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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 38 TEOREMAS DE REDES TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON : Cuando se necesita determinar la variable de voltaje o corriente de un solo elemento que se denota como "Carga", el resto del circuito se sustituye por medio de una red equivalente simple que permite la resolución más sencilla de esta variable buscada. Las condiciones para que un circuito se separe en dos A y B es que no exista una variable de control en el circuito A de una fuente controlada en el circuito B y viceversa. Para esta red equivalente se acostumbra utilizar dos teoremas llamados Teorema de Thevenin y Teorema de Norton. Red equivalente y carga del circuito. TEOREMA DE THEVENIN: El teorema establece que es posible reemplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga solo una fuente de voltaje independiente en serie con un resistor de tal forma que la relación corriente- voltaje en la carga se conserve sin cambio. El circuito B puede ser una carga o también otra parte del circuito. Circuito equivalente de Thevenin. TEOREMA DE NORTON: Con un planteamiento similar, este teorema dice que es posible reemplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga solo una fuente de corriente independiente en paralelo con un resistor de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve sin cambio. Circuito equivalente de Norton. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL EQUIVALENTE DE THEVENIN : Para determinar el voltaje y la resistencia Thevenin se considera lo siguiente: Siendo el equivalente de Thevenin "equivalente" del circuito estudiado, lo que se realice en éste dará el mismo resultado en el circuito original. DETERMINACIÓN DE VOLTAJE THEVENIN V TH . : En el circuito siguiente si se extrae la carga o circuito B, los terminales A y B quedarán en circuito abierto reflejándose en ellos el voltaje Thevenin V TH . Esto indica que para obtener el voltaje Thevenin en el circuito A se debe realizar igual procedimiento. El voltaje del circuito equivalente de Thevenin se determina en los extremos del circuito A cuando está en circuito abierto. A B Io Vo CIRCUITO A CIRCUITO B "CARGA" A B Io CIRCUITO B "CARGA" TH R Vo TH V CIRCUITO B "CARGA" A B Io Vo N R N I

4. teorema de redes 2010

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U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 38TEOREMAS DE REDES

TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON : Cuando se necesita determinar la variable de voltaje o corriente de un solo elemento que se denota como "Carga", el resto del circuito se sustituye por medio de una red equivalente simple que permite la resolución más sencilla de esta variable buscada. Las condiciones para que un circuito se separe en dos A y B es que no exista una variable de control en el circuito A de una fuente controlada en el circuito B y viceversa. Para esta red equivalente se acostumbra utilizar dos teoremas llamados Teorema de Thevenin y Teorema de Norton.

Red equivalente y carga del circuito.

TEOREMA DE THEVENIN: El teorema establece que es posible reemplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga solo una fuente de voltaje independiente en serie con un resistor de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve sin cambio.

El circuito B puede ser una carga o también otra parte del circuito.

Circuito equivalente de Thevenin. TEOREMA DE NORTON: Con un planteamiento similar, este teorema dice que es posible reemplazar toda la red, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga solo una fuente de corriente independiente en paralelo con un resistor de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve sin cambio.

Circuito equivalente de Norton.

DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL EQUIVALENTE DE THEVENIN : Para determinar el voltaje y la resistencia Thevenin se considera lo siguiente: Siendo el equivalente de Thevenin "equivalente" del circuito estudiado, lo que se realice en éste dará el mismo resultado en el circuito original. DETERMINACIÓN DE VOLTAJE THEVENIN V TH.: En el circuito siguiente si se extrae la carga o circuito B, los terminales A y B quedarán en circuito abierto reflejándose en ellos el voltaje Thevenin VTH. Esto indica que para obtener el voltaje Thevenin en el circuito A se debe realizar igual procedimiento.

El voltaje del circuito equivalente de Thevenin se determina en los extremos del circuito A cuando está en circuito abierto.

A

B

I o

Vo

CIRCUITOA

CIRCUITOB

"CARGA"

A

B

Io

CIRCUITOB

"CARGA"

THR

VoTHV

CIRCUITOB

"CARGA"

A

B

I o

VoNRNI

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 39DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA THEVENIN RTH.: En el circuito original se quita el circuito B y para que se cumplan iguales condiciones en el circuito equivalente se desactivan todas las fuentes reales en el circuito A. Se observa que solo aparece la resistencia equivalente Thevenin RTH. Esto se refleja en el circuito A, desactivando todas las fuentes independientes que tenga el circuito y con los resistores que quedan se reducen hasta que exista una sola resistencia equivalente Thevenin RTH. Esto se aplica cuando hay solo fuentes independientes, en caso de que el circuito A tenga una o más fuentes controladas, entonces se debe colocar entre los terminales A y B una fuente de prueba o fuente auxiliar (de voltaje o de corriente) de forma tal que al determinar la relación V/I de esa fuente, esta relación es igual a la resistencia equivalente Thevenin RTH: El uso de una fuente de prueba o fuente auxiliar es un artificio para medir la resistencia equivalente Thevenin, ya que para medir la resistencia que tiene el circuito se usaría normalmente un ohmmetro, instrumento que suministraría energía al circuito para determinar la resistencia a medir; las fuentes controladas siempre se activan cuando su variable de control tiene energía y por lo tanto afecta la medición. Una vez determinados los parámetros VTH y RTH, se dibuja el esquema del circuito equivalente con la carga o el circuito B y se determina la variable buscada.

