Aif 1956 _6__43_0

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  • 1. A NNALES DE L INSTITUT F OURIERR EN T HOMLes singularits des applications diffrentiablesAnnales de linstitut Fourier, tome 6 (1956), p. 43-87. Annales de linstitut Fourier, 1956, tous droits rservs. Laccs aux archives de la revue Annales de linstitut Fourier (http://annalif.ujf-grenoble.fr/), implique laccord avec les conditions g- nrales dutilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisa- tion commerciale ou impression systmatique est constitutive dune in- fraction pnale. Toute copie ou impression de ce chier doit conte- nir la prsente mention de copyright. Article numris dans le cadre du programme Numrisation de documents anciens mathmatiques http://www.numdam.org/

2. LES SINGULARITES DES APPLICATIONS DIFFERENTIABLES par R. THOM (Strasbourg).L'tude des singularits d'une fonction numrique sur une varit a fait l'objet, depuis les travaux classiques de M. Morse, d'un grand nombre de recherches. Il m'a sembl que le tho- rme 4 de cet article, d M. Morse (cf. [4]) pouvait faire l'objet d'une gnralisation. J'ai t ainsi amen considrer, de faon plus gnrale, les singularits d'une application/*: R^-^R^ et, plus gnralement, d'une application d'une varit V'1 dans une varit M^. A cet gard, la seule dfinition des singula- rits d'une application, ainsi que leur classification, posent des problmes dlicats, qui seront abords au Chap. i. Au Chap. il, on traitera des singularits gnriques , c'est--dire des singularits qui se prsentent pour presque toutes les applications f: R" ^ R^. J'ai utilis cette fin la technique dveloppe dans un article antrieur [8] ; on obtient ainsi des renseignements prcieux sur les dimensions gnriques des ensembles critiques; un phnomne assez mconnu y est mis en lumire : dans une application gnrique R'1 - R^ o p (n) l'image d'un point x de R"; au point (rc, y), le graphe G(f) admet un n-plan tan- gent Tx; la correspondance rr^Tx dfinit une application f de R71 dans la grassmannienne Gg des n-plans issus de 0 dans R"^; on dsignera f sous le nom ^application drive de l'application /*. Supposant toujours (pour fixer les ides) n^p, dsignons par F,, la pseudo-varit de GS forme des n-plans qui ren- contrent le R71 plan y = 0 suivant un sous-espace linaire de dimension {np + r )* Les F^ sont, dans G, des cycles de Schubert, et leur sym- bole de Schubert est : (Pour la dfinition de ce symbole, voir par exemple [3] ou. [11]).(F,)(pr, pr . . . pr, p, . . . , p, p){np+r) (Pr) La dimension de F^ est donc : ( p r ) { n p + r ) + p(p r) == (p r)(n + r) et sa codinension dans G (qui est une varit de dimension np) : codimension de F^=np{nprn--rpr2) = r(np--r}. Comme nous le verrons, ces cycles (mod 2) F^ jouent un rle important dans la dtermination des ensembles critiques S^; aussi faut-il prciser leur nature topologique; en un point ordi- naire, F,, est une varit; les points singuliers de F^ sont ceux qui appartiennent F^^r Il est intressant de prciser la nature de l'immersion de Fr-^-i dans F,..Soit u un point ordinaire de Fp.^; ce n-plan de GS peut tre engendr par n vecteurs orthogonaux, dont (n p + r + 1) sont dans R^y == 0), o ils engendrent un plan Y, et ( p r 1 ) engendrent un sous-espace Z orthogonal Y. Un voisinage normal Fr^i de u dans F,, est constitu par les n-plans, dont (n p + r) vecteurs gnrateurs sont dans le plan Y et (p r 1) engendrent Z; il reste un n1^ vecteur V dter- 6. LES S I N G U L A R I T E S DES APPLICATIONS D I F F E R E N T I A B L E S 47miner, qui doit tre dans R^, et orthogonal Z; son lieu est par suite un espace linaire de dimension p(pr1) == r + 1; il en rsulte que le voisinage normal de F,.^ dans F^ est fibre en espaces euclidiens R/'4'1 sur l'ensemble des R"-/^ contenus dans un R/*-?-^--^ donc sur une sphre S^^"^; ce voisinage est donc un fibre de la forme S^^"^ x Sr X R, fibre qui, au moins homo- logiquement, est trivial. Il en rsulte que F^1 n'est pas plonge comme une sous-varit dans F,., mais que c'en est un lieu de points singuliers.Dtermination analytique un voisinage normal de F^ dans GS, Soient^(i==l, 2,..., n) des coordonnes de R^///^ 1, 2, ...,p) des coordonnes de R^; un n-plan dans G est dfini par un sys- tme de p quations linaires de la forme :Vj = ^.Supposons que le plan appartienne F,.; cela veut dire que la matrice des a, est au plus de rang (pr); si, de plus, c'est un point ordinaire de F^, la matrice a} est strictement de rang (p r). Supposons que le mineur M form des (p r) premires lignes et (p r) premires colonnes soit diffrent de zro ; il subsiste dans la matrice un rectangle T complmentaire, form des p dernires lignes et (np + r) dernires colonnes; associons au mineur M un lment du rectangle T, et, en compltant M par la ligne et la colonne qui se croisent sur cet lment, formons un mineur d'ordre (p r + 1) ; nous obte- nons ainsi r(np + r) mineurs d'ordre (p r + 1), dont la nullit entrane la nullit de tous les mineurs d'ordre (pr + l) ; en annulant ces mineurs, on crit ainsi un systme d'quations locales de F. dans G^.P np + rp-rMP. Tn 7. 