولي و دوجمله اي ، محاسبه نماييد

: برنولي

: دوجمله اي

1

0

1 0)()(x

xx ppqxpxxfXE

npqpxn

xXEn

x

xnx

0)(

:خواص اميد رياضي

با توجه به تعريف اميد رياضي مي توانيم

: خواص زير را داشته باشيم

) 1

) 2

) 3

aaE )(

)()( XkEkXE

aXkEakXE )()(

)4

) 5

، )6

kXE

kXE )()(

)()(

XEk

XkE

i )( iXE

n

iii

n

iii XEXE

11)()(

) : پراكندگي(واريانس

واريانس متغير تصادفي كه از توزيع

: پيروي مي كند بصورت زير تعريف مي شود

X)(xf

)()()()var( 2222 XEXEXEXX

)()()(2)()2( 222222 XEXEXEXEXXE

تحقيق كنيد واريانس براي متغير كه : مثال

به ترتيب از توزيع برنولي و دوجمله اي پيروي

: مي كند برابر است با

و

X

pqnpq

: حل

: برنولي

:دوجمله اي

ppqpxXEx

xx

0)(1

0

122

pqppppXEXE )1()()( 2222

n

x

xnxqpxn

xXE0

22)(

ھمانطور كه مالحظه مي كنيم حل عبارت

فوق غير ممكن است و بايد به طريق زير عمل

XXXX: كنيم )1(2

nppnnXEXXEXE 22 )1()()1()(

22222222222 )1()()( pnnpnppnpnnppnnXEXE

npqpnp )1(

.

n

x

xnx qpxnx

xpxx2

22)!()!2(

)!2()1(

n

x

xnx pxxqpxn

pxx2

222 )1(22

)1(

n

x

xnx qppxnxxx

xxnxx0

22)!()!2)(1(

)!2)(1()1(

xnxqp

xn

xxXXE )1()1(

:خواص واريانس

) 1

) 2

) 3

0)var( a

)var()var( 2 XkkX

)var()var( 2 XkakX

)var()var(

)var()var(

2

2

Xk

Xk

k

XkX

:توزيع دوجمله اي منفي ) 3

اگر امين موفقيت در امين آزمايش

صورت بگيرد توزيع دوجمله اي منفي را

:توزيع منتسب به آن . پديد مي آورد

kx

kxk qpkx

xXPxf

11

)()( ,1, kkx

احتمال اينكه راننده اي از يك چراغ : مثال

% 40قرمز عبور نمايد و پليس آنرا متوقف كند

مي باشد ، احتمال آن پيشامد را بيابيد كه در حين

عبور از چراغ قرمز چھارم پليس او را متوقف

.كند 09.0)6.0()4.0(

03

)4()( 31

XPxf

4x 1k

ال را : مث شنود آن ايعه اي را ب ردي ش ر ف اگ

د د مي باش اور كن شامدي را . ب ال آن پي احتم

امين فردي كه اين شايعه را مي شنود 5بيابيد كه

د ي كن اور م را ب ه آن د ك ردي باش ومين ف :س

23 )3.0()7.0(24

)5()5(

XPf

7.0

ميانگين و واريانس در توزيع دوجمله : مسئله

:اي منفي ھمواره به صورت زير است

22 )var(

p

kqX pkXE )(

n

kx

n

kx

kxk

kxk qp

ppkxk

kxqpkxk

xkkx

)!(!!

)!()!1()!1(

n

kx

kxkpkqp

kxkx

pk

1

1)!(!

!

: توزيع ھندسي ) 4

اگر تكرار آزمايش به گونه اي باشد كه اولين

موفقيت پايان كار اعالم شود ، توزيع منتسب به

اين آزمايش توزيع ھندسي نام دارد و تكنيك آن

.بصورت زير است 1)()( xpqxXPxf ,3,2,1x

اگر در توزيع دوجمله اي منفي به : نكته

جاي تبديل بگذاريم به توزيع ھندسي

.مي شود

1k

ال ه : مث ذ گواھينام ت اخ ت جھ ر موفقي اگ

ال منتسب . باشد % 80داوطلب اوال توزيع احتم

د ي كني ايش را معرف ن آزم ه اي ال آن . ب ا احتم ثاني

ه سوم پيشامدي را بيابيد كه اين داوطلب در مرحل

ت ده اس ه ش ذ گواھينام ه اخ ق ب .موف

032.0)2.0)(8.0()3()( 2 XPxf

سئله ال ) 1م ع احتم رايط توزي د ش ق كني تحقي

رار ا برق وق دقيق ا ساختار ف براي توزيع ھندسي ب

.است

.بديھي است ) الف

:ثابت مي كنيم ) ب

0)( xf

11)(

xxf

1

211 11

1)1(x

xxq

pqqpqppq

سئله انس ) 2م انگين و واري د مي ت كني ثاب

روي مي ع ھندسي پي ه از توزي صادفي ك متغير ت

:كند برابر است با

.

p1

22

p

q،

1

11)()(x

xx xqpxpqxxfXE

2

32)1(

)1()1

()(q

qqpq

qdqdpqqq

dqdpq

dqdp x

ppp

qp 11

)1(

122

1

122)(x

xpqxXE XXXX )1(2

)()1()( 2 XEXXEXE

.