Circuito equivalente de Thevenin cuando la fuente está apagada.

Circuito A cuando las fuentes independientes se apagan.

Utilización de una fuente de prueba cuando hay fuentes controladas

en el circuito A. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL EQUIVALENTE DE NORTON : La misma consideración que se hace para el equivalente de Thevenin se hace para el equivalente de Norton.

DETERMINACIÓN DE LA CORRIENTE NORTON I N: Si en el circuito equivalente se extrae la carga o el circuito B y se cortocircuitan los terminales A y B se ha notar que toda la corriente de la fuente equivalente pasará por este cortocircuito. Esto indica que para conseguir la corriente de la fuente equivalente del circuito A se hace un procedimiento igual, determinándose la corriente Norton en el cortocircuito.

La corriente del circuito equivalente de Norton se determina en el cortocircuito colocado en los extremos del circuito A.

IRV TH .= I

VRTH =

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 40DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA NORTON R N: En el circuito equivalente se observa que al quitar la carga o circuito B y desactivar la fuente de corriente, solo queda la resistencia equivalente Norton RN; el procedimiento que se utiliza es igual al usado para determinar la resistencia equivalente Thevenin al desactivar las fuentes independientes del circuito A llegándose a la conclusión que RTH = RN, en el caso de que el circuito tenga fuentes dependientes se hacen cumplir las mismas condiciones que en RTH, usándose una fuente de prueba o fuente auxiliar.

Circuito equivalente de Norton cuando la fuente está apagada

Circuito A cuando las fuentes independientes se apagan.

Utilización de una fuente de prueba cuando hay fuentes controladas en el circuito A.

RELACIÓN ENTRE EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE THEVENIN Y EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE NORTON: Existe una relación entre los circuitos equivalente de Thevenin y Norton, ésta se determina al buscar la corriente Norton al circuito equivalente Thevenin, igualmente se logra al buscar el voltaje Thevenin al circuito equivalente Norton. En el primer caso, cuando se calcula la corriente Norton al circuito equivalente de Thevenin se obtiene: En el segundo caso, al calcular el voltaje Thevenin al circuito equivalente de Norton se obtiene: Se observa en ambos casos que la relación entre el voltaje Thevenin y la corriente Norton es la resistencia equivalente, que como se dedujo anteriormente la resistencia Thevenin y la resistencia Norton son iguales:

Cálculo de la corriente de Norton en el circuito equivalente de Thevenin.

Cálculo del voltaje de Thevenin en el circuito equivalente de Norton.

NNTH RIV =

NTH RR =

TH

THN R

VI =

IRV N .=I

VRN =

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 41MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA : Algunas aplicaciones de circuitos requieren que la máxima potencia disponible de una fuente se transfiera a un resistor de carga Rc. Si se considera un CIRCUITO A que termina con una carga Rc, es posible reemplazar al CIRCUITO A por su equivalente de Thevenin, de esta forma se obtiene un circuito mas simple sobre al cual calcular la potencia en la carga. Calculando la potencia: La corriente en la malla se determina: La potencia queda: Suponiendo que VTH y RTH son constantes, la potencia máxima será función de Rc. Para calcular el valor de Rc que maximiza la potencia, se deriva la potencia en función de Rc: La derivada es cero cuando: De donde se obtiene: La máxima potencia se obtiene sustituyendo Rc por RTH : El teorema de máxima transferencia de potencia establece que la potencia máxima entregada por una fuente representada por su circuito equivalente de Thevenin se alcanza cuando la carga Rc es igual a la resistencia equivalente de Thévenin RTH..

Circuito A con carga Rc.

Circuito equivalente de Thevenin.

Rc

i

v

CIRCUITOA

CIRCUITOB

"CARGA"

Rcip 2.=

RcR

Vi

TH

TH

+=

RcRcR

Vp

2

TH

TH .

+=

( ) ( )( )4

TH

TH2

TH2TH

RcR

RcRcR2RcRV

dRc

dp

++−+

=..

( ) ( ) 0RcRcR2RcR TH2

TH =+−+ ..

( )( ) 0Rc2RcRRcR THTH =−++ .

THRRc =

( ) TH

2TH

2THTH

TH2

THmáx R4

V

RR

RVp

.

.=

+=

0.5

0.75

1.0

0.25

01 1.50 0.5 2.0

THRRc

máxpp

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 42PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: El principio de superposición, proporciona la posibilidad de reducir un problema de circuitos complicado a varios problemas más fáciles, cada uno conteniendo sólo una fuente independiente. Este principio establece que: "En un circuito lineal que contiene múltiples fuentes independientes, la corriente o el voltaje en cualquier punto de la red puede calcularse como la suma algebraica de las contribuciones individuales de cada fuente al actuar sola".