48 R. THOM Cette remarque est utile pour la dtermination pratique de Fr au voisinage d'un de ses points ordinaires. On pourrait obtenir de mme le voisinage normal de F,, dans F^_i en crivant les relations quadratiques entre mineurs d'ordre (p r + 1) qui apparaissent lorsque les mineurs d'ordre (p r + 2) sont tous nuls. L'homologie des cycles F^. Pour r^i, les pseudo-vari- ts F^ ont un cycle fondamental mod. 2; en fait, il est plus pratique d'utiliser les classes de cohomologie qui leur corres- pondent par la dualit de Poincar-Veblen; c'est ainsi que ^ correspond la classe de Stiefel-Whitney W ^ _ p ^ i $ de faon gnrale les classes duales aux F^ sont des polynmes par rap- port aux classes W,, qu'on peut calculer explicitement grce aux formules de multiplication entre cocycles de Schubert qui ont t donnes par S. Chern [1] ; noter que, pour np = 2(/c1), la classe duale F 2 est dfinie coefficients entiers; ce n'est autre que la classe de Pontrjagin P^ (Cf. Wu [11]). Il serait intressant de savoir l'expression cohomologique en coeffi- cients entiers des classes duales aux F^ qui sont dfinies coefficients entiers ds que (np) est pair.Ensembles critiques et cycles F,.. Si, en un point x de R", le rang s'abaisse pr, le plan tangent au point (x, y) corres- pondant du graphe G(f) est projet sur R^" suivant un (p r) plan; c'est dire que le noyau de cette projection, intersection du plan avec R71, est de dimension np + r donc le plan tangent en [x, y) G (f) appartient au cycle F^, et rciproque- ment. Si l'on remonte la dfinition de l'application /", drive de f, on voit que les ensembles critiques S^ sont les images rciproques, par /, des cycles F^ de la grassmannienne,DFINITION. Un point critique x de S^ sera dit transver- salement critique, ou encore gnrique, si, au point f{x) de la grassmanienne, suppos ordinaire sur F^, les plans tangents /^R") et F^ sont en position gnrale.On montrera, au chapitre n, que toute application f peut tre approche par une application g pour laquelle tous les points des Sr sont gnriques. Si cette hypothse est ralise, les ensembles critiques Sr sont de vraies sous-varits de R", de codimension r{np + r). 8. LES S I N G U L A R I T S DES APPLICATIONS D I F F R E N T I A B L B S 49 De plus S^i, situ dans l'adhrence de S,., y admet un voisi- nage normal homomorphe au cne su^ le 'produit. S'' X S""^^ dcrit dans l'immersion locale de F r - ^ i dans F,..Points critiques ordinaires et points exceptionnels. Considrons maintenant l'application /*, restreinte aux S,., qui fait passer de S,, l'ensemble image Y^. Une premire question se pose : cette application est-elle en gnral de rang maximum?La rponse est affirmative, pour raison de dimension; en effet, la dimension gnrique de S^ est n r(np 4- ^)? qui est infrieure p r, ds que r ^ 1. Or, tout plan tangent S,, est situ dans un M-plan tangent G(/*) qui est un point de F^, dont la projection sur R^ est de dimension p r; la projection du plan tangent Sp se fait donc gnriquement avec conserva- tion de la dimension. Un tel point sera dit point critique (gnrique) ordinaire .Si, au contraire, au point x de S^, le plan tangent S,, est appliqu par f sur Rp avec abaissement du rang, on dira que x est un point critique exceptionnel . Pour bien comprendre l'origine de ces points exceptionnels, il est commode de recourir la mthode prcdente et de les dfinir par des intersections; soit m la dimension de S^, q celle du cycle F^. F^ peut tre considr comme la base d'un fibre H, savoir l'ensemble des m-plans contenus dans les n-plans qui forment F^(w < n), la fibre est par suite la grassmannienne G^"7". Dans chaque fibre, on peut considrer l'ensemble F'r des m-plans qui se projettent sur le {p~r intersection de R^5 et du n-plan, avec un corang r'; l'ensemble des F^ est videmment invariant par les oprations du groupe de structure du fibre H, de sorte que l'ensemble des F^, constitue un certain cycle Z,., dans H. Le cycle Z^, est d'ailleurs, en ses points ordinaires, une vraie sous- varit de H. Or, dans la base F,, de H, on a une varit /'(S/.), de dimension m. En associant tout point de cette varit, son m-plan tangent, on dfinit au-dessus de la varit f(S^) une section du fibre H; les points d'intersection de cet,te section avec les cycles Z,., constituent, en projection dans la base Z,., les points critiques exceptionnels. Ainsi, sur chaque varit S^, 9. 50R. THOM il existe des sous-varits (gnriquement sans singularits) Z,., sur lesquelles f (restreinte S,.) prsente un corang au but gal r'; dans l'application f: S,.-Y,., l'image f(r) ^st en gnral un lieu de singularits pour Y^. C'est l un fait mis en vidence pour la premire fois par F. Roger [5] : l'ensemble des valeurs critiques prsente dans l'espace but des singularits; comme on le verra, ces singularits sont stables^ c'est--dire qu'elles subsistent pour une petite dformation de l'applica- tion; de plus, elles ont un caractre spc

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