1 2 22

221 )()1()1())1((

x x x

xxx qqd

dpqqxxpqpqxxXXE

)

)1(

22())1(

)1(2()1

( 2

22

2

22

2

2

q

qqqdqdpq

q

qqqdqdpq

qq

dq

dpq

4

222

)1(

)22)(1(2)242)(21(

q

qqqqqqqqpq

2322

p

q

ppq

22

2 212)(p

pqpp

qXE

2222222 1212)()(

p

q

p

pq

pp

pqXEXE

: توزيع فوق ھندسي ) 5

: قبل از بيان اين توزيع به مثال زير توجه كنيد

امل ه اي ش ه 10 محمول ون ك ا 3 تلويزي ت

ود ي ش ال م گاھي ارس ه فروش ت ب وب اس . معي

صادف ه ت صي ب رد 4شخ ي خ ون را م تلويزي

اب ن انتخ خص در اي ن ش ه اي ال اينك 1احتم

د ت آوري رد بدس وب را بخ ون معي .تلويزي

410

37

13

)3,1(P

ع وانيم توزي ي ت اال م ال ب ه مث ه ب ا توج ب

يم ان كن ين بي ن چن ي را اي وق ھندس .ف

nN

xnkN

xk

xXPxf )()(

Nnk

kNxnkx

0,,2,1,0

فرض مي كنيم تابع چگالي احتمال : مثال

: براي متغير تصادفي به صورت

،

اميد رياضي براي اين توزيع را . مفروض است

.بيابيد

X

xexf )( 0x

0 0 1

00

0)( xxxx edxexedxxeXE

ه وان : نكت ا عن د را ب ع امي ضي مواق بع

ه زي از مرتب شتاور مرك ابع گ د 1ت . گوين

د ول گوين ه ح شتاور از مرتب : گ

X

)(XEk

kXE )(

فرض مي كنيم مطلوبست : مثال

، ،.

)8.0,5(~ x

)var(y532 xy

532 xy )53var()2var( xy

)var(9)var(4 Xy

8.02.08.05)var( npqX

8.094 2 y 8.1)var(2 yy

ثابت مي شود كه در توزيع دوجمله اي : نكته

. منفي ميانگين و واريانس به ترتيب زير است

، pk

2p

kq

: توزيع چند جمله اي

اگر در انجام پديده اي الزم باشد فرآيندھاي ديگري با

احتماالت خاص صورت بپذيرد ، توزيع چند جمله اي را

: پديد مي آورد و ساختار آن به صورت زير است

، ، : در حاليكه

kxk

xx

kkkk ppp

xxn

xxxfxXxXxXP

21

211212211 ),,,(),,(

k

ii nx

1

k

iip

11

در يكي از شھرھاي استان : مثال

شبكه تلويزيون قابل استفاده 4خراسان ،

به 1بدين ترتيب شھروندان از شبكه . است

10 به ميزان 2، از شبكه % 30ميزان

و بقيه از % 40 به ميزان 3و از شبكه %

. شبكه چھار مي توانند استفاده مطلوب ببرند

نفر از جمعيت اين شھرستان به طور 10اگر

تصادفي به مصاحبه دعوت شوند ، احتمال آن

پيشامدي را بيابيد كه سه نفر از شبكه يك و دو

نفر از شبكه دو و چھار نفر از شبكه سه و بقيه

.از شبكه چھار استفاده نموده اند

14214321 )2.0()4.0()1.0()3.0(

1,4,2,310

)1,4,2,3(

XXXXP

: توزيع پواسن

در قالب صف ، انتظار و ) رخدادھا( اگر وقايع

يا نظاير آن مورد توجه قرار گيرند ، توزيع

كه اگر متوسط وقايع . پواسن را شكل مي دھند

را فرض کنيم ، توزيع به صورت زير

.معرفي خواھد شد

!)()(

xexXPxf

x

,1,0x

ايج : مثال تحقيق كنيد كه با ساختار نت

:يك توزيع احتمال را دارا مي باشد

)(xf

. ويژگي اول بديھي است ) 1

2(

0

)( )0(!