Cuando se determina la contribución debida a una fuente independiente, las demás fuentes de voltaje y corriente se desactivan quedando en cero, reemplazando las fuentes de voltaje por un corto circuito y las fuentes de corriente por un circuito abierto. Este método se utiliza generalmente cuando se requiere saber una sola variable del circuito. Es particularmente útil si hay fuentes senoidales de distinta frecuencia.

Ejemplo En el siguiente circuito determinar “V” por superposición: Como en este circuito se pide determinar V por superposición, se determinarán las componentes de V de cada fuente. El resultado final será la suma de los aportes que proporciona cada fuente independiente del circuito. Aporte de Va: Donde: Aporte de Vb: Donde: Aporte de Ic: Donde:

V429

18

233

36

R2R

2RVV

EQ

aVa ==

+=

+= ..

V3656

5618

3RR

RVV

EQ

EQbVb =

+=

+= ..

V212RIV EQcIc −=−=−= ..

)()()( cba IVV VVVV ++=

3R1R

3R1RREQ +

= .

2R1R

2R1RREQ +

= .

3R2R1RREQ ||.||=

V5V2V3V4V =−+=

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 43En un circuito que contiene fuentes controladas, se determina la variable buscada casi del mismo modo, solo que en este caso nunca se desactiva la fuente controlada al dejar activa una sola de las fuentes independientes a la vez, esto es porque al haber suministro de energía al elemento de la variable de control, se activa automáticamente la fuente controlada. Ejemplo. En el siguiente circuito se determinará “V ” por superposición.

Dejando activo Va y desactivando Ib: se observa que queda una

sola ecuación de malla (se debe dejar la fuente controlada):

⇒ ⇒ Por relación volt-ampere en R2:

con Ib activo y desactivando Va se observa que quedan dos mallas,

que al aplicar ramas de árbol a la fuente controlada y R2 solo se debe

plantear la ecuación de la malla de la corriente I1b:

⇒ Por relación volt-ampere en R2:

El resultado final es la suma de los resultados:

)I()V( baVVV +=

0i.2vVv a12Ra1R =++− 0i.2i.2RVi.1R a

1a

1aa

1 =++−

0i.2i.312i a1

a1

a1 =++−

V6i.3i.2RV a1

a1Va ===

A2i12i.6 a1

a1 =⇒=

0i.2)Ii.(2Ri.1R b1b

b1

b1 =+++0i.2vv b

12R1R =++

0i.2)6i.(3i b1

b1

b1 =+++ A3i18i.6 b

1b

1 −=⇒−=

V9)63.(3)Ii.(2RV bb

1Ib =+−=+=

V15V9V6VV IbVa =+=+

U.C. Facultad de Ingeniería. Circuitos Eléctricos I C.E.A.N. 2010 Prof. Arturo Castillo. 44MÉTODO DE LA ESCALERA : El método de la escalera se aplica en circuitos que tienen varias mallas unidas una tras otra, en donde la variable buscada (corriente o voltaje), está generalmente a un extremo del circuito. La forma de aplicar este método es suponer la variable buscada como "conocida" y por medio de las relaciones volt-ampere y las ecuaciones de malla y nodo determinar los demás voltajes y corrientes del circuito en función de esta variable hasta lograr en alguna ecuación igualarse a una fuente donde se despeja la variable buscada.

Ejemplo. Determinar I por el método de la escalera. Al suponer I conocida se determina el voltaje Vab a través de la relación volt-ampere: esta corriente I también pasa por el resistor que esta entre c y a por lo que se determina Vca como: en la malla de cab se deduce que: ⇒ Con la relación volt-ampere en la resistencia ubicada entre cb: En la ecuación de nodo en c: por medio de la relación volt-ampere se determina Vdc: En la ecuación de malla dcb se determina el voltaje Vdb como: Se determina Idb por relación volt-ampere: Por medio de la ecuación de nodo en d se determina la corriente Ied: por relación volt-ampere: se obtiene Ved: en la malla edb se iguala a la fuente: de donde se despeja I: una vez obtenida la corriente I (la variable buscada) es posible calcular ahora las demas variables de voltaje y corriente del circuito, porque están en función de la corriente I. Este método tiene la ventaja de que todas las variables de corriente y voltaje de los elementos quedan en función de la variable buscada y al determinarla, se calcula el voltaje o corriente de cualquier elemento.

I.2Vab =

I.4Vca =

abcacb VVV += I.6I.2I.4Vcb =+=

I.61

VI cb

cb ==

I.7II.6III cbdc =+=+=

I.35I.7.5I.5V dcdc ===

I.41I.6I.35VVV cbdcdb =+=+=

3

I.41

3

VI db

db ==

3

I.62I.7

3

I.41III dcdbed =+=+=

I.623

I.62.3I.3V eded ===

I.41I.62V10VVE dbed +=⇒+=

A103

10I =