Abro paréntesis, abro paréntesis,cierro paréntesis, ...

No lata, no: la totalidad arada dilato talón a talón—Juan Filloy

Ivan Meza

Para los lenguajes regulares

AF, AFNDAFND-ɛ

L Verdadero

FalsoR

Jerarquía de Chomsky

regular

independiente del contexto

dependiente del contexto

recursivamente enumerable

Jerarquía de Chomsky

independiente del contexto

dependiente del contexto

recursivamente enumerable

regular

Jerarquía de Chomsky

independiente del contexto

dependiente del contexto

recursivamente enumerable

regular

Jerarquía de Chomsky

independiente del contexto

dependiente del contexto

recursivamente enumerable

regular

Lenguajes no regulares

Tipos de lenguajesFinitos: siempre son regularesInfinitos no siempre son regulares

AF en un lenguaje infinitoPara un y para Σ w ∈ LR

El trabajo del AF es circular por un conjunto �nito deestados ( )

wn

¿Qué podemos decir si es menor de ?¿Qué podemos decir si es mayor o igual ?

|w| n|w| n

q₀ q₁b

a a

b

El caso interesantePara y w ∈ LR |w| ≥ n

Por lo menos un estado se repiteLa cadena se puede particionar en: En donde

es un prefijo es un ciclo con es un sufijo

q₀ qix z

y

xyz|xy| ≤ k

xy |y| > 1z

El cicloPara , y w ∈ LR |w| ≥ n w = xyz

Entonces x z ∈yk LR

EjemploProponer lenguaje, qué tal número par de besEscoger , qué tal Proponer una cadena que dependa de , qué tal Particionar , qué tal , , Checar que se cumplan restricciones, , Checar si , sí pertenece

Σ = {a, b}n n

n bban

w x = a(n−1) y = a z = bb|xy| ≤ n y ≠ ϵ

x z ∈ Lyk bb ∈ La(n−1)ak

No tan rápido, faltan más formas de cadenas en el lenguaje

Ejemplo (cont.)Por ejemplo n (bb)n

Particionar , qué tal , , Checar que se cumplan restricciones, qué tal , Checar si , sí pertenece , ya que totalde bes es , que es par

w x = b(n−2) y = bb z = bn

|xy| ≤ n y ≠ ϵ

x z ∈ Lyk (bb b ∈ Lb(n−2) )k bn

2k + 2n − 2

No tan rápido todavía, faltan más formas de cadenas en ellenguaje

Probar que un lenguaje es regular por este procedimiento esdemasiado trabajo, muchas veces con encontrar unaexpresión regular o un autómata �nito, es su�ciente

¡Es más fácil probar que no lo es!

A este procedimiento se le conoce como lema de bombeo

Un nuevo lenguaje con el mismoalfabetoEl lenguaje de as seguidas del mismo número de bes

aibi

Ejemplos , , , ϵ ab aabb aaabbb

aibi

¿De qué tamaño es el lenguaje?

Proponer lenguaje, qué tal con Escoger , qué tal Proponer una cadena que dependa de , qué tal Particionar , qué tal , , Checar que se cumplan restricciones, , Checar si , no pertenece para cualquier , ya que sólo se cumple para

Σ = {a, b} aibi

n n = in anbn

w x = a(n−1) y = a z = bn

|xy| ≤ n y ≠ ϵ

x z ∈ Lyk k ∉ La(n−1)akbn

k = 1

Otra forma de verlo

¿Qué necesita recordar mi autómata?

q₀ q₁b

a a

b

Si tiene número par o impar de bes

¿Qué necesito recordar para ?aibi

q₀ q₁ q₂ q₃ qi

q₁₁ q₂₁

q₂₂

q₃₁

q₃₂

q₃₃

qi₁

qi₂

qi₃

qii

a a a

b b

b

b

b

b

b

b

b

...

...

...

...

...

...

Hay lenguajes que no sonregulares

Vamos a presentar otradimensión

Gramáticas

No confundir

Son una tupla , donde:

Gramáticas libres de contextoG = (V , Σ, P , S)

es otro alfabeto que denominamos símbolos no terminales(generalmente en mayúsculas)

es un alfabeto que denominamos símbolos terminales es conjunto de reglas con la forma donde

y que denominamos símbolo inicial

V

ΣP A → α α ∈ (Σ ∪ V )∗

A ∈ VS ∈ V

Producciones/ReglasPara , donde aibi G = ({S}, {a, b}, P , S) P

S → aSbS → ϵ

Como proceso de reescritura

El subrayado sólo marca que elemento se está re-escribiendo

Una derivación

S−

⇒ a bS−⇒ a a b bS−⇒ a a a b b bS−⇒ a a a ϵ b b b⇒ aaabbb

Uno más bonito donde G = ({R, B}, {a, b, ϵ, ∅}, P , R, +, ∗, (, )) P

R → BR → R + RR → R∗

R → RRR → (R)B → aB → bB → ϵB → ∅

R−⇒ R−

∗

⇒ (R−)∗

⇒ ( RR− )∗

⇒ ( RRR− )∗

⇒ ( RRRR− )∗

⇒ ( RRRRR− )∗

⇒ ( R RRR∗ R− )∗

⇒ ( R RRR∗ R− )∗

⇒ ( R RR∗ R∗ R−)∗

⇒ ( R RR−∗ R∗ R∗)∗

⇒ ( RB∗R−R∗ R∗)∗

⇒ ( B RB∗ R−∗ R∗)∗

⇒ ( BB∗ B∗R−R∗)∗

⇒ ( B BB∗ B∗ R−∗)∗

⇒ ( B BB−∗ B∗ B∗)∗

⇒ ( B BB−∗ B∗ B∗)∗

⇒ ( Ba∗B−B∗ B∗)∗

⇒ ( b Ba∗ B−∗ B∗)∗

⇒ ( ba∗ a∗B−B∗)∗

\Rightarrow (a^* b a^* b \underline{B^*)^*⇒ ( b ba∗ a∗ a∗)∗

Un ejemplo más pequeño

R− ⇒ + RR− ⇒ + RB− ⇒ a + R− ⇒ a + B− ⇒ a + bR− ⇒ R + R− ⇒ R + B− ⇒ + bR− ⇒ + bB− ⇒ a + b

Derivaciones por la izquierda y por la derecha

Un ejemplo más largo

R− ⇒ RR− ⇒ RRR− ⇒ RRRR− ⇒ RRRRR− ⇒ RRRRB−⇒ a RRRR− ⇒ a RRRB− ⇒ aa RRR− ⇒ aa RRB− ⇒ aaa RR−⇒ aaa BB− ⇒ aaaaR− ⇒ aaaaB− ⇒ aaaaa

R RRRRR⇒∗ aaRRR⇒∗ aaaaa⇒∗

En lenguaje aceptado por unagramática L(G)Con G = (V , Σ, P , S)

L(G) = {w ∈ |S w}Σ∗ ⇒∗

ÁrbolesOtra forma de representar las derivaciones

ɛ

a S b

a S b

a S b

S

aaabbb

a

a b B

B B R *

a b R * R R

B B R R

R * R R

R R

( R )

R *

R

R

( b ba∗ a∗ a∗)∗

a a

a B B

a B R

a B R

B R

R

R

aaaaa

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