)(n

nn

fnxxf

1)!2!1

1(!!

2

0

ex

ex

e

x

xx

!2!1

1!

2xxnxe

nx

ال انس در : مث انگين و واري د مي ق كني تحقي

ت ا اس ر ب ن براب ع پواس .توزي

11

1

0

1

0 )!1()!1(!)(

xx

x

x

x

x

xee

xe

xxex

xexXE

)(1())( 2 XEXXEXE

.

0 !)1()1(

x

x

xexxXXE

2

2

22

0

22

)!2()!2)(1()1(

x

x

x

x

xe

xxxexx

22 )(XE

22222 )()( XEXE

پزشكي به طور متوسط در ھر ساعت : مثال

د 4 ي كن ت م ار را ويزي شامدھاي . بيم ال پي احتم

.زير را براي او محاسبه كنيد

. در يك ساعت خاص پزشك بيكار باشد ) الف

در يك ساعت خاص درست دو بيمار را ) ب

. ويزيت كند

در يك ساعت خاص حداكثر دو بيمار را ) ج

. ويزيت كند

. حداقل دو بيمار را ويزيت كند ) د

دقيقه اول درست سه بيمار را ويزيت 15در ) ه

. كند

! :حل 4)(

4

xexf

x

,1,0x 4

4)0( ef4

248

!24)2(

eef

444 84)2()1()0()2( eeeXPXPXPxf

444 51)4(1)2(1)2( eeeXPxf

1414 t

!1)(

1

xexf

x

!3)3(

1

ef

اگر در توزيع باينوميال به حد كافي : قضيه

بزرگ شود و كوچك شود ،

د در اقي بمان ت ب ه ثاب ، در حاليك

ع مت توزي ه س ه اي ب ع دوجمل صورت توزي اين

.پواسن ميل مي كند

n

)( np)0( p

np

ال توديوم : مث ك اس ري 10000در ي نف

ار شود ازدگي بيم ر گرم احتمال اينكه فردي در اث

احتمال آن پيشامدي را بيابيد كه . مي باشد

نفر مبتال به گرمازدگي شوند؟4در اين جمع

0003.0

: حل

: توزيع دوجمله اي

99964 )997.0()0003.0(410000

)4(

f

وق مشكالتي را دارد ام محاسبه ف ا در انج ام

سئله وانيم حل م لذا به اعتبار قضيه گفته شده مي ت

يم ال كن .را دنب

343

2481

!43)4(

eef 3 np

:اثبات قضيه

xnxxnx ppxnx

nppxn

xf

)1(

)!(!!)1()(

xnx

n nnxnxn

)1()(

)!(!!lim

nxx

n nnxnxxnxnnnn

n)1()(

)!(!)!)(1()2)(1()1(lim

nx

n nnxnxnnnnnn

1!

))1(1()21()11(lim

nxx

n nnxnxnnn

1!

)1(12111lim

!1

!1

!1

limlim xe

nxnx

xn

n

xnx

n

: توزيع توأم دومتغيره

در حالت كلي با نماد

نمايش مي دھند و دقيقا خصوصيات توزيع احتمال

.يك متغيره را به صورت زير دارا مي باشد

),(),( yYxXPyxf

)1

) 2

. زمانيكه متغير گسسته باشد

. . زمانيكه متغير پيوسته باشد

0),( yxf Dyx ),(

y x

yxf 1),(

1),( dxdyyxf

ساختار توزيع دومتغيره و چگونگي برخورد

د ي باش اده م اده س وق الع ا آن ف ت . ب در جھ

ي ره م ع دومتغي ك توزي شكيل ي نگري و ت روش

.توانيم مثال زير را مورد توجه قرار دھيم

قرص 2 قرص آسپرين ، 3شيشه اي حاوي : مثال

شخصي . قرص ملين مفروض است 2خواب آور ،

. به تصادف دو قرص از اين ظرف خارج مي كند

اگر فرض كنيم معرف قرص آسپرين و معرف

توزيع احتمال براي دو . قرص خواب آور باشد

. متغير و را بنويسيد

x

x

y

y

272223

),(),(yxyx

yYxXPyxf 2,1,0x 2,1,0y

ه ال : نكت ع احتم ي توزي تاي معرف در راس

جدول (مي توانيم به جدول احتمال ) حالت گسسته(

ين ) توزيع احتمال وق چن ال ف ه در مث يم ك توجه كن

: خواھيم داشت

..

)(yh

210

xy

21102110

211

213

00

216

216

0

211214

2110

1 2

2132112

216

)(xg

:توزيع ھاي حاشيه اي

) ) Marginal DistributionMarginal Distribution ( (

با توجه به تعريف توزيع توأم دومتغيره مي با توجه به تعريف توزيع توأم دومتغيره مي

توانيم توزيع حاشيه اي را به صورت زير مورد توانيم توزيع حاشيه اي را به صورت زير مورد

. . توجه قرار دھيم توجه قرار دھيم

: : در حالت گسسته در حالت گسسته

: : در حالت پيوسته در حالت پيوسته

x

y

yxfyh

yxfxg

),()(

),()(

dxyxfyh

dyyxfxg

),()(

),()(

. . توزيع ھاي حاشيه اي را معرفي كنيد توزيع ھاي حاشيه اي را معرفي كنيد : : مثال مثال

)(301),( yxyxf 3,2,1,0x 2,1,0y

2

0)1(

101)33(

301)2()1()0(

301)(

301)(

yxxxxxyxxg

)32(151)64(

301)3()2()1()0(

301)(

301)(

3

0

yyyyyyyxyh

x

..

3210x

104103102101)(xg

..

210y

157155153)(yh

ه ه نكت ه : : نكت ال ب ع احتم دول توزي ق ج ه از طري ال ب ع احتم دول توزي ق ج از طري

يه اي را در اي حاش ع ھ وانيم توزي ي ت ي م يه اي را در راحت اي حاش ع ھ وانيم توزي ي ت ي م راحت

. . مانند جدول باال مانند جدول باال . . كنار آن داشته باشيم كنار آن داشته باشيم

) : واريانس مشترك(كوواريانس

كوواريانس دو متغير تصادفي و كه با

نماد معرفي مي نمايند

:به صورت زير تعريف مي شود

XY

),(),( YXCYXCovXY

)()()())(( YEXEXYEYXE YXXY

سير د : تف ي توان ه م ايي ك از آنج

وانيم ي ت د ، م اب كن واھي را انتخ دار دلخ ر مق ھ

. تفسير زير را براي آن داشته باشيم

CovCov

اگر تغييرات و ھمسو باشند ، آنگاه

فاقد ھرگونه تغييرات مشترك باشند ، آنگاه

تغييرات مخالف يكديگر مي باشند ، آنگاه

XY0XY

0XY

0XY

ال ل : مث ال قب دول احتم ه ج ه ب ا توج ب

د سير نمايي ه و تف ين و را يافت انس ب .كوواري XY

y x

yxxyfXYE72

216),()(

x

xxgXE76

216

2112)()(

y

yyhYE74

212

2110)()(

04910

74

76

72

XY

و را دو متغير مستقل از و را دو متغير مستقل از : : نكته مھمنكته مھم

يكديگر مي گويند ، ھرگاه توزيع مشترك آنھا يكديگر مي گويند ، ھرگاه توزيع مشترك آنھا

. . برابر با حاصلضرب توزيع ھاي حاشيه باشد برابر با حاصلضرب توزيع ھاي حاشيه باشد

: : يعني يعني

XY

)()(),( yhxgyxf

:: كه در اين حالت كه در اين حالت

با اين نتيجه مي توانيم نتيجه ديگري را دنبال با اين نتيجه مي توانيم نتيجه ديگري را دنبال

))و مستقل ھستندو مستقل ھستند: ( : ( كنيم كنيم

مگر مگر . (. ( اما عكس اين مطلب درست نمي باشد اما عكس اين مطلب درست نمي باشد

))در توزيع نرمال عكس آن برقرار استدر توزيع نرمال عكس آن برقرار است

)()()( YEXEXYE

XY

0),( YXCovYX

يكي از بحث ھاي مھم يكي از بحث ھاي مھم : : ضريب ھمبستگي ضريب ھمبستگي

معموال معموال . . در كاربرد ضريب ھمبستگي مي باشد در كاربرد ضريب ھمبستگي مي باشد

ارزش وابستگي بين دو متغير ھم سنخ را مورد ارزش وابستگي بين دو متغير ھم سنخ را مورد

نمادي كه براي آن در سطح نمادي كه براي آن در سطح . . توجه قرار مي دھد توجه قرار مي دھد

. . جامع مورد توجه قرار مي گيرد مي باشد جامع مورد توجه قرار مي گيرد مي باشد

) ) پيرسنپيرسن ( (

YXXY

YXYXCov

)var()var(),(

واره ستگي ھم ه ضريب ھمب واره ثابت مي شود ك ستگي ھم ه ضريب ھمب ثابت مي شود ك

بين مي باشد كه به صورت زير تفسير بين مي باشد كه به صورت زير تفسير

ود ي ش ود م ي ش ::م

ستقيم ل و م ستگي كام ستقيم ھمب ل و م ستگي كام ستگي ( ) ( ) ھمب ستگي ، ھمب ، ھمب

ستگي دم ھمب ستقيم ، ع اقص و م ستگي ن دم ھمب ستقيم ، ع اقص و م ، ، ( ) ( ) ن

ستگي كامل ستقيم ، ھمب ر م ستگي كامل ھمبستگي ناقص و غي ستقيم ، ھمب ر م ھمبستگي ناقص و غي

( ) .( ) .و غير مستقيم و غير مستقيم

11

1

0

1

ل ضريب : : مثال مثال ال قب ه جدول احتم ل ضريب با توجه ب ال قب ه جدول احتم با توجه ب

د سير نمايي به و آن را تف ستگي را محاس د ھمب سير نمايي به و آن را تف ستگي را محاس . . ھمب

م عالمت ( ( م عالمت و ضريب ھمبستگي ھميشه ھ و ضريب ھمبستگي ھميشه ھ

))ھستندھستند

Cov

ستگي ريب ھمب واص ض ستگي خ ريب ھمب واص ض : : خ

ريب ) ) 11 ت ض اس در سرنوش ر مقي ريب تغيي ت ض اس در سرنوش ر مقي تغيي

دارد أثيري ن ه ت ستگي ھيچگون دارد ھمب أثيري ن ه ت ستگي ھيچگون . . ھمب

دأ ) ) 22 ر مب دأ تغيي ر مب ان((تغيي انمك ريب ) ) مك أثيري در ض ريب ت أثيري در ض ت

ند يعني در عدد . (. (ھمبستگي ندارد ھمبستگي ندارد ند يعني در عدد اگر ھمسو باش اگر ھمسو باش

شوند رب ن ي ض شوندمنف رب ن ي ض ) ) منف

yx

yxbxabax

,

,,

00

aaaa

:انتگرال دوگانه

شكل نمادين انتگرال دوگانه به صورت زير

:است ba

yuyu dxdyyxf)()(

2

1),(

ba

xvxv dydxyxf)()(

2

1),(

0 0 0 0 0

sinsinsiny

x dxx

yx

xdydxx

xdxdyx

x

0 2

0cossin xxdx

ناحيه اول مثلثاتي حدود تغيير ناحيه اول مثلثاتي حدود تغيير : (: ( مثال مثال

))استاست

yx,

20 0 340 0 3 222 )(

r

rdrd

yx

dxdy

تحقيق كنيد سطح محصور بين اين تحقيق كنيد سطح محصور بين اين : : مسئله مسئله

. . منحني برابر يك است منحني برابر يك است

x221

21)( xexf

.. كرانھا به ھم مرتبط نيستند كرانھا به ھم مرتبط نيستند dxeS x

221

21

dyeS y

221

21

20

21)(212 222

21

21 rdrdedxdyeS ryx

1221

21

021 2

020

21 2

dde r 1 S

شتاور د گ ابع مول صادفي از : : ت ر ت ر متغي اگ

د ابع مول ه تعريف ت ا ب د بن روي كن ع پي توزي

د ي باش ر م ورت زي ه ص شتاور ب . گ

X

)(xf

dxxfe

xfeeEt

tX

tXtX

X)(

)()()(

تابع مولد گشتاور توزيع دوجمله اي با : مثال

. پارامتر موفق را بيابيد

از آنجايي كه اين توزيع در قالب متغير گسسته

مورد توجه قرار مي گيرد تابع مولد گشتاور آن

. بدين صورت معرفي مي شود

P

xnxqpxn

xf

)(

nn

x

tntxnxtxnxtXX epqpeqpe

xn

qpxn

et0

)1(1)()()(

تابع مولد گشتاور براي توزيع پواسن : مثال

. را بيابيد !

)(x

exfx

00 !)()

!()(

x

xt

x

xtx

X xee

xeet

)1(!)(

tt eext

eeex

ee

توزيع نمايي ، : مثال

. مفروض است تابع مولد گشتاور آن را بيابيد

xexf )(0x

0)( )(

0)(

0

xttxxtxX e

tdxedxeet

t

tt

)10(

اگر متغير تصادفي از توزيع : قضيه

پيروي كند و تابع مولد گشتاور آن

مفروض باشد در نظر بگيريم در اين

:صورت تساوي زير ھمواره برقرار است

X)(xf

))(~( xfX

)(tX

)(0

)( kkkX

kXE

tdt

td

از طريق تابع مولد گشتاور مربوطه ، توزيع : مثال

. دوجمله اي ميانگين و واريانس آن را بيابيد

nPt

ePnPetdt

tdXEnttX

0)1(1

0)()(

11

0

)1(1)1()1(1)(2212

2

tePPenePenPXE

nttntt

)1()1(1 2 nnPnPPnnP

زيرا نسبت به آن مشتق زيرا نسبت به آن مشتق . . بايد حتما پيوسته باشد بايد حتما پيوسته باشد

. . مي گيريم مي گيريم

: : توزيع پواسن توزيع پواسن

t

npqXEXE )()( 222

0)()()()( )1(

)1(1 t

eedt

eddt

tdXEt

tet

eX

2)1(22)1(2

22

2 0)()()()(

t

eeeedt

tdXEtt etetX

222

بر اساس خواص تابع مولد گشتاور : قضيه

: مي توانيم داشته باشيم

: اثبات

)()( tet Xta

ax

)()()( )( xtataxtax eEeEt

)()()( teeEeeeE Xatxtatxtat

ال ال مث ع : : مث صادفي از توزي ر ت ر متغي ع اگ صادفي از توزي ر ت ر متغي اگ

ابع ست ت د مطلوب روي كن ارامتر پي ا پ ابع پواسن ب ست ت د مطلوب روي كن ارامتر پي ا پ پواسن ب

ر ساوي زي شتاور در ت د گ ر مول ساوي زي شتاور در ت د گ ::مول

X

y

23 xy

)()()()( 3223 txtttxtyy eEeeEeEt

)1(22 3)(

tetx

t eete

: اميدھاي رياضي

نمادھايي به صورت يا

اميدھاي شرطي گويند كه در قالب متغيرھاي

پيوسته يا گسسته به صورت زير معرفي

. مي گردند

: در حاليكه

))(( YXUE))(( XYVE

dxyxfxU

yxfxUx

)()(

)()(

)(),()()(

yhyxfyxfyYxf

اگر چگالي توأم به صورت زير : مثال

. باشد ، مطلوبست محاسبه واريانس

XY ,

)var( YX

)(31

),(xy

yxf2010

yx

)()()( 22 YXEYXEYXVar

10

222 )21(61

12

)1(61

01

)(61)(

31)( yyyyxdxxyyh

yyx

yxyyxf

21)(2

)21(61)(31)(

..

10

2310 0

1)

32(

211

21)(2)()( yxx

ydx

yyxxdxyxxfYXE

yy

yy

6332

2132

)21(643

213221

01

)32

21(

211

21)(2)( 1

03422

yy

yyyxx

ydx

yyxxyYXE

2

2

2

2

)21(18

)32(2)43)(21(3

)31(9

)32()21(6

43)(y

yyy

y

yyyyYXVar

اگر چگالي توأم به صورت زير اگر چگالي توأم به صورت زير : : مثال مثال

. . باشد ، مطلوبست محاسبه واريانس باشد ، مطلوبست محاسبه واريانس

XY ,

)var( YX

)2(32),( yxyxf 10 x 10 y

)41(314)21(

31

01

)2(31)2(

32)( 1

0222 yyyyxdxyxyh

. يعني در نھايت به جاي قرار مي دھيم 21y

)21( YXE

210 3

22)2121( dxxyXP

322)21(

xyxf

) توزيع تجمعي( تابع توزيع احتمال

)()( xXPXF

: مثال xexf )(

xxx x ex

edtexXPXF 10

)()( 0

اگر از توزيع : نامساوي چبيشف

براي . با ميانگين و واريانس پيروي كند

ھر پارامتر مثبت مانند نامساوي زير برقرار

:مي باشد

يا

X)(xf

2

k

211)(

kkXP

21)(

kkXP

مي دانيم مي دانيم : : اثباتاثبات

dxxfxXE )()()( 222

kkk

k dxxfxdxxfxdxxfx )()()()()()( 222

اگر مقدار را از سمت اگر مقدار را از سمت

راست تساوي حذف نماييم ، نقطه شروع نامساوي راست تساوي حذف نماييم ، نقطه شروع نامساوي

ود ي ش شخص م ود م ي ش شخص م ت. . م واھيم داش ذا خ تل واھيم داش ذا خ ::ل

k

k dxxfx )()( 2

k

k dxxfxdxxfx )()()()( 222

: : اما مي دانيم اما مي دانيم

kxkxkxkx

)()( 222)( kx

k

k dxxfkdxxfk )()( 22222

kk dxxfdxxf

k)()(1

2

..

)()()()(12 kXPkXPkXPkXP

k

kXkXPk

)()(12

kXPk

21

2

11k

kXP

::تابع توزيع احتمال تابع توزيع احتمال

اگر داراي توزيع احتمال اگر داراي توزيع احتمال : : تعريف تعريف

باشد ، توزيع احتمال به صورت زير تعريف مي باشد ، توزيع احتمال به صورت زير تعريف مي

..شود شود

كه در حالت اول گسسته و در حالت دوم كه در حالت اول گسسته و در حالت دوم

. . پيوسته است پيوسته است

X)(xf

xx xt

dttf

tfxXP

xF)(

)()(

)(

..

Rba , if ba )()( bFaF

)()()( 1 iii xFxFxf

dxxdFxf )()(

1)( F

0)( F

اگر فرض كنيم تابع زير مفروض باشد ، : مثال

. مطلوبست محاسبه

. خط مجانب تابع توزيع احتمال است

xexf )( 0 0x

)(xF

1y

xtx t ex

edtexF 10

)( 0

: : مثال مثال

01),(

)( yxyx eeeyxF 0x 0y

yxyxy eeexyx

yxFyxf )(),(),(

0

)()( xyx edyexg

0

)()( yyx edxeyh

ه ه نكت ي : : نكت ند م ستقل باش ر م ر دو متغي ي اگ ند م ستقل باش ر م ر دو متغي اگ

ور ه ط ه ب شتاور آن دو را ك د گ ابع مول وانيم ت ور ت ه ط ه ب شتاور آن دو را ك د گ ابع مول وانيم ت ت

يم به كن د ، محاس ده ان ي ش يم خطي معرف به كن د ، محاس ده ان ي ش ه اي . . خطي معرف ه اي نتيج نتيج

د ابع مول ربي ت كل ض ود ، ش ي ش اھر م ه ظ د ك ابع مول ربي ت كل ض ود ، ش ي ش اھر م ه ظ ك

ام دارد شتاور ن ام دارد گ شتاور ن . . گ

YX ,

YX byaxZ

)()()( )( byaxttzX eEeEt

)()()()( btateeEeE YXtbytaxtbytax

:: ھدف فصل ھدف فصل ھدف در اين فصل ، معرفی توزيع ھدف در اين فصل ، معرفی توزيع

ھای احتمال مربوط به متغيرھای پيوسته ھای احتمال مربوط به متغيرھای پيوسته ..می باشدمی باشد

..: : عناوين مھم فصل عناوين مھم فصل ـ توزيع نمائی ـ توزيع نمائی 11 ـ توزيع نرمال ـ توزيع نرمال 22 ـ توزيع بتا ـ توزيع بتا33 ـ توزيع گاما ـ توزيع گاما44

توزيع نمايي مربوط به متغير توزيع نمايي مربوط به متغير : : توزيع نمايي توزيع نمايي

: : تصادفي به صورت تصادفي به صورت

، ،

معرفي مي شود و ثابت مي شود زمان تلف شده معرفي مي شود و ثابت مي شود زمان تلف شده

بين دو رخداد در توزيع پواسن ، از توزيع نمايي بين دو رخداد در توزيع پواسن ، از توزيع نمايي

. . پيروي مي كند پيروي مي كند

Xxexf )( 0x 0

تحقيق كنيد ميانگين و واريانس در توزيع تحقيق كنيد ميانگين و واريانس در توزيع : : قضيهقضيه

. . نمايي به ترتيب برابر است با ، نمايي به ترتيب برابر است با ، 1

21

dvdxe

vxx

xev

dvdx

dxexedxexXE xxx

00 0

)(

110

01

xe

0 2

22 2)(

dxexXE x

تابع مولد گشتاور براي توزيع نمايي با پارامتر: مثال

را معرفي كنيد و از آنجا به كمك تابع مولد گشتاور

. ميانگين و واريانس را بيابيد

t

te

tdxedxeeeEt xtxtxtxtX

X

0)()()( )()(

0

1

)(0)(

22

ttdttd X

2342

2 22

)(

)(20

)(

t

ttdt

td X

:توزيع نرمال

توزيع نرمال يكي از توزيع ھاي بسيار مھم و

كاربردي در آمار استنباطي مي باشد كه در حالت

. كلي آنرا با نماد معرفي مي نمايند

),(~ 2NX

. يعني تمام مشاھدات بر ھم منطبق ھستند

پس ھمه اعداد مساوي با . يعني پراكندگي ندارند

. ميانگين مي باشند

: توزيع نرمال به صورت زير است

، ،

02

2)(21

21)(

x

exf

x R ),0(2

نمودار اين توزيع با انجام عمليات زير به

سادگي شكل زنگوله را براي خود انتخاب خواھد

. كرد

0yx

21y

x

2

221

21

0

ey

x

0)(2

12)(21

x

exy

ثابت كنيد سطح زير منحني نرمال : مثال

. ھمواره برابر است با يك

الزم است بر مبناي كاربرد انتگرال ھاي : حل

. معين تساوي زير را ثابت كنيم

1)( dxxfS

حل اين انتگرال غير ممكن بوده ولي مي توانيم با

استفاده از تغيير متغير و نيز بكارگيري آن در قالب

انتگرال دوگانه حل مسئله را با حضور مختصات

. قطبي به پايان ببريم

12

12)(21dxeS

x

zx

dzdx

..

dzedzeS zz 22 212121

21

dxeS x22121

dyeS y22121

20 0

21)(212 222

21

21 drdredxdyeS ryx

1)2(21)10(

21

021 2

020

21 2

dde r

چون در تغيير مي كنند ، پس

. ھم و ھم از تغيير مي كند

),( yx),(

)2,0( r),0(

:توزيع استاندارد نرمال

متغير استاندارد را كه به : متغير استاندارد

ازاي معرفي مي كنند از يك توزيع نرمال با

. ميانگين و واريانس پيروي مي كند

Z

01

)1,0(~ NZ

آيا ھر متغير نرمال ، را : سؤال

. مي توانيم به استاندارد تبديل كنيم

: پاسخ مثبت است

: زيرا

2

XZ

0))((1)(1)()(

XEXEXEZE

1)(1)()( 2

XVarXVarZVar

اگر از يك جامعه نرمال با ميانگين : نكته

، يك نمونه به حجم انتخاب كنيم و به

در اينصورت داراي توزيع . سراغ برويم

نرمال با ميانگين و واريانس خواھد

. بود

2n

XX

n2

..

)(1)(1)1()(11

nn

xEn

xn

EXEn

i

in

ii

nn

nxVar

nx

nVarXVar i

n

ii

22

221

)(1))((1)1()(

ور : مثال ام ن شگاه پي يك دانشجوي رياضي از دان

ال دريافته است كه نمرات گذشته او از يك توزيع نرم

انگين ا مي انس 16ب د 4 و واري ي كن روي م ن . پي اي

الي درس دانشجو اظھار عالقه مي كند كه با چه احتم

يش از اخذ 17آمار خود را در ترم جاري نمره اي ب

د . كن

5.005.0 5.0)5.0()

21617()17( SSZPZPXP

3085.01915.05.0

: تصحيح پيوستگي

تصحيح پيوستگي ارتباطي است بين متغير

گسسته و پيوسته در قالب يك عمل تقريبي كه

.شكل سمبليك آن به صورت زير است

)5.05.0()5.05.0()(

aZaPaXaPaXP

:توزيع بتا

متغير تصادفي كه از توزيع بتا پيروي مي

نمايد داراي ساختاري است به صورت زير كه

شكل نمادين آن را به صورت معرفي

: مي كنيم كه بدين صورت نوشته مي شود

،

X

),(~ X

11 )1(),(

1)(

xxxf 10 x 0,

:: در حاليكه در حاليكه

، ،

)()()(),(

11 )1()()()()(

xxxf 10 x 0,

ثابت كنيد ميانگين و واريانس در توزيع : مثال

: بتا به صورت زير است

)(XE

)1()()()( 2

2

XXVar

: حل

dxxxxdxxxfXE 1110

10 )1(

)()()()()(

)1()()1(

)()()()1(

)()()( 11

0

dxxx

)!()!1(!)!1(

..

dxxxxdxxfxXE 1121

010

22 )1()()()()()(

dxxxkdxxxxk 110

1110 )1()1(

))(1()1(

)!1()!1()!1()!1()!1()!1(

)2()()2(

)()()(

..

2

2222

)())(1()1()()()(

XEXEX

)1()()1()(

)1())(1(22

2

: توزيع گاما

توزيع گاما كه با نماد معرفي

مي شود يك توزيع تعميم يافته شده توزيع نمايي

: است كه داراي ساختار كلي زير است

،

),(~ X

xexxf

1)(

1)( 0x 0,

: به سادگي مي توانيم نتيجه زير را داشته باشيم

)(01

dxex x

)!1()( nn

اگر در توزيع گاما ، قرار : نكته

بگيرد ، در اين صورت توزيعي ظاھر مي شود

يا كا اسكوئر 2 يا خي 2كه به آن توزيع كي

)che-square ( گفته مي شود .

21

2

)( 2

، ،

، ،

xexxf

1)(

1)(21

2

21

22 )2(2

1)(xr

r exr

xf

0x Nr

: : توزيع نمايي توزيع نمايي

xexf )(

:: توزيع نرمال توزيع نرمال

2)(21

21)(

x

exf

THE ENDTHE END